Методика решения контактных задач для тел произвольной формы с учетом шероховатости поверхности методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.-.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНТАКТА.

1.1. Основные параметры шероховатости поверхности и способы их определения.

1.2. Контактные задачи и методы их решения.

ГЛАВА 2. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

2.1. Построение базовых моделей.

2.1.1. Получение информации о микрорельефе поверхностей.

2.1.2. Формирование базовых моделей.

2.1.3. Краевые условия.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗОВЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Тестирование алгоритмов решения нормальной контактной задачи в упругой постановке.

3.2. Построение силовых характеристик шероховатого слоя при решении задачи в упругой постановке.

3.3. Методика решения упруго-пластической задачи.

3.3.1. Способы учета пластических деформаций в задачах статики.

3.3.2. Основные гипотезы и соотношения теории течения.

3.3.3. Алгоритм решения упруго-пластической задачи методом конечных элементов.

3.4. Тестирование алгоритмов решения задач статики в упруго-пластической постановке.

3.4.1. Растяжение полосы с У-образным надрезом.

3.4.2. Моделирование испытания на твердость по методу Бринеля.

3.5. Построение силовых характеристик шероховатого слоя при решении задачи в упруго-пластической постановке.

3.6. О характере распределения пятен контакта.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНТАКТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗОВЫХ МОДЕЛЕЙ.

4.1. Краевые условия.

4.2. Построение силовых характеристик шероховатого слоя при решении задачи в упругой постановке.

ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЕСА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНТАКТА.

5.1. Некоторые особенности конструкции колеса дифференциального вращения.

5.2. Решение нормальной контактной задачи для зоны внутреннего контакта.

Контактная задача является одной из наиболее сложных в математическом отношении задач теории упругости. Вместе с тем, именно с ней часто приходится сталкиваться при расчете самых разных объектов - зубьев зубчатых колес, катков различных геометрических форм, деталей подшипников и подпятников, опорных частей мостов, колес подвижного состава, инструмента, приспособлений и т.д. Именно поэтому решению контактных задач уже довольно длительное время уделяется пристальное внимание, как следствие, теоретическим основам решения задач этого класса посвящено много работ [1,4, 9, 10, 18, 40,41,43,85, 102, 111 и др.].

Многие эксплуатационные свойства машин - износостойкость, контактная жесткость, усталостная прочность, коррозионная стойкость, электро- и тепло-сопротивление контактов, герметичность соединений и другие - в большой мере определяются контактным взаимодействием деталей [53]. Параметры этого процесса тесно связаны с геометрическими параметрами сопрягаемых поверхностей и физико-механическими и химическими свойствами материалов деталей.

Контактные задачи принято разделять на нормальные и касательные (тангенциальные). «Нормальная» задача подразумевает случай нагружения тел силой, действующие по нормали к поверхностям, проведенной через начальную точку контакта. Если в контакте действуют не только нормальные силы, но и касательные, задача носит название тангенциальной.

Первое строгое решение нормальной контактной задачи для твердых упругих сплошных тел предложил Герц [10]. При получении этого решения был принят ряд упрощений и допущений, среди которых одним из существенных является допущение о том, что поверхности контактирующих тел являются идеально гладкими. На основе решения Герца строится целое направление в технических расчетах, однако поверхности деталей машин, полученные различными способами формообразования - литьем, ковкой, штамповкой, резанием, шлифовкой и т.д. - не являются идеально гладкими, всегда имеют шероховатость (микронеровности), а иногда и волнистость и отклонения от правильной геометрической формы. В результате этого контакт сопрягаемых поверхностей всегда носит дискретный характер, а действительная площадь контакта оказывается меньше номинальной площади, которая является основой для конструкторских расчетов. Для методов обработки, широко применяемых в машиностроении (фрезерование, точение, шлифование), фактическая площадь контакта при первичном взаимодействии деталей машин обычно не превышает 25-30% номинальной, а в некоторых случаях составляет лишь 5-10% [89]. Это приводит к высоким давлениям и большим деформациям в зонах фактического контакта, которые оказывают влияние на контактную жесткость, надежность посадок, трение, износ и др. Следовательно, при моделировании контактного взаимодействия необходимо учитывать свойства поверхностного слоя. В связи с развитием вычислительной техники за последние пятьдесят лет этой проблеме посвящено большое количество работ [7, 8, 49, 47, 50, 53, 58, 88, 107 и др.]. Однако в большинстве случаев при решении задачи о контакте шероховатых поверхностей микронеровности поверхностей представляются простыми геометрическими фигурами: сферами, конусами, пирамидами, наборами стержней и др., а решение для отдельной неровности базируется на теории Герца. В ряде случаев такое представление является весьма грубым приближением. Кроме того, поскольку большинство решений выполнены для довольно простых геометрических тел, в основном, для плоских стыков, они не являются универсальными и не позволяют оценить параметры контакта произвольных тел с шероховатыми поверхностями. Между тем, возможности современной вычислительной техники позволяют моделировать объекты исследования с высокой точностью и таким образом избавиться от многих допущений.

Таким образом, существует разрыв между двумя направлениями в решении контактных задач - направлением, занимающимся решением задач для макрообъектов без учета шероховатости поверхностей контакта и направлением, которое изучает контактное взаимодействие шероховатых тел на микроуровне, но не имеет универсального приложения к макроскопическим объектам. Вместе с тем, часто параметры контакта в одном из конструктивных узлов технического объекта зависят от напряженно-деформированного состояния всего объекта, а поскольку деформации объекта могут быть сопоставимы с величиной шероховатости поверхности, то ее учет может существенно влиять на распределение контактных давлений. Такая ситуация возникает, например, при проектировании приспособлений для изготовления высокоточных деталей, уплотнений, узлов трения с большими размерами номинальных областей контакта и т.д. Поэтому в данной работе предпринята попытка разработать универсальную методику решения контактных задач для тел произвольных геометрических форм с учетом шероховатости поверхностей контакта методом конечных элементов. Параметры, характеризующие податливость шероховатого слоя, определяются при исследовании контакта малых фрагментов реальных тел с шероховатыми поверхностями - базовых моделях. Базовые модели строятся на основании данных профилометрии поверхностей реальных деталей, что позволяет рассматривать шероховатую поверхность, не вводя серьезных допущений. Сведения о податливости, полученные на базовых моделях, используются при решении прикладной задачи. Таким образом удается одновременно учитывать макро-геометрические особенности исследуемого объекта и его микрогеометрию в зоне контакта, объединяя в рамках разработанной методики решения принципы обоих направлений в решении контактных задач. При решении контактной задачи для базовых моделей оказалось возможным исследовать закономерности изменения пятен контакта при увеличении нагрузки, а также оценивать фактическую площадь контакта в зависимости от номинального давления на поверхности контакта. Развитию этой методики посвящено несколько работ, выполненных автором [79, 80, 81, 82].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В ходе выполненных исследований были получены следующие основные результаты.

1. Разработана универсальная методика решения контактных задач для макротел произвольной формы с учетом шероховатости их поверхностей.

2. Разработаны методика и процедура автоматизированного получения топологии шероховатых поверхностей с использованием измерительной системы на базе профилографа-профилометра и ЭВМ.

3. Разработана процедура автоматизированного построения конечно-элементных моделей по данным профилометрии с возможностью сгущения конечноэлементной сетки вблизи поверхности контакта.

4. Модифицированы алгоритмы и программы комплекса Б8МРет для решения упруго-пластических контактных задач.

5. Получены силовые характеристики шероховатого слоя и их аппроксимации при нагружении стыка нормальными и тангенциальными силами для различных пар поверхностей. При решении использованы базовые модели, грани которых имеют топологию реальных шероховатых поверхностей.

6. Исследованы зависимости фактической площади контакта и распределения контактных давлений на неровностях от номинальных давлений на поверхности базовых моделей при упругом и упруго-пластическом деформировании материала.

7. Выполнено исследование влияния шероховатости поверхностей на распределение контактных давлений в колесе колесной пары дифференциального вращения. Учет шероховатости ведет к уменьшению расчетных значений максимальных давлений на 41.60% и увеличению площади области фактического контакта на 62. 103% в зависимости от параметров шероховатости. Следовательно, несмотря на то, что значения перемещений, обусловленные податливостью шероховатого слоя, невелики по сравнению с характерными размерами макрообъекта, для некоторых контактных задач они могут оказывать существенное влияние на распределение контактных давлений.

1. Boussinesq J. Application des Potentiels a l'Etude de l'Equilibre et du Mouvement des Solides Elastiques. Paris, Gauthier-Villars, 1885. - P. 92.

2. Bush A.W., Gibson R.D., Keogh G.P. // Wear. 1975. Vol. 35, N1. P. 399-403.

3. Bush A.W., Gibson R.D., Keogh G.P. // Mesh Res. Comm. 1976. Vol. 3, N3. P. 169-174.

4. Dobitschin M.N., Gorjatscheva I.G., Litvinov V.N., Mihin N.M. Mutual influence of microcontacts on stress in contact area. Trans Eurotrib-81. Warszawa, 1981, vol. 1, p. 70-84.

5. Fromm H. Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbaren Scheiben.-ZAMM, 1927, 7.

6. Greenwood J.A. The area of contact between rough surfaces and plats. -ASME, 1967,Ser. E, N 1.

7. Greenwood J.A., Johnson K.L., Matsubara E. // Wear. 1983. Vol. 100, N1. P. 47-57.

8. Greenwood J.A., Tripp J.H. The elastic contact of rough spheres // Journal of applied mechanics. March 1967, p.p. 153-159.

9. Greenwood J.A., Williamson J.B. P. // Proc Roy. Soc. 1966. Vol. A295. P. 300-319.

10. Hertz H. Gesammelte Werke. Bd.l, 1985, Leipzig, ss. 155-196.

11. Hertz H. Miscellaneous Papers. McMillan, London, 1896.

12. Hughes B.D., White L.R. Analytic Approximation for the Elastic Contact of Rough Spheres-Transactions of the ASME. J. of Appl. Mech., 1980, vol. 47, N3, p. 194-196.

13. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D. // Proc. Roy. Soc. 1971. V. A394. P. 301-313.

14. Kagami J., Yamada K., Hatazawa T. Contact between a Sphere and Rough Plates. Wear, 1983, vol. 87, N1, p. 93-105.

15. Kalker J.J., Dekking F.M., and Vollebregt E.A.H. Simulation of rough, elastic contacts., 1996,

16. Knothe K., Theiler A. Normal and tangential contact problem with rough surfaces. Proceedings of the 2nd mini conference on contact mechanics and wear of rail/way systems, Budapest, 29-31 July, 1996, p.p.34-43.

17. Lincoln B. Elastic deformation and the Laws of Friction. Nature, vol. 172, 1953, p.69.

18. Mindlin R.D., Compliance of Elastic Bodies in Contact. J. Appl. Mech., 1949, vol. 16, N3, p. 259-268.

19. Nayak P.R. // Wear. 1973. Vol. 26. P. 305 333.

20. O'Callagan M., Cameron M.A. // Wear. 1976. Vol. 36. P. 79-97.

21. Pullen J., Williamson J.B.P. 11 Proc. Roy. Soc. London. 1972. Vol. A327. P. 159 173.

22. Sakalo V.I. An iterative method for solution of contact problems // Book of Abstracts, The Third Int. Congress ICIAM 95, Hamburg, 1995, p. 424.

23. Sakalo V.I., Vinnik L.V., Fridberg A.M., Olshevsky A.A., Shevchenko K.V.

24. Wheel set with differential rotation of the wheels for decreasing wheel and railthwear. Proceedings of the 14 International Conference "Current problems in rail vehicles- PRORAIL "99", October 6-8, 1999, Zilina (Slovakia), c. 43-44

25. Uppal A.H., Probert S.D. // Wear. 1973. Vol. 23, N2. P. 173-184.

26. Uppal A.H., Probert S.D. Deformation of single and multiple asperities of metal surfaces. Wear, 1972, vol. 20, N 3, p. 381-400.

27. Varadi K. and Neder Z. Three dimensional algorithm for contact analysis of real rough surfaces, manuscript, 1996.

28. Wang Q. and Knothe K. Theorie und numerische Behandlung des allgemeinen rollenden Kontaktes zweier viskoelastischer Walzen. VDI Fortschrittberichte, 1 : Konstruktionstechnik / Maschinenelemente (165), 1988.

29. Wen-Hwa Chen, Jyi-Tyan Yen. Finite element analysis of finite deformation contact problems whith friction // Computers & Structures. 1988. - Vol. 29, No. 3 - pp. 423 - 436

30. Wyant J.C., Koliopoulos C.L., Bhushan В., George O.E. // ASLE Transactions. 1984. Vol. 27,N2.P. 101-113.

31. Xinli Bai, Xinghua Zhao. Analysis of large deformation elastoplastic contact through finite gap elements // Computers & Structures. 1988. - Vol. 30, No. 4 -pp. 975-978.

32. Yamada Y., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method. // International Journal of Mechanical Sciences, 1968, v.10, N5, p. 343-354.

33. Zhong Wanxie, Sun Suming. A finite element method for elasto-plastic structures and contact problems by parametric quadratic programming // International journal for numerical methods in engineering 1988 - Vol. 26 -pp. 2723-2738.

34. Айнбиндер С.Б. // Механика полимеров. 1977. № 2. С. 241 246.

35. Айнбиндер С.Б., Логинова А.Я. // Механика полимеров. 1976, № 5. С. 831 -837.

36. Айнбиндер С.Б., Тюнина Э.Л. // Механика полимеров. 1977. № 2. С. 241 -246.

37. Айнбиндер С.Б., Тюнина Э.Л. Введение в теорию трения полимеров. Рига, 1978.

38. Алисин В.В., Комбалов B.C. Учет волнистости при расчете площадей из касания. В кн.: Надежность и контроль качества. М., Изд-во стандартов, №8,1975, с. 38-48.

39. Безухов Н. И. Теория упругости и пластичности. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953 - сс. 420.

40. Беляев Н.М. Применение теории Герца к подсчетам местных напряжений в точке соприкасания колеса и рельса. // Вестник инженеров. 1917. - т. III. -№12.-С. 281-282.

41. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. М.:Техн.-теор. Лит. - 1957.-632 с.

42. Бхушан Б. // Пробл. Трения и смазки. 1984. Т. 106,№1 .С 31-40.

43. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

44. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М., Наука, 2001 г,-478 с.

45. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.

46. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Механизм формирования шероховатости в процессе приработки // Трение и износ, 1982, том III, №4.

47. Гринвуд Д.А.,Трипп Д.Х. // Прикладная механика. 1967 Т. 34, №4. С. 7-13.

48. Демкин Н.Б. // Вопр. механики. Калинин, 1972. Вып. 15(13) С. 167 -173.

49. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М., 1970.

50. Демкин Н.Б., Измайлов ВВ.// Поверхность. 1982. № 11. С. 16 -27.

51. Демкин Н.Б., Короткое М. А., Алексеев В. М. // Расчет и моделирование режима работы тормозных и фрикционных устройств. М., 1974. С. 5-15.

52. Демкин Н.Б., Коротков М.А., Бойченко В. И., Дзекцер Н. Н. // Электричество. 1971. №8. С. 77-79.

53. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М.: Машиностроение, 1981 - 244 с.

54. Дерягин Б.В., Муллер В.М., Топоров Ю.П. // Коллоид, журн. 1975. Т. 37 №6. С. 1066-1074.

55. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия М.: "Мир". - 1989, с. 503

56. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел. // Изв. Киевск. политехи, ин-та, 1909, кн. 4

57. Добычин М.Н., Литвинов В.Н., Михин Н.М. 777 Несущая способность микроконтактов при высокой плотности пятен касания. В кн.: Жесткость машиностроительных конструкций. Брянск, 1976, с. 66-70.

58. Журавлев В.А. // ЖТФ. 1940. Т. 10, вып. 17.

59. Жесткость в машиностроении. Тезисы докладов к всесоюзной научно-технической конференции 21-23 сентября 1971 г. Брянск, 1971.

60. Зенкевич Дж. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975. -541 с.

61. Илсумс М.М., Рудзит Я.А., Исследования упругого контакта шероховатой сферы с плоскостью. В кн.: Микрогеометрия и эксплуатационные свойства деталей машин. Рига: Зинатне, 1974, вып. 3, с. 137-150.

62. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М., 1969 г., 420 стр. с илл.

63. Ковальский Б.С. Напряжения на участке местного сжатия при учете сил трения. // Известия АН СССР, 1942.

64. Комбалов B.C. Влияние шероховатостей твердых тел на трение и износ. М., «Наука», 1974.

65. Крагельский И.В. // Изв. АН СССР. Отд. техн. Наук. 1948. №10. С. 1621-1625.

66. Крагельский И.В. // Трение и износ. М., 1962.

67. Крагельский И.В. Влияние различных параметров на величину коэффициента трения несмазанных поверхностей. // Журнал технической физики, 1943. Вып. 3, т. XIII. С.141-151.

68. Крагельский И.В. Износ как результат повторной деформации поверхностных слоев // Известия вузов. Физика. 1956 № 5. С. 119-127

69. Крагельский И.В., Комбалов B.C., Логинов А.Р., Сачек Б.Я. О единстве критериев изнашивания // Расчетно-экспериментальные методы оценки трения и износа. М.: Наука, 1980. С. 13-16.

70. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчета на трение и износ.

71. Крагельский И.В., Харач Г.М. О расчете износа поверхностей трения // Расчетные методы оценки трения и износа. Брянск: Изд-во Брянского ин-татрансп. Машиностроения, 1975. С. 5-47

72. Лемберский В.Б., Шайняк И.Р. О взаимном влиянии микронеровностей при контактировании. // Трение и износ, 1981. Т. IV, №2.

73. Максак В.И., Советченко Б.Ф., Чернышева Т.В. Исследование пластического контактирования шероховатых тел. // Трение и износ, 1984. Т. V, №4. С. 605-610.

74. Михин А.Н., Онищенко JI.H. Зависимость фактической площади касания от сближения между шероховатыми поверхностями. // Трение и износ, 1988. Т. 9, №6.

75. Михин Н.М. О предельных сближениях между поверхностями контактирующих твердых тел. // Трение и износ, 1985. Т. VI, №3.

76. Михин Н.М., Добычин М.Н. Зависимость площади касания от сближения в приработанном состоянии. Изв. вузов. Машиностроение, 1969, №4, с. 38-43.

77. Муллер В.М., Ющенко B.C. // Коллоид, журн. 1980 Т. 42, №2. С. 500-510.

78. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, М.: Мир, 1976., 464 с.

79. Ольшевский A.A. Разработка методики решения контактных задач с учетом шероховатости поверхностей. // Молодежи, науч.-техн. конф. техн. вузов центр.России / Тез. докл. Под ред. O.A. Горленко. Брянск, ЬГТУ, 2000. - С.63-67.

80. Ольшевский A.A., Винник, JI.B., Фридберг A.M. Решение нормальной контактной задачи для шероховатых номинально плоских поверхностей // Динамика и прочность транспортных машин: Сб. науч. тр., Брянск, 2000. -С 102-108.

81. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы: М.: Мир, 1982.

82. Подлеснов Ю.П. Применение МКЭ к решению плоских прикладных контактных задач. Дис. .канд. техн. наук.-Коломна, 1980.-141с.

83. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука. - 1976. - 492 с.

84. Рудзит Я.А. Исследование нерегулярной шероховатости и процесса контактного взаимодействия поверхностей. Автореф. дисс. . д-ра техн. наук. Л., 1981.

85. Рудзит Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей. Рига, 1975.

86. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин. М., Машиностроение, 1966 г.

87. Рыжов Э.В. Технологические методы повышения износостойкости деталей машин. Киев: Наук, думка, 1984 - 272 с.

88. Рыжов Э.В. Основы расчета стыковых поверхностей деталей машин на контактную жесткость. М., Машгиз, 1962.

89. Рыжов Э.В., Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов // Машиноведение.-1980.-№6.- С. 64-69.

90. Сакало В.И., Рыжов Э.В., Подлеснов Ю.П. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов // Машиноведение, №6, 1980, с.64-69

91. Сакало В.И., Рыжов Э.В., Подлеснов Ю.П. Решение плоских контактных задач с учётом трения релаксационным методом конечных элементов // Механика и физика контактного взаимодействия, Калинин, 1979, с. 3-14.

92. Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Определение давлений в случае плотного контакта некруговых цилиндров // Вопросы исследования надёжности и динамики элементов транспортных машин и подвижного состава, Тула, 1978, с.139-143.

93. Саусвелл Р.В. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.-674 с.

94. Свириденок А.И., Корочкина Т.В., Петроковец М.И., Чижик С.А. О фактической площади контакта шероховатых сфер. // Трение и износ, 1985, Т. VI, №3.

95. Свириденок А.И., Чижик С.А., Петроковец М.И. Механика дискретного фрикционного контакта. Минск: «Наука i Тэхшка», 1990, 272 с.

96. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979

97. Серенсен C.B., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975.,488 с.

98. Соколовский В.В. Теория пластичности. М. «Высшая школа», 1969. 608с. с илл.

99. Суслов А.Г. Технологическое обеспечение контактной жесткости соединений. М., «Наука», 1977.

100. Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упругости М.: «Наука», 1975, 575 с.

101. Тихомиров В.П., Горленко O.A. Решение контактных задач методами имитационного моделирования процессов взаимодействия сопрягаемых деталей машин с шероховатыми поверхностями. // Трение и износ, 1996, Т. 17, №1.

102. Трехмерные задачи математической теории упругости. / Купрадзе В.Д., Ге-гелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Т.: Изд-во Тбилисского ун-та, 1968.

103. Тюнина Э.Л. Расчет площади фактического контакта и силы трения метал-лополимерных пар. Дис. . канд. техн. наук. Рига, 1978.

104. Файнбурд В.М. Контактные задачи теории упругости (решение и моделирование на основании электростатической аналогии). М.: «Наука», 1975.

105. Чекина О.Г. Анализ контактирования шероховатых поверхностей на основе рассмотрения полного контакта. // Трение и износ Т. 16, №2.С. 205-212.

106. Чижик С.А. О критерии шероховатости при оценке характеристик герцев-ского контакта. // Трение и износ, 1987, Т. 8, №4. С. 724-728.

107. Чижик С.А., Горбунов В.В., Мышкин Н.К. Компьютерное моделирование зоны контакта твердых тел на основе данных сканирующей зондовой микроскопии. // Трение и износ, 1993. Т. 14, №4. С. 634-644.

108. Шевченко К.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния железнодорожных колес для оценки их работоспособности. Дис. . канд. техн. наук. Брянск, 2002.

109. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехтеоретиздат, 1949, с. 258