Методы суперпозиции и собственных функций в граничных задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

1 5 ПОП шз

АКАДЕМШ НАУК УКРАНШ- -ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах руколису ГОМ1ЛКО Олександр Михайлович

МЕТОДИ СУПЕР1ЮЗИЦИ ТА ВЛАСНИХ ФУНКЩЙ'В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧН01 ФИЗИКИ

01.01.03 - матекатична фкшка

АВТОРЕФЕРАТ

днсертацп на одобуття паукового стуиеия доктора ф! р и ко- м ат е м ат и ч и и х наук

¿4^

Ки'ш - 1993

Робота виконана и !нститут1 пдром&лшкн Лкадег.иУ наук Украши.

Офщшш опонентви доктор фтаико-математичннх наук,

професор М.Д. Копачевськин

доктор ф!онко->1атематичннх наук, професор 1.Т. Селеоои

доктор фаонко-математи.чннх наук, старшин науковий сшвробтшк В.А. Троценко

Промдна установа - 'Мзнко-техшчшш шстнтут ¡м. А.4» 1оффе

Росшсько! АН (м. Санкт-Петербург)

Захист В1дбудеться " ^ " 1993 р. в

оааданш спевдалгаовано* внено\' ради Д 01G.50.02 при Гнстнтуп »

тематики АН Ухра'ши (252001 Кшв 4, вул. Терещенмвськя, 3).

3 днеертацию можна оопаГюмлтнсь у б^блютецз 1нституту ма-це» тики АН Укра'щн.

Автореферат роокланий п£7" 1993 р.

Вченяй сейретар спещадгаовадкн ?г;ено1 ради доктор фю.-ыат. наук, професор

А. 10. Лу

Загальна характеристика роботи

Актуальнгсть теми. Досв1д нагромадженнятасистематиоацм гь в галуэ! досл!дження математкчннх моделей фюичних явищ. шструе веллке значения використання класичних аналггичних ме-в побудови розв'яоюв граничних оадач математичноУ фшикн. До IX методш в'щчосяться метод суперпооици (метод Ламе) 1 ме-власних функцш (метод Фур'{), як! грунтуються на роодленш [них. Неоважаючи на б!льш як столтно ¡стор1ю оастосування метод1в в граничних оадачах математичноУ ф^оики, актуаль-и, як о теоретично!, так 1 о прнкладноУ тонок оору, оалншаються ання математнчного обгрунтування Ух оастосування до конкрет-граничних оадач теорп пружносп. До таких питань, в першу чу в!диосяться: питания роов'яоання 1 асимптотичноУ поведшки |)'я»к)в Ьгтегро-алгебраУчних систем лшпших р1вняиь, як\ вшш-т1. при пнкористаши методу суперпоэицп, питания про' харак-об1Жност1 аж до границ! ряд1в ! !нтеграл!в, що представдяють в'яоок грашгшоУ падачь Ефективне оастосування методу вла-< функцш до складных граничних оадач математичноУ франки 'яоане о подалылнм ро-эвитком спектрально! теорн овмчашшх ерешиалышх оператор!в 1 жмутюв операторов. В практичному 1П кожен ¡а названия двск методов маг пеан! особливост!. Так ме-суперпооищ! йьчын пристосований для аиалюу ближнього поля, ой час як рооклади оа власшшм функциями зажлив!, особливо в ам!чних оадачах, для аналгоу дальиього поля. Тому важлнпим 1 • уальшш ( встановлення аншнтичного ов'язку м!ж зображешпшн в'яоку гранично! оадач! 6а методом суперпооици ! за методом сних функцш.

Як в1домо, при досл!дженш певиих граничних оадач матема-[но! ф!эики велику роль п1д1грае використання класичних !нте-льних перетворень, як! являють собою ангштичинй апарат сшгу-ного випадку оастосування методу власннх функщй. У 1938 рощ .Конторовнчем ! М.М.Лебедгвим було введене нове штегральне пе-ворення, яке ов'яоане а щшндричн.чми фунхщями Беселя. В по-ьшому це перетворення онайшло шнрохе внкорнстання при анал!о! ничних оадач акустики I теорп пружносп для т!л у форм! клина конуса. Разом о тим на сьогодш актуальная оалншаеться питания з рооширенпя клаав функцш, для яких справедлив! в!дпотдн! ин-ральи! оображення Конторовича-Лебедсва.

Метою роботи е роовцток метод|'в суперпооици та вл функцш щодо ¡задан лшиноТ теори пружност! та подальша роо] аналггичних anapaTiB цих метод!п.

Теоретичне значения i наукова но&изна дисертацйшоТ р< полягають в тому, що

-встановдено аналтгшнй эв'яэок .\пж методами суперно та власних функцш;

-дослужено питания роэв'яэувапня i аснмптотнчних влас стей роов'яаюв штегро-алгебра'рпшх систем Л1Н1ЙНИХ р1внянь, я никають в npoueci побудови роов'яошв-граничних оадач по м суперпооици;

-встановлено асимптотики коефщштв роокладу оа одно; ми роэв'язками в задачах теори пружносп для швсмуги, aar иовано способи регуляриэацп ряд in оа однор1дними роов'яэк випадках i'x рообЬкностц

-встановлено однооначну роов'яоувашсть оадач1 flipixne сичшй постанови! для биармотчного р^вняння в niecMyoi э кр шшшм торцем;

-проведено aiianio аастосуюання ппотези Релея до оадач ' пружност1 для твсмуги а криволтшним торцем;

-встановлено noßi реоультати про розклад оа власннми ц1ями жмутк1в дцференц1алышх онератор1в та функцюналыю ренщалышх оператор!в а отриманням оцшок швидкост1 об1жи pioHux функцюнальних просторах;

-встановлено irosi пляса функшй, для яхих справедлив; гральш эображення Копторовича-Лебсдева.

Практична цгннгсть роботу.. Реоультати дисертацшш боти можуть бути внкорцстат при теоретичному i чисельной ЛЮ1 piamix граничных оадач математично'1 фюикн. Можяив оастосування до оадач теори пружност! показана в самш ] Роаровяеш .MOiu/.i. доЫ1дж€11Н11 власпшосте» розв'язання i aci тичних властквостей розв'я агав пев них хлаав ппегральних р j нескшчешшх систем алгебрагтаих р!впяш> явллготь собою i: для обчпслювальпоУ математики.

Лг.рМ"ац:ж poffcmu. Результат!!, пкз зикладеш в днсерт; робот!, допошдгишсь на коифсремци ш. д.Г.Нетровсьхого ко ренщальиьл пгыишиях (Москва. 1985), 2-й Всссокязшй хсчзфс по теори пружиосп (Töuiici, 1984), на 3-й Бгесоюзнш конфе по омшаапх задачах мехашки деформтного xcepaoso -пла (1

1985), на 11-й I 13-й конференфях молоднх вчених 1истнтуту чехашкн АН УРСР (Кшв, 1986 та 1988), на 3-й 1 4-й Респуб/пкапськнх школах-семшарах по пдродинамш1 (Алушта, 1988 та 1990), Воронежськш он-мовш математичшй школ! (Воронеж, 1988), Всесоюзшй конференц» по функцюнально-диференшалышх р1вняннях (Уфа, 1989), на 11 Т$се-союзнш акустичнш конференц» (Москва, 1990), на 2-й ) 3-й Крим-ськнх осшшх математичнлх школах по спектралышх 1 еволюцшних задачах (Ласш, 1991 та 1992).

Результата роботи обговорювались на науковнх семинарах: у Мсковському державному ушверситет1 (кер1вники семинару проф. А.Г.Костюченко 1 проф. А.А.Шхалков), РостоЬському державному ■ ушиверситет1 (кер)внкк семшару академк РАН 1.1.Воров» 1), ФЬнко-техшчному шститут! ¡м. А.Ф.1оффе Росшсько1 АН, м.Санкт-Петербург (кер]В1Шхп семшару проф. М.М.Лебедсв 1 д.ф.-м.н. А.С.Зшьбср-ГЛ£Йт).

В щлому дисертац'шна робота допов1далась 1 обговорювалась наэагальному семшар11нституту пдромехашкн.АЫ Укра'йш (кер1вннк семшару чл.-кор. АН Укра'йш В.Т.Гршченко), па семшар! по загаль-нш мехашщ у Кшвському ушверситет! (кер1вннки семшару чл.-кор. АН Украпш А.Ф.Ул1тко 1 чл.-кор. АН Укра'нш В.Т. Г^мнченко), на семшар! по нелшпшш теори оболонок 1 епнкост! багатовимфних систем при 1нститут1 математики АН Украпш (кер:ваик семшару чл.-кор. АН Украпш 1.0.Луковський) на семшар! по дифрренщалышх р1вняннях при 1нститут1 математики АН Укра'йш (кер1вннк семшар,-проф. М.Л.Горбачук), на семшар1 кафедр» математичного аналюу СНмферопольського университету (кер1вник семшару проф. М.Д.Ко-пачевський).

Публхкаци. Основа! результаты дисертацп в-1Дображет у пуб-лкацшх 1-26.

Структура та об'ем роботи. Дисерташя складагться ¡3 всту-пу, чотирьох роздшв та списку лггератури. Загальний об'см склада« 288 сторпюк г ашинописного тексту, список лггературн включае 184 панменувань.

Злнст роботи

У вступг дасться короткий змкт дисертацшноУ роботи, об-грунтовусться актуалынсть теми.

В першому роздш дисертацп розглян>"п питания, як1 пов'язаш з досл1дженням штегро-алгебра'шних систем лшшних р!вняпь, що пи-

никають при аналкн методом суперпооицп граничних ¡задач теор пружност! i leopis потенциалу.

В §1 введено до розгляду клас штегралышх р1вняпь на ni к

виду

fco

Л'(«)~ j Q(s,t)X(i)di = F {s), s > 0, (

де шмплекснозначне ядро Q — Q0 -h Qx i "гояовиа" чаетгина ядра м вигляд

<Эо(.,0 = |1;ЫгЫ7)г (

1 П = 1 1

¡о посл1доашстю^п = <i +га — I, п = 1,2,..., € (0,1] . Фуикцп ^ г

редбачаються ан~л1ти шими у деякому ceKTopi комплексно! площи) S = {А : j 9Л ¡< ЖЛ}, d > 0, a Qi{s,t) - неперервна функщя омшн s > О, í > 0, причому справедлив! оцшкн

I M А) |< С i A I"1 (1+ I Л |)-(".+"»)1 Л € Е, i = 1,2, (

I Qi{s,t'¡ |< cs"0(l + «)~(,'0+''з)(1 + s > О, í > О, (

0 деякимн похаэниками v¡ > 0, j = 1,2,3,4, i щ > 0 . До р1вня такого типу сводиться дослщжепия методом супериооиц» основн граничних задач статично! теорц пружност! у твсмуэд. В j 6otí отримаш аагальш твердженкя i приведен! конкретш приклаг пов'яэаш о питаниями роов'яоувашш та асимптотично! поведшки нсскшченност°1 роов'кзкн! штегралышх р1внянь виду (1)-(4). Poa¡ блено оагальну методику д.лслвджеши таких р1вняш>, що засновала використашл техшхи интегрального перетвореиня Меллша та Teoj об-'рень Л1Н1"1ШХ onepaTopÍB.

Введемо до роогляду перетвореиня Меллша фуикцп X(s):

- Aí'[A1(t)= Ä(s)s'~lds

1 фуикцп'

Ф/(7) = M[fij){f), j = 1,2, D(y) = 1 - <Mt)<Mt)-

При цьому, опдно fe (3) функци анал1тичн1 в ему»! SR7 € (-1^1, 3 оцшками V 6 > 0 :

' |Ф;(7)1< Uve (-tu+6,1*2-6), dt>0.

[Я дшспсго а поингчимо через На пльберт!в npocrip шмфних на 3oci R+ = (0, оо) функций ia нормою

гакачалину роль при »согляд! питань ¡сг'ув&гшя роов'яоюя та аснм-отично! поведшки роов'яо!ав ршняцня (1) мае таке твердження.

Теорема!. Нехай гнтегральнпй оператор Ао"

ЛСО

(AaX){s) = / Q0(s,t)X(t)dt, «•> О,

J о

oâi для кожного <r.Ç (—fi,f/2) У rtpocmopi Ьч(<т — '00,ît100) сиротлива pienicmb

М[Л0Х](Т) = | Ф г (7) Л/ [X] (Т) + Г+,00ф2(Ш£ - 7+ М|)ЛфГ](£К, VA' € На,

¿Я"» Лг-.оо

1 узагальмема дэгта-функц{ж Ргмана.

Нехай I - одншгашй оператор, тод! гз теореми I внпливаг, що :<ератор / — Ао, ях оператор у npocTopi Я„, уштарно е^валектшш ¡иному сингулярному гатегральнсму оператору Т — Та у простор. г{сг — tco, <r + soo). По-; цьому, у шгаадку вшгонання умови

D(т) #0,2*7 = сг, (6)

гератор Г V ггетерошш i маг Индекс

1. r+tooD'( i).

—mdr- <7)

икористовуючи цей факт, доводиться так а теорема про иормальне эзв'яэашш р{вияшш (1) у простор! Н„. Т а о р е и а 2, Пехай для деякого

(г £ (-¡'i, П (~min(un,i\), rn«n(], t/2))

•iKouana улюва (в). Todi ргвняиня (1) с пстперовим у v.pocmopi На i ас indexe к = ка.

ТЪердження теоремн 1 даг можливкть також дослщити меро-морфне продовження перетворення Меллша М[Х){у) розв'язку pio няння (1), що в свою чергу, на ociiobï формули обернення Меллша дозволяе отримати ощнки на нескшчешюс'п X(s). При цьому, осо-бливост! М[Х](7) визначаються (наск^льки це дооволяе "обурена" частика Qi ядра Q та мероморфш властивост: функцш <ï>j (7) ) нулями функци D(y) та особлнвостями перетворення Меллша право! ча-стини F(s) ршняння (1)). Ткк, наприклзд, якщо у cwysi Шу € (—vi,v2) функщя £>(7) мае лише один простин коршь у точщ 7 = 0 i Ar(s) g Loo(R^) - роэв'язок р1вняння (1) о неперервною при s > 0 правою частиною F (s) G Loo(R+), яка допускае оцшку

i F(s) |< с(1 + в)"", «> 0 (8)

для деякого /i > 0, то тод1 онайдеться така константа а, що мае мкце асимптотика

A'(s) = а + 0(s-0'), a — 00, Va € (0, m«n(/i,yJt i/3)). (9)

Подальший розгляд § 1 пов'яоаний о тим випадком, коли ядро р1вняния (1), кр1м умов (2), (3), задовольние також умову регуляриос-

Ti

1 - J | Q(s,t) \dt > 0, 0. (10)

Вщзначнмо, що умова регулярное^ (10) виконуеться для конкретних штегралышх ртнкнь методу суперпозицп, яю роэглянут» у роздш 2. У овя'зку о умовою (10) введемо до розгляду неперервну функц!ю

до(«) = 1- / Q(s,i)<f{, s > 0.

Jo

/о

Можна довести, що виконуеться сп1вв1дно1аення

q0(8) = 0(«'а), a — 00, Va S Л).

* ?

Т с о р е м а 3. Яехай функция D{7) мае у смузг 3Î7 6 (—fi, 1/3) лише простий коргнь у точцг 7 = 0, причому iндекс к0 визначений зггдно »э (7), доргвнюе пулю для деякого (а значить i для дивмъного) ff 6 (—1/1,0). Нехай дле показникгв ¿э (3) мають лисце оц1»ки Vj > 1, j = 0,1,2,3 » викрнака умова регуллрностг (10). Todi:

1. Пт.чппз (1) ма( сдиний розв'яэои у простор1 //„ для до-1ьнвго а с (— шш(<'о, 0).

2. Союэие до (1)-одпориЧке ргвияммя

У(*)- / <Э(в,1)Г(1)Л = 0, в>0

/о

ге едиипй (з точмстю до нормуваним) рсзв'язок У(я) € //ОТ(/?,+ ) я юлою аУ(в) прччому.

8. Для доаглыюг нсперервяо! при.з > 0 функци з оцг-

;ою (8) змайдеюъся единиц рсзв'жзок Х(з) ргвняпнз (1) \з простору При цьому фуикцгг Х(я) иеперереиа при я > О г м<ч асим-;готику (9) з константою

а = (*\ У)/(?о,У). (И)

Результат'! §1 роэдьпу 1 суттсшш 'нпюгг внтаристовуються у «здш 2 при оастосушшш мэтоду суперпоонцп до грашгншх задач гори прулшост) у ншсмуш.

У §2 роздшу 1 введено до рсогяяду та дослужено клас иескш 5Ш1ИХ С!1СТем Л1!1Ш11(!Х алгсбра'пних рШНЛНЬ виду

ОО 00

-г £ = 41,„, Г2Л - '4п г1.п = Ь2,п, 02)

пгг!

= Ы^п'К1 + ; = 1,2; ¿,П= 1,2,...,

г послщоптсть 1 функцп мать того саш п.чпстнвостч, ню 1 р'! отпр.чсшн ядра го (1). ;7.т- "обурено-!" частит! косфщнмгпп Г'СТПГШ (12) СИКСПуГОТЬСЯ ОШПКН '

I Чнп

(ля дослщгссппя систем!! (12), апалопчно §1, : л ч ко р ?; сто: <у ет ыл апа->ат перетворепня Меллта. Ир'т ветз.чоплеинл асимптотики о одного эалишку для о5?.:с;"о:!?г:с роээ'дзкгп сметемп ршнлггь (12), тпгнн

П1ДХ1Д доз воля б при розглид! систем» (12) сюрнсташся теорию chi тем сшгулярннх ¡нтегральннх ршняиь а ядром типу Komi. Внявлсж що псобурена система (12), тобто коли косфщктл = 0, оводип ся до роогляду систем» сшгуллрних ¡птегральинх ршнянь на пряли 3?7 = a G (-Í/!, 0):

Т.М = А( f)M(7) + ^ f 4,0° ^Jí + (VM)(y) = Г (у), {14

т* J & — too ч 7

де исктор-фуикшя

та матршц

W.-f 1 -Ь(7)/2\ иЫ_1( 0 -«М?) \ ~ I -<Ы7)/2 1 J ,¿í(7) ~ 2 i, -Ф2(7) 0 ) 1

а У - регулярний ¡итегральннй оператор. При цьому функци '1^(7 мають тон же самим с^нс, що i при роогляд! ришлння (1) i можн: оважати, що для фуЬкцп D{y) виконана умона (С) (оа рахуыох пи бору оначеиин параметра а 6 (—i>i,0)). Тод! система ршнянь (14) с системою нормального типу io сумарннм шдсхсом, який шгоиачаетьо вираиом (7), так що onepav;,) í шетсровим оператором о шдсксок к0 у иаговому функцюналыюму простор!

Íí2(ff} = L-¡((<? - «оо, и + seo); e**1J ф i2{(<r - too, a + too); е^Щ.

0 цього факту та о встаноияеного в робот! ов'яоку шж обмеженимн рооо'яоками "псу бурено?' снстсмн (12) та резв'яокамн систем» (14) io простору Я2((г) робитьсп виснозох про нормально розв'кзуваиня системп (12) у npocTopi ф/со jipti правгзж части.чах

е /г, j = 1,2; ре {1,со). (15)

Сформулюсмо осношнш результат §2, якнн наноситься до регулярных систем виду (12), тобто шли доцгтг.ово вихоиу<тьса умова

со

1 - £leinl> 0. J- 1.2; к= 1,2,..,.

П = 1

Т «зоре м а 4. Негай сЬл фупкцИ О(у) чикоиан1 умояи тео-ми 3 г система (12) ( регулярною. ТгхП для доагльио'г прпвог ччс-инь системы (12) гз умовою (15) ¿сну« сдиииИ роэа'язок {^.и€ ,, з = 1,2 системы ¡папят, (12). При цьому справедливг асимпто-ики

= + + 0(к-а), к - 00, / = 1,2, '16)

'. а^ - поспппш 13 ствеНиошснням а? = (0)« 1 I (* - (!ов1лъие число Ытервалу (0, гшп^з, ^д,;)-1)).

В §2 наведено застосуванни теоремн до двох конкрстних сн-чем алгебраТчних ршнннь, що пнникають при розгляд! граннчних 1дач теори пружносп у прямокутшау. Кр1м цього, показано, ана->пчно твердженню теоремн 3, що питания про анрюрне шшчачен-¡1 пост1Гпшх а^ и асимптотнчннх формул (16) пи'яоане о розв'язком \1юр|дио| союзпоУ до (12) смстемн ршшшь'з пенного простору посл!-эвпоетей.

В '¡З роздьч* 1 показано, ш.о вщомии п теори систем алгебра'п-!1Х р'шнннь оаком аспмптотичних пнраз1в Б.Л!. Коялоокча, а такс;;; эго рнлп узагальиення, допускас абстрактно формулюпаипм у рамках зори функцюпалышх ри>нянь в машиунорядропаннх /^-просторах, аиедемо писноиох о цього результату, яки Г) износиться до ['ит-'-м иг ро иовед'шку на исскжчснносп обмежених розвУэкш абстрактних ¡тегральиих ршнянь. Пехай (Т,Е,/>) - прослр о псиною (Т-СЕШчен-0К> ШрОК> /с

Г = иГя17», Ъ С 7»+ь 1>(Ъ) < оо, /£(Т) = оо.

' д!йсному .функцюналыюму /\-npoeTopi — ¿«(У, розглп-¡ичьсД ¡нтегральнкк оператор Л:

(Л*)(в) = /.(ММОфф).

I) — V — /I х/г-пн-ариа нец^'сипи функцЬ 1Г& прямому добуть/ ' К Т, причоуу

Л г € «3

Ъд1 и« 1€1сц<2 тага ткердкеинл.

Т а о -р в м а 5. Нетяй рмаякк!» з — Аг г* 0 и« мы ш.лри-■¿алькке роза 'Апав у простор! » длс делкие иевгд'емичя фрнкцШ

г G Lсо, u> G Lea мае ,ш'сг|е ргвигсть г — Az = iü. Пехай зпайдить тик! nocmiüni 1ц > О, Ьг > 0, L'js лиг i'-мнйже ycix (û,í) G (T\Tt)x с v. конус m ься n ер te nicm ь

b\w(e) < A(s,t) < b2w(s)

ma викокагА ¿mog 11

j z(s)dß(s) = со, w(s) > 0 (ii — майже'сщпзь).

То di, икщо фупкща

v G Lea, I ti(s) |< aw(s) (fi — майже скргзь),

то pianttwts x — Ах v мае единый розо'язок х G ¿со, причому эпа дстьгя така nocmtüua а, | а |< а, що

lim fi — sup |ж(8)/г(в) — о| —» 0.

У §4 pot"\Lny 1 дослщ^усться нескшчгшш система лшшннх а re6paÏ4iîiix pina.Hiïb

n = Ü ""

дс постшна > 2. Система (17) вшзикас при розглпд! методом супе ûoni'niï rpaisHMiioï задач! про роорахугюк елсктростатичного по у простор! о двома сферимншн провщннками piíüioro рад1уса. Ci: тема (17) д^я дедаяьпо! обмеженс'1 посл!довиост1 {/¿.}£10 G ¡со "> ед! нии роов'лоок {г*}*!;) G /со- Цен роов'кзок може бути отрнм пин о а методом постдозпого иаблш:<еш;я. Ochobíií ¡::;тат:<:, я о'лиг о досл!Дкеш!ям системи (17), шдносяться до отрммання аналтгш; впрелш для и розв'лзк)в i до досяздженш; асимптотики рози'пчеш ¡ »eci.hi'iutniucii.-

T с о р с и « G. Пехай {xk)fL0 - ебмежепий роза 'язок cucmej (17) з правою хсстнною Д = «í0 (5kj - символ Пронекера). Тс

справедлив а асимптотика

x^-il-ßy^nßr'ßH-1'7 х

СО

х{х/?/2+9?У;(1 -ГгГ"Г(1/2-шпК-"", + 0{Л-!)), к - со, (]

П = 1

дс числа

а = —тг/1п/?, 0 = 1 (1/ - \А2 - 4) € (0,1).

Таким чином, асимптотика роав'язку снстеми (17) ма( скла-днии, осцилюючий характер, що пов'яоано !3 геом^тр1ею облает^ де роогляда«ться ышдиа гранична задача теорп поте;пцала.

Пооначимо черео х^) = {якО)}^о обмежепий розв'язок снстеми (17) з правою частиною Д- = 6^ ■

Теорема 7. Мають мгеце рекурентт формули

тхк(т) = кхк-1(т - 1) + и(т - 1 - к)хь(гп - 1) + +(к + 1)г4+,(т - 1) - (т - 1)аг*(г! - 2),

де т= 1,2,..., к = 0,1,2,... г г*(-1) = х^Ц) = 0.

При отриманш тверджеиня теореми 7 вилвилося кориеннм введения до розгляду фушицй

со

фу (г) = ! г ¡< 1, ) =-0,1,...

1 = 0

з подальшнм дослщженням фуикцюнальних рншянь , яким оадоволь-

ЦЯГОТЬ Ш фуНКЦ11.

В другому роодии дисертацйшо1 робо :н ропгляиут1 питания, ов'яоаш з внкористаннчм р1зш1.\: вар1а!тв методу суперпооицп при иобудов! 1 анализ! розв'яоыв граничннх задач теорп пружносп у (пвсмуз!, и тому числ1 I э крпволшшшш торце»,1.

В основг методу суперпознцп яежить така ¡дея Г.Ламе (1862). Область I/, я яко! розглидасться гранична зада<а для систем:! днфе-гхшщалышх ртнянь а частшшими похщтмн т стаянмн тгоефщкнт."-ля, оображасться як перер!з областей £/;- таким чпком, ш.об у тжшй з областеГЕ V) пула мо:клив!сть побудим оагалыюго розь'яэку деяко! ■рашгшс! задач! (тут .*.• ¡«.-то довшыпеть для ппбору) для вих]'дгго! :пстеми диференщалышх ршшиь. ТЬ;ц розп'ярок анулдно1 гранич-¡01 задач! в V шукосться у впгляд! лшшиоТ комбшацп и,их оагги; лшх юзв'згпв 1 писонапш! грашгпшх умов «годиться в загалык му шшадку ^о спстемп штсгро-злгебра1чннх р^впяиь шдносно нещдомнх фунац!й пос.7)д<?гшостег1. '

Велиьий внесок у роз виток методу суперпсяици та його пра тнчне е-стосуваипя в задачах теорп пружност» кглежить таки вчешш.ях L.K.G.Filon, С.П.Ъшоше|!ко, Б.М.Кояяович, ¡.Г.Бубно Б.Г.Галеркг:г, П.С.Бондаренко, Б.Л.Абрамян, О.В.Велоконь, В.В.Ю пасенхо, В.Т.Г\эшченко, А;Ф.Улггко, В.В.Мелешко та in.

Щоб 6i"bui конкретно продемонструвати суть та можливоо методу суперпозяци , рооглянемо блиэько ов'язану э задачами теор пружкостГ задачу Д1р1хле для Ьднорщного б1гармоничксго ртняння швсмуо! П = {(ж, у) : х > 0, | у |< 1} : .

А*и(х,у) = 0, (x,y)€lI, «(х, ±1) = Uy(x,±l) = р, х > О, (Г

«0,v) - f(y), «1(0, у) = д(у), I у |< 1-

Нехай фунхцп /, g е парии ми та оадовольняють умови

feV^,g£Lp>p >!,/(!)= 0, (2

де Wp — Wp [—1,1] - npocTÎp Соболева, причому

У"1 g{y)dy ~ 0. (2

Шдхреслимо, то умов^ (21) не оменшуг оагальност1 роогляду tow що оавжди може бути виконака ¡з допомогсю о'кремого роов'язку I гармошчного piuimnuK у швсмузь При побудов) розв'язку граничн оадач1 (19) за методом суперпозицн використовуемо розклади в î> Фур'«

СО 00

fin) = /О + ЕЛ 9№ ~ On cos апу, «„ = îr'n.

П — 1 «=1

Опдио Ï3 чагадыюю схемою методу супсрпозици, оображуючн nil мугу П як nepepiu смугл j у ¡< 1 i швялощпии х > 0, розв'язок rj mrnioï садач! (19) шукаемо у вигляд! (промЬкш исретпореиня не i водимо):

г* 1 г v/ л

¿к J о «"Émirs

+ 1Д [ + л J ^ + + S»x) cos «»у. с

функц»я

U(s,y) — (в cosh « + sinh s) cosh sy — st/sinh s sinh ¿{л

и поадих умовах на нев!дом1 фупкцш X(s) та поапдовшсть Л'„ рна по У функция « ia (22) задовольняе бнармошчному ршнянню в i грапичним умовам io (19) для нормально"! пох1дно1 на грзнищ 1смуги. Виконання шших граннчних умов приводить до сшвв1дно- . иня '

• • = Г X&L^Js, п = 1|2..........(23)

Т Jo (s2 + o^)2

штегральиого ршняння в1дносно функци X(s):

1feW. Г у <*X(t) .

W jtA(s) * Jo ^ (s2 + h W, ' > "> W

функци

A(s) — sinh $ cosh $ + s,

4s3mnh23( (-1)4/» ■ ^ (-!)"(*' W - A(s) { + a»)». + + «2)2 j •

Ядро Q(s,t) io (24) можн» оаплсатн у виглядо

Q(s,t) = Q0(a, t) + ~ l) Qa(a, I),

: Qo(s. t) MEC ВИГЛЯД (2) з фупкщямн

, ... 4ггЛ3 J ... 4;rA3 '

' Mt] а (Л» + *2)2' ых) ^ (IV+lf' *A > °

посл!долшстго tn = n, n = 1,2,... . Для функци Z>(7) io (5) в даному чпадку маемо пкраэ

Щу) - Ml)/ со?2 »т/2, РоМ = соз2 ~i/2 - (7 + 1)?.

ри цьому V(f) мероморфпа у всш комплексен площит i у смуо! у € (-2, (т0) для деякого <г0 €(1,2) мае едишш простой rcopiiib 7 = 0.

Внкористання результатов §1 роодьчу 1 раоом io умовою регулярност рюняиня (24):

, 16s3sinh2s a3 2einh3(e) n

1--7-7-T- / У^ / ■> , 7V,f,o , 1S1dt = -ГГГ2 > 0, « > С

дооволяе отримати таке твердження.

Теорема 8= Пехай а £ (-2,-1 — 1 /р), modi для до вгльких f,g з умовами (20), (21) рипяння (24) мае (диний резв 'гго> Л'(л) € На. Леретеореппя Мел.йна М(у) = A/pf](7) цього розв'язщ с аиалтичн ою в CMy3i^iy £ (—4, —1—1 jp) функцию. Для у з Шу > —S мае лн'сце cnieeio,touit.iHS

мм - 2Sii±3hsinIl х

(7)" Му)

х ((у + 1)8Ш7Г7/2£ +

+(7 + 2) cos iry/2 £ ^ + + Mx(y), (25)

де Mi(7) - мероморфна у р.1йплощпт %iy > —2 функцгя я полюсами у кореняг уь функщИ 2?о(?), ^ 0 i оцгиками

Теорема 8 i ствЕЩИошепня

= ^ / M^Ji-^T, i > 0,

i"% Ju-\CX,__

л rvi-ioo t 1 )

.....

Де 0" € (—3, — 1 — 1/p), мають пиршальне «значения для обгрунтув'ання

того шахту, що функция v, io (22) дшено с розь'яаком гранично! оада'п (JÜ)-

Исхай для парннх скупку!» f,g впкоиано умови (20), Тод! мае. мкце така теорема.

T s o p a т< п 0„ Icv.yc càuntiS ксеюкчеино дифсрепцШоааний и у, > О, ¡ у ¡< 1 ¡юзе. 'кзоч epiau-Jt/ût saàavi (10) is шюеами

I «(«, У) |< co~ír, * > 1, I ]/ !< 1, 5 > 0, (2G)

It «(*. V) - /(У) Ним + ¡¡ «с,у) - д(и) ¡¡¿г - 0, в - 0. (27)

ñújcmbcjr fHiirn nncmtüua с > 0, vço

I! «(=. !/) lit- + Ii У) ik< c(|| f Ib-, -Í- H g ||¿,), * > 0,

it; (ó дмт $ додаткаао аикскакх уме о а (31), vio t(cv розе, 'изок даешь-акразом (?.?•), дс фцнщЬ: X(s) s nocAidoenicmb Х„ ькэкачегЫ ?siàno теоремою /? t (ИЗ).

Рспуш-т^т'л, ко;нп:; отршгчио i у

«ядг.пх, тли фунтцп /,« оадовольшпоть умог«'. г;;гдеосп

/ G U-'p, i < p < о :, nr:2(í.

I^.-.I!,.- I П1*! ГО r<.I , <"; y"1;''" 't '.с

К'фг-j г-'i.Vi pe^n'.v.v.ry

с

' и^,!') '>ö,iy|< Í, ••■Лй >0, (-3)

; г-1

: ст- :kzv,-,O:.-Í íx-CVÍU'GÍT'Í, r. - iгч:»ьвичьЙ-

!:■: r; 'c-pc.'iriítч>¡irx' oucp:vro;ñ" Цл): f.*

I ■•■(:?). Ы<Ь :(il) = í'(¿I)sO, (29)

э riT=nc'-!r.-"-v íY.."*!.:t « у" •л.чгя<::: ;t u^i -жщчкк ЗА > 0 (дйгених i -г.-'?.*--:'--;; eaepsropi» С(л) не мае

У ?•■';!:'•,"":11 -у"''' г'1 - а-.'"'Г^ ризиачаються

г v -J

г корсп hî.-л --ч- -'Л .> (Л) •*5üh Л •„ л!: Л ч- А v» ni»j:::.ouH:i;n SA > 0,

fïicrv t:rr. .•:(;/) - íf ( .;,?„•) ■ Блгсиания у-.*сз i? (i;?) típ-i~ 0,{ <j {< l ¡зг-о.-.-тьса до тггзния яро s тд ~r r.ovo челкладу

i 7

по частиш власних функцш жмутка оператор1в С(А). Це питания не с трив1альннм i мае самостшшш iiiTepec у рамках спектрально-! теори несамоспряжених onepaTopin. У §2 роздту 2 встановлено аналтш-иий ов'язок м!ж эображеииями роов'яоку и гранично1 оадач1 (19) оа методом сперпооицп (вираз (22)) i оа методом власних функцш (вираз (28)).

Т с о р о м а 10. Функцгя и гз (22) припускас розклад (28) э коефгцинтами

afc - cosh2 х„ ¿j Ж+Цр ' (31)

де

по~лг0овкгсть Хп визначена зггдно iз (23).

0 теорем» 10 внпливае, що в (26) можна покластн

6 = minSAfc, ¿ = 1,2,....

Роовннутнй у §2 П1ДХ1Д до отримання розкладу (28) на ocuoni викорнстання оображення роэв'яэку и у ниглядi (22), дае можлнвкть доелвдити 36i«nicTb двократного розкладу (30) по частиш власних функций жмутка опера ; opin (29). Ця можлнвкть здшенена у роздш 3. Мфкування is §1, §2, ям вщносяться до гранично! задач1 jtfpixne для б!гармошчного р!вняння, мають загальннй характер i дозволяють отримувати аналопчш результат« при дослщженш граничних задач теорн пружпост1.

У §3, §4 рооглядаються на ocnoni методу суперпозицп дв! ти-noui граничш задач1 статики пружних Tin: задача про деформувашш пружио! швемуги тд дкю силового иавантажеиня на торщ i ом1шана гранична задача для иружно! швемуги э duilhhmii вщ напружень б!чш: ли сторонами i оаданими амщеннями на торць Дасться о'б-

- грунтупаиня застосувания методу суперпозицп. На ociiosi результат роодшу 1 о'ясовано питания про асимптотику на не'скшчен-nocTi розв'язмв штегро-алгсбраУчних систем ршнянь, яю вшшкають. Встановлено, в рамках методу суперпооицп, характер локально!, по-ведшкн поля напружень в сколах кутових точок шосмущ. Встановлено аналтгашй са'лэох мЬх оображеншшп роэв'яэйв розглянутих граничних задач оа методом суперпсззщ!; .та за методом власних фучкцш.

У §5, §6 розглянуто в класнчшй постанови! граиичну оадачу Д!р!хле для однор1дного 6irapMoni4uoro р1вняння в niBcwyai iJ о кри-волпшшим торцем Г:

П = {(*,у) : х > /(у), | у |< 1}, Г = {(г, у):х = /(у), | у |< 1},.

де /(у) - дв!ч1 неперервно диференцшовиа на щдр!зку [—1,1] фупкщя i /(±1) = = Розглядасться гранична задача

й?и(х,у) = 0, (*,у) е П, « G С4(П) ПС1(П),

' ti(x,±l) = u'y(x,±l) = 0, г>0,и|г=/, £tr=i/, (32)

II « 11с>(П)= 8UP (I «(*> У) I + I У) I) < 00 • (*.у)еП

Таким чином, шукана функщя и прнпуска<ться, на в1дмшу в1д уза-гальненг! постановки задач! Д!р1хле, неперервно диференцшовною у оамиканш II облает! П. На фупкци /, д накладаються природш умови

/ € Cl[-1,1], <7 6 С[~ 1,1], /(±1) = /'(±1) = ff(±l) = 0. (33)

Тут викорнстання загальноУ ¡деУ Г.Ламе потре.буе оалучення до ро-згляду 6irapMOHi4iinx потенщалт, яю эосереджеш на кривш Г. При цьому птсмуга П може бути уявлена як ов'язна компонента nepepioy смуги | у |< 1 i зовшшноеи кривоУ Г.

В роздш 2 гранична задача (32) зведена до система штегралг них ршнянь на кривш Г. Доведено, що ця система, як система штег-ральних piBMHb на вщр!зку [—1,1], мае единий розв'язок у банаховому npocTopi неперервних функцш

ß={(ii,«a)6Cbl,l]©C[-Mj: 91 (±1) = q2(± 1) = 0, У"1 (9i(<) +i'(t)q2(t))dt = О}.,

Запропонований у дисертац)йшй poöoTi cnoci6 введения гранично! задач! (32) до системи штегральиих р)вняиь на граничит кривш Г гр^нтусться на перенесешм вщомоУ конструкци Ulepi ana-Лауричели, яка викорисювуеться у задачах Teopi'i пружн ocTi в областях io скшченною границею, на область ia нескшченного границею -niBCMyry, Щоб позбутися необхвдюст! виконания граничних умов

10 (32) иа боковнх сторонах пшсмуш та на нгскшчешюстц внкорн тозуеться фунхцЫ 1\ш:а для б1гармо;ичного ршяяния у смуш | у |< (в однэр^дшши умовамн Д!р1хле на сторонах | у ¡= 1).

Цехам С(у, Л), — 1 < у, I < 1 - фуикцш Ц>ша описанного д ферешиального оператора £(А) (див. (29)), яка при фксованих у с парною мсроыорфиою по Л € С фукхщею с простшш полюсами точках ¿А*. Но фуихцп Грша С{у,1\А) Бведе?.го до роогляду при у фуихцп

Я2(уЛ; А) = -2 + Л2) С(у, <; А), Я3(у,<;А) = 2~ - ЛА:) С(у,<; А), ! нтсай функцП

1

= - / //г(у,<; А)А"1 81ПА(Е - /(1))<*А-

т Уо

'О

1 Л Л

-гЯ^у.ЛО) + / /72(»,«;А)совА(* - /(¿»¿А,

Г01

У, О = ~ / Яз(у,<;А)А"! втА(х - *(<)){*А -

¿о < • ■

/Ш*;<>) = - у2)/2 - -«), з = 1,з.

'г1 о о р о м а Ца Для доемъяил /,« з /шоан.'ш (33) ¡са: роза'язох и сраничиоГ зн0ач% (32). Дей роза'моох мае сигм

¡•ЩъуНЫОХ-У ¡' О'Л, -->%),Ы<

(9с <; {»¿ьЯ»} € В оОпоахичяо огшач&гяьса ¿3

¡^пагрйЛ'.'У.т Зябнете? »пик« посмШ

с > 0, гцо дла роза'.1зкгл граничпо'{ задач! (32) леи м/'сце оценка | v«(x,y) ! + I и(х,..) |< с(II / Ile. + Il g Ile) е-", (х,у) 6 П, (34)

дс 6 — minOA*, к — 1,2,... .

Шдкреслимо, що ецшка (34) с узагальиешшм принципу максимуму Мфаида-Агмоиа на нескшчеину область - птсмугу. О не)' маем о еншку для норм

II « 11с'(П)< «(II/ 11с + il 5 Ile).

Тиерджения теорема 11с ноаим i у випадку лрямолишшого торця, тобто коли !(у) — 0.

При оиксрнстанш методу супсрпозипн у дина.м!чнпх оадачах чмннкають трудлоий, iixi пои'яэаш о необ;лдшстю урахування умов вппромшювання на нескшченност!. У §7 роодшу 2 роботн роягля-нута аадачз про пбудженип поэдовжних хпнль у иашпекшчешюму пружному inapi Л" >0, j Y |< d при д¡V ла тсрц5 гармошчиого по часу наианташення. Нохаэаио, що внксристаннл принципу граничного поглниаиня да* мо;клив;сть провести корсктпу олгебракгащад фунхцюнальних ршнлнь методу супсрпоэнци. TVt система ¡итегро-алгебра'гших pinii ini, мае ¡.чтеграли типу Ko<ui а особливостями у дшеиих хсрених дисперснпюго ршняння Релея-Демба для шару. Приведено роорахунхош формул« та показана ефехтнвшеть оанропонова-ного алгоритму роорахунку помп напру:«еиь. Отримзно иереропклад рооп'яэху граиячноТ задач! по методу суперпооици у ряд оао нор-малышмп хвиллмн Реле.ч-Лемба. ¡итсре'с до роогляяуто) у §7 ¡задач-! обумсилешш необх!дтст;о подальше! рооробки глетод!п чпееяьяого рс.чп'лэху складних грашгших издач динамки пружпь". т!л.

Трсмм роод5и дисертац» присвачеио питаниям реэхладу оа яласипмя фуахцшми а задачах тсорп пру:*ио'сп та для опичаГших фуп::1<.!'0иллы!.>дифереиц1!глы|ил o:sepaTopio на ехмпюшому шдрюку. Л'етод власшгх фупггцш (метод одпор1дннх роа»'!ЮК!п) у оастосупаи-îii до окдам тсоон «pyiiciiocTÎ бере стй печатох тд хлаепчинх po6ir П.Д.Шнф?>а ( 1233), В.Л.Сгсклояа (1302). У исдалкшому si:i вмкорис-юпулаосл чебота:: тах:;х глдомнх эчсипх as J.Dougail, L.î4.G.I7Hon, АЛ.Лур'е, Н.«1».Памхоз1п, В.Х.Лрояокоп, М.Воровлч, Ю.А.Устшоз, та пни». У усэдт 3, на оспош ъстс:геп;те;;ого у рседш 2 ов'лпху мЬч од;!***! суьеьчеоицм та сяасиих фулхцш, отрнмаго no»i суттан ре-пул:,тат'Л, ях! г.ои'лаат о питаниями обЬчносп ряд!в оа од!!ор|;шнми

розв'язками на граничних поперхнях. У внпадках розб1жносп рядш (в1дпов1Д1п приклади наведено у днсертацшнш робота) рооглянуто питания IX регуляризацп. Отримано оцшки для коеф1щагпв та оцшки швндкост! зб1жност1 ряд!в у pioniix функцюналышх просторах.

У §1> §2 роздшу 3 докладно вивчаеться питания про двократ-ний роаклад (30) по частпш власних функцш жмутка диференциль-них onepaTopiB С(\). Як вже в1дм1чалося, задача про рооклад (30] ов'язана ¡з використанням методу власних функцш до гранично1 задач! Д1р1хле для 6irapMoni4Horo р1вшшня у швсмузь Дя задача про ро оклад була поставлена П.Ф.Папковичем (1941), a noTiM Ы.Воровичел (1964) як одна о математичних проблем теори пластин , а и розв'я зок було отримано (у piotuix функцюнальних просторгус i р1зними ме тодами) у роботах E.D.Gregory (1980), А.А.Шкал1Кова (1983), О.М.Го MuiKai В.В.Мелешка (1987). У .§1 отримано нов1 результати про зб!ж nicTb розкладу (30) о урахуванням оцшок швидкогп эб1жность Дл формулювання результате в^дносно розкладу (30) введемо деяк! ознг чення. Нехай функшя v(y) € ¿Р[-1,1],' 1 < р < оо, тод1, якщо вважат v(y) — 0, Vy : | у |> 1, означимо п штегральннй модуль неперервнос:

Шр(6, v) = { sup /1 I v(y + />) - v(y) Г dy}lJp, 6 > 0, \h)<u-i

тод! uip(6,'v) —► 0, 6 -* 0. Нехай napni фуикца f,g оадовольняю: умовам

/ € wp+l, 9 е to?, 1 < р < op,

■ де п = 2, або п = 3 i

/(1) = /'(1) = i?(l) = = о

Tojji мае Micae така теорема.

Теорема 12. Пара фуикцШ f,g допускае розклад (S лкий эбггастъся у простор С"-1^1. 1)фС"~2[-1,1]. При цьому < еектор-фупкцгй

Vm(y) =

( 1(У) ~ £ 0k2fc(y) |Х»|<*("»-И/4)

s(v)~ Е ak*hzk(y)

tXk|<»(m+l/4)

де а/с - коефгцкнти игдпоогдного розкладу, маютъ м!сце оцгпки

(IV мм < + ^т_, 9

||,у;виг.-,<с-т»-1-|(1пт + 1)»/'-' т=1-2.....

■)с 1 < г < оо, »' ! = 1 у випадку л = 2 та / = 1,2 холи п — ?>. У випадку к — 3 у.^зклад (33) абсолютно збггаетъся у простора 1,1) Ф С[— 1,1] » для кoeфiцunv^iв розкладу мае мгсце оцгнка

I 1< с(|| / Им,. + || 9 +

Вщзначпмо, що коли а умовах теоремн 12 функция д(у) оадо-ольня£ також умов'| (21), то коефщкнтн розкладу а* вионачаються 5 вираэу (31). Якщо умова (21) не виконусться, то для визначення оефщштв аь оамкть пари фуикцп! /,д стд ввести до розгляду пару ункцш

\ш) V э{у) )

1 = "^Г1/^)^ (/^(УМУ) 'У г1(^ = 4Д-18тЬ2А1.

У 52 встановлено такий результат вщносно можливо! рооб»ж-)СТ1 розкладу (30).

Теорема 13. НехаИ пара функций /,д мае вигляд

Уо е (1 - 1/р, 1), 1 < р < оо I /3 е (2 - 1 /р, 1 +у0). Тодг энайдутъсж 1К! коефщипти а<с, и/о ряд з (30) е збхжнпм до пари /, в у сенп

<еля:

II Цг, со, * со,

таи що цей ряд с розб»жиим у эвичайиому сенсг о простор! фЬр.

Шдкрсслпмо, що фуикшя д{у) о (35) налехнть простору II'1, к при 0 —• 2 функцк д й IV,! для домльиого, наперед оаданого г < оо.

Ьшп результат!! про розб'жшеть рядн> оа олр-синми функц^ ямп, як! »в'яоаш з роов'язаиням б1гармошчногэ р!йп¡ии'.н у шпсмуси при ркншх граничнкх умовях, були отрпмзш у роботах И.О.Сгсцогу (1980), П.О.ЛозсГ, Ь.В.ЗЬищсэ, \V.II.Warner (1Р82), О.А£репге (1933) (наоснов» »нкорнстання сшввщношекь бюртсгоиалыюст! К.Ф.ЕТсшко-и.нча).

У Р, §4 роэдму 3 и рамках методу плаенкх фуигцш розг,ткнуто дш оадач! статично! теор» кружпост! "л;; »¡?г.смуги, ^¡.¡алге: якнх на оснок! г гзтоду с.упсрпое.:;ц» бу,\о проп.-;,,сно у $3, §4 розд|лу ?.. Досд|д-'Ке1!0 годпомдш рсякладн оа влгмшими футгцЬмп из терт,! тво/уги, особлкву уп!»гу прид1п:лю ши'&п.кам р~»<м:'.'ивсп р::г,:в рг,г. ¡гапруз-сени. В щп: сипадкох овпропокоркко алгорктил регулярному!. ц;о доэ!:ол:-:пть упт-. розрахуишм формул« г, ргл'!.-г,х мечо^у пдьспнх фуппуй, неэвмздзчи а а рсобЬкшсть ицг,*«ог© ь;;,;;""'!-;; ц^ого петому. При отриг.«ит| цпх рсаудьтатт очьчсаил кают1> ьсиших»-

хичн: С'Ор«У'ЧИ шсф1ц1гктш рс-Э!:.':вг"у а, /• со. Ц^ь.-демо одни и стр!1к;ан;г>; результат;^. Ирц розгачд» г.шмвдеч грс ¡шчио! оидач! для пруаскс! шссмугк з шдьиимг: ид пе.кружи?.. б1чк:гкп стороиаш: 1 оадашыи викцеингкн иг* торш

пЛ°>у) ~ /(¿О с К'®, «,(<>, у) ),

де нерка фу ккцЬ: / I неаг-рии фуш;к!г ¡> паЬумють д»\«и аиапеши:, от-римапо, к«о рг^т «а одноруким» рочи'каздив дяе зк'ицош. Езб1гг'.эться кз тсрц1 х — 0 п опито»

-ГГ^ТТ—^-£-

|А2!<г(|Т,+1/4)

дс яг 1,2,... ! X/' - ь.ц*п05.-1ГЛ'£ с орет А(А) е. «гсергь гглзщша: 8?А > 0, > 0. Дозедс-ко, щэ длй иосГащсгк» роакладу йз«« ¡-лсдс гл.мато

а? = а(^)~асо:1Г~4' Ч-0(^2(1а Й - оо, (£..

де а - постшна i а = a(f) G (1/2, 1) {и € (0,1/2) - коефщкнт Пуасона материалу пружноУ швсмуги) - единиц Kopiiib фушуци

V0(y) = (3 — Av) cos2 1Г7/2 — (1 -'2i>)2+72

у c.Myoi 3i7 6 [0,1]. На ociioBi (3G) доводиться, що (при а ф 0 ) в1д-повщш ряди для иапружень на торш х ~ 0 внявляються рооб1жними при | у |е [2а - 1,1). Paiiini цеп факт (бео доведения) шдм^чався R.D.Gregory, I.Gladwel! (1982). Встановлена асимптотика (36) дае можлнвкть привести poopaxyiiKoni формул» для напружень на торщ швсмуги. Так, наприклад, для осупного напруження шдповшшш пи-раз мае внгляд

_ 6pin7ra/2 (5 sinh s cosh 5) sinh sy — sy cosh s cosh sy

лтта/2 Г

* Jo

sQ(sinh s cosh s + s)

f

Jo

-ds +

6(2 + a — 2 v) (5 sin s + cos s) sin sy + sy cos s cos sy +--- / ---(ls +

OO

я* Jo sa(sinscoss 4- s)

*

k = 1

je

< =5(A+)-ecosh-3AÎ+e+4> постшна Ь певним чином зв'язана о постпшою à io (36).

ТЬердження про асимптотику коефщ1ент1в роокладу оаоднор1д- ' шмн розп'язками, яшпце рооб1жност1 ряд1в на Topni, cnoci6 регуля-HDauiï рядн), що розб1гаються, отримано також при ро:згляд1 ста-ичноУ задач! в напруженнях для швсмуги з оаданими негладкими авантаженнями на Topui.

У §5 роодшу 3 рооглянуто питания про'достатш умовн спра-едливоеп гшотези Релея при побудов! роов'яоку граиичноУ оадач! S2) -оа методом влаеннх функцш. Розв'яоок и оадач1 (32) допуска« рн х > L — шах/(у), | у |< 1 рооклад (28) i вшшкас питания про «они иа функци 1 i /,<7, при яких мае мкце ;зб)и;шсть цього роо-!аду аж до самоУ граничноУ криво» Г. Таким чипом, мота нде про фгшедлмглсть дзократиого роэхяаду иа ni;ipioxy [—1.1] :

\ "(у)о(и) /

\ ~ У ( ) r'b-Hï) 01. s о г>,71

/(У)

и) ! ~

* = 1

дефункщяп(г/) = (1 + /'г(у))1/2. ..

, При досл1дженш роокладу (37) в робой використовано эагаль-иий шдхщ, який запропоновував Я.Г.МШа! (1969, 1971) в аналопчних 'задачах акустики. Цей пiдxiд грунтуеться на внвченш властивостей анал1тичн6го продовження розв'яэку граничного штегрального р1в-няння, до якого попереднко оводиться вих1дна гранична задача ма-тематично! физики. При цьому, коефщкнти вщповвдного розкладу варажаються у вигляд! штеграл1в вщ розв'язку граничного ¡нтеграль-ного р!вняння 1 можливкть його анал1тичкого продовження дозполяс отримати оцшки для коефщ1штш розкладу, як1 с достатшмн для об1ж-иост! ряду Фур'е аж до граничноУ криво'ь При реалпзацн такого пщходу стосоаио до розкладу (37) в дисертащннш робот! суттево використовано результат» §5, §6 роздшу 2, що ыдносяться до питания оведеиня гранично! задач! (32) до снстемн штегралышх р1вцякь на вщрюку [-1,1].

Пехай фуикщя I е анал1ТИЧною в деяшму окол! V С С в;др1зку [—1,1] I /(±1) = / (±1) = О, означимо функца

= '(р)*»/'-

Припустимо, що симетрична глдиосно дшсмоУ оа одноов'язна область V о 0 С V \ (—1,1) С и мае властивостч: граница 811 с простою кривою Жордана, яка перетинаеться о в1др1зком [—1,1] у точках // = ±1 !

для деяких с > 0 1 с > 0. Нехай

Ф х+(0, V« ^ /хе «е[-1,1]

Плшлтдшгицписа--_----

I Эх+М |< 1, у^ е и, /I ф ±1.

В цих умовах справедлива тага теорема. Теорема 14. Яеггай

V/.£1/, 1{у) >0,| И<1

г справедлива оцтка

Ш\+(и) < 0, У/г ё ди, < 0.

Тодг для довгльноf пари функцШ f,g, що анамтичт yU i /(±1) = /'(±1) = у(±1) = 0, мае мгсцс двократний розклад(37), що-збггаетъ-ся у просторi С"[-г/0,Уо] Ф Сп(-уо,уо] для довыъних у0 е (0,1) та "=1,2.....

Розглянуто питания про справедливость гшотези Релея в за-лежност! в|д величинн параметра 6 > 0, який оадае в!дхнлення хривоУ Г = Г< в1д прямолшншого торця х = 0, | у |< 1. Нехай функщя Ку) — Д« h - аналтпна в деякому охол! '/ вщркжу [—1,1] фун-

кщя i /i(±l) = l[(±l) = 0, ¡i(y) > 0,1 у |< 1, а 6, > 0 - параметр.

j

Т е о р- е м а 15. Знафдеться так'е 6о > 0, що для ycix зна~чень 6 € (0,$о) дл* довгльног парк фумкцхй f,g, що аналгтичт у V i /(±1) = /'(±1) = ff(±l) = 0, мае мсце даохратний розклад (37) з l(y) = 6¡i{у) (у cenci збгжмастпх хз твердження теоремп Ц).

Рооглянуто приклад на оастосування теоремн 14.. А саме, нехай функщя

/(у) =: 0(1+ «*»»), |у|<1 . (33)

0 параметром 6 > 0. Тод1 використовуючи результат», ях! отримав R.F.Millar, мохсна довести, що функщя / аадоводькяе умовам теоремн 14 при 6 € (0, ¿о), Де я^о = 2f(i/2 — I)-1, ai/ - едикнй ксршь ршшшя

lni/ = (i/ + l)(í/-l)-1, i>> 1, (39)

1 жбо ~ 0,448. Область U — Us io теоремн 14 описусться нер1вностями

¿(1 + COsh 1ГТ COS TTó) <| г |, ft — s + ir, I s |< 1.

■ ¡j

ТЪким чином, аналопчно шдпоглд'шм результатам для р1внянь Лапласа i Гельмгольца о граннчними умовзми Д!р1хле або пер'юдпч.мим!! граггачнимн умовамн иа сторонах у = ±1 (R.F.Millar, Н.А.Чсбанова та шип) отрнмано, що при апалтгшпх у U — U¡ фуккцгях. /, </ в умовами (33) для розп'нзку ч грашгаю! оада'п (32) нас мкц<; розклад (28) для Ecix X > Цу), \ у |< 1, яюцо 6 G (0, ¿a), ttSq & 0,448.

У §3 розглянуто питания про пеобгндш умоли справедливое;-! гшотезп Реле.?: для задач! про шдбиття гармотчно! повздоз:хь'ьо1 XBsuii Релея-Лемба вщ криволпшшого торця натпскппешюго ¡трудного шару X > Hl(Y/d)r ¡ Y |< d, д': I - парно лнолггичиа фун-хц1я окспоненшалмюго типу я í(±l) ~ 0. Beaain пастосувань задач про роэпюяашгя хпиль phuo'i природн на полерхнлх-нек.'шошчно!

ф рми оумовлкх неперервнин.штерес до таких аадам. Як вже В1Д-\ичалося, прлпущення про те, що вщпов!Д1и ряди за власними фун-кщями оображують роэв'язок В1шдн01 гранично! задач1 аж до крн-волшишо! дЬтакки граинщ, прийнято в задачах математичноТ ф!-"оики називати ппотеоою Релея. Значнии внесок в теоретнчие до-апдження про оастосування rinoTeoií Релея до pianiix задач акустчкп i елёктродниамш! внесли там вч'еш як R.F.Millar, R.Petit, M.Cadilhac, В.П.Апельцин, Р.Г.Баранцев, О.Г.Кюркчан та iiiuii.

При певних умовах на функц1ю / у §6 отримано результат про те, що онандеться такс ¿о >0, що для аначень II¡d > <5о гшотеза Релея в роогляиутш задач1 теори пружност1 не ( 'справедливою. Застосу-вання дього абстрактного результату до конкретного прикладу фун-кци (38) (о 6 = H/d) приводить до оначення iróo & 0,448, яке виз-начасться а р1вняння (39)! Це твердження ирннципового характеру с аналопчшш в!домому твердженню (R.Petit, M.Cadilhac - i960) про ие-o6xi;uii умови справедливо«-! гтотеон Релея у задач! про роосиовашш еж:ктромагniт11oï хви;н на сннусоУднш- поверхш.

А.Г.Костючеико i М.Б.Оразов (1981) показали, що задача про нормалыи колив'ания пруллюго нашвскшченного пилшдра з оакршле-ною границею у шшадку розднгенни омпшик оводнться до досл!дженнп спектральних властивостен самосиряжшого квадратичного жмутка операторш

А/(А,ы2) ~ А2 Л -f ХВ + 1 -и7Н (40)

у пльбертовому npocTopi трьохвим1рних иектор-фуькцш ¿2(^)1 Де Q С К2 - обмежена область, яка с иоперечним'перерезом цилшдра. В (40) A G С - спектральний параметр, a w > 0 - частота коливаиь цилшдра. Пехай Ar(w) - мльккть дшсинх иласних аиачень жмутка Aí(A,w2), тод1

N(ui) > и: > 0

(А.Г.Костючеико, М.Б.Ораэоп). У §7 роздшу 3 отримано точну по -порядку и ошпь-у onspxy----_-----

N(u) < aiw2 -\-b, w > 0,

де ai, b > 0 -дея'л IIOCTÍÜHÍ.

Яг: в'щомо, багато питаиь теори граничнлх оадач математич-Hoï фЬихп приьодчть до аадач1 внзиичешш ьласнкх опачеиь i иласинх функцш дцфсреищалышх та бьчьш иагги;;>аих функцюнально-

а

диферешиалышх опер,Tropin i до пнтань розкладу дошльиоУ ФункцУ » ряд на иласпнм!! .функд!пм!! таких оиерато'рт. У §(5 ¡¡оздЬчу 'J роогля-нуто снсктрплып питания для фуккцтмалы^дкферек^альинхспера-' ToptB 11а сличенному шдр!зку о штегралмшмн крайовншЕ! уносами. Для таких опгратсрт шзпчсно oa;r,ic:n пластксост! Ух сласшх фун-кц!н у просторах Lp, 1 < р < со, асимптотика спектру, побудо-нано резольвенту. Рашш ?»одioni нитплш н р;о;-.чх взшадках, алс в основному для простору ¿о, роэглядалнсь л роботах тахия зче.чнх як В.П.Михаилов, Г.М.Кесельмаи^М.А.ЭДанмарк, Б.ОЛль'щ та пего учш, А.Л.Шкгинков, H.E.Bsnsinger, N.Dunfonl, М.Кга!!, та hniii.

Роогпднемо снектральну задачу

у(")(х; + (FV)(x) = ,\у(х) х € [0,!], Д €С,«> 2, U,(у) = щу'^'К 0) + *,г/*'->( 1) + еЧ-''Л'ш(0) + кг/})(П) + , ,п

+ }^(x)daj(x) = 0, /=!,...,»,

о

дс ni.'ii пегнд'смт чнела < и i ф*'',лП;.У обмгже.чоУ rnpirj'ii 1*1(2') •;pi;epcpi!!ii в точках г ~ 0, х -- I. Л;:;!/'!;:;;:': оператор F i;cncpej>-вно дif in простору Гельдера CP[Q, 1] у ujtocTip ¿j[0,1] i у < n — !. Нрнпускашо, що кранош умопп Ui{y) = 0, / = ],...,!! e регуляркнг.ш. Вирагз у'пЦх) + (Ftj){z) та ук=оп": Ui('j) = 0, I ~ !,...,» !:::зЕ!?лгить у npocropi !j\ л'пгйшш оператор С. Встаиовлг'ю кнукагни макоУ днУсноУ нос;идсвиост1

P.N = 2-N + 0(1), iV - со, ;:лл яко1 вмоначеш скшчеппсвмгпрт проектор:? Pica

= j (C-xiy'dx.

|A|=njr

Теорема 'О. Зяайдуться maxi nocmitini cP, 1 < p < со, «jo длл Joebibtwf фупкцп g б Lp '■

il <7 - PN'J ||/.f < cr{iV—(InN) I! ¡71\tr + u>P{N-\3)+ -f (nii,t'or&i)ь>г(iV~1 ^,y)}, N - 1,2,...,

(le число п| = i»iíh(»i — у— 1, l) • tunir,'¡)ii.4,iiий модули uettepep-

ehocmi фучкц!! i¡ £ Lf¡ яка «:.и*чк шьем ¡ыьиоы кул к» inua ои//>иком

[O, lj.

Ооначнмо мроскторн

/V = l'x - /'x-t, X = 1,2..... п = 0.

To;ú о теорем» 16 нннлинас, що ck¡ii4i*HiioiiiiMÍpii¡ шдпросторн

/\Lr, X = 1/2.....

що не належать i¡i;i р i < лшжнимн оболоик.чми илаеннх та ирнеднанкх функцш оада'м (41) и кл&еннмн нначгннимк At

KJv-> <1 -Ч !< я*. «о = о.

утьорюыть базис u шдиросторш простру /.,,, V¡> £ (1,сс).

У §8 доведено Тс''.ша, то у шшадьу и - *> > .'!/2 шдпросторн Psl'i утнорюкль базис u uimipocropiii, я кий екнииал'чггшш ортогональному. У иннадку, коли Г- днферешйялмшй оператор порядку и—2, такс твердження paitiui бу;к> встанонлено Л.Л.Шкал1коннм (1982).

ЧйТЦПрТИЙ ¡КХ»Д!Л ДIСt-1>Т'Ч11 iiíМoV роботи нрнспячено ÍIITC-гралыюму неретиореншо Комтороиич.агЛебсдг»«. Це иеретоорення було введено МЛ.Контороннчем ¡ М ,N¡ .Деб<дм:нк; у !93й р. к оп'яоку ¡3 роэглядом задач! про днфрпыйю плоско! елсктромагштио) хвил! на натьскшчеший t¡ii;iit!ii i в ¡юдальшому »намшло широке иастосу-ианкя до piotuix грашгших оадлч мятоматичиоУ фгаикн (М.М.Лебедев, Г.А.Гршберг, Я.С.Уфлинд, А.Ф.Улпьо, Л.Веп-МспаЬст ra ¡hu:i). Однае, сфектнине иикорист&шм перст'ьорсшм Контороуичй-Лебсдсна в грашеишх задачах ct&tiikii i диилшкн пружних t¡;i потребу« подал ь-шого розшвть'у математкчкоТ теори цього иерстворемкя. 1^удноио '■•]». iiB»i]¡iiuií"t'i. Г...лч»ч'.;ш ГЛЛГГ11ПЛГГ»Г' '•, • Ко»гороппчл-

ЛеОсдсьа оумоалсм! tskom; tííso обст&шшою, що це псрст&оренкя waisc р розкладом оа уо&гсльненимн вл&снимн фушци:ми ович&йиого ciü-yjupitoro дифсреншальиого оператора f(1:

М(Р) = + )?(/>). Р > 0,

у ироЬторз ¿з(ILj.;/>"'), г,® ('■ i' О ¡a V:¡¡ > 0 - параметр псретворсикя. У епшвдку ~ 0 для оператора l¡, аадасться тегах* умова

ИЛ 1:ССЕ1£И1С!ШОСГ» f'(p) + ¡¡¿{f') = о(/>~1/2), р — СО.

S0

)к I р.ии.мо игре пкфстт Контпромнча-Лсбг д<на К,, 'га Гюго

ОбСрМ(ЧМ1)1 А'"' МПМТЬ ШМ'ЛИД

К „И = / Х<т()'Р)'А(>)<!(\ г С 31, '2 Г

Л',71/ = "Т" I гчЫ' тг"Л'.г(///1)/(г)(/г, > о,

де /\',г(:) - цн/нндрнчна функцш Мпкдонлльдп. Клпсичнп теорема Конторонича-Лебед* на гтнгрдэку*, то ккщо число // =| /I } с'" ф О 0 I 1< I / - парна лнплтппа н смуш | Ог |< Л, 6 > 0,-функцЫ, 1ДО ЗЛДОПОЛЫИК умоиу

/сад

! /(я + »<т)(.« + ш) I г<*/2+1"1>1'1,ь < с(<7,) < со.Угт, € (0,5). (42)

то то/0 Для / при г | Ог |< $ м;и ¿мсце штегральие иобргтеиня

/(г) = (Л-яА-;1/)(г). т

У §2 ро:)д'ыу 1 длпься пошмрсннп мображсиня (13) при дкпсх г на суттмю бымн шнрпшй к л а с функшй, (пж у Конторояичл-

Лебгдгпа. Для формулюиання ждпошдпого тнерджсння йнедемо деях! означения. По дшспому числу п £ [—гг/2, гг/2) осшячишо фуи*гц|?л

<ра(*) = —¡¡7 еов1|()г/2+ | « |)1, <•€ Е. Для дотльно! функпн ь((), I £ 11 нсхгиа и друга рЬмкця Д\и(/) = и(< + Л) - 2и(0 + н(! - Л), А > 0.

Зпедсмо до розгляду бамахпз фуихцюналышм простёр {¡¡вельского з !аго.'о (Ат,(<) - простер //[ „ = Я,г п(Н;у?<((0), т*я !До норма у мл?

ЯП-ляд

¡1 « II//;. =11 'Рои ¡и, + тр ) Л г"II |*|>0

е число г = к + (1\к> 0 - ии^, а 0 € (0,1].

Т. «о р п м а 17. Нггл й час.'п р ¡1 | с%п ф 0, | а |< гг/2 парна ¿[¡уикц) / € г > 1. То 1)1 -i.it! / .><?.< лпг^е :нтггрчльнг

эображеипя (43) t¡pu ecù ôiucnux г ф 0. Лкщо покпэиик г > 2, то зображепня (JS) мае .atcue d.is ectr г € К.

Методами Teopiï йналЬ'нчних фулыпй доводиться, що, якаю йнагитЕГша у cr.iyoi, | Or |< ê функция / оадооольмяе (42), то тод1 / € Щ а> > ДОДаток до теорема 17 и робот! приведено

тверджеиня про cnociG регуляризаци штсгралыюго оображеипя (43) у в'шадку функци / G Li,a, тобто, коли на / гпдсутн! будь-ям умови гладкосп.

Результат» про "пряме" штегральие эображення

я(р) = (К;1К*9 ШрЪо _ (44)

Gyjis; рашш отрнг.ан' лише у вппадку j!,iясного /< > 0 (М.М.Лебедев, С.В.Якубоиич i Ву Kim Туан, A.lI.Zemanian, R.S.Pathak and J.H.Pan-dey). В пастуший теорем! io §3 роадму 4 даютьел умов» на функщю д(р), при Еиксиаши якнх мае кисцс ообралсення (44) у шшадку Щ-i > 0.

Т е о р е к a Î8. Нсхм', ul>c,w ц =| ц | е'а ^ 0, (о (< яг/2 t финкц1£ д(р) «на/лгпична у ccxmopi

Sa = {р£С: arffp €.(—2а, 0)} i uenepspena в його замцканм, и ричому ai put oifim:u

/ ¿=0,1,2,3,

JBS„

To{!i для g(p) при p > 0 Mai лисце мтегральне зображення (44)-

Piji Al"" 'иг?'", ч1" (i11) /т.-"- ч ¡нтеграл Фур'е оауоагальие-

HHHîi кл&еккми. фуккцшмд сшгуяярного днферстиалыюго оператора 1р. В у&говах теорема 18 у §3 також отримано твердження, я ас оз'я-оуе пошк собою штегральш перетвореиия Конторовича-Лсбедепа i ФУР'с- Доведено такой:, що уиюва ашиитичносп д{р) при f 0 и тсореми 18 и п«злому cetici < иеобх^дкою для сираведливог-Т! аобра-кеинл (44).

У §4 роод1лу 4 роогшшуто питания про сумошг.сть ообразхсииг (44) при (t > 0 у ceiîci середкЬг Абеля. Наведено один а отрпманих

результатов (достатньо розглянутн випадок /i = 1). Нехай для д € £i(R+) i е S (0, ?г) функцН

gc(r) = -I- Г(К19)(т)твЬЦ7г - t)rK,T(r)dr.

К Г Jo

Теорема 19. Пехай функция д 6 Li(R+)P)Lp(il+) э деяким р е (1,*оо). Todi

lim || g{r) - g((r) |U,[a,j]= 0 для довыьних 0 < а < b < oo i

lim3e(r0) = g(r„) . f—»o

Эля довиьноt точки го > 0, яка належишь до множини Лебега фун-<»<» g(r).

OcnoBiii реоультатл днсертацшиоУ роботц можна сформулюва-ги таким чином:

1. Розроблено методику доапдження ¡снування та асимпто-гичних властивостей розв'язмв штегро-алгебраУчних систем р!виянь •етоду супернооицн.

'2. Здшснено математнчие обгрунтування вякористання методу уперпозици при досидженш плоских задач теорн пружность

3.Остановлено iioni результат!! про розклад за власними фун-1ПЯМИ в задачах теори пружносп а заоначенням оцшок i аснмпто-ик коефщютв розклад^в та оц'пюк швидкост! зб1жност! в1дп0в1дних яд1в за власними функциями в piumix фуикцюналышх просторах. У ипадках розб1жност1 ряд1в за власними функщями зазначено спо-' оби Ух регуляризацп о доведениям до розрахунковнх схем.

4. Встановлено важливий в теоретичному та прикладному она-еннях ов'язох м1ж методами суперпозицп та власних функцш.

5. Розроблено ефективш алгоритми для роорахунмв гранич-их задач Teopi'i пружност!, flxi грунтуються на ов'язку мж мето-амн суперпозицп та власних фушсци! i асимптотичних властивостях озв'язшв штегро-алгебршчних систем р!внянь методу суперпозицп.

6. Проведено анализ використапня ппотезп Релея до задач те-pi'i пружиост!, виявлено, що мають Miene результат!!,'як1 аналогi'tiii

шдиовдашм твердженням про rinoTcoy Релея в задачах акустики i електродинамки.

7. Дано сведения оадач1 Д1р1хле и класичши постанови] для однорукого 6irapMoni4iioro р1вняшш у гнвсмуо! з крнволшшшш тор-цем до системи штегральних р!внянь на в!др1зку. Встановлено, щэ ця гранична задача ( однозначно розв'яэуваною.

8. Отримано HOBi результат« про базист властивост! власних фуикцш овичайних функцтнадьно-диференц^алышх операторов о ш-тегр&лышми крайовимн умовами на сличенному В1др1зку, отримано оцшки швндкосп об(жност1 спектрального розкладу в терминах ¡нте-грального'. модуля неперервност! функца, щб р6эклада«ться.

9. Рооширено рамки використаигш штегрального перетворення Конторовкча-Лебедева щодо граничних задач математичноУ физики.

Автор висловлюе щиру подяку член-кореспонденту АН Укpains' В.Т.Гршченку, доктору ф1оико-математичних наук В.В.Мелешку, нрофесору Г.В.Радз1евському за постановку ряду задач та пл!дне нау-кове сшвробшшцтво.

Осиовш результат!! днеертаци опублшовано в таких роботах:

. 1, Гомнлко A.M. О спектре, примыкающем к вещественной оси в одной задаче теории упругости // Функц. анализ и его прилож.-1982,- 16, вып. 1.- С- 70-71.

2. Гомнлко A.M. Оценка сверху числа собственных значений пучка операторов, зависящего от параметра //Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-тех. и матем. наук.- 1982 - 4.- С. 19-23.

. 3. Гомнлко A.M., Мелешко В.В. Гармонические волны to полубесконечном упругом слое // Докл. АН УССР, сер. А.- 1385.- N 2,-С.'28-32.

—- 4 A.M. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в об-

ласти типа пояуполосы // Успехи матем. наук.- 1986.- 4и, выи. &.- С. 225-226'.

5. Гомнлко A.M. Асимптотика неизвестных в задаче о ж стко защемленной пластинке // Тр. 11 научн. конф. молодых ученых Нн-та механики АН УССР. Ч.2.- 1986.- С. 290-295.- Рук. деп. ВИНИТИ 28.0Г.86, N 5507-В86.

6. Гомнлко A.M., 1\>инченко В.Т., Мелешко В.В. О метода;

однородных решений и суперпозиции в статических граничных Задачах для упругой полуполосы // Прикл. механика,- 1986.- 22, N 8,-С. 84-93. '

7. Гомилко A.M., Мелешко В.В. О методе Файлона разложения функций в ряды по однородным решениям в задачах теории упруго-' стн // Изв. АН СССР. Механика тв. тела,- 1980,- N 4,- С. 48-53.

8. Гомилко А;М. Закон асимптотических выражений в теории функциональных уравнений п А'^-пространствах // Унр. матем. жури,- 1987.- 39, N 5,- С. 551-554.

9. Гомилко A.M., Мелешко В.В. Задача Дирихле для бнгармони-чесхого уравнения в полуполосе // Дохл. АН СССР.- 1987.- 294, N 5.-С. 1045-1048.

10. Гом.илко A.M., Г]рннченко В.Т., Мелешко В.В. О возможностях метода однородных решений в смешанной задаче теории упругости для упругой полуполосы // Теоретич. н прикл. механика.: Донецк. - 1987.- 18.- С. 3-8.

11. Гомилко A.M. Асимптотика коэффициентов разложении по однородным решениям в смешанной задаче для упругой иояунолосы //Тр. 13-й научн. хонф. молодых ученых Ии-та механики АН УССР. 4.2. - 1988.- С. 332-335.- Рук, дел. ВИНИТИ 27.12.88, N SQ72-B88.

12. Гомилко A.M., Г^ипчеико В.Т., Мелешко В.В. Асимптотиха неизвестных' при решешш методом суперпозиции плоской оадата о продольной деформации упругой полупояосы // Прмкл. механика. -1988.- 24, N 7. - С. 77-83.

13. Гомилко A.M., Г^инченко В.Т. Метод однородных решений в случае негладких нагрузок // Теоретич. и прикл. механика.: Донецк.- 1988.- 19.- С.Ш-1Ш..

14. Гомилко A.M., Диденко Ю.Ф., Ковальчук В.Ф. Точное решение задачи пространственной теории потенциала для дпух сфер.-Киеп, 1988.- 40 е.- Препринт / АН УССР. Ин-т' математики; 88.44.

15. Гомилко A.M., Г^инченхо В.Т. О сходимости разложений по однородным решениям в плоской задаче для полунолосы с негладкими нагрузками // Прккл. механика.- 1989.- 25, К 4,- С. 76-82.

16. Гомилко A.M., Грннченко В.Т., Мелешко В.В. Метод однородных решений в смешанной задаче для упругой пожуполосы // Прикл. механика,- 1990.- 26, N 2.- С. S8-108.

17. Гомилко A.M., Радоиевсхий Г.В. Асимптотика по параметру решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Укр. матем. журн,- 1990.- 42, N П.- С. 1460-1469.

18. Гомнлко A.M., Городецкая H.С., Мелешко В.В. Продольные волны Лэмба в полубесконечном упругом слое // Прнкл. механика. -1991. - 27, N 6.- С. 53-59.

19. Гомилко A.M., Городецкая Н.С. Краевой резонанс при вынужденных колебаниях волновода//Тез. докл. 11 Всес. акустической конф. Москва, 1991.- С. 127-130.

20. Гомилко A.M. Об интегральном преобразовании Конторо-вича-Лебедева // Укр. матем. журн.- 1991.- 43, N 10.- С. 1372-1377.

21. Гомилко A.M., Радзневский Г.В. Базисные свойства собственных функций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения // Днфференц. ур.- 1991.27, N 3.- С. 384-396.

22. Гомилко A.M. Об обращении интегрального преобразования Конторовича-Лебедева // Матем. заметки.- 1992.- 51, вып. 5.- С. 27-34.

23. Гомнлко A.M. Гипотеза Рэлея в задаче об отражении волны Рэлея-Лэмба от криволинейного торца волновода // Изв. РАН. Механика тв. тела.- 1993,- N 2.- С. 01-66.

24. Гомилко A.M. Об одном классе бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Журн. выч. матем. и матем. физики,- 1993.- 33, вып. 7.- С. 979-995.

25. Гомилко A.M. Интегральные уравнения метода суперпозиции // Годичный отчет Ин-та гидромеханики АН Украины. Киев: Институт'гидромеханикн All Украины,- 1993 - С. 51-52.

26. Гомшко О.М. Розкладання за частиною власних фуикцп" жмутка диференщалышх oiiepaTopie, зв'язаного з бкармошчиим piB нянням у нап1всмуз1 // Спектралып та еволюцшш задачь: (Лмферо-польськнй держушверснтет.- 1993.- вип. 2.- С. 76-77.

Подписано г, печати 24, 09. /993г. Формат 60x84/16 Бумага офозтная Уол„-пач„ляст,Е,о, Уч.-взд.ляст £,0. Tispas 100. Заказ Z18. Бесплатно

Пою граф»'уч-г. йнотвуута электродякешкв Ш Украхшк, 252057, Казв-57, проспект Побзди, 56.