Методы повышения точности приближенных решений в некоторых задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Повышение точности приближенных решений краевой задачи на полуоси

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Теорема о разложении

§ 1.3. Теорема об уточнении

§ 1.4. Продолжение процесса уточнения

§ 1.5. Пример

Глава 2 Повышение точности определения собственных значений и собственных функций краевой задачи на полуоси

§ 2.1. Задача на полуоси

§ 2.2. Задача на конечном отрезке

§ 2.3. Оценка погрешности собственных значений

§ 2.4. Уточнение собственных значений

§ 2.5. Уточнение собственных функций

§ 2.6. О краевом условии в точке Я

§ 2.7. Продолжение процесса уточнения

§ 2.8. Пример

Глава 3 Повышение точности оценки неизвестной плотности распределения случайной величины по эмпирическим данным

§ 3.1. Способы оценки неизвестной плотности

§ 3.2. Сходимость эмпирической плотности

§ 3.3. Уточнение эмпирической плотности

§ 3.4. О построении доверительной области

§ 3.5. Вопросы оптимизации

§ 3.6. Пример

Глава 4 Оценка энергетического спектра нейтронов в моделируемых электроядерных установках

§ 4.1. Постановка задачи

§ 4.2. О преобразовании случайной величины

§ 4.3. Оценка энергетического спектра нейтронов

Широкое применение электронно-вычислительной техники для решения научных и технических задач сделало особо актуальным вопрос создания новых численных методов и алгоритмов. Часто удается численно исследовать задачу глубже и полнее, чем это возможно аналитически. Решение ряда крупных научно-технических задач было бы невозможно без применения численных методов.

Значительный вклад в развитие разностных методов внесли работы А.Н.Тихонова [1], А.А.Самарского [2, 3], Г.И.Марчука [4]. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование — вычислительный эксперимент, то есть исследование реальных процессов средствами вычислительной математики [5].

Наряду с традиционными подходами, в последнее время все чаще используются различные методы математического моделирования. Среди них особое место занимает метод Монте-Карло, создателями которого считают американских математиков Дж.Неймана и С.Улама [6]. У нас в стране первые статьи об этом методе были опубликованы В.С.Владимировым [7] и другими авторами в 1955-1956 годах. Появление и развитие вычислительной техники сделали метод Монте-Карло весьма универсальным численным методом.

При разработке того или иного вычислительного алгоритма важным является вопрос о точности получаемого решения. Требование обеспечить большую точность, как правило, приводит к существенному увеличению объема вычислительной работы. Это обстоятельство делает актуальным поиск экономичных подходов к созданию численных алгоритмов, позволяющих получать решение с заданной точностью.

В настоящей диссертации изучаются два важных класса задач математической физики. Во-первых, рассматривается проблема определения собственных значений и собственных функций краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на полуоси. Рассматривается также краевая задача на полуоси с неоднородным условием на левом конце. Во-вторых, изучается задача об оценке неизвестной плотности распределения случайной величины по эмпирическим данным. Диссертация посвящена разработке методов повышения точности решений этих задач. Начнем с освещения вопросов, касающихся первой из них.

Большое количество современных физических задач приводит к проблеме определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов. Так, например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных.

В книге Дж.Сансоне [8, 9] рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотическое поведение решений линейных уравнений, теоремы существования, единственности и многие другие вопросы. Имеется много работ, посвященных сформулированной выше основной проблеме — спектральному анализу дифференциальных операторов. Вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений излагаются, например, в книге Э.Ч.Титчмар-ша [10, 11], а также в [12, 13]. Теория линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка излагается в монографии М.А.Наймарка [14], где для этого широко используются идеи и результаты функционального анализа (главным образом теория линейных операторов в гильбертовом пространстве).

Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных операторов, например, операторов, заданных на бесконечном интервале.

Поведение решений дифференциальных уравнений вблизи особых точек изучается, например, в [15, 16].

Наряду с аналитическим исследованием таких задач особую актуальность приобрел вопрос создания методов их численного решения. При численном исследовании задач с сингулярными дифференциальными операторами встает проблема переноса краевых условий из особых точек. Так, например, при решении задачи на полуоси краевое условие на бесконечности заменяют некоторым краевым условием в достаточно удаленной конечной точке. Вопросы, касающиеся переноса краевых условий из особых точек, изучаются в работах А.А.Абрамова [17, 18], Е.С.Биргера [19], Н.Б.Конюховой и ряда других авторов [20, 21, 22]. В перечисленных здесь работах можно найти ссылки на другие работы и обзоры этого направления.

Различные методы численного решения поляронных задач с использованием процедуры переноса краевого условия из бесконечности разрабатывались И.В.Пузыниным, П.Г.Акишиным, И.В.Амирхановым и другими сотрудниками ЛВТА ОИЯИ [23, 24, 25, 26].

В общей теории переноса краевых условий из особых точек получены асимптотические оценки выбора точки отхода от особенности (то есть точки, в которую переносится граничное условие) для переноса краевого условия в эту точку с заданной точностью. Асимптотический характер этих оценок является неслучайным, так как сама теория тесно связана с асимптотическими рядами.

В связи с этим важно уметь выяснять асимптотические свойства решений вблизи особых точек. Сюда относится изучение вопросов о том, будут ли решения колеблющимися, будут ли они ограниченными, устойчивыми в том или ином смысле, вопросов приближенной оценки решений при больших значениях аргумента и многих других вопросов.

Между тем получить решение в явном виде и затем исследовать его непосредственно удается лишь в редких, исключительных случаях, даже если привлекать специальные функции. Поэтому со всей остротой встает проблема качественного исследования свойств решений данного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений без использования явного вида этих решений.

Задача эта в общем виде чрезвычайно сложна, даже для одного из наиболее простых уравнений (и притом весьма важного для приложений) — линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

Для многих важных классов дифференциальных уравнений существует большое количество методов такого исследования. Результаты асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, относящиеся к поведению решений при больших значениях аргумента, можно найти, например, в монографиях Р.Беллмана [27], Ф.Олвера [28], М.В.Фе-дорюка [29], а также в [8, 9].

После того, как краевое условие перенесено из бесконечности в выбранную конечную точку, вместо исходной задачи на бесконечном интервале решают полученную краевую задачу на конечном отрезке. Для этого, как правило, используется какой-либо из численных методов, которые для регулярных краевых задач достаточно хорошо развиты. Кроме уже перечисленных выше работ по численным методам можно отметить, например, [30]. Один из методов решения самосопряженных задач Штурма-Лиувилля (в том числе и сингулярных) предложен в работе Н.Б.Конюховой и И.Б.Староверовой [22].

В результате вместо искомого решения сингулярной задачи на бесконечном интервале получают приближенное решение задачи на конечном отрезке. Выбрав подходящий численный метод, решение последней можно получить с требуемой точностью. Поэтому часто погрешность, с которой удается найти решение исходной задачи, определяется именно длиной отрезка интегрирования, на котором ставится аппроксимирующая ее задача. При правильном переносе краевых условий эта погрешность стремится к нулю при увеличении отрезка.

В диссертации разработан метод повышения точности приближенных решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на полуоси, который не требует существенного увеличения длины отрезка интегрирования.

Отметим, что пути повышения точности решения в математической литературе обсуждались весьма широко. В описываемом в диссертации методе используется идея хорошо известного метода Л.Ф.Ричардсона [31, 32]. В монографии Г.И.Марчукаи В.В.Шайдурова [33] можно найти дальнейшее развитие этого метода. Суть его состоит в следуюшем. Как известно, погрешность численного решения обычно пропорциональна некоторой степени параметра дискретизации, например, шага сетки используемой разностной схемы. Для достижения большей точности, следовательно, нужно либо уменьшать этот параметр, либо пользоваться другой, более точной схемой. Рисардсон поставил принципиально новую проблему о повышении точности численного решения линейных задач. Он привел некоторые схемы реализации алгоритмов, в которых используются численные решения с различными параметрами аппроксимации. Оказалось, что линейная комбинация этих решений при определенных условиях дает точность большего порядка.

Аналогичная идея комбинирования решений краевой задачи на различных отрезках положена в основу разработанного метода повышения точности определения искомого решения краевой задачи на полуоси.

Отметим некоторые свойства предложенного метода, которые делают его весьма эффективным при решении подобных задач. Прежде всего заметим, что задачу на конечном отрезке, аппроксимирующую исходную сингулярную задачу на полуоси, как правило, решают неоднократно на различных отрезках. Сравнение полученных при этом решений дает информацию об их точности. Если точность оказывается недостаточной (решения сильно различаются), то необходимо дальнейшее увеличение отрезка. А данный метод, во-первых, позволяет добиться повышения точности на несколько порядков без существенного увеличения длины отрезка интегрирования, а во-вторых, практически не требует для этого дополнительных затрат, поскольку решения на различных отрезках, как правило, уже имеются, нужно только вычислить их линейную комбинацию.

Перейдем теперь к рассмотрению второй из поставленных задач — задачи об оценке неизвестной плотности распределения случайной величины на основании результатов ее наблюдений.

Эта задача имеет весьма большое практическое значение. Так, при изучении самых разных физических систем получают совокупность экспериментальных (полученных в результате опыта) значений некоторой случайной величины (например, координаты, угла или энергии), и часто требуется на основании полученных эмпирических данных построить распределение этой величины (найти пространственное или угловое распределение потоков частиц, оценить их энергетический спектр). Такого рода задачи часто возникают и при моделировании реальных физических систем методом Монте-Карло.

Задача оценки неизвестной плотности по наблюдениям неоднократно обсуждалась в литературе, и существует ряд способов ее решения. Часто практикуемый прием, например, состоит в построении гистограммы. Эта процедура подробно описывается практически во всех руководствах по математической статистике, например, в книге Г.Крамера [34]. Строгие утверждения о сходимости гистограммы к искомой плотности впервые были получены В.И.Гливенко [35]. Дальнейшее развитие гистограм-мирование получило в работах Н.В.Смирнова [36, 37]. Полученные им результаты при известных условиях могут быть использованы для более точной и надежной оценки плотности.

Отметим, что гистограммирование — далеко не единственный и не самый эффективный способ решения поставленной задачи. В работе Н.Н.Ченцова [38], например, был предложен класс методов оценки неизвестной плотности, обобщающих метод гистограмм и могущих дать большую точность.

В диссертации для оценки неизвестной плотности распределения по эмпирическим данным используется класс оценок, который впервые был введен Е.Парзеном [39] и М.Розенблаттом [40, 41]. При определенных условиях гладкости искомой плотности в этом классе можно найти для нее оценки, сходящиеся быстрее, чем гистограмма (а значит, обладающие большей по сравнению с ней точностью при том же объеме выборки).

Отметим, что при оценке неизвестной плотности тем или иным методом может иметь место сходимость со скоростью не выше чем п-1/2, где п — число использующихся для этого наблюдений. Это естественный факт, так как в оценке значения искомой плотности в некоторой точке принимает участие не вся выборка, а лишь те наблюдения, которые сосредоточились в некоторой окрестности этой точки.

В связи с этим актуальным является вопрос о повышении скорости сходимости оценки к искомой плотности. Для решения этой задачи в диссертации предлагается использовать ту же идею, что и для уточнения приближенных решений сингулярных краевых задач на бесконечном интервале. Применительно к вопросу об оценке неизвестной плотности по наблюдениям предлагаемый метод заключается в экстраполяции по числу наблюдений п. А именно, если имеются две независимые серии наблюдений, то по ним можно, во-первых, построить две оценки неизвестной плотности — по каждой выборке отдельно, и, во-вторых, построить оценку, объединив все наблюдения в одну выборку. Определенная же линейная комбинация всех трех оценок при п —¥ оо будет сходиться к искомой плотности быстрее, чем каждая из этих оценок по отдельности.

Отметим, что такой метод повышения точности оценки искомой плотности практически не требует дополнительных затрат, поскольку подобные оценки, как правило, делаются по нескольким независимым выборкам, а при уточнении лишь используются уже имеющиеся эмпирические плотности.

Разработанный метод повышения точности оценки плотности распределения по эмпирическим данным применяется для оценки энергетического спектра нейтронов в моделируемых электроядерных установках.

Идея получать энергию в реакциях деления урана и тория под действием потока быстрых нейтронов, рождающихся и размножающихся в мишени, облучаемой пучком ускоренных частиц, возникла почти одновременно с запуском первых промышленных реакторов деления на тепловых нейтронах. Электроядерная технология представляется весьма перспективной для решения ряда научных и технических задач [42, 43].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение

В диссертации рассмотрен и решен ряд вопросов, связанных с повышением точности:

1) численного решения сингулярных краевых задач (в том числе, спектральных) для обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка на полуоси;

2) оценки неизвестной плотности распределения случайной величины по эмпирическим данным.

Получены следующие результаты.

1. Разработан и строго обоснован метод повышения точности приближенных решений краевой задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с особой точкой на бесконечности. Метод основан на идее комбинирования решений краевой задачи на различных конечных отрезках, аппроксимирующей исходную сингулярную задачу на полуоси. Такой подход, во-первых, позволяет добиться значительного повышения точности без существенного увеличения длины отрезка интегрирования, а во-вторых, практически не требует для этого дополнительных затрат счетного времени, поскольку решения на различных отрезках, как правило, уже имеются, нужно только вычислить их линейную комбинацию.

2. Аналогичная идея комбинирования решений положена в основу метода повышения точности определения собственных значений и собственных функций краевой задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с регулярной особенностью в нуле и иррегулярной особенностью на бесконечности. Доказана применимость такого подхода и в этом случае.

3. Для поставленной задачи доказана теорема существования собственных значений и собственных функций.

4. Разработан и обоснован метод повышения точности оценки неизвестной плотности распределения действительной непрерывной случайной величины по эмпирическим данным, заключающийся в экстраполяции по числу наблюдений. Этот подход позволяет добиться заметного повышения точности такой оценки без существенного увеличения объема использующейся выборки. Кроме того, он практически не требует дополнительных затрат счетного времени, поскольку подобные оценки часто делаются по нескольким независимым выборкам, а при уточнении лишь используются уже имеющиеся эмпирические плотности.

5. Как применение метода повышения точности оценки плотности по эмпирическим данным, построены оценки энергетического спектра нейтронов в некоторых моделируемых электроядерных установках. Подобрано оптимальное число событий, при котором рассчитываемый спектр лежит в заданных доверительных границах.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, заслуженному деятелю науки, доктору физико - математических наук, профессору Жидкову Е.П. за постоянную поддержку и помощь в работе, доктору физико - математических наук Акишину П.Г. и кандидату физико -математических наук Амирханову И.В. за полезные обсуждения, доктору физико - математических наук Ужинскому В.В. за ценные замечания, кандидату физико - математических наук Соснину А.Н. за оказанное содействие, а также другим сотрудникам Отдела вычислительной физики ЛВТА ОИЯИ за поддержку.

1. Тихонов А.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

2. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

3. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

5. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный экперимент. Вестник АН СССР, 1979, § 5, С. 38-49.

6. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method. J. Amer, statistical assoc., 1949, 44, N 247, 335-341.

7. Владимиров В. С. О применении метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей собственной функции линейного интегрального уравнения. // Теория вероятностей и ее применения, 1956, т. 1, N 1, С. 113-130.

8. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.

9. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

10. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

11. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

12. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

13. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

14. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

15. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л., 1950.

16. Айне Э.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.

17. Абрамов A.A., Асланян A.A., Балла К. Сравнение решений прого-ночных уравнений при переносе граничных условий из бесконечности для гамильтоновых линейных систем. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N 12. С. 1808-1818.

18. Абрамов A.A., Балла К. О приближенных решениях, основанных на теоремах сравнения, скалярных и матричных уравнений Риккати на бесконечном интервале. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. N 1. С. 35-51.

19. Биргер Е.С. Об оценке погрешности замены условия ограниченности решения линейного дифференциального уравнения на бесконечном интервале. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. N 3. С. 674-678.

20. Абрамов A.A., Диткин В.В., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С., Ульянова В. И. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. N 5. С. 1155-1173.

21. Конюхова Н.Б., Маслович С.Е., Староверова И.Б. О вычислении быстроосциллирующих собственных функций непрерывного спектра и несобственных интегралов от них. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N 3. С. 360-379.

22. Конюхова Н.Б., Староверова И.Б. Модификация фазового метода решения сингулярных самосопряженных задач Штурма Лиувилля. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N 10. С. 1183-1200.

23. Амирханов И.В., Пузынин И.В., Водригес К., Стриж Т.А., Федя-нин В.К., Ямалеев В.М. Численное исследование одной спектральной задачи в оптической модели полярона. Сообщение ОИЯИ Р11-85-445, Дубна: ОИЯИ, 1985.

24. Амирханов И.В., Пузынин И.В., Стриж Т.А. Нелинейная граничная задача с параметрической зависимостью уравнений от асимптотики решений и ее приложение к модели полярона. Сообщение ОИЯИ Р11-91-454, Дубна: ОИЯИ, 1991.

25. Акишин П.Г., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Метод численного решения трехмерных уравнений полярона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. N 7. С. 109-118.

26. Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынина Т.П. Итерационный метод решения уравнения полярона в сферически симметричном случае. Сообщение ОИЯИ Р11-91-139, Дубна: ОИЯИ, 1991.

27. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

28. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.

29. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

30. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

31. Richardson L.F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stress in a masonry dam. // Philos. Trans. Roy. Soc., London, ser. A, 210, 1910, pp. 307-357.

32. Richardson L.F. The differed approach to the limit. IrSingle lattice. // Philos. Trans. Roy. Soc., London, ser. A, 226, 1927, pp. 299-349.

33. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

34. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

35. Гливенко Г.И. Курс теории вероятностей. М.: ГОНТИ, 1939.

36. Смирнов Н.В. О посторении доверительной области для плотности распределения случайной величины. Доклады АН СССР, 1950, 74, N 2, 189-191.

37. Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды. М.: Наука, 1970.

38. Ченцов Н.Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям. Доклады АН СССР, 1962, 147, N 1, 45-48.

39. Parzen Е. On estimation of a probability density function and mode. // Ann. Math. Statist., 33, 3 (1962), 1065-1076.

40. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function. // Ann. Math. Statist., 27, 3 (1956), 832-837.

41. Rosenblatt M. Curve estimation. // Ann. Math. Statist., 42, 6 (1971), 1815-1842.

42. Кириллов П. JI., Толстое К.Д., Чултем Д. Проект электроядерной электростанции. ФЭИ, Обнинск, 1992.

43. Жидков Е.П., Соловьев А.Г. Уточнение приближенных решений краевой задачи на полупрямой. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N 11. С. 1340-1344; Препринт ОИЯИ Р11-96-480, Дубна: ОИЯИ, 1996.

44. Жидков Е.П., Соловьев А.Г. Алгоритм численного решения краевой задачи на полупрямой. // Труды Первой открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, с. 237-241, Дубна: ОИЯИ, 1997; Препринт ОИЯИ Р11-97-62, Дубна: ОИЯИ, 1997.

45. Жидков Е.П., Соловьев А.Г. Повышение точности определения собственных значений и собственных функций краевой задачи на полуоси. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. N 7. С. 1100— 1120; Препринт ОИЯИ Р11-98-69, Дубна: ОИЯИ, 1998.

46. Жидков Е.П., Соловьев А.Г., Соснин А.Н. Повышение точности оценки неизвестной плотности распределения случайной величиныпо эмпирическим данным. Препринт ОИЯИ PI 1-99-329, Дубна: ОИЯИ, 1999.

47. Барашенков B.C., Жидков E.H., Соловьев А.Г., Соснин А.Н. Повышение точности оценки энергетического спектра нейтронов в моделируемых электроядерных установках. Препринт ОИЯИ Р2-2000-16, Дубна: ОИЯИ, 2000.

48. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

49. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978.

50. Боровков A.A. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.

51. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

52. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

53. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1968.

54. Васильков В.Г., Гольданский В.И., Джелепов В.П., Дмитриевский В. П. Электроядерный метод генерации нейтронов и производства расщепляющихся материалов. — Атомная энергия, 1970, т. 29, вып. 3, с. 151-158.

55. Барашенков B.C. Ядерно-физические аспекты электроядерного метода. — ЭЧАЯ, 1978, т. 9, с. 871.

56. Barashenkov VS., Polanski A., Sosnin A.N., Filinova V.P. Neutron production in fissile targets under ion beam irradiation. — Kerntechnik, 1996, v. 61, no. 2-3, pp. 103-105.

57. Барашенков B.C., Соснин А.Н., Шмаков С.Ю., Големинов Н.Г., Полански А. Математическое моделирование радиационных повреждений микроэлектронных приборов. — ЭЧАЯ, 1993, т. 24, вып. 1, с. 246-284.

58. Barashenkov V.S., Polanski A., Sosnin A.N. Application of low-energy accelerators in electronuclear systems. — Kerntechnik, 1998, v. 63, no. 4, pp. 197-198.

59. Барашенков B.C., Левчук JI.Г., Мусулъманбеков Ж.Ж., Соснин А.Н., Шмаков С.Ю. Выход нейтронов в высокоэнергетических дейтрон-ядерных реакциях. — Атомная энергия, 1985, т. 58, вып. 2, с. 145-146.

60. Барашенков B.C., Левчук Л.Г., Мусулъманбеков Ж.Ж., Соснин А.И., Шмаков С.Ю. Рождение нейтронов под действием пучка высокоэнергетических ядер. — Атомная энергия, 1986, т. 61, вып. 1, с. 33-35.