Метод Монте-Карло для решения разностных уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г 5 ОД

.';...... -На правах рукописи

АНТОНИО ЖОЗЕ КУРИЗЕМВА

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1996

Работа выполнена на кафедре статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор С. М. ЕРМАКОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е. В. СЕДУНОВ, кандидат физико-математических наук, доцент Н. К. КРИВУЛИН.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Технический Университет.

Защита состоится "уЦйЯ 1996г. в ¡Э часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете по адресу:

198904., Санкт-Петербург, Ст. Петергоф , Библиотечная пл. 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно познакомится в научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ по адрессу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Афтореферат разослан

»/¿» 05 1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.5730,

доцент СУШКОВ Ю. А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Система уравнений Навье-Стокса успешно применяется для описания гидродинамическиих систем, в частности, при изучении динамики вязкой несжимаемой жидкости. Решение различных начально-краевых задач для этой системы имеет важное прикладное значение, чем и объясняется достаточно хорошая изученность различных конечно-разностных аппроксимаций упомянутых задач. Здесь следует назвать основополагающие работы O.A. Ладыженской, Р. Темама и др. Вместе с тем, количество арифметических операций, необходимых для решения трехмерных нестационарных задач настолько велико, что реализация соответствующих алгоритмов вызывает затруднения даже при использовании современных компьютеров.

В связи с этим, для определенного класса разностных аппроксимаций (например, приводящих к системам с постоянными коэффициентами) представляется перспективным использование метода Монте-Карло, который при расчетах со сравнительно небольшой относительной точностью (что и требуется для большинства прикладных задач) позволяет оценить решение с меньшими вычислительными затратами.

Первые попытки применить метод Монте-Карло для решения разностного аналога уравнений Навье-Стокса были предприняты в диссертационной работе К.К. Шакенова. В ней, однако, рассматривались лишь линеаризованные уравнения, при атом не исследовалась стохастическая устойчивость и не изучалось поведение диссперсии соответствующий* оценок.

Цель настоящей работы состоит в:

1) построении алгоритмов, учитывающих нелинейнные члены системы,

2) исследовании стохастической устойчивости в зависимости от величины числа Рейнояьдса,

3) построении векторных алгоритмов, позволяющих умеяь-

шить дисперсию оценок,

4) составлении программ и проведении пробных расчетов на компьютере.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории разностных схем, ветвящихся Марковских процессов и метод Монте-Карло.

Научная новизна. В работе впервые для решения нелинейных разностных уравнений используются алгоритмы, основанные на моделировании ветвящихся процессов, исследуется стохастическая устойчивость алгоритмов метода Монте-Карло для решения, разностного аналога уравнений Навье-Стокса и строится векторный алгоритм.

Практическая и теоретическая ценность. Построенные и изученные в диссертации алгоритмы, а также разработанные программы могут служить важным инструментом для оценочных расчетов в задачах гидромеханики. Теоретически важным является то, что указан обширный класс задач, где метод Монте-Карло может быть аффективным. Для этого класса обоснована применимость метода.

Алпробация работы. Основные результаты доклады-ва-лись на семинарах кафедры статистического моделирования и кафедры вычислительной математики математико-механи-ческий факультета СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 16 наименований. Объем диссертации 88 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации

В главе 1 диссертации излагаются известные постановки начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса, которая имеет вид:

~-!/Дм + + = 1{х,1) (1)

о1 , ох^

1=1

Л» и = О,

где и есть вектор скоростей, р - давление, а - внешняя

сила.

Анализ известных разностных аппроксимаций системы (1), произведенный в диссертации, позволяет прийти к выводу, что паиболее естественной схемой для применения метода Монте-Карло является схема, получаемая из уравнений (1) введением параметра £ (фиктивная вязкость). Таким образом исходной является система:

^-„АЪ—дгШыЪ+Т^. = Л»,0» (2)

ОТ С ~ С/а?! ^

1=1

для которой разностная схема на прямоугольной сетке может быть представлена в форме:

„го _ ,,го—з Г

цм+и» + иН1-и,к) ~ 2и?(чик),

Л?

—V

+-. _ +

+

И**1 •*•*>" + ~

- - Л» + «ад-и,*)] ~

-V

U2(i¿,fc) U2(íj,k) 7

,u?a+ij,k) + uTo~u,k) - 2uT(ij,k), fc---+

, U2(¡ J+l,k) + UHi,i-l,k) - 2uHiJ,k) , +-_-+

u2(ijM-i) + U%¡J,t-l) ~ 2u4¡J,k) 1 hí

- F?'1,

b

¡¿¡•[^«¿.fc+O - UH¡J,k) - "3(.\Ы,*+1)~ + U3(¡¿~l,k)] =

(4)

-4

„та _ ,,«»—1

T ,m

U?(i+u,k) + uH¡-i¿,k) ~ 2uT(ij,k).

Щ +

, U3(i,J+l,t) + M3(,,j-l,t) - 2uT(i,j,k) , + +

+ _

1

еЛгЛз

и

= ЯГ*-1.

(5)

где 1,;, к индексы внутреннего узла сетки.

Заключительный параграф главы 1 содержит описание схемы метода Монте-Карло для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также прямой (моделирование процесса Гальтона-Ватсона) и двойственной к ней схемы применительно к системе уравнений с нелинейностью второго порядка.

Основные теоретичекие результаты диссертации содержатся во второй ее главе. Параграф 1 этой главы изучает линеаризованную систему, для которой 2*1 = = Fз = 0, при одинаковом шаге по всем пространственным переменным.

Показана следующая лемма:

Лемма. Соотношение величины шагов по времепи т и пространству Л можно выбрать так, что модуль }Л) матрицы системы (3)-(5) является переходной матрицей цели Маркова.

Л2 Л* 8

Условием на отношение — является — > -.

т те

Далее исследуется стохастическая устойчивость схемы метода Монте-Карло в случае, когда \А\ является матрицей перехода при оценивании решения на каждом временном слое.

Вводится параметр и = Показано, что при вьшол-

ЦЛ||/

нении условия ц <-§-, третья норма оператора перехода

31/+-£

на следующий слой по времени будет меньше единицы (т.е. схема будет стохатически устойчивой). Результат интересен тем, что он связывает значение /л с параметрами V и £ задачи.

Параграф 2 главы 2 посвящен построению схемы решения уравнений (3)-(5) с учетом нелинейных членов. Подробно изучается конструкция ветвящегося марковского процесса.

Теоремы 1 и 2 утверждают, что при некоторых условиях Л2

на отношение — такой процесс всегда можно построить, т

Справедливы следующие теоремы:

Л2

Теорема 1. Отношение — шагов по пространственным

переменным и времени можно выбрать так, чтобы суммы модулей коэффициентов квадратичных форм = 1,2,3) была сколь угодно малой. Теорема 2. Если величина

шах

С'*»'*)1

конечна, то при фиксированном Л можно выбрать т столь малым, что будет сходиться мажорантный итерационный процесс для системы (3)-(5).

Далее подробно описывается вычислительная схема метода Монте-Карло для решения нелинейной разностной схемы (3)-(5) и обсуждаются вопросы стохастической устойчивости алгоритма.

Параграф 3 главы 2 посвящен векторному алгоритму метода Монте-Карло для решения разностной системы (3)-(5). Как известно, использование векторных оценок приводит к меньшей дисперсии, но увеличивает вычислительную работу.

В диссертации линеаризованная система записывается в виде:

+ вщн. + ЩЪ-г*} + + + +

+ ЪЩ+ + ¿1^3,- (6)

Здесь Л, В, С, О, Е, (7, Я, а также ^Дз^ь^.^Дз - матрицы 3x3, а ^¡¿ц билинейная форма. ^ Перенося

ЛЩ^ь) в левую часть равенства (ь; и умнол«ш обе части на (Е - А)~\ получим нужное для моделирования

выражение:

+ + +

+ + + + + ^^Ч!,*-!)+

+ (В - АГ^ОЗЙ, + (В - (7)

Считая для простоты одинаковым шаг Ь по всем трем пространственным переменным, сравнивая (6)-(7), имеем следующие выражения для перечисленных выше матриц:

Г/0 1 1\ ! /ь о 0\ л = - (1 0 -1 ,в = М1 »* о . «\о I 1/ "и 0 х

к о|,х? = Мо ь о),

«\0 О ре) а\0 1 УВ)

1 Ы 0 о\ ХЫ о Л о Ь о),С=- о ^ 1 . а \о О ие 0 Ь

0 к- 1 0

0 0 0 0

1 ы 1 а 1о 0 0

0 о о

1 Г 0 0

Мг 0 0 0

а VI 0 0

0 0

0 0 0

0 1 о/

еК1

Здесь а = 2 + бие -I--, г - шаг по времени, 6=1 + ие.

т

Можно показать, что

/1 + о -1 -1 \ {Е - А)-1 = о х -1 1+в -1 , \ -1 -1 1 + а/

В = а

/а{р + а) + {а-р) -7 ~7 \

/?(а-1-1) (а+1)7 -7

/0? + 7)(а+1) 00*+1)-7 Жа+1)-7' С=а[ -(Д + 7) +

\ -(Д + Т) -(^ + 7) 7(« + 1)-/9у

/7(а+1) /?(а -1) — 7 -7 \

1> = а -7 «(^ + 7) + ^-^ -7 , V -7 7(в+1)/

Е--

(а + /?)(а + 1) (-/9 + 7)

- )

О = а | -7

-7

-7 (3(а - 1) — 7

/7(0+1)-/?

Я = <г (7+«

-(7+/?) 7(ог + 1)-0

-(7+/?)

-(7 + /?) -(7 +Л 03 + 7)(« + 1),

Я, = £Г/3

где а = 2 + б1>£ +

К2 = ср = 1 М3

0 р

0 1

0 1,

0 0>!

0 0

0 V

1 0

1 0

р 0

£Й3 л 1 V

а =

(а-1)(а+2)'

т ' ' ей»' ' Л3'

/> = -(о + 1).

Поскольку эти матрицы содержат элементы с разными знаками, то можно ожидать значительной эффективности векторных оценок.

В диссертации получены расчетные формулы для использования векторных оценок, показано как можно построить цепь Маркова для решения задачи. Исследуется поведение произведений матриц, входящих в оценку, и в частности показано,

что вто произведение в нуль не обращается. Обсуждается векторный алгоритм в нелинейном случае.

В заключительной третьей главе приведены результаты расчета движения жидкости в кубическом сосуде. Сосуд наполнен до краев и накрыт бесконечно длинной крышкой, которая равномернно движется в направлении указанном стрелкой (рис.1).

Решение модельной задачи показывает достаточно высокую эффективность метода. В приложении приводится программа решения задачи.

Таким образом, в диссертации впервые построены и исследованы обычный и векторный алгоритмы метода Монте-Карло для решения нелинейных разностных уравнений Навье-Стокса.

На основе построенных алгоритмов разработала программа и проведены тестовые расчеты на компьютере, которые показывают достаточно высокую эффективность разработанных в диссертации методов.

По теме диссертации опубликованы работы:

[1]. Ермаков С.М., Куриземба А.Ж. О решениии разностных уравнений Навье-Стокса методом случайных блужданий - Дел. в ВИНИТИ Л^°2014 - В94 от 1 августа 1994г.

рис.1

[2]. Ермаков С.М., Куриземба А.Ж. Векторный алгоритм.

Монте-Карло для решения разностных уравнений Навье-Стокса. Лен. в ВИНИТИ Л^°549 - В95 от 28 февраля 199 5г.