Методы построения программных движений для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Сапкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Демидова Алла Михаитовна

Методы построения программных движений для управляемых систем обыкновенных дифференциальных

уравнений

01 01 09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГБ ОД

иио44Ь45з 2 ^ АВГ 2008

Санкт-Петербург - 2008

003445453

Работы выио тела на кафедре информационных < ш гем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Квитко Алек-< апдр Нико гаепич

доктор физико-математических наук, профессор Бабаджанянц Левой Кош татп инович (Санкт-Петербургский Государственный Упиверс и ге г)

доктор физико-математических наук, профессор Хрящев Сергей Михайлович (Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет)

Мордовс кий Го( удар( 'I пенный Университет им Н П Огарева

Защита состоится "_"__2008 г в_ч _мин на заседании диссертационного совета Д 212 232 59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском Государственном Университете но адресу 199034, Санкт-Петербург, В О , Средний пр , 41/43, ауд 513

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Сапкт-Петербур1 < ко1 о Го< удар< твептго1 о Упивер< итета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб ,7/9

Автореферат разослан "_

" 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Ногин В Д

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Вопросы существования управляющих функции и соответвующих им траектории, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве, а так же проблемы точного или приближенного их нахождения составляют основные задачи в проблеме построении про:раммных движении дня управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Наряду с этим представляет значительный интерес исследование и оценка множества конечных состояний, в которые возможен переход < ш 1смы т пекоюрош начального < о< юяпия ( учеюм (нра-пичеиий на управление и фазовые координаты

Исследование проблемы построения программных движении в классе управляющи функции суммируемых с квадратом было начато Р Калманом в начале 00-х гг Им был сформулирован необходимый и достаточный критерий существования управляющих функции при которых решение линейной нестационарной системы соединяет заданные точки в фазовом пространстве, и предложен метод их нахождения В работах В И Зубова обобщаются резулыаты Р Кал-мана на случаи квазплинеиных систем

Следует отметить, что теория решения граничных задач для нелинейных управляемых с ж 1ем общего вида < лабо ра ¡раГкпапа и трудности по ее развитию достаточно велики

Цели и задачи исследования. Разработка достаточно простых для численной реализации и устойчивых к погрешностям вычислений н случайным возмущениям алгоритмов решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилипеиных и нелинейных управляемых систем с учетом ограничении на управление, а также дискретности и запаздывания управляющего сигнала

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории дифференциальных уравнении и теории управления, линейной алгебры и математического анализа

Научная новизна В диссертации получены следущие новые результаты

1 Развит новый подход к решению граничных задач дни широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих практическое значение

2 Найдены конструктивные методы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод широкого клас-< а линейных, киачи линейных и нелинейных <штем ич начального состояния в заданное конечно состояние с учетом случайных возмущений и погрешностей вычислений

3 Получены конструктивные критерии выбора конечных состоянии и диапазона, изменения ( лучайпых возмущений, при которых возможен указанный в п 2 перевод с учетом ограничений на управ гение и фазовые координаты

4 Разработаны конструктивные методы решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем в классе дискретных управлений ( учетом ()1 рапичепии па управление и фачовые координаты

5 Найдены конструктивные критерии выбора шага дискретности и конечных состояний, при которых существуют решения граничных задач, указанных в п 4

6 Получены методы построения управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния в заданные конечные состояния с учетом ограниченности и запаздывания управляющего сигнала

7 Сформулированы конструктивные критерии выбора конечных состояний и ограничений на запаздывание управляющего воздействия, при которых возможен перевод указанный в п 6

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использования математического аппарата и речулыагами чш лепного моделирования конкретных практических задач

Практическое значение. Предложенные в диссертационной работе конструктивые методы построения программных движений могут быть использованы при создании интеллектуальных систем управления различными подвижными объектами и их моделировании на рашых эынах проектирования

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях 36 Межвузовская конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург 2005), 37 Международная конференция студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость "(Санкт-Петербург, 2006), 38 Международная конференция студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 2007) а гак же па (емипаре кафедры Информационных < ш юм факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Шчербурк кою км удар( тонною уииворс 11101а.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, в том числе в 2 статьях опубликованных в издании, рекомендованном ВАК Список работ приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы Работа изложена на 120 страницах, содержит 9 рисунков Список литературы содержит 129 наименовании

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблем построения программных движений для различных типов задач и разработки достаточно простых в реализации алгоритмов для их численной реализации

В первой главе рассмотрены задачи нахождения непрерывных управляющих функций для линейных, квазилинейных и нелинейных управияемых < и< юм ( учечом < лучайпых во шущепий и о1рапииспий на управление и фазовые координаты

Объектом ш < ледовагшя нерпой шаньг является управляемая с и-стема вида

х = ¡{х,и,г) + <р{х,Ь), (1)

где ¡р(х, ¿) — вектор-функция случайных возмущений,

х = (х\ ,хпу, и = {и\ ,иг)*, и е Ит, г < п, г е [0,1],

/еС3(й"хйгхй1,П/ = (/ь ,1пГ, <р(х, 0 е С(Л" X л1, Л") Ух е л™ г е л1,

/(0,0,0 = 0, (2)

гапк(В, АВ,А2В, ,Ап_1В)=п, (4)

др _

Л= ¿(0,0,1), г^ = 1,п,

_ _

£=■¿(0,0,1), г = 1,п, .7 = 1,г, ММ)|| <Я

||х|| < Си 1М| < С2

Заданы начальное и конечное состояния

ж(0) = 0, и(0) = 0, х(1) = х\, хг=(х\, ,£?)*, ||Х1||<С1

Требуется найти управление и(£), заданное па интервале |(),1[ так, чтобы для решения х({) были выполнены условия

ж(0) = 0, ж(4) —> х\ при й —> 1

Теорема. Пусть выполнены условия (2)-(4) Тогда существуют такие £о > 0 и Нц > 0 что для всех ||хо|| < £о < Сх и Но < Н существует решение поставленной задачи

Доказательство теоремы представляет собой алгоритм построения решения х(£), которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующего решения задачи Коши для вспомогательной

системы обыкновенных дифференциальных уравнении Также в доказательстве получен критерии выбора конечных состоянии и критической величины возмущении

В случае, когда правая часть сисяемы (1) imeei вид

/(х, и, t) = P(t)x + Q{t)u + nf{x, и, t, fi), <p(x,t) = 0

где у, — малый параметр, справедлива

Теорема. Пусть вмесю (2)-(4) выполнено условие

rank (Q,PQ, , Pn~xQ) = п, (5)

Pi] = {Pui1)}, = 1>П QiJ = {clij(l)}i 1 = M, J — 1) г

Тогда существуют такие е > 0 и /х0 > 0, что Vxi ||a;i|| < е и V/i ii < Цо сущсчтусм решение шх ывтенпои )адачи, коюрое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующего решения задачи Коши для вспомогательной квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнении

В доказательстве приведен критерий нахождении малого параметра Ц и конечных состоянии

При Ц = 0, ip(x,t) ф 0 имеет место

Теорема Пусть выпонено условие (5) Тогда существуют такие £ > 0 и Но > О, '1Н> Vzi llrrill < £ и Vtf >0 II < Но существует решение поставленной задачи которое может быть получено после решения задачи стабилизации липеинои нестационарной системы специального вида и последующего решения задачи Коши для BCiiOMOi ателыюц системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Вторая глава посвящена проблеме построения дискретных управляющих функции для линейных квазилииеиных и нелинейных нестционарных управляемых систем

Обьектом исстедования второй главы является управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений

x = f(x,u,t), (6)

где

х = (хг, ,хп)*,х € Дп, и = (и1, ,мг)*, и е 1Г, г < и, г е [0,1],

/еС3(й"хйгхй1,П/ = (Д ,/")*,

/(0,0,0 = 0, (7)

f

-ф{х,и,г) = 0, (8)

1,шк {В,АВ,А2В, ,Ап~1В) = п, (9)

||^(0,0,1)|, г = 1, ,п, .7 = 1, ,п,

В= {|£(0,0,1)|, 1 = 1, ,г(, ¿ = 1, ,г И <СьН <с2

Рас ( могрим бс( конечное разбиение интервала |(),1| Iочками 0 = ¿о < ¿1 < < Ьк < <1, где —> 1 при к —> оо Функцию и (£) = ид. V £ £ , ^+1), & = 0,1, будем называть дискретной управляющей функцией

Пусть заданы состояния

ж(0) = 0, и(0) = 0, ж(1) = XI, XI = (х\, ,||хх|| < С\

Задача 1. Найти дискретное управление и(1), заданное на бесконечном разбиении интервала [0,1] так, чтобы для решения системы х(£) были выполнены условия

х(0) = 0, х{Ь) —> XI при £ —> 1

Задача 2. Найти дискретное управление и(1.) заданное на некотором конечном разбиении 0 = ¿о < ¿1 < < Ъп < 1 интервала [0,1], Ь € [0,£т] так, чтобы для решения системы ж(£) были выполнены условия

х(0)=0, \\х(гт)-хг\\ <еь |4то-1|<е2,

где tтn — заранее неизвестный момент времени, > 0,^2 > 0 — произвольные фиксированные числа

Теорема. Пу<ть выполнены у( ловим (7)-(9) Тогда сущес myc i £о > 0 такое, что Vxi ||xi|| < £о существуют решения задач 1 и 2, которые могут быть получены после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы с экспоненциальными коэффициентами н последующего решения задачи Кошн для вспомогательной сис темы обыкновенных дифференциальных уравнений

В случае задачи 1 порядок стабилизируемой и вс помогательной систем равен п + 2r, а в случае задачи 2 равен п + г В доказательстве теоремы получен критерий выбора конечных состояний и шага дш крот но< i и

Если правая час ть системы (6) имеет вид

f(x,u,t) = P(t)x+ Q(t)u + nf(x,u,t,n),

где /i — малый параличp справедлива

Теорема. Пусть вместо (7)-(9) выполнено условие

iank (Q,PQ, ,Pn~1Q)=n, (10)

А? = iftji1))' = 1,п Qij = {^ji1)}' 1 = 3 = Vr

Существуют такие константы /jq > 0 и £q > 0 что для всех состояний т\, удовлетворяющих условию ||xi|| < £о и Д-Т1Я всех /i, < цо существует решение поставленной задачи, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной си-< юмы с исциалыкно вида и нос лгдующего решения задачи Коши дня вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнении

В доказательстве приведен критерий нахождения малого параметра /I. конечных состояний и шага дискретности При ¡1 — 0 имеет место

Теорема. Пусть выполняется условие (10) Тогда существует такое £ > 0, что Vxi ||xi|| < е существуют решения задач 1 и 2, которые могут быть получены после решения задачи стабилизации пшойпой пес тацисшариой с ис юмы с эк< понопциалытыми коэффициентами и последующего решения задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнении

В третьей главе рассмотрена проблема построения программных движений с учетом запаздывания управляющего сигнала

Объектом исследования третьей главы является управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений

х = /(х,и{г-К),г), (11)

1де

х = (х\ ,хп)*,х е Я", и = (и1, ,игу, ив Г <П, г 0,1],

/еС3(Л"хЛгхЛ1,п/ = (/11 ,Г)*,

/(0,0, 0 = 0, (12) <92/

-ф{х,и,г) = о, (13)

ггмк(В,АВ,А2В, ,Ап'1В) = п, (14)

А = 1)}, г = 1, ,п, з = 1, ,п,

В=|^(0,0,1)}, г = 1, ,п, ./ = 1, ,г

||х|| < Сь ||и|| < С2

Теорема. Пусть выполняется условие (12)-(14) Тогда существуют такие е0 > 0, 0 < Но < 1 чю Ух\, Н ЦххЦ < £(ь 0 < к < Но существуют решения задач 1 и 2, которые могут быть получены после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы с экспоненциальными коэффициентами и последуюхцего решения задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнении

В случае задачи 1 порядок стабилизируемой и вспомогательной систем равен п + 2г, а в случае задачи 2 равен п + г В доказательстве теоремы получен критерии выбора конечных состояний и максимального шага запаздывания

Если правая часть системы (11) имеет вид

¡(х,и,г) = Р(г)х + +

где /г — малый параметр, справедлива

Теорема. Пусть вместо (11)-(14) выполнено условие

гапк^/ЧЗ, ,РП-1(3) =тг, (15)

А? = ОМ1)}* hj = i,п Qi3 = {^(1)}, г = Т7п, з = hr

Тогда существуют такие константы цо > 0 со > 0, /¿о > 0 что для всех xi, h удовлетворяющих условиям ||xi|| < £о> 0 < /i < hо и для всех /л, |/i| < /jo, существует решение поставленной задачи, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной пе( тациоиарпой системы специального вида и нос ледутощего решения задачи Коши для вспомогательной системы дифференциальных уравнений

В доказательстве приведен критерий нахождения малого параметра /i, конечных состояний и максимального шага запаздывания

При ¡1 — 0 имеет место

Теорема. Пусть выполняется условие (15) Тогда существуют такие £ > 0 0 < h0 < 1 что Мх\, h ||a;i|| < е, 0 < h < ho существуют решения задач 1 и 2, которые могут быть получены после решения задачи с табилизации линейной нестационарной системы с экспоненциальными коэффициентами п последующего решения задачи Коши дня не иомен атенытой с ис темы обыкновенных дифференциальных уравнений

В приложении приведены результаты численной реализации предложенных алгоритмов при решении конкретной практической задачи межорбитального перелета

Основные результаты работы представлены в следущих публикациях

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1 Демидова А М , Квитко А Н "Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых систем"//Вестн СПбГУ Сер 10 2000 Вып 1 с 140-147

2 Демидова А М Квитко А Н "Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной нестационарной управляемой системы с учетом случайных возмущений"// Вестн СПбГУ Сер 10 2007 Вып 3 с 115-122

Публикации в других изданиях

1 Демидова АМ "Решение задачи управления"// Пр Упр и Уст Тр 36 Межвуз Конф Аси и Студ СПб, СПбГУ, 2005 с 24-28

2 Демидова А М "Решение граничной задачи для линейной нестационарном с ис 1емы в классе дшкрешых управлений"//' Пр Упр и Уст Тр 37 Междунар Конф Аси и Студ СПб, СПбГУ, 2006 с 20-25

3 Демидова А М "Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем в классе дискретных управлений"//Пр Упр и Уст Тр 38 Междунар Конф Аси и Схуд СПб, СПбГУ, 2007 с 22-27

Подписано в печать 08 07 08 Формат бумаги 60 х 84 Бумага офсетная Печать ризографическая Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 4265 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СП6ГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр 26

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Построение программных движений в классе непрерывных управлений.

§1.1. Построение программных управлений для линейных нестационарных систем с учётом случайных возмущений.

§1.2. Построение программных управлений для квазилинейных нестационарных систем.

§1.3. Построение программных управлений для нелинейных управляемых нестационарных систем с учётом случайных возмущений.

Глава 2. Построение программных движений в классе дискретных управлений.

§2.1. Построение программных управлений для линейных нестационарных систем в классе дискретных управлений.

§2.2. Построение программных управлений для квазилинейных управляемых нестационарных систем в классе дискретных управлений.

§2.3. Построение программных движений для нелинейных управляемых систем в классе дискретных управлений.

Глава 3. Построение программных движений с учётом запаздывания управляющего сигнала.

§3.1. Построение программных управлений для линейных для линейных управляемых нестационарных систем с учётом запаздывания управляющего сигнала.

§3.2. Построение программных управлений для квазилинейных управляемых нестационарных систем с учётом запаздывания управляющего сигнала

§3.3. Построение программных управлений для нелинейных управляемых нестационарных систем с учётом запаздывания управляющего сигнала

1. Актуальность темы

Вопросы существования управляющих функций и соответвующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве, а так же проблемы точного или приближенного их нахождения составляют основные задачи в проблеме построения программных движений для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [88]-[91], [99], [114]).

Наряду с этим представляет значительный интерес исследование и оценка множества конечных состояний, в которые возможен переход системы из некоторого начального состояния с учётом ограничений на управление и фазовые координаты (см. [18]-[20], [26], [27], [32]-[36], [40]-[56], [58]-[63], [65]-[68], [71], [72], [74]-[76], [79], [80], [82]-[86], [88]-[93]).

Исследование проблемы построения программных движений в классе управляющи функций суммируемых с квадратом было начато Р. Кал-маном в начале 60-х гг. Им был сформулирован необходимый и достаточный критерий существования управляющих функций, при которых решение линейной нестационарной системы соединяет заданные точки в фазовом пространстве, и предложен метод их нахождения. В работах В.И. Зубова обобщаются результаты Р. Калмана на случай квазилинейных систем.

Значительный научный и практический интерес представляют вопросы, связанные с исследованием проблемы программных движений в классе кусочно-постоянных управлений. Этим исследованиям посвящены [2], [15], [16], [116]-[120].

При проектировании контуров управления различными подвижными объектами (летательными аппаратами, роботами-манипуляторами, гироскопическими системами и т.п.) в реальном времени и их моделировании приходится учитывать запаздывание воздействия управляющего сигнала на объект управления. Указанное обстоятельство послужило толчком появлению работ [92]-[115].

Задачи синтеза программных движений, связанные с проблемой нахождения управления как функции фазового состояния, рассмотрены в работах [21], [23], [29], [33], [73], [81].

В работах Н.Н. Красовского (начало 60-х гг.) решается задача построения программных движений при условии минимизации нормы управляющих функций в различных функциональных пространствах. Р. Габасовым и Ф.М. Кирилловой (середина 60-х гг.) получены критерии существования ограниченных по норме кусочно-непрерывных управления и соответствующих им траекторий для линейных систем.

Задачи, связанные с исследованием структуры множества конечных состояний, для которых существует ограниченное по норме программное управление и соответствующая ему траектория, исследованы в работах JL Маркус (середина 60-х гг.)

В работах (середина 80-х гг.) [57], [64], [68], [124] программное движение для стационарных систем и систем специального вида определяется в виде полиномов от независимых переменных.

Следует отметить, что теория решения граничных задач для нелинейных управляемых систем общего вида слабо разработана и трудности по ее развитию достаточно велики.

Основные усилия автора диссертации были направлены на разработку достаточно простых для численной реализации и устойчивых к погрешностям вычислений и случайным возмущениям алгоритмов решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем с учётом ограничений на управление, а также дискретности и запаздывания управляющего сигнала. Поставленная цель достигнута посредством сведения исходной задачи к задаче стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Краткое содержание работы

В первой главе разработаны алгоритмы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод линейных, квазиней-ных и нелинейных систем из начального состояния в заданное конечное состояние с учётом ограничений на управление и фазовые координаты, а также случайных воздействий. Получены критерии выбора конечных состояний, ограничений на малый параметр и случайные возмущения, при которых возможен указанный перевод.

Процедура нахождения искомых управляющих функции, гарантирующих указанный пёреход линейных, квазилинейных и нелинейных систем сводятся к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для линейной, квазилинейной и нелинейной систем порядка п + г, где п размерность фазового пространства, г — размерность управляющего вектора.

Во второй главе предложен метод построения кусочно-посто-янных управляющих функций, при которых решение линейных, квазилинейных и нелинейных систем переходит из начального состояния как в заданное фиксированное состояние, так и в произвольную окрестность этого состояния. Получен конструктивный критерий выбора конечных состояний, шага дискретности и малого параметра, гарантирующих существование указанных функций, с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

Алгоритм построения указанных управляющих функций при решении первой задачи сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для линейных, квазилинейных и нелинейных систем порядка ть -(- 2г, а при решении второй задачи — к системам размерности п + г.

В третьей главе рассмотрены задачи нахождения управляющих функций, осуществляющих перевод линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния как в заданное конечное состояние, так и его произвольную окрестность, с учётом запаздывания управляющего сигнала.

Начальная функция для управляющего сигнала выбирается тождественно равной нулю.

Разработаны алгоритмы построения искомых управляющих функций, и найдены конструктивные критерии выбора конечных состояний, величины запаздывания и малого параметра, при которых возможна реализация указанных алгоритмов.

Поиск искомых управляющих функций сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для для линейных, квазилинейных и нелинейных систем. В случае перевода системы в заданную точку фазового пространства порядок вспомогательной системы равен п + 2г, а в случае перевода в произвольную окрестность — п + г.

В приложении эффективность указанного метода продемонстрирована на численном моделировании решения конкретных практичских задач.

Для краткости изложения во всех главах диссертации рассматриваются граничные условия, при которых начальные состояния совпадают с началом координат, а интервал времени перевода соответствует промежутку [0,1]. Очевидно, что любые граничные условия и интервал перевода опрерацией сдвига и сжатия по зависимым и независимым переменным могут быть сведены к вышеуказанным.

3. Новизна

В диссертации получены следущие новые результаты:

1. Развит новый подход к решению граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих практическое значение.

2. Найдены конструктивные методы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния в заданное конечно состояние с учётом случайных возмущений и погрешностей вычислений.

3. Получены конструктивные критерии выбора конечных состояний и диапазона изменения случайных возмущений, при которых возможен указанный в п.2 перевод с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

4. Разработаны конструктивные методы решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем в классе дискретных управлений с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

5. Найдены конструктивные критерии выбора шага дискретности и конечных состояний, при которых существуют решения граничных задач, указанных в п.4.

6. Получены методы построения управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния в заданные конечные состояния с учётом органиченности и запаздывания управляющего сигнала.

7. Сформулированы конструктивные критерии выбора конечных состояний и ограничений на запаздывание управляющего воздействия, при которых возможен перевод указанный в п.6.

1. Калман Р.,Фалб П., Арбиб М. "Очерки по математической теории систем"Мир. Москва, перевод с англ. Под ред. Э.Л. Напельбаума. 1971. 399с.

2. Зубов В.И. "Лекции по теории управления "Москва. Наука.1975. 495с.

3. Варбашин Е.А. "Введение в теорию устойчивости"Москва. Наука. 1967. 223с.

4. Красовский Н.Н. "Теория управления движением "Москва. Нау-ка.1968. 475с.

5. Габасов Р., Ф. Кириллова "Качественная теория оптимальных про-цессов"М. Наука. 1971. 508 с.

6. Зубов В.И. "Математические методы исследования систем автоматического регулирования"Л. 1974. 335 с.

7. Зубов В.И. "Теория колебаний"М. Высшая школа. 1979. 400 с.

8. Зубов В.И. "Проблема устойчивости процессов управления "СПб: НИИ Химии СПбГУ. 2001г. 354 с.

9. Ли Э. Б., Маркус Л. "Основы теории оптимального управления"М. Наука. 1972. 576 с.

10. Э. Полак "Численные методы оптимизации"Перев. с англ. М. Мир. 1974. 374 с.

11. Месарович М., ТакахараЯ. "Общая теория систем: математические основы "Пер. с англ. М. Мир. 1978. 312 с.12. "Справочник по теории автоматического управления"/ Под ред. А.А. Красовского. М. Наука. Гл. ред. физ,- мат. лит. 1987.

12. Колмановский В.Б., Афанасьев В.Н., Носов В.Р. "Математическая теория конструирования систем управления "М. Высшая школа. 1998.

13. Егоров А.И. "Основы теории управления"М. Физматлит. 2005. 504 с.

14. Верещагин Ф.П. "Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы"Пермь .1972.

15. Nguen Than Bang "Numerical solution of the d-control problem for nonlinear systems"// Arch. Autom and telemech. 1983. 28.No3. p.131-143.

16. Fury M., Nistri P., Pera M.P., Zezza P.L "Topological methods for the global controlability of nonlinear systems"// J. Optimize Theory and Apl. 1985. 45. No2 p.231-256.

17. Бердышев Ю.И. "О построении области достижимости в одной нелинейной задаче"// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. No4. с.22-26

18. Krong В.Н. "Guaranteed stering control"// Proc. Amer. Contr. Conf. Boston. Mass. June 12-21. 1985. Vol.2. Green Valley, p. 950-955

19. Щербакова А.В. "Об условиях существования решения двухточечной краевой задачи управляемой линейной системы, дотавляющего минимум функционалу"// Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естествозн. и техн. н. 2004. т.9. No3. с. 314-315

20. Комаров В.А. "Синтез ограниченных управлений для нелинейных систем"// Автоматика и телемеханика. 1993. No2 с.76-82

21. ГусарВ.В. "Об одной задаче сплайн управления"// Дифференциальные уравнения. 1998. No9, с1475-1481

22. Черноусько Ф.Л. "Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах"// Тр.мат. ин-та РАН. 1995 т 211. с.457-472.

23. Черноусько Ф.Л. "Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость еч; изменения"// Докл. РАН 1999 No4 с.464-472.

24. Черноусько Ф.Л. "Декомпозиция управления динамической системой"// Докл. АН СССР. 1990. т.314. No 4. с. 801-805

25. Айсагалиев С.А. "К теории управляемости линейных систем"//Авт. и Телемех. 1991. No 2. с. 35-41

26. Brown R.F., Zezza P. "Multiple local solution to nonlinear control processes"// J. Opt. Theory and Appl. 1990. Vol. 67. No 3. p. 463485

27. Коврижкин О.Г., Крамаренко ЕЛ. "Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием"// Автоматика и телемеханика. 1994. No3. с.37-42

28. Коробов В.И., Скляр Г.М. "О множестве позиционных ограниченных управлений решающих задачу синтеза"// ДАН, 1990, т. 312, No6, с.1304-1308.

29. Квитко А.Н. "Об одном методе построения программных движений"// ПММ, т. 65, вып 3. 2001г. с. 392-399.

30. Квитко А.Н. "Об одной задаче управления"// Дифференциальные уравнения, т. 40, вып. 6. 2004 г. с.740-746.

31. Коробов В.И. "Почти полная управляемость линейной стационарной системы"// Укр. мат. ж. 1986. т.38. No2. с. 163-169

32. Бессонов Г.А., Коробов В.И., Скляр Г.М. "Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем"// ПММ. 1988.52. Nol. с.9-15

33. Емельянов С.В., Коровин С.К. "Критерий управляемости нелинейных динамических систем на плоскости при фазовых ограничениях"// Изв. АН СССР. Тех. Кибернет. 1987. No6. с. 108-114

34. Емельянов С.В., Коровин С.К., Мамедов И.Г. "Критерий управляемости нелинейных систем"// Докл. АН СССР. 1986. т. 290. Nol. с. 18-22

35. Kawski М. "A nessesary condition for local controlability"// Contrmp. Math. 1987. 68. p. 143-155

36. Ковалев A.M., Щербак В.Ф. "Решение двухточечной нелинейной задачи управления с использованием множества траекторий"// Тр. междунар. конф. "Мат. в Индустрии". Таганрог. 1998. с. 338-341

37. Безгласный С.П. "Стабилизация по части переменных при ограниченности решений по неконтролируемым координатам"// Учен. зап. Ульяновск, гос. ун-та. Фунд. пробл. мат. и мех. 1999. Nol. с. 29-39

38. Aisagaiev Serikbai A. "The contructive theory of boundary problems of optimal control"// Тез. докл. Междунар. конф., поев. 90-летию со дня рожд. А.С. Понтрягина. Москва. 1998. с.16-17

39. Смирнов А.В. "О глобальной нуль-управляемости билинейных нестационарных CHCTeM"Int. Congr. Math., Berlin. 1998. p. 18-27

40. Мастерков Ю.В. "К вопросу о локальной управляемости в критическом случае"// Изв. ВУЗов. Мат. 1999. No2. с. 68-74

41. Бутенина Н.Н. "Построение множества управляемости в произвольную точку плоскости "Методы анализа нелин. систем. МГУ-М. 1997. с. 29-33

42. Шолохович Ф.А. "Об управляемости и ^-управляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах"// Изв. УРГУ. Мат. и мех. 1998. Nol. с. 102-126

43. Пантелеев В.П. "Об управляемости нестационарных линейных систем"// Дифф. ур-я. 1985. т.21. No4. с. 623-628

44. Панасюк А.И. "Дифференциальные уравнения невыпуклых множеств достижимости"// Мат. заметки. 1985. т.37. No5. с. 717-726

45. Агладзе В.А., Пономарев Ю.П. "Групповой подход к анализу управляемых систем"// Кибернетика. Киев. 1984. No5. с. 8-11

46. Гозова В.Н. "К вопросу управляемости линейных систем"// Дифф. ур-я и функц. анализ. М. 1984. с. 88-94

47. Bittanti S. "H-controIlability and obervability of linear periodic systems"// SI AM. J. Contr. and optim. 1984. 22. No 6. p. 889-893

48. Jlenc Н.Л. "Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка"// Автомат, и Телемех. 1984. Nol. с. 19-25

49. Ohta Y., Maeda Н. "Reachability, observability and realizability of continuous-time positive systems"// SIAM J. Contr. and Optim. 1984. 22. No 2. p. 171-180

50. Isidori A. "Souse-espaces de commandabilite dans les systems non linears"// Outils et modiles math, autom., anal, syst.et trait signal. Vol. 3. Paris. 1983. p. 599-608

51. Крищенко А.П. "Управляемость и множества допустимости нелинейных стационарных систем"// Киберн. и вычисл. техн. Киев.1984. No62. с. 3-10

52. Гуденко А.В., Семенов В.Н. "Гладкие ветви многозначных отображений в проблеме локальной управляемости"// Киберн. и вычисл. техн. Киев. 1984. No62. с. 21-28

53. Челиковский С. "О связи устойчивости и локальной управляемости"// Вестн. МГУ. вычисл. мат. и кибернет. 1984. No4. с. 44-49

54. Krogh В. "Guaranteed steering control"// Proc. Amer. Contr. Conf.1985. Vol.2, p. 950-955

55. Gayek I.E. "Aproximating reachable sets for class of linear control systems"// Int. J. Control. 1986. Vol. 43. p. 441-453

56. Jurdjevic V., Kupka J. "Polynomial control systems"// Math. Ann. 1985. Vol. 272. No 3. p. 361-368

57. Aeyels D. "Global controlability for smooth nonlinear systems"// SIAM J. Contr. and Optim. 1985. Vol.23. No 3. p. 452-465

58. Grasser K.A. "Structure of boundary of attainable set in certain nonlinear systems11// Math. syst. theory. 1985. Vol. 18. No 1. p. 57-77

59. Луценко A.B., Класенко JI.А. "О полной управляемости систем с малым параметром"// Вестн. Харьк. ун-та. 1985. No277. с. 46-52

60. Айсагалиев С.А., Онайбаев К.О. "Управляемость нелинейных систем управления11// Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1985. Nol. с. 83-87

61. Qin Huashu "On the controllbility of nonlinear control systems"// Comput. and Math. 1984. Vol. 10. No 6. p.441-451

62. Константинов Г.И., Сидоренко Г.В. "Внешняя оценка множетв достижимости управляемых систем"// Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1986. No3. с. 28-34

63. Chang Rong Jen, Jang Shivu-Jien "Solution of two-point boundary value problems by generalized orthogonal polinomials and application to optimal control of lumped and distributed parameter systems"// Int. J. Contr. 1986. Vol. 43. No 6. p. 1785-1802

64. Hirsehorn Ronald M. "Strong controllability of nonlinear systems"// SIAM J. Contr. and Optim. 1986. Vol. 24. No 2. p. 264-275

65. Ковалев A.M. "Устойчивость, управляемость нелинейных механических систем с приложениями к задаче динамики твердого тела"// Math, modes and mech. Warshaw. 1985. p. 322-352

66. Stefani Giann "Polinomial approximation to control systems and local controllability"// Proc. 24th IEEE Conf. Decis. and Contr. New York. 1985. Vol. 1. p.33-38

67. Ailon A., Langholz G. "More on the controllability of linear time-invariant systems"Int. J. of Control. 1986. Iss. 4 Vol.44, p. 1162-1186

68. Афанасьев B.H. "Динамические системы управления с неполной информацией" М. 2007

69. Sastry S. "Nonlinear systems. Analysis, stability and control"// Interdisc. Appl. Math. Vol.10. New York. 1999

70. Кондратьев Д.Л., Лотов А.В. "О внешних оценках и построении множеств достижимости для нелинейных управляемых систем"// Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 1990. т.ЗО. No4. с. 483-490

71. Burgmeier P., Jahn К. "An interval computational method for approximating controllabitity sets"// Computing. 1990. Vol. 44. No 1. p. 35-36

72. Соколов B.H. "Ограниченное позиционное управление динамической системы большой размености"// ПММ. 1992. т. 56. No6

73. Seidman Thomas J. "Invariance of the reachable set under nonlinear perturbation"// SIAM J. Contr. and Opt. 1987. Vol. 25. No 5. p. 11731191

74. Sussmann H.J. "Small-time local controllability and continuity of the optimal time function for linear systems"// J. Optim. Theory and Appl. 1987. Vol.53. No 2. p. 287-296

75. Wicks Mark A. "A energy approach to controllability"// Proc. 27th IEEE Conf. Desic and Contr. New York. 1988. Vol. 3. p. 2072-2077

76. Мухариямов Р.Г. "Управление программным движением по части координат"// Дифф. Ур-я. 1989. т.25. No6. с. 938-942

77. Bardi Martino "A boundary value problem for minimum-time function"// SIAM J. Contr. and Opt. 1989. Vol. 27. No.4. p. 776-785

78. Adda Philippe "Controllability des systemes bilineaires dans le plane"// Publ. Dep. Math. 1985. No 3. p. 1-56

79. Корнилов Ю.Н., Петров Ю.П. "Области управляемости линейных систем второго порядка и их реализация"// Вестн. ЛГУ. 1986. No3. с. 108-110

80. Ванюрихин Г.И., Иванов В.М. "Синтез систем управления движением нестационарных объектов"Машиностроение. 1988. 167с.

81. Balachandran К, Krishan "Controllability of class of perturbed nonlinear systems"// Kybernetica. 1988. 24. No 1. p. 61-64

82. Balachandran K., Dauer J. "Controllability of nonlinear systems to affine manfolds"// J. Optim. Theory and Appl. 1990. Vol. 64. No 1. p. 15-27

83. Минюк C.A. "К теории управляемости и достижимости линейных стационарных дифференциально-разностных систем"// Дифф. Ур-я. 1988. т.24. No6. с. 899-902

84. Емельянов С.В., Коровин С.К., Мамедов И.Г., Никитин С.В. "К теории управляемости нелинейных систем при фиксированных ограничениях"// Докл. АН СССР. 1986. т. 290. Nol. с. 18-22

85. Кирьянен А.И. "Об управляемости систем с последействием "Дифф. Ур-я в Частн. Произв. Л. 1986. с. 111-116

86. Пак В.Е., Ченцов А.Г. "Об одной задаче управления с неполной информацией"// Автомат. 1990. No 5. с.

87. Underwood R. Chukwu Е. "Null controllability of nonlinear neutral differential equations" J. Math. Anal, and Appl. 1988. 129. No2. p. 328345

88. Leiva Hugo "Local null contollability of linear time varying systems"// Notas Mat. Univ. Andes. No 189. 1999. p.1-6

89. Chukwu E.N. "Null controlability in function space of nonlinear rutarded systems with limited control"// J. Math. Anal, and Appl. 1984. 103. No 1. p. 198-210

90. Benzaid "Global null controllability of perturbed linear periodic systems"// IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. Vol. 32. No 7. p. 623-625

91. Булатов B.H. "К управляемости одного класса систем с запаздыванием"// Веснт. Белорус, ун-та. Сер. 10. 1990. с. 66-67

92. Минюк С.А. "О полной нуль-управляемости и наблюдаемости линейных систем с запаздыванием"// Дифф. Ур-я. 1988. т. 24. No6. с. 1058-1061

93. Минюк С.А. "Управляемость линейных систем с запаздывающим аргументом в функциональных пространствах"// Дифф. Ур-я. 1988. т. 24. с. 1079-1089

94. Bartosiewize Z. "Closedness of an attainable set of delay system"// Lect. Notes Conf. Sci.1984. 58. p.63-68

95. Забелло JI.E. " О полной управляемости ленейных стационарных систем с запаздыванием. "//Изв. Вузов мат. 1985 No4. с 26-34.

96. Забелло Л.Е. "К исследованию приближенной нуль управляемости в линейных нестационарных системах с запаздыванием. "Вестник Белорус. Ун-та 1988 cep.l Nol. с 34-38.

97. Somasudaram D.,Balachandran К."Controllability of nonlinear systems consisting of bilinear mode with distributed delays in control".// IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. 29.No6 p.573-575.

98. Sinha A.S. "Null-controllability of nonlinear infinite delay systems with restrained controls "//Int. J. Contr.1985. 42. No3.735-741.

99. Balachandran K. Somsundram D. "Relative controllability of nonlinear systems with time varying delays in control"//Kibernetika 1985. 21. p.14-17.

100. Sinha A.S."Controllability of non-linear delay system"// Int. J. Contr. 1986. 43 No4 зю1305-1315.

101. Balachandran K. "On the controllability of class of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control".// IEE Proc 1986.No6. P297-300

102. Balachandran К, Somasundram D. "Controllability of nonlinear delay systems with delay depening on state variable"// Kybernetika. 1986.22. No5. p.439-444.

103. Balachandran K. "Relative controllability of nonlinear systems with delays in control"// Journal A. 1987. 28. Nol. p.25-28.

104. Balachandran K. "Controllability of non-linear systems with delays in both state and control variables"// Kybernetika. 1986. 22.No4. p.340-343.

105. Balachandran K., Krishan "Global relative controllability of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control ". Int. J. Contr. 1987. 45. Nol. p. 193-200.

106. Balachandran K. "Null controllability of nonlinear delay systems".// ."Adv. And Simul. 1989. 15. No2. p.13-18.

107. Galizia A."Minimal controllability for systems with delays".// Int. j. Contr. 1987. 45. No4. p. 1255-1264.

108. Onwua J. U. "Function-space null-controllabillity of nonlinear delay systems with contributed delays."// Adv. And Simul. 1987. Nol.p.ll-20.

109. Chukwu E.N. "Function space null controllability of linear delay systems with limited power."// J. Math. Anal. And Appl. 1987. 124. No2. p. 293-304.

110. Balachandran K., Daner J. "Controllability of perturbed nonlinear delay systems".// IEEE Trans. Autom. Conf. 1987. 32. No2. зю 172-174.

111. Balachandran К "Global relative controllability of non-linear systems with distributed delays in control ". Adv. Modell. And Simuul. 1987. 7. Nol. p. 28-33.

112. Кирьянен A.M., Шаляпина О.В. "Поточечная синтез управляемость систем с запаздыванием."Вестник ЛГУ cep.l No2. 1989. с 14-18.

113. Карпук В.В. "К теории нуль управляемости систем с отклоняющимся аргументом".// Изв. АН БССР.Сер. физ. Мат. Минск 1989-12с. Деп. в ВИНИТИ 05.07.89. No4482-B89.

114. Onwua J. "Null controllability of system with delaed state and control"/ / Adv. And Simul. 1989.15. No2.p.l9-37

115. Zezza P. On the reachable set for linear systems with piecewise constant controls // Bol. Unione mat. Ital. 1986. 5. Nol. p.127-137.

116. Allon Amit, Segev Reuven Driving a linear constant system by a piecewise constant control // Int. Contr. 1988. 47. No3. p.815-825.

117. Кухта К.Я. О решении нелинейной, нестационарной непрерывно-дискретной граничной задачи в теории управления.// Автоматика и телемеханика 1991. No6 с.78-83.

118. Лапин С.В. Кусочно-постоянная стабилизация систем линейных относительно управления.// Автоматика и телемеханика 1992. No6. с.37-45.

119. Fury М., Nistri P., Pera М.Р.,Zezza P.L "Linear controllability by piecewize constant control with assigned switching times"// J. Optimize Theory and Apl. 1985. 45. No2 p.219-229.

120. Joshi Mogan C., George Reju K. "Controllability of nonlinear systems"// Numer. Funct. Anal, and Optim. 1989. Vol. 10. No 1-2. p. 139-166

121. Квитко A.H. "Метод построения программных движений для нелинейной нестационарной системы"// Вестник С.-Петербург.Ун-та. сер. 1. вып. 1. 2004. с. 14-21

122. Квитко А.Н. "Решение задачи построения дискретного программного управления для нелинейной управляемой системы"// Вестник С.-Петербург. Ун-та. серия прикладная математика, информатика, процессы управления, вып. 3. 2004. с. 140-152.

123. Квитко А.Н. "Об одной задаче терминального управления"// Вестник С.-Петербург.Ун-та. сер. 1. вып. 2. 1997. с. 16-21

124. Демидова A.M., Квитко А.Н."Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем"//Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2006. Вып. 1. с. 140-147

125. Демидова A.M., Квитко А.Н. "Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной нестационарной управляемой системы с учётом случайных возмущений "//Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. с. 115-122

126. Демидова A.M. "Решение задачи управления "//Пр. управл. и устойчивость. Тр. 36 Межвуз. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ. 2005. с. 24-28

127. Демидова A.M. "Решение граничной задачи для линейной нестационарной системы в классе дискретных управлений11//Пр. управл. и устойчивость. Тр. 37 Междунар. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ. 2006. с. 20-25.

128. Демидова A.M. "Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем в классе дискретных управле-ний"//Пр. управл. и устойчивость. Тр. 38 Междунар. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ 2007. с. 22-27