Метод обобщенных функционалов Ляпунова в анализе стабилизации решений динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ШИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В АНАЛИЗЕ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МАЛЬКОВ Константин Викторович

На правах рукописи

УДК 517.9

Москва, 1990

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:-доктор физико-математических наук, академик АН СССР B.C. Осипов

-доктор физико-математических наук, профессор A.A. Дезин

-доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Бутузов

Ведущая организация - Московский институт электронного машиностроения.

Автореферат разослан "_"_ 1990 г.

Защита состоится "_"_ 1990 г. в 15

часов 30__ минут на заседании специализированного Совета

Д 053.05.3? при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на факультете Вычислительной математики и кибернетики по адресу: 119899 Москва, 'Ленинские горы,МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Учений секретарь специализированного Совета,

профессор

~ J Lötttä^ Е.И.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы,Работа посвящена исследованию асимптотических свойств решений линейных неавтономных и нелинейных эволюционных уравнений, таких как стабилизация и устойчивость. Сейчас наблюдается значительный рост интереса исследователей к задачам анализа нелинейных систем, а также синтеза нелинейных систем дифференциальных уравнений с заданными асимптотическими свойствами. Последнее обстоятельство связано с тем, что для задач синтеза нелинейных управляемых систем с распределенными параметрами по вполне понятным причинам сейчас отсутствует единый методологический подход. Вопросы управляемости и стабилизации решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучались вззначительном числе работ. Для линейных распределенных систем также имеются определенные подходы синтеза управляющих воздействий, например метод моментов. Однако в случае неавтономности по эволюционного оператора и для указанных классов задач многие вопросы оставались открытыми. В частности, это относится к вопросу устойчивости и стабилизации решений неавтономных систем, чрезвычайно важному для теории управления. Для нелинейных задач с распределенными параметрами анализ устойчивости и стабилизации решений сопряжен со значительными трудностями, особенно для случая систем "нейтрального" типа*^.

В настоящей работе развит целостный подход, основанный на использовании пробных функционалов специального вида, характер изменения во времени которых позволяет не только сделать вывод об асимптотических свойствах решений широкого класса линейных неавтономных и нелинейных систем, в том числе и "нейтрального" типа, но и осуществить синтез £. - с"- стабилизирующих замыканий для нелинейных консервативных систем, используя информацию о решении лишь в конечном числе точек области изменения пространственных переменных. При этом асимптотический характер решений полной системы определяется средним по времени Ъ или по пространственным переменным от производной пробного функционала или некоторой его спектральной характеристики, в случае его билинейности такой подход

Под системами "нейтрального" типа понимаются уравнения, имеющие интегралы движения ляпуновского типа.

позволил изучить наиболее тонкие и трудные для исследования случаи консервативных систем,

С помощью этого метода получены оценки спектра показателей линейных неавтономных систем,как обыкновенных, так и в функциональных пространствах. Доказаны теоремы о точности оценок и предложен численный алгоритм оценки старшего и младшего показателей в пределах правильности линейной системы с квазипериодическими коэффициентами. Получены оценки асимптотического поведения решений уравнений с замкнутыми операторами, явно зависящими от времени .

Указаны способы численного построения спектральных проекторов с целью классификации решений дифференциальных уравнений с периодическими и стабилизирующимися по замкнутыми операторами по их асимптотическому поведению в зависимости от начального условия при наличии экспоненциальной дихотомии. Приведенные результаты позволяют сформулировать условия стабилизации решений широкого класса неавтономных систем. Исследуются также с помощью методов усреднения и обобщенного метода пробных функционалов вопросы устойчивости- и асимптотическое поведение решений дифференци- • альных уравнений с неограниченными операторами при наличии нелинейных возмущений, а также некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений с возмущениями, когда известен некоторый класс точных решений невоэмущенного уравнения. Доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости, асимптотической устойчивости,» на основе этого.осуществлен синтез нелинейных стабилизирующихся систем с распределенными параметрами.

В этом плане в работе нашел развитие метод анализа "нейтральных" систем, в свое время предложенный М.М.Хапаевым для случая обыкновенных дифференциальных уравнений.

Кроме того, за счет построения мажорантной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными асимптотическими свойствами развит метод замыкания исходной системы уравнением стабилизирующей обратной связи, использующей информацию о состоянии объекта, взятую в конечном числе точек области изменения пространственных переменных.

Учитывая, что метод пробных функционалов в нелинейном случае использует ии$ормацию о точном решении невозмущенной системы,

для некоторых классов нелинейных уравнений найдены эти решения и установлена связь между интегрируемостью исходной системы и базисностью корневых функций ассоциированного изоспектральным преобразованием линейного оператора.

Асимптотические и спектральные методы анализа динамических систем развивались в работах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре, Н.Н.Боголюбова, Л.С.Понтрягина, Ю.А.Ыитропольского, А.Н.Тихонова, H.H. Красовского, А.Н. Колмогорова, В.П.Маслова, С.П.Новикова, Л.Д. ФаддееЕа, С.В.Емельянова, Ю.С.Осипова, Д..А.Самарского, С.П.Кур-дюмова, С.И.Похожаева, М.М.Хапаева, А.Ныоэлла, В.А.Ильина, В.И. Арнольда, С.Ю.Доброхотова, В.Ф.Бутузова, Н.С.Бахвалова, С.А.Ломова, А.Б.Васильевой, О.А.Олейник, В.М.Миллионщикова, А.Ф.Филиппова , Н.Х.Розова и ыногих других авторов. Интерес широкого круга исследователей к таким задачам обусловлен их актуальностью и многочисленными приложениями в области теории колебаний, теории управления, аэро- и гидромеханики, физической химии.

Целями данной работы являются:

- двусторонние оценки ляпуновского спектра показателей линейных неавтономных систем, в том числе в функциональных пространствах, а также теоремы о точности этих оценок;

- методы построения областей динамической неустойчивости в пространстве параметров системы при наличии параметрического резонанса;

- конструктивные условия нелинейной стабилизации решений и их устойчивости в окрестности стационаров кинетических процессов;

- эффективные оценки поведения решений дифференциальных неавтономных уравнений с замкнутыми операторами на больших интервалах времени, когда затруднен их численный анализ, а также условия их стабилизации по времени;

- возможность эффективной асимптотической классификации решений дихотомичкых неавтономных систем в зависимости от начальных условий;

- результаты об устойчивости, неустойчивости и стабилизации решений нелинейно-возмущенных уравнений о неограниченными операторами "нейтрального" типа;

- методы стабилизации решений консервативных нелинейных распределенных систем, основанные на информации о решении в конечном числе точек области изменения пространственных переменных;

мажорантные оценки стабилизации;

- условия интегрируемости некоторых классов нелинейных систем с нелокальными условиями, у которых невозмущенная система также нелинейна.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. В работе развит целостный подход, основанный на использовании пробных функционалов специального вида, характер изменения во времени которых (их спектральных характеристик или мажорант в случае билинейности) позволяет не только установить условия стабилизации, устойчивости решений широкого класса динамических систем, в том числе в чрезвычайно трудном для исследования случае консервативных распределенных систем "нейтрального" типа, но и осуществить синтез -

стабилизирующих замыканий с заданными априори асимптотическими свойствами для такого типа систем, используя информацию о решении лишь в конечном числе точек области изменения пространственных переменных. При этом подход позволяет получить также теоремы о точности асимптотических оценок в различных классах неавтономных систем.

Результаты работы делают возможным выявление резонансов и изучение эволюции решений широкого класса задач, возникающих в механике, физической химии, теории управления, при проектировании систем, в разработке которых необходимо учитывать эволюцию решений математической модели на больших интервалах времени; они имеют приложения также в области синтеза распределенных нелинейных систем стабилизации.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, трех ' глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 220 страниц; список литературы содержит 112 наименований. Текст диссертации включает 8 рисунков.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 203 .

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейные явления" (Москва, 1989 г.), международной конференции "Прикладные аспекты качест-

венной теории дифференциальных уравнений" (Будапешт, 1989 г.), в цикле лекций в Техническом университете Западного Берлина (1989 г.); на семинарах: отдела теории функций МИ АН СССР под руководством акад. С.М.Никольского, чл.-корр. АН СССР Л.Д.Кудрявцева, лаборатории математических методов механики ИПМех АН СССР под руководством акад. В.П.Маслова, доктора физ.-мат. наук С.Ю.Доброхотова, доктора физ.-мат. наук И.М.Кричевера, научных семинарах в МГУ под руководством чл.-корр-ов АН СССР В.А.Ильина, А.В.Бицадзе, доктора физ.-мат.наук М.М.Хапаева, доктора физ.-мат. наук В.В.Козлова, объединенном-семинаре МЭИ под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожаева, докторов физ.-мат. наук С.А.Ломова, И.А.Дубинского, научном семинаре ВНИИСИ АН СССР под руководством акад. С.В.Емельянова, семинарах МИЭМ, а также на ряде других семинаров и конференций,

В 1988 г. цикл работ автора по теме диссертации был удостоен премии Ленинского комсомола в области науки и техники.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Предметом исследования являются системы дифференциальных уравнений вида

u^-A&K+j^nku^ju.^ о, (D

где последовательно рассмотрены следующие случаи:

а) система (I) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывной матрицей коэффициентов размера rixYl ;

б) в системе (I) ,А.(т) — ограниченный оператор - функция в банаховом пространстве (g , tLOfc) - дифференцируемая абстрактная функция в пространстве jjg ;

в) оператор - функция в системе (I) является замкнутым для любогоСо, +• оо) неограниченным оператором с областью определения "D^A4) ■ плотной в пространстве

IB ; т>(А>В.

Наряду с системой (I) изучаются системы вида

где оператор -^(^Ь, (Л) предполагается замкнутым при €г 3 = = [О, оо^ в банаховом пространстве |В • с областью определения Т> , плотной в 3 , = £> • Относительно системы (I) предполагается, что задача Коши Ц,(0) = Ц0 корректно поставлена, решение существует и единственно при-Ье^« Относительно системы (2) предполагается, что задача Коши корректно поставлена, решение существует и единственно при IX< 11°

-I

В диссертационной работе для систем вида (I) и (2) развит общий подход, основанный на использовании пробных функционалов, позволяющий осуществить как асимптотический анализ решений (включая исследование на устойчивость и стабилизацию в неавтономном и "нейтральном" случаях), так и синтез нелинейных стабилизирующихся систем ввда (2) в условиях консервативности невозмущенной системы (при =0 ).

I. В первой главе получены теоремы об оценке экспоненциального бпектра линейных неавтономных эволюционных уравнений, доказаны теоремы о точности этих оценок. Полученные результаты применяются для анализа стабилизации решений и устойчивости стационаров нелинейных интегродифференциальных уравнений,, описывающих кинетические процессы.

Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида (I) приух = О :

1АС-к)^, -Ь&О, (1.1.1)

где ~ кусочно непрерывная, Цх СЬ - матрица такая, что

НАШИ ^ С • -^(¿Ь) • При этом полагаетсяА<Е

Здесь -^(-Ь) - кусочно-непрерывная, неубывающая положительная функция.

Определение 1.1.1. Верхним -показателем решения Ц.С"Ь) системы (1.1) назовем число

- ЕГ [ ^Мт} КII ашн .

Нижним -показателем решения назовем число

Если числаЗС с и г совпадают, то число.Х^ = — j.

назовем -показателем решения U,(Jt) системы (I.I.I).

Определение I.I.2. Обозначим через Д ^ множество матриц "У размера И, х КЪ , эрмитовых, положительно определенных,

Через и обозначим соответственно наименьший и

наибольший корни уравнения de"t fVj-О » гдеф => Д/" + +VA + .А* V" «УёД^ • Верхним -средним кусочно-непрерывной функции p(-t) Qpfb)ll ¡ё С+ С х.' ) назовем число р4 -{j Jt р(т) d v . Нижним -9 -

средним функции pot) назовем соответствующий нижний предел

Определение I.I.3. Дяя системы (I.I.I) рассматриваются числа Р= sap 3L(u), Z,= ^f ХМ§ + it£rH\o ' 4 ttfefiVO ''

WJx= К X(u)

\ ULfetii\0 + U.€N\0 +

где ~ множество всех решений системы кроме тривиального.

Спектральные отрезки показателей , Hf 1 , 11 "2- ^ ? С^ 3 и

, ¿}j~l обозначим через , Т34 и Осоответствен-

но. Приведенные числа uJ^ , , , р^ характеризуют

асимптотику решений (I.I.I),при -k-*oo . При числа СО ,

Р являются соответственно младшим и старшим показателями системы (I.I.I). Пусть А.€I рассмотрим для данной матрицы V и системы (1,1) соответствующую матрицу Я? и следующие отрез-

Теорема I.I.I. Пусть ¡f^ , тогда

Г\ 1л п+оА ТА ^сП 1А'

-t

2. В § 2 отдельно рассматривается случай1 , то есть система с ограниченной кусочно-непрерывной матрицей •

Возникает вопрос о точности полученных оценок. Согласно теореме Перрона существует ляпуновское преобразование переменных, приводящее систему (1.1.1) к верхнетреугольному виду с диагональю

. .. , р** С-Ь) . Обозначим £о = ^ -

= + 'где

тсрс р^ - пирс ри | | ¿^ р- _ ¿^ |.

Инфимум берется по всем перроновским преобразованиям. Обозначим через лебегову меру множества 3 числовой прямой.

Через обозначим множество матрицу £ , при которых (1.1.1) приводима к верхнетреугольному ввду с разделенной вполне диагональю.

Теорема 1.2.1. Пусть в системе (1.1) А.€: • Тогда

Ж

В случае А 6 ¿¿^ последнее неравенство следует заменить на более общее: ^ ^ ^ ^

3. В случае уравн!ш?я С1+- Ц. = О , где =

= ^ матрица V бе-

рется в ввде у вр*р>Г=

Тогда, учитывая, что в данном случаеА-2-г. = = 0, = | , а также теорему 1.1.1, имеем р

- -> тг- * )

= ^ЧгсЫЛ^ А=с1е-(:СР. Минимизацией по пе-

ременным ^^ можно получить хорошие оценки старшего показателя.

4. Четвертый параграф первой главы посвящен оценке характеристических показателей и способу их вычисления на ЭВМ для линейных вполне интегрируемых уравнений в полных производных:

с периодическими коэффициентами. Доказаны теоремы о двусторонних

оценках спектра характеристических чисел и о сохранении асимптотической устойчивости возмущенной вполне интегрируемой системой в полных производных (теоремы I.4.I и 1.4.2).

5. Пятый параграф первой главы диссертации посвящен изуче-. нию асимптотического поведения решений и оценкам ляпуновского спектра линейных эволюционных уравнений с операторным коэффициентом, в том числе с неограниченным. Рассматривается уравнение

И, ® ACfc) ii,

* . 7 (I.5.1)

где AG>) ~ ограниченный оператор-функция из it(iB) • или абстрактный эллиптический оператор Д.^ #L(JB) J, Х>(А) = |3

Определение I.5.I. Обозначим , , спектраль-

ные отрезки показателей (5.1) (аналогично п. I); если A.€.St(jS),

то Г £ С •

Определение 1.5.2. Аналогично п. I введем множества операторов > Я? > а через и обозначим нижнюю и верхнюю грани оператора -yi/zcp "у '4х- I ^ =

Теорема 1.5.1. Пусть в системе (1.5.1)_Д_€Е.

, где (В - гильбертово простран-

Рассматривается система (I.5.I) с оператором-функцией (В) . Мы будем различать следующие случаи:

а) й является пространством геометрически скалярнознач-ным (пространством функций); в этом случае будем обозначать его

Во ;

б) IB является пространством геометрически вектор-значным (пространством вектор-функций), то естьВ= ¡В0® ...Ф Во

В частности, изучаются уравнения

где Q - компактная область пространства IR^J >

+ оо)х 0 Т* в * & -> С

вида _ г

Ох О-

где о С «С1, ;Зхй-> С*1; к а, ОС, V);

Возникает вопрос: насколько точными могут быть сделаны опенки, полученные в пункте 5 ?

Определение 1.5.3. Преобразование переменных Ц. ,

где С'В) • будем называть ляпуновским, если выпол-

нены следующие условия: ,

а) «¿^ С®") > существуют операторы и ,

которые также принадлежат ;

ограничены при € '3 = [Р_,1-схэ). Множество операторов ¿.(4;) I задающих ляпуновские преобразования, обозначим через _/\

Определение 1.5.4. Рассматривается система

•Ж «.РФ СО, ц.5.2)

где (Е: С®) — верхнетреугольный оператор, то еоть

ВШ- {Рнл I Р(С]Г° ^, Рил;. 1Во -> Во] .

Кроме того, предположим, что операторы р^Ц] коммутируют со своими интегралами, то есть Р,, , г{ Т~ -

^Р. ,,1г Р с

= ^ ,а также являются симметрическими.

В случае интегрального оператора Р(£) О) = А .

ОС. £ условия означают, что ядро ®

^ \ Ыс1(т,¿тиШ,у)с^с!о =

для любой Uü0: J х G-> ßo -

5 н^)- (MU^ *-))*; ^ G).

Множество всех операторов (JB) указанного вида обозна-

чим через Т^СВ) С ß= Во © Ф Во ); = Множество всех операторов A.Qt) £ °£tCB) > "t ^ О •

для которых существует замена переменных U.(-t) = £("t)u)(-t) , Л^ОЮ • Приводящая систему (I.5.I) к системе вида (1.5.2), где Р(£) С Т+ С В) , обозначим через

(¿OU«S)c ¿t(B)).

Определение 1.5.5. Пусть в системе (I.5.I) то есть (1.5.1) приводима к виду (1.5.2) с Pc(-fc) е TIj-CiB) посредством преобразования Ц_ L(t) Ш , (JB)

Обозначим через ^ -ло^ ' (>)) '

Для каждой систеш (5.1) с оператором ÜT^(ß')

введем числоV _ Тл . Число Y^ О

> ¿е лч(Ю: А -> Р, Тт(Й) назовем дефектом системы (5.1). В случае, если Att)€ =П\(.В) , и, кроме того, совокупность функций SLLf> \ , Su_p> Д

является вполне разделенной, то будем полагать, что

€ iT{(ß) {ßL^M с ттр}. пусть Aft)e :

обозначим через В число r = | -SU-P ^ Р Л —

l Aes\P(tij) I 1 L ^6S(P(U|) L1 Теорема 1.5.2. Пусть в системе (I.5.I) ^ ¿(.T^f©)

Тогда справедливо неравенство^^ Sa') ^ Т

где и(3) - лебегова мера отрезка J числовой прямой.

В общем случае itT^ ( (В) последнее неравен -

ство следует заменить на более 9бщее: у if T^Yx ^

< VöjS О ^ е < . V';X

. Результаты предцдущих параграфов (§ I - 5) позволяют поручить эффективные оценки ляпуновских спектров широкого класса за-

дач посредством выбора пробного оператора •

При этом они весьма полезны даже для самых простых операторов, например, в случае^ Г получаются известные ранее оценки Винтнера-Вакевского. Методами минимизации в функциональных пространствах эти оценки можно сделать достаточно точными. Особенно эффективной схема является для случая систем обыкновенных дифференциальных уравнений, исследованию которых посвящены параграфы 1-3 главы I.

6. В параграфе шестом главы.первой построен алгоритм определения экспоненциального характера поведения решения эволюционного линейного уравнения в частных производных в случае периодической или стабилизирующейся зависимости оператора от ~Ь по начальному условию Коши при наличии экспоненциальной дихотомии путем численного построения проектирующих операторов. Для этого достаточно проинтегрировать систему на конечном интервале no"fc .

7. В седьмом параграфе доказаны теоремы об оценке старшего показателя линейного дифференциального уравнения с замкнутым, неограниченным, явно зависящим от *t операторным коэффициентом, что позволяет, в частности, оценить эволюцию решений ряда уравнений параболического типа, а также сформулировать условия экспоненциальной стабилизации.

Рассматривается уравнение

где А~ неограниченный замкнутый для любого "Ь оператор с областью определения "DÇА^) d |В • плотной в банаховом пространстве g Л) (А) = В и не зависящей от "t . Пусть-^0 ^ 0 ; рассмотрим уравнение с "замороженным" оператором в точке

U. = AC-to) и .

(1.7.2)

Обозначим через tO фундаментальную полугруппу для

уравнения (I.7.I) с "замороженным" в точке оператором.

Теорема I.7.I. Пусть ослабленная задача Коши для уравнения (1.7.2), как и для уравнения (1,7.1) при V4b->Q , равномерно корректна на~С>(А) • Если - максимальный тип разрешающих полугрупп для (1.7.2) при любых фиксированных "L - 5 Û и

IIЩгГаЙ]|| ъ;г).

Тогда ИТД^До)!! ^ , где До) -решение

интегрального уравнения М.0 -^о)"1"А^е (э^оС^

• Черта над оператором означает

его замыкание; ш-ь До) -разрешающий оператор (1.7.1). *

Теорема 1.7.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.7.1, причем = Ш € е^ 5 « -<0

таково, что

• оо

С оо о

) е 0

-О - (1-7-3)

Пусть - нижняя грань таких чисел о(0 , для которых спра-

ведливо неравенство (1.7.3). Тогда Р/^ ^ °<о , где ;

Пусть теперь оператор А-С^Г) в уравнении (1.7.1) имеет переееи-ную область определения''^(АС'кУ) и замкнут для любого-^? ("1

Теорема 1.7.3. Пусть для каждого задача Коши для уравнения (1.7.1) имеет единственное решение. Тогда, если:

в)\ е <г)с1^<е - 1 , тс г. -) о ' и >

где Д удовлетворяют услокияч а) - г).

Если ¡-Л--^ О I то решение экспоненциально стабилизи-

руется.

8. В параграфе восьмом первой главы полученные результаты применяются для исследования устойчивости в окрестности стационара и стабилизации решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, описывающих физико-химические процессы, определяемые факторами коагуляции, нуклеации и диффузии (Теоремы 1.8.1. 1.8.2).

9. Вторая глава посвящена исследованию вопросов устойчивости и стабилизации решений нелинейно возмущенных распределенных систем "нейтрального" типа. Цри этом уже в предположении существования у исходной системы пробного функционала со знакоопре-деленшй производной (в отличи.е от §§ I - 8 главы I, где пробный функционал, вообще говоря, не обладал свойством знакоопределенности цроизводной) для указанных классов систем развит метод М.М.Хапаева.

В первом параграфе второй главы доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости (Теоремы 2.1.1 - 2.1.5). Цри этом вывод об устойчивости (или неустойчивости) делается в зависимости от знака среднего от производной пробного функционала типа Ляпунова (Четаева) в силу полной системы, взятого по решениям невозмущенной системы вида (I) при^Л = О . Решения оказываются устойчивыми в случае его отрицательности и неустойчивыми в случае его положительности.

Полученный метод позволяет исследовать на устойчивость гиперболические системы дифференциальных уравнений с нелинейными возмущениями, а также выявлять резонансы в ряде задач механики, в том числе в случае параметрического возбуждения при колебаниях стержней, ппастин и системах нелинейной акустики.

Рассматривается симметрическая гиперболическая система

=кт- £м^^^мчи.!),

I А- 1«

где ¿им, Ы. = ПХ ; здесь матрицы А; зеГ) раз-

мера ГИХ 01 достаточно гладкие, определенные в ограниченной области (1 с гладкой границей р . Матрицы X) предпо-

латаются вещественными и симметрическими; по переменной матрицы предполагаются непрерывными. В случае корректности задачи Коши Ц(0,X)— и.о(х) Т>(А.) в пространстве гф^выполнении условий^ (¿^а^Ы^^О, В+В* "

""^¡Г "ЪсС'^ ^ ^ ' оператор А. допускает замыкание до максимального диссипативного оператора (при точных равенствах нулю А, - консервативен). Рассматривается система

^ = ^ А&, ЬС^хХ н-ул а)

с теми же условиями и (2.1.1), где - нелинейное возмущение;

функционал Ляпунова (Четаева) берется в виде Ц^, и.")

В зависимости от знака среднего от к*

вдоль решений систеш Щ,х) приу

делается вывод_ об устойчивости в случае < - и неустойчивости в случае > .

Для гиперболической системы уравнений акустики С нелтю'Чнрмч возмущениями:

^Ь ^х

= ,£)=0у о(о,ос) = а0С* ), а,(о) = и0(А) = о, р^'о)-= а»= (1)= 0.

I-

м ~о

Функционал берется в виде Ц^ = -1 ^ р^3^] ^-Х .

С применением теорем 2.1.1 - 2.1.2 установлено, что имеют место резонансы при , кратном числу СГГ , и система неустойчива относительно возмущений.

Рассматривается система

^ и'

с начальными и граничными условиями, аналогичными предшествующему примеру. Для переменной IX • этой системе соответствует.волновое уравнение ^ОЛ^ = Cq "Ь^/Ьос2" +J* <3j(~G О. i

иг- ^ = ^\L [и.г4- С^Р2;] dec , получим • О ,

Производную 1Г в силу возмущенной системы ]}- = -u Cn Ж

(•А- (»ОС ^ I 1 J 0 ^

2 ^ ) о и, (4., ЧЯ "(О ^ , Получено, что при g(-t)=<j02

£ COS "Ь имеются резонансы при \) , кратном числу ЗТ С0. 0 = = ЗГИ. С о j 2- • Приведенная методика позволяет изучать эффекты параметрического резонанса для систем уравнений в частных производных, причем и в почти периодическом случае.

10. Второй параграф второй главы посвящен построению £. -(Г-стабилизирующихся консервативных систем. На основе метода пробных функционалов сформулированы условия асимптотической устойчивости и стабилизации решений, использующие пробные функционалы с отрицательно-определенными средними (Теоремы 2.2.1, 2.2.2). С их помощью осуществлен синтез стабилизирующих замыканий для распределенных лагранжевых систем, использующих информацию о решении, взятую в конечном числе точек области изменения пространственных переменных.

11. В параграфе третьем второй главы метод пробных функционалов развит для случая нелинейных систем вида (2) (Теоремы 2.3.1. 2.3.2). В случае, если не удается точно вычислить среднее значение от производной пробного функционала по классу решений невозмущенного уравнения, в работе развит метод исследования эволюции решений возмущенных консервативных систем. На примере возмущенного уравнения КДФ

1Ц.+ и.ах + Ц-ххх ^и-хС-Ь^-эс^зс^О,

описывающего движение мелкого слоя жидкости над поверхностью с опережающим сопротивлением, получена стабилизация солитонообраз-ного решения и установлено, что затухание солитона от начальной амплитуды З0^ до происходит за минимальное время,

если 0Со =■ ^Ро Цо^' где ^о- 3 — константа (Теоремы 2.3.32.3.5).

12. Третья глава посвящена построению на основе метода пробных функционалов стабилизирующих замыканий консервативных лагран-жевых систем с распределенными параметрами. Цри этом соответствующее замыкание способно обеспечивать стабилизацию решения из произвольной 0 -окрестности положения равновесия в произвольную £.< ¿Г окрестность положения равновесия (в норме пространства, где является плотной область определения оператора, порождающего исходную систему), используя информацию о решении в конечном числе точек области изменения пространственных переменных. Стабилизирующее замыкание осуществляется с помощью построения мажорантной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающей функцией Ляпунова специального вида, связанной с пробным функционалом для исходной системы. При этом у распределенной системы стабилизирующиеся решения мажорируются в норме пространства, где задана эта система, решениями мажорантной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (Теорема 3.1.1).

13. В параграфе втором третьей главы указанный метод стабилизации применяется для случая линейных консервативных систем с распределенными параметрами; доказаны теоремы о покомпонентной стабилизации решений, допускающих разложения по корневым функциям порождающих стабилизируемую систему замкнутого оператора (Теоремы 3.2.1 - 3.2.5).

14. Учитывая, что для асимптотического анализа возмущенных систем требуется информация о решениях невозмущенных систем, в заключительном третьем параграфе третьей главы установлена связь между базисностью системы корневых функций линейной спектральной задачи с нелокальными условиями и интегрируемостью ассоциированной /_, -А. -представлением нелинейной эволюционной системы, имеющей интеграл движения. Получено точное решение, позволяющее с помощью обобщенного метода пробных функционалов Ляпунова изучить влияние различных воздействий на исходную нелинейную систему о нелокальными граничными условиями (Теоремы 3.3.1. 3.3.2). Изучена редукция к классическим линейным асимптотикам.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основными результатами работы, таким образом, является следующее:

- изучено асимптотическое поведение решений линейных невто-номных систем, в том числе в квазипериодическом случае, исследованы области динамической неустойчивости в пространстве параметров механических систем; доказаны теоремы о точности асимптотических оценок;

- изучено асимптотическое поведение решений неавтономных операторных уравнений и сформулированы условия стабилизации;

- построены стабилизирующие замыкания консервативных механических систем.с распределенными параметрами, использующие информацию о решении в конечном числе точек области изменения пространственных переменных; •

- найдены точные решения ряда нелинейных эволюционных систем и установлены условия их асимптотической стабилизации по времени -Ь ;

- исследованы на динамическую устойчивость стационарные состояния некоторых физико-химических процессов, сочетающих факторы нуклеации, кристаллизации и коагуляции;

- изучзно асимптотическое поведение решений распределенных систем "нейтрального" типа с замкнутыми неограниченными операторами; доказаны теоремы об устойчивости, неустойчивости, стабилизации решений для случая нелинейно-возмущенных консервативных систем в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю профессору М;М.Хапаеву, научные идеи которого оказали большое влияние, в том числе и в рамках совместных исследований.

• Автор выражает также глубокую благодарность академикам С.В.Емельянову, А.А.Самарскому, чл.-корр. АН СССР В.А.Ильину за постоянное внимание к работе и поддержку.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТВ® ДИССЕРТАЦИИ

1. Мальков К.В. Алгоритм оценки экспоненциального спектра линейных систем дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.// Вестн. МГУ, сер. 15, 1984. № 4. С. 17-23,

2. Мальков К.В. Один численный метод оценки старшего показателя линейной системы, дифференциальных уравнений с ограничен- ) ной кусочно непрерывной матрицей.// Дифференц. уравн., 1986.

Т. 22. № 6. С. 1086 - 1097.

3. Мальков К.В. Структура решений систем Якоби с периодическими коэффициентами.// Диффер. уравн. 1985. Т. 21. № 6.

С. 1091 - 1095,

4. Мальков К.В. 0 построении устойчивых и стабилизируштг ся систем с распределенными параметрами. // Дифференц. уравн. 1989. № I. С. 74 - 89.

5. Мальков К.В. 0 стабилизации решений одного нелинейного интегродифференциального кинетического уравнения.// КВМ и !■№. 1988. Т. 28. № 8. С. 1260 - 1264.

6. Хапаев М.М., Мальков К.В. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с возмущениями.// ДАН СССР, 1986. Т. 290. № 4. С. 800 - 805,

7. Мальков К.В. К вопросу об эволюции и устойчивости оочи тоноподобных решений.возмущенных уравнений типа Буссинеска.// ДАН СССР. 1987. Т.292. С. 68 - 73-совм. с М.М.Хапеевнм.

8. Мальков К.В. Двусторонние оценки показателей Ляпунзвв линейной системы. В кн. Программное обеспечение вычисл. ксмпл?< сов. М., изд. МГУ (под ред. П.С.Краснощекова и Л.Н. Королева), 1985. С. 195 - 203.

9. Мальков К.В. Некоторые численные методы определения характера поведения решений систем дифференциальных уравнений в зависимости от начальных условий. Вестник МГУ, сер.15. 1986. № I. С. 78 - 81.

10. Мальков К.В. К вопросу о ■гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений в полных производных. Вестник МГУ. сер. 15. 1983. № 4. С. 57 - 58.

11. Мальков К.В,, Хапавв М.М. 0 некоторых задачах теории возмущений, приводящих к необходимости усреднения.// Дифференц. уравн. 1987. Т. 23. № 10. С. 1031 - 1043.

12. Мальков К.В., Хапаев М.М. Метод усреднения в исследовании устойчивости и эволюции солитоноподобных и осциллирующих решений нелинейных уравнений. В,кн. И Международная конференция по нелинейным колебаниям, Будапешт. 1987. с. 91 - 92.

13. Мальков К.В., Хапаев М.М. О гашении солитоноподобных решений уравнений мелкой воды за счет опережающего сопротивления. // ДАН СССР. 1988. Т. 300. С. 1052 - 1059.

14. Мальков К.В., Еленлн Г.Г. Об одном классе нелинейных эволюционных систем, описывающих процессы кристаллизации. // Дифференц. уравн. 1988. Т. 24. № б. С. 936 - 949.

15. Мальков К.В. О численном исследовании одной нелинейной системы интегродифференциальных уравнений, описывающей процессы кристаллизации. Вестник МГУ. 1988. сер. 15. № 2. С. 52 - 55.

16. Мальков К.В. Принцип локальной наблюдаемости и построение стабилизирующихся систем в частных производных. Вестник МГУ. 1989. сер. 15. № 2. С. 28 - 34.

17. Хапаев ¡<i.M., Мальков К.В. Об одном классе методов исследования асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с замкнутыми операторами.// Дифференц. уравн. 1986. Т. 22. № 2. С. 255 - 267.

18. Мальков К.В. Один численный метод оценки старшего показателя системы с ограниченной матрицей. В кн. Системное программирование и вопросы оптимизации / Под ред. Л.Н. Королева и П.С. Краснощекова. Изд-во МГУ. 1987. С. 200 -201,

гз

19. Мальков К.В. К вопросу об оценках ляпуновского спектра линейных систем дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В кн. Программное обеспечение и модели исследований операций. Иэд-во МГУ. 1986. С. 186 - 196

20. Ильин В.А,, Мальков К.8., Моисеев Е.И. Базисность систем корневых функций несамосопряженных операторов и интегрируемость ассоциированных преобразованием Лакса нелинейных эволюционных уравнений. // Дифференц. уравн, 1989. №№ II, 12