Методы исследования периодических колебаний систем со сложными запаздываниями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ8 ^РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

2 2 ПАП Е93

Специализированный совет Д 003.63.02

На правах рукописи

УДК 517.94

ЮМАГУЛОВ Марат Гаязович

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ СО СЛОЖНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Специальность:

01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1993

Работа выполнена в Математическом институте с Вычислительны.« центром Академии наук Республики Таджикистан.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор С. К. Коровин

доктор физико-математических наук профессор Л\. А. Красносельский

доктор физико-математических паук, профессор А. Д. Мышкис

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем управления (автоматики и телемеханики) Российской Академии паук.

Защита состоится « » 1993 г. на заседании Специали-

зированного совета Д 003.63.02 прк Институте системного анализа Академии наук по адресу: 117312; Москва, проспект 00-летия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ИСА.

Автореферат разослан « » 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ-мат. наук

В. С. ЛЕВЧЕНКОВ

хшгашютим РАБОТ;!

»

Актуальность раиотн. Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется как отрешением к анализу и переосшслонию огромного материала, накопленного этой наукой, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения и методов исследования. Здесь актуальными и важными являются такие направления исследований, как анализ и обобщение основных понятий теории управления (такие, например, как "система", "состояние", "передаточная функция", "импульсная характеристика" и т.п.), разработка новых общих математических моделей современных сложных систем управления, разработка качественных и приближенных методов исследования динамики таких систем..Указанным направлениям исследований .посвящены многочисленные статьи и монографии.

Среди возникших в последние годы и уже нашедших многочисленные приложения- общих методов описания и анализа широких классов современных сложных систем управления следует упомянуть методы исследования бинарных систем, иерархических структур, рассинхронизировеняых систем,.систем с гистерезисом (С.В.Еглельянов, М.'А.Красносельский, Н.А.Кузнецов, Н.Н.Моисат • ев, А.В.Покровский-и др.).

Классические постановки задач теории управления обычно предполагают, что"'будущие состояния рассматриваемой системы не зависят от прошлых состояний и определяются только её настоящим. Однако, при более-тщательном анализе часто становится очевидным, что такое предположение - это лишь первое приближение к истинной ситуации, и более реалистическая модель должна включать некоторые из предшествующих состояний -системы. Более того, многие задачи теряют смысл,-если ке учитываются зависимости от промого.

По-видимому, одним из первых, кто ясно указал на вале- . ность учёта запаздываний в математических моделях сложных систем управления, был Н.Минорски ( У. Мь поПку ), который в появившихся в конце■традцатых и начало сороковых годов

работах, посвяценных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ввёл в рассмотрение запаздывания в механизме обратной связи. Его работы вызвали большой интерес к теории автоматического регулирования у математиков и способствовали быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Основы общей теории линейных систем с запаздыванием были заложены А.Д.Мышкисом, который ввёл в рассмотрение общий класс уравнений с запаздывающим аргументом. Существенный вклад в развитие теории таких уравнений внесли работы Р.Бел-лмана, А.М.Зверкина, К.Кука, Дж.Хэйла, Л.Э.Эльсгольца и других математиков.

Значительный интерес математиков к теории управления вызывается , в первую очередь, большим количеством математических задач, возникающих в связи с исследованием конкретных систем, содержащих запаздывания. Обычно для каждой такой системы конструировалась своя описываемая тем или иным типом уравнений с запаздывающим аргументом математическая модель, по которой затем определялись основные характеристики системы и разрабатывались методы исследования её динамики. Новые приложения продолжают возникать и требуют изменения (или даже определения заново) основных уравнений. Это обычно приводит к необходимости существенного пересмотра старых или разработки новых методов исследования таких систем.

Представляется актуальным и важным рассмотрение задач исследования систем управления, содержащих запаздывания, с единых и достаточно общих позиций, позволяющих, с одной стороны, охватить возможно более широкий класс возникающих в приложениях систем, а с другой стороны, являющихся естественным продолжением классических подходов к исследованию систем управления. Здесь особенно актуальны исследования линейных звеньев, изучение основных свойств их характеристик, а также разработка методов вычисления этих характеристик.

Одной из основных при исследовании динамики системы управления является задача о ее периодических колебаниях. Естественными в периодической задаче являются вопросы о том, при

каких услсг з рассматриваемой система иогут возникать (или, паобсчт/г, отсутствовать) периодические колебания, устойчивы ли они, каковы их период и амплитуда и т.п. Эффективные методы исследования периодических задач разработаны и детально изучены в работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митрополь-ского, И.Г.Малкина, Ю.И.Неймарка, Е.П.Попова, И.Г.Пальтова, Е.Н.Розенвассера и других авторов. Детальное исследование задач о периодических режимах широкого класса регулируемых систем с последействием было проведено В.Б.Колмановским и В.Р.Носовым.

Важным понятием в периодической задаче для систем управления является понятие импульсно-частотной характеристики линейного звена и связанного с ним оператора периодической задачи. Представляется актуальным проведение анализа и изучение обших свойств оператора периодической задачи и импуль-сно-частотной характеристики линейного звена, содержащего запаздывания, а также разработка новых обидах методов вычисления этих характеристик.

В периодической задача для автономных систем одним из наиболее интересных (и важных с точки зрения приложений) является вопрос о возникновении незатухающих периодических колебаний малой амплитуды вследствие потери устойчивости стационарных состояний системы. Возникновению автоколебаний из стационарных состояний в математической постановке отвечает бифуркация Андронова-Хэпфа. Исследованию указанного явления посвящено большое число работ (как теоретического, так и прикладного характера).

Особый интерес в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа вызывают вопросы приближенного расчета бифурцирушщх решений, их перио' I и значений параметров. Известные алгоритмы основаны на бифуркационных формулах, на методах усреднения, на методе неопределенных параметров. В то же время, практически не применяются итерационные процедуры; последнее связано в основном с неизолированностью бифурцирушщх решений. Поэтому представляет интерес разработка итерационных процедур численного исследования бифуркации на основе предложенного

М.А.Красносельским метода функционализаши параметра, который позволяет переходить от задач с континуумами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированны- -ми решениями.

Одним из наиболее эффективных методов исследования вынужденных колебаний нелинейных систем управления является метод гармонического баланса. Вызывает интерес изучение достаточно общих условий реализуемости этого метода в задаче приближенного исследования вынужденных колебаний сложных нелинейных систем с запаздыванием. -

Цель работы.Исследование процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания. Построение и анализ математических моделей линейных звеньев со сложными-запаздываниями, изучение основных свойств и разработка методов вычисления их харашврисгик.

Анализ и изучение 06251Х свойств оператора периодической , задачи и шлпульсно-частотной характеристики (ИЧХ) линейного звена со сложными заваздаваншш, разработка методов построения ИЧХ. Исследование признаков знакоопределенности ИЧХ, приложения в задаче о положительных периодических колебаниях нелинейных систем, содэраацах сложные запаздывакият

Разработка итерационных процедур- численного исследования бифуркации Андраыова-Хопфа в системах, как содержащих сложные запаздывания, так н не содержащих таковых.

Изучение условий реализуемости и сходимости метода гар-.монического баланса в задача приближенного исследования вынужденных колебаний сложны* нелинейных систем' с аапаздывани-Я1Ш. .

Научная новизна. Разработаны и исследованы новые математические модели систем управления, содержащих сложные запаздывания. Изучены процессы функционирования линейных звеньев , со сложными запаздываниями, разработаны методы построения импульсных характеристик таких звеньев.

Исследованы свойства оператора периодической'задачи для линейного звена со сложными запаздываниями в различных функциональных пространствах, изучены общие функциональные свой-

ства импульсачастотных характеристик (ИЧХ) таких звеньев. Получены разложения ИЧХ в ряды по экспоненциальным решениям однородных уравнений.

Установлены признаки знакоопределенности и высокочастотной знакоопределенности ИЧХ. Изучены вопросы существования положительных периодических колебаний нелинейных систем со сложными запаздываниями.

Разработаны новые итерационные процедуры исследования бифуркационных задач для нелинейных автономных систем, содержащих сложные запаздывания и не содержащих таковых. Установлена сходимость, скорость сходимости к бифурцирующим решениям. На основе предложенных итерационных процедур разработаны алгоритмы и программы численного исследования бифуркации.

Исследованы условия реализуемости и равномерной сходимости метода гармонического баланса в задаче приближенного исследования вынужденных периодических колебаний сложных нелинейных систем, содержащих запаздывания.

Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. В ней проведен анализ процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания, разработаны методы исследования периодических колебаний таких систем, предложены процедуры их приближенного построения. Развитые в работе методы могут быть использованы при исследовании конкретных регулируемых систем с запаздываниями, предлагаемые процедуры и алгоритмы приближенного расчета периодических колебаний могут служить основой для разработки программ численного исследования колебательных процессов в сложных нелинейных системах.

Методы исследования. 3 работе использованы общие методы теории управления, теории систем, теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, функционального анализа, теории функций, комплексного анализа, обобщенных функций, приближенные методы решения операторных уравнений.

Апробация работы. Отдельные части диссертационной работы докладывались на XI Всесоюзном совещании "Проблемы упра-

вления-89" (г. Ташкент, 1989 г.), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (г. Душанбе, 1987 г.), на посвященной памяти Т.Собинова научной конференции "О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений" (г. Душанбе , 1990 г.), на научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Куляб, 1991 г.), на научной конференции "Комплексный анализ уравнений в частных производных" (г. Душанбе, 1992 г.), на научной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (вторые Боголюбовские чтения) (г. Душанбе, 1992 г.), на посвященной семидесятилетию М.А.Красносельского научной конференции (г. Воронеж, 1990 г.), на научных семинарах Института проблем управления Российской Академии наук (I986-IS92 гг.), Института проблем передачи информации Российской Академии наук (1990-1992. гг.), Математического института с Вычислительным центром Академии наук Республики Таджикистан (1985-1992 гг.), Таджикского госуниверситета (1986-1992 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано более 20 научных статей. В конце настоящего автореферата приведен список из 15 статей, в которых отражено основное содержание диссертации.

Личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Совместно с Д.Цветковым получены теоремы 4.2 и 5.1, с А.М.Дементьевой и А.М.Красносельским -- теоремы 14.I и 14.2, с И.В.Фоменко - теорема 17.I.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 245 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, содержащих 17 параграфов, восьми рисунков, одной таблицы и списка цитированной литературы, включающего 100 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во втч»7гетаз обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работы.

В первой главе (§§ 1-3) изучаются линейные звенья, со-дер-тапзю сложные запаздывания, приводится описание функционирования таких звеньев, обсуждаются общие свойства передаточных функций и импульсных характеристик, предлагаются процедуры построения характеристик.

В § I вводится в рассмотрение линейное звено, описываемое уравнением

ХСЪ+11 = X ¡¡и.Ф(Шр:СЯ, (I)

¿=9 0 О'

где £.¿(1:) и Р^^ - функции ограниченной вариации на отрезка [0, и интегралы понимаются в сглысле Лебега-Стил-■тьэса, исЬ - вход, - еыход звена.

Звено, описываемое уравнением (I), назовем линейны:.? звеном со сложными запаздываниями и будем обозначать В § I показано, что уравнение (I) охватывает широкий класс уравнений с запаздыванием, возникающих в теории управления. Обычные звенья с дробно-рациональными передаточными функциями также содержатся в (I).

Далее в § I приводится описание функционирования звена "VI при различных классах входных сигналов ис4) : в случае достаточной гладкости исЪ . при обобщенных входных сигналах, а также в случае И. > иа и локально суммируемых входных сигналах.

В заключение § I показывается, что звено Ц/~ представляет собой линейное стационарное звено с передаточной функцией

Где , к,

И-1 ! Л

1 О О 3

= рп+ X р* Л е" , (3)

¿=0 о '

М(р) = 21 р^е^йФ. (4)

¿ = о о-

В § 2 изучаются общие свойства-импульсных характеристик линейных звеньев со сложными запаздываниями; для звеньев первого и второго порядков предлагаются и обосновываются процедуры построения характеристик.

Теорема 2.1. При п. ^ м + 1 импульсная характеристика к.с-1) линейного звена IV" с передаточной функцией (2) ягляется локально суммируемой функцией, равной нулю при и имеющей преобразование Лапласа, совпадающее

с функцией (2). При VL^^n + Z функция \iC-L) является непрерывной.^

Далее в § 2 рассматривается линейное звено первого порядка, динамика которого описывается уравнением 'Ь Ч.

& ХсЬ = Х(1-£) ¿Ы^) =§ис1-ырвс5). (5)

Через крСобозначим определенную на всей числовой оси функцию такую, что к0(4) = 0 при ± £ О , а при £>0 являющуюся решением дифференциального уравнения с последействием

г

Хк.С-1) = - ] (3 с1-Б)с(о1в(5\ о

Теорема 2.2. Импульсная характеристика к линейного'звена, описываемо: ■ уравнением (5), определяется равенством \гс1 =■ к0с1. -0':).

Рассмотрим теперь линейное звено второго порядка, динамика которого описывается уравнением

- 9 -

рг г

&Х(Ь = Х"(4:) + ] (6)

Л Л-

= ^и.'с-Ь-Ы^) + \и(1 . (6)

Через 1г0(4) обозначим определенную на всей числовой осп функцию такую, что = 0 при ~ д? О , а при -Ь>0

являющуюся решением дифференциального уравнения с последействием

£ и> = 4сЬ,

где гг пг

Теорема 2.4. Импульсная характеристика

линенно-

го звена, описываемого уравнением (6), представляется в ви-Д0 £ {

В § 3 работы обсуждается вопрос о представлении линен-ного звена со сложными запаздываниями как соединение

типовых или элементарных звеньел. Пусть числа

|/1 ) 2 5 • • • > 5 • • ■ I ' V

- это нули квазиполинома (3). Звенья, передаточные функции которых имеют вид

Р-Ч ' р-тг ' ' р-гь ;

назовем элементарными для звена . В работе изучается

вопрос с представлении звана "У? в виде параллельного соединения счетного числа элементарных звеньев, который сводится к вопросу о разложении функции (2) (в случае п > Уп ) в ряд вида

оа

Щ) = 21 ¥, (р) ? к = 1 *

где - это функции вида (8) или степени таких функ-

ций.

Рассмотрю,! сначала простое звено, т.е. звено с передаточной функцией вида = 1/ Ь(р) , где Ь (Р) - квазиполином (3). Пусть все нули (7) являются простыми, т.е. и(Тк) ^ 0 ( к =1,2, ... ). Пусть, наконец, выполнены соотношения

и существует > ® такое, что для любой пары различны, нулей Т^ и выполнено неравенство ^ ^о •

Теорема 3.1. Передаточная функция простого зве

на шлет быть разложена в ряд

= 1

Ь(р) к=1 Ь%ур-Гм) '

равномерно сходящийся на любом компакте комплексной плоскости С .

Условия теоремы 3.1 выполнены для широкого класса линейных звеньев с запаздываниями; з частности, они выполнены для звеньев, динамика которых описывается уравнением с конечны»! числом фиксированных запаздываний.

В заключение § 3 утверждение теоремы 3.1 распространяется на широкий класс звеньев со сложными запаздываниями уже не обязательно простых.

Во второй главе (§§ 4-6) изучается периодическая задаче для линейного звена со сложными запаздываниями.

В § 4 изучается оператор периодической задачи, ставящий в соответствие каждому периодическому периода Т> 0 в-----

- Ii -

ЦС-4) звена единственный периодический того ;:се пери-

ода I выход ccci) этого звена. Зтот оператор определен в условиях следующего утверждения.

Теорема 4.1. Пусть функция (3) удовлетворяет условии

и±^)Ф0 (k= 0, i*)

Тогда для любой обобщенной Т -периодической фувкгаи являющейся входным сигналом звена , существует единст-

венный обобщенный 7 -периодический выход этого зве-

на, при этом функция £(-¿) предетавиш в виде

I 1 i J

где 1- передаточная функция (2) и ~ коэффициен-

ты Фурье функции U tí) :

I ^ / ZsrkLt \

и,et) = щ> (———). k=-°° Т

Теорема 4.1 определяет оператор П(Т) нзопоцпчзской задачи для линейного звена так, что <£({)~П(Т) U-tí) .

Пусть С - это банахово пространство непрерывных на отрезке О^-é^T функций Ceti) , для которых X(Oi-X( Т) ;

Lг - это гильбертово пространство суммируемые с кводра-томна (0,Т) функций; для целого числа ^ ? О определим также пространства £ф(Ье С, Oáj £ и H^^ixd): Хф(1) £ÍZ , Osji % } • Нормы в этих пространствах определим обычным образом.

Теорема 4.2. Пусть выполнено условие (9). Тогда: а) если ss¿? ,то оператор П(Т) действует и

непрерывен из Н* в Н"'*** ó) если и, - № ? О , то оператор П ( Т) нормален в Н для любого целого ^ ? О , при этом спектр оператора П(Т) : Н^ И ^ состоит из замыкания множества соб-

ственных значений

в) если п, то ряд

= -мфнгСф) ™>

сходится в ИП и для оператора П(Т) справедли-

во интегральное представление „Т

верное для любой функции

4(1) .

Следствие 4.1. Если 1 . то для любого целого

оператор П(Т) является компактным из Н ^ в С^ и кошактнш как оператор, действующий в С^ и в Н"'■ В § 5 изучаются свойства импульсно-частотной характеристики (КЧтО линейного звена V/ со сложными запаздываниями, которая определяется как обобщенная функция (10) и представляет собой единственный Т-периодический выход звена Ж при входе

= 4 21 «ср(^).

Т^оо ^ Т

Свойства ИЧХ звена V изучаются в случае П ~> т ,

Фигурирующую в (I) функцию рт единственным образом (как функцию ограниченной вариации) можно представить в виде равенства = <-Ь , где непрерывная функция, а - функция скачков. Цусть множество

- это множество точек разрыва функции скачков (или

получены из них сдвигом на Т ), а числа • - это

соответствующие скачки; определим также число ^ . равное скачку функции Д^в точке -к - 0 (если точка -к= О является точкой непрерывности функции ¡¿„¿(^ . то положим О ). По функции ]Зт (•£) и целому числу к ^ 0 определим класс Е^ функций ХС^ таких, что:

а) при 1 функция хЫ:) является 1 раз непрерывно дифференцируемой на [О, Т ) ;

б) для -¿е (0,Т)\Л существует производная X (I), при этом для определенной на множестве [О, Г) \ 12 функции существуют односторонние пределы

для любого £2. ;

в) доопределенная правосЪроншт (левосторонними) пределами в точках множества О. функция $(1) имеет ограниченное изменение на Г О, Т ] , а тожество ее точек разрыва на (0,7") совпадает с множеством -Г2 ;

г) имеют место равенства

Теорема 5.2. Пусть Уг>1гг.. Тогда ШХ звена V/" принадлежит классу £ и--иг-1 _

В § 6 работы изучаются разложения ЮТ звена "V в ряды вида

к ук

где Г^ - это нули (7) квазиполинома (3) и где Я.^) ~

/ *

гочлены по г

Теорема 6.1. Пусть все нули (7) являются простыми и выполнены условия теоремы 3.1. Тогда ИЧХ С(4:-,Т) простого звена представима в виде ряда

, _ ОО , т-

к=1 Кгл^-л1;

который равномерно сходится на каждом отрезке Т

и сходится по норме пространства 1_,г(0,Т) .

В § 6 приводится также развитие теоремы 6.1 на случай кратных нулей (7), а также на общий, случай звена W с передаточной функцией (2).

В § 7 работы обсуждаются условия знакоопределенности ИЧХ звена . Будем говорить, что звено является

высокочастотно знакопостоянным, если существует Тв > О такое, что для всех 7~£ (О,Т0) выполнено условие (9) и если Т€ (0,Т0) , то ИЧХ ; Т) почти для всех 4; имеет постоянный знак.

Теорема 7,1. Для высокочастотной знакопостоянности звена необходимо и достаточно, чтобы

при ЭТОМ „ , а /Л.

П.1

0(1 ¡Г) ='

Ы0л) - сх0(0)

В § 7 обсуждаются также условия знакопостоянства ИЧХ звена \ДГ при произвольных (не обязательно малых) значениях периода Т .

В третьей главе (§§ 8-12) предлагаются и обосновываются итерационные процедуры численного исследования бифуркации Андронова-Хопфа.

В § 8 приводится описание классов рассматриваемых в главе нелинейных систем.

В § 9 рассматриваются систем, описываемые уравнениями

~ к(1)Х(1), (12)

где - /V -мерный вектор состояния системы, А (Я) -

- постоянная матрица, элементы которой непрерывно зависят от вещественного параметра Л , а вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию = о (нхи) при ИХН~> 0 .

Пусть при некотором Я = Я0 числа являются

простыми собственника значениями матрицы /ияо) , а числа — с. ( кФ£ ) не являются её собственными значеннл-ш. Тогда найдутся векторы е, е*> € такие, что

не « = «$// = 1 , = (е, О.

Положил р х = (ос, е*) е + №§*) .

Через 17Сзс;Т)Я) :обозначил оператор сдвига по траекториям системы (12) за время Т ; ненулевые не-подЕктяые точки этого оператора определяют начальные значения Т-периодических решений системы (12). Для перехода к задачам с изолированными решениями воспользуемся методом функционализации параметра и будем рассматривать уравнение вида

1/[зс; "П*); ж«] = 0 , (хз)

в котором

Тгя)

и Л №) - некоторые функционалы . В работе предлагается рассматривать семейство функционалов

Т^(Х) = 1 + <{1 [(£,&*) -^7, ;уя) = +

зависящее от чисел ^ > 0 ; числа означают, что в предлагаемой процедуре решения основного уравнения ищутся "вблизи" вектора ^ 6. . Определит.! также области = 1/%-рен . Подставляя выбранные функционалы

в (13) получим основное уравнение

+ (14)

где

здесь Х(Ь - решение системы (12) при х(0)=х и Я = Л?(Х> .

Показано, что оператор дифференцируем по Фре-

ше при любом <£.€. О-е^ , причем оператор б^У^е) обратим тогда и только тогда, когда

*-(/¡'(Л„)?,2*); СЮ

здесь А (Л) ^ матрица, полученная дифференцированием элементов матрицы А (Я) . Положим Г0 = [С^с^)!'1 ■ 9. -> ^ ; в работе показано, что оператор Г0 от £ не зависит.

Теорема 9.1« Пусть выполнено условие (15). Тогда при малых 0 уравнение (14) имеет в шаре единствен-

ное решение Х^ , которое может быть получено как предел последовательных приближений

(16)

где . При этом %,($,)->Л0 и 1 при

0 •

Определяемый итерационной процедурой (16) вектор СС^ служит начальным значением Т^(^) -периодического решения . (.ССрСО)-^ ) системы (12) при А^Л^Х^) , при

этом 11X^(1)11^0 при ^ О .

В § 10 изучается задача построения малых автоколебаний, возникающих в системах со сложными запаздываниями. Основным объектом является нелинейное уравнение вида

£1хо1) ^

~ ¡^тЯ(тЛ){Са)хй-тну[хс1-т)л]} > хе^ (17)

где Я ; А) _ квадратная матрица, элементы которой при каждом Л являются функциями ограниченной вариации по -¿е £0,2:1 и при каждом е [0,^1 непрерывны по Л

- 17 -

С (Л) - матрица с непрерывно зависящими от Я элементами, а вектор-функция (р(Х;%) непрерывна по совокупности переменных, причем цуф; 1)11 = О(НХЦ) при I¡XIIО . Положим

где 0.(1; Л) = Я) Сш . Пусть при некоторых Я=Лг, п Т = Т0 число 1 является простым собственным значением матрицы ~\£0= У±(Т0-,Я0) и не является собственным значением матриц У^0=Ук(Т0-,Ао) п£и ^ ~ "> ■ Полатач далее 0(Д) = -0_(0) Я) предположим также, что матрица 2> (Ар) обратила. у

Выберем векторы таким образом, чтобы

Он оделим, наконец, матрицы

Пусть комплексные числа

удовлетворяет соотношениям

Теорема 10.1. Число является точкой бифуркации в

задаче о То -периодических решениях уравнения (17): найдутся числа и Тп-> Т0 такие, что при Я~Яп уравнение (17) имеет нестационарное Тп-периодическое решение Хп(Ь .причем ЦХп(-±)Ис-*0 при .

Перейдем к описанию итерационной процедуры исследования

йс^уркедаз в условиях теореж 10.1. С &гой цзлхк определи-: Сушсцкк

г®и),

и зависящее от чисел ¿¡.^0 семейство функционалов

Т^Ы)! ¡\uclh

Основным является уравнение

=0, (18)

где и-ис1) и

•те);

£ 1

здесь функция Ес£) при

¿еС ¿?Д7 определяется следующим образом: Ес<Г) ££¿-<0 при и = ЗС(-£-Г+1) при О . Решения уравнения (18) будем искать в областях ЦШЬ^^ЬЦр $ Н>/4};

где Р - это банахово пространство периодических периода 1 вектор-функций, ряды Фурье которых сходятся абсолютно; определим также банахово пространство

= хсЬ=и01+<р(1)} ■

нормы в пространствах Р т ф вводятся естественны!.! образом.

Показано, что оператор : Р -> Ф дифференци-

руем по Фреше в любой точке области О.,^ , причем оператор Р Ф в условиях теоремы 10.1 непрерывно

¿а -

обратим и оператор П. : Ф~* р от 9, не

—1 / ^ г í ^

зависит; здесь ^(и) - производная Фреше оператора . и точке и б Р

Теорема 10.2. 3 условиях теоремы 10.1 уравнение (18) при катком малом 0 имеет з области единственное ре-

шение , которое может быть получено как предел после-

довательных приближенна

= - Г0 [&г{ипсЬ)Щ(и,сЩ (п^ОЛЛА

где и.рС-1) . При этом сходимость ЦЧ^Ь-и^сЬн^О}

. является геометрической и справедливы соотношения л при О

Каждое существующее в условиях теоремы 10.2 решение М^сЬ уравнения (18) определяет решение Х„(Ь = Н-^/Т^О^)]урав-ления (17) при X —Л^СК^Я . при этом функция Х„с1) будет периодической периода Т^Ги^^Л •

В § II приведены доказательства утверждений § 9, а в § 12 - доказательства утверждений § 10.

Заключительная четвертая глава (§§ 13-17) работы посвящена исследованию вынужденных колебаний в нелинейных системах.

3 § 13 изучается система, описываемая уравнением

X = М(р) {12,-Ь), (19)

где •и - квазиполином! (3) и (4), а скалярная

функция (X, V) непрерывна по совокупности переменных а

Т -периодична по переменной -¿г . Пусть ¡^^¡^(¿Н^Ш, где в>0 и а(4) 6 Ь2(0,Т) . Пусть выполнено условие (9). Тогда определено число

а)(Т) = упж ПУ(Щ1. щщъ... >

Теорема 13.1. Пусть <1 . Тогда уравнение

(19) имеет по крайней мере одно Т-перяодлческоо решение. Далее з § 13 изучается метод гармонического баланса для

приближенного построения Т -периодических решений уравнения (19) в условиях теоремы 13.1.

Теорема 13.2. В условиях теоремы 13.1 метод гармоничесг го баланса приближенного построения Г-периодических решений уравнения (19) сходится равномерно.

В § 14 работы рассматривается система, описываемая уравнением первого порядка

■ Ы)хс1) (20)

а±

Предполагается, что функции Ы) и 4(хА) периодические по £ с общим периодом ~Т > 0 • п

Теорема 14.1. Пусть для каждого Ц> 0 функция /(Х^) удовлетворяет ограничению

сдя(1) Т)

с некоторой (зависящей от Я. ) суммируемой на (0}Т) функцией ¿¿>^(4:) . Пусть для некоторого о( > 0 л некоторой суммируемой на (0,Т) функции выполнено односторон-

нее ограничение

ОС^(хД) СРСЬ (-са<х<оо,0аит\

Тогда уравнение (20) имеет по крайней мере одно /"-периодическое решение.

Теорема 14.2. В условиях теоремы 14.1 метод гармонического баланса построения приближенных 7~-першдических решении уравнения (20) сходится равномерно.

В § 15 приводятся доказательства утверждении § 14.

В § 16 изучается задача существования Г-периодических положительных колебаний системы (19) в предположении, что ишульсно-частотная характеристика линейного звена этой системы является положительной.

Теорема 16.I. Пусть выполнено условие

и

где , Р0>О . Пусть и

Ч0\/(0) >1 • Тогда уравнение'(19) имеет по крайней мере одно у-периодическое решение.

■ ■ В § 17 изучается задача рождения малых вынужденных периодических колебаний из состояния равновесия нелинейной системы, описываемой уравнением

= ГДе^, (21)

в котором + = {(Х^'Л) - ТВ.

МХ^Ы + ЕСХ^^Х (22)

причем = £ . ) и

-0(ИХ1^)при 11X110 . На функцию-(22), кроме непрерывности по совокупности' переменных, никакие другие условия не накладываются. Поэтому единственность решения задачи Коши для уравнения (21), вообще говоря, не имеет места.

В § 17 устанавливается, что в случае негладкой правой части уравнения (21) из состояния равновесия могут рождаться малые по амплитуде утолщенные периодические решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

I). Разработаны теоретические .положения о новых математических моделях систем управления, содержащих сложные залазцыв вания.' Проведено детальное исследование процессов функционирования линейных звеньев со сложными запаздываниями.-

.2). Исследованы общие свойства импульсных характеристик линейных звеньев со сложными запаздываниями. Предложены процедуры построения импульсных характеристик.

3). Прове док анализ свойств оператора периодической па-дачи для линейного звена со сложными запаздываниями и исследованы общий функциональные свойства иккульсно-чаототных характеристик (ИЧХ) таких звеньев. Доказаны теоремы ; разложении MX в ряды по экспоненциальным решениям однородных уравнений .

4). Указаны признаки знакоопределенности и высокочастотной знакоопределенности ИЧХ. Изучены вопросы существовали» положительных периодических колебаний в нелинейных системах со сложными запаздываниями.

5). Разработаны новые итерационные процедуры численного исследования бифуркационных задач в системах со сложными запаздываниями и в системах, не содержащих таковых. Установлена сходимость и скорость сходимости к бифурцирующим решениям.

6). Получены условия реализуемости и равномерной сходимости метода гармонического баланса в задаче приближенного исследования вынужденных периодических-колебаний нелинейных систем, содержащих сложные запаздывания.

7). Изучены условия рождения малых вынужденных периодио-ческих колебаний из состояния равновесия нелинейных систем

в случаий негладкой правой части. .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дементьева A.M., Красносельский A.M., Юмагулов М.Г. Оператор периодической задачи для уравнения первого порядка.

- ДАН Теда. ССР. - 1989. - Т. 32, У? 12. - С. 802-805.

2. Дементьева A.M., Красносельский A.M., Юмагулов М.Г. О при ближенном построении периодических решений нелинейного уравнения первого порядка. - ДАН 'Гада. ССР. - 1990. -

- Т. 33, № XI. - С. 712-715.

3. Цветков Д., Юмагулов М.Г. Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями. - ДАН Республики Таджикистан. - 1992. - Т. 35, й 5.

4. Цветков Д., Юмагулов М.Г. Функциональные свойства импуль-сно-частотных характеристик линейного звена со сложными

запаздываниями. - ДАН Республики Таджикистан. - 1992. -

- Т. 35, № 6.

5. Фоменко И.В., Юмагулов М.Г. Бифуркационные значения параметров 2 задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений без единственности. - ДАН Тадж. ССР. - 1988. -

- Т. 31, Я 10. - С. 637-640.

6. Юмагулов М.Г. Асимптотика колебаний с болкшмл средними значениями в динамических системах. - Известия АН Тада. ССР. Отд. Фаз.-мат., хим. и геол. наук. - 1937. - .'5 4. -

- С. 3-9.

7. Юмагулов М.Г. Итерационная процедура приближенного исследования малых автоколебаний. - Тезисы докл. Ж Всесоюзного совец. '.'Проблемы упрзвления-89" (г. Ташкент, 1989 г.).

- М.: ВИНИТИ, IS89. - С. 33-34.

3. Юмагулов М.Г. Итерационная процедура приближенного исследования мабифуркации Хопфа для уравнений с запаздыванием.

- Тезисы докл. Всесоюзной конф. по теории и прилож. функ-иионально-дифф-х уравн-й (г. Душанбе, 1987 г.). - Душанбе: "Донии", 1987.

9. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебаний. - Автоматика и телемеханика. - 1988. - № 10. - С. 76-84.

10. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче численного исследования бифуркации рождения цикла. -

- ДАН Тадж. ССР. - 1987. - Т. 30, JS II. - С. 691-694.

11. Юмагулов М.Г. Устойчивые колебания с большим! средним'! значениями в многосвязных системах. - Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 7. - С. 93-95.

12. Юмагулов М.Г. Об уравнениях рождения больших решений. -

- ДАН Тадж. ССР. - 1986. - Т. 29, Я 3. - С. 141-144.

13. Юмагулов М.Г. Об устойчивости колебаний с большими средними значениями в многосвязных системах. - Известия АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук. - 1988. -

- & I. - С. 3-10.

14. Юмагулов М.Г. О разложении периодической функции Грина уравнений с последействием в ряды по экспоненциальным

- решениям. - ДАН Республики Таджикистан. - 1982. - Т. 35, Л 8. • '

15. Юмагулов М.Г. Метод фу нкционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. - ДАН Республики Таджикистан. -- 1992. - Т. 35, Л 9.

Подписано в печать 5.02.93 .г. Формат 60х90*/16.- Бумага офсетная. Печать'рй^сетная. Усл. печ. л. 1,5. Усл. кр. от. 1,62. Уч. изд. 1,3. ТиражЛОО. Заказ № 21.

ТчпограгР'ия Академии наук Республики Таджикистан,

. 1 .734029,;г. 'Душанбе, ул.;Айни, 121, корп. 2.