Многообразия оскулирующих и их секущие тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 Подготовительные определения и результаты

1.1 Секущие.

1.2 Оскулирование и касание для семейств проективных подпространств

1.2.1 Определения.

1.2.2 Простейшие свойства касающихся семейств.

1.3 Оскулирующие конуса.

1.3.1 Определение.

1.3.2 Основные свойства

1.3.3 Соотношение объектов ТхХ, ОхХ, ТхХ, ТхХ.

1.3.4 Оскулирующие конуса и семейства подпространств

1.3.5 Оценки для dim^ X

1.4 Многообразия оскулирующих к кривым.

1.4.1 Семейства конусного типа.

1.5 Многообразия с малой размерностью ТкХ.

1.5.1 Многообразия конусного типа.

1.5.2 Основное утверждение.

1.6 Многообразия Веронезе.

1.6.1 Определение и интерпретация.

1.6.2 Комбинаторика многообразий Веронезе.

1.6.3 Расширенная функциональная проблема Варинга для общих форм.

2 Поверхности с дефектными многообразиями оскулирующих

2.1 Примеры.

2.2 Основное свойство поверхностей с дефектным многообразием ТкХ,

0 < к < 2.

2.2.1 Комбинации чисел dimTX, dim2X, dimT2X, din^X для поверхности ICP".

2.2.2 Вспомогательные леммы.

2.2.3 Ограничения на дефекты.

2.2.4 Аналог леммы Террачини для касательного пространства к многообразию секущих многообразия оскулирующих

2.2.5 Основное свойство.

2.2.6 Доказательство теоремы 2.2.6.

3 Классификация поверхностей X, для которых 5h(TkX) > 0 для к = 1 или 2 и некоторого натурального h

3.1 Основные теоремы.

3.1.1 Решение расширенной проблемы Варинга для общих форм от трёх переменных и к — 1 или 2.

3.2 Доказательство теорем 3.1.1, 3.1.2, деление на случаи.

3.2.1 Семейство кривых Сн(Х).

3.2.2 Семейства подпространств /j

3.3 Случай h = 1, dim Ci{X) = 1.

3.3.1 Вспомогательные утверждения

3.3.2 min{*i -t0,. -tk} <

3.3.3 min{£i -t0,. ,tk- tk- i} = 2и - tk = 2.

3.3.4 min{ti - • • • , 4 - ifc-i} > 3 и ifc+1 - tk > 2.

3.4 Случай h = 1 и dim А (Л") = 2.

3.4.1 Двумерные системы кривых на поверхностях.

3.4.2 Вспомогательные утверждения про отображения.

3.4.3 Разбор случая dim S(TkX) =

3.4.4 Лемма о трисекущих

3.4.5 Разбор случая к = 2 и dim S(T2X) = 14.

3.5 h> 1.

3.6 Случай h > 1, dim£h(X) = 1.

3.7 Случай h > 1 и dim£/l(X) = h + 1.

Пусть X — (проективное) гладкое неприводимое многообразие размерности п в комплексном проективном пространстве Р^ размерности N. Предположим также, что многообразие X невырождено, то есть X не лежит ни в какой гиперплоскости. При N > 2п + 1 мы можем изоморфно спроектировать многообразие X в проективное пространство P2n+1 размерности 2п + 1. Возникает вопрос: можно ли изоморфно спроектировать многообразие X в проективное пространство размерности меньшей, чем 2п + 1? Попробуем ответить на этот вопрос. Заметим, что для того, чтобы проектирование многообразия X было изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ многообразия X был неособ. Особые точки при проектировании возникают тогда и только тогда, когда центр проектирования либо пересекается с секущей многообразия X (это приводит к появлению двойной точки), либо пересекается с касательной к многообразию X (это приводит к вырождению дифференциала отображения проектирования). Поэтому для того, чтобы проектирование многообразия X было изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы центр проектирования не имел пересечений с многообразием S(X) секущих многообразия X (формально S(X) = (Jx уеХ X7Ly(x, у), где через (U) обозначена линейная оболочка множества U). Следовательно, размерность центра проектирования не может превышать числа codim5'(X) — 1, где codimS(X) — это коразмерность многообразия S(X) в проективном пространстве Р^. Поскольку при проектировании из Р^ в Vм размерность центра равна N — М — 1, многообразие X С Р^ может быть изоморфно спроектировано в проективное пространство Рм размерности М тогда и только тогда, когда N — М — 1 < codimS'(X) — 1 или М > dimS'(X).

Простой подсчёт размерностей показывает, что размерность многообразия S(X) не превосходит числа 2п + 1. При этом если многообразие X С Ря — "общего положения" и число N достаточно велико, то dim5(X) = 2п+1. Следовательно, многообразия "общего положения" могут быть изоморфно спроектированы только в p2n+1. Поэтому интерес представляют многообразия, которые могут быть изоморфно спроектированы в Рм для M<NnM<2n + l, то есть многообразия X, для которых dimSpC) < М, в частности, dimS'(X) < N и dimS'(X) < 2п + 1. Многообразия, для которых выполняются неравенства dimiSpiT) < N и dim5'(X) < 2п + 1, называются 1-дефектными.

Обобщение понятий многообразия секущих и 1-дефектности предложили классики алгебраической геометрии Ф. Палатини [17] и [18] и А. Террачини [23]. Обобщение происходит следующим образом: многообразие S(X) по определению является замыканием многообразия, заметаемого секущими многообразия X (прямыми, пересекающими многообразие X как минимум в двух точках). Возьмём теперь вместо секущей-прямой проективное подпространство размерности h, пересекающее многообразие X как минимум в h + 1-ой различной точке. Таким образом, xo,— ,Xh£X, dim(xo,. ,xh)=h

Заметим, что S(X) = SПрямой подсчёт размерностей показывает, что размерность многообразия Sh(X) не превосходит числа (h + 1) • п + h. При этом если многообразие X С FN — "общего положения" и число N достаточно велико, то dimSh(X) = (h + 1) • п + h. Поэтому ожидаемая размерность для многообразия Sh(X) равна min{(fe + 1) • п + h, N} и мы можем определить h-дефект многообразия X равенством 8h{X) = min{(/i + l) -n + h, N} — dim Sh(X). Будем называть многообразие X h-дефектным, если для всех натуральных г, 1 < г < h ~ 1, г-дефект 5г(Х) равен 0 и 6н(Х) > 0.

Многообразия Sh(X) и Д-дефекты применялись для решения функциональной проблемы Варинга для общих форм: для данных чисел тип найти минимальное число I такое, что общий однородный многочлен степени т от п + 1 переменной представим в виде суммы / многочленов, являющихся степенями линейных. Ф. Палатини [17] и А. Террачини [24], позже Дж. Броновский [5] переформулировали эту задачу, сведя её к следующей: для данных чисел т и п найти минимальное число I такое, что S''1(fm(Pn)) = Pc™+m-1 (где через vm : Рп —>■ Р6"^™-1 обозначено отображение Веронезе полной линейной системой дивизоров степени т, С™+т — соответствующее число сочетаний). Если для любого I > 1 дефект равен нулю, то размерность многообразия 5'1(um(Pn)) равна ожидаемой, и найти требуемое I не составляет труда. Поэтому интерес представляют только комбинации чисел тип, для которых найдется число h > 1 такое, что 5ь(г>т(Рп)) > 0. Такие комбинации были найдены Дж. Александером и А. Хиршовицем [3].

Основным средством изучения многообразий секущих является лемма Террачини (например, [23] или [9]):

Лемма (Террачини). Если X С Р^ — неприводимое невырожденное многообразие и хо, ■ • • , %h £ X и q € (х0, • ■ ■ ) Xh) С Sh(X) — общие точки, то

TqSh(X) = {TxoX,TxlX,. ,TXhX).

Покажем с помощью леммы Террачини, что для любого натурального h для любой кривой X С Р^ её /i-дефект равен нулю. Сначала покажем, что для любого натурального h либо dim Sh(X) — dim5/l-1(X) = 2, либо Sh(X) = fN. Выберем общие точки х0,. ,xh € X, q± € (х0,. ,Xh-\) С Sh~1(X), q е {х0,. ,Xh) С Sh(X). По лемме Террачини имеем: TqSh(X) = {ТхоХ,. , TXh,X,TXhX) = {{ТхоХ,.,Тх X,)TXhX) = (T^S^iXlT^X). Рассмотрим проекцию 7Г с центром в TqiSh~l{X). Тогда по доказанному имеем: dim7r(X) = dimT^h)7r(X) = dim7r(Tx,X) = dim(TqxSh~l{X),TXhX) - dimTqiSh~l{X) - 1 = dimS'^A') — dim^-1^) — 1. Поскольку многообразие iт(Х) С ^(Р^) невырождено, то либо dim7r(X) = 1, либо dim7r(X) = dim7r(PiV). В первом случае dimS^X) — dim5'/i1(A^) = 1. Во втором случае имеем: dimS^X) — dim S^iX) - 1 = dimTr(A) = dim7r(PiV) = N - dimTgi5/l-1(X) - 1 = N -dimSh (X) - 1 и dimS*(X) = N, или Sh(X) = P*. Поскольку S°(X) = X и dimS°(X) = dimX = 1, то либо dim Sh(X) = 2h + l, либо Sh(X) = TN. Откуда по определению Sh(X) — 0.

Дефектные поверхности были классифицированы многими авторами. Впервые такие поверхности возникли в работах Ф. Палатини [18] и [19]. Теорема классификации, принадлежащая Палатини, содержала серьёзную ошибку. Позднее А. Террачини [22] завершил классификацию, предложенную Ф. Палатини.

Также эта тема встречалась в работах Г. Скорца [21], Дж. Броновского [4] и М. Дале [10]. Работы Ф. Палатини и А. Террачини содержат громоздкие доказательства и сложны для чтения. В последнее время JI. Киантини и Ч. Чилиберто [7] классифицировали так называемые слабо дефектные поверхности, частным случаем которых являются дефектные поверхности. Подход, используемый последними авторами, проще и быстрее приводит к полной классификации, чем подходы классиков.

Классификация дефектных поверхностей следующая:

Теорема. Невырожденная неприводимая поверхность X С Р^ h-дефектна тогда и только тогда, когда X — одна из следующих поверхностей:

1. N > ЗД+2 и X — поверхность, лежащая в конусе Conei(C), где С — кривая и L — проективное подпространство размерности h — 1; при этом поверхность X удовлетворяет условию невырожденности: для произвольного проективного подпространства I С L, I ф L, выполняется сПттгг(Х) = 2;

2. X = V2(Y) С Рзл+2; где Y С Рл+1 — невырожденная поверхность минимальной степени, — отображение Веронезе степени 2 (отображение, задаваемое полной линейной системой квадрик).

1-дефектные многообразия размерности 3 были классифицированы Г. Скорца [20]. В последнее время Ф. JI. Зак [25], Т. Фуджита и Дж. Роберте [12] и отдельно Т. Фуджита [11] рассматривали в своих работах гладкие дефектные многообразия размерности 3. JI. Киантини и Ч. Чилиберто [8] дали простое и быстрое доказательство данной Г. Скорца классификации.

Про дефектные многообразия больших размерностей пока известны только общие свойства, полученные Ф. JL Заком [25].

В [6] Дж. Броновский указал, что общая кубическая форма w от трёх переменных не может быть представлена в виде w = х2у + z2t, где х, y,z,t — линейные формы, хотя и правая, и левая части указанного равенства зависят от десяти параметров (правая часть не изменяется при домножении х на А ф 0 и у на А-2, г на ц ф 0 и t на /х-2, что понижает количество параметров для правой части на два) и переформулировал этот факт как 5(Ти3(Р2)) ф Р9 (через TY мы обозначаем многообразие касательных к многообразию Y). Поскольку ожидаемая размерность многообразия S(Tvз(Р2)) равна min{2 dimTi^P2) + 1, 9} = 9, последнее утверждение равносильно неравенству «^(Тг^Р2)) > 0.

Естественным обобщением понятия касательного пространства является понятие оскулирующего пространства (например, [2]): в то время как касательное пространство в некоторой точке — это (аффинное) пространство, проходящее через эту точку и натянутое на вектора-первые производные какой-либо параметризации в этой точке, оскулирующее пространство порядка к — это (аффинное) пространство, проходящее через эту точку и натянутое на вектора-производные порядка не более к какой-либо параметризации в этой точке.

Рассмотрим проблему, являющуюся расширением проблемы Варинга для общих форм: для данных чисел т, п и к найти минимальное число I такое, что общая форма степени т от п + 1 переменной представима в виде суммы x?~kfi +. . + x™~kfi, где xi,. ,xi — линейные формы, /ь . , // — формы степени к. Как в описанном выше частном случае указал еще Дж. Броновский, эта проблема может быть переформулирована следующим образом: для данных чисел m, п и к найти минимальное число I такое, что многообразие Sl~1(Tkvm(Р™)) совпадает с объемлющим пространством Рс™+т-1 (Где через TkY мы обозначаем многообразие оскулирующих порядка к к многообразию У, то есть замыкание объединения (проективных) оскулирующих пространств порядка к к У в общих точках многообразия У). Заметим, что, как и для самой проблемы Варинга для общих форм, если для любого I > 1 дефект 5/i(Tfc?;m(Pn)) равен нулю, то размерность многообразия Sl~1(Thvm(Р™)) равна ожидаемой, и найти требуемое I, зная dim Tkvm(Pn), несложно. Поэтому особый интерес представляют комбинации чисел т, п и к, для которых найдется число h > 1 такое, что 5h(Tkvm{Fn)) > 0.

Основной вопрос, которому посвящена диссертация, формулируется так: для данных h и к описать все многообразия X такие, что 5h{TkX) > 0. Этот вопрос решён в диссертации полностью в случае, когда X — кривая (для любых h и к выполнено Sh(TkX) = 0). В случае, когда X — поверхность, ранее исследовался только случай к = 0. В диссертации подробно исследуются случаи к = 1 и к = 2. Для случая к = 1 получена полная классификация. В случае к — 2 приведена классификация, содержащая серию примеров, построенных на поверхностях, для которых размерность оскулирующего пространства порядка 2 в общей точке равна 4. Поскольку на данный момент классификация таких поверхностей отсутствует, описание этой серии не может считаться полным. Также в диссертации описаны серии примеров для различных h и к.

Следствием из основных результатов диссертации является решение расширения проблемы Варинга для общих форм: для п = 1 — исключений нет, а для п = 2 иш = 1 л 2 — исключения составляют только случаи к = 3 и к = 4 соответственно.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в [16] и [1].

Структура диссертации следующая. Первая глава посвящена определению основных понятий и доказательству базовых утверждений. В разделе 1, посвященном многообразиям секущих, основным утверждением является предложение 1.1.1, в котором вычисляются дефекты образа многообразия X при проекции из общей точки подпространства, лежащего в TqSh~1(X) для общей точки д. Раздел 2 посвящён изучению касающихся и оскулирующих семейств проективных подпространств. В третьем разделе даются определения оскулирующих конусов и обсуждаются их основные свойства, в том числе связь оскулирующих семейств и оскулирующих конусов многообразий, содержащихся в этих семействах. Раздел 4 посвящён изучению оскулирующих многообразий к кривым. Основным результатом здесь является предложение 1.4.1 и его следствие — теорема 1.4.2, утверждающая, что Л-дефекты многообразия ТкС, где С — кривая, равны нулю для всех h. В пятом разделе основным результатом является теорема 1.5.5, описывающая многообразия X, для которых dimT^X = dim^X + 1, — такие многообразия лежат в конусе ConeL(TaC) для некоторой кривой С и ТкХ = ConeL(Ta+kC). В разделе б обсуждаются комбинаторные свойства многообразий Веронезе — пересечения различных подпространств, связанных с оскулирующими конусами. Также в этой части рассматривается расширенная проблема Варинга для общих форм.

Во второй главе в первом разделе в предложении 2.1.1 и его следствии даются основные примеры поверхностей с дефектными многообразиями оскулирующих и подсчитываются соответствующие дефекты. В числе этих примеров — поверхности Веронезе Vfc+2(IP2); поверхности, лежащие в конусах ConeL(TaC), где С — кривая, L — проективное подпространство. Также в предложении 2.1.1 дан способ построения новых примеров с помощью построения конусов над многообразиями с большими дефектами. Второй раздел посвящен описанию свойств поверхностей с дефектными многообразиями оскулирующих порядка 1 и 2. Основное свойство дано в теореме 2.2.6. Также в этом разделе в предложении 2.2.4 обсуждаются ограничения на дефекты для многообразия ТкХ.

Третья глава посвящена формулировке и доказательству двух основных теорем 3.1.1 и 3.1.2 данной работы. Эти теоремы описывают поверхности X, для которых /г-дефект многообразия ТХ или Т2Х больше 0.

Вопрос, из которого возникла данная работа, был поставлен автору проф. Ч.Чилиберто во время летней школы по алгебраической геометрии PRAGMATIC 2001. Автор выражает благодарность проф. Ч. Чилиберто за постановку вопроса и плодотворные обсуждения, огромную благодарность д.ф.-м.н. Ф. JL Заку за научное руководство, долгие обсуждения, крайне полезные исправления и предложения во время написания данной работы, и проф. д.ф.-м.н. С. М. Гусейн-Заде за руководство и всяческую помощь в процессе написания данной работы.

1. Иншаков А.В. Поверхности с дефектными многообразиями оскулирующих порядка 2, Успехи математических наук, том 57, вып. 5, 2002, стр. 153-154.

2. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, М.: Гостехиздат, 1952.

3. J. Alexander and A. Hirschowitz, Polynomial interpolation in several variables, J. Alg. Geom., 4 (1995), 201-222.

4. J. Bronowski, Surfaces whose prime sections are hyperelliptic, J. London Math. Soc., 8 (1933), 308-312.

5. J. Bronowski, The sum of powers as canonical expression, Proc. Camb. Philos. Soc., 29 (1933), 69-81.

6. J. Bronowski, A general canonical expression, Proc. Camb. Philos. Soc., 29 (1933), 465-469.

7. L. Chiantini and C. Ciliberto, Weakly defective varieties, Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), no. 1, 151-178.

8. L. Chiantini and C. Ciliberto, Threefolds with degenerate secant variety: on a theorem of G. Scorza, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 217, Dekker, New York, 2001.

9. M. Dale, Terracini's lemma and the secant variety of a curve, Proc. London Math. Soc., 49 (3) (1984), 329-339.

10. M. Dale, On the secant variety of an algebraic surface, University of Bergen, Dept. of Math., Pre-print no. 33 (1984).

11. T. Fujita, Projective threefolds with small secant varieties, Sci. Papers College Gen. Ed. Univ. Tokyo, 32 (1982), 33-46.

12. T. Fujita and J. Roberts, Varieties with small secant varieties: the extremal case, Amer. J. of Math., 103 (1981), 1, 953-976.

13. Ph. Griffiths and J. Harris, Algebraic geometry and local differential geometry, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 4, 12 (1979), 355-452.

14. R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, No. 152, Springer-Verlag, Heidelberg and New York, 1977.

15. A. Holme and J. Roberts, Pinch-points and multiple locus of generic projections of singular varieties, Adv. Math. 33 (1979), 212-256.

16. A. Inshakov, Surfaces with defective tangential varieties. // Le Matematiche, vol. 56 (2001), suppl. 1, pp. 4-33.

17. F. Palatini, Sulla rappresentazione delle forme e in particolare della cubica quinaria con la somma di potenze di forme lineari, Atti. Accad. Torino, 38 (1902), 43-50.

18. F. Palatini, Sulle superficie algebriche i cui Sh (h + l)-seganti non riempionto lo spazio ambiente, Atti. Accad. Torino, (1906), 634-640.

19. F. Palatini, Sulle varieta algebriche per le quali sono di dimensione minore delPordinario, senza riempire lo spazio ambiente, una о alcune delle varieta formate da spazi seganti, Atti. Accad. Torino, 44 (1909), 362-374.

20. G. Scorza, Determinazione delle varieta a tre dimensioni di Sr, (r > 7), i cui 53 tangenti si tagliano a due a due, Rend. Circ. Mat. Palermo, 25 (1907), 193-204.

21. G. Scorza, Un problema sui sistemi lineari di curve appartenenti a una superficie algebrica, Rend. R. 1st. Lombardo, (2) 41 (1908), 913-920.

22. A. Terracini, Su due problemi, concernenti la determinazione di alcune classi di superficie, considerati da G. Scorza e da F. Palatini, Atti. Soc. Natur. e Matem. Modena, V, 6 (1921-22), 3-16.

23. A. Terracini, Sulle V^ per cui la varieta degli Sh (h+l)-seganti ha dimensione minore delPordinario, Rend. Circ. Mat. Palermo, 31 (1911), 392-396.

24. A. Terracini, Sulla rappresentazione delle copie di forme ternarie mediante somme di potenze di forme lineari, Ann. Mat. Рига e Appl., 24 (1915), 91100.

25. F. Zak, Tangents and secants of algebraic varieties, Transl. Math. Monogr., AMS, 127 (1993).