Методы исследования устойчивости неавтономных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

АХАДКт НАУК УКРАИНЫ

институт прикладной матштинй и шхакш

из правая рукописи

- 5 ¿1:;-* 1994

Игнатьев Алексендр Олегович МЕТОДУ ИССЛВДСЭАИИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

неавтсномшх тлт

01.02.01 - "теоретическая неханига"

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физкко-ыа тематических наук

Лонепк 1994

Работа выполнена в Институте прикладной математики V ханмкк АН Украины

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН Украины

доктор фи8ико-математических наук

доктор физико-математических наук, профессор

Вздувая ограниэация: Институт математики АН Украины

Защита состоится / / 1994 г. в И

№ заседании специализированного совета Д 06.01.01 по : дению ученой степени доктора физико-математических нау! Институте прикладной ттсиаткки и механики АН Украины 1 адресу: 34СП4, г.Докшк-114, ул. Р.Люксембург, 74.

С диссертацией ыокно ознакомиться в научной библиот Института прикладной ыатекатики у механики АН Украины.

Автореферат разослан " 8 " & _ 19у4

А.А.Мартыш А.В.Ка рапе*

С.К.Персид(

Ученый секретарь , специализированного совета

кандидат физико-математических наук/1 /, А^И. Марко

СйцАЯ ХАРЛКТЕРКСТИКА РАБОТЫ

Актуалыпсть' iтест. Осчогы теор-.'и устойчиаости дрюкокря (5а-аайоявны п конце проплате пака ганиг? льдам русским учекйм У.Яяпуиошм. й Даяьивйаеи эта теория получила сроков пркиэ* ш»в в разягсчник разделах каткятакл и кеяакики, в «ндав <?и * кв| аконситхз, биояогяи. Этим оярздогяется ноэагаСзгзвяяЯ карее к ?еор:«й. устойчивости. Рпрсптав коешкавткки, авиация,ка-WOCTpoainin, po6ot0705tjmmi ПГВГ.0ДИ7 ¡s ПОСТОЯННСИУ расширения у га тсоретггевспнх и практкчаот аад*ч. Благодаря соаданкв .тг.юго (яд» в?ораго) катода Ляпунов» сгзло tocucsma реттт югях n?3irtsT4efiKi! зашг* вадзч. В ояучае раркоизрной 'Ьйаят-wcr.c'l 'jcicfcmc-cvit '"»«о» в&тед сводятся » явоурозняа опреде» {Й1в-ПСа0гП?5ЛЬК0а беСШ^В^аЯ^Я ЕТ<«ЕЛЛ ПрвДЗД

прзязяздяал кз^рой 'пояпатся фунгдазЯ опредвяекнонго» шкймШ, Одозко клхоздгячв «!ксй Фу mam, как правило, щдскеая«ея кссьмз в9*ру£№,деаыет* Б прякхздкя еодачвя со гаги* CTfJBtrk cCneiicraiaabMau йпредаягнка»по;:<т,:слькйя фуик» is втобатся *?з u3K""t-T0 фягичеокж соо8рг$еняЙ. Но со прсиз ->дк2.1 исгз» sp:t з*оз прздетапяяеь га зязкоспрздадшмув, о -тоь JaKoimcTCisttiyo фяяап®. 1'>?зт!» .дяя таких случаев Е.А.Барбагм-?л i! ЙЛ1»Красосс«!й пояучгя яйокг^зм* критерий уетойчясоегй ч?о пргнк» части днйодеедяаяьим: урэсшягЯ • jfinysiifiora дожвюм асйжога» к»«» перяедячезки яагисду о? мшгях» Одшко, rsr пезгз'езя • D, И» й» трэеэв, для общего ss<*-пп lefcwsceisl npatK* частей о« ерей:«, что? кртряй ни яяадо» t спрззедйеьам. Rodicitf аа^ув.ш'йЯ ябмвод квжкадегг/л йаиба-эо arposofo Яяасса мойвряодйчавкип фугетй.1« дяа которые о'гот iitfspiitt сегазтея спрзвсдяйсуи.

3 cnad дчтргкой дисссршш А.И Яглуков укамя усяопйд» ¡т гкпо'яйб!тй rtosopjK уравнения nopsoro прабдягскяя рсааз» ада«у об уе*о5чи£ссм Да!йМй:л в "случаи, -негде бас?«}»- урзакэ-йй войауезнкого дзрйсняд явяяотея ввтокешоа,- Gjynsia cyesmy-i Rp^tirtccima случаи, когда »опрос сЗ усчройчййосто'дйпквкчп «в камея раеесатргигтеа уряекегя.1 йергого прйблп*е«й«. Шскотря а мяуоуяся частность• гад8ч».-о*иоеяяпхсл в ирястчеекма- сяуча-м, cm отмшкзвт достаточна сйрокйШ я rsjinit класс дЯ'|ферЗ|}-«альяах уравиеняй.. В чзс«метй г.оксерЕатаг:шэ CKCieiiJ, дм опорах ккзе'?. кссто запои соаранониЯ энергии, uoryt ус-ойчиб5ЛЯ1 ючь в йрипческлх случаях. Тагам сбрззсш, иееяедо-анея п области. Tecptm критических случаев весыга актуальда. ояьшой впяад т1 рчавитяв теории крит»^всхях слушай гнееяя

Г.В.Кашнков, В.Г.Веретешиков, А.М.Мсячаноз, Л.Сальвадор«, Л.Я,Савченко.

Для больсшнстза прикльднк-х вадач важно уметь решать заде чу об устойчивости кс только по отнагент н ыгнопенным eoshj ыениям, ко к По отношения к повмуьенкям, действие; которых не прекращается, что указывает на актуальность, .задачи об устой^ вости решений при постоянна действуют»/ возмукениях (п,д.в.)

При prrtionitv задач мехакгк/ возможны ситуации, когда устс • цивость по некоторым перемэннш можот нас не интересовать. Ток возникает задача устойчивости ' движения по отношении к чс ста переменных. Постановка отой задачи дана А.Ы.Ляпуновым. Е дальнейшем ее решениг С'ыло поевязгано большое количестве рабе из которых выделим результата В.В.Румянцеве, А.С.Сэирансра, •С.Кордуняну, К.Пзйффера, А.С.Андреева, Л.Хатват» к З.И.Воро' макова.

Наряду е исследовадасд устойчивости лоло$еш<п равновесия большой интерес представляет применение прямого метода Ляпунова к исследованию устойчивости интегральных множеств. Это вызвано тек, что я приложениях часто встречаются систем, gi особенности которых сосредоточены на:асимптотически устойчя. ЕМх интегральных множествах (примером таких ckcísm служат дгссилатавшз системы). Получен;!» достаточных условий суяос сования «иторрпльких (инваргантних) множеств и изучение их устойчивости гшевявдш работы Ю.А.Цктропольского « 0. Б. Лыко-sol», А.М.Сяйоййднко, А.Д.Бурова W А.В.КарапетяМа, B.f.BepeTi нипооа я В.В.Вайцова, Я.С.Баргса к О.Б.ЛыйоЕой.Н.Г.БуягакоВ! В.С.Калнтина, В.И.Зубова, Ю.В.Мааывева.

Цель работа - распространение теореьа Барбашина-Красои-ского на случай почти периодических систем?

- получение критерия устойчивости в критическом случае | пар чисто шимых корней-в саучье, когда уравнения первого прибЯнаёнкй ав^ономш, с нелинейные слагаемые зависят от вр>

MStMl

- изучение устойчивости поколений равновесия линейного цнллятора с переменными параметрами;

- исследование устойчивости положения равновесия относи твяьно части переменных и при постоянно действующих-возмуое нйях|

- применение прямого метода Ляпунова в задачах исследов ния устойчивости интегральных множеств.

Методы кдалелорз^йг. Иес*одос«т. проводите в.даесзр-пцконхой ряСом,' основана не прямом ыемдв Ляпучэав, к« ш -годах (ятамглчзаявго ваш« за » crossrorieeaoft даткхгз.

íiSSítifMJtáíliíí-B- 3 работа длзамко, что teopeta Барй| « я«м~Кр!»еоб0кого ярризнягга для wáwoto олзгод. нзявряюдкчае м яре сие»«! ^ сяссгси flwtH перв9?и«?зскчзс, В ггратз^всяоа скучая п пар i»pnçl угагя»« огрггкгктаа ка rrpasu» •

ж?» &¡K*p¿inwai>Hi>x уртняяЗ еоамуазккого докзекяя,

«илрврязгчтй 'orraítmftwr«.« fiyrcamwi £рвмвг«1» ßptt вч -. ÎHΣ3'Î:" " í^Toftí" iiowrr. r»->n:!Cf! ус«?*

г'г'о, ÍÜ/.'! при--:-? гэ^сг-ор^,1."! ??"ir:'Ma»ifi rn.">r?;'?¡S й

го гзг'.'сгЛ <5? rrv."!¡ р.*« згз:"( ^íff"'« о ijopíiuíioá j-cííc'V:;?« ïtic?.) f'nr'.'y.^iüMPo д;:г*"т2»гчч» соссрчя а д'иип'Ъзч п»':н'!?!кгг:е ">' ! \ " Yc;'<:"'!<n-ctr,i p^HCi.'.p'ni cpacs-

•»а Ггла а «гвдг.эе§ьэ, Ь ¡ззбоад квуш» птиио iwaso««» дой-г^уг.т.у ал jrccc.l-wn •ггитгчку'». jJow^ia, мтэ та-

■•ce"! о г 'Угг>:"7.тЛ псг'лк.-тчсскл-'} уосо^чавасгз

irt'¡"*n.á 5 ti* ;,.;m?j":,-!i\<r; дгпустзм обрзг-пяе.

Ьягчгн рд Í.ÍÍ".: пт^уль'лтоп по гггорю» i'3wKv,;sf¡e?it ох./зея •• ïejv 'î-j ч:«-"' 's. Пзчуч:«^ уокзгля rc«í.!nta-

rr'í^ri^ уота^ля-в-лл ftri^î-ri'v^ ^"Пспэ.Г'ч ги'-зЧНчР» осцилгя» • Mp o иг-рг\»гг*л\1 cci^tMoitavaj пгаачсйа, что cT*î уйДзввя •. з гмвгг-кл ¡í- tíE.'it « vjz'moz:î, п ft дззт繫г ч» СМез»»*

Mí» •'•-¡».-гй'з ittArô Лгукгн:! к йсбя-.д^гэгга

■йгм?:? ttíirsrpnb^ w'í'.rcc:'} CÍ>Ü?« OÄI:.*;övrii-j^ п.зм:<я yf3Cîrs:::t:ï.

foftregfofeggfl-g гштжъ. ■ Равог» йиэз* ирш-

'/угас^огсй кербтичезп?;! «pafiïeji. В ней сойд^ио й^гэа fànpâfi-

tseîvtt усгзйчикооти ücas"3!fo;'i;,-í с-исмч. доказана, m-a с?врэй f.'díos Ляпунопа долпотся уну?^ еаьсум в E^itax noises« i>(oïsâiwiî ргНо»!зр1П)й Sß^iaitotn-iäcRc^ ^стсйч^п^с?^ «üfar^aabii^ •помете » Пояучешы» й pscoïa разульса'^а ийгут б1?ь «Рпальм-пьч пря -Hccre-ornirt« ycïoKunfOGi> tton«pßfim c.lcsnitHit frasaiw-чеокйя fcuc?eá.

Aripggst'^n работы. ОеноЁИЫв pesystTaty диссертант 6мл« Солочста на И и 1У ВсесовтШ чв¥аееск«к йокфйренцмя« по ус?оЙ-чувостл движения, aisaww^-ной иенадайе « упрйвявн«» Дййжбнм-ем (г.Иркутск, 197?, г.Звенигород, 1982)-, Всасогзных ¡юнфврвн-[]иях по-устойчивости Двичеййя, колеба!Л«пм ьеканичвеки* сметем и ачродтгаиике (г.Москва, 1978, 1968), Всесоюзной конференция

кояебанай иохвнтесюп систем" (г.Киев, 197А), П республиканской шнфер&шмй мояодах учения по Механике (г.Киев, 1579), Третьем и Четвертой республикански совещаниях по проб-лдою дявакик» иердого -геле (г.Дойеик, 1831, 1984), Третьем республиканском симпозиуме по дт^фзрейцнияънын уравнекйяи (г. Одесса, 1962), Коллокзгу^з пс качественной теория диф<*ерзнш-сльдах уравнений (ВНР, г.Сегед, 1984), Всесоюзной научней конференции Ч!отод функций Ляпунова й современной гатематаке" (г.Харьков, 1586), У1 Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (г.Иркутск, 1586), йездуна-родной математической коифероинкИ '.'Математические ч те ни к" (г.Харьков, 1992).

Публикации. Оснопкие результаты диссертационной работа опубликоваш в 1? работах,

С тру к тура дис <; я рта ц . Рьбота состоит из »ведения, шеста »♦лав и списка литератур иэ 171 наименования} содоржч* 254 странным кашгопкеного ^анста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

2о йведенкр дан обзор результатов, полученная по данной тегатикв, и обоснована со актуальности приведем основные по-лоач.чкя дясеер^мши» ъзносяийсся на з&ииту.

О Нада рассмотрена диЭДеренинальиаэ уравнения

воомуШгюРо дви*ения вида

(I)

где X и уС ((,?-) — и-иэршо веатору; правив часто X. ей почта пэр-иодичзеркни 'функциями вреыонй I ,

опредэяенг-ьйя» нспрвршииа ц удоблеМоржвсйкй условии Липеица по х е облаете

язе в с Н, - < £ «с оо (2)

Доказав слс&у&О'О тесрсьы.

Твореуз 1.1. Есля уравнения возкукатшго движения (1) таковы, что иовио построить почта периодическую по I опредэяен-ио-полояйтельную функции V х) , допускаспуо бесконечно кл/шй предел я удовлетворяет нграьеистпу V & О

V области (2) и если при зтом производная V ьюжет быть равна нуля лишь в точяах множества М , не содержащего целиком по-лутравкторий систеш (I)

ха, *.) <ь < о-«) (3)

(за исключением тривиального ретеки^.то решение X - О асимптотически устойчиво.

Теорема 1.2. Если для дифференциальных уравнений возмупен-ного движения (П мочно найти допускаьпую бесконечно налый высший предел почти периодическую по I функции V (Ь,х) такую, чтг» ее производная у" удовлетворяет условий«:

1) V, > 0 вне М {

2) у - 0 на М !

где М - множество, не содеряашеэ целиком полутраекторий (3) сйсте*« (I), и есйи при этом сувествуот точки, лежание в сколь угодно малой окрестности, начала координат, такие, что в них У > 0 • То невозмуиённое движение неустойчиво.

Во второй главе рассматривается задача об устойчивости в критической случае п пар чисто мнимых корней, когда дифференциальные уравнения возиупбнного дйиаения имеят вид

(4)

т

и- = I р,- и-

где и * (и,1-,им)> х*(х,г~,хн\, У =

константы , уравнение а1еЬ 0 относительно у4

имеет корни с отрицательными дейс'гви'гелыйши частыми, а Х$> !/$ . (?• является непрерывными ограниченные функциями времени и имеют порядок малости вмгае первого относительно и » X , ^ . В ? 2.1 предполагается, что

м 1к,,т,5) . £

•X, = А5, Ц)хкцти + Х(

м + т 0

% ~~ Е-, д5г мху и**, у ц^хл

1К1 ити1д1 -г 0 5 О"

Ql = Z л A£i

1 Kl*»mlnél*2 15 é 4

Здесь и далее к* (к,кя ), m = (m() ..., m„)/ S• ($,, •• -, Sm) соответственно n -мерные и m -мерный наборы Целых неотрицательных чисел, iki = кп > цт1/ = m, t i&lzS, + - ,

f us = u?'...u^; А?-"«).

К ' M, Atr 1 U)

- непрерывные ограниченные

vr(M"') y (MtV) функции рреиочп; А, , Js } V, - функ-

ции. ограияченкае по времени и имесете порядок ыалости относительно U , X , У- больший, чеы M : ^

Теорэма 2.1. ьсли коэффициенты п., 1ч, r\u (t),

„ 1К.т,ё). . , '

л,-} ItJ IS-i, n j систеш дифференциальных уравнений возиувенного движения (4) таковы, что суюествувт поло*.и-талькае wcna с1ь ••■, j-nt, v исчезаенио функции (I) ( J î la | + tm! i 2 L ) удовлетворяяше условиям

• U J [ {^cOdz-G^

t —» tJ

0

I If G. » ""Vr; / I <: Д, (A-comt),

0

w

1 .l|»l

'8 форма ' " (-Х* + ^к ) в пространстве пе-

реиениах х„, .у,-,'", определенно-отрицатель-

на, то невознукеннов движение асимптотически устойчиво. (Здесь

У - известило функции коэффициентов пи (г),

К ' ш , Л-Г а)

и постоянных , •••. ,

следовательно, известные функции времени).

В § 2.2 рассматривается случай п» ! , т-0 , т.е. система (4) двумерна и имеет вид

1 У А "'"'/Л * <« у'"'"// ,

и =дх +1 А,г,'"'Шх*ц'п (5)

" = г ~ о о

Теореиа 2.2. Если колффиниента Д ^ Л^*"''^)

( 2 4 к > т 5 М ) систеш дифференциальных уравнений возиу-пенного дричения (5) таковы, что выполняется условия

| ] 1("'°>(г)е^р[1А(к-т)г]с(€1^А) (А*сощ£) (б)

= р. - ; К *гп )

t

в - Ьт у ( / (1'и (Г)с1г, (7)

о

,1к,т) I , I

где / ( I) - известный функции коэффициентов

ЛГ",,(£) . А, (£) , то при 6 < о невоз-

иуоенное двичение асимптотически устойчиво.

Теорема 2.3. Если коэффициенты п. iк^tn ^ М ) систевд дифференциальных уравнений возмукенного движения (5) таковы, что выполняется соотношения (б),(?) и 6 > 0 .то невозмуиенное движение неустойчиво,

? 2.3 посвяиен изучение устойчивости тривиального решения уравнений (4) в предположении, что

коэффициента АУ*)

К* М, Лц 'И) ярляются константами и для любого ненулевого набора целых чисел т,, тп , удовлетворявших условию |»п,| +•■• + I т„\ 5 2 ] > наполняется

неравенство т, Д, + • • • +■ тп ]{п * 0 . Здесь р^г] обозначает целув часть числа | (М + ( } .В работах Л.Сальвадора А.Я.Савченко, Я.М.Гольцера показано, что при указан!«* ограничениях можно построить функцию

' ш (г\—\)

У= сА, д > • • • + с/ом и'%) Лг Ш(и,х,у) ► • • "У г (и,1,ц)

такуп, что ее полная производная в силу уравнений (4! равна

.....* I + У 1 и,

а

ЗдгеьсЦ, -постоянные, ' = <г) ;

Ы1111и) - определенно-положительная квадратичная форма перемен-И|,"-,им такая, что

V - Форш тюрядка # относительно и , X , и \ 6 Р

г к, ки.у/-иР!гМ

= ••■!<„ ' * *' Р« И > » - ограниченная по £ функция,

киессая порядок малости относительно К , -Г , и более высокий,

, [М + 1] ,

чем Я —I • Ьсли суюествувт положительные числа л,,-«-, сСм<,

таккз, что (|ориа ^^ переменных X , ^ является определен-

но-отрицательноЯ, то тривиальное решение систеш обыкновенных дифференциальных уравнений (4) асйотготически устойчиво. В § 2.3 доказывается, что асимптотическая устойчивость тривиального решения систзш (4) сохраняется, если 21 б Р* 0 (г* 0; {',■•■■; #-¡.-0 •

е •¡•оркэ С ( N $ - определенно-отрица-

телышя на .шокестве , ■ где С}- 0 . (?, . Здесь (¡г

х * О

обозначает шювество точек в пространстве ,' Хн , у,,

в которых справедливо равенство £ С„ 9 - 0 .

* )

В § 2.4 доказывается теорема о формальной устойчивости.

Теорема 2.4. Тривиальное решение скстеш дифференциальных

уравнений • и)

* л V V « / 1

формальное устойчиво, если выполнены следуссив условия:

о) для любого ненулевого набора целых чисел справедливо неравенство гН, Л, "■»••- * ЛЛ

б) , т

V1 Т <«,«»« т у1Г ' у л''1""««

* - ¿. а, I у, з, * ~«

.л.

С,"!)

ц , 1. ¿- X и

о > 5 ■ « /

{1Н*1) п.

- ¿. X, и С5 Ж а-.

5 s = ' 1 tnnmi'itf 0 '

(«,«) gt'.m) (t.m) ,«,m> „

'дв Oj , o5 , cs , c*s , С j , <*->$ - произволь-

Г* ml

«е пеиественные числа, причем в константах et , Cs ,

as числа |KI и imi метине, а в постоянных es - нечетка.

Творога 2.4 использогана для доказательства формальной устойчивости равномерных врапений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, имегпего -эллипсоидальную полость, целиной заполненную идеальной жидкостью, соверсаюней однородное вихревое движение.

Третья глава посвяяена изучению влияния постоянно действующих возмупэний (п.д, в.1* на "устойчивые движения. В *> 3.1 наряду с уравнениями (I) рассмотрена система

где Функция К характеризует п.д.п. и монет, пообпе говоря, не обрапаться в нуль при Х-0 • Сформулирована теорема 3.1 (доказанная А.Я.Савченко) об устойчивости при п.д.в. и доказана теорема 3.2 о неустойчивости при п.д.в. В частном случав, когда функции Rs вызваны наличием малого парамотра, доказаны следствия из теорем 3.1 и 3.2, потоке даст достаточные условия устойчивости и неустойчивости при таких п.д.в. Эта условия гыратагт ограничения на структуру функций R$(i,x)

В } 3.2 наряду с уравнениями (I) рассмотрена систеш

х = Х(Ы +'Q(L.x) +R(t,x) О)

допускагвая нулевое реиение, причем Функции •*") .и

R [t,x) в области t е (О', o^J , (|з£М Н удовлетворяет условиям J'.vnwua по X

Определение 3.1. Положим, что функция Q(t,>:) удовлетворяет условие ( ß( 1, если сусествует такое к>0 • что для любого J € (0',к) мокно указать момент времени и функ-

цию Q ({) , непрерывную на [Т{ ! , такую, что

■öi I Qslt,x)[i<$(D для всех xeßk\ß5'fS*t,-,ny

Ы

ti[Zv°«) , 8t*(xeRH'- .w <г} « йт^ [ ft(s)ds = 0.

t

Теорема 3.3. Если нулевое решение дифференциальных уравнений (I) асимптотически устойчиво равномерно по I„ , Ха » Функция Q (t,x) удовлетворяет условию ( В, )» а функ-

иия R (I, х) - соотношениям i

¿i'm ( R.(S,x)dS=0 t ~ t 1

равномерно по X , x из множества Г£ [О',00), IXU<H то тривиальное решение систеш (8) асимптотически устойчиво равномерно по £6 , х, .

В четвертой главе изучается устойчивость положения равн( яасия колебательной систем, описываемой уравнением

X + f (t) х ♦ <j[i) х -0 (9)

где /(£) и $ (L) - известные непрерывные ограниченные функции времени, причем а ({) имеет ограниченную производную^ (¿) •

Теорема 4.1. Если выполняются условия

<1 >о, ра)= f • чш>*гг>о но)

то решение

х - 0, х - 0 (II)

асимптотически устойчиво равномерно по начальному моменту времен-» {,о г начальным возмущениям X (£J , £ (ia)

Замечание 4.1. Норавенства (10), характеризующие обобпвн-нув положительность функций ^ ({) и pit) , являются достаточней условиями асимптотической устойчивости решения (II) уравнения (9), которое близки к необходимым и достаточным в следуюЕэм сшсле. Если в условиях (10) обобшеннув положительность какой-либо из функций ^ Ши pit) или одновременно обеих заменить их обобщенной отрицательностью, то невозму-пенное движение (II) неустойчиво.

Теорема 4.2. Решение (II) уравнения (9) неустойчиво, если сулествует такое t„ > 0 , что при t*t„ выполняется одно из условий

X(i)>0, 4lt)3)(l)*{ f(t)f(t)+f(i) +

*(i(t) W'fiJ <0.

Уравнения плоских малых колебаний ракеты, центр тяжести которой движется прямолинейно вертикально пперх с постоянной сксростьс, имеет вид (9), где НО- С1 <1 И) -

» гхр , причем а , в , (А - постоянные' числа, при-

чем <¿-> 0 . Величина х представляет собой п атом случае угол атаки. С помощью теорема 4.2 покапано, что мплие колебания ранета неустойчивы по Ляпунову.

Теорема 4.3.'Если в у равнении (9) функции / и

стремятся к нуле при 6 <=°, то положение равновесия (II) но мочет Сыть равномерно устойчивым.

Пятая глава поевлшена исследованию устойчивости движения отц^^итедьно части переметшх. Рассмотрена система диЭДерении-олышх .уравнения возмущенного движения

допускавшая нулевоо решение, где.

непрерывны в области 7 * * К"* > где 7 = [О', , о

- область в , соцер»яиая начало координат; ЛГ , X € 1\П • Ц • У £ 0 ? 5.1-5.4 докаалки теоремы, обра-сасо'е ссстветствуспие теоремы Б. В. Румянцева о равномерной осн-иптотическсй устойчивости относительно части переменных и об асимптотической утэйчивости з целом относительно части переменных. А именно: справедливы слёдусяие тоореш.

Теорема 5.4. Пусть Не С .-'ограниченная область, леяаиая со своим яашконием /7, я Я. и О . Если -

репенио X - О , ^ = О системы дифференциальных уравнения (12) faв^foмepнo асимптотически устойчиво относительно X и область Н„* лежит в области X -притяжения, то п об-

ласти 7 * Н," * й . сусествует функция -У {{,х,у) , имевшая в силу уравнений (12) определенно-отрипательнуя относительно х производнуг V / с({ . Функция V является X -определенно-полочительной .допускает бесконечно малый высший предел относительно X и имеет в лтой области непрерывные я ряв'номерно ограниченные частные производные первого порядка по всем аргументам. Если Фуншии X У И/ Х,^}

непрерывны в области, й- * равномерно по вре-

мени 1 6 Т то функция V ({., Х,^) имеет.частные про- , изводнче лгбо'го порядка по всем переметши, причем пти производные равномерно ограничены п области ^ х ^ . Если функции X (I, X, уа,х, у) является'периодическими

функциями Ь либо не зависят от времени, то супествует функция V которпя наряду с другими перечисленны-

ми свойствами будет соответственно периодической функцией Ь или будет но зависеть явно от времени.

Теорема 5. о. Если решение X - 0 , ^ = О уравнений (12) равномерно асимптотически устойчиво в целом относительно

X , то супествует функция У [(¡х,^) удовлетворямазя на множестве 7 * условиям

а (их») <1Г(1,х)у) <£(лхь), ¿ь/сИ <-с(1ха) ^

где О- , в , С - функции Хана, причем ¿¿т а(1) = &=>1 Функция 1/(1^, и) имеет непрерывные частные производные

Ъг/ Э V/ 6дх{ , д г//3 и- (I*п; --/,•••,/«) ,

равномерно ограниченные по времени I в каждой области вида |!*|| <г , , Ю , где г <. Если функции

X. и У в правых частях уравнений (12) непрерывны равно мерно по времени £ в каждой области вида ш < X , ^ ^ Я (г«con.it) , то функция V имеет непрерывные честные производные любого порядка по всем аргументам, равномерно ограниченные по времени в каждой области вида II ¿¡< г , у ( 8.п> £ 4 7 . Если X. и У - периодические функции времени £ периода иО (или не зависят явно от времени), то сувествует функция V , которая помимо других свойств, перечисленных в формулировке теоремы, является периодической функцией времени периода М (или не зависит явно от времени).

В § 5.5 наряду с уравнениями (12) рассмотрена система

í ♦ Г, и,х.,ц), I = У и, х,у Ь рг и,х, у). (13)

также допускающая нулевое решение. Указаны ограничения на функции Г, II, х, у) , £ (I, X, Ц) , при выполнении которых из равномерной асимптотической устойчивости относительно х тривиального решения уравнений (12) следует равномерная асимптотическая устойчивость относительно X нулевого решения системы (13).

В § 5.6 не предполагается, что уравнения (13) допускают нулевое решение. Рассмотрена задача устойчивости относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.

В § 5.7 приведены критерии асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных, основанные

;a функциях со знакопостоянной пронзмдиой.

Шастая гааза посвяаена пр!»менош<ю метода функций Ляпу-'ова исследованию устойчивости интегральна* иногюста.

Определение o.I. )-<но-»естро M пространств ir,г) но~ «васгея интегрялкним, если дся ««бой точки [L,:(,) € Af ыполкяется lt,x(l))*M , гдэ X (t)~ X ( t/tc>Xc) -eroime урарнениЯ (I) с начальными дате«« X (lJ = х. . о t принимает л»бие аначеяйя из гргкепут&а существования рвения X (I)

Пусть Af с J « ç _ интегрально J шочестэо урапю-«Й (I), Обозначим Ms - пересечение M с гипэрллосяе-стьЕ I - s . ^ M}) - расстояния от точки X до

Hs ; 5 (Mt, •!■)- ix« ff" : ?<X, .••fí ) < 7}.

Определение o.2. Интегрально« множество A! насивается ■стойчивым, если для лч>бм Í > О и £„ « ,7 .чсясно укэ-ять Ь =Ь (l3l Í) > 0 Такое, что при любом X, 6 S (Mt ,S) 'ыполиязтея нйсаосистзо р (х (I), М() < S _np:i í í0 M называется равномерно устойчивым, если ¡5 •¿r.micy-t î-тщь от á

Определение 0.3. йят?тральное множество M называется ри-?ятповшм, если для «боге t, f J наЯдетгд Ц Щ для лвйга б> 0 у х< « $íMlt,tj¡M*x>.ic<i (У -&( U, е, ■аксе, что р (х ID, A? J < h ' для всех £ * ¿„ í-dГ ..

блпеть S (M £ , называется о*яастье притякштя «н-

•егррлькоо «кшестоп Ai в иокент . Ai насчвэется лк-ипритягигог.ЕУМ, если U = 'Г (t., £) и равномерно при*я~ ивагсяи, ccsïi CT - б" f S ) .

Обозначим

¿„(M)- { U.T)eR , Ée J, XcS(Mt,Hl}..

Опрзде seime 6.6. Интегральное »нопвство M уравнений I) {«асмБается: ягкяптотичесрк устойчивым, если оно устэйчя-•о и притягивзегне; г,квгаегмптотически устоЯчиеуи, если она*, •стойчиво и чквипрйтягирпраее; равномерно асимптотически ус--

'ойчигым, если оно равномерно устойчиво и равномерно притя-ивзмзе.

Теорема о.З. Предположим, что существует кепрерывно-.иф^еречцируекая функшм VЫЦ(М)—Р. , такия, что ля nexomptx функция а , В , С й Ü . и .wifox (I, х)'( 'U,( (М) г r¡r.-a подливы ?т;онки:

Тогда вит«рр«сьнос кяокоство М раккскзрно яст «хрмесю» уеедйчиео,

В | 6.1 докагаш теорэаа 5.3, теорема об устойчивости и рввяо^ряой устойчивости «нтогральн^х мноквет* и «а¿»в «ьорз-«й о С устойчивости интегрального кноввепя при п.д, в.

$ посиииек доказательству обратимости тзорса 3.3,

В { 5,3 дойш-н ряд -георем об яклиасшш'ошчеений ус«о£чи-костк и.чтвг^г1;ик миеяелтв.

; О С И О В Н И Е Р Е 3 V Л Ь Т А Т II

I. Аояучаиа критерии аоннптотицеско» ус«ойЧ5»вос«я у {»еуетой-чизогтя поЧ'.и периода с ких систем, осногй^в на прдеь'энйй {юпауогяедвмш фуккш», прозападна» которые на додмся 31»-Ыолредзявикш,

к. Дакавдаа «ззрауц об устойчивости б нриткчоском случае .4 «а? чисто, ыдаедк кернг?.

3. Изучено влпяияе пвегодаао Д8йс«уошх рэвмувайяЙ к» устоЕодьив дййкйНЙЯ. •

4. Неоледма® устойчивость линейного осциллятора с пврв-

передирами. ■

5. Дакавши обратимость теорем В.В.Румчэдвва «сиип^оти-чдокой устойчивоати по часта переменных И ряд теорем об'устойчивости относительно чйсгк лорехянных. „ ■

6. Г.ойучзйа критерии устойчивости иитёграшэд мнместв сис-мй обыкновенных диффервнцимыш урвннеик!*.

ОсйЗ^нае рзауаьтату диссертации опубликована в саодусж.с рх дотах: •

Йгнатызв А.О., Савченко А.й. К вопросу о рдаянир посго-ДеЙМ ;ув®!ИХ возмукений на неасимптотичвски устоЯчише даикеная/Даорик устойчивости и ее прияокэни«. Новосибирск: Шува, 1979. - С. 31-38.

£. Ипатьев А,0. Об асимптотической устойчивости одного класса неавтономных систьм//Диф.уравнения. - 1Ш7. - 23, Р 12. - С. 2161-2163.

3. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчи-

г/.

пссти неавтономных систем. - Киев:Илуи. думка, 1959. - 208 с.

4. Игнатьзв А. О, Об устойчасосга полсязимя рошояесяя ко-леевтелиага систем с перем-едакин пар8мв9рамр//Пр'.>№г. темп-тика и механика. - 1982. - 45, I. - С. 167-166.

G. Игнатьев А.О. О неустойчивости положения рпчиоьвсия линейного осциллятора с гэремемйши паранзтрбкк//1.-ш «е. -1991. - 56, 9 4. - С. 701-703.

6. Игнатьев А.О. Об устойчивости в одном особенном елу-чао//П Республиканская конференция молодых учоних по меяаия-яе. Труды конферзкияи. - Кисэ, 1979. - С. 74-75.

7. Игнатьев А.О. О влиянии исчозп»яих постоянно действу-юиих возмувекяй на асимптотически устойчивом деи*сн«я/Л'вха-кика твердого тела. - 1979. - ." II. - С. 92-95.

6. Игнатьев А.О. К вопросу об ус?оДч:'вос-ги в одггом особенном случае// Там те. - 1980. - Г1 12. - С. 72-75.

9. Игнатьев А.О. О формальной >стоЯчивости г- «р'.кячаскси случае П пар чисто княтх корнеП//Тан кв. - 1980. - У 12.-С. 75-Й5.

10. Игнатьев А.О. Об устойчивости в критическом еяучао пару чкего i'mi'tx корне» для йоввтоншах сиетец'/йчт. Физика. - 1962. - Я 31. - 27-32.

И. Игнвтьзп А.О. Некоторые оСобкшя теорем Бербзгиш-КрасоЕского//Твм же. - 1983. - J? 35. - С. 19-22.

12. Игнатьев А.О. Устойчивость дюже!!?» откссктялько части переменных прп постоянно действую®« Розву2ониях//Ка*. физика и нолинейн. Ыхянйка. - 1988. - » 10(44). - С. 20-20;

13. Игнатьев А.О. Об устойчивости почта пзриодичсстгс систем относительно части г:ере;«нных//Диф. уравнения. - 1969. -25, }} В. - С. I44Ô-I448.

14. Игнатьев А.О. О сохранения свойства равномерной асимптотической устойчивости относительно части переданных// Прикл. математика и механика. - 1989. - 53, V I. - С. 167-171, '

15. Игнатьев А.О. Устойчивость относительно части перетен-щх при Постоянно действующих возмупениях//йэвястия вузои.

- Математика. - 1991. - » 2(25). - С. 55-00.

16. Игнатьев А.О. Применение прямого метода Ляпунова к исследования интегральных мно>*е-стп//Утфэинский математический журнал. - 1992. - 44, IJ 10. - С. 1342-13«.

17. Игчатьев А.О. 0 существовании функций Ляпунова в задачах устойчивости ингеггагьнкх мнс*естэ//Там а«. - 1993. -4Г>, В 7. - С. %Г;-941.

т:'р. 100 Готппрклт бус