Метод следа для поиска дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Точечные дискретные метагруппы преобразований.

§1. Основные определения дискретно-группового анализа, конкретизация постановки задачи.

§ 2. Поиск точечной ДМП при наличии допускаемой алгебры Ли операторов.

§ 3. Доказательство максимальности точечной дискретной метагруппы класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера

ГЛАВА 2. Дискретные метагруппы преобразований, заданные в классе преобразований Беклунда.

§ 1. Предварительные сведения.

§ 2. Преобразования Беклунда, сохраняющие точечную структуру оператора.

§ 3. Применение метода следа для доказательства максимальности дискретной метагруппы преобразований класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, найденной методом

§ 4. Описание алгоритма

§ 5. Пример использования оператора непрерывной группы для поиска экспоненциальных нелокальных операторов.

Актуальность исследования. Работа посвящена исследованию дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях. Появление в математике понятия многообразия (впервые сформулированного Риманом), являющегося абстракцией весьма различных конкретных множеств, было вызвано потребностями геометрии, математического анализа и механики. Наиболее важное значение приобрели дифференцируемые многообразия, поскольку именно они позволяют определить дифференцируемые функции на многообразиях и другие понятия математического анализа. Кроме того, определение дифференцируемого многообразия делает возможным применение методов математического анализа вне зависимости от того, какие координаты положены в основу вычислений. Это обстоятельство и обусловливает широкое использование дифференцируемых многообразий в приложениях и в смежных областях, где многообразия изучаются не сами по себе, а в соединении с некоторыми другими объектами.

Ярким примером к сказанному может служить теория непрерывных групп, одним из стимулов к изучению которых для Софуса Ли явилось их применение для исследования дифференциальных уравнений. При этом особенно существенной и важной оказалась трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве, что позволяет использовать инфинитезимальный критерий инвариантности многообразий, базирующийся на разработанном С.Ли методе сопоставления каждой непрерывной группе преобразований некоторого линейного дифференциального оператора. По предложению С.Ли говорят, что уравнение Е допускает группу (или оператор), если Е есть инвариантное многообразие надлежащим образом продолженной группы. Одним из впечатляющих достижений С.Ли явилось открытие, что все известные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на самом деле являются частными случаями общей процедуры интегрирования, основанной на инвариантности многообразия относительно некоторой группы симмет-рий. Непрерывные группы, представляющие собой соединение в одном объекте групповой и топологической структур, взаимно связанных требованием непрерывности групповой операции, впоследствии стали называть группами Ли.

Математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение многообразий, заданных дифференциальными уравнениями, и их симметрий, являющееся, таким образом, "пограничным" между математическим анализом и дифференциальными уравнениями, получило название группового анализа.

Групповой анализ не ставит целью решение классических задач теории дифференциальных уравнений (доказательство существования и единственности решений, изучение асимптотик и поведения решений в окрестности особых точек и т.д.), а дает методы описания симметрий многообразий и задающих их уравнений (в широком смысле, не только дифференциальных). Это, в свою очередь, позволяет находить и классифицировать способы понижения порядка и методы отыскания общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и инвариантных решений уравнений математической физики, и что особенно важно, доказывать максимальность (неулучшаемость в рамках сделанных предположений) полученного результата.

Начало широкого применения идей Ли в теории уравнений с частными производными связано с именем академика Л.В.Овсянникова. Такое расширение области применения потребовало разработки новых понятий и алгоритмов, стимулировало большое число исследований, связанных как с конкретными уравнениями механики и физики, так и с углублением самой теории. В частности, было введено понятие уравнения с произвольным элементом, которое позволяет подвергнуть групповому анализу целый класс уравнений (семейство многообразий), зависящих от произвольных параметров или функций. Одной из целей, которой при этом можно добиться, служит достижение максимально широкой непрерывной группы (имеются серьезные причины предпочитать уравнения с наиболее высокой степенью симметрии). В работе [37] Л.В.Овсянников впервые предложил идею группового анализа определяющих уравнений (уравнений, определяющих группу).

Систематическое исследование дискретных симметрии и их эффективное использование в теории ОДУ началось в работах В.Ф.Зайцева (первая публикация появилась в 1976 году). Знание дискретной метагруппы преобразований (ДМП) значительно расширяет границы использования симметрийного принципа в теории ОДУ и, тем самым, дает возможность найти точные решения уравнений, которые не удается решить классическими методами. Результаты этих исследований - большое число неизV вестных ранее интегрируемых уравнений, часто встречающихся в приложениях - опубликованы в нескольких справочниках [21,23,24,53], по числу рассмотренных уравнений значительно превосходящих известную книгу [29]. В частности, описано 99 уравнений класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, интегрируемых в замкнутой форме, в том числе 3 двух-параметрических подкласса и 13 однопараметрических.

Несмотря на весьма содержательные результаты, полученные благодаря дискретно-групповому подходу, до последнего времени оставалась нерешенной одна из важнейших задач - доказательство максимальности найденной ДМП (где максимальность означает, что эта ДМП не содержится ни в какой более широкой допускаемой ДМП, т.е. ставится задача отыскания структурного максимума). Причина этого заключается в проблеме полного решения переопределенных определяющих систем нелинейных уравнений (сравнимых друг с другом по сложности), возникающих при поиске ДМП (в противоположность легко решаемым линейным системам, возникающим при отыскании непрерывных групп). В связи с этим остается актуальным поиск альтернативных методов, позволяющих находить ДМП, допускаемую заданным классом ОДУ и отображения различных классов.

В настоящей работе рассматриваются дифференцируемые многообразия, заданные в так называемой неявной форме с помощью дифференциальных уравнений. Работа посвящена дальнейшему развитию практически значимого метода поиска дискретных метагрупп преобразований (ДМП) обыкновенных дифференциальных уравнений, который с одной стороны опирается на классический алгоритм С.Ли поиска непрерывных груп инвариантности заданного многообразия, а с другой стороны служит для отыскания нетрадиционных с теоретико-групповой точки зрения дискретных симметрий. Общая схема метода следа (содержащая неформализованные процедуры) была впервые предложена в работах [12, 20, 21].

Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы является построение метода поиска дискретных метагрупп преобразований (точечной и заданной преобразованиями Беклунда) некоторого класса ОДУ, задающего семейство многообразий, и отображений этого класса в другой при условии: указанные многообразия инвариантны относительно непрерывной группы преобразований.

Благодаря наличию допускаемой алгебры Ли точечных операторов метод следа позволяет понизить размерность нелинейного определяющего уравнения для поиска дискретных преобразований. Более того, при поиске точечных преобразований определяющее уравнение "расщепляется" до переопределенных определяющих систем ОДУ с двумя неизвестными. При этом для класса уравнений второго порядка определяющая система содержит как минимум четыре ОДУ, а с увеличением порядка исследуемых уравнений число уравнений, входящих в определяющую систему, резко возрастает (для уравнений третьего порядка их не меньше десяти), в силу чего она всегда принципиально решается.

Таким образом, метод следа дает возможность:

1. При поиске точечной ДМП свести нелинейную систему уравнений с частными производными к переопределенной системе ОДУ.

2. При поиске ДМП, заданной в классе преобразований Беклунда, понизить на единицу размерность определяющего уравнения, существенно упростив его анализ.

3. Доказывать максимальность точечной ДМП и максимальность ДМП, заданной в классе преобразований Беклунда, найденной методом /йР-пар (т.е. решить задачу поиска структурного максимума).

В работе решены следующие задачи:

1. Доказаны теоремы, служащие теоретическим обоснованием метода следа.

2. Доказана максимальность ДМП (как точечной, так и заданной преобразованиями Беклунда, найденной с помощью универсальных Ш7-пар), допускаемых классом обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, который является модельным для дискретно-группового анализа и для ряда областей нелинейной механики.

3. Показана возможность применения оператора точечной группы для решения других задач группового анализа, в частности, для отыскания экспоненциальных нелокальных операторов, поиск которых также приводит к нелинейному определяющему уравнению.

Основные определения. Напомним ключевые понятия и утверждения группового анализа. Исходным является понятие однопараметри-ческой непрерывной локальной группы Ли локальных преобразований некоторого банахова пространства (коротко называемой однопараметриче-ской или непрерывной группой, обозначается О1). Приводимые определения теории непрерывных групп соответствуют принятым в монографии

38], в которой автор отдает предпочтение векторной (бескоординатной) форме записи величин, необходимой в случае бесконечномерных банаховых пространств. Однако в случае, когда объектом исследования становится дифференциальное уравнение, как правило, делается предположение о конечномерности пространства, преобразования которого являются элементами группы. Учитывая это, мы, в основном, формулируем определения и теоремы в интересующем нас случае преобразований на плоскости у

R ~ (х, у) (применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям).

Определение 1. Преобразованием множества М называется взаимно однозначное отображение М на М.

Рассмотрим совокупность %(М) всех преобразований множества М, образующих группу, в которой роль групповой операции играет композиция преобразований. Множество точек, которые получаются из данной точки х € М под действием всевозможных элементов g € %{М), называется орбитой точки х:

Пусть Z - банахово пространство, V - некоторое открытое множество в Z, А - некоторый симметричный относительно нуля интервал в R.

Определение 2. Локальным преобразованием пространства Z называют преобразование открытого множества VczZ, т.е. отображение v: V —> Z, для которого v(V) открытое Z и отображение v: V —> v(V) является взаимно однозначным.

Определение 3. Отображение h: VxA —>Z называется однопараметрическим семейством локальных преобразований пространства Z, если для каждого а € Д частное отображение ha: V —► Z является преобразованием открытого множества V.

Определение 4. Локальной однопараметрической группой Ли локальных преобразований пространства 2 называется такое однопарамет-рическое семейство локальных преобразований /2: V ХА 2, которое обладает следующими свойствами:

1. = 2 для любого

2. к{к(г ,а\Ь) + Ь) для любых а,Ь,а+Ь^А,

3. Если а€ А и И(г,а) —г для всех то а = 0.

4. И^СсхКУ ХА), то есть отображение к бесконечно дифференцируемо.

Вообще, некоторая локальная группа Ли в с групповой операцией ° (в определении 4 - это А с операцией +) будет реализована как локальная группа Ли локальных преобразований пространства 2, если каждому элементу а группы О поставлено в соответствие отображение ка:

V2, что при этом соблюдены условия 1) - 4) с заменой А на О и групповой операции + на

Далее полагаем 2 = К.2 (X у), тогда преобразование к можно представить покомпонентно: x=g(x,y,a), у=/(х,у,а) (1)

Преобразование вида (1) называется точечным (в отличие, например, от контактного, когда функции g, / зависят также от производной у ), а группа в1 - группой точечных преобразований.

Определение 5. Для каждого фиксированного г € V частное отображение Ъ2\ А-*2 задает некоторую кривую Ьг(А) в пространстве 2, проходящую через точку г. Кривая И2(А) называется орбитой точки г.

О К (&(х,у,а)

Вектор с компонентами с,=х,У,а) да да ява=0 а=0 ляется касательным к орбите Ь2 (А) в точке г = (х, у).

Определение 6. Линейный дифференциальный оператор

X +тК'х,у)Э>, (2) действующий на дифференцируемое отображение Е: 2 -> К (Т7 € Сда) по правилу

377 Э77 гКх,У)Ру, называется инфинитезимальным оператором (точечной) группы а1 (в дальнейшем - оператор группы или оператор).

Согласно классическим теоремам Ли существует взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими группами и операторами (2) Т| € С^У)), если оператор считать определенным с точностью до ненулевого числового множителя. Именно этот факт является решающим во всех приложениях теории групп Ли. Благодаря ему оказывается возможным сводить сложные нелинейные задачи к более простым линейным (в некоторых источниках инфинитезимальный оператор называется оператором универсальной линеаризации). При этом локально действие групп преобразований заменяется действием линейных дифференциальных операторов - инфинитезимальных операторов.

Определение 7. Отображение 3 : 1 К. называется инвариантом группы б1, порожденной отображением И, если для любых (г,а)е¥х А

Отображение J{z) также называют инвариантом оператора X группы

О1.

Теорема 1. Отображение Лг) является инвариантом тогда и только тогда, когда выполняется равенство ХЗ = 0.

Для дальнейшего нам понадобится понятие продолженного оператора. С этой целью при рассмотрении однопараметрической группы О1 в пространстве 2-X Х7, где X = К.(л:), 7 = 1Я(», заданной с помощью отображения к с компонентами (1), вводят дополнительную переменную ду у' = — и задают её преобразование ¿¿х:

У =А(х,У,У,а). (3)

При этом должно соблюдаться условие: формула (3) и преобразование производной — при замене переменных (1) должны быть согласова

Лх л ны с равенствами у' ——. Этим условием преобразование (3) однозначно дх определяется для каждой группы О1 ив результате получается однопа-раметрическая группа О1 в пространстве 2Х = К.3(л,У,у') - Группа в1 называется первым продолжением группы О1, пространство 2Х - первым продолжением пространства X, а формулы (1), (3) определяют первое продолжение кх отображения к

Продолжение более высокого порядка осуществляются путем определения действия группы О1 на переменные у', у", . . Оператор продолженной и-раз группы имеет вид

Х =^(х,у)дх +Т1 (х,у)ду +^(х,у,у')ду +.^п(х,у,у',у",.,у(п))Э (в), п) ' * У компоненты ^ (5=1,2, . п) находятся с помощью известных формул [25, 26, 38, 39] по компонентам Т|: где В1 - ¿-я степень оператора полного дифференцирования.

Определение 8. Инварианты продолженной однопараметрической группы О1 называются дифференциальными инвариантами (порядка п)

О) группы в1 или оператора X.

Дифференциальные инварианты однопараметрической группы порядка не выше п являются решениями дифференциального уравнения

Х[Дх,у,у',.,у^)]=0. и)

Вычисление дифференциальных инвариантов старших порядков удобно проводить в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть для заданного оператора (2) известны инвариант 3{х,у) и дифференциальный инвариант первого порядка «/1 (х,у,у'). Тогда производная

Мх.у.у.у)^"-^. где 1> - оператор полного дифференцирования, представляет собой инвариант второго порядка.

Путем дальнейших дифференцирований можно получить диффе

НХ ренциальные инварианты более высоких порядков, тогда 3, , /2 Ш а2л

3% =—г5-, . , «/„ =-г- множество функционально независимых инсИ2 <Н вариантов (базис инвариантов) для «-го продолжения оператора X. Отметим, что всякий оператор вида (2) однопараметрической группы О в плоскости Я 2 {х, у) имеет ровно один независимый инвариант, оператор X имеет {п + 1) функционально независимых дифференциальных иивап) риантов.

Определение 9. Пусть X = К. (х), У = К.(>>), Ъ—X У!. Уравнение вида

4) образованное с помощью некоторого отображения е: 1п (2п - и-ое продолжение пространства 2 ), называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка и обозначается Е.

Предполагается, что отображение £ € Сса{1п ) и удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции по отношению к старшей производной у^, то есть уравнение (4) может быть приведено к виду

Определение 10. ^-мерное дифференцируемое многообразие - это множество N вместе со счетным набором подмножеств £/а <= Д/" и взаимно однозначных функций Х^'.и^ где Уа - открытые связные подмножества пространства К.", называемых локальными координатами, которые обладают следующими свойствами: а

2. Для пересечения любой пары IIа П и^ композиция отображений

Яр0*«"1: Хос является гладкой (бесконечно дифференцируемой) функцией.

3. Если х€ 17а, хе и^ - различные точки множества N , то существует открытое подмножество Ж в Уа, содержащее точку %а(х), и открытое подмножество Ш в У^, содержащее точку %р(л), такие, что

Таким образом, многообразия - топологические пространства, локально изоморфные евклидову пространству.

Далее многообразием мы называем дифференцируемое связное многообразие.

Известно следующее утверждение.

Теорема 3 [39]. Пусть N - гладкое /2-мерное многообразие и £: Л^—►К™, тКп гладкое отображение. Если 8 имеет максимальный ранг на подмножестве М —{1:£(г) =0}, то М - регулярное (п - т)-мерное подмногообразие многообразия N.

Определение 9 и теорема 3 позволяют говорить, что формула (4) задает многообразие Е в продолженном пространстве 1п.

Определение 11.

A. Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение Е заданное формулой (4), допускает преобразование к пространства 2, если многообразие Е инвариантно относительно продолженного преобразования Ип, то есть г(Ьп(гп)) =0 для любого гп € Е.

B. Если уравнение (4) допускает любое преобразование из некоторой группы О1, то говорят, что (4) допускает группу в1 (инвариантно относительно й1). Если группа О1 характеризуется оператором X, то говорят, что уравнение (4) допускает оператор X. При этом О1 или X называют соответственно группой или оператором, допускаемыми уравнением (4).

Существует следующий критерий для вычисления допускаемой группы.

Теорема 4. Многообразие, заданное уравнением (4), инвариантно относительно группы О1 с инфинитезимальным оператором X тогда и только тогда, когда выполняется условие

0. (5) Е

Приведенная теорема сводит задачу отыскания всех однопарамет-рических групп, допускаемых данным дифференциальным уравнением, к решению уравнения (5) (в котором неизвестными являются координаты Г| допускаемого оператора), называемого определяющим уравнением обозначается 2Ж). Здесь действует четкий и хорошо апробированный алгоритм (алгоритм Ли)

Е — ВЕ, подробное изложение которого можно найти, например, в работах [38,39].

Определяющее уравнение обладает рядом свойств, благодаря которым оно становится самостоятельным объектом исследования. Одно из важнейших свойств определяющего уравнения заключается в том, что оно линейно и однородно относительно Г| , а поэтому его можно решить явно в замкнутом виде.

В частности, определяющее уравнение (5) для поиска непрерывной группы, допускаемой уравнением у" —¥{х,у,у'\ записывается в виде

-^„УНПуу -2^)/2 —\ууУ,Ъ + -3%уу'УР~

-п^ -[л, НЧу -и/ ~^уу'2Уу =о

Дифференциальные уравнения первого порядка составляют исключение: для них использование определяющего уравнения для отыскания допускаемой группы неэффективно. Поэтому в дальнейшем (на протяжении всей работы) рассматриваются дифференциальные уравнения порядка выше первого.

Теорема 5. Множество всех операторов, допускаемых данным дифференциальным уравнением, образует алгебру Ли.

Таким образом, определяющее уравнение (5) порождает алгебру Ли операторов, базис которой получается в результате решения (5). Имея это в виду, часто говорят о допускаемой алгебре вместо допускаемых групп. Путем полного решения определяющего уравнения находят максимально широкую алгебру Ли, допускаемую исследуемым уравнением (4), то есть основную алгебру Ли уравнения (4), которая для уравнений порядка выше первого конечномерна. Вообще, для практического решения задач группового анализа часто приходиться иметь дело не с самими группами преобразований, а с их алгебрами Ли операторов.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 6. Дифференциальное уравнение п-го порядка (4) допускает однопараметрическую группу О1, инфинитезимальный оператор X которой не обращается в нуль на многообразии Е, заданной этим уравнением, если и только если уравнение (4) может быть равносильным образом переписано в виде уравнения (и — 1)-го порядка где /, ,., 3п - базис инвариантов оператора X.

Теорема 7. Всякая однопараметрическая группа в1 некоторой невырожденной заменой переменной приводится к группе переносов X =дх.

Определение 12. Рассматривается вспомогательное пространство

Г = К/ векторов / € Г, называемое пространством параметров и отображение е: гп ХГ — К. Для каждого отображения 9: , действующего по формуле t = 9(г), определяется сложное отображение

6(9): 1*, действующее по формуле е(9)(2„) , 9(2)). Эта конструкция позволяет определить класс ©(9) дифференциальных уравнений, представители которого имеют вид фя,9(*))=0. (6)

Если 9 не зависит от 2, то класс уравнений (6) будем обозначать ют.

Можно сказать, что все уравнения класса ©(9) имеют один и тот же вид, отличаясь друг от друга только значением произвольного элемента 9.

Определение 13. Группа преобразований топологического пространства М называется дискретной, если у любого элемента каждой её орбиты найдется окрестность, не содержащая никакого другого элемента этой орбиты.

В теории дискретно-групповых методов рассматриваются преобразования, замкнутые на классе уравнений (в отличие от непрерывных групп, которые переводят уравнение "в себя", оставляя многообразие "неподвижным"). При этом оказывается, что свойства преобразований во многом определяются выбранным классом, а зачастую - элементом, на который преобразование действует. Это приводит к необходимости введения нового термина - "метагруппа" [16, 17]. Естественными требованиями к множеству преобразований являются: a) наличие тождественного преобразования; b) обратимость любого преобразования множества.

С учетом этого и формулируются определения дискретно-группового анализа, о которых пойдет речь в параграфе 1.

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения /Пер. с англ. Под ред. A.M. Эфроса. - Харьков: ОНТИ, 1939. - 719 с.

2. Гросман И., Магнус В. Группы и их графы /Пер. с англ. Под ред. В.Е. Тараканова. М.: Мир, 1971. - 247 с.

3. Делюкова Я.В. К обоснованию метода следа //Дифференциальные уравнения и приложения: Тез. докл. Первой Международной научно-практической конференции .- СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996. С. 62.

4. Делюкова Я.В. О понижении размерности определяющего уравнения // РГПУ им. А.И.Герцена. СПб., 1998,- 8 е.- Деп. в ВИНИТИ №3147-В 98 от 30.10.98.

5. Делюкова Я.В., Зайцев В.Ф. Об одном методе решения нелинейной определяющей системы //VII Четаевская конференция: Тез. докл. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 1997. - С. 144.

6. Делюкова Я.В., Зайцев В.Ф. О максимальности дискретных групп преобразований, допускаемых классом обыкновенных дифференциальных уравнений //Средства математического моделирования: Тез. докл. международной конференции . СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 19.

7. Делюкова Я.В., Зайцев В.Ф. О максимальности дискретных групп преобразований //Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1997. - С. 64 - 72.

8. Делюкова Я.В., Зайцев В.Ф. О максимальности дискретных метагрупп преобразований обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера //РГПУ им. АИ.Герцена. СПб., 1998. 11 с. - Деп. в ВИНИТИ № 3615-В 98 от 09.12.98.

9. Зайцев В.Ф. К вопросу о конечных группах преобразований нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка //Дифференциальныеуравнения: Сб. тр. математических кафедр пединститутов РСФСР, вып. 7, Рязань, 1976. С. 57 - 62.

10. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений //ДАН СССР,- 1988,- Т.299, №3,- С. 542 545.

11. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения-1989- Т.25, №3-С. 379-387.

12. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. Л.: ЛГПИ, 1989. -80 с.

13. Зайцев В.Ф. Группы Ли-Беклунда, допускаемые нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями //Современный групповой анализ: Междувед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1993. - С. 33 - 42.

14. Зайцев В.Ф. Высшие симметрии нелинейных ОДУ //Современный групповой анализ и задачи математического моделирования: Труды XI Российского Коллоквиума. Самара: Изд-во Самарский университет, 1993.-С. 67-73.

15. Зайцев В.Ф. Нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений //Моделирование процессов управления и обработки информации: Междувед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1994. - С. 190 - 199.

16. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Группы преобразований на плоскости: Учебное пособие к спецкурсу. 4.1. СПб., 1996.-40 с.

17. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы: Учебное пособие к спецкурсу. 4.2. СПб., 1996. - 40 с.

18. Зайцев В.Ф., Перес Лопес А., Хакимова З.Н. и др. Современный групповой анализ: методы и приложения. Л.: ЛИИАН, препринт №107, 1989.-58 с.

19. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B., Хакимова З.Н. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений. Л.: ЛИИАН, препринт №105, 1989. - 61 с.

20. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: ЛИИАН, 1991.-240 с.

21. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993.-464 с.

22. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. К теории экспоненциальных нелокальных симметрии дифференциальных уравнений //Сб. науч. тр. Т.8. Орел: ОрелГТУ, 1996. - С. 38 - 43.

23. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Изд-во "Факториал", 1997.-340 с.

24. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Изд-во "Факториал", 1997.-512 с.

25. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983.-280 с.

26. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. - 48 с.

27. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. - 48 с.

28. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН,- 1992. Т. 47, вып. 4 (286). - С. 83 - 144.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям /Пер с нем. Под ред. Н.Х. Розова. М.: Наука, 1976. - 576 с.

30. Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп /Пер.с англ. Под ред. Ю.И. Мерзлякова. М.: Наука, 1980. - 280 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543 с.

32. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.- 271с.

33. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

34. Нерешенные задачи группового анализа: методические указания. 4.1 // VII Всесоюзный коллоквиум "Современный групповой анализ: методы и приложения." Красноярск: Изд-во КГУ, 1989. - 16 с.

35. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности //ДАН СССР. 1959. - Т. 125, №3. - С. 492 - 495.

36. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1966. - 131 с.

37. Овсянников Л.В. Групповое свойство определяющих уравнений //Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр., вып. 7. Новосибирск, 1971. - С. 5-11.

38. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.-399 с.

39. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / Пер с англ. Под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1989. - 639 с.

40. Полищук Е. М. Софус Ли. Л.: Наука, 1983. - 214 с.

41. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 520 с.

42. Свирщевский С.Р. Симметрии Ли-Беклунда линейных ОДУ и инвариантные линейные пространства //Современный групповой анализ: Меж-дувед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1993. - С. 75 - 83.

43. Свирщевский С.Р. Высшие симметрии линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и линейные пространства, инвариантные относительно нелинейных операторов. М.: Институт матем. модел. РАН, препринт №14, 1993. - 24 с.86

44. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. - 3 т.

45. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1953.-468 с.

46. Сушкевич А.К. Теория обобщенных групп. Харьков - Киев: ОНТИ, 1937. - 176 с.

47. Рудин У. Функциональный анализ /Пер с англ. Под ред. Е.А. Горина. -М.: Мир, 1975.-445 с.

48. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 432 с.

49. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Наука, 1975.-Т.1.

50. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Мир, 1975.-Т.2.

51. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований /Пер с англ. Под ред. М.М. Постникова М.: ИЛ, 1947. - 360 с.

52. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Discrete group methods for integrating equation of non-linear mechanics. Boca Raton, CRC Press, 1994. - 312 p.

53. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Exact Solution for Ordinary Differential Equations. Boca Raton, CRC Press, 1995. - 721 p.