Метод статистико-геометрических подрешеток в теории упорядочения в кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Государственный комитет РФ по Висшеиу образсжшшх Уральский Ордена Трудоного Красного Знамени Гос^^рственныЛ уциверои от кн. А. М. Горького

На прааак рукописи

КАЦНЕЛЬСаН Марина Львовна

МЕТОД СТАТИСТКК0-ГЕ0ЩТО1ЧЕСКИХ ПОДРЕШЕТОК В ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ

01.04,07. - физика твердого теля

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физика-матеиатическик наук

I

Пкачаринбург 19(13 г.

РаОота наполнена в лаборатории теории растворов Институва металлургии УрО РАН н на кафедре компьютерной физики Уральского госункверситета.

1

Научная руководитель : доктор физико-математических наук \ А. В. Никифоров

'.I ^ ■

Официальное оппоненты : до,втор физико-математических' наук

I * Е.В. Сииицын ,

II • ■ ' ' ' - ••

I | кандидат физико-математических наук

| | В.Н. Лаптев

И . • ■

I

Ведущее учреждение - Российский научный центр I "Курчатовский институт"

Зацита состоится "$ 1893г. в /-^"час.

на заседании специализированного совета К06Э. 78.04 по присуждению ученой степени кандидата физМко-наТематич^ских наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени Государственном университете им. Л.М.Горького (г. Бкатеринйург, К-ВЗ, Б20083, пр. Ленина, 61, комн. 248)1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского госуниверситета.

Автореферат разослан " " 19а?г. -

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат фнзико-матаматическкх наук, старший научный сотрудник

-2-

ОБЗД ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки нсследовани-.. При описании процессом упорядочения в сплавах, ^ также магнитного упорядочения в кристаллах одной из ключевых является проблема нахождения всех возможных сверхструктур, т.е. способов понмяения симметрии исходной кристаллической решетки при упорядочении. С натеиатической точки зрения 2Т2 гад2';з дсс^исри^их скеркетруктур ¿кишммшнтма задаче разбиения исходи., л решетки на лодрешетки, каадая иг» которых окрашена в своя цвет.

Традиционный подход к решении задачи о понижении скиметрии кристалла при кристаллохиничгским или иапштнои упорядочении оснонан на введении феноменологического потенциала Ландау и Применении теории представлений пространственных групп (1-4).

Однако, именно с феноменологическим характером подхода . лщау-Лифаица связаны не только его преимущества, но и некотр|жз ограничения. Для интерпретации ® эксперимента желательно ле

просто способы описания возникаодих сверхструктур цо и

использовать это описание для получения и; форцадщ р характера межатомных взаимодействий, ответственных за фцаоодА ПврздйД (дальнодействие или Олизкодейстине), характере СИЛ (ПЧр{«?Р непарное взаимодействие) и 'г.п. П«ЗТ°!<у й 'дополнение к феноменологической теории Дандау-^фзиця «е-гщтельно иметь нетодь?. позволяющие перечислять (юзцооде сйерхстру!<турк непосредственно из анализу никрис^апячесм«« цодялей.

По-видимому, псРРш1 попетка развить такой метод рила предпринята ({анлморя [б! для изинговской спиновой сисхснц ро онешнем магнитном пола (натод геометрических неравенств). 0 работах 7| метод геометрических неравенств применяется для оя[юдело1тя сверхструктур в замещенных Оинарних кубический системах при учете парного взаимодействия первых и вторда сиседой. Однако, вопрос о полноте системы. неравенств не ставится и не рошантея, понтону метод Кананори не гарантирует нахождение всех возможных сверхструктур при данной характере взаимодействия.

Диссертация посвящена разработке статистико-геометрического подхода, позволяющего получит1. полный и строгий перечень всех возможных основных состояний решетки в подели Изинга с копечшл!

радиусом парного взаимодействия.

Модель Изинга достаточно широко распространена, она является моделью бинарного сплава, анизотропного магнетика, реиеточного газа. Ннсется очень неводъшое число двумерных моделей, которые ^Пыли решены (т.е. вычислена их свободная энергия). В частности, это модель Изинга в отсутствие внешнего поля. Однако, двумерные модели часто дают качественное представление о реальных системах. В самом деле, ; имсатся кристаллы с сильными горизонтальными и слабыми вертикальными взаимодействиями (примерами являются яъ2МпР4, к2сир4). Двумерные модели могут быть весьма ; полезными для описания таких кристаллов. Для трехмерной модели Изинга точного решения не получено. Пркблигенные ^егоды (моделирование на ЭВМ И т.д.) могут привести к потере некоторых решений. Более того, моделировании должен предшествовать1! симметрийный анализ, который дает общие соотношения Между параметрами взаимодействия. В данной работе такой сикметрипный анализ проводится в рамках модели Изинга (а не общий феноменологический анализ Ландау).

Исследование основного состояния кристалла позволяет ответить на ряд существенных вопросов;

1) как выбирать пбдрешвтки в исходной кристаллической-решетке,- на базе которых построены традиционные приближенные методы -еории упорядочения 1В|? . •

2) как выбирать сверхструктурные волновые векторы к (например, в методе статических концентрационных волн I 9 );•, в методе расширенных элементарных ячеек (101? •

3) как связан потенциал взаимодействия с симметрией упорядоченных Фаз, с геометрическим строением возникающих в кристаллической решетке сверхструктур?

Ответы на .чти вопросы позволяет построить последовательную приближенную статистическую теорию упорядочения, в которой упорядоченная кристаллическая структура получаете« как следствие при заданном характере и радиусе взаимодействия, причем рассмотрение ведется в реальном пространстве.

Цель работы - создание теоретико-группового« метода отбора и анализа энергетически выгодных структур и фаз кристалла при фиксированной решетке в : микроскопических моделях упор.'дочиваицихся «плавов или магнетиков.

Научная новизна и практическая ценность:

- предложен новый теоретико-групповой способ описания и перечисления подрешеток и сверхструктр в заданной кристаллической решетке на основе перебора цЛ'чтриктных абеленых групп с ааданнш числом элементов и неэквивалентных троек их образующих (для Трехмерных решеток), сформулирован строгий критерия отбора неэквивалентных структур;

- разработан и реализован на ЭВИ алгоритм, поэволяицип найти все правильные разбиения данной кпиотадчической ренет4.«: произвольное число подрешеток. На основе предлоаонного алгоритма сос/'.влон полный список правильных рлзбиений одномерных (лингйная цепочка), двумерных (квадратная (КБ), прямоугольная (ПРЯ13), роиСическая(РОМВ)) и трехмерных (ПК, ОЦК и ГЦК) решеток на г « 3 подрешеток; -

- развит нетод отбора энергетически выгодных сверхс. руктур (нозыожных основным состояния) в модели Изинга с учетоа взаииодейевия а 1,2....., к-П координационных сферах;

- составлены таблицы всех возможных сверхструктур в изинговских ииетснах (бинарные сшиты, магнетики) с одномерными (линейная цепочка),двумерным« (КВ, ПРЯМ и РОМБ) и трехмерными (ПК, ОЩС и ГЦК) решеткааи, состояетеги не более, чей из воська подрешеток, которые ногут быть энергетически выгодны»!! в основном состоянии при учете взаимодействия о к »1,2,3 координациошш сферах;

- праводгио обобщение предлокенного метода описания и отбора подреиеток и саерхструктур основного состояния р изиигоссггих системах на случай сясшшх решеток < решеток с йазиг.рч);

- найдены все правильные разбиения ГПУ решетки на подрешетин при I < В и все иодножие типы сверхструктур в модели Изинга с

. учотон взашшдеяствия в и »1,2,3. координационных сферах.

Полученные к работе результаты, п особенности таблица всех возможных опер*, структур, могут служить , основой не только для экспериментальной расшифровки дифракционных экспериментов, но 1( для пписка новых материалов, н которых предсказанные структуру ногут Сыть реализованы. Полученные результаты такае могут быть использошлш мл л извлвчемия информации о пезатошшх взаимодействиях,, для описания процессов намагничивания н интерпретации фазоних пароходов в . изинговскик

онтиферромагнитиках.

Напил теоретико-групповой язык оказывается полезным при построении последовательной статистической теории. В частности, в рамках п роллом иного метода мсино цвести группы, аналогичные L-группнч гуфана |3), о такжо параметр порядка Ландау и построить термодинамический потенциал и фазовые диаграммы |4). Новый нетод полет быть , полезным при проведении сииметрийного анализа, иредиестиукцего моделировании^ на- ЭВН с использованием метода Нонте-Кэрли ¿11,12!.

Апрог.щия результатов. Основные результаты работы докладывались) ка vit Всесоюзном Симпозиуме по спектроскопии кристаллов, Активированных ионами3 редкоземельных и переходных металлов (Ленинград, 1982 г.), на vit Всесоюзной Совещании по упорядочению ,атоков и его влияние на * свойства сплавов (Свердловск, 11983г.), на ХП Европейской Конференции по кристаллографии (Москва, 1989г. ), на х Международном Симпозиуме по эффекту Яна-Теллера (Кишинев, 1989г.), на v Всесоюзном Совещании "Диаграммы состояния металлических систем" (Звенигород, 1989г.). •

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит мз введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный объем работы составляет 194 страницы, из них 65 страниц занимают рисунки и 28 страниц - таблицы. Список цитированной литературы, содержит 76 ссылок. 51

ОСНОВНОЕ ООДЕРХАНИЕ РАБОТЫ.

Введение. Г,о введении обоснована актуальность проведенных исследований, сформулированы цели и задачи работы, кратко описана структура диссертации.

Первая глава посвящена изложению теоретико-группового способа описания систем, подрешеток и сверхструктур в простыл кристаллических решетках. РазОиение решетки на эддрешетки назовек трансляционно правильным ' разбиением, а непересекающие«

подмножества в^ва.....в» множества узлов кристаллической решетк»

я - статистико-геоиетрическими подрешетками (СГП), если I

е

результате трансляции узлы одной подрешегки целиком переходят и узли другой иодрешетки. Структуры, полученные на базе таких геометрически правильных разбигчий, являтся удобными объектами при теоретическом^ анализе классических решеточных моделей статистической физики. Огиюда возникло и само название: таких •объектов - статистико-геоиетрические под решета и. С каздой расширенной элементарной ячейкой (РЗЯ), возникающей при фазовоа переходе из неупорядоченного состояния в упорядоченное, «сдает Сьтъ CE^DSiia тракалпцинино правильная система подрешеток н наоборот.

Трансляционно правильное разбиение решетки на t подрешеток определяет гомоморфизм груши трансляций решетки т на некоторую группу перестановок подрешеток под действием трансляция. На абстрактном групповом языке группа перестановок есть циклическая группа порядка t : о - <ov> (или прямое произведение не Солее чем трех циклических групп а » <апхь"хс1> , где nmj » t ЦЗ]. Гомоморфизм т - о может быть :ид«и следующим образом: 1> выбираем три произвольных элемента вt,e3,a3 i а, порождающих группу О;

2) отображение г, ei% тг - г3 - в3, где г,,та,т3 - фиксированный образующие группы трансляций решетки, единственным образон продолжается до гомоморфизма т -» о. Абстрактный Ыл (О.с, ,б3,б3> однозначно задается исходным правильным разбиением решетки на пбдрешетки. Очевидно, что перебирая все возможные неэквивалентные тройки {а,,вг,вяь порождавшие группу о порядка t, мы получим все возможные ^способы трансляционно (травильных разбиений .трехмерной кристаллической решетки на t подрешеток, т.е. для известной кристаллической решетки перечислим все возможные систем СГП при заданном числе подрешеток.

Обратно, теоретико-групповой сод (o,at ,аг,ва) однаацвчко определяет трансляционно правильное разбиение решетки на подрешегки (т.е. СГП).

Два. правильных 0ГП-ра,збиения считаем эквивалентными, если одно можно получить из другого о помощью преобразования симметрии федоровской группы peine гки или перенумерацией подрешеток. Неэквивалентность разбиений проще всего устанавливается с помощьв инвариантов qj. Они играют важну» роль и при энергетическом отборе систем СГП (см. Главу ru.

Пусть Tj с т - множества трансляций на расстояние /-координационной сферы. Тогда qj -число трансляций из KoropiM при гомоморфизме т а соответствует единичный элемент. Очевидмо, что для эквивалентных систем СГТТ все характеристики qj должны совпадать. Неэквивалентные системы СЩ в одномерных (линейная цепочка), двумерных (KB, ПРЯМ и РОНБ) и трехмерных (ПК, ОЦК и ГЦК) решетках перечислены в таблицах к главе I в Приложении. (Например, ОЦК решетка может быть развит«] на две СГ-подрешетки 1 двумя неэквивалентными способами, ^ на три СГ-подрсшетки W тремя неэквивалентными способами, на четыре СГ-подрешеткИ; -j семь» неэквивалентными способа»» и т.д.

В конце первой главы дан способ описания сверхструктуры на языке группы Пусть s -м,Т,в,[},г,...), множество возможных состояния на узлах решетки, зависящее от т.«лэ рассматриваемых задач: а,в - рорта атомов, 1 - проекция магнитного момента или псепдоспина,

Q - вакансия, г -тип d-орОитали для ян-теллеровского иона и т.д. Для задания сверхструктуры достаточно для каждого я « s указать, какие из подрешеток окрашены в цвет s. Зададим систему м ** |М,( из в непересекающихся подмножеств группы а. Тогда Oj « м, будет означать, что подрешетка fy окрашена в цвет s. Итак, код сверхструктур: (о,б,,вг,в3,|м,|). Для бинарных сверхструктур, например, лля сплава »ia.bi, и можно ограничиться записью

(а,«1 ,в2,в3,мА). имея в виду, что м„- о \ мА. .

В результате перебора сверхструктур на базе' ПК решетки получаем 486 вариантов сверхструктур, ОЦК и ГЦК решетки - по 406 вариантов при t < 8. .

Согласно правилу энергетического отбора сверхструктур оказалось, что этих вариантов вполне достаточно для исследования k-иодели при к *3 (Глава mfi4j.

Вторая глава посвящена изложение теории энергетического отбора СГ-подрешеток и сверхструктур основного состояния для простых кристаллических решегок. В модели жесткой кристаллической решетки (НЖКР) при учете лишь парного взаимодействия конечного радиуса (k-иодель, |14l) конфигурационная внутренняя Сергия кристалла, приходящаяся на один узел есть линейная функция переменных р,,

Р,

*

«р> -У^.р. £ ^ <»»

г *! -'а

где р, - одноузсльиая пероятнссти: вероятность того, что на узда решетки реализуетси^иостоялпе >; • гшр, - приведенная

парная, вероятность, где гл -число соседей на расстоянии го-й

координационной сферы, р}в$ - днуузельная вероятность:вероятность

| а

найти пару узлов,"занятых состояниями з, и з8 на расстоянии гж ; и энергетические параметры одночзстичного и парного

а «

взаимодействия! р.« <...р, .....р.'Т',...>.

. ■ 1 «а

Будем считать, что выражение (1 > содержит только независимые статистические и энергетические величины. Тогда проблема основного состояния в Н1КР может быть сформулирована следующим образом:

найти статистические характеристики р » (...р, .....р}"} ,...>,

для которых внутренняя анергия кристалла е<р> (1) минимальна, и конфигурации в (сверхструктуры}, для которых достигается Минимум внутренней энергии кристалла (1).

Решение проблемы основного состояния в кристалле согласно известной теореме линейного программирования 1151 сводится к нахождению всех "крайних" точек й-мерного выпуклого множества а (множество всех точек р, для которых существуем определенна^ св^рхструктура). Если множество К является ннорогрэдн^ком (Т<?> чйсло нсравоиств, связывающих статистические параметры ИРДел?» конечно и все они линеяны), то реяоцне задачи минимизации линейной ^»функции <1> сво/дотод (« церебору всех веракн многогранника м.

Наиболее ачср(Щ1(М Р решннию задачи <1) - определения

многогранидоз И методой построения неравенств, связывающих параметры р I5-7]. Записывается система линейных неравенств»

связывающих независимые параметры ...р, .....р{и{ ..... Вопрос о

полнота системы но рассматривается, следовательно, система неравенстн определяет некоторой многогранник М'> м. Перечисляются вершины м1. Вершина многогранника М' является вершиной многогранника м в ¡ом и тальке г-н тон случае, если для каждой вершины м1 удается подобрать соответствующую сверхструктуру а. Таким образом, для каждой найденной методом неравенств точки р нужно решать задачу подбора конфигурации,

причем, если решение подобрать не удается, то "сясно,

свидотсльствует ли это о неполноте системы неравенств или о

сложности искомой конфигурации.

В настоящей работе предлагается следующий подход к решению

задачи * структурах основного состояния. Пусть (9,1 - набор

конфигураций | (сверхструктур), удовлетворявших некоторому

ограничению (например, ограничении на размеры РЭЯ), ((>(э,н -

система соотнетствуьщих точек .&]> и м" - выпуклая оболочка точек

!р( Э|) I. Очевидно, что м" е и. Ограничение на набор <р(э, >|

следует считать"хорошим", если М" ■ м , либо, если подавляющее

большинство ¿е£ншн и* является 0и вершинами и. Критерием

пригодности выбранного ограничения может служить сравнение

конфигураций | »¡, для которых р<9() « М", с известными

экспериментальными сверхструктурами, либо со структурами,

найденными дружный методами. Другим критерием может являться

устойчивость множества м" к расширению набора ( в, | (внутренний

критерий метода). Отепт, что сувественним достоинство« такого

подхода к реиениа задачи основного состояния в кристалле является

отсутствие необходимости п реиении задачи подбора конфигураций

Наиболее трудоемкой частью решения задачи является отбор

"крайних" точек в наборе (,..р,<9.>.....р'га] • (»,>....>*

1 2

составляющих вершины многогранника г.". Для . каждой

конфигурации (а,«!,са,йа.м,>> каесдейся в списке сверхструктур,

получснсм для эадзнпоя кристаллической решетки .. (Глава I),

одночастичиае и парнис йсрсятассти мзгут бьзть рассчитаны по

формулам, приведенным в работе. В результате' имеем набор

<к*1)-нерных точек (...р,о,),,..,< »о,...), на которьн

12

натятивается многогранник Н". Вершины этого многогранника (крайние точки нлбора <...р,(» »••'...< 9!),...) и

соответствуют тем конфигурациям, для которых энергия (1) инимальна.

Легко показать, что для конфигураций 9 , описываемых кодом {а,в1,вг ,в3,м, »1е))- сверхструктуры, у которых одна подреиетка заполнена состояниями 84, остальные подреиетки Г^полненн другими состояниями - одночастичные и парные вероятности рассчитываются по простым формулам:

р, о*) -- л/г , (2

pí«Ja(9*) > 4n/2t , (3)

где qra - инварианты, bbíденные в главе i, t - число подрешеток.

Сформулируем правило, ограничивающее число способов разбитшй решетки на подрешетки. Правило отбора ТП систем подрешеток для простой кристаллической решетки в к-модели:

энергетически выгодными системами подрешеток (оптимальными СГП) для данного радиуса взаимодействия г = г„ могут быть только те,' ктгоруе 0T5942ST ;:aScps

(Usti, я!1 , °<J¿"/2t, ,...,q¿n/2t,)) (4) Правило отбора ТП систем подреветок (СГП> математически эквивалентно нахождение t основных, состояний в кристалле для множества конфигураций ) (см. (7)-(8)>.

Важно отмотать, что, если вести поиск о новных состояний кристалла на расширенном множестве конфигурация tэл> (9), то а большинстве случаев полученные при этом решения 'о.я,,бг,<í3.m, V

баз!фуится па тех re сзют системах СГ-подрягеток ro,f,, что и pesetera для ÍB), tmetmrrca только- м, .—Это праокло й«гк>

подтверждено численной проверкой для бинарного сплава, а та ¡его дял тройных систен на базе Hit, О'ДК и ГЦ!! реаеток.

Вычеркивая элемента па. Т'11, на тел сайга кзйашгягкея oí* souCstrjfpasyyt, сяутрзшкм гйерггл котерж не является кяшишякю ни при геакт? значениях Энергетических параметров .is,.TÍ™Jg.

Оставшийся базисные элементы ТЧД соответствует конфигурация»,. которые ойладаиг мшйыадьшА внутренней знерп;зЛ при опред&лекзшх значениях Jg.JÍ*^»

Энергетически выгодные (оптимальные) ТП системы подрешеток для одномерных (линейная цепочка), двумерных (КВ, РОЙБ, ПРЯШ, трехмерных (ПК, ОЦК, ГЦК) решеток при учете взаимодействия в к 1 1,2,3 координационных сферах перечислены в таблицах к главе ti В Приложении. В частности, для ПК решетки при k=l имеется лишь две ТП системы подрешеток Ияа«=2), при к » 2 -7 СГП-систем (tma*=4)© а при к * 3 -ir, причс г tm,x=0. Для ОЦК решеткй имеем при k=í две ТП системы подрешеток ttmtK=2), при к = 2 -5 (tn„=4)f "три к » 3 -15 (t„ex=8). Для ГЦК решетки сответствуюцее число ТП. систем подрешеток: к = 1 -3 (tm(lí=4), к = 2 -8 а не 8, как в

(91), к = 3 -14 (twex=8) '

Сверхструктуры основных состояний бинарной Системы арвч на ба-' во некоторых йноыернцх, двумерных и трехмерных решеток при учете взаимодействия в трех координационных сферах приведены в таблице к главе I1 в Приложении. В качестве независимых выбраны параметры Ра. р!Л' ,рХзЕ* • рЛаВ частности, &ля ПК решетки при к=1 имеется 2 сверхструктуры, при 1;=2 - 8 сверхструктур, при к=3 - 27. Для ОЦК решетки при к=1 иыеен 3 сверхструктуры, при к»2 - Б сверхструктур, при к=3 - '29. Для ГШ решетки при к«1 имеем 6 сверхструктур, при к-2 ~ 12 сверхструктур, при к«3 - 31. Интересно отметить, что большинство известных сверхструктур бинарных сплавов получается при учете взаимодействия в первых двух координационных сферах: ЫаС1 (к=1), СвСНк«1), КаТе<к=2>, ТвзАЦк'2), СиАШ (к»1), Сц3Аи(к»1), А>3ТИк»1), СнРН(к»2), сорик1с»2). Кроме того, для Ш решетки при учете вэаимодейстЕг;«:11 в первой координационной сфере могут появиться сверхструктуры состава ал, пр# к«2 сверхструктуры составов ав, авэ ; при 1с»3 -сверхструк туры С1,-:тааов ав, ав3, ав7 и АзВ8 . Для ОЦК решетки •при к=1 имеем сверхструктуры составов ав, при к»2: ав, 'ав3 , при к=3 сверхс;руктуры составов АВ, АВэ, АВг, А84 , кг В3 , АВв , и а3в„. Для ГЦК решетки при и«1 инеем сверхструктуры составов ай.АВз , при к-2: АВ, АВ| , АВ3 , АВВ . При к»3 АВ , АВ, , АВг V

АВв , АВ7 И А3Вв . ^

» ' . ' ' # '

В третьей главе метод статастико-геоуетрических подрешеток обобщается на случай сложных решеток (т.е. решеток с Сазисои), представляющих робой суперпозицию нескольких эквивалентных взаимопроникающих прити решеток Браае Нц , а,, |ц ... Для описания систем СГЛ сложных решеток мояет быть использован теоретико-групповой код 1а,ех,ег,б9,<1ич,сищ,...), где в„у - гомоморфные образы трансляций ..переводящих решетку

Браво в решетки Враве 1ц, к, .... Процедура перебора ТП систем подрешеток в случае сложных решеток сводится к перебору конечных абелевых групп а : и элементов е1,вг,ва,сиу,вии,.... Эквивалентность двух СГЛ может быть установлена с помощью инвариантов ч}ч>. ч, определяемых аналогично ц^. Перебор 'всех возможных неэквивалентных систем СГ-подрешагок для некоторых сложных "решеток (в частности, для ГПУ решетки), а также расчет

> ч$*< • • выполнен на 1ви рс ат, Результаты представлены в "ТеЬлице к главе Ш/,в Приложении.

В главе in содержится также изложение теории пнергетичискогв отбора СГП для сложных решеток на примере бинарного сплавп лрв.,. Предполагается, что лрСвило отбора оптимальных СГП, проверенной, численно для простых решеток, хорошо работает в случае решеток с базисом. Следует отмётить, что ТЧД для ГЦК и ГПУ решеток при !.- * 1-* совпадает (с точностью до масштаба «jj - q^), поскольку взаимное расположение атомов n пргпу* двух г-пстнеукоксванквх слоях обеих решеток одинаково.

• Оптимальные СГП некоторых сложных решеток приведены в таблицах 3.4-3. Б Положения. Проведен энергетический отбор сверхструктур в сложных кристаллических решетках (в частности, ГПУ решетке)? Результаты приведены в таблицах 3.8-3.9 Приложения. Например, для ГПУ решетки при k-i имеется 5 свсрхструктур основного состояния, среди которых хорошо известные сверхстр:- стуры типа в19 (гексагональный аналог структуры ll0 <cuAu) в ГШ решетке) и оо1Э-(Mn3cd) (гексагональный аналог структуры lis(Cuau3) в ГЦК решетке), при k*2 meek 19 сверхструктур (добавляется еще 14 сверхструктур, в тем числе известная структура-в„ (гексагональный, аналог структуры li( (CuPt) в ГЦК решетке), при к»3 имеем Sí сверхструктуру. (

Отметин,- что *пря учете взаимодействия в :ервых трех координационных сферах сверхструктуры стехнометрических составов дв7 и а3в8 получить не уцается. Однако, сверхструктуры этих составов перечислены в работа 18,16). Следовательно, либо правило отбора СГП-подреюеток для ГПУ решеток нарушается в. третьей координационной сфере, либо сверхструктуры составов ав7. должны появляться при учете взаимодействия более чем в трех координационных сферах (к > 3). Многие сверхструктуры, особенно стехиометрических составов лва и ав0 предсказаны впервые.

В четвертой главе проводится сравнение результатов, полученных методом СПТ, с результатами других теорий упорядочения в. кристаллах, а таю». , обсуждаются некоторые возможности применения метода СГП. ©

Предложен опособ перехода с языка (0,etle3,e3) на язык волновых векторов к с помощью неприводимых представлений " группы а. В таблицах 4.1-4,3 Приложения приведены к - точки в первой! зоне Бриллюэна (ЗБ), соответствующие энергетически выгодным; системам СГП (Глава Ш я с нове ПК, ОЦК и ГЦК решеток1 при к «¡ 30

Приьыдсм тачки иа перьой ЗБ в единицах 2я/а с. для систем СГП на базе ПК, ОЦК^ч ГЦК решеток, причем для каждой заезди волнового вектора |Ы оставим по одному представители. Номер координационной сферы обозначен г. Лифшицевские точки (си, (21) (Зйозначены Результаты метода СГП хорош;) согласуются с

результатами сиыыетрийного отбора Ландау-Лившица 11,21 при учете взаимодействия в первых двух координационных сферах (особенно для ПК и ОЦК решеток). В .третьей координационной сфере число нелифшицевскнх точек увеличивается. ПК г=1 (1/2 1/2 1/2)* ^ г=2 (О О 1/2)*, (0 1/2 1/2)*, (О 1/4 1/2)

г»3 . (1/3 1/3 1/3), '<1/4 1/2 1/2), <1/8 1/4 1/2),

(1/4 3/6 1/2), (1/4 1/4 1/2) г-1 (О 0 1)*

г;2 <0 1/2 1/2)*, (1/2 1/2 1/2)*, (1/3 1/3 1/3) г«3 (0 0«2л.|,,(0 1/3 1/3), (0 1/4 3/4), (О 1/Ь 3/Ъ), (2/5 2/^ ^/б), (1/6 1/6 4/6), (1/6 1/6 2/3), (1/4 1/4 1/2), (1/8 1/4 Б/в) »

ГЦК г*1 £0 О 1)*, (О 1/2 I)"

г-2 (1/2 1/2 1/2)*, (О 2/3 2/3), (1/4 1/4*3/4),. (1/6 1/2 5/6)

г=3 (0 0 2/3), (1/3 1/3 1/3, <0 1/2 1/2)*, (1/6 1/2 1/2) йетод СГП выл применен для нахоадения основных состояний иаинговского магнетика, проведено сравнение с методом неравенств Канаиори (51. В частности» такое сравнение для ПК решетки позволяет сделать следуввде выводы:

1) правило отбора СГП, сформулированное в главе и, для ПК решетки хорошо работает вплоть до третьей координационной сферы включительно*,

2) метод СГП позволяет получить более полный набор сиерхстру^тур По сравнении с методом неравенств (система неравенств, по-видимому, является полной): метод Канамори дает для ПК решетки три структуры состава Аав3, метод СГП - 6; для состава ав? катод Канамори дает одну структуру, метод СГП - 5; для состава а3в0 аналогичное число структур 3 и 11 соответственно;

3),,Даже для найденных из система неравенств значений р^т, * Ч^одо. взаимодействующих - пар отрицательных спинов в }-& ц^йрданациошшй сфбфе, гг< -общее число отрицательных спинов, * •

m/N, N - число узлов) подобрать все возможные структуры дом.-^ьяс/* трудно; в методе СГП такой проблемы не существует:, сначала перечисляется возможны.-'' структуры, а затеи для ка,*дой из них рассчитываются одночастичные и парные вероятности (фактически, тс же значения pj/m, х).

ü главе IV предложен метод предсказания фаз, занимающих промежуточное положение на фазовой диаграмме между полностью неупорядоченной фазой и фазой основного состояния. Вместо * концепции фазового перехода но одному неприводимому представлению вводится правило отбора фаз, сформулированное на языке подрешеток и учитывающее информацию о сверхструктуре основного состояния. ' Предложенный метод применен .для качественного описания фазовой диаграммы упорядоченного бинарного сплава, изинговского магнетика, ян-теллеровских систем. Можно вселить три типа взаимодействий между ян-теллеровскими (ЯТ) ионами: электронно-колебательное, квадрупольное и обменное |17ь

Первое из них связано с деформацией окружения данного иона: в кристалле деформации, вызванные разквми , катионши, взаимодействуют между собой (колебания из локальных превращаются в фононы). Описать это взаимодействие удобно на языке псевдоспинойого представления.■ Схематически лолучапцийся гамильтониан имеет вид, сходный с гамильтонианом Гейзенберга (или Изинга) для псевдоспииов:

н - Z ( J'-тЧ* * JTjtM ) (5)

\.J и i J U l i

Другим видом взаимодействия, которое также может привести к орбитальному упорядочению, является прямое квадруполь-квадруполь— ное взаимодействие. В случае i -орвиталей оказывается, что квадру-польный момент можно выразить ^гарез те se псевдоспины т, так что. взаимодействие приобретает вид, сходный о.(5).

Обменный механизм приводит одновременно к упорядочению и спинов, й орбиталей. Эффективный гамильтониан зависит от двух типов переменных » и г и в Простейшем случае имеет вид:

Н ^JM Л,»,«, * JjT!^ ♦ <6%

Вследствие этто ' вог "икает своеобразное взаимодействие между спиновыми и орбитальными подсистемами, а также появляется возможность влиять на орбитальную структуру магнитным полем. Используя метод, развитый в данной главе, удалось описать, в частности, рассчитанную мётгчом Монте-Карло фазовую диаграмму в

1S

ньинговской квадратной решетке при учете взаимодействия первых и вторых соседей |11ь в также экспериментальна наблюдаемую фазовув диаграину в ксик3 (101.

В заключении перечислены основные результаты работы и указаны направления дальнейших исследований.

ОСНОВНКЧ РЕЗУЛЬТАТ!! РА60Т11 1. Предложен новый теоретико-групповой способ описания и перечисления подрешвтск и сверхструктур в заданной кристаллической решетке на основе перебора Абстрактных абелевых "групп н их образующих, причем рассиотранме проводится в реальной пространстве.

92.Разработан алгоритм для ЭВМ, позволявший найти рее правильные разбиения данной кристаллической решетки на произвольное число подрешеток. НсР основе этого алгоритма составлен полный список правильных разбиений для рада простых кристаллических решеток, на 1 « 8 подрешеток. ' \

3, Разви„т истод отбора энергетически выгодных сверхструктур (возможных основных состояний) в модели Яоинга с учетом, ьзаиаодейстБия в 1,2,...к-й координационных сферах. Проблема сведена к нахозздениэ вершин выпуклых многогранников в (и+1)-мерно'1 пространстве.

4. Составлены таблицы всех возможных сверхструктур р изинговскик системах (бинарныа сплрва, магнетики) для некоторых простых решеток, состоящих не более, чем из еосьия подрешеток, которые иогуг Вить энергетически выгодными в основном состоянии •при учете вэаицодейсгаш в ¡с-1,2,3 координационных сферах. Это позволяет на основе экспериментально найденной фазовой диаграшш бинарного сплава (иагнетика) делать выводы о .характере мехатоаных (обменных) сааимодеПствий. В частности, для бинарного сплава на безе ОЦК роаопей сверх структура типа сзс1 реализуется при учете парного взаимодействия Олиздйошк соседей (первая координационная сфера), саоркетруктуры. тнпа НаТ1 „ РвзА1 появляется при рассмотрении парного вэашодейотвия первых и вторых соседей (вторая координационная с$ара), а сворхструктура типа сггА1 ползаете« да^ь прл учете гззаинодеястоия вплоть до третьей координационной сферы,

5. Проведено обобщение метода описания и отбора подреюсток и" сверхструктур основного состояния в иэинговских систем.« на случай сложных решеток фешеток с Оазисои).

6. Найдены все правильные разбиения ГПУ решетки па подрсгавтки при t < 8 и все возможные типы сверхструктур в модели Иэинга ö учетом взаимодействия в к=1,2,3 координационных сферах. Показано, что максимальное число подреиеток. на которое мохет быть ряялитя ГПУ решетка при к-2, равно шести (в отличив от [91, где при учете взаимодействия в двух координационных сферах^ решетка делится на . восемь подреиеток и сортветстьенно ввбДится семь параметров дальнего порядка). Рвсснотрены позцогннз типы упорядочения в висмутовой подреиеткв высокотемпературного сверхпроводника bscoo.

7. Предложен метод качественного описания фазовой диаграммы упорядочения изииговской системы, позволяющий ,, казать симметрия всех промежуточных фаз между полиостью неупорядоченной фазой и фазой основного .состояния. В частности, используя этот метод,, удалось описать экспериментально наблюдаемую фавопую диаграмму в псаFa . " •

^.Основные результаты диссертация опубликована в следующих работах! •

1. Мень В.Д., Левитан!КаицельсоН) ПЛ. Теоретико-групповой метод априорного описания фазовой дЙаграиыа упорядочения изинговс-* коя системы. -1982. -Деп. ВИНИТИ 7 сентября 1982г., W 476D-82.-20с.

2. Мень Б.Д., Леэитан(Кацнельсон) И,/. О правильных и оптимальных разбиениях кубических решеток на падреиетки.-1983.-Лет ВИНИТИ 14 декабря 1983г., N 6777-83.-Z9c. '"■'.•

3. Hlklforo» A.B., shasltkl» S.Yu., be*ltanCXatsnelsoft) M.t. and Ag&mlyan Т.Н. ¿«operativ« Jahn-Teller Orbital Orderine tri KCuV3 and KsCuF4.Crystals•// Phyi. Stat. 8ol.(b). 1984.- V.118.-Nl.'r P.419-426. . '

4. Men В.A., tevi tan(Katene)son) M.L., A.N. Men. Influence

of the Cround rtate Sy-metry of the qualitative Form of Ordering Phase Diagram /v Phys. Stat. 8ol.(a>. 1983.- v.77.- N2.-P. 465-461.

5. Men B.A.and Levltan(Katsneleon) M.I,. Analyst! of the Ground State of the Solid 8olut'on with interact I one up to k-th-Coord t~

na t! oria 1 Spheres of the Crystal Lattice // Phyfj. Stat. Sol.(a).-'"'1384.- V.ftb.- P.S1-60.

6, Ken D.A. and Kalsnelson M.L. The around Statu Superstructures tn Ordered Binary B.C., B.C.C., and F.C.C. Alloys with Pair Interact ion» up to Third Neighbour» //, Fhys .Stat ...sol. (a). - 1965.-V.87.- Hi.- P.94-10S.

. 7. Кацнельсон U.Л., Пень В. А. Основные состояния бинарных сплавов замещения в моделя с лариш взаимодействие!! конечного радиуса / В со.: Физико-химические основы металлургических процессов. Челябинск: Челяйиискнй политехнический институт. lSti9.- С. 70-VG.

8. Кацнельсон U. Л., И-ашанннкн В. А., Бареговский К. А., Иеиь А.Н., Сатисов В. Б., Фотиев А. А. Термодинамические аспекте структурных переходов в высокотемпературных сверхпроводниках, t. Выбор. упорядоченных структур / В сб.: визико-хш-'^ческие основы синтеза и ^¿вийствя высокотемпературных сверхпроводящих материалов. Синтег. и свойства ШСП. Саердлоаск: АН СССР, Уральркое |Отделеяие, Институт химии, 1990. - С. 11-21. * \

Основные результаты диссертации получены лично диссертантом. Основная идея метода предложена д.ф.-м. if. Б. к. Некем и диссертантом. В работав 11-81 диссертанту принадлежат развитие^ метода, применение к конкретнш задачам, разработка алгоритмов и программ, проведение численных расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов ¡, и -v £ЭТ®. -1937. -Т. 7. -Nl. -С. 19-32; N5. -С. 627-632,

2. Лифвиц Е.И- К теории разовых переходов второго рода// ХЗТФ, rl941.-T.il.-1*2-3.-С. 255-231.

3. Гуфан Ю. И. Структурные фазовые переходы, - 11.: Наука, 1882.-pi с. •

' 4. Изшов В. К:, Сыромятников В. Н. ©ааовыа переходы и симметрия кристаллов. - И '. Наука, 1S84. - 248 с. * ■ . '

Kanamorl J. Magnet 1 eati031 Process in an leing Spin System s/t>rnjgr. Ttieor .Phys1S6S.-V.35.-Wl.-P, 16-35,

. РусИ D., de Kidder R. , S. Amellnckx. An JExl»te»iey Dores|p

tat <Snt>St I tut Iqnally D. «ordered Binary Systems // Phye.Btat. Bo), (a,>. - 4980 < r;V • Б91-N2. -P. Б13-Б30.

7. De nidder R., Van Dyek D., S. Amellnckx. Ground States пл<1 Structures In Ordered Binary B.C.C., F.C.C. and P.C. Systems -.vlth First and Second Neighbor Interactions // Phys.Stat. Sol.(a).-19R0.-v.61.-Nl.-P.23i-250.

8. Лэриков Л.П., Гейченко В.В., Фальченко В.N. Диффузионные процессы й упорядоченных сплавах. - Киев: Наукова дунка, 1975. ~ 214 с. '

9. Хачатурян А. Г. Теория фазовых превращений и структура твёрдых растворов. - Н.: Наука, 1974. - 384 с.

10. Evai'estov R.A., Snilrnov V.P. U»« of the Large Unit Call Approach tor Generating Special Point* of the Brlllowln Zone //* Phys. Stat. Sol.(b). -1980.-W99.-N2.-P.463-470.

11. Landau D. phase Transition on the Islng Square tattlee with Next-nearest-neighbour Interactions // Phyi-Rev. В.- lfliO.-V.21.- N3.-P.1205-1297.

12. Herrmann H.J., Landau D.P. Stability оГ Trlorltlcal points In л Three Dimensional Next-nearest-neighbour Islng Model. A Monte Certo Simulation Phys. Itev. B. 199.1. -VT48.-N1.-P.239-2*«.

13. Каплан H.Г. Симметрия нногоэлектронных систем.- П.: Наука, 1969. - 408 с.

14. Мень Б. к. Решение задачи основного состояыт твердого раствора для потенциалов взаимодействия конечного радиуса

// Известия вузов, сер. Фи?;'ка.- 1984. - Т. 27.- N4. - С. 3-8.

15. Кярпелевич 9. И., Садовский3 Л. Е. Элементы линейной алгеЯрн и линейного программирования.- Й.: Наука, 1967. -344 с. •

16. Гуфан D.M., Дмитриев В.П., Попов В.П., Чочин Г.М. Структура упорядоченных сплавов с гексагональной плотной упаковкой /V ФИМ. - 1978. - Т. 46." - N8. - С. 1133-1143.

17. Кугель К.И., Хокский Д.й. Эффект Яна-Теллера и магкэтизм: соединения переходных металлов х/ УМ. -1982. -Т. 13В. -N4. -С. 621-884.

18. Hlrskawa К., Kurogl Y. One-llmenslonal Ant 1 ferromagnetic! Properties of KCuF3, v Progr.Theor. Phys.(Buppl.1.- 1970.- V.4B. -Ml.- P.147-16).