Методы решения двумерных задач нестационарной теплопроводности со смешанными и несмешанными разрывными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ргв од

Белорусский государственный университет

; п.Г'Д

УДК 517.944

Абдельрашк Насер Абдельфатах

методы решения двумерных

задач нестационарной теплопроводности

со смешанными и несмешанными разрывными граничными условиями

01.01 .(^-Дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск-1996

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики белорусского государственного университета

Hay ный руководитель: доктор технических наук, профессор Котов Валерий Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мартынеико Михаил Дмитриевич доктор физико-математических наук, профессор Вир-1енко Нина Афанасьевна

Оппонирующая организация: Московский авиационный институт

Защита состоится £ декабря 1996 года в !0 часов на заседании специализированного совета Д 0*2. с! - в Белорусском государственном университете / 220050, Беларусь, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4; главный корпус, комната 206 /.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан ) октября 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук,

профессор Корзюк В.И.

Обтай характеристика работы

1. лк-| yu. ll.hoc i ь п'ми,

Настоящая работ посвящена рафаботе меюдо» решения двумерных чадач несиишонарнои 1епло..роводнос1И ( .чн^^н^снитии^н.к' уравнения в частых прон шодных параболическою пит) и цилиндрических координатах со смешанными и несмешанными paipi.niHi.imi. граничными условиями применительно к ограниченным и нолуо! раннченным голам.

Одним И1 »(¡«¡к'кчинных неполон решения стационарных чияич те!,.л;,мр'.>!,'лл,"4'ч< ( те метлой решения уравнения Лапласа) со смешанными рачрывными цчапнчпыми условиями ипляеи'я меюл парных ишегралмнлх уравнении. Однако, дли решения несчапиопарных чадам математической фишки данный меюл не применялся. В современной нахке, |емшке и н'хнологни большинство кчиюных и н'илофишчеекпх процессов нося) явно выраженный нестационарный харакюр, причем реадшацпя рафывных (локальных) «раничных условии смешанною вила находиI все большее практическое применение » лак'рнои медицине, в лазерной и'хно'книн сопапия инкчрачьных схем и друих процессах локально!о нагрева 1ел По ному ра1рабочка меюдо» решения нестационарных чадач параболическою пнш со смешанными краеяыми условиями, сводящихся к парным интегральным уравнениям ( неоационарною чина), являемся актуальной чадачей мак-машчеекон фишки и по-сушесту обобщает н рачниваег метод парных ш< тральных уравнений для решения сметанных чадач чллпичнческою тииа.

Чначшельныи |Пиерее с точки фения способа чалании рафывных (локальных) фаничных условии первою и шорою рода предегавляют несчаипонарные чадачи ман'машческои фишки применительно к ограниченным челам или так начыиаемые нестационарные шдачи Дирихле и Неймана дня 01 раниченных чел. ОбобШение этих задач свячано с ввеленисм новых функций пеоапнонарно!о неючннка чепла. нспольчуя преобрачопание Ханкеля для Л'-функцни Дирака примешиельпо к офаниченному цилиндру.

Предлагаемые » работе кчцхлические и методические основы решения двумерных осеснммефнчных )адач нестационарной теплопроводное г и для иолупросфансчва и ограниченно! о цилиндра со смешанными и несмешанными

.х

краевыми условиями разработаны с привлечением математического аппарата по операционному исчислению (L-иреобразования), что также позволяет расширить п обобщить теорию и практику применения интегральною преобразования Лапласа к решению смешанных и несмешанных нестационарных залам математической фишки. И работе (гл.2) покатано успешное применение аппарата интегральных преобразований Фурье и Ханксля по цилиндрическим координатам : и г для решения одной смешанной задачи нестационарной теплопроводности. Метод решения использует найденную интегральную связь между бесконечными синус и косинус преобразованиями Фурье. Следует отмстить важное прикладное значение проведенных в работе исследований, поскольку аналитическое описание процессов локального магрспа поверхности различных тел позволяет проводин» точные количественные расчеты но ошнмизшшп и организации управления необходимыми температурными режимами работы различных радиоэлектронных аппаратов, лазерных систем точечного или локального'huí рева различных тел, широко используемых в современной науке и технике. Кроме этого, полученные в рабпе аналитические результаты могуг служить математическим инструментом ("фундаментом") для разработки различных тсплофизнчсских приборов неразрушаюшего контроля теплофпзических свойств, когда по измерениям температурного распределения только на поверхности и следуемого обьскта могут быть решены обратные коэффициентные задачи математической физики, т.е. рассчитаны теплофизичсские свойства исследуемого объекта 6« нарушения его целостной структуры. Актуальность разработки таких приборов неоднократно подчеркивалась на международных конгрессах по неразрушающему контролю и математнчс^ой физике.

Диссертационная работа является частью плановой госбюджетной НИР 1.1.11 "Теория дифференциальных уравнений в частных производных" (No r.p.01860063384).

2. Цель работы.

Основная цель работы состоит в разработке теоретических и методических основ для решения двумерных осеснмметричных задач нестационарной теплопроводности со смешанными и несмешанными разрывными i ^аничнымп условиями применительно к телам в форме полупространства и ограниченного изо- и ортотропного цилиндра.

3. Задачи исследовании.

3.1. Разработать метод сведения двумерною нестационарного уравнения теплопроводности в цилиндрически* координатах (применительно к полуограннченному телу) со смешанными граничными условиями к соответствующим парным инь , ральнмм уравнения».! нестационарного типа.

3.2. Разработать меюд решения парных интегральных уравнений нестационарно! о типа в области /.-изображений.

3.3. Разработать метод решения двумерных неччационарных задач теплопроводное!и для полупространства со смешанными краевыми условиями с

: ü üü •ег'рильч.ой смязм гннус и косинус

преобразованиями Фурье.

3.4. Посгрони. решение двумерных задач нестационарной теплопроводное! н для ограниченною то- н opioipomioro цилиндра с комбинированными разрывными граничными условиями первого или второю рода (решение двумерных нестационарных задач Дирихле и Неймана для ограниченного opioiройного цилиндра).

3.5. Иаит функции-изображения нестационарною неючника тепла при локальном нагреве черет кольцевую и кру| оную облает, но линии окружности и и точке одной нт торцевых поверхностей oipamuiennoi о цилиндра при комбинированных граничных условиях на других поверхностях.

3.6. Пронести анализ полученных нестационарный решении дли полуограннченпых и о!раннченных тел с целью разработки ко>ф>фнцнешных методов идентификации шъ'юфнзцческнх свойств.

4. Научили новииш диссертации состоит:

4.1. В разработке методов сведения двумерных задач нестационарной теплопроводности для полупространства со смешанными граничными условиями к решению coonieiciBVKKUUx парных интегральных уравнений нестационарного iiiua.

4.2. В рафабогке новых теоретических к методических основ решения парных интегральных уравнении нестационарною типа в области ¿-изображений.

4.3. 13 применении операционного исчисления к решению нестационарных задач математической фишки со смешанными краевыми условиями.

4.4. В решении ii исследовании новых miioi »мерных задач нестационарной теплопроводности и соотетствующнх темпера lypm.ix полей для иолусираииченных и осраниченных 1ел при комбинированных |раннчных условиях, включая двумерные нестационарные «несимметричные задачи Дирихле и Неймана для ограниченного орют ройного цилиндра.

4.5. В iioeipociiiiH функций-изображений нестационарного источника leiuid при нагреве через круговую , колы ¡сную облает, а также через линию окружное! и (линейный круг оной источник) и через ценфальную точку (точечный источник). расположенную п начале цилиндрических координат на одной из торнепых поверхности oipami'ieimoro цилиндра.

5.Практический значимое! ь.

Раб«»а прела »илист теорегичеекнй и пракшческий шисрес. Для теории ;1ш|>фсренциалм1мх уравнении в частных производных' параболического типа примени 1сл1>но к полупространству разработан мстод, комрый позволяет сводить сменшпные нестационарные двумерные чадами к решению ахлвеилвующих парных itnreipaJii.m.ix уравнений нестационарного типа в облает /.-изображений.

Полученные двумерные нестационарные решения дли «ираничениых и полуограинченнмх тел имеют важное практическое и пргмшдное значение в задачах об оптнма -пом управлении, и теории теплопроводности, лазерных системах локального нагреиа тел, физическом зкеиерименк i; в технологии, связанной с наличием локальных источников и стоков тепла.

6.11а защиту выносятеи:

6.1. Результаты физико-математических исследований в области решения парных интегральных уравнений нестационарного гииа;

6.2. Новые методы сведения осесиммстричных нестационарных (многомерных) задач параболического типа со смешанными краевыми условиями к парным интегральным уравнениям и интегральным уравнениям Фредгольма;

6.3. Установленные закономерности развития пространственных нестационарных температурных полей и тепловых потоков, возникающих при локальном нагреве ограниченных, полуограннченпых и других идеализированных (в тепловом отношении) тел;

6.4. Полученные парные интегральные уравнения и интегральные уравнения Фредгольма (в области L-изображений), характеризующие процессы

нестационарной теплопроводности при локальном натреве полупространства со смешанными (разрывными) траннчными условиями;

6.5. Точные решения двумерного нестационарною уравнения теплопроводности для полупространства и офаииченпою ормтропною цилиндра, нагреваемого через кольцевую и круговую области (ратрывные |раничные условия несмешанною типа);

6.6. Найденная интаралмшя связь между бесконечными синус и косинус преобразованиями Фурье, используемая для решения системы уравнений нестационарной зеплоироводпопи со смешанными краевыми условиями.

6.7. Графический материал, полученный на основе разработанных решений и характери тующнн поведение соответствующих температурных полей и тепловых потоков для тел различной геометрической формы..

7. Публикации

Основное содержание диссср1 ацни опубликовано и 5 статьях.

8. Апробации работы

Результат исследовании докладывались на следующих международных конференциях и конгрессах:

8.1.XI Международный конгресс по математической физике, г.Париж,

1994т.

8.2. 2-ая Международная конференция но обратным задачам, Санкт-Петербург. 1994г.

8.3. Международная конференция по краевым задачам, специальным функциям, посвященная 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. ('ахова, 16-20

■ феврали 1996, Минск.

8.4. VII 1клорусская математическая конференция, Минск, 1996г.

9. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, грех глав и заключения. Текстовый материи.1 (не включая оглавления, рисунков и списка литературы) состоит из 102 страниц машинописною текста, 4 страниц библиотрафии. Рисунки занимают 8 страниц.

Содержание работы

Во введении содери ится оценка современного состояния рассматриваемой проблемы, а 1акже огосновывается необходимость разработки данной темы диссертации и ее актуальность,

Обтор литературы сделан по трем направлениям. Во-первых, излагается современное состояние метода парных интегральных уравнений для решения смешанных стационарных задам математической физики (уравнения Лапласа и Гсльмг.олыш). Указываются основные источники и авторы, которые занимались исследованием и применением метода парных интаральных уравнений и других методов для решения смешанных и несмешанных задач стационарной и нестационарной теплопроводности.

Во-вторых, показывас :я, что эффективным методом решения двумерных задач нестационарной теплопроводности для ограниченных и полуограниченных тел со смешанными и несмешанными разрывгчмм граничными условиями яв.ыется применение операционного исчисления, основоположниками которого являются Вашенко-Захарченко М.Е. и ХевисайдО.

В-третьих, указывается, что аппарат интегральных преобразований Фурье (бесконечные синус и косинус преобразования) также является эффективным методом решения многомерных задач нестационарной теплопроводности для различных тел со смешанными и несмешанными краевыми условиями.

В первой главе дается общая постановка и решение двумерной осесимметричной задачи нестационарной теплопроводности для полупространства со смешанными и несмешанными краевыми условиями.

Постановка задачи. Пусть требуется решить дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах для полупространства при наличии осевой симметрии

¿:(Цг,2,г)1 ¿>-+(1/г) <?0(г,:,г)/ сг+д:0(г,:,г)/ й*= (11а) с>«г..-.г)/ дх, (1)

где (г.г, т)>0: .

Начальное условие

а>,г,0)=0 . (1-а)

к

Граничные условия

(¿,/Wr.z. г) hl + аДг,;, =f(r, г), (2)

[1:сЧКг.х.т)1Л +о,«г.-.г)]>М1Я<ли (3)

Относительно заданных функции /, и /.- будем предполагать, что они непрерывные, абсолютно сходятся равномерно относительно г и г, т.е. эти ограничения позволяют применять преобразования Лапласа и Ханксля,

После применения интегрального преобраювания Лапласа (L-преобразование) к (1)-(3) и метода разделения переменных к уравнению (1). в области /.-изображения с учетом условий ограниченности температурного поля на оси г=О и на бесконечности, получаем общее решение задачи в области L-нзображения в виде несобственного интеграла

ТК г, z, ,v) = | Г( />, д) ехр[-.-^/'! + V/"K (P'W ■ <4>

11

гдeJ,{pr) — функция Кесседя вещественного аргумента нулевого порядка; C(p.s) — неизвестная функция; л —параметр преобразования Лапласа; /'-параметр разделения переменных.

При несмешанных разрывных краевых условиях, когда в (2)-(3) а,-а^а*О, Д;=Аг=Л=0. f:(r.r)-0 из (4) получаем обшее решение (Kr.:. flr.r,.v)]

классической осесимегричной нестационарной задачи Дирихле для полупространства (г>0, г, г>0) при разрывном ¡раничном условии первого ро;ш

(Кг,:, г)| ,.„ = <Кг.О, г) = Дг, г) = J^7^'Г)' (5)

| 0, (г - О, R < г < оо).

Решение уравнения (I) при условиях (1-а) и (5) приведено в диссертации.

При а,=а,=а=-О, А,=Я:=Я*0, f:(r,t)-0 получаем общее решение классической осесимегричной нестационарной задачи Неймана для полупространства (г>0, :,г>0), на границе которого заданы значения разрывной производной

-'.('.--.ГЦ...

/,(Г,Г) <;-0, 05г</<),

А " (6)

О, (г - О, И <г < оо).

Решение уравнения (I) при условиях < I -а) и (6) приведено в диссертации.

При смешанных красных условиях, когда в (2)-(3) (Л ,=а..=0), т.е. в области круга (()< г < К,: = 0), на поверхности полупространства та дается постоянная температура /,(г, г)/сг,= У) #0, а пне круга (/< < г < г = ()) проитводная на поверхности :=0 равна нулю ( /,(г, г) /А, =0), тогда для определения С(/>,л) нэ решения (4) при ;=Ч, с учетом (2), (3) после применения к ним /.-преобразования получаем парные митральные уравнения нестационарного тина

}("(/>,,»)/,,</«■)<//> Ясл> 0, ' (7)

¡( '(/>,*)^1>2 + лД/./0(/>/•)<//< = О, Л < г < оо. (8)

и

Ит (7), (8) тргГ>уется определить величину С(р,\). Для решения (7), (8) впедем другую неизвестную функнию-тоб-чшение с

помощью соотношения

л) = -Г . л) соя(/ ¿¡¿ТфЛж =

/»ътК^р1 + л/о 1 « + л «)<Л

= --Ц-¿_ /-Г^; (,.д) ' -

А + V и + л а о 7/'" + "

где <р(Я,х) * оо и (1,х)*аз.

Подстановка (9) в (8) обеспечивает равенство нулю парного уравнения (8),

так как

И)

? пАх^Щь»=

в^р'+х'а v '

0, л<г.

С05 Ч'^-г*) (10)

V"

у/х1 -г! -, х>г.

Подстановка (9) в (7) с использованием разрывного интеграла

п!.ЛпЛ I г~<-ГЛ

ехр -Ьг'-,')

■Л2

п>г>!> О,

о ^р' + .1(1

\'2-г!)

приводит к интегральному уравнению для определения <р{1,я)

(12)

где /; *0 (заданное постоянное значение температуры в круге (о <. г < Н,: = 0)), Ле л>0.

. л

Поскольку «о(/,л) является аналитической функцией параметра л,

представим в виде функционального ряда по степеням в:

?(м)-ехр(-^^¿».('К''' • <13>

В уравнении (12) разложим ехр~ ~

соответствующие ряды. Тогда получим, что

» « (-1)"«- 1 ' « | ..<>..» тма\ «

кН

(2т+Щл/а) ' >

Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях уравнения (14) при равных степенях параметра х находим значения коэффициентов • Так при найдем

<р,/Ц), при л12: р,11), при .«': <¿>41) и т.д. В обшем виде найдем рекуррентную формулу для-четного и нечетного индекса п. Для четного п имеем

л> "* 1

(15)

Для нечетн ^о п имеем

7;/<"

/\ 2 </ г

("О*

Подставив и (9) значение из (13) находим, что

(16)

Г = , /' ехр[-£.V"1 (I7)

^/Г + .» О V V" У т-Л „ У '

Подставим (17) в (4), находим общее решение в виде

к{ у ■ ехр(-- V/'* + *Л»)Л (/»•) со^Г+ */«)<//».

(18)

где «?,,(') определяются соответствующими значениями (15) и (16). Обратное преобразование Лапласа для (18) существует. В диссертации приводятся значения оригинала //'[йЦг.г.л)! согласно общей формуле обращения для /.преобразования, а также частные температурные поля на оси г-0 и на поверхности г=0. В диссертации указано, что уравнение (12) может быть сведено к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода в области /.-изображений для общего случая задания функции /,(г,.*)/а, » /(г,л), Я|=0 в круге 0 5 /• < К,г = 0, а внекру'га Н<г<<а, : = О, /¡(г.я)/А, =0. а, = 0, и может быть записано в виде

2 /м-(1:^7) с

л <1г{

■/*/;/, (0<г<Н), (19)

где ядро А'(г,*,.«) = — I

Предположим, что если в ГУ (2), (3) (а,=О, Я_,=0. а:- 1, Л, = А *<), 1

1.{/;<Г,т)/=/¿Г.1)=0, I.

Л.

(где л

Я, Ля

коэффициент

теплопроводности), т.е. в области круга г=0, 0£г<Н задан постоянный удельный тепловой поток «/^согЫ, а вне круга Я<г<оо, 2=0 поддерживается нулевая

температура. Тогда, используя (4), получаем парные интегральные урансния следующего вида:

О А"

} <"(/'.'>)Л(/"Н' =0' Л < г < оо.

(20) (21)

Ич (20), (21) требуется определить С(/>,л).

Для решения уравнений (20), (21) введем другую неизвестную функцию <?(',«) с помощью соотношения

ф>1 + л о о ' ' .

(22)

где <5{/,л)опрсделяется формулой (13).

Подстановка (22) в (21) обеспечивает выполнение этого уравнения, т.е. равенство его нулю, согласно значению (10). Подставляя (22) в (20), получим интегральное уравнение для определения «»(',.*) следующего. ;ша:

(23)

= 0<,г<К, Яс.оО.

При выводе (23) нсполыовано соотношение /""Л (рг) = —[г./, (/;/•)] и значение следующего разрывного интеграла:

» I

I J\ (рг) + х/аЦ> = -

п Г

/ехр

ах '

яп| /,/-1 а;

! ЭШ

Г>1,

* >Г.

ич)

Как и в первой задаче, представим значение р(/,л) в виде функционального ряда (см. (13)). Подставив в уравнение (23), и разложив

в соответствующие ряды, получим

следующее уравнение для определения коэффициентов р„('):

«(-О"* '

И"'"

«-""-" т!Ыа) " -"—|'(2/и+!)!(>/« I

(?,-., /ч. Г /х/.1 Л-..1 чУ ^ I ( К V и

Приравнивая коэффициенты в левой и правых частях уравнения (25) при

одинаковых степенях в, находим значение <р,Ц1), <¡>¡{1)..... Нетрудно найти

рекуррентные формулы для определения <р„(1) для четного и нечетного п. Для четного п имеем

/ \ ' - " г )

уЛу ч«""уг

л(>/«)"л!

V. И (-'Г3""

« Х ' (2к - 1ДЛ/}

(26)

для нечетного п имеем

у1у

Ф'-У2

о х ' (2* + 1)!(л/о)

} { - У* >' ^

(27)

о

о

Подставим найденное значение <р,{1) в (13), получаем значение функции ^(/,л-). Подстановка в (22) дает значение неизвестной функции С(р,.\).

Общее решение-изображение <Хг,г.з) после подстановки в (4) значения С(р,5) запишется в следующем виде:

А- +*/иЪа(1>г)ат(1^1>1 + л/</Ь/>

о у р + я/(1 У I \ I

и у.

(28)

Обратное преобразование Лапласа для (28) существует. В диссертации приводятся значения оригинала /."'[ 1Цг,г,л)|=Д>,г, г) как для общего случая, так и для частного. В диссертации указано, что уравнение (23) может быть сведено к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода в области /.-изображений для

общего случая задания '[¡/(г. г)] = -~/,(г,л) ■= - —«= 0 в круге

л, ^

О¿г<Я, :=0, а вне круга = о, Л3 - О

а,

гр(г.х) + ¿Цл^)} Л - (л./.лу-г =

■у к _

« гЩг.х) + -( (г,/.*)Л » (29)

Ш-ТГГГ—^ (0<'<л>

где ядро К /г.г..г) дается выражением

А'а(г.М) = п| /Л—I сое! г Л-1 - М.'(М,л), (30)

Г(г,»,л) определено в формуле (19).

В гл. I не ставилась цель построения решений уравнений Фредгольма (19) и (29), а ставилась цель показать, что рассмотренные нестационарные задачи со смешанными краевыми условиями общего вида (2), (3) могут быть сведены к уравнениям (19), (29). Следует отметить, что основная трудность решения (19) и (29) будет заключена, если требуется определить оригинал ¡р(1. г)=£"'[ <р(Л.у)].

Вторая глава посвящена решению системы дифференциальных уравнений для ортогропных тел

^ + + 0*г<*; (3.)

с}1 г а, ¿Ьг а, А

1 (УК а. 1*0, 1 гЮ, -Л. +--I. +. _:--1. =--1

сУ" г & и, ¿Ь я, Л"

с?02 1 сЮ2 а. 1 гЮ,

-г- + —+ —---- =--, Я < г < », (32)

где

0,(г,;,т)= /¡(г,г,г)-/¡, = 0, (02/•<«, :>0. г>0) и 01(г,:.т)=Т1(г.:,т)-Г0»вг(г>К, г>0, г>0), 7о=ео1иЛ — начальная температура системы (31), (32), причем, учитываются условия ограниченности в, на оси г-0, и на бесконечности для А при г.г—юа. Краевые условия имеют вид

Й,(г,г,0)=0г(г,г,0) = 0, 7|(г,г,0)- Т2(г,:,0) = Тп,

И<Л. , = 0. г>0,

еЬ Л. 1 1

(33)

0г(г,О.г) = О, |г| > Я, г = 0. т 2 0. (34)

Условия сопряжения для 0, и в; имеют вид

0,(Я,:,г)=О2(Я,;,т) г>0,г>0,г= Я, (35)

с>0,(П,:,т) ¿в,(К,:.т)

От

Условие симметрии имеет вид

г > 0, г > 0, г = Л.. (36)

¿».{О,- г)

' = 0, г = 0, .->0, г> 0. (37)

Решение уравнений (31), (32) при условиях (33)-(37), используя бесконечные синус и косинус преобразования Фурье, получим в следушем виде:

0,Лг.Р,*)= /(Х) г<Н. Нел > 0; (38)

ви{г.!>,!,) = Л(/\л)А-„|г^2 + г Ж, Ке.у > 0, (39)

где параметр преобразования Лапласа, р • соответственно парамегры косинус (с) и синус (в) преобразования Фурье в (38) и (39).

Используя ГУ (35) и (36) в области ¿-изображений и формулы обращения ддя косинус (применительно к 0и(г,/>,.\) ) и синус (применительно к 02,(г,/',д)) преобразований Фурье, а также найденную интегральную связь между синус и косинус преобразованиями Фурье следующего вида:

«е т>

}р(з,р)$тр:с/р=1к(з,р)соз/Ыр, • (40)

о

где

I I *"

" х1 + р + а

найдем функции Л (/и) и £(/>..«) в (38) и (39), предварительно зная ешционарное решение для системы (31), (32) при и соответствующие стационарные значения изображения А(г./>) и А(г,р). Применяя обратное преобразование Лапласа и Фурье, находим соответствующие оригиналы температур (¡¡{г,:, г) и 04г.г. г).

Третья глава посвящена решению ряда двумерных задач нестационарной теплопроводности для ограниченного ортотронного цилиндра при действии

разрывных граничных условий первого и второго рода с круговой линией разрыва температуры и плотности теплового потока на одном из торнов цилиндра. Решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности для ортотроиного цилиндра получено с помощью преобразований Лапласа и Ханкеля Рассма1ринается уравнение следующег о вида:

1£ г (>

. сЧ\г,г)

Л2

Л

О<г<К. О< г <Л, г >О, Кл = —,

а.

(41)

где «,.<', - соответственно, коэффициенты земперазуропроводности в направлениях г и

Пели на торцевой поверхности ограниченного цилиндра : =0 задается граничное условие первою рода '/(г,0,г) = Ту(г,т) при 0<г<Я, а на другой торцевой поверхности г=Л и боковой поверхносгн цилиндра г=Я задаются ¡рапичные условия третьего рода но закону Ньютона, тогда решение (-11) в области /. и //-изображений имеет вид

Т„ЮХ(1>Н)

= //Л(/"->

л

(¡Г х

+ д «,(/»- г)]

+ .* а,ей [^л"»/'2 + л + (а» Л.УФ кг1

(42)

где аЛ — коэффициент теплообмена на торце цилиндра г=Л, X, — коэффициент теплопроводности в направлении г.

Применяя обратные преобразования Лапласа (//') и Ханкеля (//"') к (42), находим оригинал Т\г,;. г). Изображение (42) и соответствующий оригинал Цг,г,т) удовлетворяют известным результатам при /?->°о и Л-юо.

1-слн заданы разрывные граничные условия второго рода в кольцевой области г0<г<г,. на одной из торцевых поверхностен г=0 в виде:

cf (r, г. л)

О , г, <ri К и 02 г<г0,

где </(г,.!)= 1\ц(г, г)] изображение плотности теплового потоки в кольцевой области г0<г< Г), г=0. Общее решение (41) при условии (43) и ГУ третьего рода, аналогичных для (42), на торце т=Л и боковой поверхностьи г-Я с помощью преобразования Лапласа и Ханкеля получим и виде

Т , v Т«ЮМ>Ю f г./,,(/.г)?(г, s)Jr '»'/'. •') = I I . =х

т]к.р2 + -v/'«, Ch UK,p2 + л «, (Л - г) + к/я,)лЛ

Jicy + s/a, лл ук.р2 + «;</, Л + (ah!X,)ch ^К.р1 + .va, /i|

Решение (44) описывает температурное поле Т„(р, г, л) при одинаковых ГУ на поверхности г=Л и г=Л, что и для решения (42).

Оригиналы для (44) приведены в диссертации для различных случаев <y(r,.v), в кольцевой и круговой областях, на линии окружности и в точке. Соответственно были определены функции нестационарного источника тепла в кольцевой и круговой областях, на линии окружности и в точке, найденные с помощью преобразования Ханксля для ¿-функции Дирака.

В третьей главе приводятся оригиналы 1\г.:, г) для рассматриваемого тела и исследуются предельные случаи Я-*» и Л-и», которые совпадают с известными решениями. На основе оригиналов Т\г,:.х) для (42), (43) приводится ряд формул для идентификации теплофизических коэффициентов а,, а,, Я„ Аг

ВЫВОДЫ

1. Для двумерного дифференциального уравнения нестационарной теплопроводноеги (I) со смешанными разрывными граничными условиями (2), (3) действующими на поверхности полупространства при /.{г, г)-(> в области R<r<x>,

г-0 разработан метод его сведения в области /--изображения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (19), (29). При ,\-М) уравнения (19), (20) переходят в известные, полученные Снеддоном И. и Уфляндом Я.С.

2. Для частных значений смешанных ГУ/¡(г, т)=Т(*<), /:(г. г)=0 и /,(г, х)~ =-ц„-<(>гш, [:(г,х)-0 (см. (2), (3)) разработан метод сведения уравнепня (I) соответственно к парным интегральным уравнениям (7), (8) и (20), (21) в области изображений.

3. Для парных интегральных уравнений (7), (8) и (20), (21) предложен метод их решения с помощью найденных подстановок (9) и (22), а также с использованием разложения неизвестной функции в виде функционального ряда (13) по степеням параметра преобразования Лапласа 5.

4. Для определения коэффициентов <р„(1) разложения неизвестной функции <?(/,.<) (см. (13)) получены рекуррентные формулы (15), (16) и (26), (27).

5. Найдены изображения температурных полей (18) и (28) и соответствующие оригиналы 0(г.;,т) для частных значений смешанных ГУ, указанных в п.2 выводов.

6. Разработан метод решения двумерных задач нестационарной теплопроводности (система уравнений (31), (32)) для ортотропного полупространства со смешанными ГУ (33), (34) с помощью разбиения полуограничешюй области на кусочно-однородные среды по цилиндрической координате г и их последующе, о сопряжения по температурам и потокам тепла при г=Н (35), (36). В этом же методе найдено интегральное соотношение (40) между бесконечными синус и косинус преобразованиями Фурье, используемое для определения постоянных интегрирования уравнений (38), (39). Определен оптимальный размер (радиус) цилиндрического полубесконечиого образца (на торце которого при г=0 действуют смешанные ГУ вида (6) при /,(г. т)~д„=соп&1), при котором с заданной точностью будет выполнено условие неограниченности размеров по цилиндрической координате Ойг<оо. Оценка проведена и рассчитана по отношению плотности поток" тепла </*( /■)/</„ -Д г ) на поверхности г=0, где с/*( г) --значение удельного теплового потока в любой точке г=г„6р11,^Н>\, г=0 вне круга л=Л,

7. Получено решение двумерного уравнения нестационарной теплопроводности (41) применительно к определению температурных полей в

ограниченном ортотропном цилиндре (решения (42) и (44)) при теплообмене боковой (r=R) и торцевой (:=Л) поверхностей со средой начальной температуры (T(r,z,0)^T0), а на другой торцевой поверхности z~D, (><r<R задаются соответственно граничные условия первого и второго рода (1~У задач Дирихле и Неймана). Проанализированы некоторые частные случаи формирования температурных полей в о1раничснном ортотропном цилиндре при его локильпом нагреве торцевой поверхности z=0 через кольцевую r,<r<r0 и круюиую ()&<г, области, а также через окружность r=Rt (линейный источник) и через центральную точку г=г=0 (точечный источник). Предложены меюды идеи i ифнкации теплофизических характеристик (ТФХ) материалов на основе полученных аналитических зависимостей с целью paipa6oiKH средств неразрушающего контроля ТФХ.

ЛИТКРЛТУРЛ

1. Козлов Ii.П.. Юрчук II.II., Абде.тьраык П.Л. Парные имте1ральныеуравнении н коэффициенты системы идентификации в задачах нестационарной теплопроводности // Тезисы докладов международной конференции "Идентификация динамических систем и обрашые задачи". Санкт-Петербург, 1994.

2. Лбдельразак II.Л., Козлов В.П., Юрчук II.И. Методы решения парных интегральных уравнений математической фишки // Тезисы докладов Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", шнмящошой уО-жтпп) со уши ¡нгждсипи ипадсмнка Ф.Д.Гахона. Минск, 1996, С. 7.

3. Козлов H.H., Лбдельразак П.Л., Юрчук II.И. Фишко-математическне модели для теорий неразрушаютего контроля тепдофнзнческих свойств //ИФЖ, Т.68, N6. 1995. С. 1011-1022.

4. Ко1лои ß.П., Лбдельразак H.A. Метод парных уравнений для решения двумерных осесиммеэричсскнх задач нестационарной теплопроводности // Demi. ¡¿ГУ, сер.!, N3, 1995, Г. 60-64.

5. Козлов Ii.П., Юрчук 11.11,, Лбдельразак H.A. Теплопроводность орютронного полупространства при смешанных ра'рыннмх граничных услопиях II ИФЖ, Т.69, N5, 1996.

6. Козлов В.П.. Лбдельразак 1! \. М ei од парных суммарных уравнений для решения двумерных осеснмметрических задач нестационарной теплопроводности па примере теплообмена по уограинчемиого сплошного цилиндра//Вести. БГУ,сср.1. N'l,

7. Кошов В.П., Юрчук Н.И., Лбдельразак П.Л. Операционный метод решения • парных интегральных уравнений нестационарного типа // Труда международной конференции "Краеиые задачи, специальные функции н дробное исчисление" Минск БГУ, 1996, С. 159-166.

8. Козлов В.П., Юрчук Н.И., Лбдельразак Н.Л. Операционный метод решения смешанных задач параболического типа, связанных с парными нестационарными интегральными уравнениями // Тезисы докладов VII Белорусской математической конференции. Минск. 1996.

Резюме

Абдел1>р;пак Насер Абдельфатах

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ 'ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СМЕШАННЫМИ И НЕСМЕШАННЫМИ РАЗРЫВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Ключевые слова: разрывные граничные условия, смешанные и несмешанные краевые задачи, критерий Фурье и Кириичева, 5-функция Дирака, уравнение теплопроводное!и, парные интегральные уравнения, стационарные и нестационарные решения, коэффициенты теплопроводности н температуропроводности (диффузии), методы идентификации, теплофизнчеткие свойства и характеристики, функции Вссселя, полипомы Эрмита, преобразование Лапласа, Ханкеля и Фурье.

Для двумерных задач нестационарной теплопроводности (уравнений в частных производных параболического типа) со смешанными и несмешанными разрывными краевыми условиями применительно к изучению температурных полей в полуограннченных и ограниченных изо- и ортотроиных телах разработаны методы решения, связанные с исследованиями парных ингаральных уравнений нестационарного типа в области /.-преобразования. Если параметр преобразования Лапласа s-*fK из получениях аналитических результатов вытекают известные решения соответствующих стационарных задач для уравнения Лапласа и Гельмгольца, полученные известными математиками Снеддоном И., Уфляндом Я.С., Вирченко H.A. и др.

Найдена ингефальная связь между бесконечными синус и косинус преобразованиями Фурье, позволяющая получать решения нестационарных (многомерных) задач теплопроводности дли системы дт[х{>ереициальных уравнений параболического тина с использованием условии сопряжения (равенства температур н тепловых потоков) на границах стыковки (идеального кошакта) кусочно-однородных сред. Результаты исследований исполыованм для различных практических приложений, в частности, в ратработке коэффициентных методов идентификации теплофизических свойств материалов на модели ор го тронного полупространства.

Рэзюме

Абдэльразак Настр Абдзльфагах

МЕТЛДЫ РЛШЭННЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ПЕСТЛЦЫЯНЛРНАЙ

ЦЕПЛАПРАВОДНАСЦ! CA ЗМЕШЛНЫМ1 I НЯЗМЕШАНЫМ!

РАЗРЫУНЫМ1 ГРЛШЧНЫМ1 УМОВАМ1

Кяючавыя словы: разрыуныя абме'аваныя умовы, змешаныя i нязмешаныя краявыя задачы, крытэрый Фур'е i Kipni'iaua, 8-фуикцыя Д-нрака, ураунснне пеплаправолнисш, парныя штэгральныя ураумешм, сгаиыямармыя i нестацмянарныя рииглнн, каэфшыенты иеплаправоднасш i пмператураправоднасш (дыфузй), мегалы шзнтыфжаиьп, цсплафтчмыя уласнтасш i харакгармстыю, функций Вссселя. палшомы ЭрмЬа, пераутварэпне Лапласа, Ханкеля i Фур'е.

Для двумерных задач нестаиыяпарнай иеплаправоднаам (ypaynemwj э часзковым! вытворньнп парабалйчпага тыпу) сн змсшиным1 i имэмсшапым! разрыуным! краяш.пн умо»а\п прымянщелыш да выпучэиня тшпературных палёу у пауаймсжаваных i абмежапанмх ¡за- i артазроппых пялах распрацапаны метады рашзння, звязаныя з даследванням1 парных штзгральных ураУпсмняУ нестанмяннрнага тыпу у вобласш ¿-пераутпарэнняу. K;uii параметр пераутварэння Лапласа х-*0, з атрыманых аналтлчных вышкау вмцякаюць вядомыя рашэнш адпавсдных стацыяпариых задач для урауненняу Лапласа i Гельмгольца, атрымапыя вядомым! матэматык>\н Снеддагшм 1., Уфляндам Я.С., Вфчанка H.A. i illlll.

Зпойдзена штэгральная сувязь нам ¡ж б~сконцым1 cinyc i косшус пераутварзпням! Фур'е, дазвалнючая атрымлташ. рашэнш нестацыяпарных (шматмернмх) задач иеплаправоднасш для астэмы дыферынцыяльных урауненняу нарабал1чиага тылу з выкарыстанпем умоу спалучэппя (роунасш тэмператур i цеплавых патокау) на абмсжавапнях сутыкнення (¡дэальнага кантакту) кусочна-аднародных асяроддзяу. BuiriKi даследвапняу выкарыстоуваюица для розных практичных дадаткау, у прыват/юсщ, пры распрацоуцы каэфщыеитных метала*? шэнтмфжацьн умоу матэрыялау н„ мадэл! артатропиай паупрасторы.

Summary

Abdcl Ra/ak Naser AbdelFattah

TI1K MKTHOOS OITHI'. SOLUTION OfTWO-DIMENSIONAL IIKAT CONDUCTIVITY NONSTATIONAUY PROBLEMS WITH MIXI.I) AM) UNMIXKD DISCON TINUOUS BOUNDARY CONDITIONS

Kev words: Discontinuous boundary conditions, mixed und unmixed boundary value problems, Forier'sand Kirpichove's criterion, Dirac's ^-function, heat conductivity problems, dual integral equations, stationary and nonstationary solutions, thermal conductivity and thermaldilVusivity, indcntil'ications methods, heat-physical characteristics and properties, Bessel function, I termite ■ polynomial, Laplace, llankcl and Forier transforms.

For two-dimensional heat conduction nonstationary problems (partial differential equations of the parabolic type) with mixed and unmixed discontinuous boundary conditions, it is suitable to study the temperature fields of the semi-infinite and limited isotropic and orthotopic bodies developed methods connected with investigations dual integral equations nonstationary type in the Uiplace transform field. If the parameter of the Laplace transform s-»0, then the achieving analytical results, coressponding to the known solutions of the stationary problems the solutioi. of the Laplace and the Hetmholu equations, which are obtained by known mathematicians Sneddon L, Ufllyand J.S., Virchenco N.A. and others.

The obtaimtf! integral relation between infinite sine and cosine Forier transform which we found,ullows to solutions (multiple-dimensional) heat-

conduction problems for the system of the dilTerential equations of the nonstationary type by using the conjugate condition (equality temperature and the heat flux) on the boundaries of the joining points (ideal contact) and the piccewise-homogeneotis medium. The results of the reseach can be used to the different applications, in particular, it can be applied to the development of the coefficients methods of identification heal physical properties on the model of orthotopic semi-infinite bodies.

Подписано к печати 29.10.96 г. Формат 60x84/16. Бумага № 3. Печать офсетная. Усл. печ. л. Усл. краскоот. Тираж 100 экз. Заказ № 415. Бслгосуниверситет, 220050, Минск, пр. Ф. Скорины, 4. Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситста. 220050, Минск, ул. Бобруйская,7.