Метод решения задач о взаимодействии трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Зайцева Екатерина Вячеславовна

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

ТРЕЩИН

01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2005

Работа выполнена на кафедре в Г'ОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

Лавит Игорь Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Пеньков Виктор Борисович

Ведущая организация: Институт механики МГУ

Зашита диссертации состоится 28 декабря 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, Тула, просп. Ленина, 92 (12-303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан ноября 2005 г. Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Митяев Анатолий Григорьевич

Л А Толоконников

Л/О

2 25574?

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Представление о разрушении как о распространении изолированной трещины часто оказывается недостаточным Экспериментально установлено, что в обпасти предразрушения - окрестности кончика магистральной трещины - образуется множество мелких трещин, заметно влияющих на напряженное состояние Зону предразрушения часто рассматривают как сплошную среду с измененными механическими характеристиками Адекватность такого подхода во многом определяется возможностью связать меру поврежденности с некоторым распределением микротрещин Эту возможность может дать метод, позволяющий рассчитать напряженное состояние массива, ослабленного системой взаимодействующих трещин Такой метод применим также к задачам прочности горных пород и керамик - материалов, содержащих большое количество разнообразно ориентированных трещин

Практическая важность задач о взаимодействии трещин делают их предметом теоретических исследований более 50 лет Разработанные методы решения различаются и по области применения и по сложности. И именно чрезмерная сложность оказывается в большинстве случаев их основным недостатком. Это естественно, так как весьма сложны и решаемые задачи Но искать более простые методы следует, и эта задача, безусловно, актуальна. Ее решению - разработке простого и надежного метода решения задач о взаимодействии трещин - посвящена настоящая диссертация

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантами РФФИ № 04-01-00247 и № 04-01-96708.

Цель работы

Целью данной работы является разработка нового метода решения задач о взаимодействии трещин (в рамках плоской задачи линейной механики разрушения) и решение этим методом ряда конкретных задач

Научная новизна работы

• Разработан численно-аналитический метод решения задач о взаимодействии прямолинейных трещин, позволяющий свести решение задачи к решению системы уравнений Фредгольма достаточно простого вида

• Разработанным методом решены новые задачи о взаимодействии трещин

Практическая ценность

• Разработанный метод позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках взаимодействующих трещин без ограничений количества трещин и их ориентации относительно друг друга

• Результаты таких расчетов могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости материалов, оценке прочности массивов горных пород и изделий из керамики

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с эталонными решениями.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г Тула, 2003 I ), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г Тула, 2004 г.), семинаре по МДТТ им. J1.A. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин A.A.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод решения задачи о равновесии нагруженной на бесконечности линейно упругой плоскости, ослабленной конечным числом прямолинейных непересекающихся трещин

2. Метод решения задачи о равновесии линейно упругой плоскости, ослабленной полубесконечной трещиной и конечным числом прямолинейных непересекающихся трещин

3 Результаты решения этими методами конкретных задач, результаты сопоставления решений тестовых задач с эталонными решениями

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, приложения и списка литературы Объем работы - 105 страниц, включая 35 рисунков, 18 таблиц и список литературы из 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Изложены основные положения работы по разделам Обсуждаются достоверность, научная новизна и практическая значимость исследования

В первом разделе дана постановка ¡адачи о взаимодействии трещин, которая рассматривается как плоская статическая задача линейной механики разрушения для плоскости, содержащей N прямолинейных непересекающихся разрезов (трещин) и нагруженной на бесконечности однородной нагрузкой. Расчетная схема задачи для частного случая, когда нагружение на бесконечности сводится к растяжению вдоль оси ординат, изображена на рис. 1. Поверхности разрезов не нагружены. В зависимости от расположения трещин противоположные стороны некоторых из них при ненулевой нагрузке могут, вообще говоря, соприкасаться по всей длине трещины или на некоторых ее участках. Учет возможности иалегания кромок трещин резко усложняет задачу и является предметом отдельных исследований Поэтому предполагается, что конфигурация трещин такова, что контакт противоположных сторон исключен.

т м т I м т г т

Рис. 1

Проверить справедливость этого предположения можно в общем случае, только решив краевую задачу и определив перемещения противоположных сторон трещин В частных случаях можно воспользоваться соображениями симметрии.

Можно выделить важный частный случай, когда одна из трещин значительно превосходит по длине остальные Значительному влиянию со стороны магистральной грещины подвергаются только те микротрешины, которые находятся в непосредственной близости от ее кончиков Они же, в свою очередь, оказывают наибольшее действие на ее поведение Поэтому достаточно рассмотреть взаимодействие макротрещины с микротрещинами, расположенными около ее кончиков Приходим к схеме полубесконечной трещины, в окрестности кончика которой некоторым образом распределены N прямолинейных непересекающихся трещин.

Для анализа прочности методами линейной механики разрушения необходимо знание коэффициентов интенсивности напряжений в кончиках трещин Вычисление именно лих величин нредегавляе! наибольший интерес, поэтому

ниже, говоря о результатах решения задачи, будем понимать под этим рассчитанные значения коэффициентов интенсивности напряжений

Сформулированная задача является предметом большого числа исследований В первом разделе диссертации приведен их обзор Значительный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли отечественные и зарубежные ученые А П. Дацышин, А И Каландия, M Л Качанов, A.M Линьков, Б Л. Лозовой, С.Г Могилевская, В M Мирсалимов, С А Назаров, В В Пана-сюк. В.Е. Петрова, О Р Полякова, Н.Б Ромалис, M П. Саврук, Р Л. Салганик, В П. Тамуж, M Basista, S.B. Biner, A. Brencich, A. Carpinteri, Y -Z. Chen, F Er-dogan, D Gross, N. Hasebe, J. Heising, H. Horii, M Isida, S Nemat-Nasser, G Peters, L R. F Rose, A.A Rubinstein, G.С. Sih, TJ Willmore, T. Yokobori и некоторые другие исследователи.

Аналитические методы решения задачи исторически предшествовали численным. Они, как правило, основаны на методах решения плоской задачи теории упругости с использованием теории функций комплексного переменного, развитых в работах Гурса, Колосова, Мусхелишвили, Шермана и др Аналитическими методами удается получить решения для небольшого числа трещин или для периодической бесконечной системы трещин. Ценность этих решений, прежде всего, в том, что они служат тестами для численных и численно-аналитических методов.

Задача о взаимодействии трещин, в принципе, решаема и методами, сводящими ее к системе сингулярных интегральных уравнений, и прямыми численными меюдами - методом конечных элементов и граничных элементов Однако сложность применения этих методов к решению данной задачи делают их практически бесполезными, когда число трещин достаточно велико, например. порядка десяти Поэтому актуальна разработка новых, более удобных методов.

Один из таких методов разработан Хелсингом (Heising) и Петерсом (Peters) Они свели задачу к нахождению N комплексных функций (каждой трещине соответствует одна функция), для определения которых получили систему интегральных уравнений Фредгольма Их метод можно рассматривать как адаптацию уравнений Лауричелла-Шермана к данной задаче

Другой путь построения сравнительно простых методов решения «дачи

0 взаимодействии трещин - использование суперпозиции известных решений идач для одиночных трещин1 Первый такой метод был предложен Ченом (Y -Z Chen) в 1984 г В качестве базовой задачи Чен использовал задачу о трещине, к противоположным сторонам которой приложены равные по модулю и противоположно направленные сосредоточенные силы Далее вводится предположение, чго к сторонам трещин приложены неизвестные распределенные нагрузки Они определяются действием внешних сил и остальных трещин на плоскости

1 Такие задачи будем называть базовыми

В результате для этих нагрузок получается система интегральных уравнений Фрелгольма.

Неудачный выбор базовой задачи привел к тому, что метод оказался громоздким, неудобным и непонятным2 В первой своей статье автор вообще не приводит формул для коэффициентов системы уравнений, ограничиваясь указанием, что их можно получить из исходных соотношений Во второй статье формулы для коэффициентов приведены, но без вывода. Их громоздкость не свидетельствует о простоте и эффективности метода Автор это, по-видимому, сознает и в качестве довода в пользу своего метода приводит доказательство эквивалентности полученной им системы уравнений системе сингулярных уравнений Дацышин-Саврука.

Другой метод был предложен в 1987 г. М Качановым, Идея метода та же, что и у Чена. в рассмотрение вводится решение для одной трещины, нагруженной неизвестной нагрузкой. Величина этой нагрузки обусловлена действием внешних напряжений и остальных трещин М. Качанов заменяет эту неизвестную нагрузку ее средним значением и приходит в результате к системе линейных алгебраических уравнений относительно средних величин нагрузок на сторонах каждой из трещин. Метод, безусловно, прост и дает неплохую точность, когда расстояние между трещинами больше их длин (оценка М Качано-ва) Метод обобщен на трехмерные задачи. Недостатком этого метода является, безусловно, его неточность. Замена реального распределения нагрузки на стороны трещины (от действия других трещин) ее средним значением вносит неконтролируемую ошибку в расчеты.

Поэтому актуальна разработка такого метода, который был бы достаточно прост, как метод М Качанова, и в то же время не содержал бы упрощающих допущений. Такой метод представлен в настоящей работе По своим исходным представлениям он близок к методу Чена. но выгодно отличается от него своей простотой, обусловленной более рациональным выбором базовой задачи.

Во в юром разделе изложен разработанный в диссертации метод решения задачи линейной механики разрушения для плоскости, содержащей N прямолинейных непересекающихся разрезов (трещин) и нагруженной на бесконечности однородной нагрузкой.

С каждой из трещин связывается своя, локальная система координат, ось абсцисс которой направлена по линии трещины; начало координат находится в середине трещины Пусть у - номер трещины (/ принимает целые значения в интервале от 1 до Ы, где N - количество трещин) Длина трещины - 2(номер трещины ниже везде будет фигурировать как индекс в скобках)

" Даже автр родственного метода - М Качанов (М КасЬапоу), анализируя работу Чена в своей статье, не заметил связи между своим методом и методом Чена

Так как поставленная задача - линейная, то для нее справедлив принцип суперпозиции Поэтому будем искать решение краевой задачи - поле напряжений как сумму номинальных напряжений, то есть тех, которые были бы в плоскости в отсутствие трещин, и напряжений, возникающих в плоскости от действия некоторых, пока неизвестных, нагрузок, приложенных к сторонам трещин, при том условии, что все трещины рассматриваются как изолированные трещины в плоскости (базовая задача). Поле напряжений записывается в виде

N

о„„=Х°»»<и; ™,и = 1,2 (1)

к=0

Индекс 0 относится к номинальным напряжениям Отметим, что, так как напряжения от действия сил, приложенных к сторонам трещин, исчезают на бесконечности, граничные условия на бесконечности при представлении решения в виде (1) всегда удовлетворяются

Соотношение (1) справедливо в любой из упомянутых локальных систем координат, все они декартовы и получаются одна из другой путем параллельного переноса и поворота осей Пусть оно отнесено к некоторой у'-ой локальной системе координат, связанной с /-ой трещиной Напряжения однородны и известны из граничных условий на бесконечности, а напряжения с,™(/) определяются из решения базовой задачи - задачи для изолированной

трещины, к сторонам которой приложена нагрузка. С использованием известных формул, дающих решение базовой задачи в общем виде, получим

0М(Л + а221Л=2

Л,(,)-»22(,)-- Ф(,)(2<„) + Ф(,)(2<,))

1 -1 _ (2)

где комплексный потенциал Ф(/Дг(/)) и его производная выражаются форму-

лами

2

Ф I Ч) ^(ч/Ц^у)^

К)

2п(21га1)Т

"лиг(ц<)/7(/)(\]/)<Л|> ^ г(>) " БШ2(у)/>(()(*|/)<Л|/

'(я(()С05(1|/)-2(;))2 ^»-"Ы о Я(,)С05Ы-2(,)

, + «2(;); = />.(,)+'>2,„ (3)

в которых присутствует неизвестная комплексная нагрузка на сторонах трещины Она определяется из граничных условий обшей задачи Стороны

трещины свободны от нагружения - это значит, что на контуре трещины суммарные напряжения о,, и равны нулю. Из формулы (1) при этом следует

*.<,.е[-»(,г0ы] °п =0,a,j = 0 =>

<?/ \ V/ \ (4)

л i * /+1

Поскольку все Л' трещин рассматриваются единообразно, напряжения °m„(i)' ^ = '' /1,,/ + l,.../V зависят от соответствующих функций так же, как напряжения а„11(;) зависят от функции p{j}, и (это главное), если известны упомянутые функции р^, правая часть формулы (4) и, следовательно, функция р^ аргумента 0е[О,л] полностью определены. Так как уравнение (4) выполняется на контуре /-ой трещины, зависимость правой части от комплексной переменной z(;) сводится к ее зависимости от = cos(Q) при ) = 0. Все

слагаемые в правой части уравнения (4) за исключением о12(0) + /о1?(11) содержат

интегралы от нагрузок, приложенных к сторонам трещин (см формулы (2), (3)) Поэтому уравнение (4) или, точнее, система уравнений, так как индекс j пробегает целые значения от 1 до N, получается в виде системы комплексных интегральных уравнений относительно функций р^ (б)

Pío (0)" }{£[*<'хм *V> W+K~m (Мл*>М]+

и U-i

+ i [^M(e>v)^(v) + ^ox*)(Mpw(v)]U = y,,,(0). (5)

к /.l1- JJ /=1.....ЛГ

где АГ('Х, (e,\|/),Aft" (e,v) - ядра, а /(()(в) - свободные члены интегральных уравнений Так как поля напряжений имеют особенность только в кончиках А--ой трещины, ядра уравнений (5) непрерывны. Следовательно, система (5) после разделения мнимых и действительных частей, в результате чего получится система 2N интегральных уравнений, - это система интегральных уравнений Фредгольма второго рода Так как она получается из исходной математической постановки задачи с помощью тождественных преобразований, можно утверждать, что ее решение представляет собой решение поставленной плоской задачи теории упругости - задачи о взаимодействии трещин. И более того, в силу теоремы о существовании и единственности решения задач теории упругости, решение системы (5) существует и единственно при условии, что граничные нагрузки (имеются в виду нагрузки на бесконечности) удовлетворяют уравнениям равновесия Для решения системы (5) необходимо найти явный вид ядер и правых частей интегральных уравнений

Пусть задана некоторая глобальная система координат (она может совпадать с локальной системой координат какой-либо одной трещины), в которой

однородное напряженное состояние на бесконечности характеризуется напряжениями Каждая /-ая трещина характеризуется следующим набором геометрических параметров, полудлиной а^у координатами центра хк((), и углом поворота а(/) локальной системы координат относительно глобальной

Для вычисления правых частей системы (5) необходимо преобразовать компоненты тензора напряжений к локальной системе координату'-ой трещины.

Получается формула

/(,) = °12(0) + = ^22(0) + ■*„(<>,)(' - е ') + (^2(«) + "22(0))е*2га'" (6)

Для определения ядер системы уравнений необходимо преобразовать .?шя(|1) - напряжения в к-ой системе координат, представляющие собой решение

задачи об изолированной к- ой трещине; в сш„(1) - то же, но в у'-ой системе координат

" '°22«) = 0-5') + + '522(*))е Используя равенства (2), (3), найдем

(7)

+ /а22(И) = '

|е

(8)

+[Ф(М + ФМ +- ^))%) Ьо)]

где комплексный потенциал и его производная определяются форму-

лами (3).

Уравнение (4) справедливо на контуре /-ой трещины Поэтому теперь следует связать комплексную переменную г(4), определенную в ¿-ой системе

координат, с параметром 8 В результате несложных преобразований получается формула

= -V, + ¡*т = Ко) + 'Л2 (11)К'а'" + %) е"1"' «*(е);

Л„0) = Хн (,) - Х1С(к)' ^2(0) = ХЧ (/) ~ хгс ц)

Все необходимые формулы получены После определения нагрузок (0) можно найти все характеристики напряженно-деформированною состояния, в частности, коэффициенты интенсивности напряжений Коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках у'-ой трешины определяются только полем напряжений отп(/), так как остальные поля напряжений

формулам (А и В - левый и правый относительно локальной системы координат кончики трещины)

' *

|(1-С08(\|/))/7ыЫ(Л|/

(10)

К1+со8(^))л /) м^

" п о

Далее во втором разделе рассмотрено решение простейшей задачи о взаимодействии трещин - задачи о растяжении плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой, перпендикулярной линии действия нагрузки Расстояние между серединами трещин равно 2с В данном случае N-2, углы а(1) = а(2) = 0. Поэтому *1)(0) = *12(0) = 0; = = = Приходим к соотношениям

СТ12(1)+'°220)=2|'Ф(.) (*(!)) =

=__с?_"г Pp)(v) «'"'(У) ^

л^4с2 + 4ас eos (0) - о2 sin2 (9) ¿e(cos(y)-cos(e))-2c

+ /СТ22(2) = 2/Ф(2) (-2 ) =

! "г Р(2)(у) sin2 (ч/)

— Г>Гк с

(И)

п^с- -4accos(G)-o2 sin2 (9) 0Jfl(cos(v)-cos(0)) + 2c

Подставляя выражение (11) в уравнение (4), получаем систему двух интегральных уравнений, которая с учетом симметрии задачи сводится к одному уравнению Фредгольма

р( 9)~ ■ ' J '(»>''П'>>

7tA/4c;+4c.cos(0)-sin2(0) Oj2c.+cos(0) + cos(v|/) (12)

fyj (в) = «№(»):

Численное решение уравнения (12) можно получить различными методами Можно, в частности, свести его к уравнению с вырожденным ядром Запишем

1 = j, (-1)" eos" (\|/) (13)

2c.+cos(e) + cos(y) rí(2c.+cos(e))" '

Ряд равномерно сходится (это легко доказать) Подставим выражение (13) в уравнение (12) и получим

i ^ НУЧ

я^с.2 + 4с. соь(б) - sm2 (9) „-а (2с. + cos(9)) *

о

где постоянные Ъп находятся из системы уравнений

* г

bn ~^Anmbm = Я„; Вп = (sin2(v|/)cos"(y)ífy,

«,-» „ д _(~0"*f sin2(V)cos"(V)^

n и ^/4с.2 +4c. cos(\|») - sin2 (y) (2c. + cos(i|/))'" ' Удерживая'в ряду конечное число слагаемых, получаем приближенное решение.

На рис. 2 представлены результаты расчетов Á^ = K¡Aj(qs/жа) для правой трещины в зависимости от относительного расстояния между трещинами при различных значениях от - величине, при достижении которой ряд (13) обрывается' и=0,1, т. На рис 2 обозначено 1-т = 5; 2 - т = 10; 3 - аналитическое решение. При большем значении т графики численного и аналитического решений неотличимы.

(15)

Рис. 2.

В общем случае следует использовать какой-либо численный метод решения систем интегральных уравнений Фредгольма. В настоящей работе используется наиболее простой метод - метод коллокаций Интервал [0,л] разбивается на М одинаковых частей длиной Аб = л/А/. Будем считать, что внутри | интервалов все величины, зависящие от 0 или \|/, неизменны и равны своим значениям в серединах интервалов Координаты середин итервапов будут равны 8,„ = (т-0,5)Д0; /л = 1,2. М Система уравнений (5) преобразуется к виду

м

ле = /,; (16)

/ = 1, ./V, »1 = 1, ..М; ^у),„ = р(/)(е„)

Равенства (16) представляют собой систему Л'Л/ комплексных алгебраических уравнений относительно неизвестных Решение этой системы тем

ближе к решению исходной системы интегральных уравнений, чем больше величина М После разделения действительных и мнимых частей получается система 2ЫМ действительных линейных алгебраических уравнений, решение которой получается известными методами Отметим, что при М~ 1 уравнения (16) представляют собой математическую формулировку метода М Качанова

Далее в разделе 2 рассмотрены решения нескольких тестовых задач Первая из них задача о растяжении плоскости с двумя неодинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой, перпендикулярной линии действия нагрузки В данной ¡адаче, как и в предыдущей, все коэффициенты интенсивности напряжений К„=0. На рис. 3 приведены результаты расчета величины

К',щ= КЩ]) Д^Тяо), где а - полудлина, а 1 - номер левой трещины, в зависимости от величины 2с/(о + й)-1, где Ь - длина второй трещины, 2с - расстояние между центрами трещин, при М-5 для ¿>/¿7 = 0,5. На рис. 3 обозначено: 1 -численное решение; 2 - аналитическое решение Можно сделать вывод об удовлетворительном совпадении результатов аналитического и численного решений.

Рис 3

Решена также задача о растяжении плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой, перпендикулярной направлению растяжения Ее результаты практически совпадают с результатами аналитического решения уже при М = 5.

Наряду с тестовыми задачами в разделе 2 представлены решения новых задач, подобранных таким образом, чтобы всесторонне проиллюстрировать возможности разработанного метода Первая из таких задач это задача о растяжении плоскости с двумя наклонными трещинами одинаковой длины (рис 4)

м I ! 4

Рис. 4

Номер левой трещины - 1, номер правой трещины - 2. Вершина трещины более удалена от точки пересечения прямых, на которых расположены

трещины, чем вершина В^ На рис 5 приведены результаты вычиспений относительных коэффициентов интенсивности напряжений К"п = Д^Тла), К*т = Кш{цДс/Ттм) в зависимости от угла р при с/а = 1,05 и М =5 На рис 5

обозначено. \-К"А, 2-К]в.

Вторая задача - это задача о растяжении плоскости с восемью радиально направленными трещинами одинаковой длины Восемь трещин одинаковой длины 2а, центры которых находятся на окружности радиуса 2а, направлены по лучам, исходящим из центра этой окружности Лучи делят окружность на равные части Нумерация трещин начинается с трещины, лежащей на положительной части оси абсцисс, и далее против часовой стрелки Вершины трещин, пежашие ближе к центру окружности, обозначаются буквой А, а лежащие дальше от центра - буквой В В табл 1 приведены результаты расчетов коэффициентов интенсивности напряжений

для каждой трещины при М = 5 Можно отметить экранирующий эффект, оказываемый массивом трещин на наиболее нагруженные трещины - трещины, лежащие на оси абсцисс.

2 -.-1-1-г

1 5

05

Третья задача - это задача о растяжении плоскости с шестью произвольно направленными трещинами различной длины. Для этой задачи также определены относительные коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках каждой трещины.

В третьем разделе рассмотрена задача о взаимодействии полубесконечной трещины (макротрещины) с N трещинами конечной длины (микротрещинами) Коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности кончика полубесконечной трещины представляются в виде (макротрещине присваивается нулевой номер)

Кщо) - К„

+ ЛА\,

(18)

где К1П, Кии - коэффициенты интенсивности напряжений в кончике магистральной трещины без учета действия микротрещин - известные величины; ЛА'/(|, ДК„и - приращения коэффициентов интенсивности напряжений в кончике макротрещины, обусловленные действием микрогрещин.

Взаимодействие между трещинами конечной длины (микротрещинами) описывается точно так же, как и в задаче о взаимодействии конечных трещин Особенность данной задачи заключается в описании взаимодействия полубесконечной трещины с некоторой микротрещиной Напряжения от действия мак-ротрешины определяются известными асимптотическими формулами (начало июбальной системы координат находится в кончике полубесконечной трещины)

фо»Ы=

^/(П) " 0)

ф;„)Ы=

к

т

Iк

"со

(19)

тем более точными, чем ближе рассматриваемая точка находится к кончику макротрещины Так как микротрещины расположены в непосредственной бли-отсти от кончика макротрешины, то слагаемые в выражениях для напряжений.

регупярные в кончике трещины, оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с сингулярными членами. Формулы (19) представляют собой решение баювой задачи Напряжения а„„(0) так же, как и коэффициенты интенсивности

напряжений К/(и), Кп{а), представляются в виде суммы стцт(0) а,„,1() Дага1(), где напряжения апт„ пропорциональны величинам Ки,, Кп„ и, следовательно, известны, а неизвестные приращения напряжений Да,п;)(1 пропорциональны величинам ДА",,,. ДА',л,, обусловленным действием микро1рещин Таким образом, наличие макротрещины добавляет к числу неизвестных задачи две постоянные величины ДК10 и ДКпо. С учетом обозначений

АКа = Д Кп + /Д К„а, Ф;0) (г(в)) = 1/(272^;)

(20)

получим

Т12(0) т '"22(0)

о,™ + кг,,™ = Л, (*(„))*((,) + Л2 (>)) ^(и);

-2<а,,

|е "

Л> Ы= '¡ф("о) (г(0))(1 - е"2'""1) + (->, - г(0))ф;;, (*,„,)« ^(*„„) = '{ф;„,(*<„,)(! -е 2,а'") + [ф№Ы + Ф;о,(?<Ч)]е~^"}

(21)

Комплексные координаты точек, лежащих на линии /-ой трещины, определяются в глобальной системе координат, связанной с полубесконечной трещиной, формулой 2(0) =Л,„+ //?,„ +а(/)ехр|;а(/1|соя(0) Решение задачи распадается на два этапа. Первый этап - это решение системы (5) при условии, что /¡/)(б) = Д1^2(ч|, а затем при условии /( )(0) = Д: В результате получа-

ются функции 0), зависящие от двух неизвестных комплексных постоянных К[п) и К{{)):

Второй этап решения - это нахождение коэффициентов К^ Они находятся с использованием решения базовой задачи

V л • 1 + со$^(/)

где с - некоторый линейный размер В качестве с можно принять, например, максимальное из расстояний от кончика макротрещины до центров микротрещин, наибольшую из длин микротрещин и т п Равенство (23) представляет собой необходимое дополнительное уравнение в разрешающей системе задачи

Комплексные координаты точек, лежащих на линии полубесконечной трещины, определяются в локальной системе координату'-ой трещины в виде

г()) = -(л1о + //г2о+пё2(0/2))е'а'" (24)

Нагрузка р{а) находится как р{0) - +/о22(у))где напряжения,

стоящие в правой части этой формулы, определяются выражениями (2) и (3) В результате формула (23) приводится к виду ДК„ = ^К^ + Ь2К^и). Разделяя действительные и мнимые части, получаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно &Кп,,АК110. Таким образом, все искомые величины определяются. Если конечная трещина одна или взаимодействием между конечными трещинами можно пренебречь, то первый этап решения - решение системы интегральных уравнений - отсутствует. Остается второй этап - решение системы уравнений относительно ДК,а, кК11и, коэффициенты которой находятся в результате вычисления определенных интегралов.

Далее в разделе 3 рассмотрена задача о взаимодействии полубесконечной трещины с конечной трещиной, лежащей на ее продолжении. Так как конечная трещина одна, решение задачи получается непосредственно в квадратурах Для упрощения задачи будем считать, что Киа =0. В данном случае N=1, а(|) =0, с

- расстояние от кончика макротрещины до середины микротрещины. Получаем

г(0) =а + с + асо50; г(1) = -(л + с)-с 2) (25)

Коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках микротрещины определяются формулами

к _ ГаКт ■ (1-с<«(у))<Лк ^ (1 + со8(у))сА|/

^2тг + 1+Соз(м/))' ,B,,, Л* + 1 + С05(ч/))

Далее в разделе 3 приводится решение более общей задачи - когда середина микротрещины лежит на продолжении макротрещины на расстоянии с от ее кончика, а сама микротрещина наклонена под углом а к оси абсцисс Решение задачи получено методом коллокаций (при этом исследовалась сходимость решения с увеличением числа точек коллокаций) Из результатов расчетов следует, что ориентация микротрещины относительно магистральной трещины -фактор не менее важный, чем расстояние между трещинами

Далее в разделе 3 рассмотрена задача о взаимодействии полубесконечной трещины с двенадцатью конечными трещинами как пример, призванный проиллюстрировать возможности метода: число трещин достаточно велико, их расположение не ограничено требованием быть параллельными магистральной трещине Легко видеть, что решение такой задачи каким-либо другим методом, если вообще возможно, потребует значительных ресурсов и при этом не будет отличаться высокой точностью Из результатов решения данной задачи наибольший интерес представляет влияние массива микротрещин на коэффициент

интенсивности напряжений в вершине полубесконечной трещины (в силу симметрии АК1Ш = 0). Результаты расчетов показывают, что массив микротрещин, расположенный перед кончиком магистральной трещины, увеличивает коэффициент интенсивности напряжений в ее вершине, когда вершина полубесконечной трещины находится внутри массива, этот коэффициент уменьшается, и, наконец, когда массив оказывается за кончиком микротрещины, влияние массива быстро падает до полною исчезновения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Решение задачи о равновесии нагруженной на бесконечности линейно упругой плоскости, ослабленной конечным числом прямолинейных непересекающихся трещин, находится в результате суперпозиции решений задач о плоскости с одной трещиной, к сторонам которой приложена неизвестная распределенная нагрузка. Число таких решений совпадает с числом трещин Для определения неизвестных нагрузок на сторонах трещин получена система интегральных уравнений Фредгольма второго рода

2 Решение этой системы для простейшей задачи рассматриваемого класса -задачи о двух одинаковых трещинах, лежащих на одной прямой, - получается методом сведения к уравнению с вырожденным ядром. В общем случае решение системы интегральных уравнений ищется методом кол-локаций. Разработаны алгоритм и компькнерная программа решения задачи

3 Решены тестовые задачи Показана достаточно быстрая сходимость численного решения к аналитическому с увеличением числа точек коллока-ции

4. Получено решение ряда новых задач, подобранных с целью изучения возможностей метода. Полученные решения дают основание для вывода о высокой эффективности разработанного метода

5 Получено решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины (макротрещины) с трещинами конечной длины (микротрещинами) При этом учитывается не только влияние макротрещины на микротрещины, но и обратное влияние массива микротрещин на макротрещину, а также взаимодействие микротрещин Численное решение задачи находится методом коллокаций, разработаны алгоритм и компьютерная программа численного решения

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Зайцева Е В , Карнеев C.B., Лавит И.M О решении задачи теории упругости для плоскости с криволинейным разрезом /' В сб. «Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов», Тула. ТулГУ, 2002, с 99- 102

2. Зайцева Е В , Карнеев C.B., Лавит И M Решение интегрального уравнения плоской задачи линейной механики разрушения // Известия Орловского ГТУ, №1-2, 2003, с 22-28

3 Зайцева Е В , Лавит И.М Метод решения задач о взаимодействии трещин // Известия ТулГУ. Серия. Математика Механика. Информатика Т 10. Вып.2. Механика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004, с. 70-76

4 Зайцева Е В , Лавит И М. Метод решения задач о взаимодействии трещин // В сб. «Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов», Тула. ТулГУ, 2004, с. 86- 87

»25652

РНБ Русский фонд

2006-4 28113

Зайцева Е. В

Автореферат

Им лгш ЛР № 020300 ог 12 02 97 Подписано в nenaib 23 11 05 Форма! бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная Уел печ njf¿ Уч -изд л 0,9 Тираж ICO экз Заказ ЬЧ

Т\льский государственный университет 300600, г Гула, просп Ленина 92

Отпечатано в Издательстве ГучГУ 300600, г Тул ул. Болдпна. 151

Введение.

Актуальность темы.

Цель работы.

Научная новизна работы.

Практическая ценность.

Достоверность.

Апробация работы.

1. Обзор методов исследования взаимодействия трещин.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Аналитические и численные методы.

1.3 Метод Чена.

1.4 Метод М. Качанова.

1.5 Предложенный метод.

2. Взаимодействие трещин конечной длины.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Суперпозиция решений.

2.3 Коэффициенты интенсивности напряжений.

2.4 Связь между локальными системами координат.

2.5 Простой пример: растяжение плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой.

2.6 Алгоритм численного решения.

2.7 Тестовые задачи.

2.7.1 Растяжение плоскости с двумя неравными трещинами, расположенными на одной прямой.

2.7.2 Растяжение плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой.

2.7.3 Растяжение плоскости с двумя параллельными трещинами.

Актуальность темы

Представление о разрушении как о распространении изолированной трещины часто оказывается недостаточным. Экспериментально установлено, что в области предразрушения - окрестности кончика магистральной трещины - образуется множество мелких трещин, заметно влияющих на напряженное состояние. Зону предразрушения часто рассматривают как сплошную среду с измененными механическими характеристиками. Адекватность такого подхода во многом определяется возможностью связать меру поврежденности с некоторым распределением микротрещин. Эту возможность может дать метод, позволяющий рассчитать напряженное состояние массива, ослабленного системой взаимодействующих трещин. Такой метод применим также к задачам прочности горных пород и керамик - материалов, содержащих большое количество разнообразно ориентированных трещин [40].

Практическая важность задач о взаимодействии трещин делают их предметом теоретических исследований более 50 лет. Разработанные методы решения различаются и по области применения и по сложности. И именно чрезмерная сложность оказывается в большинстве случаев их основным недостатком.

Это естественно, так как весьма сложны и решаемые задачи. Но искать более простые методы следует, и эта задача, безусловно, актуальна. Ее решению - разработке простого и надежного метода решения задач о взаимодействии трещин - посвящена настоящая диссертация.

Цель работы

Целью данной работы является разработка нового метода решения задач о взаимодействии трещин (в рамках плоской задачи линейной механики разрушения) и решение этим методом ряда конкретных задач.

Научная новизна работы

• Разработан численно-аналитический метод решения задач о взаимодействии прямолинейных трещин, позволяющий свести решение задачи к решению системы уравнений Фредгольма достаточно простого вида.

• Разработанным методом решены новые задачи о взаимодействии трещин.

Практическая ценность

• Разработанный метод позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках взаимодействующих трещин без ограничений количества трещин и их ориентации относительно друг друга.

• Результаты таких расчетов могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости материалов, оценке прочности массивов горных пород и изделий из керамики

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с эталонными решениями.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2003 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004 г.), семинаре по МДТТ им. JLA. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

3.6 Выводы

Взаимодействие магистральной трещины с массивом микротрещин рассматривается как взаимодействие полубесконечной трещины с некоторым числом трещин конечной длины. Учитывается как влияние полубесконечной трещины на конечные, так и влияние конечных трещин друг на друга и влияние конечных трещин на полубесконечную трещину

Показано, что так как напряжения в окрестности кончика полубесконечной трещины, то есть там, где расположены микротрещины, определяются в отсутствие последних известными асимптотическими формулами, решение задачи можно получить в результате непринципиальной модификации разработанного метода расчета взаимодействия системы конечных трещин

Получены расчетные формулы и указан алгоритм численного решения задачи

Найдено аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на той же прямой трещиной конечной длины. Это решение используется как тест для компьютерной программы численного решения задачи

Численное решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом трещин конечной длины строится методом кол-локаций. Программа вычислений реализована в системе MathCad Решены новые задачи, иллюстрирующие возможности разработанного метода: задача о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на ее продолжении произвольно ориентированной конечной трещиной и задача о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом из 12 одинаковых микротрещин, расположенных по обе стороны от магистральной трещины. Результаты расчетов свидетельствуют об эффективности разработанного метода

1. Бережницкий Л.Т., Панасюк В. В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформированном теле,Киев: Наукова думка, 1983, 288 с,

2. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

3. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высш. школа, 1980, 368 с.

4. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970, 379 с.

5. Гахое Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

6. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин- разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде // ПММ,1986,т.50.вып.5, с. 826-834

7. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Морозова Т.М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания ираскрытия // НММ, 1991, т.55, вып.4, с. 672-678

8. Дацышин А.П., Саврук М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // Нрикладная математика и механика, т.38, 1974,с.728-731

9. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1969, 228 с.

10. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966, 664 с.И. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975,541с.

11. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973,304 с.96

12. Корн г.. Корн Т. Справочник по математике для паучных работников и инженеров. М.: Наука, 1968, 720 с.

13. Навит И.М: Граничное интегральное уравнение для криволинейной краевой трещины //ПММ, 1994, т.58, вып.1, с. 153-161

14. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

15. Линьков A.M., Могилевская СТ. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости // НММ, 1990, т.54, вып.1,с. 116-122

16. Лурье. А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 940 с.

17. Мирсалимов В.М., Алиева Г.М. Контактная задача для пластины с трещиной, усиленной с ребрами жесткости // Изв. АН АзСССР.ФТМН, 1985,№3,с.145-158

18. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987, 256 с.

19. Мирсалимов В.М.. Калантарлы Н:М. Моделирование зарождения трещины в круговом диске, на границе которого заданы смешанныеусловия // Современные проблемы математики, механики,информатики. Тез. докл. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004, с. 116-119

20. Мир-Салим- Заде М.В. Моделирование зарождения дефекта типа трещин в закрепленной пластине // Современные проблемыматематики, механики, информатики. Тез. докл. Тула: Изд-во ТулГУ,2003, с. 198-201

21. Михлин Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965,384 с.

22. Михлин Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математики, математической физике имеханике. М., Д.: Гостехиздат, 1949, 380 с.97

23. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980, 256 с.

24. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, 707 с.

25. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 511с.

26. Назаров А. Взаимодействие трещин при хрупком разрушении. Силовой и энергетический подходы // Нрикладная механика иматематика, т.69, вып.З, 2000, с.484-495

27. Назаров А. Напряженно-деформированное состояние в точке сгущения коллинеарных микротрещин // Вестник ЛГУ. Сер. матем.,мех., астр., 1983, т. 83, ^23, с.63-68

28. Назаров А: Введение в асимптотические методы. Л.: Изд. ЛГУ, 1983,117 с.

29. Назаров А:, Полякова О.Р: Коэффициенты интенсивности напряжений для параллельных сближенных трещин в плоскойобласти//ПММП990,т.54, ВЫП.1, с.132-141

30. Назаров А., Полякова О.Р. Разрушение узкой перемычки между трещинами, лежащими в одной плоскости // НММ, 1991, т.55, вып. 1,с.165-173

31. Панасюк В. В:, Лозовой Б.Л. Определение предельных напряжений при растяжении пластины с двумя неравными трещинами // Теорияпластин и оболочек. Киев: Изд. АН УССР, 1962, с. 204-208

32. Панасюк ВВ., Саврук М.П., Дацышин А.П. Двоякопериодическая задача теории трещин. // Проблемы прочности, 1976, JNr2l2, с. 55-58

33. Панасюк Bl 5., Саврук М. П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: НауковаДумка, 1976,445 с.

34. Пеньков В.Б., Толоконников Л.А. О контакте берегов трещины // ПММ, 1980,т.44, вьш.4, с.752-75998

35. Пеньков в.Б. О залечивающейся трещине//ПММ, 1994, т.58, вып.5, СЛ54-160

36. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975, с. 204-235

37. Ромалис Н:Б., Тамуэю В. П. Распространение макротрещины в ноле микродефектов // Мех. композит, материалов, 1984, Ш\, 42-5Г

38. Ромалис НЕ., Тамуж В. Я. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989, 224 с.

39. Ромалис Н.Б., Тамуэю В. П. Влияние микродефектов на трещиностойкость материалов // Механика и научно-техническийпрогресс. Т.З. МДТТ. М.: Наука, 1988, с. 104-122

40. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов, сп., т. 2,1988,618 с.

41. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Hayкова думка, 1981, 324 с.

42. Саврук М.П., Дацышин А.П. О предельно-равновесном состоянии тела, ослабленного системой произвольно ориентированных трещин// Термомеханические методы разрушения горных пород. 4.2. Киев:Наукова думка, 1972, с. 97-102

43. Саврук М.П., Дацышин А.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // ПММ, 1974, т. 38, с.728-731

44. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ, 1973, №4, с.149-158

45. Саврук М.П., Осив П.Н.. Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. Киев: Наукова думка, 1989, 248 с.

46. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрущения // Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975, с.83-203

47. Сиратори М., Миеси Т, Мацусита X. Вычислительная механика разрущения. М.: Мир, 1986, 334 с.99

48. Справочник по коэффициептам интепсивпости напряжений. Т. 1.М.: Мир, 1990, 448 с.

49. Тамуэю В. П., Петрова В.Е. Магистральная трещина в поле микродефектов в условиях поперечного сдвига // Физ.-хим. мех.материалов, 1993, №3, с. 147-157

50. Тамулс В. П., Петрова В.Е. Исследования взаимного влияния микродефектов при расчете коэффициентов интенсивностинапряжений в вершине магистральной трещины // Прикладные задачимеханики сплошных сред. Воронеж: Изд. Воронежского ун-та, 1988,с. 112-116

51. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988, 364 с.

52. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974, 640 с.

53. Basista М., Gross D. А note on crack interactions under compression // International Journal of Fracture , 2000, v.102, P.67-72

54. Biner SB. FEM analysis of crack growth in micro-cracking brittle solids // Eng. Fract. Mech, 1995, v.51., N. 4, P: 555-573

55. Brencich A., Carpinteri A. Microcrack tougheining, mutual interactions and energy dissipative mechanisms // ECF 11. Mechanisms and Mechanicsof damage and failure. V.I. Warley U.K.: BMAS, 1996, P. 467-472

56. Brencich A., Carpinteri A: Interaction of a main crack with ordered distribution of microcracks: a numerical technique by displacementdiscontinuty boundary elements // Intern. J. Fract, 1996, v. 76, P. 373-389

57. Brencich A., Carpinteri A. Stress field interaction of strain energy distribution between a stationary main crack and its process zone // Eng;Fract. Mech, 1998, v. 60., N. 2, P. 797-814

58. Chen Y.-Z. General case of multiple crack problems in an infinite plate // Eng. Fract. Mech, 1984, v. 20, N.4, P. 591-597

59. Chen Y.-Z. A Fredholm integral equation approach for multiple crack problems // Eng. Fract. Mech, 1984, v. 20, N.5/6, P. 767-775100

60. Chen Y.-Z., Hasebe N. An alternative Fredholm integral equation for multiple crack and multiple rigid line problem in plane elasticity // Eng.Fract. Mech, 1992, v.43, N.4, P. 257-268

61. Chen Y.-Z. New Fredholm integral equation for multiple crack problem in plane elasticity and antiplane elasticity // International Journal ofFracture, 1993 , v. 64, P.63-77

62. Chen Y.-Z., Hasebe N. Fredholm integralequation for multiple circular arc crack problem in plane elasticity // Arch. Appl. Mech. 1997, v. 67.,P. 433-446

63. Charalambides P.G., McMeeking R.M. Finite element method simulation of crack propagation in a brittle micro-cracking solid // Mech. Mater. 1987,V.6, N.I, P. 71-87

64. Chau K.T., Wang Y.B. A new boundary integral formulation for plane elastic bodies containing cracks and holes // Intern. J. Sol. Struct. 1999,V. 36, N. 8, P. 2041-2074

65. Chudnovsky A., Kachanov M. Interaction of a crack with a field of microcracks//Intem. J. Sci. 1983,v. 21,N. 8, P. 1009-1018

66. Chudnovsky A., Dolgopolsky A., Kachanov M. Elastic interaction of a crack with microcracks//Advances in Fracture Research. Proc. SixthConf. on Fracture, New Delhi, India. 1984, v. 2., P. 825-833

67. Chudnovsky A., Dolgopolsky A., Kachanov M. Elastic interaction of a crack with a microcrack array // Intern. J. Sol. Struct. 1987, v.23, N. 1,P. 1-21

68. Gross D. Stress intensity factors of system of cracks // Ing. Arch. 1982, V. 51, P. 301-310 (in German)

69. HelsingJ., Peters G. Integral equation methods and numerical solutions of crack and inclusion problems in planar elastostatics // SIAM J. Appl. Math,1999, v.59,N.3, P. 965-982101

70. Helsing J. Fast and accurate numerical solution to an elastostatic problem involving ten thousand randomly oriented cracks // Int. J. Fract, 1999,V. 100, P. 321-327

71. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys. Solids. 1965, v.l3, P. 213-22

72. HoaglandR.G., Embury J.D. A treatment of inelastic deformation around a crack tip due to microcracking // J. Amer. Ceram. Soc. 1980, v.63,P. 404-410

73. Kachanov M. ElastiQ, soWds with many cracks and related problems // Advances in Appl. Mech. N.Y: Academic Press, 1994, P. 256-426

74. Kachanov M. E\2iSt\c solids with many cracks: a simple method of analysis // Intern. J. Sol. Struct. 1987, v. 23, N. 1, P. 23-43

75. Kachanov M. On the problems of crack callescence // Intern. J.Fract. 2003, V. 120, P. 537-543

76. Lam K. Y., Phua S.P: Multiple crack interaction and its effect on stress intensity factor // Eng. Fract. Mech., 1991, v.4O, P. 585-595

77. Lam K. Y., Wen C, Гао Z Interaction between microcrack and a main crack in a semi-infinite medium // Eng. Fract. Mech. 1993, v.44, N.5,P. 753-761

78. Li Z., Zhao Y, Schmaunder S. A cohesion model of microcrack toughening //Eng. Fract. Mech. 1993, v.44, N.2, P. 257-265

79. Li Z, Zhao Y, Schmaunder S., Dong M. Quantitative characterization of micro-cracking in brittle materials by FE modeling// Eng. Fract. Mech.1995, v.51,N.3, P. 497-504102

80. Mark Kachanov On the problems interactions cracks and crack coalescence // International Journal of Fracture , 2003, P.537-543

81. Mogilevskaya S. G. Complex hypersingular integral equation for the piece- wise homogeneons holf-plane with cracks // Intern. J. Fract. 2000, v.lO2,P. 177-204

82. Panasyuk V. V., Savruk M.P., Datsyshin A.P. A general method of solution of two-dimensional problems in the theory of cracks // Eng. Fract. Mech.1977, v.9,P.481-497

83. Petrova V., Tamuzs V., Romalis N. A survey of macro-microcrack interaction problems // Appl. Mach. Reviews. 2000, v.53, N.5,P. 117-146

84. Petrova V., Tamuzs V. Asymptotic solution of the macro-microcrack interaction problem//Proc. of Aim'96. St. Petersburg, 13-16 oct. 1996, St.Petersburg: St.P.State Marine Tech. Univ., 1997, P. 183-190

85. Petrova V., Tamuzs V. Modified model of macro-microcrack interaction// Theor. Appl. Fract. Mech. 1999, v. 32., N. 2, P. 111-117

86. Petrova V., Tamuzs V., Tarasov S. Interaction of macro and microcracks. Analytical and numerical modeling // Abstrs of Euromech Colloquinm

87. Micromechanics of Fracture Processes. Seeheim, Germany, 1999, P. 78-80

88. Rose L.R.F. Microcrack interaction with a main crack // Intern. J. Fract. 1986, V.31, N.I, P.233-242

89. Rubinstein A.A. Semi-infinite macrocrack interaction with microcrack array // Intern. J. Fract. 1985, v.27, N.I, P.I 13-119

90. Rubinstein A.A. Macro-microdefect interaction // Trans. ASME. J. Appl. Mech, 1986, v.53, N.I, P.505 -510

91. Rudnicki J.W. Geomechanics // Intern. J. Sol. Struct. 2000, v.37, P. 349-358

92. Tamuzs V., Romalis N., Petrova V. Fracture of Solids with microdefects. N.Y.: NOVA Science Publ. Inc., 2000, 247 P.103

93. Tsamasphyros G., Eftaxiopontlos DA. An iterative integral equation formulation for the macrocrack-array of microcracks interaction problem //Arch. Appl. Mech. 1996, v. 66., P. 434-446

94. Wang Y.H. On calculation of SIFs for edge multiple cracks // International Journal of Fracture, 2000, P. 21-25

95. Willmore T.J. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack // Quart.J. Mech. Appl. Math. 1949, v.2., N.I, P. 53-64104