Метод операторов максимума для регулярных задач оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

нл'шсшлнш! ЛКАДПт 11л.ук укгли!ш инстит ггиклллнои млтемлмжи и ме:^Л1 п*ки

не гол операторов максимума для регуляиш эаллч о! iт тллы юг о >11равлеья1н

01.01.02 - ДИ-МоркИЦИЯЛЫШВ уряПИйШЛ

Автореферат диссертации ия соискание пяуппсй степени клцппдатя (¡лгзпко-иатемяттгчсскях наук

На при'кгг птотшп

Л'ТА1Ш;МИ> Николай Николаевич

Антик - 194«

ГиО'-ла иииилиииа в шлшшсз НАЛ Унраини

Ииитлтути »¡'¡тгладиоа ц;гп!мат:.ши а

Имучнии рукоиадагьдь икьдьмик НДН Уиришш.

А'штор .['.пики -и^тьма'шчсисах иаук, К||г4^(;сор Ншишч.-ш'д ЦП

Орлциыьнш ышоиоити: доктор физ.-ма-г. наук,

щхфнхор Чшсриа й.Л,

доктор ({иа.-мат. наук, кр,)!{ессир Ковгшш Л.Ы.

Подущая сргышаации: ШшисклИ гасударстн&шшй

уииаирстог им. Т.Г.Шончмшо

Зацата сиетонтсн "¿<6 "СХ771?/>$ Нпи г. в /¿Г чье на заседании с1шциализи{Х)1)Ь1июго совьта Д. Oo.OI.OX по ирмоум-дшмя научно!! степшш доктора фшшт-матештгшекнх наук при Института прикладной математики и механики 1Ш1 Украины но ьдрасу : ЭЮШ, г. Дривцк-Ш, ул. Розы ЛюксамОург, 74. -

С диссертацией можно озннтмиться в научной йисишютьке Института прикладной математики и ивханшш ПЛИ Украины.

Автореферат разослан "<?1994 г.

Учений секретарь сдациащкщровашюго сов&та кандидат физика-математических

наук ■ ьО.Муъы^*- ^«овешй

ОБ!«ДЯ ХАМШ'И'ИСТЙКА iilLOIU

АКТУАЛЬНОСТЬ ri'-M'j, Cpt-ди '.'HiiJieiiiiui мстодиц ¡«шании аа-дач оптамальноте улрапялтш од:№.1 из тцтсгг.й иенилъзуамих нн-

лнвтс.ч mu'1'од посльд'лзатйлышх пр'.юяи.'соизя litül), i! ошюьа

itoTojioro льжнт адг-m ярнманиння иринц^чз максимума Понгряпш t для решения задачи со сьооодпмм нрьнцм концов и закршммшпь! врамьн&м по схема, характеризуемой точшм сг.-олздэиаом условия тренсиарсальиооти is иенязкой в условии мыссимумэ. Пря:-тейвий МП! бил првдлоэан а П-вй г. А.И. Кршмгим и Ф.Л.Чер-. ноусысо. Практически одноиремышо с тыл йналогичний ripiüjfi предложили H.I. КеПеу, И.К. Koop, Hal. Hnyev, а шскольки позднее ».К. Gottlieb, оказалось, что прастаИчиЛ МШ1 сходится довольно редко, к связи с чей были вш1юлншш многочислен -н11й ш,'слздока!ш}| по p!:3pf;obtkcj ряшшчшх моди'ршщий МЛП и иссл0доейшш их сходимпстн.в зтлх исследованиях ht-ряду г! йн-торйЖ! метода upiü(ii;i:i учеота& Ь.Н. Алагсссидроп, H.H. Ei;;>'iio,

0.B. Вагильви, A.A. .'Iw5y"".m, U.A. Срочко, Л.'Л. 'Глт.мвги,

1. Berdum, К. Norte и др.. в результате вола еутэстьоьш) расширена оЯльсть нримемияия МШ.

Анализ upocrolMax-o КПП и упомянутых era шдлфи.'шния пакэзшшот, что лажащзн о их оспана эдяд пр.мънаияя приюртна максимум.'! Поитрпгина для рмаения укапанной задача но хот бить интерпретирована как редукция этой задачи it сыскана» неподвижной точки одного из QTBouesiijiix ей операторов максимума. Всего при определенных условиях m;s£jt бить построено пять таких операторов: два в пространстве управлений и три и пространстве траекторий. Такой способ использования принципа максимума кратко называется методом операторов максимума.

Строгое математическое обоснование этой редукции приводит к необходимости разбиения множества всех указанных задач о точки зрения однозначности операции максимизации функции Гамильтана-Лонтрятииа по управлении нэ три класса: регулярные, квазирагуляркне и сингулярные задачи. Метод ош-раторов максимума мотет бить применен только к парвнм двум из них, причем с существенными отличиями, в связи о чем его изучение ложно проводиться для агчос классов задач по-отдельности и начато с регуляршх задач.

Оказалось, что регулярные задача заведомо «моют решения

и класса нгщ.кц.ш.ашх допустимых упрмолштй. Поэтому п'пфитшм для нж тттся только дла вопроса, а кмвшто: едиистивщоугь ракоти мдачи и рго зМяктшглоо отискашю '¡'.raatmuwi мчтоду.чл. В stc.'i стэи ouoOuîi интерес продстзвля-от щпт'липг.'л длл «осладотаинл пдинствогтасти рвиедая аздачв •WÎLVVi ОЦВрЫТСрОП МАКСИМУ!,« 13 СОЧеТ.ЧШК и МЕТОДОМ иродсшэ-j'iui по параметру, ид.чгош адвсь позндаэтт большие трудности, о'язатк/о с проблемой напр'^ршмой дп|ф«фО!щнрувмости онера-tc'jï?}? mïkd!l4vms.

!Ш.1Ь ГАБОТН. \. Осуцостаать мзтаматачееки строгую формализация метода опоратортп максимума в прострчнятш» упряв-линий дли ^гулярных задач и изучить свойства получаем« прт атом онорпторпв, а такта свойства такта аэдач.

2. lia примаро частного случаи пвлгашНиоН сильно регулярной зчдвчи изучить возможности сочетания методов апорато-].<;» максимумз п пространство управления к продолжения по параметру для исследования оданстпэнпоста во ¡гарпия и опрв-дплить пути преодоления здесь трудностей из ~ па нроСляш Htr.ipopuuiuift диЭДортгцяруймости ошраторэ максимума.

3. На щжюре М-рогулярной задачи пряк'пгюешго пронс-яоэдвтт кронасти сравпитвлы«!* анализ нр'.ышюпия дкЯ во ратания сла)р'ато]*.;п максимума и пространство уармшпйй и прустрянг.тио CLnlpll.riIlïHtîX траекторий.

ЦЕГШрКА ЙССЛтЛ!АаШ. Оиптештячесхи придааяюгея метода и результата теории оптимального уирагигаштя, теории оотшшеншга дшМоренодальянл уряпняииЯ, функционального анализа, а такхо ненользуггтея чиояшппш иотодн.

НАУЧНАЯ НСЧП'ЖЛ. Шшриио дано матемэтнчоиси строгое иОоеновашэ- метода операторов максимума, видолен класс М-рогулнргат задач и изучении их свойства. 1!|х;дамснстря)>опа!ю irji'OQ нргаочонио катода продолагешл по иарямвтру, зяклгтчяп-UiSacn и в г о использовании для доказательства единственности оптимального унрашюняя. Показано, что зтот путь приводят к лгншм алгоритмам дяя числе илот хюипния задачи на осяглзэ метода Ыьглчшэ - Канторовича, для которых просто решается проблема задания начального праблтшия.

ЦГАДИЧКСКАЛ И ТЕОт'ИЧШШ» IffiMDCTb. FartoTa носит тв-с-ропгтокиД характер. Вмактэ с тем она и.чоот и вахиоэ прзк-т:ппсяоо значение. Усиальзожтда ва результатов позволяет

строить аДОоктшшив алгоритмы часланноги :шдуа1,

каторно одновременна дают ин^прмацил о оги вдинстиацности.

АПРОБАЦИЯ РАЬОТЦ. Результата диссертации докладывала *•!» на Ьсасоюзноа вколэ -- сомишрв по шггамалгль'ллу уиршишшш (Киев, 1 У7?), V Всесоюзной копающий по управлений в механических системах (Казань, 1), на семинара кафьд;« теории оптимального управления Иркутского государстшжнгл'о университета а 15Й9 г., на сьаанэрв "ТьорШ! оптимального управления" Научного совета но проблема "Кибернетики", научном саминаря отдала нелинейного анализа ШШ НЛН Украинн и др..

ПУБЛИКАЦИИ. Результата шполывшшх исследований отраья-ны в работах 11-5). »

СТРУКТУРА ц 0КШ1 РАБОТЫ. дисснртациошпш работа гола-авиа на 1&0 страшщах и состоит из «надопня, трах глин, заключения и списка литература из £ $ наименований.

СОДШЦНИК РАБОТЫ.

Во впадешм оОоснонываэтся актуальность тймц, формулируется цель исследований и дается краткое описашш работы.

В глава I излагаются осаош метода операторов максимум в пространства управлений для задачи оптимального управления со свободным правим концом и закрашшннии враивывм в ва ой-с;ай постановка при обычных (стандартных цреддоложэншк). Глава состоит из четырех параграфов.

В парвам параграфе осмеивается постановка задача в ее ааиОолеа общем вида, даатсп формулировка принципа максимума Понтрягина, астествашшм образом приводящая к понятии огюра-тора максимума, и излагался некоторые вспомпгатвлыша результаты.

Согласно общепринятой постановка указанная задача заключается в том, чтобы в заданном класса О допустимых управлений геП^,^], найти оптимальное ио (■), кого-

раэ доставляет минимум функционалу

I

1

Ки(<)> = /1°и,х(г),ии)Ш; + вйи,)) {1>

I

о

пра связях

(I X

J<t.x,u), t£lt.o,tfI, *<t„) = t. ' (2)

гдч irisrrup 4 и momohth п[)омшш t0 < t( фдасировэгш. Она д<?хгчр хдшищтпорятъ чотирэм тт нззмвеомю» стандартным ирч.Т-Ч-кярнигч. Ипрпив три ita mix продстштют собой шзиОо-ето прчдаолпжетш нринципл мяксичумя Ионгрягиня, а

посэтдтэ ир'лдусмптрте.-'Э'г, чтоОн ися:сс:му и С <) с U отвечала пдансттонипэ рршняэ гшд'пн (2) х(t;и(.)), определенное для г tf 1, t( 1 и щг.тячяидэв значения и некотором шпуклом Hoini.j.'tro ХЦ.П) с е1 Задача (I )-(2), удпвлетнорявд,яя этим П|!9ДЧ:).Ргг::НИЯН нззнчзется кратко 5-ппдячвЯ.

Пусть D(i,(J)=|x( • ;и( ■ }):и(. )t«j. Согласно принципу мак-

симута Ниитрлгкна кшкдой допустимой. пнрэ (х(- ),и<-) )(П(1,П) г il етзЕИтся и соотвйтсттао "соиряютюяя" траектория <|>(t)-),и(.}). tctt0 Д, 1 .которая является рошештом задачи

- l'(t,3(t>,U(l))<l> + f°|t,x(t>,u(t>),

(3)

= ~ Д^хИ,)).

Пусть o(D.n) = |ф(.;х(.).и(.)): *(■> е D(£,n). u(.) е £1)] .

з c(il) - его шданозшогво для изр (х(<;и(-)). и! • )),»(• >ciJ.

Рпрадчденяп 1. Упрашингив и (•) с П нязиияотся Н-мак-симэяизгч етпэситэлыы n.nju трэпкторай (х(- ).'!>(•)) е D(t,U)« 'П ilJ.il), если оно для почта не ox te L to»1 доетявляот вдоль гг?е> ткекчум фуганрти Гамильтона -Понтрлптяа

H(l,.x.iJ>,u) е -i"(t,x,u) + I(t,x,iJ)> (4)

гл и е II. гдэ И с Е'"- »шшэство допустимнх аначенлй и.

Огвачпщг'в ¡З—задчча швжзотво всех во Н-млксимялшнх тпрешязняЯ свознэчвогсл чероз Ом.

Tpc[f;ns 1 (принцип млксимумл Ионтрягшз). Егля уирапло-янэ »„(■) с il ясляэтгя штималышм в S-звдэчв, то оно отноептчльпо отгачвгячяй э.чу иарн тряок-

торий ixl• ;uu(• ) 1 .<1>1 • (1 ) 1 > e D(t,fi) • a(tt).

В оставшейся части параграфа устанавливайте»« используемые в дальнейшем свойства ft, D(£,fl) и o(D,fl). В частности доказано, что всякая функция ф(') e o(D,ii) принимает значащи в некотором шоу клоп компакте В (В, О) с Ег.

Второа параграф] посвящен конструктивному представлении Н-макш&шлышх управлений и вытекающему из пего построении соотваствупдаго простейшему ШШ первого ошратора максимума в пространстве управлений Ы4(и(>)), и(>) с П. Пусть Q ойо-значаот некоторую окрестность компакта ti - Ito,t41 « X(t,tl)« * tî(D,fl) в К1» К"» Ег, принадлежащей области онрадаления функции (4). Поскольку для Гфоизвольаой точки (t,x,ij))£0 операция максимизации функций ¡4) по u i U является многозначной,вводится понятие Н-максимальной функции задачи u^it.x.ijj), (t,x,i|))eG, при некотором правиле шбора U. Подстановка в пае пары (х(> )•<{>(•) В(£.11) « о(0,П) приводит к управления

û(t) = uïIt,x(t),(|)(t)l, tel^.tj. (5)

Теорема 2. Какова бы ни онла S-задача, порождаемое вы множество заведомо па пусто а состоит аз управлений (5) при всех допустили для нао различных правилах шбора И.

Формула (5) задает определенный для (х( • • ))еЩ£,П)« a(D,fl) оператор Намыцкого Ы(х( •),(}>(•)) со значениями в П. Если сузить его на подмножество нар (xl • ;и( ■ )),tj>l■ ■ )П, отвечающих одному и тому ащ и( • ) ç О, то получим оператор Ы4(|{и(')), который в обцем случае зависит от правила шбора И. Поэтому напрашивается идаа выделить класс задач, для которых вдоль любой пари траекторий (xl»;и(•)1.;и(•)1), и< • > е й, операция максимизация функция (4) по u e U является однозначной. Такие S-задачи называются Ы4-регулярными, в отвечающий им оператор Ug(u(•)) обозначается через Ы4(и(')). Поскольку всякая допустимая траектория х{»;и(>)1 по прадполоаанш) принимает значения в компакте X(t.O), а всякая допустимая траектория t|)C- ;х(- ;u(. )),u(. ) 1 по построении принимает значения в компакте Ш(О) с ФШ,П), вводится

Определение г. S-задача удовлетворяет условию Нерегулярности или является М1-регулярной, если для всякой точки (t,x,<|>) е a^l^.tj * Х(£,0) « ®(Q) операция максимизации

функции (4) ш и £ и является однозначной.

Окезивяется, что осла несколько изменить ато условие, то шзмояня модификация отюрэтсрз М( (и(>)) за счет исклпче-ния ) из сопряжэниой системы (3). Осуществлении втой мо-дпфикагрм посвящен третий параграф. а

Предварительно- вводится в рассмотрение класс слабо регулярных Б-задач. Они характеризуются том, что для пих существу нт область Со с й, где определена однозначная Н-мпк-симзлыюя функция иЦ.х.ф), и непустое подиногэство Ш0о) пар траекторий (х(-.,11) « о(Й,П), полностью расположенных в (10. Если для Б-задэчи указанная область совнадает с К, то токая задача называется силыю регулярной.

Теорема 3. Для всякой слабо регулярной Б-задачи сужение отвечающей ей Н-максимальной функции и(1:.х,ф) на Со является непрерывной функцией.

Теорема 4. Пусть Б-звдяча является слабо регулярной. Тогда каждой пара траекторий (х (•'),(])(•)) е 51 (0о) отвечает единственное II - максимальное управление

иШ = 1И(х(. ).<!>(• ))Нг) * ии.зЦМ.фШЛ, -Ь (б)

которое является функцией, непрорывной на

Эти теоремы позволяет- исключить управление ии) из сопряженной системы (3), после чего задача (3) для попятного времини 1 - 0 5 4!! принимает вид

й 4>

--= 1*и,х(1;),ии,хШир))Ф - ^и.хиьшг.хт.ф)).

Л г *

(Т)

ф(^-т)/ =-^(1(1,)).

Указаны услоння, при которых для всякой х(')еВ(£,и) задача Коши (?) имеет единственной решение, определенное для всех I . Оно обозначается через <|)(• ;х(•))» а

семейство всех таких решений - через о(Б).

Формула (6) рассматривается как соотношение, определяющее оператор Ношцкош М(х( • ),ф( •)), котордй отображает свмвйстш Ю(Е,И)*с?!13) в П0. Его сужение на подмножество пар (х1 • ;и( ■) 1,ф1 • ;и(.)) 1), отввчаядга- одному и тому асе и(>) е П, порождает оператор Мг(и(-)): П + Ц,-

Этот ОШф.ЧТСр В ОбЩЗМ случяо ОТЛИЧЯОТСЯ ОТ H(u(')) а напивается мода&лдеровэшшм онпрягорем максимум п пространство упраплоний. Из ого постровшм внтокает, что вмосто киюлнвшм условия сильной регулярности достаточно требовать, чтоб« енползщлось боло о слабло условна ^-регулярности.

Определенна 3. S-задача удовлетворяет условия M^-регулярности, веля для пае найдется компакт ®(D)cE такой,

п

что для всякой точки ( 0j - tt^.tj « X(t,H) ' Œ(D)

опврация максимизация функция (4) tra u е и является одпозначной и для всякой допустшадй траектории х(0 отвечающая эй задача Коки (7) однозначно разрешима для ecsi т е tD.tj-t^], причем эо решения ф(-;х(>)) пржгамяот значения внутри Ï(D).

Если S-зядача удовлетпоряот хотя Он одному условии -регулярностл, а - 1,2, то она называется М-регуллрноЙ. Такие задачи ойлэдаит радом важшх свойств.

Эти свойства изучаются н заключительном, четвертом дараграфе глави. Проядо всого доказнвэотся таор?ча, которая шэляется обобщэгшш тюлапгиюЯ теоремы В.Т. Поляка (см. Поляк Б.Т. к теории нвлянайшх задач оптимального управления// Зестник MIT, Cap. матом, и мех. 1960, Я 2, 0. 30 - 40).

Творена 5. Цусть S-задача удовлатворяет условйп ¡^-регулярности, а = 1,2. Тогда: 1) раоганив задачи ио(.)еП ?уг,г)ствуот; 2 ) каздое рвшвнив удовлетворяет уравнагпго

и(.) - = О

I с точностью до класса ягапгозлентности является функцией, тгрернвпой на f tQ, tj !.

По сравнения с упомянутой тоороиой Б.Т. Поляка эта re о ре мл minor болеп широкув область примечания.

На основании тооремн 5 для всякой Ма-р9ГулярноЯ задачи uincc допустимая унравлпштй ютгвт бить сужоп без потери мшзния до подмножества П0 -няггрорншшх управлений ц( • )ç О j одчопромогошм сужением на fl0 оператора а - 1,2. Доказано, что при некоторых дополнитольшгх нрэдположаниях атя сужения M (ut-))» а = t ,2 являются ваолня нвпрврнвннмя зпораторами и удовлатЕоряпт па 11 з условию Лишяца:

|^«иг(.)) - * 4aÎV> - М')1м-

- 1 и -

Не:lio. что если в рассматриваемой аадачв для какого-либо аМ ,2 значение ^((0,1), то для нее оператор Мя<и(-)> являет-сжимаюцим на Нц. При атом задача имеет только одно решение ио(0 е 0о, которое мо*от Оыть найдено простейшим Ш11. При оценка с^ /, а = 1,2, ключевым в теории Ы-рогуллр-вых задач становится вопрос о том, имаат ли отвечахщий данной задача оператор Ыа(и( •)) единственную неподвижную точку или же Оолее одной. Один из возможных подходов к изучении втого вопроса состоит в использовании идей метода продэлятия гш параметру. в елвдущих двух главах а тот подход изучается для двух вахящх частных случаев задачи (1 )-(2), причем в каждом из них ои осуидестиляется по-своему.

tio второй главе атот подход изучатся на примере S-задачи , щыдсташшнцай собой естественное обобщение известной задачи оптимального ущшиления линейной системой с квадратичным критерием качества. Глава состоит из iuith параграфов.

В парном из mix дается постановка задачи, формулируются предположении, при которых она изучается. Показано, что при втих предположениях она является сильно регулярной, а значит М,-регулярной и но теореме 5 имеет решение uo(>) е U0 с с 0(lto,tt),К"'). Обосновывается применение для исследования его единственности метода продолжения по параметру.

Во втором параграфе щюизводится параметризация задачи с помощью числового параметра в е 10,1], после чего соотношения (1) и (2) для иеа приобретают вид i

1

Кв(.).е> = f ir°(t,x(t)) + ь' (t.x(t))eu(t) + i

0

+ i u'ttiRtDultildt + Btx(t,)l, (b)

2 1

d x

— = i(t,x) + B(t,x)eu, t el^.t,], x(to) = t. (9) d t

Здесь ii(t) - положительно определенная матрица v t itt0,t 1, класс допустимых управлений состоит из множества tto всех непрерывных функций u(t), удовлетворлыдм ограничению

u(t) í и = {u е lu'i 5 Uj, к - t . ¡n| (1П)

njni псая t ç tt^.tj, гдя ч^ > О - заданные числя.

При 0 = I задача (О) - (КЗ) сшпвдчот с исходной, в при 0-0 una шапт одинстпетпюэ тривиальной porte низ

. uu(t)=U, t « ttn,ttl. (11)

При произвольном 0 ç (0,11 ¡пучатся споЯстпя 07пг)чаы:;«а задача (И) - (10) Н-максимальной фуикцхгл u(t,j.'P.G). Показано, что она но япляптся глпдкой но вспЛ оПласти О = G « » (0,11, но удошютпоряэт траоуамому услсшш Лшкпгца по i я ф, откуда слздуот ео М3 -регулярность.

В тротьнм параграфо строится оператор максимум ííjCiKO.O) и задача снодатся к ретпшшя уравипнил

u(.) - M^uf.j.e) - О (12)

для всох 0 с (0.11. Наказано, что в оОщрм случая только для достаточно мал« О > О опарптор (и( • ) ,9) является схи-мяэдям. ! lo а тему для внлепонял единстпотюоти рашвния уратнтния (12) яри пса*. О с (0,11 пригшжяетсл извеспшП щгл-jw.x отсутствия и атом щх'мпгуткн точен »отклонил. Поскольку оператор (и( • ) .0) в oöküm случао является води.}; -форопцяруа.чнн, то он заманяотся "сглатонннм" оператором максимума Нг (Г( • ),0). гдп допустимое управление 1'( • )-гладкая ип I to, tf ! '¡7¡'j'vH'-v4, со значениями в некоторой окрестности V с к'". Соотпотстпогаю урапппние (12) преобразуется к виду !'(•)- МП>( •),«) = П. (13)

* г»

Построение оглаяшптого оператора М2П'( •),*>) осуществлено я четвертом параграф. Тан жа показано, что М,{1'(').°) обладает тробуедами дш1Фэронцялл1>ттмя свойствами, если пштолнлатся условна парохода. Оно заключается в том, что каждая компонента гладкой токтпр-функции l'(t), t £ ttQ,tt), можат лпресокать соотяостнуяцуя грянь параллелепипеда (10) но Полео, чам Конечное число раз о понулвпоП скоростью. При я том производная Kalí и(1'( • ),9) опроделязтея чораз регаапия двудточочнсА краевой задачи для липа Иной неодао})ОД!юй системы дгтфКфаппиалышх уравнения в вариациях.

!! гюсладчом параграфе глав» изучаются требование яппрернвцой обратимости оператора 1 - < ' и в,|~

текяяг",ая из наго единства тюсть регеопия исходной задачи. По-

Ш13ШЮ, что это требование выполняется, и ела матричное ураипишш 1'иккати. используемое для решения указанной краевой задачи для у равными в вариациях, при соответсвущем начальном условии разрешимо на всем отрезке 1, г,) • Тогда урашшнш! (13), а шести с нам и уравнение (12) однозначно разрешимы для всех 0 4 (0,1). Отсвда ьытекаат единственость решения исходной выдачи.

11{хнюдандао доказательство однозначной разрешимости уравнония (13) для всех бе (О.П приводит к алгоритму ого численного рошшыя на основе метода Нытлш-Канторовиче с использованием и качество начального приближения управления (11). Его реализация придусматринаот пропарку но ходу численного решения задачи условий, обоонвчиааицих да{ференциру-мость Иа(»'(').в) И непрерывную обратимость оператора I-~ ' й итого получается информация, позволяю-

щая судить, что найдвтюе рошениа единстввино.

Ь третьей главе рассмотрен щшмар 5-яадачи (1), (2) цракти'шскоп) происхождиния. Она выступает как венотгатоль-цан задача нрц применении метода двойственности для решения задачи оптимального управления елоктроприводпм на основе целиной лпй модели привода. Для правомерности прнменышя этого метода требуется, чтобы для любых допустимых значений двойственных переметах вспомзгательная задача имела единственное решение. Поэтому основной цель» исследования является проверку выпшшшшя атого трабовения, которая осуществляется о шмощьв метода продолаания по параметру. Глава состоит из семи параграфов.

В первом параграфе дается постановка исходной задачи, указываются полазшш для дальнейшего ее свойства и обосновывается принятый способ ев решения.

Во втором пнра^щфе формулируется вспомогательная задача и осуществляется вв параметризация с помощыа числового параметре 6 е 10,1 I. Для параметризованной задачи соотношения (1) и (2) принимают вид т

Ки(.).ВД) = |{[р,+-(1-в)рэ1(ии))г+ Р2111(1)1 +

о

+ ер^ту'ш - ^(х'сл-а) - л^т), (14)

- п -

Л I1 , Л хг , d X9 г ,

—— = I , —(1-Х )и,--- (Ofcu*- х')с, (15)

il t tl t d t

x'(□) = xl(□) - x'(0) = 0. (16)

Класс О допустимых управлений состоит из кусочно - unnjio-punmjx функций ult), таких, что пра вспх г е 1П,

u(t) е U = |u е £*: fu,l а|. (17)

Изучается свойства пял.тт (И) - iff) npi произвольном 9 е е (0,11, в частности, свойства отяочялцчй ой Н-мвнсямалыюй фикция u(t,х,ф,0). Показано, что ятя задача является Мл-рогуллрноЯ при доцустимих значонидх своих пярянптроп,

по по является я обедам случав М-регулярной.

В третьем параграфе рассмотрен случай 0 - U, когда зч-дзчз становится линойпой и донуснгдат рякепио в попом виде. Построопо это решения, и изучены ого свойства, указано область Л допутимнх векторов Л = !Л(,Л,).

В четвертом параграфа cTjtoitTcn отвечащий задаче (14) -(17) оператор максимума М, (и( •) ,9), теле чего она сводится к отыскания реишшй уравнения' вида (12). flu теорема 5 сто уравнение имеет хотя Он одно ранения для всякого о е Ш,П, причем, согласно розультатпм третьего параграф«, оно единственно при 0 = U. Строятся априорныо оценки, из которых вытекает существование значения R = 6(с (0,1 J, такого, что для всех 9 $ 0( оператор М (и(>).0) является сжимопцим, а уравнение (12) иявот единсгптшое рошоняе.Из этих оценок елв-дует тага®, что 0,= 1 для всех достаточно малых Ii > 0.

Вместе с том чкелошгаа решение задачи показало, что если в качестве начального приближения принимается оптимальное управлв1шэ при 0 0, то последовательные приближения

сходятся практически для всех рассмотренных частных случа-вп. Конечно, это т mmят служить основанием для утверждения о одшетвоняоети решила. Необходимо рассмотреть ввеь промежуток 0 < 0 5 1 и у Отдаться в отсутствии точек штвлетгя. Такое исследование проводится в пятом и шестом параграфах, для чего используется спорзтор максимума в пространстве

сопрнжиншх 'хриокторий Тв (tjj( •) ,6), • )»в) to(U)'IO.I), и соотвьтстианш вшсто (12) рассматривается уравнение

ф(0 - \(<]><■),Ь> = U. О")

Установлыш условии, при ниишшйнни которых оиьратор Т0(ф(').в> обладает тръбуеиимл свойствами, а уравныша (1Ь) одшонмно разрешим.) для нс:ех ti ( (0,11. Их шшзлшшш для достаточно малых 0 > 0 сладуот из нолучешшх апршраих оцыюк, а в йбл'фи случае шзтт бить логш проверено в процесса часлшшго рйшишш задачи, осущостилиаиого но алгоритму иа основу мигала Нььл'она-Канторовича.

U uojKiTKOM нослвдньм параграфа ироводаи сравнительный анализ нршзиишш онвраторои М^ (и( •) ,Й) и Т0 (Ф (1), В). Нснользонгшаа втсцклх) оператора насколько более слоааю с алторитиичаской точки аршшя, но зато позволяет судить о единствоншитн раиышя задач« для всей области допустимых паршатрон, тогда как использование парного шьратора-толыю для некоторой налой ао части. В коица параграфа для шшютрэцни рассматраиаотся конкретный иримор задачи, результат! числштого решшшн которого приведены в пршктзния.

основный ¡-'кауль'мти f'АБС/ГЫ.

1. Построен мытематичекжий аппарат катода операторов максимума. Выделан класс Ы-регулярных задач, допускающих по-CTjxiaana одного из операторов максимума в пространстве управлений ы (и(<)). и (и( •))•

2. Доказано, что Ы-регулярные задачи заведомо имеют решения и классь непрерывных допустимых управлений и что сужения на него Mt(u(.)) а Ыг(и(0) являнтся вполне непрерывными онвраторами и при некоторых дополнительных предположениях удовлетворяют условию Липшица.

3. На приморе малинаИной сильно регулярной аада ни разработана методика исследования единственности оптимального управления путем продолаания но параметру ращения операторного уравнения с модифицированным оператором максимума в пространстве управлений. Для преодоления возникаицшс здесь трудностей в связи с проблемой дифференцируемое™ И,(и(<)) предложен нриам его сглаживания. Изучены свойства сглаженного оператора я установлены достаточные условия единственности рошшшя задача.

- L5 -

4. Иродаоадш пришр задачи иришгачшашш »¡хшшоодиш*, LI, -регулярной при jartux допустил аиачаааик. яг^раметреи, ил па являщайся в об'дам случка {^--регулярной. Ни oti притом разработана ттодакз исолидованш» едаас-яззнтсги оипктию-it) управлении путем продолжения но параметру }мзшения операторного урцвитшл g оператором максимума в прпглр^тпш сопряжении! траектория. Показам преимущества итого сяосооь но срапавпиа с использованном модифицированного ошраторя иск -симуыа в пространстве упраплений.

, 5. Предложены алгоритма численного ршокии и-рвгулмртл» задач на основа штода Н.мшща-К.йпторйнпча, которич характеризуется двумя особенности«?,ш:

1 ¡благодаря иопользовйчлш штода продолжения по пьра-.м -тру просто решается проблема задавая начального првймшятн;

2) вти алгоритмы, как следует из рааультиюн третьей главы, иногда могут бить использованы и для числпшгаго pesia-пия задач с негладкими но упршшши*) фушсцпаня.ля'ла.

. Пользуясь случаем, автор выраздст глубокую ошгоднр-иость своему научному руководители акадьшку ИДИ Украшш, доктору физико-математических наук, про. Jo «сиру Fäo[incy Николаевичу Пшеничному за постоянное внивдых} и шшощь и работа.

список работ по тше даостщга • 1. Афанасьев H.H. Об одном подхода к решении задач ошгамаль-иого управления. Дотв1д1 АН УРСР. Сер."А".- 1971JM .0.3-7.

2. Афанасьев H.H., Коцегуб П.Х. Об одной задаче оптимального управления нозиндонним электроприводом.!) кн.:Творня оптимальных процессов. Киев.- 1972. ИК. АН УССР.С. 3-14.

3. Афанасьев H.H. К теории регулярных задач оотииалшого управления.В кн.: Иоде ларованиз и оптимизация производственных процессов. Препринт 78-80.КШШ.ИК All У00Р.С.Зй-4С.

4. Афанасьев H.H. Основа метода операторов максимума в пространстве управлений.-Донецк. 1969.-48 с. (Препринт/АН У OOP, Ин-т прикладной матам, и мах. Ji 2).

5. Афанасьев H.H. О доказательства однозначной разраашмости одной нелинейной задачи оптимального управления. Налит й-ные задачи математической физики. Тезисы докл. VI Роспубл. конференции,- Донецк.-1987.-О.