Многомерные треугольные модели систем линейных операторов с заданными свойствами коммутаторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

\ ; \ V’ 4' 1 ^ 0

‘ харківський державшій університет

На правах рукопису

РАЕД ХАТАМЛЄ

ЬАГ4ШНИМ<^Иі ІНИііУїМі МЧ'ІММ И« і *• М >ііН‘ЙНИ¥ ОПЕРАТОРІВ З ЗАДАНИМИ ВЛАСТІІПОСТЯМИ КОМУТАТОРІВ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фЬико-матемапгппгх ипук

Харків - 1995

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Харківському державному університеті.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

доц. Золотарьов Володимир Олексійович

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, проф. Руткас Анатолій Георгійович кандидат фізико-математичних наук, доц. Новіцький Михайло Васильович

Провідна організація: Сімферопольський державний університет

Захист відбудеться " 3 " *//_______}995 р. о'/Угод. 00 хв. на

засіданні Спеціалізованої вченої ради К 02.02.17 Харківського державного університету (адреса: 310077 м.Харків, пл. Свободи, 4, ауд.УІ-48). ■ .

З дисертацією можна ознайомитись в Центральній науковій бібліотеці Харківського державного університету. •

Автореферат розісланий ■29- 09 __1995 р. .

Вчений секретар . о

спеціалізованої вченої ради Кощій О.Ф.

Актуальність теми. Вперше трикутні моделі для лінійних операторів, що діють в нескінченновимірних просторах, були побудовані М.С.Лівшицем в 1946 ропі. Ці роботи мали своє продовження в дослідженнях М.С.Бродського, М Г ПІпїіЩїїсі і її ГлуКлпгч Г І'' іуД ІГ МІ

А А іі й к’\г\гч“тт«т т?» шитиу }

операторів грають важливу роль в дослідженнях геометрії інваріантних підпросторів та природи спектра лінійних операторів. В роботах Л.А.Сахновича, О.В.Кужеля, В.Т.Поляцького, Е.Р.Цекановського, М.М.Маламуда були знайдені трикутні моделі для значно ширших класів операторів. Всі ці дослідження спирались на основний інструмент для вивчення несамоспряжених операторів, тобто на характеристичну функцію М.С.Лівшиця. Важливу, роль при ньому грав мультипликативний розклад характеристичної оператор-функції, що вперше був знайдений В.П.Потаповим.

Паралельно з цим напрямком досліджень аі трикутних моделей лінійних операторів в роботах Б.С.-Надя та Н.Фояша на основі поняття унітарної дилатації були побудовані і' інші, функціональні, моделі стискуючих операторів. Ця тематика одержала подальший розвиток у дослідженнях Б'.С.Павлова,

Н.К.Нікольського, В.П.Хрущова, В.І.Васюніна, С.М.Набоко, Л.де Бранжа, -П.Ахерна та Д.Юіарка,і-,М.Г.Макарова, В.Войкулеску та інших. • * . , ' ' '

Природною є спроба побудови аналогічних моделей для систем лінійних операторів.. Перші ..дослідження в цьому напрямку були виконані М.С.Лівшицем, ' Б.С.-НадєМ та Ч.Фояшем. За аналогією з відомим результатом Дж. фон Неймана про спільний спектральний розклад переставної системи самоспряжених операторів очікувалось, що трикутні або функціональні моделі для переставних систем лінійних операторів теж будуть мати багатовимірну структуру. Перші

результати у цьому напрямку були одержані Л.Л.Ваксманом та В.О.Золотарьовим. Так, Л.Л.Ваксманом були побудовані модельні зображення для таких систем лінійних операторів, які реалізуються операторами множення на незалежні комплексні змінні у спеціальних просторах функцій. У роботах В.А.Золотарьова були отримані такі трикутні моделі для спеціальних класів систем лінійних операторів, які зводились .до операторів інтегрування за різними змінними у просторі квадратично сумовних функцій в спеціальних областях на площині. Було доведено, що конфігурація цих областей залежить від алгебраїчних властиво'стей вихідної системи лінійних операторів. Багатовимірні моделі, що були побудовані, знайшли досить цікаве використання у теорії випадкових полів (А.А.Янцевіч, В.О.Золотарьов, Л.Аббауї). Існуюча істотна необхідність продовження досліджень у цьому напрямку і складає актуальність побудови багатовимірних моделей для більш широких класів систем Лінійних операторів. ,

Мета роботи. Побудова багатовимірних трикутних моделей для широкого класу систем лінійних операторів та застосування їх у спектральних розкладах нестаціонарних випадкових полів.

Загальна методика роботи. У дисертації’ застосовано методи функціонального аналізу несамоспряжених систем лінійних операторів та кореляційної теорії випадкових полів. '

Наукова новизна. У дисертації одержано такі нові результати:

а) побудовано багатовимірні трикутні моделі для систем

лінійних операторів Ai,Aj , які діють у гільбертовому просторі

Н, таких, що С"+1=0, dim СН=п (Си*0), І>™+1=0,

dim СН=т (Dm* 0) , де С=[А],А2] та 0=[А\,Аг] ;

б) для системи операторів Аі,Л2 у гільбертовому просторі Н, для яких 0 = 0; D2 = 0 , але dimC7/=2 та dim£//=l, також побудовано модельні зображення багатовимірного типу;

п) одержано вигляд кореляційної функції для нестаціонарного лінійно зображеного поля cxp[i{t\A\ + ъЛг)] в тому випадку, калії система операторів {Лі.Лг} така, що С2 = 0 (dim СН= 1) та D=0.

Те о р е.тяу Н а_та__п ракти'ш а__діі ш і с т ь_раз ул ьт аіі я.

Результати, одержані в дисертації, та розвинені у ній методи можуть бути застосовані для одержання аналогічних

результаті!* ЛЛЯ ІНШИУ VHar.lR ГМРТРІі riiuiiiuwv опапатлпі п о Сіл bill СКЛгиіНИМИ шінстиипіггими иі,пкііГІТ^НТНПСТІ KOMVT®TOTVP

С та D. Одержані результати можуть бути використані у кореляційній теорії випадкових полів та в теорії динамічних систем.

Апробація „роботи, Результати роботи доповідались , на наукових семинарах кафедри вищої математики та інформатики ХДУ і кафедри алгебри Симферопольского держуніверситету. • . .

Публікації. Основні результати опубліковані в роботах II. 2]. . '

0бі£м^а_атруі(їурз_ііис.ертації, Дисертація 'складається із вступу та трьох розділів. Загальний об'єм дисертації складає 97 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить 42 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

Перший_____розділ дисертації присвячений . .побудові

багатовимірних моделей у випадку нільпотентності комуіаіоріп [А, Я] га [А', Я\. Параграф 1.1 носить допоміжний характер; в ньому приведені основні факти з теорії вузлів, характеристичних функцій та трикутних , моделей М.С.Лівппшя. Наведені основні модельні зображення у випадку чепрерипні'-о та дискретного спектрів несамо-

спряжених операторів при скінченомірності уявної компоненти.

В параграфі 1.2 приведені модельні зображення для двічі переставних операторів. Система линійніх операторів А, В, що діє в гильбертовому просторі Н, - називається двічі переставною, якщо АВ=ВА, А’В=ВА'.

В.А.Золотарьовим були одержані модельні зображення для цього класу операторів. Модельна система операторів діє в просторі Ьг(В), де І)=[0, а]х[0,Ь],

L40) = ]/(*, У), jj [fi^ y^dxdy < со і.

1:

D

Задамо в L2(D) оператори

' • X

’ (Ам/)(х, У) = а(х]/{х, у) + і\j[t, y)dlE,

- О У

(1)

(Вн/)(х, у) = у) + і г)Л8.

' о .

де 8, є = ±1, а(х) та р(у) - дійсні обмежені неспадні функції на

[0,а] та [0,6] відповідно. Наступний результат одержано В.О.Золотарьовим.

Теорема 1.3 Довільна проста система двічі переставних операторів, така, що:

1) dim Ho = 1, ,

2) спектр А і В дійсний,

унітарно еквівалентна модельній системі операторів (1) в

Аналогічний результат має місце і у випадку недій- сного спектру.

Паоагоаф 1.3 присвячений викладенню результатів для viiCicM Ї-ЛД.СУ -

Система лішпшх обмежених операторів A\,Ai, що діють в гільбертовому просторі Н, належить до классу К„, якщо: .

1. А1А2 = А2А1',

2. dim СН=п< оо, С = А\А2 - АгА] ; .

• З.С"+1 =0, Сл*0 . . .

Оператор С є "мірою" відхилення системи А\,Аї класу К„ від класу двічі переставних операторів Ко . ■ '

Розглянемо модельну систему операторів А\,Аг класу К„ Нехай D„ є октантоподібною областю з першої чверті, межа якої:

а) включає до себе відрізки jcj = 0, 0<Х2іа2 н х2 - 0,

0<хі<оі (яі>0, а2 > 0); ,

б) складається з неопадної ломаної, що з'єднує точки (0, аг) і (ді, 0) і відрізки якої паралельні вісям координат;

в) кількість точок "злому" цієї кривої дорівнює 2« + 1.

од.

X

п східців

Задамо простір вимірних на 0„ функцій

І?ф„) = \^х),х = {х1,хг) є В„: \ [Дх)|гЛ<то та оператори, що діють в ньому:

(іі/](х) = аі(хі)Дх)+[ іЛ, .

о 1

. (Аг /) (х) = а2{х2Жх) + ' IЛ*і. 0^2 Л,

■ о

х={хі ,х2) є А,, Дх) є Ьг(0„); а*(х*) - дійсні неспадні обмежені функції при 0£;с*<а*, /* = ±1, (Л: = 1,2). . .

Основним результатом цього параграфу є теорема 1.6, гм доведена В.О.Золотарьовим.

Теорема 1.6. Нехай проста система операторів Аі,Аі належить до класу К„ і задовільняє умовам: ■

1) сіігп //о = 1, Нч = (Л^ПГ\ЩУП ; .

2) (Лі),С*//с СЧі, {А2),С'3На 07/, (1 <;£,*<п), при цьому (Лі)/ на СН, (А-і)[ на ОН- иавироджеиі;

3) спектр кожного оператора А\, Аі дійсний.

Тоді існує простір та оператори Аі,Аг о ньому (2), а

також ізометричний оператор V з Не £2(Х)Л) такий,. що

иАк=Ак и, (к =1,2). .

В параграфі 1.4 побудовані трикутні модели для систем з класу

*і,і- . . - '

Система обмежених операторів А\,Аг, шо діють у гільбер-товому просторі Н, належить до класу К„,т, якщо:

1. сііт СН= п < да, сіішІ)Я=т<оо,

С=А\А2 ~АіА\, О-АіАг-АгАї',

2. С+> = О, С ф 0, От+1 =0, йт * 0;

3. Для довільного к (0 <к<п) існує 5 (0 < і £ т) таке, що мають місце ОСкНс. В'11, СР’На СЬЛН,

О&'НсГГ'Н .

4. СБ' = 0 и й'С* 0.

Розглянемо модельну систему операторів класу К\,\.

Нехай

Л= {(хі.хз): 0 £х\ йа\, 0<,Х2^Ь\, а\йх\<.аг, 0<Х2^6з.

аг^хійа), 0<,хг<Ь2}, аі>а2>аі, Ьг>Ьг>Ь\

Ь і\

—7 - »-* І-----------

і)

(3)

Задамо простір вимірних в Б функцій

Ь2(П)= Дх),х-(хі,х2) є Л: І [Дх)|2сІх<<*> ,<іх= (Ьсісіхг

в

і два оператори в ньо-:у: '

Л і /) (*) = а і (х і )Лх) + і ] Д/, х2 )/і <*,

' о

Лг /) (х) = а2(л-2)Дх) + ' І У(лп, <Уі <Л,

' о

дс = (хі,Х2)єВ Дх) є І2(Д), а *(.**) - дійсні неопадні обмежені функції, Л = +Г (& = 1,2).

Теорема 1.8. Нехай проста система лінійних операторів Л \ ,Л; належить до класу Кі,і та задовільпяс умовам:

сіішЯо = 1, Но = (ЛьЙП(ЩЇЇ; ■

2. {А\),ВкНс Л*Я, (А2)!П'!Пс /?'’Я, (*, /<= 1,2), причому

(Лі)] на ВИ і (;І2)і на В’II исвиродхссні, а В~П С, .

3. Спектр кожного з операторів А\, Аг дійсний.

Тоді існує простір Ь7{П) та оператори в ньому (3), а також ізометричний оператор II з Н в 1?(П) такий, що

1!Лк -Ац и (к= 1,2). ' _

" Параграф 1.5 присвячений побудові моделей для класу К„ „.

Нехай - опукла область з першої чверті, межа якої:

а) містить у собі відрізок Х2 = 0, 0 <х<а, а> 0;

б) складається з неперервної ламаної, відрізки якої паралельні вісям координат і яка з'єднує точки (0, а) і (я,0);

в) кількість точок "злому" на відрізку зростання 2т + 1 , а на відрізк) спадання 2п + 1 .

Задамо простір L2(Dn,m) вимірних функцій таких, що

|2-

L7{D„,m) = \Ах),х = {х\,хі) є D„,m : J |/(х)|:Лс<со|, dx=dxidx2, і оператори в ньому: .

(Лі j)(х) = аі(хі)Дх)+ і

(л2 /) (х) = a2(x2)/{x) + і J fix і,

(4).

х = (хі,хг) є Dn,m, fix) є L2(D„t„), ак(х) - неспадні" обмежені дійсні функції, Л = ±1 (£=1,2). ■

Теорема 1.10. Нехай проста система операторів А\,А2 з класу К„,т задовільняє умовам: . _____

1. dim#o = 1, Но = П (Akj[H-, " .

2. (Лі)/5‘Яс BkH, Ш,В,3Н^ В'*Н, {l<,k<.p, l$s<Lp), причому (Ai)j та (А2)/ на ВН та В'Н невироджені відповідно

(B-D-C); \ . •

3. Спектр кожного з операторів А\,А2 дійсний. .

Тоді існує простір Ь2(Вл,т) та оператори /її,/1і (4), а також

ізометричний оператор 11 з 11 в 1?(В,кт) такий, що

11 Аь =Ак СІ, {к= 1,2). .

Другий розділ дисертації присвячений побудові моделей для класу систем операторів .

Система об іежених операторів належить до класу К]'} , якщо: ПсіітС//=2. тобто С11- {іі,к}, де /і±£, С*//= {ф,іу} та

Ґ* ", _ * . • 1 —, г ■»»*—* иг> - -

С-Ч/ “ ^ .і -ут » ' О ", , •

2) С? = 0;

3) сііт0//=1, тобто ВН=[р], В'Н={к};

4) Д2 = 0; .

5) (Л V 011) є інваріантним відносно (Лі)/ та (Лі)у(Л\/і?Д) = аЛ + ар, де р = р-{р,к)Ь, а*а;

6) 0*\/й'Н) є інваріантним відносно (Лг)/ та .

(Лг)/С?УО*Я) = а£+а Іс, де Іс=к-(к,g)g, а*а;

7) Д> = 0, 1)^=0, Лр = 0, /)Л = 0.

Задамо /,’(£!) - простір вимірних функцій Дх) на П :

£2(П) = ІДлг), а: = (лг), лгг) є П : / Дх)|2Л < да , сіх= йх\(1х2,

І п

де область П має вигляд:

в,

о, п" а

п"

о,

а, а,"

о,

а.

п,

я.

п

О,

<1,

с ,

Нехай n = QiUfi2Un3U04UQj, де

Qi = niUOiUOi ={(хі,*2):0<хі S(/i, Osxj<*i},

П2 = {(xi,x2] : Уі Sxi Scj, b2<x2<,a2),

• Пз = njU£ljU03 = {(хі.хг): d\ zxi £ ci, Q <,x2 й b2),

СІ4 = fi4Un4 = {(Хі.хг): cj Sxi < 6i, 0 Sxj £ сг},

П5 = {(xbx2): *i 5xi <oi, d2<,x2<.c2},

■і для визначеиності будемо вважати, що 0 5 dk & ск й Ьк й ак (к*=1,2).

Задамо в L2{Q) два оператори:

{Аі/)(х) = аі(хіУ[х)+і jj(t,x2)dt,

' г \ 1 (5)

\Л2/){х) = а2{Х2У{х) + і J J[x\,i)dl,

. о

де х=(хі,хг) є £1, Дх) є І2(П), а*(х*) - дійсна неспадна обмежена функція. . .

Основним результатом цього розділу є теорема 2.4.

' Теорема 2.4. Нехай проста система операторів А\,А2 належить до класу К\'\ і задовільнеє умовам: .

1) спектр операторів А і і А2 дійсний; ,

. 2) dim#o= 1, де Я0 = ЗрП®?; , ,

3)(Ai)]h = ah, (/$2)/р = уф, (/ii);V = yV, {A2),g= a g і а,а ,у,

У . . .

Тоді існує простір L2(C1) та- оператори Аі,А2 (5), що діють у ньому, а також ізометричний оператор U з Н в L2(Q.), такі, що UAk =Ak (£=1,2). •

' Третій розділ диссертації присвячений кореляційній теорії для випадкових двувимірних полів, що породжуються системою операторів класу К\. Використання кореляцийної теорії для нестаціонарних випадкових полів вперше з'явилось в роботах М.С.Лівшиця і А.А.Янцевіча . Для полів, що породжуються двічі переставними системами операторів, основні результати були одержані Л.Аббауї . Даний розділ узагальнює ці результати на випадок полів класу К\. \

Розхлянемо кореляційну функцію К(рс,уу= (h(x),h(y)), де h{x) = exp [/(Ліхі + A2x2)]h, he Н, де [А і, А2] = 0, С= [А\, Л2],

ся-= о, с* о. . .

Впедемо інфінітезімальпі кореляційні функції

№\(Х\,Х2,уі,уі)-*—^К(х\ +гі,хг,уі + ті, 3'г)Кі=о;

\У2(Х і, Х2,Уи У2) = -^К(Хі ,Х2+І2,У\,У1+ Т2)іт2=0; д7

ЩхІ,хг,у\,уг) = к(х\ + Ті.дсг +Т2,>>1 Н-Ті.л + Т2)і„«2.о;

Доведено, що у випадку сііт //0 = 1 (йо=П®?) інфіні-

- » »«»»».»—---****** ц«і <-■ ',-т —- * » у . а/4і4#д/>м

І

Н'\х,у) = {ОИ[х),іїу)), де Ок=У;ф,іа)Ьа$ІІІ, а г?а,р - матрігті

елементи матриці Якобі. Таким чином,

з _____ •

Ж(х,у)= ЕФа(д:)6арФр(у) . (6)

і

. Сформулюємо (для простоти) основний результат розділу лише у випадку, коли спектр Аі і Аг лежить у мулі. Позначимо через

Ф*(хі,х2) Функції

Фі(*і,х2)=] /жі-ад^(2У^)/о(27^)^і^2,

0 о

Фі(х(,х2)= І |д^,ЪУо(2^17)/о(273^Т)сЙ,,^2, (7)

о о

Фз(Х1,х2)= І |д^і,^2)/о(2Ул:і^і ^І0(2^хг\г)&,\&,г,

о о

де /0(г) - функція Бесселя.

Теорема 3.2. Нех їй проста система лінійних операторів така, що {А\.Аі} є К\. сіітЯп = 1. (нп = П(Ак)гН), (АЛ.СНс- СН

(сііт СУ/ - І), (А 2) ІО //с С’ Н (сііт ОН- 1), і спсктр кожного з Лі лежить у нулі. Тоді інфінітезімадьна кореляційна функція Щх, у) має вигляд (6), де Фа(хі,.х2) являє собою (7), а елементи Ьар утворюють таку матрицю Якобі ■

Яі(/;2 - Ь\) а\(Ьг-Ь\) 0

а^Ьг-Ьі) афі Ьі{аг-аі) .

0 Ь\(аг - Ь\) Ь\(Ь2 - а\)

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Золотарев В.А., Раэд Хатамле. Модельные представления одного класса некоммутативных систем операторов/ ХГУ.- Харьков,

1993.- 6с.- Деп. в ГНТБ Украины 22.05.93, № 983-Ук93.

2. Раэд Хатамле. Треугольные модели систем линейных операторов с нильпотеНтными коммутаторами [А, В]и [А‘, В]/ ХГУ.- Харьков,

1994.- 9с,- Деп. в ГНТБ Украины 25.01.95,

, №224-Ук95. .

Raed Halamleh. The muitidimentional triangular models of linear operator system' with given propert'C1 ef сотти пигч

Manuscript. Dissertation for a digree of Candidate of Science (Ph. TV) in

Physics and Mathematics, speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis. Kharkov State University, Kharkov, 1595.

Two papers which contain the studies in the area of Ошсиопч! analvsi', related Id '.he Оглч\- o<' nnnself-conjtjgate linear operator s\'.;enis are defended. It has been established that various properties of commutator

•< плиПпш-п11п« лГ Am^linn (tafartviinqfinn ilniii'iin *l»r* mnHnl ХМАЛЛ i« mUinh tha trinrtiTllInf тл/ialO ant At 1ППРПР?1ЛРПГ

variables. An explicit form of correlation functions of the linear operator systems under consideration has betn obtained.

Раэд Хатамле. Многомерные треугольные модели систем линейных операторов с заданными свойствами коммутаторов.

Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. - мате-

машч^кий анализ. Харьк-.-йскиЯ roc. vh-t, Харьков,

Зати'п.'кчел две работы, коюрме содержа! исследования ч облает функциональною анализа, опюсншиеся к георин нееммо-сонряжечных систем чиненных операторов. Установлено, чк> р;\ пичные свойства нпльпоичпности коммутаюро» определяю! конфигурацию облай и определен!!;! функций '.отелыгого пространства, В котором Треуюлъные модели ДСЙСТВуЮТ ПО не 1а(Н|''1)МЫМ переменным ПоЛу’ГСН ЯШИ.!!! ПИЛ КоррСЛЯИИОИНЫХ ФМН.'ННЙ изучаемых CHCICM линейны < онер ЧН'рОП

Кл;п-тпп1 c.-r-rrv •

СИС1СММ НГСаМОСНр'Г''е!!ИХ лinifl1 ч!V Г'!!!'Г1.чтоо;!1. ’!•- - Т:: 1.

винадков! поля.