Методы конечных элементов решения эллиптических уравнений при первом краевом условии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

1Г>

с~э СП

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

ЛЕЦИУС РАШ

УДК 519.632

МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ШШИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПЕРВОМ КРАЕВОМ УСЛОВИИ

Специальность 01.01.07 Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математэтескга. наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургисом государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КОРНЕЕВ Вадш Глебович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор РУХОВЕЦ Леонид Айзикович кандидат физико-математических наук, доцент ГОЗННК Леонид Тимофеевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный технический университет

Защита состоится " 1С" 1995 г. в "/5" часов на

заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2.

С диссертацией шшно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького С1МУ по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан исеир 1995 г.

Ученча секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Ю. А. Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш : Одним из самых популярных методов решения задач математической физики стал метод конечны! элементов. Это связано о простотой и гибкостью соответствующих численных алгоритмов и наглядной физической интерпретацией самого метода. Первый этап при применении и.к.в. - это построение вычислительной сетки. По »тому вопросу есть большое число публикаций, где чаще всего строятся нерегулярные сетки. В приведенной диссертации рассмотрены два метода построения для трехмерной области регулярной триангуляции, т.е. триангуляции, топологически эквивалентной равномерней.

Случай первой краевой задачи для криволинейной области играет особую роль в м.к.е. Это связано о тем, что надо специально следить за выполнением граничного условия. В работе тгредлагает-ся новый криволинейшй конечный элемент, который можно применять при решений уравнений четвертого порядка, и две екстрапо-ляционные схемы м.к.е., в которых граничное условие выполняется за счет срезки.

Цель дассертационнсй работы : Цель работы состоит в разработке методов построения регулярной триангуляции для трехмерной области, в построении нового криволинейного конечного элемента класса С1 с точной аппроксимацией границы и исследовании его свойств, а также в исследовании возможностей екстраполяционных схем м.к.е. со срезкой для первой краевой задачи.

Общая методика исследования : В диссертации использованы метода исследования, как применявшиеся ранее' для построения и изучения конечнб-элементннх и вариационно-сеточных аппроксимаций, так и развитые в последов годы в работах В.Г. Корнеева и автора диссертаций.

Научная новизна : Предложено два способа построения для

трехмерной области триангуляции, топологически эквивалентной

»

равномерной и однородной в большей части области, рассмотрены

вопросы невырожденности и совместности тетраэдров. Предложен новый криволинейный конечный элемент класса позволяющий точно учитывать криволинейную, границу в вычислительной схеме и.к.а. и, благодаря этому, более точно аппроксимировать первое краевое условие. Для этого конечного элемента и соответствующих схем м.к.э. впервые получены оценки аппроксимации и сходимости. Рассмотрены экстраполяционные схемы м.к.э. со срезкой, для этих схем получены оценки аппроксимации (из которых прямо следуют оценки скорости сходимости) и числа обусловленности возникающих матриц.

Практическая ценность :' Результаты, полученные в диссертации, могут найти применение в программах для решения методом конечных элементов задач математической физики в двумерных и трехмерных областях для уравнений в частных производных второго и четвертого порядка с первым краевым условием.

Апробация : Основные результаты диссертационной работы докладывались на десятой конференции по проблемам и методам математической физики (сентябрь 1993г., Кешшц, ФРГ) и на семинарах кафедр вычислительной математики СПбГУ и вычислительной математики Технического университета г. Кемниц.

Структура и объем работы : Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы - 116 страниц. Библиография содержит 40 наименований.

СОДОТАШЕ РАБОМ

В диссертации рассматривается ряд вопросов, которые возникают при применении метода конечных элементов.

В первой главе рассматриваются метода триангуляции трехмерной области. Сначала дается обзор отечественной и зарубежной литературы по вопросу построения вычислительной сетки и триангуляции двумерных и трехмерных областей.

В параграфе 1.1 рассмотрен один способ построения триангуляции специальной структуры. Цель состоит в построении такой триангуляции, которая тополитачески эквивалентна равномерной и является однородной в большей части области. Для этого область покрывается равномерной сеткой, кандая ячейка которой разбивается на пять твтраедров. Тэтраедры, распологзщиеся в близости границы области и пересекаемые ею, деформируются без нарушения сплошности триангуляции так, чтобы вершины получаемой труанги-ляции лежали на СП и выполнялось требование равномерной по параметру сетки квазиоднородности. Для некоторых твтраедров такая деформация соответствует сносу части вершин на границу области, а в ряде случаев приходится применять более сложный способ деформации, так как простой снос может привести к вырожденным или почти Еырозденннм конфигурациям/ Указан алгоритм такой деформации и рассмотрен вопрос невырожденности тэтраедров триангуляции.

Другой способ построения триангуляции такой структуры рассмотрен в параграфе 1.2. В этом способе в число внутренних узлов триангуляции включаются только так называемые безусловно внутренние вершины сетки. Граничный узлы триангуляции получаются сносом на границу области вершин, лежащих на. ребрах, исходящих из безусловно внутренних вершин. Эти условия определяют триангуляцию неоднозначно, рассмотрены все возможные конфигурации тэтраедров. Рассмотрен вопрос невырожденности и указаны две возможности удовлетворения условиям совместности тэтраедров.

Во второй главе рассматривается криволинейный конечный элемент класса С1 с точной аппроксимацией границы, который строится на основе известного треугольника Аргириса.

В начале главы дан краткий обзор обширной литературы по криволинейным конечным элементам. Координатные функции этого элемента, который имеет 21 степень свобода, получены в параграфе 2.1. Они построены методом,. аналогичным использовавшемуся В.Г.

Корнеевым в [3.43. Сначала решается специальная задача интерполяции и из условий

В*.у(й, = V« V А V Ч е вв V 8 • вр

находятся вспомогательные функций р1^' вида

Р<«1(х)= Уа.ТеА

■ 7.к

обеспечивающие совместность узловых параметров и совместность конечного элемента в С. Здеоь - координатные функции конечного элемента, определеного на единичном треугольнике, А -множество узлов конечного элемента, <3^- множество степеней свобода для каждого узла, 7ф}~ системы координат, связанные с узлами, ? = отображение криволинейного треугольника б» на единичный, а 8 - символь Кронекера. Зти функции "исправляются" затем так, чтобы удовлетворять условиям совместности в С1. Для этого надо найти достаточно гладкие функции (х)), удовлетворящие полученным в диссертации равенствам

С х(а) , О (Р<а) - р(а) ) ' КЛ-1 -I Р = 4,5

в5Г1.р Щ-3

я V««)

*«*> I = ч I - п

где координатные функции конечного элемента С, определенного дая прямолинейного треугольника б, имеющего с С* общие вершины, а - нормаль к криволинейной стороне Т3 Тогда функции

будут удовлетворять соотношениям

т у 6 А' у 4 6 V у в• »0

" Га)

и условиям совместности в С1. Функции % £ ищутся в виде линейных комбинаций шести функций 6('\ е^', в = 1....,5, которые

зависят от очертания криволинейной границы.

В параграфе 2.2 получена оценка аппроксимации для произвольной функции из пространства Соболева Wg(5~). Имеет место следующая теорема:

Теорема: Пусть и(х)- произвольная функция из пространства Соболева Wg(6„). Рассмотрим ее интерполяцию

uw^p'yw»1;1 .

a.q

U(0° = D uix'^) V««lVqeJ

q q.y(o0

из пространства распространений H(£r), порождаемого конечным элементом Тогда верна сценка аппроксимации

|и(х) - uW|2ikid < 0 (Bin Ф0Г(к+2) hm-k |и(г)|г в .

'г 1 1 Г '

О < lc < m , m = 4.5.6. Для получения этой оценки существенно используются конкретный вид координатных функций, оценки (7.11) и (7.12) из (2), которые связывают нормы на криволинейном и единичном треугольниках, теоремы влокения для пространств Соболева и известная лемма Брембла-Гильберта. В доказательстве считается, что криволинейная сторона треугольника является частью границы области, так что на ней можно ослабить условия совместности.

В параграфе 2.3 получена оценка скорости сходимости решений м.к.е. для первой краевой задачи для линейного самосопряженного эллиптического дифференциального уравнения четвертого порядка. Если использовать линейность, коэрцитивность и эллиптичность билинейной формы, соответствующей уравнению, оценка скорости сходимости оледует из оценки аппроксимации. Имеет место следующая оценка:

I®" - < 0 (р? ^ <f>o>"(k+2) M*>W.

2 < k « m = 4,5,6,

где и есть точное решение задачи, и - решение м.к.е., ц^ -постоянные эллиптичности и коарцитивности билинейной формы, ф0~ минималышй угол триангуляции, а ¡1 - максимальная сторона.

В тертьей главе рассматриваются две акстраполяционные схемы м.к.э. со срезкой для решения первой краевой задачи для уравнения второго порядка в двумерной области. В втих схемах используется равномерная сетка. Сеточная функция, заданная на внутренней сеточной области, 8Кстраполируется на приграничную сеточную подобласть и умножается на функцюо-срезку. Эта функция и обеспечибает удовлетворение граничному условию. В начале главы определены сеточные области и пространства и оператор экстраполирования. Кроме того, введена приграничная система координат и найдены выракения для полунорм в пространствах Соболева К^ (ые) и ^(ш^) в приграничных координатах.

В параграфе 3-1 рассмотрен случай срезки, зависящей от шага 11 равномерной сетки. А именно, используется срезка вида о>1=п/Ъ, О < п < 11, и(= 1 во внутренности области, где п - расстояние по нормали от границы. Для такой схемы получены оценки аппроксимации вида

1и-шА.о.п<сь3/г N2.2.0-

1и-и1"1г.1.о<оь1/г Нг.г.О*

Л)

где и есть сеточная функция, полученная екстраполированием интерполяцией функции и на внутренней сеточной области. Такие

оценки не оптимальны в том смысле, что для обычных схем и.к.е.

' 2

можно доказать порядок аппроксимации Ь и Ь соответственно. Приведен пример, показывающий, что ети оценки для данной схемы точны и нэ могут быть улучшена. Для матрицы Кн(«1), соответствующей данной срезке, получена оценка числа обусловленности

геОуш,)) «. О 1Гг т.е. схема дает юросо обусловленную матрицу.

В параграфе 3.2 рассмотрена еще одна акстраполяциоиная схема со срезкой, использующая срезку иг, независящую от h. Такая срезка не изменится при умельчении шага сетки h и может быть определена на более грубой сетке. Срезка выбрана достаточно гладкой, чтобы обеспечить для любой функции u е принад-

лежность отношения u/u>2 к пространству WÍj(fl), а именно

ы2(п) = (§ - i] + 1 = (n/e)3 - 3(n/б)г + 3(п/а),

Для схемы м.к.е. с етой срезки получены оценки аппроксимации, не улучшаемые по порядку, но при более строгих требованиях к гладкости решения задачи. Матрица м.к.э. этой схемы гоже является хорошо обусловленной, т.е. для ее числа обусловленности получена оценка

зе(уаг)) < С h"2.

• Публикация по тема диссертации:

(1) Корнеев В.Г., Лециус Р., Хусанов К.А. Криволинейные конечные элементы класса , позволяющие точно аппроксимировать доста точно гладкую границу. Деп. в ВИНИТИ 2.8.89, № 5U3-B89.

Дальнейшая литература, использованная в автореферате:

(21 Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких

порядков точности. Л., изд. ЛГУ, 1977. С33 Корнеев В.Г. Метод построения криволинейных конечных элементов классов , п>1. Ч. I.- Деп. в ВИНИТИ 20.3.83, № 1827- 83. 32 с".; Ч. II.- Деп. в ВИНИТИ 20.3.83, * 1826-83. 32 о.

[41 Корнеев В.Г. Точная аппроксимация границы при численном решении эллиптических уравнений высоких порядков. Санкт-Петербург, 1991.