Многочастичные интегрируемые модели в калибровочных теориях и гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

2 Гамильтоновы системы. Редукция и интегрируемость

2.1 Введение

2.2 Лагранжев формализм

2.3 Гамильтонов формализм.

2.4 Редукция в системах со связями первого рода.

2.5 Интегрируемые многочастичные системы.

3 Геодезическое движение на группе GL(n, М)

3.1 Введение

3.2 Динамика на орбитах общего положения группы SO(n, Ж) в GL(n, К)

3.2.1 Симметрии и динамика.

3.2.2 Пара Лакса для обобщенной модели Эйлера-Калоджеро-Мозера-Садерланда.

3.2.3 Редукция к моделям Эйлера-Калоджеро-Мозера-Сазерленда

3.3 Геодезическое движение на сингулярных стратах SO(n, К) в GL(n, R)

3.3.1 Явная параметризация сингулярной страты и масс-деформированная модель Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

3.3.2 Вывод масс-деформированной модели путем предельного перехода из свободного движения на регулярной страте.

4.2 Определения и обозначения.70

4.3 Гамильтонова формулировка теории со связями.72

4.4 Гамильтонова формулировка редуцированной теории.74

4.4.1 Гамильтонова редукция при произвольном в-утле.74

4.4.2 Каноническая эквивалентность редуцированных теорий с разными 0-углами.77

4.5 Разложение редуцированного гамильтониана по степеням 1 /д.78

4.5.1 "Проблема дивергенции" в низшем порядке разложения.79

4.5.2 Модификация 1/д разложения и тождество Бианки.80

4.6 Длинноволновое приближении редуцированной теории.81

4.6.1 Переход к главным осям тензорного поля Sij.81

4.6.2 Редуцированный лагранжиан до второго порядка малости в разложении по 1/д.85

4.7 SU(2) теория Янга-Миллса в пределе сильной связи как нелинейная сг-модель с инвариантом Хопфа .87

4.8 Заключение .90

5 Механика Янга-Миллса 93

5.1 Введение . 94

5.2 Мгновенная форма механики Янга-Миллса. 98

5.2.1 SU(2) механика Янга-Миллса. 98

5.2.2 SU(2) механика Дирака-Янга-Миллса .111

5.3 Механика Янга-Миллса в динамике светового фронта.117

5.3.1 Описание модели.117

5.3.2 Гамильтонова формулировка SU(2) механики Янга-Миллса в динамике светового фронта.119

5.3.3 SU(2) механика Янга-Миллса в динамике светового фронта и конформная механика.122

5.4 Заключение.125

6 Космологические модели Бианки 127

6.1 Введение .127

6.2 Описание моделей.128

6.2.1 Геометрия гиперповерхностей в пространстве-времени.129

6.2.2 Гамильтонов формализм для моделей Бианки.131

6.3 Космологическая модель Бианки I.138

6.4 Космологическая модель Бианки IX.147

6.5 Заключение.150

7 Заключение 153

Заключение

Целью диссертационной работы являлось определение и детальный анализ интегрируемых моделей лежащих в основании однородных космологических моделей Бианки и теории неабелевых калибровочных полей с калибровочной группой SU(2).

В диссертации предложен новый подход к описанию вырожденных лагранжевых систем, обладающих калибровочной и репараметризационной инвариантностью. Развита схема гамильтоновой редукции, позволяющая в явном виде отделить кали-бровочно зависимые переменные и найти инвариантный (физический) сектор теории. Данная схема практически реализована для теории поля Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2). Детально описана редукция однородных космологических моделей Бианки и в так называемой SU(2) механике Янга-Миллса, которая возникает при анализе длинноволнового приближения SU(2) глюодинамики.

При рассмотрении геодезического движение на группе GL(n, К) с би-инвариантной метрикой, впервые показано, что гамильтониан задающий геодезическое движение на регулярных стратах группы SO(n, R) в GL(n, К) представляет обобщение модели Эйлера-Калоджеро-Мозера-Сазерленда на случай частиц, обладающих двумя дополнительными внутренними степенями свободы, типа спина и изоспина. При этом оказалось, что геодезическое движение на сингулярных стратах приводит к масс-деформированной модели типа Эйлера-Калоджеро-Мозера-Сазерленда, т.е. к описанию динамики частиц с различными массами. До сих пор была известна только квантовая интегрируемая версия модели Калоджеро-Мозера-Сазерленда при сильном предположении, что масса только одной из частиц отличается от масс других тождественных частиц.

В диссертации впервые показано SU(2) механика Янга-Миллса в мгновенной форме динамики эквивалентна системе ГОз Эйлера-Калоджеро-Мозера с внешним потенциалом четвертой степени, в то время как соответствующая SU(2) механика Янга-Миллса в динамике светового фронта совпадает с так называемой конформной механикой и тем самым является интегрируемой системой.

Впервые найдено представление для космологической модели Бианки I в форме, в которой динамика наблюдаемых описывается гамильтонианом, представляющим положительно определенную квадратичную форму физических импульсов, не зависящую от наблюдаемого времени. Заметим, что до настоящего времени для генератора эволюции применялся гамильтониан выраженный в виде квадратного корня, что приводит к трудностям при квантовании системы. Помимо этого показано, что данный гамильтониан совпадает с гамильтонианом относительного движения в интегрируемой системе НА3 Эйлера-Калоджеро-Сазерленда. Используя найденное соответствие с интегрируемой системой, получено общее решение вакуумных уравнений Эйнштейна для метрики Бианки I в случае компактной трехмерной пространствен-ноподобной гиперповерхности.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получено интегрируемое обобщение модели Эйлера-Калоджеро-Мозера-Сазер-ленда на случай частиц с двумя типами внутренних переменных — "спином" и "изоспином". Показано, что данная модель соответствует геодезическому движению на группе GL(n, R) с би-инвариантной метрикой, когда динамика рассматривается на регулярной страте действия группы SO(n,М) в GL(n,R).

2. При рассмотрении геодезического движения с би-инвариантной метрикой на сингулярных стратах группы SO(n, К), действующей в GL(n, К) получена масс-деформированная модель типа Эйлера-Калоджеро-Мозера-Сазерленда, в которой массы частиц находятся в произвольном рациональном отношении.

3. Выполнена гамильтонова редукция SU(2) теории поля Янга-Миллса с топологическим инвариантом Понтрягина в действии. Показано, что при точной проекции на редуцированное пространство топологический инвариант Понтрягина в действии остается дивергенцией. Получен соответствующий приближенный лагранжиана второго порядка по производным полей а также выражение для аналога тока Черна-Саймонса, линейного по производным полей. Выведена эффективная теория типа нелинейной ст-модели, с инвариантом Хопфа отображения 3-сферы на единичную 2-сферу, представленным в форме Уайтхеда.

4. Осуществлена гамильтонова редукция SU(2) механики Янга-Миллса к ID3 модели Эйлера-Калоджеро-Мозера с внешним потенциалом.

1. М. Грин, Дж. Шварц, Е. Виттен, Теория суперстущ М.: Мир, 1990, т. 1,2.;

2. J. Polchinski, String theory, Cambridge, Canbridge University Press, 1998, Vol. 1,2.; B.M. Barbashov and V.V. Nesterenko, Introduction to the relativistic string theory, World Scientific, Singapore, 1990.

3. Б.М. Барбашов, H.A. Черников, Решение и квантование нелинейной двумерной модели типа Борна-Инфелъда, ЖЗТФ 60 (1966), 1296-1308;

4. Б.М. Барбашов, Н.А. Черников, Решение задачи о рассеянии двух плоских волн в нелинейной скаларной теории поля типа Борна-Инфелъда, ЖЭТФ 51 (1966), 658-668.

5. J. Sherk and J.H. Schwarz, Dual models for nonadrons, Nucl. Phys. В 81 (1974) 118-144.

6. N. Seiberg and E. Witten, Electro-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl. Phys. В 426 (1994) 19-52, arXiv: hep-th/9407087];

7. N. Seiberg and E. Witten, Monopoles, duality, and chiral symmetry breaking in N = 2 supersymmetric QCD, Nucl. Phys. В 431 (1994) 484-550, arXiv: hep-th/9410167.

8. A.V. Marshakov, Seiberg- Witen theory and integrable sysytems, World Scientific, Singapore, 1999.

9. A.B. Маршаков, Интегрируемотъ в суперсимметричных калибровочных теориях, ЭЧАЯ 30 (1999) 1120-1210;

10. A.V. Marshakov, Nonperturbative quantum theories and integrable equations, Int. J.

11. Mod. Phys. А 12 (1997) 1607-1650, arXiv: hep-th/9610242.;

12. A.V. Marshakov, On integrable systems and supersymmetric gauge theories, Theor.

13. Math. Phys. 112 (1997) 791-826, Teor. Mat. Fiz. 112 (1997) 3-46.;

14. A.V. Marshakov, On associativity equations, Theor. Math. Phys. 132 (2002) 895-933,

15. Teor. Mat. Fiz. 132 (2002) 3-49., arXiv: hep-th/0201267],

16. A. Gorsky and A. Mironov, Integrable many-body sistems and gauge theories, arXiv: hep-th/0011197].

17. E. D'Hoker and D.H. Phong, Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, arXiv: hep-th/9912271].

18. E. D'Hoker and D.H. Phong, Seiberg-Witten theory and integrable systems, arXive: hep-th/9903068].

19. E. D'Hoker and D.H. Phong, Lax pairs and spectral curves for Calogero-Moser and spin Calogero-Moser systems, arXiv: hep-th/9903002],

20. R. Carroll, Remarks on Whitham and RG, arXive: hep-th/9712210];

21. S.V. Ketov, On exact solutions to quantum N = 2 gauge theories, arXive: hep-th/9710085.;

22. A. Klemm, On the Geometry behind N = 2 Supersymmetric Effective Actions in Four Dimensions, arXive: hep-th/9705131.;

23. L.N. Lipatov, High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models, JETP Lett. 59 (1994) 596, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59 (1994) 571], [arXiv:hep-th/9311037];

24. D. Faddeev and G.P. Korchemsky, High energy QCD as copletely integrable model, Phys. Lett. В 342 (1995) 311-322,arXiv: hep-th/9404173.;

25. G.P. Korchemsky, Bethe anzats for QCD pomeron, Nucl. Phys. В 443 (1995) 255301, arXiv: hep-th/9501232.;

26. H.J. de Vega and L.N. Lipatov, Exact resolution of the Baxter equation for Reggeized gluon interactions, arXiv: hep-ph/0204245.

27. V.M. Brown, S.E. Derkachev, and A.N. Manashov, Integrability of three particle evolution equations in QCD, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 2020-2023, arXiv: hep-th/9805225];

28. S.E. Derkachev, G.P. Korchemsky, and A.N. Manashov, Evolution equations for quark gluon distributions in multicolor QCD and open spin chains, Nucl. Phys. В 566 (2000) 203-251, arXiv: hep-th/9909539.

29. A. Gorsky, I.I. Kogan and G. Korchemsky, High energy QCD: stringy picture from hidden integrability, arXiv: hep-th/0204183];

30. A. Gorsky, String/gauge correspondence;view from the high-energy side, arXiv: hep-th/0209127.

31. E. Brezin and V.A. Kazakov, Exactly solvable field theories of closed strings Phys. Lett. В 236 (1990) 144-150.

32. M.R. Douglas and S.H. Shenker, Strings in less than one-dimension, Nucl. Phys. В 335 (1990) 635-654.

33. D.J. Gross and A. A. Migdal, Nonperturbative solution of the Ising model on a random surface, Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 717-720.

34. В. Захаров, С. Манаков, С. Новиков, JI. Питаевский, Теория солитонов. М:. Наука, 1980.

35. JT.A. Тахтаджян, Л.Д. Фадддеев,

36. Гамилътонов подход в теория солитонов. М:. Наука, 1986.

37. С.А. Гогилидзе, В.Н. Первушин, A.M. Хведелидзе, Редукция в сиситемах с локальной симметрией, Физика элементарных частиц и атомного ядра 30 (1999) 160-209.

38. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, Generalized Calogero-Moser-Sutherland models from geodesic motion on GL(n, R) group manifold, Phys. Lett. A 299 (2002) 522-530; arXiv: nlin.SI/0103047].

39. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, Classical mechanics on GL(n, R) group and Euler-Calogero-Sutherland model, Physics of Atomic Nuclei 65 (2002) 1042-1046; Yadernaya Fizika 65, (2002) 1075-1079; arXiv: nlin.SI/0101033].

40. A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, H.-P. Pavel, and G. R5pke, On unconstrained SU(2) gluodynamics with theta angle, Eur. Phys. J. С 24 (2002) 137-141; arXiv: hep-th/0110016].

41. A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, H.-P. Pavel, and G. Ropke, Unconstrained 377(2) Yang-Mills theory with topological term in the long-wavelength approximation, arXiv: hep-th/0202145],

42. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, and H.-P.Pavel, On Hamiltonian Reduction of SU(2) Dirac- Yang-Mills Mechanics, Phys. Rev. D 57 (1998) 7488-7500; arXiv: hep-th/9707136].

43. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, and H.-P. Pavel, Reduction of SU(2) Dirac- Yang-Mills Mechanics, JINR preprint E2-97-218, 1997.

44. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, Euler-Calogero-Moser model from SU(2) Yang-Mills theory, Phys. Rev. D 62 (2000), 125016(1-9); arXiv: hep-th/9906033],

45. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, On rational Euler-Calogero-Moser model and Yang-Mills mechanics, Proceedings of International Seminar Physical Variables in Gauge Theories, Dubna, 2000.

46. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, SU(2) Yang-Mills Mechanics and ID3 Euler-Calogero-Moser model with inverse square potential, Proceedings of the Seminar Symmetries and integrable systems, Dubna, 1999.

47. V.P. Gerdt, A.M. Khvedelidze, and D.M. Mladenov, Analysis of constraints in light-cone version of 5/7(2) Yang-Mills mechanics, Proceedings of International Workshop Computer Algebra and its Application to Physics, Dubna, 2001, arXive: hep-th/0209107],

48. V.P. Gerdt, A.M. Khvedelidze, and D.M. Mladenov, Light-cone SU{2) Yang-Mills theory and conformal mechanics, arXive: hep-th/0210022].

49. C.A. Гогилидзе, Д.М. Младенов, A.M. Хведелидзе, Двухпараметрическое решение космологической модели Бианки I, Труды IX международного семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны", Дубна, 1998.

50. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, and V.N. Pervushin, On Generalized Dynamics of Bianchi IX cosmology, Proceeding of the Eighth Marcel Grossmann Meeting, Hebrew University, Jerusalem, 1997.

51. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, D.M. Mladenov, and V.N. Pervushin, Hamiltonian analysis of Bianchi IX Cosmology, Gravitation and Cosmology, 3 (1997), 85-88.

52. A.M. Khvedelidze and D.M. Mladenov, Bianchi I cosmology and Euler-Calogero-Sutherland model, To appear in Phys. Rev. D (2002);arXiv: gr-qc/0208037].

53. Ж. Лагранж, Аналитическая механика, т.1,2.: Гостехиздат, Москва, 1950.

54. Р.А.М. Dirac, Generalized Hamiltonian dynamics, Canad. J. Math. 2 (1950) 129148; Русс, перевод В.П. Павлова Обобщенная гамильтонова динамика в кн. К созданию квантовой теории поля, М.: Наука, 1990;

55. Р.А.М. Dirac, The Hamiltonian form of field dynamics, Canad. J. Math. 3 (1951) 1-23; Русс, перевод В.П. Павлова Гамильтонова форма полевой динамики, в кн. К созданию квантовой теории поля, М.: Наука, 1990;

56. Generalized Hamiltonian dynamics, Proc. Roy. Soc. A 246 (1958) 326-332; Русс, перевод В.П. Павлова Обобщенная гамильтонова динамика в кн. К созданию квантовой теории поля, М.: Наука, 1990.

57. P.G. Bergmann, Non-linear field theories, Phys. Rev. 75 (1949) 680-685;

58. J.L. Anderson and P.G. Bergmann, Constraints in covariant field theories, Phys. Rev. 83 (1951) 1018-1025;

59. P.G. Bergmann and I. Goldberg, Dirac bracket transformations in phase space, Phys. Rev. 98 (1955) 531-538.

60. P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University Press, New York, 1964; Русс, перевод Лекции no квантовой механике, доп. в кн. Принципы квантовой механики, М.: Наука, 1979.

61. М. Henneaux and С. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.

62. K. Sundermeyer, Constrained Dynamics, Lecture Notes in Physics 169, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982.

63. E.C.G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics — A Modern Perspective, New York: Wiley, 1974.

64. Н.П. Коноплева, B.H. Попов, Калибровочные поля, M.: Атомиздат, 1980;

65. A.J. Hanson, Т. Regge, and С. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems, Ac-cademia Nazionale dei Lincei, 1976;

66. A.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев, Введение в квантовую терию калибровочных полей, М.: Наука, 1988;

67. М. Henneaux, Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom, Phys. Rep. 126 (1985) 1-66;

68. B.B. Нестеренко, A.M. Червяков, Сингулярные лагранжианы, Лекции для молодых ученых. Дубна, 1986;

69. Д.М. Гитман, И.В. Тютин, Каноническое квантование систем со связями, М.: Наука, 1986;

70. Л.В. Прохоров, С.В. Шабанов, Гамильтонова механика калибровочных систем, Сакт-Петербург, Изд. С.-Петербургского Университета, 1997; S.V. Shabanov, Geometry of the physical phase space in quantum gauge systems Phys. Rep. 326 (2000) 1-163.

71. H. Weyl, Elektron und gravitation, Zeitschrift fur Physik 56 (1929) 330-352.

72. C.N. Yang and R.L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invari-ance, Phys. Rev. 96 (1954) 191-195.

73. P. A.M. Dirac, Fixation of coordinates in the Hamiltonian theory of gravitation, Phys. Rev. 114 (1959) 924-930.

74. L.D. Faddeev and V.N. Popov, Feynman diagrams for the Yang-Mills field, Phys. Lett. В 25 (1967) 29-30.

75. V.N. Gribov, Quantization on nonabelian gauge theories Nucl. Phys. В 139 (1978) 1-19.

76. I.M. Singer, Some remarks on the Gribov ambiguity, Commun. Math. Phys. 60 (1978) 7-12.

77. M.A. Соловьев, О глобальной калибровке в неабелевой теории, Письма в ЖЭТФ 38 (1983) 415-417;

78. М.А. Соловьев, Усиление результата Зингера об отсутствии глобальной калибровки, Теор. Мат. Физ. 78 (1989) 163-176.

79. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М: Мир, 1989;

80. Пер. с англ. P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Graduate Text in Mathematics, Springer Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1986.

81. JI.B. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978.

82. Н.Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.: Наука, 1983.

83. А.Т. Фоменко, Симплектическая геометрия. Методы и приложения, М.: Наука, 1988.

84. Ж. Поммаре, Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли, М.: Мир, 1983.

85. S. Shanmugadhasan, Canonical formalism for degenerate Lagrangians, J. Math. Phys. 14 (1973) 677-687.

86. Т. Леви-Чивита, У. Амальди, Курс теоретической механики, т.2. ч.2. М.: ИЛ, 1951.

87. Э. Картан, Интегральные инварианты, М.: УРСС, 1998.

88. A.R. Forsyth, The Theory of Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge v.5. 1953.

89. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, and V.N. Pervushin, On abelianization of first class constraits, J. Math. Phys. 37 (1996) 1760-1771; arXiv: hep-th/9504153].

90. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, and V.N. Pervushin, On admissible gauges for constrained systems, Phys. Rev. D 53 (1996) 2160-2172; arXiv: hep-th/9504154],

91. R. Abraham and J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, 1978.

92. W. Thirring, A Course in Mathematical Physics, Vol. 1,2, Springer-Verlag New-York, 1978.

93. К. Годбийон, Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, М. Мир, 1973.

94. J.S. Marsden and T.S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag New-York, 1994.

95. Л. Д. Фаддеев, Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов, Теор. Мат. Физ. 1 (1969) 3-18.

96. A. Lichnerowicz, С. R. Acad. Sci. Paris А 280 (1975) 523.

97. М. Gotay, J. Nester, and G. Hinds, Presymplectic manifolds and Dirac-bargmann theory of constraints, J. Math. Phys. 19 (1978) 2388-2399.

98. G. Marmo, N. Mukunda, and J. Samuel, Riv. Nuovo Cim. 6 (1983) 2.

99. В.П. Павлов, Каноническое преобразование для систем со связями, Теор. Мат. Физ. 104 (1995) 304-309;

100. В.П. Павлов, А.О. Старинец, Геометрия фазового прстранства систем со связями, Теор. Мат. Физ.105 (1995) 429-437.

101. Э.Т. Уиттекер, Аналитическая динамика, Библиотека "R & С dynamics" т. 9, Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

102. Перевод с англ. Е.Т. Whittaker, A Treatise on the Analitical Dynamics of Particles and Rigid bodies, Third Ed. Cambridge University Press, Cambridge, 1927.

103. H. Rund, The Hamilton-Jacobi theory in calculus of variation, D. van. Nostrad Сотр., 1966.

104. Э. Нетер, в сб. Вариационные принципы механики, М.: Физматгиз, 1959.

105. Б.М. Барбашов, В.В. Нестеренко, Непрерывные симметрии в теории поля, Лекции для молодых ученых, Дубна, 1978.

106. Я.В. Татаринов, Лекции по классической динамике, М.: МГУ, 1984.

107. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Closure of the gauge algebra, generalized Lie equations and Feynman rules, Nucl. Phys. В 234 (1984) 106-124.

108. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, М.: Эдито-риал УРСС, 2000.

109. Англ. перевод V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York, 1978.

110. A.B. Борисов, И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, Библиотека "R & С dynamics" т. VII, Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

111. A.M. Переломов, Интегрируемые системы классичесой механики и алгебры Ли, М.: Наука, 1990. Англ. перевод A.M. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie algebras, Vol. I, Birkhauser, Boston, 1990.

112. А.Н. Лезнов, М.В. Савелиев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М.: Наука, 1985. Англ. перевод A.N. Leznov and M.V. Saveliev, Group theoretic methods for integration of non-linear dynamical systems, Birkhauser, Boston, 1992.

113. M.A. Olshanetsky and A.M. Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Rep. 71 (1981) 313-400;

114. M.A. Olshanetsky and A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Phys. Rep. 94 (1983) 313-404.

115. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, and K.M. Miura, Method for slving the Korteveg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095-1097.

116. P.D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Apll. Math. 21 (1968) 467-490.

117. F. Calogero, Solution of the one-dimensional n-body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J. Math. Phys. 12 (1971) 419-436.

118. F. Calogero, Solution of a three-body problem in one dimension, J. Math. Phys. 10 (1969) 2191-2196;

119. F. Calogero, Ground state of a one-dimensional N-body system, J. Math. Phys. 10 (1969) 2197-2200.

120. F. Calogero and C. Marchioro, Exact solution of a one-dimensional three-body scattering problem with two-body and/or three-body inverse square potential, J. Math. Phys. 15 (1974) 1425-1430;

121. F. Calogero, Exactly solvable one-dimensional many body problems, Let. Nuovo Cim. 13 (1975) 411-416.

122. B. Sutherland, Exact results for a quantum many-body problem in one dimension, Phys. Rev. A 4 (1971) 2019-2021;

123. B. Sutherland, Exact results for a quantum many-body problem in one dimension. II, Phys. Rev. A 5 (1972) 1372-1376.

124. J. Moser, Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations, Adv. Math. 16 (1975) 197-220.

125. M.A. Olshanetsky and A.M. Perelomov, Completely integrable Hamiltonian systems connected with semisimple Lie algebras, Lett. Math. Phys. 1 (1977) 531-540.

126. A.M. Perelomov, Completely integrable classical systems related to semisimple Lie algebras, Lett. Math. Phys. 1 (1977) 531-540.

127. J. Gibbons and T. Hermsen, Generalizations of the Calogero-Moser system, Physica D 11 (1984) 337-348.

128. S. Wojciechowski, An integrable marriage of the Euler equations with the Calogero-Moser system, Phys. Lett. A 111 (1985) 101-103.

129. M. Krichever, O. Babelon, E. Billey, and M. Tallon, Spin generalization of the Calogero-Moser system and the matrix KP equation, Amer. Math. Soc. Transl. 150 (1995) 83-119, arXiv: hep-th/9411160.,

130. M. Krichever and D.H. Phong, On the integrable geometry of soliton equations and the N = 2 supersymmetric gauge theories, arXiv: hep-th/9604199.

131. V.I. Inozemtsev and R. Sasaki, Universal Lax pairs for spin Calogero-Moser models and spin exchange models J. Phys. A 34 (2001) 7621-7632; arXiv: hep-th/0105164.

132. E. Langmann and G. Semenoff, Gauge theories on a cylinder, Phys. Lett. В 296 (1992) 117-120;

133. J.A. Minahan and A.P. Polychronakos, Interacting fermion systems from two-dimensional QCD, Phys. Lett. В 326 (1994) 288-294 ;

134. A. Niemi and P. Pasanen, On the infrared limit of two-dimensional QCD, Phys. Lett. В 323 (1994) 46-52;

135. J. Blom and E. Langmann, Novel integrable spin-particle models from gauge theories on a cylinder, Phys. Lett. В 429 (1998) 336-342.

136. G.W. Gibbons and Р.К. Townsend, Black holes and Calogero models, Phys. Lett. В 454 (1999) 187-192, arXiv: hep-th/9812034],

137. F.D.M. Haldane, Exact Jastrow-Gutzwiller resonating-valence-bond ground state of the spin-\ antiferromagnetic Heisenberg chain with 1/r2 exchange, Phys. Rev. Lett 60 (1988) 635-638;

138. B.S. Shastry, Exact solution of an S = \ Heisenberg antiferromagnetic chain with long ranged interactions, Phys. Rev. Lett 60 (1988) 639-642;

139. A.P. Polychronakos, Lattice integrable systems of Haldane-Shastry type, Phys. Rev. Lett 70 (1993) 2329-2331;

140. A.P. Polychronakos, Exact spectrum of SU(N) spin chain with inverse-square exchange, Nucl.Phys.B 419 (1994) 553-566.

141. A.P. Polychronakos, Nonrelativistic bosonization and fractional statistics, Nucl. Phys. В 324 (1989) 597-622;

142. A.P. Polychronakos, Generalized statistics in one dimension, Presented at Les Houshes Summer School of Theoretical Physics, Les Houshes, France, 7-31 July 1998, arXive: hep-th/9902157.;

143. Brink, Т.Н. Hansson, S. Konstein, and M.A. Vasiliev, The Calogero model — anyonic representation, fermionic extension and supersymmetry, Nucl. Phys. В 401 (1993) 591-612;

144. M.A. Vasiliev, More on equations of motion for interacting massless fields of all spins in (3 + 1) dimensions, Phys. Lett. В 285 (1992) 225-234;

145. M.A. Vasiliev, Unfolded representation for relativistic equations in (2 + 1) anti-de Sitter space, Class. Quant. Grav. 11 (1994) 649-664;

146. M.A. Vasiliev, Higher spin gauge theories in four-dimensions, three-dimensions, and two-dimensions, Int. J. Mod. Phys. D 5 (1996) 763-797, arXiv: hep-th/9611024.,

147. M. Kus, F. Haake, D. Zaitsev, and A. Huckleberry, Level dynamics for conservative and quantum systems, J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997) 8635-8651.

148. N. Kawakami, Novel hierarchy of the SU(N) electron models and edge states of fractional Hall effect, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 275-278;

149. О. Azuma and S. Iso, Explicit relation of quantum Hall effect and Сalogего-Sutherland model, Phys. Lett. В 331 (1994) 107-113, arXiv: hep-th/9312001.

150. Calogero-Moser-Sutherland models, Ed. J. F. van Diejen and L. Vinet, CRM Series in Mathematical Physics, Springer, Berlin, New-York, 2000.

151. D. Kazhdan, B. Konstant, and S. Sternberg, Hamiltonian group actions and dynamical systems of Calogero type Comm. Pure. Appl. Math. 31 (1978) 481-507.

152. A. Gorsky and N. Nekrasov, Elliptic Calogero-Moser system from two-dimensional current algebra, arXiv: hep-th/9401021],

153. A.P. Polychronakos, Generalized Calogero models through reductions by discrete symmetries, Nucl. Phys. В 543 (1999) 485-498, arXive: hep-th/9810211],

154. A.P. Veselov, in "Calogero-Moser-Sutherland models", Ed. J. F. van Diejen and L. Vinet, CRM Series in Mathematical Physics, Springer, Berlin, New-York, 2000.

155. Д.П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, М.: Наука, 1970. Англ. перевод D.P. Zelobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 40 AMS, 1978.

156. M.L. Mehta, Random matrices, Boston, MA: Academic, 1991.

157. R. Jackiw and C. Rebbi, Vacuum periodicity in a Yang-Mills quantum theory, Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 172-175 .

158. C.G. Callan, R.F. Dashen, and D.J. Gross, The structure of the gauge theory vacuum, Phys. Lett. В 63 (1976) 334-340 .

159. S. Deser, R. Jackiw, and S. Templeton, Topologically massive gauge theories, Ann. Phys. 140 (1982) 372-411 .

160. R. Jackiw, Topological Investigations of Quantized Gauge Theories in Current Algebra and Anomalies, World Scientific Publishing, Singapore, 1985.

161. В. Рубаков, Калиброаочные поля, Москва, УРСС, 1999.

162. J. Goldstone and R. Jackiw, Unconstrained temporal gauge for Yang-Mills theory, Phys. Lett. В 74 (1978) 81-84.

163. A.G. Izergin, V.F. Korepin, M.E. Semenov-Tyan-Shanskii, and L.D. Faddeev, On gauge fixing conditions in the Yang-Mills theory, Theor. Math. Phys. 38 (1979) 1-9; Teor. Mat. Fiz. 38 (1979) 3-14].

164. A. Das, M. Kaku, and P.K. Townsend, Gauge fixing ambiguities, flux strings, and the unconstrained Yang-Mills theory, Nucl. Phys. В 149 (1979) 109-122.

165. M. Creutz, I.J. Muzinich, and T.N. Tudron, Gauge fixing and canonical quantization, Phys. Rev. 19 (1979) 531-539.

166. N.H. Christ and T.D. Lee, Operator ordering and Feynman rules in gauge theories, Phys. Rev. D 22 (1980) 939-958.

167. Yu. Simonov, Gauge invariant formulation of SU(2) gluodynamcs, Sov. J. Nucl. Phys. 41 (1985) 1014-1019; Yad. Fiz. 41 (1985) 1601-1610].

168. R. Anishetty, Local dynamics on gauge invariant basis of nonabelian gauge theories, Phys. Rev. D 44 (1991) 1895-1896.

169. E.T. Newman and C. Rovelli, Generalized lines of force as the gauge invariant degrees of freedom for general relativity and Yang-Mills theory, Phys. Rev. Lett 69 (1992) 1300-1303.

170. Yu. Simonov, QCD Hamiltonian in the polar representation, Sov. J. Nucl. Phys. 41 (1985) 835-841; Yad. Fiz. 41 (1985) 1311-1323].

171. V.V. Vlasov, V.A. Matveev, A.N. Tavkhelidze, S.Yu. Khlebnikov, and M.E. Sha-poshnikov, Canonical quantization of gauge theories with scalar condensate and the problem of spontaneous symmetry breaking, Phys. Elem. Part. Nucl. 18 (1987) 5-38.

172. K. Haller, Yang-Mills theory and quantum chromodynamics in the temporal gauge, Phys. Rev. D 36 (1987) 1839-1845.

173. R. Schiappa, Supersymmetric Yang-Mills theory and Riemannian geometry, Nucl. Phys. В 517 (1998) 462-484.

174. F.A. Lunev, Four-dimensional Yang-Mills theory in local gauge invariant variables, Mod. Phys. Lett. A 9 (1994) 2281-2292.

175. H. Nachbagauer, Finite temperature formalism for nonabelian gauge theories in the physical phase space, Phys. Rev. D 52 (1995) 3672-3678.

176. M. Lavelle and D. McMullan, Constituent quarks from QCD, Phys. Rep. 279 (1997) 1-65.

177. R. Horan, M. Lavelle, and D. McMullan, Charges in gauge theories, Pramana 51 (1998) 317-355.

178. A.M. Khvedelidze and H.-P. Pavel, Unconstrained Hamiltonian formulation of 5(7(2) gluodynamics, Phys. Rev. D 59 (1999) 105017.

179. P. Majumdar and H.S. Sharatchandra, Reformulating Yang-Mills theory in terms of local gauge invariant variables, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 94 (2001) 715-717.

180. P.A.M. Dirac, The theory of gravitation in Hamiltonian form, Proc. Roy. Soc. A 246 (1958) 333-343;

181. P.A.M. Dirac, Energy of the gravitational field, Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 368-371.

182. R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, Consistensy of the canonical reduction of general relativity, J. Math. Phys. 1 (1960) 434-439.

183. A. Khvedelidze, H.-P. Pavel, and G. Ropke, Unconstrained SU(2) Yang-Mills quantum mechanics with theta angle, Phys. Rev. D 61 (2000) 025017.

184. J.H.C. Whitehead, An expression of Hopf's invariant as an integral, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 33 (1947) 117-123.

185. L. Woltier, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44 (1958) 489-491.

186. L. Woltier, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44 (1958) 833-841.

187. H. Moffat, The degree of knottedness of tangled vortex lines J. Fluid Mech. 35 (1969) 117-129.

188. E.A. Kuznetsov and A.V. Mikhailov, On the topological meaning of canonical Cleb-sch variables, Phys. Lett. A 77 (1980) 37-38.

189. P.G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambrigde, UK, 1992.

190. R. Jackiw and S.Y. Pi, Creation and evolution of magnetic helicity, Phys. Rev. D 61 (2000) 105015.

191. R. Jackiw, V.P. Nair, and S.Y. Pi, Chern-Simons reduction and non-Abelian fluid mechanics, Phys. Rev. D 62 (2000) 085018.

192. M. Creutz, Quarks, Gluons and Lattices, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.1481 L. O'Raifeartaigh, Group Structure of Gauge Theories, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1986.

193. P. Lancaster, Theory of Matricies, Academic Press, New York-London, 1969.

194. Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, M.: Наука, 1988.

195. Г.З. Басеян, С.Г. Матинян, Г.К. Саввиди, Нелинейные плоские волны в безмассовой теории Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ 29 (1979) 641-644.

196. С.Г. Матинян, Г.К. Саввиди, Н.Г. Тер-Арутунян-Саввиди Классическая механика Янга-Миллса. Нелинейные колебания цвета, ЖЭТФ 80 (1981) 830-838.

197. Н.М. Asatryan and G.K. Savvidy, Configuration manifold of Yang-Mills classical mechanics, Phys. Lett. A 99 (1983) 290-292.

198. G. К. Savvidy, Yang-Mills quantum mechanics, Phys. Lett. В 159 (1985) 325-329.

199. M.A. Соловьев, О геометрии классичесской механики с неабелевой калибровочной симметрией, Теор. Мат. Физ. 73 (1987) 3-15.

200. M.J. Gotay, Reduction of homogeneous Yang-Mills fields, J. Geom. Phys. 6 (1989) 349-365.

201. B. Dahmen and B. Raabe, Unconstrained SU(2) and SU(3) Yang-Mills classical mechanics, Nucl. Phys. В 384 (1992) 352-380.

202. С.Г. Матинян, Г.К. Саввиди, Н.Г. Тер-Арутунян-Саввиди, Стохастичность классической механики и ее устранение механизмом Хиггса, Письма в ЖЭТФ 34 (1981) 613-616.

203. Б.В. Чириков, Д.Л. Шепелянский, Стохастические колебания классических полей Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ 34 (1981) 171-175.

204. Е.С. Николаевский, Л.Н. Щур, Неинтегрируемостъ классических полей Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ 36 (1982) 176-179.

205. Е.С. Николаевский, Л.Н. Щур, Неинтегрируемостъ классических полей Янга-Миллса,, ЖЭТФ 85 (1983) 3-13.

206. С.Г. Матинян, Динамический хаос неабелевых калибровочных полей, ЭЧАЯ 16 (1985) 522-550.

207. В. Simon, Some quantum operators with discrete spectrum but classically continuous spectrum, Ann. Phys. 146 (1983) 209-.

208. M. Luscher, Some analytic results concerning the mass spectrum of Yang-Mills gauge theories on a torus, Nucl. Phys. В 219 (1983) 233-.

209. Б.В. Медведев, Динамическая стохастичность и квантование, Теор. Мат. Физ. 60 (1984) 224-244.

210. P. Dahlqvist and G. Russberg, Some results , Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 3837-.

211. J. Bartels, O. Bruning, and B. Raabe, Some results, Z. Phys. С 53 (1992) 277-.

212. Т. Pause and T. Heinzl, The configuration space of low-dimensional Yang-Mills theories, Nucl. Phys. В 524 (1998) 695-741.

213. A.M. Khvedelidze and H.-P. Pavel, On the ground state of Yang-Mills quantum mechanics, Phys. Lett. A 267 (2000) 96-100, arXive: hep-th/9905093].

214. G. Gabadadze, Modeling the glueball spectrum by a closed bosonic membrane, Phys. Rev. D 58 (1998) 094015(1-17), arXive: hep-ph/9710402].

215. R. Donagi and E. Witten, Supersymmetric Yang-Mills and integrable systems, Nucl. Phys. 460 (1996) 288-334, arXive: hep-th/9510101];

216. E. Martinec, Integrable structures in supersymmetric gauge and string theory, arXive: hep-th/9510204.;

217. E. D'Hoker and D.H. Phong, Calogero-Moser systems in SU(N) Seiberg-Witten theory, Nucl. Phys. В 513 (1998) 405-444, arXive: hep-th/9709053.

218. E. D'Hoker and D.H. Phong, Calogero-Moser spectral curves for super Yang-Mills with adjoint hypermultiplet for general Lie algebras, Nucl. Phys. В 534 (1998) 697719, arXive: hep-th/9804126.

219. Ю.А. Архангельский, Аналитическая динамика твердого тела, М.: Наука, 1977.

220. Н. Andoyer, Cours de mecanique celeste, Vol. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1923.

221. V.I. Arnold, V.V. Kozlov, and A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, in: Dynamical Systems III, Springer Verlag, New York-Berlin, 1988.

222. P.A.M. Dirac, Forms of relativistic dynamics, Rev. Mod. Phys. 21 (1949) 392-399.

223. T. Heinzl, Light-cone quantization: Foundations and applications, Lecture Notes Physics 572 55-142, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2001; arXiv: hep-th/0008096],

224. G.A. Miller, Light-front quantization: A technique for relativistic and realistic nuclear physics, Prog. Part. Nucl. Phys. 45 (2000) 83-155, arXiv: nucl-th/0002059].

225. S.A. Paston, V.A. Franke, and E.V. Prokhvatilov, Constructing the light-front QCD Hamiltonian, Theor. Math. Phys. 120 (1999) 1164-1181, (Teor. Mat. Fiz. 120 (1999) 417-437); arXiv: hep-th/0002062],

226. H.C. Pauli, Discretized light-cone quantization and the effective interaction in hadrons, AIP Conf. Proc. 494 (1999) 80-139, arXiv: hep-ph/9910203].

227. P.P. Srivastava, Perspectives of light-front quantum field theory: Some new results, arXiv: hep-ph/9908492].

228. J. Hoppe, V. Kazakov, and I. Kostov, Dimensionally reduced SYM4 as solvable matrix quantum mechanics, Nucl. Phys. В 571 (2000) 479-509, arXiv: hep-th/9907058].

229. V. de Alfaro, S. Fubini, and G. Furlan, Conformal Invariance in Quantum Mechanics, Nuovo Cimento 34 (1976) 569-612.

230. V.P. Akulov and A.I. Pashnev, Quantum superconformal model in (1, 2) space, Theor. Math. Phys. 56 (1983) 862-866, Teor. Mat. Fiz. 56 (1983) 344-349].

231. S. Fubini and E. Rabinovici, Superconformal quantum mechanics, Nucl. Phys. В 254 (1984) 17-44.

232. E. A. Ivanov, S. Krivonos, and V. Leviant, Geometric superfield approach to superconformal mechanics, J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989) 4201-4222.

233. E.A. Ivanov, S.O. Krivonos, and A.I. Pashnev, Partial supersymmetry breaking in N = 4 supersymmetric quantum mechanics, Class. Quant. Grav. 8 (1991) 19-40.

234. P. Claus, M. Derix, R. Kallosh, J. Kumar, P.K. Townsend, and A. Van Proeyen, Superconformal mechanics and black holes, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4553-4556, arXiv: hep-th/9804177];

235. R. Britto-Pacumio, J. Michelson, A. Strominger, and A. Volovich, Lectures on superconformal quantum mechanics and multi-black hole moduli spaces, arXiv: hep-th/9911066.,

236. B. Pioline and A. Waldron, Quantum cosmology and conformal invariance, arXiv: hep-th /0209044].

237. M.P. Ryan, Hamiltonian Cosmology, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

238. C.W. Misner, K.S. Thorne, and J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973; Русс, перевоод Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, Т. 1,2,3, М.: Мир, 1977.

239. М.Р. Ryan and L.C. Shepley, Homogeneous Relativistic Cosmology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1975.

240. O.I. Bogoyavlensky, Methods in the Qualitative Theory of Dynamical Systems in Astrophysics and Gas Dynamics, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

241. J. Isenberg and J. Nester, Canonical Gravity, in General Relativity and Gravitation. One Hundred Years the Birth of Albert Einstein, vol.1, ed A. Held, Plenum Press, New York, 1980, 23-97.

242. P.A.M. Dirac, Fixation of Coordinates in the Hamiltonian Theory of Gravitation, Phys. Rev. 114 (1959) 924-930.

243. R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, The Dynamics of General Relativity, in . Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley: New York 1962, 227-265.

244. C.W. Misner, Quantum Cosmology.I, Phys. Rev. 186 (1969) 1319-1327.

245. S. Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, New York, 1978.

246. A. Ashtekar and J. Samuel, Bianchi cosmologies: the role of spatial topology, Class. Quant. Grav. 8 (1991) 2191-2215.

247. O. Coussaert and M. Henneaux, Bianchi cosmological models and gauge symmetries, Class. Quant. Grav. 10 (1993) 1607-1618, arXiv: gr-qc/9301001].

248. K. Kuchar, The Problem of Time in Canonical Quantization of Relativistic Systems in Conceptual Problems of Quantum Gravity, ed. by A. Ashtekar, J. Stashel, Birkhauser, Boston, 1991.

249. A.M. Khvedelidze and Y.G. Palii, Generalized Hamiltonian dynamics of Friedmann cosmology with scalar and spinor matter source fields, Class. Quant. Grav. 18 (2001) 1767-1785.

250. L. Bianchi, Sugli spazii atre dimensioni du ammettono un gruppo continuo di movi-menti, Soc. Ital. della Sci. Mem. di Mat. (Dei. XL) (3) 3 1897 267.176 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

251. L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni sperri, Pisa, 1918.

252. G.F.R. Ellis and M.A.H. MacCallum, A class of homogeneous cosmological models, Commun. Math. Phys. 12 (1968) 108-141.

253. M.A.H. MacCallum and A.H. Taub, Variational principles and spatially-homogeneous universes including rotation, Commun. Math. Phys. 25 (1972) 173-189.

254. G.E. Sneddon, Hamiltonian cosmology: a further investigation, J. Phys. A: Math Gen., 9 (1976) 229-238.

255. M.E. Osinovsky, Bianchi universes admiting full groups of motion, Ann. Inst. Henri Poincare XIX (1973) 197-208.

256. M. Lachieze-Rey and J.-P. Luminet, Cosmic Topology, Phys. Rept. 254 (1995) 135214.

257. J. Levin, Topology and the cosmic microwave background, Phys. Rept. 365 (2002) 251-333.

258. E. Kasner, Geometrical theorems on Einstein's cosmological equations, Am. Journ. Math. 43, 217, 1921.

259. A. Ashtekar, R. Tate, and C. Uggla, Minisuperspaces: observables and quantization, Int. J. Mod. Phys. D2 (1993) 15-50; arXive: gr-qc/9302027].