Методы исследования периодических колебаний систем со сложными запаздываниями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Юмагулов, Марат Гаязович АВТОР
доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1993 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.11 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Методы исследования периодических колебаний систем со сложными запаздываниями»
 
Автореферат диссертации на тему "Методы исследования периодических колебаний систем со сложными запаздываниями"

РГ8 ^РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

2 2 ПАП Е93

Специализированный совет Д 003.63.02

На правах рукописи

УДК 517.94

ЮМАГУЛОВ Марат Гаязович

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ СО СЛОЖНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Специальность:

01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1993

Работа выполнена в Математическом институте с Вычислительны.« центром Академии наук Республики Таджикистан.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор С. К. Коровин

доктор физико-математических наук профессор Л\. А. Красносельский

доктор физико-математических паук, профессор А. Д. Мышкис

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем управления (автоматики и телемеханики) Российской Академии паук.

Защита состоится « » 1993 г. на заседании Специали-

зированного совета Д 003.63.02 прк Институте системного анализа Академии наук по адресу: 117312; Москва, проспект 00-летия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ИСА.

Автореферат разослан « » 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ-мат. наук

В. С. ЛЕВЧЕНКОВ

хшгашютим РАБОТ;!

»

Актуальность раиотн. Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется как отрешением к анализу и переосшслонию огромного материала, накопленного этой наукой, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения и методов исследования. Здесь актуальными и важными являются такие направления исследований, как анализ и обобщение основных понятий теории управления (такие, например, как "система", "состояние", "передаточная функция", "импульсная характеристика" и т.п.), разработка новых общих математических моделей современных сложных систем управления, разработка качественных и приближенных методов исследования динамики таких систем..Указанным направлениям исследований .посвящены многочисленные статьи и монографии.

Среди возникших в последние годы и уже нашедших многочисленные приложения- общих методов описания и анализа широких классов современных сложных систем управления следует упомянуть методы исследования бинарных систем, иерархических структур, рассинхронизировеняых систем,.систем с гистерезисом (С.В.Еглельянов, М.'А.Красносельский, Н.А.Кузнецов, Н.Н.Моисат • ев, А.В.Покровский-и др.).

Классические постановки задач теории управления обычно предполагают, что"'будущие состояния рассматриваемой системы не зависят от прошлых состояний и определяются только её настоящим. Однако, при более-тщательном анализе часто становится очевидным, что такое предположение - это лишь первое приближение к истинной ситуации, и более реалистическая модель должна включать некоторые из предшествующих состояний -системы. Более того, многие задачи теряют смысл,-если ке учитываются зависимости от промого.

По-видимому, одним из первых, кто ясно указал на вале- . ность учёта запаздываний в математических моделях сложных систем управления, был Н.Минорски ( У. Мь поПку ), который в появившихся в конце■традцатых и начало сороковых годов

работах, посвяценных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ввёл в рассмотрение запаздывания в механизме обратной связи. Его работы вызвали большой интерес к теории автоматического регулирования у математиков и способствовали быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Основы общей теории линейных систем с запаздыванием были заложены А.Д.Мышкисом, который ввёл в рассмотрение общий класс уравнений с запаздывающим аргументом. Существенный вклад в развитие теории таких уравнений внесли работы Р.Бел-лмана, А.М.Зверкина, К.Кука, Дж.Хэйла, Л.Э.Эльсгольца и других математиков.

Значительный интерес математиков к теории управления вызывается , в первую очередь, большим количеством математических задач, возникающих в связи с исследованием конкретных систем, содержащих запаздывания. Обычно для каждой такой системы конструировалась своя описываемая тем или иным типом уравнений с запаздывающим аргументом математическая модель, по которой затем определялись основные характеристики системы и разрабатывались методы исследования её динамики. Новые приложения продолжают возникать и требуют изменения (или даже определения заново) основных уравнений. Это обычно приводит к необходимости существенного пересмотра старых или разработки новых методов исследования таких систем.

Представляется актуальным и важным рассмотрение задач исследования систем управления, содержащих запаздывания, с единых и достаточно общих позиций, позволяющих, с одной стороны, охватить возможно более широкий класс возникающих в приложениях систем, а с другой стороны, являющихся естественным продолжением классических подходов к исследованию систем управления. Здесь особенно актуальны исследования линейных звеньев, изучение основных свойств их характеристик, а также разработка методов вычисления этих характеристик.

Одной из основных при исследовании динамики системы управления является задача о ее периодических колебаниях. Естественными в периодической задаче являются вопросы о том, при

каких услсг з рассматриваемой система иогут возникать (или, паобсчт/г, отсутствовать) периодические колебания, устойчивы ли они, каковы их период и амплитуда и т.п. Эффективные методы исследования периодических задач разработаны и детально изучены в работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митрополь-ского, И.Г.Малкина, Ю.И.Неймарка, Е.П.Попова, И.Г.Пальтова, Е.Н.Розенвассера и других авторов. Детальное исследование задач о периодических режимах широкого класса регулируемых систем с последействием было проведено В.Б.Колмановским и В.Р.Носовым.

Важным понятием в периодической задаче для систем управления является понятие импульсно-частотной характеристики линейного звена и связанного с ним оператора периодической задачи. Представляется актуальным проведение анализа и изучение обших свойств оператора периодической задачи и импуль-сно-частотной характеристики линейного звена, содержащего запаздывания, а также разработка новых обидах методов вычисления этих характеристик.

В периодической задача для автономных систем одним из наиболее интересных (и важных с точки зрения приложений) является вопрос о возникновении незатухающих периодических колебаний малой амплитуды вследствие потери устойчивости стационарных состояний системы. Возникновению автоколебаний из стационарных состояний в математической постановке отвечает бифуркация Андронова-Хэпфа. Исследованию указанного явления посвящено большое число работ (как теоретического, так и прикладного характера).

Особый интерес в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа вызывают вопросы приближенного расчета бифурцирушщх решений, их перио' I и значений параметров. Известные алгоритмы основаны на бифуркационных формулах, на методах усреднения, на методе неопределенных параметров. В то же время, практически не применяются итерационные процедуры; последнее связано в основном с неизолированностью бифурцирушщх решений. Поэтому представляет интерес разработка итерационных процедур численного исследования бифуркации на основе предложенного

М.А.Красносельским метода функционализаши параметра, который позволяет переходить от задач с континуумами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированны- -ми решениями.

Одним из наиболее эффективных методов исследования вынужденных колебаний нелинейных систем управления является метод гармонического баланса. Вызывает интерес изучение достаточно общих условий реализуемости этого метода в задаче приближенного исследования вынужденных колебаний сложных нелинейных систем с запаздыванием. -

Цель работы.Исследование процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания. Построение и анализ математических моделей линейных звеньев со сложными-запаздываниями, изучение основных свойств и разработка методов вычисления их харашврисгик.

Анализ и изучение 06251Х свойств оператора периодической , задачи и шлпульсно-частотной характеристики (ИЧХ) линейного звена со сложными заваздаваншш, разработка методов построения ИЧХ. Исследование признаков знакоопределенности ИЧХ, приложения в задаче о положительных периодических колебаниях нелинейных систем, содэраацах сложные запаздывакият

Разработка итерационных процедур- численного исследования бифуркации Андраыова-Хопфа в системах, как содержащих сложные запаздывания, так н не содержащих таковых.

Изучение условий реализуемости и сходимости метода гар-.монического баланса в задача приближенного исследования вынужденных колебаний сложны* нелинейных систем' с аапаздывани-Я1Ш. .

Научная новизна. Разработаны и исследованы новые математические модели систем управления, содержащих сложные запаздывания. Изучены процессы функционирования линейных звеньев , со сложными запаздываниями, разработаны методы построения импульсных характеристик таких звеньев.

Исследованы свойства оператора периодической'задачи для линейного звена со сложными запаздываниями в различных функциональных пространствах, изучены общие функциональные свой-

ства импульсачастотных характеристик (ИЧХ) таких звеньев. Получены разложения ИЧХ в ряды по экспоненциальным решениям однородных уравнений.

Установлены признаки знакоопределенности и высокочастотной знакоопределенности ИЧХ. Изучены вопросы существования положительных периодических колебаний нелинейных систем со сложными запаздываниями.

Разработаны новые итерационные процедуры исследования бифуркационных задач для нелинейных автономных систем, содержащих сложные запаздывания и не содержащих таковых. Установлена сходимость, скорость сходимости к бифурцирующим решениям. На основе предложенных итерационных процедур разработаны алгоритмы и программы численного исследования бифуркации.

Исследованы условия реализуемости и равномерной сходимости метода гармонического баланса в задаче приближенного исследования вынужденных периодических колебаний сложных нелинейных систем, содержащих запаздывания.

Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. В ней проведен анализ процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания, разработаны методы исследования периодических колебаний таких систем, предложены процедуры их приближенного построения. Развитые в работе методы могут быть использованы при исследовании конкретных регулируемых систем с запаздываниями, предлагаемые процедуры и алгоритмы приближенного расчета периодических колебаний могут служить основой для разработки программ численного исследования колебательных процессов в сложных нелинейных системах.

Методы исследования. 3 работе использованы общие методы теории управления, теории систем, теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, функционального анализа, теории функций, комплексного анализа, обобщенных функций, приближенные методы решения операторных уравнений.

Апробация работы. Отдельные части диссертационной работы докладывались на XI Всесоюзном совещании "Проблемы упра-

вления-89" (г. Ташкент, 1989 г.), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (г. Душанбе, 1987 г.), на посвященной памяти Т.Собинова научной конференции "О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений" (г. Душанбе , 1990 г.), на научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Куляб, 1991 г.), на научной конференции "Комплексный анализ уравнений в частных производных" (г. Душанбе, 1992 г.), на научной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (вторые Боголюбовские чтения) (г. Душанбе, 1992 г.), на посвященной семидесятилетию М.А.Красносельского научной конференции (г. Воронеж, 1990 г.), на научных семинарах Института проблем управления Российской Академии наук (I986-IS92 гг.), Института проблем передачи информации Российской Академии наук (1990-1992. гг.), Математического института с Вычислительным центром Академии наук Республики Таджикистан (1985-1992 гг.), Таджикского госуниверситета (1986-1992 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано более 20 научных статей. В конце настоящего автореферата приведен список из 15 статей, в которых отражено основное содержание диссертации.

Личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Совместно с Д.Цветковым получены теоремы 4.2 и 5.1, с А.М.Дементьевой и А.М.Красносельским -- теоремы 14.I и 14.2, с И.В.Фоменко - теорема 17.I.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 245 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, содержащих 17 параграфов, восьми рисунков, одной таблицы и списка цитированной литературы, включающего 100 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во втч»7гетаз обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работы.

В первой главе (§§ 1-3) изучаются линейные звенья, со-дер-тапзю сложные запаздывания, приводится описание функционирования таких звеньев, обсуждаются общие свойства передаточных функций и импульсных характеристик, предлагаются процедуры построения характеристик.

В § I вводится в рассмотрение линейное звено, описываемое уравнением

ХСЪ+11 = X ¡¡и.Ф(Шр:СЯ, (I)

¿=9 0 О'

где £.¿(1:) и Р^^ - функции ограниченной вариации на отрезка [0, и интегралы понимаются в сглысле Лебега-Стил-■тьэса, исЬ - вход, - еыход звена.

Звено, описываемое уравнением (I), назовем линейны:.? звеном со сложными запаздываниями и будем обозначать В § I показано, что уравнение (I) охватывает широкий класс уравнений с запаздыванием, возникающих в теории управления. Обычные звенья с дробно-рациональными передаточными функциями также содержатся в (I).

Далее в § I приводится описание функционирования звена "VI при различных классах входных сигналов ис4) : в случае достаточной гладкости исЪ . при обобщенных входных сигналах, а также в случае И. > иа и локально суммируемых входных сигналах.

В заключение § I показывается, что звено Ц/~ представляет собой линейное стационарное звено с передаточной функцией

Где , к,

И-1 ! Л

1 О О 3

= рп+ X р* Л е" , (3)

¿=0 о '

М(р) = 21 р^е^йФ. (4)

¿ = о о-

В § 2 изучаются общие свойства-импульсных характеристик линейных звеньев со сложными запаздываниями; для звеньев первого и второго порядков предлагаются и обосновываются процедуры построения характеристик.

Теорема 2.1. При п. ^ м + 1 импульсная характеристика к.с-1) линейного звена IV" с передаточной функцией (2) ягляется локально суммируемой функцией, равной нулю при и имеющей преобразование Лапласа, совпадающее

с функцией (2). При VL^^n + Z функция \iC-L) является непрерывной.^

Далее в § 2 рассматривается линейное звено первого порядка, динамика которого описывается уравнением 'Ь Ч.

& ХсЬ = Х(1-£) ¿Ы^) =§ис1-ырвс5). (5)

Через крСобозначим определенную на всей числовой оси функцию такую, что к0(4) = 0 при ± £ О , а при £>0 являющуюся решением дифференциального уравнения с последействием

г

Хк.С-1) = - ] (3 с1-Б)с(о1в(5\ о

Теорема 2.2. Импульсная характеристика к линейного'звена, описываемо: ■ уравнением (5), определяется равенством \гс1 =■ к0с1. -0':).

Рассмотрим теперь линейное звено второго порядка, динамика которого описывается уравнением

- 9 -

рг г

&Х(Ь = Х"(4:) + ] (6)

Л Л-

= ^и.'с-Ь-Ы^) + \и(1 . (6)

Через 1г0(4) обозначим определенную на всей числовой осп функцию такую, что = 0 при ~ д? О , а при -Ь>0

являющуюся решением дифференциального уравнения с последействием

£ и> = 4сЬ,

где гг пг

Теорема 2.4. Импульсная характеристика

линенно-

го звена, описываемого уравнением (6), представляется в ви-Д0 £ {

В § 3 работы обсуждается вопрос о представлении линен-ного звена со сложными запаздываниями как соединение

типовых или элементарных звеньел. Пусть числа

|/1 ) 2 5 • • • > 5 • • ■ I ' V

- это нули квазиполинома (3). Звенья, передаточные функции которых имеют вид

Р-Ч ' р-тг ' ' р-гь ;

назовем элементарными для звена . В работе изучается

вопрос с представлении звана "У? в виде параллельного соединения счетного числа элементарных звеньев, который сводится к вопросу о разложении функции (2) (в случае п > Уп ) в ряд вида

оа

Щ) = 21 ¥, (р) ? к = 1 *

где - это функции вида (8) или степени таких функ-

ций.

Рассмотрю,! сначала простое звено, т.е. звено с передаточной функцией вида = 1/ Ь(р) , где Ь (Р) - квазиполином (3). Пусть все нули (7) являются простыми, т.е. и(Тк) ^ 0 ( к =1,2, ... ). Пусть, наконец, выполнены соотношения

и существует > ® такое, что для любой пары различны, нулей Т^ и выполнено неравенство ^ ^о •

Теорема 3.1. Передаточная функция простого зве

на шлет быть разложена в ряд

= 1

Ь(р) к=1 Ь%ур-Гм) '

равномерно сходящийся на любом компакте комплексной плоскости С .

Условия теоремы 3.1 выполнены для широкого класса линейных звеньев с запаздываниями; з частности, они выполнены для звеньев, динамика которых описывается уравнением с конечны»! числом фиксированных запаздываний.

В заключение § 3 утверждение теоремы 3.1 распространяется на широкий класс звеньев со сложными запаздываниями уже не обязательно простых.

Во второй главе (§§ 4-6) изучается периодическая задаче для линейного звена со сложными запаздываниями.

В § 4 изучается оператор периодической задачи, ставящий в соответствие каждому периодическому периода Т> 0 в-----

- Ii -

ЦС-4) звена единственный периодический того ;:се пери-

ода I выход ccci) этого звена. Зтот оператор определен в условиях следующего утверждения.

Теорема 4.1. Пусть функция (3) удовлетворяет условии

и±^)Ф0 (k= 0, i*)

Тогда для любой обобщенной Т -периодической фувкгаи являющейся входным сигналом звена , существует единст-

венный обобщенный 7 -периодический выход этого зве-

на, при этом функция £(-¿) предетавиш в виде

I 1 i J

где 1- передаточная функция (2) и ~ коэффициен-

ты Фурье функции U tí) :

I ^ / ZsrkLt \

и,et) = щ> (———). k=-°° Т

Теорема 4.1 определяет оператор П(Т) нзопоцпчзской задачи для линейного звена так, что <£({)~П(Т) U-tí) .

Пусть С - это банахово пространство непрерывных на отрезке О^-é^T функций Ceti) , для которых X(Oi-X( Т) ;

Lг - это гильбертово пространство суммируемые с кводра-томна (0,Т) функций; для целого числа ^ ? О определим также пространства £ф(Ье С, Oáj £ и H^^ixd): Хф(1) £ÍZ , Osji % } • Нормы в этих пространствах определим обычным образом.

Теорема 4.2. Пусть выполнено условие (9). Тогда: а) если ss¿? ,то оператор П(Т) действует и

непрерывен из Н* в Н"'*** ó) если и, - № ? О , то оператор П ( Т) нормален в Н для любого целого ^ ? О , при этом спектр оператора П(Т) : Н^ И ^ состоит из замыкания множества соб-

ственных значений

в) если п, то ряд

= -мфнгСф) ™>

сходится в ИП и для оператора П(Т) справедли-

во интегральное представление „Т

верное для любой функции

4(1) .

Следствие 4.1. Если 1 . то для любого целого

оператор П(Т) является компактным из Н ^ в С^ и кошактнш как оператор, действующий в С^ и в Н"'■ В § 5 изучаются свойства импульсно-частотной характеристики (КЧтО линейного звена V/ со сложными запаздываниями, которая определяется как обобщенная функция (10) и представляет собой единственный Т-периодический выход звена Ж при входе

= 4 21 «ср(^).

Т^оо ^ Т

Свойства ИЧХ звена V изучаются в случае П ~> т ,

Фигурирующую в (I) функцию рт единственным образом (как функцию ограниченной вариации) можно представить в виде равенства = <-Ь , где непрерывная функция, а - функция скачков. Цусть множество

- это множество точек разрыва функции скачков (или

получены из них сдвигом на Т ), а числа • - это

соответствующие скачки; определим также число ^ . равное скачку функции Д^в точке -к - 0 (если точка -к= О является точкой непрерывности функции ¡¿„¿(^ . то положим О ). По функции ]Зт (•£) и целому числу к ^ 0 определим класс Е^ функций ХС^ таких, что:

а) при 1 функция хЫ:) является 1 раз непрерывно дифференцируемой на [О, Т ) ;

б) для -¿е (0,Т)\Л существует производная X (I), при этом для определенной на множестве [О, Г) \ 12 функции существуют односторонние пределы

для любого £2. ;

в) доопределенная правосЪроншт (левосторонними) пределами в точках множества О. функция $(1) имеет ограниченное изменение на Г О, Т ] , а тожество ее точек разрыва на (0,7") совпадает с множеством -Г2 ;

г) имеют место равенства

Теорема 5.2. Пусть Уг>1гг.. Тогда ШХ звена V/" принадлежит классу £ и--иг-1 _

В § 6 работы изучаются разложения ЮТ звена "V в ряды вида

к ук

где Г^ - это нули (7) квазиполинома (3) и где Я.^) ~

/ *

гочлены по г

Теорема 6.1. Пусть все нули (7) являются простыми и выполнены условия теоремы 3.1. Тогда ИЧХ С(4:-,Т) простого звена представима в виде ряда

, _ ОО , т-

к=1 Кгл^-л1;

который равномерно сходится на каждом отрезке Т

и сходится по норме пространства 1_,г(0,Т) .

В § 6 приводится также развитие теоремы 6.1 на случай кратных нулей (7), а также на общий, случай звена W с передаточной функцией (2).

В § 7 работы обсуждаются условия знакоопределенности ИЧХ звена . Будем говорить, что звено является

высокочастотно знакопостоянным, если существует Тв > О такое, что для всех 7~£ (О,Т0) выполнено условие (9) и если Т€ (0,Т0) , то ИЧХ ; Т) почти для всех 4; имеет постоянный знак.

Теорема 7,1. Для высокочастотной знакопостоянности звена необходимо и достаточно, чтобы

при ЭТОМ „ , а /Л.

П.1

0(1 ¡Г) ='

Ы0л) - сх0(0)

В § 7 обсуждаются также условия знакопостоянства ИЧХ звена \ДГ при произвольных (не обязательно малых) значениях периода Т .

В третьей главе (§§ 8-12) предлагаются и обосновываются итерационные процедуры численного исследования бифуркации Андронова-Хопфа.

В § 8 приводится описание классов рассматриваемых в главе нелинейных систем.

В § 9 рассматриваются систем, описываемые уравнениями

~ к(1)Х(1), (12)

где - /V -мерный вектор состояния системы, А (Я) -

- постоянная матрица, элементы которой непрерывно зависят от вещественного параметра Л , а вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию = о (нхи) при ИХН~> 0 .

Пусть при некотором Я = Я0 числа являются

простыми собственника значениями матрицы /ияо) , а числа — с. ( кФ£ ) не являются её собственными значеннл-ш. Тогда найдутся векторы е, е*> € такие, что

не « = «$// = 1 , = (е, О.

Положил р х = (ос, е*) е + №§*) .

Через 17Сзс;Т)Я) :обозначил оператор сдвига по траекториям системы (12) за время Т ; ненулевые не-подЕктяые точки этого оператора определяют начальные значения Т-периодических решений системы (12). Для перехода к задачам с изолированными решениями воспользуемся методом функционализации параметра и будем рассматривать уравнение вида

1/[зс; "П*); ж«] = 0 , (хз)

в котором

Тгя)

и Л №) - некоторые функционалы . В работе предлагается рассматривать семейство функционалов

Т^(Х) = 1 + <{1 [(£,&*) -^7, ;уя) = +

зависящее от чисел ^ > 0 ; числа означают, что в предлагаемой процедуре решения основного уравнения ищутся "вблизи" вектора ^ 6. . Определит.! также области = 1/%-рен . Подставляя выбранные функционалы

в (13) получим основное уравнение

+ (14)

где

здесь Х(Ь - решение системы (12) при х(0)=х и Я = Л?(Х> .

Показано, что оператор дифференцируем по Фре-

ше при любом <£.€. О-е^ , причем оператор б^У^е) обратим тогда и только тогда, когда

*-(/¡'(Л„)?,2*); СЮ

здесь А (Л) ^ матрица, полученная дифференцированием элементов матрицы А (Я) . Положим Г0 = [С^с^)!'1 ■ 9. -> ^ ; в работе показано, что оператор Г0 от £ не зависит.

Теорема 9.1« Пусть выполнено условие (15). Тогда при малых 0 уравнение (14) имеет в шаре единствен-

ное решение Х^ , которое может быть получено как предел последовательных приближений

(16)

где . При этом %,($,)->Л0 и 1 при

0 •

Определяемый итерационной процедурой (16) вектор СС^ служит начальным значением Т^(^) -периодического решения . (.ССрСО)-^ ) системы (12) при А^Л^Х^) , при

этом 11X^(1)11^0 при ^ О .

В § 10 изучается задача построения малых автоколебаний, возникающих в системах со сложными запаздываниями. Основным объектом является нелинейное уравнение вида

£1хо1) ^

~ ¡^тЯ(тЛ){Са)хй-тну[хс1-т)л]} > хе^ (17)

где Я ; А) _ квадратная матрица, элементы которой при каждом Л являются функциями ограниченной вариации по -¿е £0,2:1 и при каждом е [0,^1 непрерывны по Л

- 17 -

С (Л) - матрица с непрерывно зависящими от Я элементами, а вектор-функция (р(Х;%) непрерывна по совокупности переменных, причем цуф; 1)11 = О(НХЦ) при I¡XIIО . Положим

где 0.(1; Л) = Я) Сш . Пусть при некоторых Я=Лг, п Т = Т0 число 1 является простым собственным значением матрицы ~\£0= У±(Т0-,Я0) и не является собственным значением матриц У^0=Ук(Т0-,Ао) п£и ^ ~ "> ■ Полатач далее 0(Д) = -0_(0) Я) предположим также, что матрица 2> (Ар) обратила. у

Выберем векторы таким образом, чтобы

Он оделим, наконец, матрицы

Пусть комплексные числа

удовлетворяет соотношениям

Теорема 10.1. Число является точкой бифуркации в

задаче о То -периодических решениях уравнения (17): найдутся числа и Тп-> Т0 такие, что при Я~Яп уравнение (17) имеет нестационарное Тп-периодическое решение Хп(Ь .причем ЦХп(-±)Ис-*0 при .

Перейдем к описанию итерационной процедуры исследования

йс^уркедаз в условиях теореж 10.1. С &гой цзлхк определи-: Сушсцкк

г®и),

и зависящее от чисел ¿¡.^0 семейство функционалов

Т^Ы)! ¡\uclh

Основным является уравнение

=0, (18)

где и-ис1) и

•те);

£ 1

здесь функция Ес£) при

¿еС ¿?Д7 определяется следующим образом: Ес<Г) ££¿-<0 при и = ЗС(-£-Г+1) при О . Решения уравнения (18) будем искать в областях ЦШЬ^^ЬЦр $ Н>/4};

где Р - это банахово пространство периодических периода 1 вектор-функций, ряды Фурье которых сходятся абсолютно; определим также банахово пространство

= хсЬ=и01+<р(1)} ■

нормы в пространствах Р т ф вводятся естественны!.! образом.

Показано, что оператор : Р -> Ф дифференци-

руем по Фреше в любой точке области О.,^ , причем оператор Р Ф в условиях теоремы 10.1 непрерывно

¿а -

обратим и оператор П. : Ф~* р от 9, не

—1 / ^ г í ^

зависит; здесь ^(и) - производная Фреше оператора . и точке и б Р

Теорема 10.2. 3 условиях теоремы 10.1 уравнение (18) при катком малом 0 имеет з области единственное ре-

шение , которое может быть получено как предел после-

довательных приближенна

= - Г0 [&г{ипсЬ)Щ(и,сЩ (п^ОЛЛА

где и.рС-1) . При этом сходимость ЦЧ^Ь-и^сЬн^О}

. является геометрической и справедливы соотношения л при О

Каждое существующее в условиях теоремы 10.2 решение М^сЬ уравнения (18) определяет решение Х„(Ь = Н-^/Т^О^)]урав-ления (17) при X —Л^СК^Я . при этом функция Х„с1) будет периодической периода Т^Ги^^Л •

В § II приведены доказательства утверждений § 9, а в § 12 - доказательства утверждений § 10.

Заключительная четвертая глава (§§ 13-17) работы посвящена исследованию вынужденных колебаний в нелинейных системах.

3 § 13 изучается система, описываемая уравнением

X = М(р) {12,-Ь), (19)

где •и - квазиполином! (3) и (4), а скалярная

функция (X, V) непрерывна по совокупности переменных а

Т -периодична по переменной -¿г . Пусть ¡^^¡^(¿Н^Ш, где в>0 и а(4) 6 Ь2(0,Т) . Пусть выполнено условие (9). Тогда определено число

а)(Т) = упж ПУ(Щ1. щщъ... >

Теорема 13.1. Пусть <1 . Тогда уравнение

(19) имеет по крайней мере одно Т-перяодлческоо решение. Далее з § 13 изучается метод гармонического баланса для

приближенного построения Т -периодических решений уравнения (19) в условиях теоремы 13.1.

Теорема 13.2. В условиях теоремы 13.1 метод гармоничесг го баланса приближенного построения Г-периодических решений уравнения (19) сходится равномерно.

В § 14 работы рассматривается система, описываемая уравнением первого порядка

■ Ы)хс1) (20)

а±

Предполагается, что функции Ы) и 4(хА) периодические по £ с общим периодом ~Т > 0 • п

Теорема 14.1. Пусть для каждого Ц> 0 функция /(Х^) удовлетворяет ограничению

сдя(1) Т)

с некоторой (зависящей от Я. ) суммируемой на (0}Т) функцией ¿¿>^(4:) . Пусть для некоторого о( > 0 л некоторой суммируемой на (0,Т) функции выполнено односторон-

нее ограничение

ОС^(хД) СРСЬ (-са<х<оо,0аит\

Тогда уравнение (20) имеет по крайней мере одно /"-периодическое решение.

Теорема 14.2. В условиях теоремы 14.1 метод гармонического баланса построения приближенных 7~-першдических решении уравнения (20) сходится равномерно.

В § 15 приводятся доказательства утверждении § 14.

В § 16 изучается задача существования Г-периодических положительных колебаний системы (19) в предположении, что ишульсно-частотная характеристика линейного звена этой системы является положительной.

Теорема 16.I. Пусть выполнено условие

и

где , Р0>О . Пусть и

Ч0\/(0) >1 • Тогда уравнение'(19) имеет по крайней мере одно у-периодическое решение.

■ ■ В § 17 изучается задача рождения малых вынужденных периодических колебаний из состояния равновесия нелинейной системы, описываемой уравнением

= ГДе^, (21)

в котором + = {(Х^'Л) - ТВ.

МХ^Ы + ЕСХ^^Х (22)

причем = £ . ) и

-0(ИХ1^)при 11X110 . На функцию-(22), кроме непрерывности по совокупности' переменных, никакие другие условия не накладываются. Поэтому единственность решения задачи Коши для уравнения (21), вообще говоря, не имеет места.

В § 17 устанавливается, что в случае негладкой правой части уравнения (21) из состояния равновесия могут рождаться малые по амплитуде утолщенные периодические решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

I). Разработаны теоретические .положения о новых математических моделях систем управления, содержащих сложные залазцыв вания.' Проведено детальное исследование процессов функционирования линейных звеньев со сложными запаздываниями.-

.2). Исследованы общие свойства импульсных характеристик линейных звеньев со сложными запаздываниями. Предложены процедуры построения импульсных характеристик.

3). Прове док анализ свойств оператора периодической па-дачи для линейного звена со сложными запаздываниями и исследованы общий функциональные свойства иккульсно-чаототных характеристик (ИЧХ) таких звеньев. Доказаны теоремы ; разложении MX в ряды по экспоненциальным решениям однородных уравнений .

4). Указаны признаки знакоопределенности и высокочастотной знакоопределенности ИЧХ. Изучены вопросы существовали» положительных периодических колебаний в нелинейных системах со сложными запаздываниями.

5). Разработаны новые итерационные процедуры численного исследования бифуркационных задач в системах со сложными запаздываниями и в системах, не содержащих таковых. Установлена сходимость и скорость сходимости к бифурцирующим решениям.

6). Получены условия реализуемости и равномерной сходимости метода гармонического баланса в задаче приближенного исследования вынужденных периодических-колебаний нелинейных систем, содержащих сложные запаздывания.

7). Изучены условия рождения малых вынужденных периодио-ческих колебаний из состояния равновесия нелинейных систем

в случаий негладкой правой части. .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дементьева A.M., Красносельский A.M., Юмагулов М.Г. Оператор периодической задачи для уравнения первого порядка.

- ДАН Теда. ССР. - 1989. - Т. 32, У? 12. - С. 802-805.

2. Дементьева A.M., Красносельский A.M., Юмагулов М.Г. О при ближенном построении периодических решений нелинейного уравнения первого порядка. - ДАН 'Гада. ССР. - 1990. -

- Т. 33, № XI. - С. 712-715.

3. Цветков Д., Юмагулов М.Г. Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями. - ДАН Республики Таджикистан. - 1992. - Т. 35, й 5.

4. Цветков Д., Юмагулов М.Г. Функциональные свойства импуль-сно-частотных характеристик линейного звена со сложными

запаздываниями. - ДАН Республики Таджикистан. - 1992. -

- Т. 35, № 6.

5. Фоменко И.В., Юмагулов М.Г. Бифуркационные значения параметров 2 задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений без единственности. - ДАН Тадж. ССР. - 1988. -

- Т. 31, Я 10. - С. 637-640.

6. Юмагулов М.Г. Асимптотика колебаний с болкшмл средними значениями в динамических системах. - Известия АН Тада. ССР. Отд. Фаз.-мат., хим. и геол. наук. - 1937. - .'5 4. -

- С. 3-9.

7. Юмагулов М.Г. Итерационная процедура приближенного исследования малых автоколебаний. - Тезисы докл. Ж Всесоюзного совец. '.'Проблемы упрзвления-89" (г. Ташкент, 1989 г.).

- М.: ВИНИТИ, IS89. - С. 33-34.

3. Юмагулов М.Г. Итерационная процедура приближенного исследования мабифуркации Хопфа для уравнений с запаздыванием.

- Тезисы докл. Всесоюзной конф. по теории и прилож. функ-иионально-дифф-х уравн-й (г. Душанбе, 1987 г.). - Душанбе: "Донии", 1987.

9. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебаний. - Автоматика и телемеханика. - 1988. - № 10. - С. 76-84.

10. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче численного исследования бифуркации рождения цикла. -

- ДАН Тадж. ССР. - 1987. - Т. 30, JS II. - С. 691-694.

11. Юмагулов М.Г. Устойчивые колебания с большим! средним'! значениями в многосвязных системах. - Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 7. - С. 93-95.

12. Юмагулов М.Г. Об уравнениях рождения больших решений. -

- ДАН Тадж. ССР. - 1986. - Т. 29, Я 3. - С. 141-144.

13. Юмагулов М.Г. Об устойчивости колебаний с большими средними значениями в многосвязных системах. - Известия АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук. - 1988. -

- & I. - С. 3-10.

14. Юмагулов М.Г. О разложении периодической функции Грина уравнений с последействием в ряды по экспоненциальным

- решениям. - ДАН Республики Таджикистан. - 1982. - Т. 35, Л 8. • '

15. Юмагулов М.Г. Метод фу нкционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. - ДАН Республики Таджикистан. -- 1992. - Т. 35, Л 9.

Подписано в печать 5.02.93 .г. Формат 60х90*/16.- Бумага офсетная. Печать'рй^сетная. Усл. печ. л. 1,5. Усл. кр. от. 1,62. Уч. изд. 1,3. ТиражЛОО. Заказ № 21.

ТчпограгР'ия Академии наук Республики Таджикистан,

. 1 .734029,;г. 'Душанбе, ул.;Айни, 121, корп. 2.