Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДВНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО SHtV'.HiEt ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специалпзированшй Совет К 0S3.52.13 по фпмгко-матвматическт неукам

На праСах рукописи УСКОВЛ НАТАЛЬЯ РСРГ.СОЕИЛ ■

. МЕТОЛ ПОЛОВНИК ОПЕРАТОРОВ В ПРОБЛЕМЕ СОБСТВЕННИК ЗНАМЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ BEÍÍT0F03 ЛИНЕйШИ ОПЕРАТОРОВ oi.oi.oi - caíпкзлнз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацш зга солскаюю учпноЛ стошки • кпвдздатя ф:зшх)-?.!.1т£?:'ат!140ыс1х тук

ÎSCÎ

Работа выполнена на кафэдрэ висшей математики и физико-магвш ткчэского шдэякровашя Ворошнского государственного техничэско го университета.

Научний руководите, иъ : доктор физико-математических наук,

профассор А.Р.Баскаков Официальные оппонент* : доктор физико-натвматическюс наук,

профессор Л.Л. Сохношга , ■ -кандидат физ11ко-матвмапмвских наук: доцент'Б. С.БарпосскЕЙ Ведуиря организация : ¡."псг.оьогхП государственный

5Н2серсстет ¿м.М.В.Лошносош

Звдта'состоится¿У* 19Э4 рода в и час. на заседания .гл-ащажзкроЕШЬгаго' 'соната К 063.52.13 го. прис-уЕДвиил учвноГ; сгвпаи! 1крда|д.зта физико-натематдчэских наук в Ростовском государственной 'уцгввроитэтв по адрэсу : 344104, г. Росгов-на-Доку, ул. Йорге,я.5| РГУ, иатвьатпдо-ксгшшчэскЕЙ факультет .

О ддесдртшцюй шар' ознакомиться б научной библиотека Ростовского государственного уюпзврсигвта по адресу :г.Росхо'в-ш-Дону ,ул.Дунйшская, д. 143.

Двторэфэрат разослан года

. УчвшШ секретарь адецишпзировлнного соеэтя К 063.Б2.13 доцент

О Б И А Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из самих растгростран&нных методов лэдования возмущеншга операторов является резольвентный метод, эсновэ которого лежит интегральное ' представление Коки экторов Рисса. Такой метод лэзгиг в основа исследований,лрово-нх в известных монографиях Т.Като, Н.,Пднфорда и Дн. Т. Шварца, .Наймарка.Однако, резольвентной метод имеет отгрэдвлбнные ' нетатки, связашшэ с выбором контуров интегрирования и оцегесами эльвенты на _ вибранш« гантурах ггри слояной •; гвометр;я1 ктра. Другим альтернативннм методом исследования возмущённых раторов является метод подобных операторов,- берущий своЗ ало с работ А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Н.М. Крылова, Н.Н.Боголю-а, К.О. Фридр;гхса и получигтий дальнейшее своб развитие в отах Р.Тернера, А.Г.Баскаковз к др. Основа метода подобных раторов состоит в использовании преобразований подобна исслэ-мого оператора в болоэ простой оператор, спектральные свойства орого легко изучить < они обычно бывают близкими к спектраль-свойстБам невозмущйнного оператора >. Ествствэнным образом ва-кает задача о дальнейшем развития метода подобии операторов и "применении к гак иозно болев широкому классу дифференциальных

раторов. Именно таким задачам посвящена настоящая диссертация. Цель рабош : дальнейпео развитие метода подобных операторов

возмущВлннх дискретных операторов, исследований зтим методом

а дифференциальных и Ш1тегро-дифференциальннх операторов,, соз-

ие модифицированного метода ГалЭркина в проблеме собственных

чений линвйннх операторов.

Метяодит исследования.В работе используются метода спектраль-твории линейных операторов, гармошгческий анализ, а также не-орые результаты из теории обыкнрввнных дифференциальных

операторов.

Научная новизна.В работе получены следующие основные реэу. тага.

1. Проведбн полный спектральный анализ некоторых классов невл. птичвсглх,интегро-ди(|фврвнциалышх и дифференциальных опвратор< ■ 2,Получена теорема о принадлвзгности отклонения оператора п; образования от тождественного нормированным операторным-идеала!

3. Разработали и обоснованы повыв.модификации метода ГалЭргс в проблвмв собственных значений.

4. Получена теорема о подобии возмущённого самосопрлкЭк» оператора оператору блочш-диагонального вида и на е§ оси получены оценки коэффициентов Фурье собственных функций диффер дальних операторов с периодическими краевыми условиями.

Геореетчесяоя значимость. Работа лосят теоретический характ £8- результаты могут бить использованы в различных вопросах спе. ралыгоЯ теории линеПщи операторов, при дальн&Шзеы. развитии тода подобных операторов, при исследовании дифференциальных 'О раторов.

Апробация работ. Основные результата работы дошпдывались

рОсуздизшь на оокикарая кефсдра ьадоггатлчоских методов исслу

гания операций Воронэгхюто госушвореатота ( руководитель про

А. Г. .Баскаков), на солмндро кафедры кгашй математики Ворошмжо

лесотехнического пнсгитута(руководитель нроф.С.Г.КроЯн), на ее-

шрэ в КЕМ ВГ7 ( руководитель нроф.'Г.И. лаяаов ), на со.млпа

кафэдрц шзег.ай аага%жина и § ззшодятечатичзвюго ыоделирова Воронеаскбго государственного тоитос:-.ого университета ( руко дигвлЬ'Проф. А. Н. Рсщупглн), на сеслнарз кафедра ^¿врвициаз!

УРобиошй Ростобмюго хог.удари2;ь;шого' ушк?глпета (-рукейод.!:-

проф. С. Г. Оа:::»;, а ааг-.л гл "Краткой оввшзэй матера

гаской шсолн-синпозиума (в 1990,1991 и 1ЕШ годах),иа Воронежской 'осенней математической школе "Соврэмолнне методы в творил крав-чпс задач "(1992 г.), на Воронеяской весите!! математической шко-19 " Понтряпшскив чтения -IV "( 1993 г. ). '

Публшхщии. По теме диссертации опубликовано 7 работ, которые . >траяаюг е5 основное содержание.

Объви и структура. рабсяы. Диссертационная работа кзлозена 'на 31 странице и состоит из введения,тр5х глав , раздэлЗшшх на 11 шраграфов, и прилозення.Библиография содоршг 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РА БОТ Ы ,

Во введении дана краткая историческая справка по рассмятргвав-

юму кругу вопросов, проводится обзор полученных результатов и 1гх

¡равнвша с другими работами, приведена кратко? содержание работ

В первой главе диссертация рассматриваются основные полоквнйя

штода подобных операторов, адаптированного к рассматргоавгаш в

Сиссертации задачам; и его' применения в спектральном алализв

гекоторых специальна классов дифференциальных операторов.

Нумерация параграфов в диссертация сквозная, нумврация теорем в

диссертации и автореферате совпадают.

В первом параграфе приводится абстрактная схема метода юдобннх- операторов, использующая так ' называемую допустимую ■ ■ройну. Выписываются основные нелинейные уравнения метода,.

грязодятся условия их разрэпимос.тл, основанные на_ использования

юхорантннх уравнений и принципа сжимающих отобраненлй. Во втором параграфа для разрешения полученных оператормх урав-

19Ш1й используется метод Ньютона (обычный .и модифицированный ). В третьем параграфа абстрактная схем'а метода подобиях

итераторов реализована при- изучении спактральшх свойств

1е0лшштичвского дифференциального оператора вззда

П - В2 *■ В в В<А> С И(У> Н(У) , х к у •

-- 6 -где Н(У> - гильбертово простанство комплексных, определенных I квадрате V = со.гхзхсо,ад функций с интегрируемым квадратом мс дуля и обнчшш скалярнш произведением.Область определения о <д)

состоит из функций <р (. н (V), имеющих ряд Фурье вида ф(*,у> - £ ,

и е 2

V , * ^ г г. , ^ < п- + и п ) (4^1"

................. .2

ГД9

■ п,т е

Ваззо откатить., что для оператора о тош:а нуль являет изолированным собстваншы значением бесконечной краткости. Рассмотрим ^знувдпш с е н<V» кзда

Шф)<и,у> - Ь.(н,у) ф(х,у> ,(х,у) е V >

., „3 -1,, у с - существенно ограниченная фушздия < ь < >

О х:зподьзогзнием' ывтода подобных операторов дзказаш теорег.п

Г е о р е л а 8.' Если выполвдно условна

и га I аир |Ь(х,у> | < - , <х,у>еу 4 .

то оператор о^-ни^о^ -ь подобен щлегральна-ди'^зрашсилыюму

оператору ездя

. сх Sz

' 1

< < Й-З-С) Г) «К,у) - (и ,у)+1С С Г<к,у)- —~ ь(х,у>их

'•ТТЛ О

С-X

01 л, у, и, у) ^ (и, V) ¡.¡и 1

О о

Г(х,у>с1

"II

здвсь'в« V2'-» е - суцэо?во:зш огрыпкекш 4у1иция.

Т е о р с а а Э.Спокгр опэраго]л *юно -ь состоят г - юю-естья вязчощй фунхц;«

^Ь<Х,V

йх » Ь (у) , (к, у) € V

2% J 0

О

точки нуль, не болев, чт сметного многества собственных значений конечной кратности, предельные тошен которого легат на кривой ь (у) и счетного вдела собственных значений Л ,

О п, ш

б 2 . причем I я + Пг + 1пгл | о при М + М ° , при

условии, что ь^ (у) не есть замкнутая кривая.

Метод подобных операторов пргшвняэтся в четвертом параграфе к оценкам собственник значений и собственных вэкторэз -.возмущенных операторов в случав, когдч спектр нэвозмуценното оператора имеет изолированную точку. Полученные оценки, в частности, адаптированы к получению эценок при применении проекционных методов в проблеме собственннх значений.

В пятом параграфе результата §4 применяются для вычисления асимптотики собственннх значений и собственных функций некоторых конкретных классов операторов, а тленно, интагро-дифференциалыга-го оператора, встречающегося в химической кинетике и опе-

• ратора Штурма-Ляувилля с полупврлодичеемп'н краевыми условиями.

Во второй главв метод подобных операторов применяется для получения асимптотических оценок собственных функций и спектральных проекторов возмущенного самосопряженного оператора д 1 в(П) с н н с дискретным спектром.

Результаты шестого'параграфа носят вспомогательный характер.В нем приводится некоторая техника, основанная на использовании рядов Фурье операторов, которая применяется в 57 для доказательства основных результатов.

Всюду в втой главе счигаптся, что о - положительно опрэдо-

йЗпий оператор со следукцэЯ асимптотикой собстЕэнашх вкачоннй Л <й) = cja + £Hjr>, а>о, o<r<ct ,оо. (з

J

Рассматргзгаемцэ. нами возмущения оператора я нодчию! дробной степени оператора я .и имеют вид

В » BQnv , BQ € End Н , (J

я^ - дробная степень оператора я при v £ <-о,i> .

' , Г е о р е и d 17. Пусть собстаошшэ зшчэния сЕпчсопряг.эн-ного подозительПо определенного дискретного оператора " допускает асш-штотическое представление гзда (1) с со г, опорзтор 0 ш:оэт вид (2) и выполнено условие- ct«i—i.

' " • ■ to

Тогда'сущэотвуат щадзтавяэнпэ спэктра 0«я> ¿эдц о<а>» и о

и--1 '

-1

;;f;<ct-f> ' 1г Натуральнее число такие, что опоратор „н-з ¡, ■ ояеглгору.блошо-даагошлыгого кда

,П>

■П=£10+1

то

¿0 »• 'J Ск | . р(Д - нрэекюрп Рисса noci*

о;бг:о по спог;траль;юпу йног.оству . А £ a«fl> и х - i:o:.otoi:: оператор вида , xQe н .

Оператор преобразования оператора fi-э . я окор-агар обозначив и » uix) . На оснсьсинш хьорс.л! 17 декг^ана ots&r тэорэма итого каратри;л о структуре оператора иргобр^лег.азш.

Т в о р.о Ь. a 10 .В лрт,АПС1013^лх тьер^.д: 17 щ,л в::-шлкзшл yc^oi ля

p-<a- ctv-f> >i , гкэратор и -i лт ¡r~:v.y, (/_«<>' : , с; и т,о;

- Э -

¡■2 и с сую.'ипурчкмя со отоппиьа р я -

Согласно принятой тор-ашологил . баяне f . гг^л , гдэ Эп " Ur,n 31 °п> Г|':,:1 -ортазоргаротштзй! ссстолгпи! из соб-

ственных операторов оператора я , нзаигзвтся р -оззиссч, вели эпэрагор 41-1) е ар(И) -В палом случая рэчь ад-Зг о р -базиса со

зкобкаггя, raí: как оператор °~3nx jrîddt блачно-днлгскзлм'уп патрицу. -,

В восклоя параграфе результата §7 щпменяотсл к кзолодогают

зпвктралыля про'опторов, де&стазугагяс в иростригсго» ,

где и - n-мерюо кошактноэ многообразно. Дэкж??'Л г"огз."ч.

Г е о р е л а 19. Пусть оператор: я и в удовзеттагпгл уставляя тсоре.ч 17 л JB с р=2 . Тогда :г,г?вг посто рлгэгатго

V--V — V '-

J u^ (н) u^ <y) " J e^ (я) a^ <y) + J ——--— (;<> (y)

i*»l,r> i«l,r> J"l|r1

l>n

b

1

ij

<X>B, <y) + , -(3)

- Д.. •>

'i J

ri

j>r,

; о ит,г n - Q, i <p . Зг*$ь , - col'ct-

Lp(f )KN> l

•onraa s:.»® оператора f i , - ccoir:^стгуггчо ср/э-'о].?;ирсг-г:!;:а:э ссбстгомпгэ ' Азарта, » - ссбстгэ;зг:о Сдоит*: ператора n - в .

iîc-si м - гладкое гс.чтоктпеэ п- гог 'ся îa»rcci?rt'"r-'9> л- тс.сп-этпкЛ no.':'.j.";s70."bîn;;l псевдол;'*Гтгтшггт.'::.;:" i rncp'îrn глг",г-а -'3 - 1Г:.';'.юр у::?с-гт::;! in "rivxim: ) г." v.-Г' г i"1-

м функции, тс при ' « > ~п непосредственно из теоремы 19 вытей

каэт предельное соотношение

lim I ^ u^Cx) и1<у) -^ei<x) ej(y) j

е (х > в (у) I ■ О

« i 1 i— i i lL xU

1-1 ' i-1 P P

<4>

где 1 с, p <Z.

Формула, аналогичная формуле (3), была получена В. В. Дубровсюс при предположениях сасосопряхенкости и ограниченности

i

оператора в к г + - > л. Предельное соотноазгав (4)

г-

та;=;е "било, получено этим автором при р и других условиях на ии п.

Метод подобных , операторов пршенВи в девятом ' параграфа

'.íU-)Hiaí4 коэффициентов Фурье собственных функций возг!ущЗнных днд

'„ официальных операторов, определяемых -лериодичвскими ' краевш условиями- ПрйвэдВм соответствующие результаты. '•

]iycrb собственшо значения X.'«) , для которых имеет ыесто

г ' О

асшштотическая формула (2), двукратные и допускают оцещсу

1\ ~.\±11 > CkCt_1 . ом .

. Пусть , J í I - ортоиоршгрованный базис, соиавлзнныП ообстввншк функций оператора я . Предполагается, что возмуц иие в i в<я) с н н имеет вид

£> « , BQ € End Н , Oí -yíl.

Цусгь <r'0Jj' - матрща оператора cq относительно рассматр

vionara базиса и ее элементы допускают оцзкку Const

|Ь |<--ЦЯ . .

(14- |i-J) )Ч

Теорема 20 . Пусть собственные зтчзипя ся/гасопрлген-ного положительно определенного оператора я с н н допу-

скают асимптотическое представление вида (1) и выполнено неравенство (5) . Пусть возмущенна в имеет вид (б), причем справедливо неравенство (7) и а<1 - г> > 1. Тогда оператор о- в подобен оператору блочно-диагонального вида

п - рхр - <1-р)х<1-р> ,

где р я Р«<Л1г>> п>« х=коо'и ^ реив]П!0 некоторого нелинейного уравнения метода подобии* операторов, причке элементы матрицы оператора хо в базисе в^ , J е 2 таете допускает оценку (7).

Примэнпч теорэну 20 к исследовании дп-даэренцкадьного оперл-• тора вида

а" йп-г а

i - --+ р„-- + р„---+ р — + р ,

. с«" 1 2 П"1 ЧЪ п

где п---2га , га» 1,2,... с 1ГОр:ГОДГГЧ8СГОТСТ ГОЗффИЦТГОНГШЛГ Р, >

,п и область определения о О сН-ь^со,ад гадаЗтсп крле-

Е1?.нг условляга и<к> <о>">и<и'<2х>, к»о, 1,...,п-1 . Пусть собстгон-

н»э нормированные {Дрикции о » и<¡2 оператора Г- гляэт Г-"!Д пвда

я ч) <* ^ с .ез1^

1« С-, !с, * ,

?

Г е о р £з л а 21. Пусть р^о, р^о д фушаги 1-2,..,,п-1 - разлагается в рядн'Фурьо

|ч1Л1 < --- ' V0 ' Ч>1

<1+.|Фч

Тогда.' для коэффициентов Фурьв собственных функций оператора . £ справедливы оценки

1С , I с .

1 к,I 1 " ,2

к1

п-2

С )

| (п-кп| 2

Эта яе задача исслвдоваласЬ Блатовым И.А. Сравнивая результат заметим, что они одного порядка, но ослаблено условие ч ",-2 <у и ч>1) к уточнены оцэнки ковффициеИтов Фурье. "Кромэ того, метод п добных. опвратороз позволяет выписывать последовательные приблид ния к собственным функциям возмущенного оператора.

Б третьей главе диссертации метод подобных оператор используется в проекционных методах для приблнивнного нахозедени собственных значений операторов и получения оценок скорост сходимости. Предлагаемый подход применения проекционных метод осуществляется одновременно с пргвлечвнивм итерационных метод ( ;.:втода последовательных приближений ).

В десятом параграфе получены оценки скорости сходимости < ал рцорный анализ» при Применений метода Галеркина и. различных его'кодификаций, построенных с использованием-метода подобных операторов. Такгв ' приводятся■оценки отклонения собственных значений-операторов, используемых -в обычном и модифицированных методах Гадэркцш от собственных значений данного оператора че рез. реально вшешыэ характеристики исходного и конструир! емых операторов < апостериорный анализ '.Приведем некоторые ре

зультаты атого, параграфа. ' .

. Пусть 'Я » »<п>'.с н -> н -самосоиряяенный дискретный оператс имеющий'собственные значения Х1,Л2,...Дп,... , в € ег,а и й

1

- 13 -

- простое собственное значение оператора о-г> .

Пусть On" pío^, й> - проептор Рисса по спектральному мкогэст-

г оп ___Дп> • Дчя оператора а строится послвдога-

¡льность'гак нэзнваемш допустимых троек < >п>1 » где

Ч х = а ха + и-а )ха-а > , х g end н ,

п п п "

трансформатор Гп 'End н End н автоматически задается по Зп • >г да, начиная с некоторого п , выполнено равенство (д-вм1+г хт» <1+г х> (й-1) х> .

П П "-П -

jcím образом, о<я-в) = a<o~3nx' , но нам известен"но оператор

а послэдоватзлыиз приближения к нему г.о методу годеСиг.г. статоров, причем первым приближением является оператор п .

Отметим, что оператор я~3 в " n-q 130 - <i_d >s<i-q > t,:onno r n n n n n

«дегавить в еидэ в -< n-o вп w н ©in - tl-q )BII-t •> ]/н =

л n 1[ n ■ " J 2

. +f» , h =Rer» q , h =Ran (i- a )', рассматривая как прямую

л л 1 л Е п*^

тглу двух операторов , пврвнй из которых к есть конгохзпрвдя ератор, испольоуемый в проекционных методах. Taicra сбрасоы,

ектр оператора 0_3ПВ есть объединение спектров a<fin> и а<я >

::;эний оператора n-¡3 в на н и но соответствзнш. 2ная cneuvp

эратора Я~3ПС > мы знаем и спектр его части л , н^ггосрт-дст-венно используишЯ в методв Галорклка.'

Пусть п -собственный вектор оператора Д-3* , огвочагп^й ссо-

л»

тонному значошю л. . Введем елвдущие обозначения

л - max / ца в*(1-г; Уо II , Jo яа-а 7- ¡¡ "I ,

Л I я П 1 " 1 И П 1 J

R = мах i II (I-Q )B*t3 e II , IIС I-Q > BQ e J ]■ , I " n n 1." " n n 1 J

(Í — так n

I IWi-a >B*a в*а e || , ti<i-a >ва ва ej T

t " n n n 1" " л n n 1 \ J

Теорема 22. Шоть a - p <a . я» , . Тогда. сущв-

n n

сгвуэт последовательность . e a<fln>' где вп*<й~°пВап>/Н1: H^Ran a^ , такая* что для всех, достаточно больйих, " шее' место оценка

- | « Г ( J32 +tt2 > + 0<t2e Р ' -

' 1 !п п 'п п'п

Для ускорит сходимости последовательности собственных зна •чсшй , получаемой в проекционных методах, слэдувт подправить мэ тод Галвркиш,- изменив последоватвльность конечномерных ппораторов, причем для построения таких операторов используется »¡ыод подобных операторов . Эту последовательность назове последовательности конвчномершх операторов модпфицированногс метода Галврюша. А именно, для прйлияенного . вычисления собст венных значений оператора будем использовать операторы

Я~3ПВ~3П<ВГПШ » а такие их супения на коночномэрныв подпростра!

ства • н^яап a^ i добавляется оператор 3 п на, вторам np¡ ближвнии в мвгадв последовательных приближений). .

Г е орала 23. Пусть а р<о ,я> , "¡si -Тогда,

п л

существует последовательность ^ собственных значений

оператора я - ffi-a ва -а шг b>q 1/н н »Ran а , такая, чт

И I П П П И TIJ 1 1 п

- 35 -

шная с некоторого п, имеэт мэсто оценка

,- и, I < Та[ 1'1-а >во | + аг И о во ц * а ¡3 +

1 - 1л' 'л1. п" л л п п п' 1У п

+ ¡3 а |(а ва-а ч 1 + 0« тэ5г > • п" П П ' ] п п

В диссертанта рассматривается такзш и другая модификация мэ-1 ГалБрюша. ' '

Заметим, что результат» леТко обобщаются на случай, если- л. -

мрованное собственное значение конечной алгебраической кратности, одиннадцатом параграфе конкретизируются результата 510 в аэ, когда известна асимптотика спектра' оператора я ц гозяу-5 В принадлежит специальному классу операторов, такав прк^оде-шечания, касающиеся практической реализации шдкфнцзгровзн-мэтода ГалЭркина . _ •• -

приложении приведена - программа - на языке Еаркяяь' о-Равса1) для мзвоэ нахождения собственных энзчэняЯ юра Ь I ши с и ГО, 213 и, СО,е*3 вида •

■ *г " " (11 <11 ' :) » - --Г- -- . иИ) , и^МО-сЛ1' <2зс>г 4»0, 1

„„г а

ъ I ■ .

м и, ;г,!одифнцированн1ш методом ГалВркина с использованиеч ме~ коби нахождения Сабствэшшх значений симметрической матрицы, эклвченйэ автор вырастет глубокую благодарность своему )у руководителю профессору Анатолию Григорьевичу Баскакову яловку задач и большое внимание к работе.• . -

ноишв рзпультзтн диевртацзш опубликованы з работая : •' • сва II. Б. 0 спектральных свойствах дискрэтшх операторов //

си докл. ввеоншй ВоронезсксЯ матоматичЬской с®лн "Понт-

- 16 - '

рягинсклэ чтения — IV",3-8 мая 19ЭЗ т.-Вороша, 1993г.- Воронен: ЙГУ,1993. -с. 189 2, Ускога Н.Б.О спектре одного ноэллиптического дилеренпиально-го'оператора // Тезисы докл. весенней Воронежской математической школы "Современные методы качественной теория краевых задач",4-8 .мая 1992 г.-Воронен, 1592г.- Воронеж: ВГУ,19Э2.-с.10Э ' 3. Ускова Я. Б. Об оценках собственных значений для самосопряжен шх операторов // Тезисы- дом. КШ.Ш-1 "Спектральные и эшлз цианине задачи".-Киев:УМК Ю, 1991.-с.15 4. Ускогз Н.Б.О моДЕфицароваином вэтодв ГалЗркига / Еоронез. ун

т.- Еоранвл,1993.-27.-дэп. в ВЖ1ТИ 25.11.93 2923-^93 .1', ; скова Н.Б. Об оценках в проблеме собстгешшх значений пр ..41.,проекционных методов для самосопряпЗнтн операторе ,'^рэнегг.' ун- т.- Воронеж, 19Э5.-12о.-Дзп. в ВИНИТИ 03.09.86, .. 65.37-686

Н.Б.О р-байквности собственник векторов / Воронеж, у) .„- Еорюнзи, 1993.-23с.-Дац. В ВИНИТИ 25.11.93 ,Й 2522-ВЭЗ 1М::6г.'1 Н.Е. Прамзнзние метода Ньютона 1: методу подобных ош Таторов N Тезиса докл. КРСЯ2-1*"Спвктральшэ и впиздюшя , задачи".-Симферополь: СД7,1393-е.в

шйЛб ее г. •Ыр; 1И

С .¡«см I чпе'-счлл:

и ■ и: J .,