Многообразия с расщепленными нормальными пучками, топологические свойства и некоторые приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

российская акадшя наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На правах рукописи

ГОЛУБЯТНИКОВ Владимир Петрович

УДК 513.73; 513.83

МНОГООБРАЗИЯ С РАСЩЕПЛЕННЫМИ НОРМАЛЬНЫМИ ПУЧКА!',И, ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА й НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

01.01.04. - геометрия и топология

Автореферат . диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск > - 1992

■Рабогэ выполнена в Институте математики СО Российской ЛИ.

•Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.М.Бухштабер;

доктор физико-математических наук,

/

Профессор А. К.Туг,;

'доктор физико-математических Hayic,

профессор В.И.Еузъшшов

Ведущая организация: Московский Государственны! университет v км. Ы.В.Ломоносова.

Защита состойся "

Cj'UÍJ^Ji 199,2 года в ^ I час. на заседании специализированного совета Д 002.23.02 по защита диссертаций на соискание ученой сте-, пени доктора наук при Институте математики Сибирского отделения Российской Акадежш наук по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Института математики СО Российской АН.

2-Е

Автореферат .разослан " " А^ •. юэлгсда

Учении секретарь сггециализкгоБакного совета

.д-р физ.-мат.наук В.С.Еелоносо'

' Язлялсь ■ объектом -. изучения многих, математических цисцигоЬи. гладкие гкогообрэзил при рассмотрении. тех'илк инта кожреткмх задач ■;.' '.'снабжаются '. разнообразными ссполнительвнмл структурами' в (стабильннх) касательных или гормадьных' расслоениях. как-л; правйдо, -;гд$иа!л< структуры '

5ПИСЫЕ8ЮТСК рвДуКЦИГЛМ СООТВОТСТОУСТДХ СТ^уКТурХЙХ -.ГруПП

>тих расслоений. В н:асто;эдеа -райоте; ш ^удем даучать лажа- ' '

те п п многообразия^ которых стабилыще-.нормзлыша расценка расщеплена в суммы некоторого колзтеестга гаоморфлу^,; юлрассдоевий {к велико), в основном, наци буду у.'раосмв^риЦ. каться векторпна расслоения над полем, .Ъедестабнадх "

1 соответствующая редукция структурной группы булег ,в.юсь' кглядвть- так; группа 0(Ш ртвдцвдгется .»;-групгге ¡^ вжущой 'а. ней в виде * . одинаковых датЬв./'располоЦнг.;',

их вдоль • главной диагонали. Многообразие й с-тгк,,у' которого,:

табильтай нормальный пучок'расщаплен. в сушу & изоморфных латаемых, будем называть Ьу-маогсобразйем. поскольку этот, ■ учох. индуцт-фуется нбвоторш отображением

I 1 1

->ВО »ВО ГяА)

X

, У ,

где - унжейрсадьно'э' «-мерное' векторное расслоение-над вегдостБимсг.у граосмашоиом во(ю. :/'. ■ ■■''."'■

Актуальность ! теш ■ представляемого'. ксследсвазия

обусловлена тем,, что 'подобные многообразия естественным образом «сгнивают как в задачах чисто топологического . происхождения(например,. э классификации вдоягяий и потру-

■ кэний в эвллидовк пространства). так и во многил ¡филоке-.1 йиях ■ {в об'ратвкх аадачах .1ша,аг1)альнЬй,.г&оме?.р,/к, тскогра-

■ фш, сптк1й'.),Е£«оторые из ;ко-Щш>С. отражены ч кастоялез дис-сертгадк.. Е частности,, в -главе. 3 рассмотрев ряд топологи-",. ■

; ческих -сзойста жгегр&взн® ■ пода/лсгообрззий;.®авгакх: прей'-

• раясзв,:^..получено о.дкр..обзбщеага иззеожсй хэдреда.Ац'вал-»/ ля о многообразиях уроыя набора находящихся-в инзолшия .

• ;!'интеграяс>:в движения, Отметим, .что- некоторые топологк'гескга

сврйстеа'подобных¡штегргик-шс мкогооЗрамий в. младших рэл-"".. шрво'стах были рассмотрены А.Т.;Ф,омэано'и Матвеевы«.

Научение ;отяаашакх.с;погатйвм.'кйвордаш'костк•евейс/в 'гладких" многообразий/;■ бывает ■};-полезно., со, -многих': течек . зрения.' поскольку рудаотловаяйё алеёкя.» ргвмервости Еат-янутоа,. .на «-мерное гладкое етогообратт .«, влечет .гц собой >воэмЬ1№9та':;'..^при11!еййния: --'формулы-. Стокса-. ДйффереягдиальЕоЯ; «-фортш о ,*- • !' . • V ''

* "' '"'= ; ^ -а ъ jб« , '

'"•;■'■"' ' ..-"л ■<./;'_'чг/и -..'- я •'•'.- - -'

что суиоста&лшм образом испольауатся как в •чистл* раалвлга. математики, так и в приложокиях - в теореме атой и Зингера со индексе ,в теории суперснмдэтрии ч т.п.

Понятие кобордсншостк многообразий. Сш;о отирашсй •точкой:в развитии теории гомологий , систематически изучалось в работах Л.С.Лонтрягина и В. А.Рол.щка. Р.Том свел проблему классификации многообразий с точностью до кобор-дацгиоети к гомотопической задаче. В дачышйшем различим теории кобордизмов исследовались в работах Уолла К.Роя, С.П.Новикове,В.М.Бухштабера и многих других споциалистоэ пи алгебре,ической тоцологии.

Цель представляемого исследования состоит, го чертах; е

изучения колец бордизмоЕ многообразия с расцзллшшжи стабильными нормальными пучками, во- Еторых, в причет ни и поко-торих топологических свойств таких многообразий а дехаоике и в обратных задача}; интегральной геометрии и, к-.жжеп, в изучении группсвых свойств решении связанных с иммк обратных задач восстановления формы тела по формам иго проеший.

Структура диссертации. Для удобства чтение ш будем,

использовать двойную нумерацию диаграмм, формул и параграфов и тройную нумерацию утверждений, таким образом, теорема 4.£.6. - это шестое утверждение из §4.2 , то-естъ из второг параграфа четвертой главы, а (3.1) - это первая формула (или диаграмма) из третьей главы. Диссертация состоит из введения, четсфех глав и списка литературы из 136 наимеко-

з

аиьиЯ. СОший объем работы '¿72 машшопискнх страниц.

ОСНОВЧСЕ СОША'гИЕ РАБОТЫ

Иервад глава работы посвяиейа изучения оощих свойств теорий (ко Юорднэмов кг-многсобр&сий и соотгветствуищих

когоц борднзмов точки о*', которые в случаях ь~г»8

применялись А. Сотом в задачах классификации вложений и погрузкеЕ'Чй гладких многообразий в евклидовы. пространства с точностью до отношзтщ кобордантносп-:.

В § 1,1 определяются осношше объекты теорий ку-коСор.лислГ-'Б, описываются необходимые геометрические конструкции к взаауосвязк мекду ятими и изучЕшаимися раив€ теориями кобордазмов самосопряконшти, симплектическими и лр.. устштвл/.ватсн ирос,?е{шме свойства колец кк-боэдиз-м:в и показывается, как в теориях кг-кобердиамов можно скроит!, хнрадтсоисзическио классы ссотзйтстьующип обрсйогл ОрШ'йТЙрОВНВИЫХ раССЛ001П!Й -

ТЧОРЕМА 1.1.1. В люсой \кс-г^к)-с1жен?ироваяной теории ко-

гсмологий ь* определяя \<хтс Поагрлгкяа в&аествеииых рас-слоэгшй, удовлетворите,''! условии/. фу'жториапъяости и формул? .Уитки !после тйнзот'чого умноиошл на 7.п/2к]).

0«»«вта»е результаты этого параграфа опубликованы в

(7,8,16, 20].

В § 1.2. поучаются кольца (2к~1л-бордизмов, то есть кольиа борлиомов подмногообразий евклидошх пространств. V которых стабглышв нормальные пучки райцеиленк в суммы

фиксированного нечетного количества изоморфних елагае^лл. Доказывается, что нечетикх кручония эти кольца не кмггу: , а когомологии (той 2) ссстветствущ-« стабилышх спея гр>»з прострЕнств Тома свободны, как модули над ьягеблой Стиярода ¿2 ~ теорема 1.2,1., откуда следует, что щи любом к такое кольцо Сорднзмов естественным образом изомор&но кслщу неориентированных борднзмон , т.г. кольцу многочленов над полем ¿'/2 - те-.'ромк 1.2.2. и 1.8.3. и дается геометричзсквя интерпретация этого изоморфизма. Рассмотрены также комплексное и с-отиосителнп"": аналоги .этих утверждений, а тэкке ооотвэтетвугаие утверждения сля ¡/гь~13'г-модулей о^1^'-"а.А), змг.ъ ;х,а> -

пара от-комплексов, а с - некоторнй класс конечга.-1 абел«-вых груда. В теореме 1.2,5. показано, что естастоешэд отображение колец бордизмов о£к,г—>о£* является кооморфодм« в

классе конечных групп, порядки которых не яв.пя17''ол делителями числа п. В теореме 1.2.7. аналогичное утвер.тдшие устанавливается для колец .бордазмов лежащих в евкллиошх пространства:! многообразий, у гсоторих стабильные нормальные -пучки расцеплены в сумму изоморфдах комплексных пучков.

Основные результаты этого параграфа опубликсванк в 13,8,20].

В § 1.3. мы начинаем изучение колец

(4к-2)ц-бощтчоъ. Соответствующие многообразия имеют в

стабильных нормальных пучкак комплексную структуру и

\

поэтому ориентированы. Кольца <4:<-гл-бордизмон устроощ горэздо сложнее, чем кольца сгк-1 лг-бордизмс*, и пая вачнслянюг их 2-оримаршх компонент мы. строим всэрастакаую А^-модульнм) фильтрации г/З-яогошлошй соответствугших сп&глрон кростроасте Тома и(4к~г)1. факторы которой являются СБободпкмк модулями над фактор-а;;геброй ,4, г

- ) алгебра Стиирода (ют! 2; по двустороннем/

идйану , порожденном» гомоморфизмом ЫокмтеЯгза ¡¡а' < лат а 1.8.1.}, к которая пороЕдаэт некоторую алгебрахчеокус

сибптрачьную последовагельносгь и***<4к-2>. Доказывается, что эта спектр&льздя гтэследоват^сьность сходится к начальному член;' спектральной последовательности Адамеа Сиой спектра - лемма 1.3.!]. и устанавливаются иулъ".;й-

пликатоькьй свойсз в?. . построенной злхебралческой. спектральной последовательности - лэмхы 1.3.4. ц 1.0.Г). Содойкие спектргльные последоваталпЕости изучались ранее с целью вп-числения нача.с>Е£х члене спекградг.-шх последовательностей Аднмса- Новикова.

Озновше результата этого параграф:*, опублшоваях ь (8,9,101.

Б'~ор&л глава представляемой раЯотн косит вычислите льигй хзр&ктер; осчэшше ее результат« снублкковз.ш в !В,9,10].

Ь § й,3 устакезлива&гся, что начальный член

алтебраическс''! спвкгралъкой последовательности л**8 (Лк-'г)

изоморфен кольцу многочленов с бесконечным числом образующих над полем z/2 ( в каждой конечной размерности группы

F.'^,t,4(4k-2), разумеется, конечны) - лемма 2.1 Л. Далее'

выводятся формулы действия первого дифференциала этой спектральной последовательности и вычисляется действие

этого дифференциала на образующих Е***'(4к-2) до

размерности 16 включительно - лемма 2.1.2. Устанавливаются взаимосвязи построенных в первой главе алгебраических спектральных последовательностей, отвечающих различным значениям к -теорема а.1.3.

В § 2.8 проводится построение аналогичной алгебраической спектральной последовательности и соответствуй.!;'О вычисления в ее. начальном члене для кольца сачясопрйт® гадах

сг»

бордизмов , изучавшемся ранее многими авторами с помощью

теории формальных' груш. Как и в § 1.3 , в.когомологаях (mod 2) стабильного спехтра пространств Тома, use конструируется .возрастающая Ag-модуяьная фильтрация, ф-цстор-модули которой свободны над фактор-алгеброй Ag - лемма 2.2.2.. Устанавливается сходимость полученной алгебраической спектральной последовательности E***(sc> к начальному

члену спектральной последовательности Адамса (mod, 2) спектра msc - лемма 2.2.3.

ЛЕММА 2.2.4. Начальный член алгебраической спектральной

X

последовательности e***(sc) изоморфен touaojmi.. >у .произведении кольца многочленов над полем ?72 от образующих h ,у'2 на виошнюи алгебру нал Z/2 от оо'разущпх /2*1-4'

Вычисляется первый дифференциал этой спектральной последовательности - лемш й.а.Ь п 2.Й.6 (конкретные результаты приводягея в размерностях, не превосходящих 16). Основной м»тод доказательств результатов атого параграфа состоит в сопоставлении фильтраций и соответствующих членов спектральных последовательностей, обусловленном естественным . отображением спектров м(4к~2)? —» msc, гомологические свойства которого описаны в леммах £.2.1 и 2.2.7.

В § 2.3 на основании получещшх в начале о той главы результатов лроводятся вычисления в спектральных последовательностях Адамса (.mod 2) стабильного спектра, классифицирующего теорию (4к-2 )т-кобордцзмов, .с

точностью до некоторых прпсоедиденностей в размерностях, меньших 16 выписывается 2-примарная компонента кольца (4к—2)»-бордизмов.

.Такие же вычисления для теории самосопряженных кобордшзмов проводятся в § 2.4. Сопоставляя описанные выше конструкции для спектров м(4к-2)у и' msc, мы вычисляем

о р

кольцо в первых 13 размерностях с точностью до некоторых присое'диненностей в предельно-» члене спектральной последовательности Адамса (mod 2), В представляемой работе

кольцо самосопрядаэшшх Оордипмов играет испомогпп\Ш!,уг> роль, связан»,у« с том, что в процессе вычисления «ачастую результат«, полученный для одного иу этих спектроп, помогают в вычислениях, сиязанггнх с другим спектром, и обратно.

В первых лвух главах нами била получена классификация многообразий младших размерностей, у которых с.талилмшо иор-йЗДЬпш расслоения расщеплены на (2U-1 ) шм па Нк-2) иоо-йорфннх нодрасслоения. Оставшаяся част!» ргЛоти посгищопа описанию многообразий с растепленными нормальными пучками, появляющихся в нокоторих приложениях и иппольооаанию расщепленности этих пучков, В основном, здесь речь оудет идти о палачах восстановления про странс тпешшх объектов по косвенной информации об их строении, например по их проекциям (в том или ином омнс.це о'гого слова), Подобние задачи возникают в Вычислительной томографии, интегральной геометрии, теории Дифракции, потенциала и т.п. Естественным обрвдом здесь позникапт проблем оуиоствовиния, единственности и устойчивости 1»иения таких обратных 'задач. Кроме того, представляют интерес »опроси сопоставления роконструируемнх объектов, если дпнныо их ипмчрхниП (дифракционные картины, то-Morptswjf, рг'флектогратеы к т.п. ; переводятся друг в друга нэкотортеп ашщгпшии преобразованиями, то-есть групп ,вке свойстви решений таких задач.

В '¿3.1 рассматривается один ватный класс многообразий, у которых стабильные гасателыше (и нормаль?.':; ) пучки расщеплены пополад - ото интегр:и[ЫШ8 многообразия динамических

систем общего вида, у которых интегралы двикения не обяза-телънс находятся в инвслшии. Если еч с чк конфих'уршионное многообразие механической системы, т*ч4 - его. фазовое пространство - пространство кскасательного расслоения над е4 и г: т*ч4 ~> вп - отображение момента, то-есть набор интегралов движения к ;:'г*с;<1 —♦а1, то прообраз);- регулярных значений

!■ - являются гт-кобордаятными 2?-многообразиями

(теорема 3.1.1, леммы 3.1.2 и 3.1.3 ), что-накладывает определенные условия на их.топологические свойства, в частности на их характеристические класса и числа, см . предыдущие главы. Отметим, что А.Т.Фоменко построил топологическую теории трехмерных изоэнергегических поверхностей в четырехмернкх фазовых пространствах и расклассифицировал их перестройки нри переходе через критические, уровни. В представляемой диссертации изучаются топологические свойства интегральных подмногообразий произвольных коразмерностей.

Для собственного отображения V устанавливается

ТЮРЕМА 3,1.4. Когомотопическое множество >

изоморфно множеству классов эквивалентности осааденийх (2<з--1)-мернкх подмногообразий пространства Тома ми*(«}|

относительно оснащенной кобордантности в вми*<(3>).

В случае проводится вычисление некоторых характера с -

- - • 1С

пиески:; чисел многообразий ,ч2ч_|1 в теориях о, яо, и и ко-бордизмов - теоремы 3,1.¡3, леммы 0.1.0 и 3.1.7, то-есть находятся образы определяемых вложениями ы2чт"с т*«'3 элементов группы Б группах неориентированных, оршзнтч рованшх и унитарных бордизмов (Т*(?), (г*о> и

О**«»-

Для п=:д>2 в .случае односвяоного многообразия о4 доказывается, что когомотопическое множество пространства Тома

мг*(}п пп(мт*<}) имеет естественную групповую структуру - теорема 3.1.8.

Основные результаты .этого параграфа опубликованы в (2,5,б,7,1-1,15,н).

В 5 3.2 рассуждения предыдущего параграфа иллюстрируются на примере ц'1 = в4 . Классификация полмногообразия

ы2<1~по тнч связывается с известной в теории гомотопиП енр-посл&доьаюльн ~тью. В важном для приложений случае п=<у>2 пчлучено одно обобщение теоремы Лиувилли об интегрируемых с.исюм'а:

* ?

ТЬ'ЛКМА в.г.2 Ксли ¡-^ ,г-2 гладкие функции на то 1ЧКИ':, что

! ^< Г--. . М < Р^-^гас! К21,

го и-.ли уровня набора функций р1,р2 - двумерные

и

торы. Здесь е>2 - двумерное риман.ово многообразие. в ак.

2 Р

Установлено также, что при £}'= з такал поверхность уровня является краем некоторой трехмерной пленки, лежащей

£ цилиндре тэ2*'0,1] с тривиальным нормальным пучком -лемма о.2.I.

Далее в этом параграфе рассматриваются прообразы регулярных значений гладких отображений вида н:Еуп_к—ж"1 либо отображений универсального векторного расслоения у к над многообразием Грассмана ок п_ь (п-к)-мерных подпространств н"-в пространства вила б^хк"1-11, кркхит-к и -т.п., возникавших при исследовании многозначных аналогов теория Морса. Стабильные нормальные пучки таких прообразов раед&плянтся взи;-:' соответствующей расщвпляемости нормаль-кого - расслоения многообразия Грассмана и слр^аемых в таких расщеплениях будет уже более двух, аналогичные расщепления имеют и их стабклькне касательные пучки. Указываете нэкото-рке условия, при выполнении которых такие прообразы являются краями пленок, лежзакх в з* к с-оснащенными нормальными

пучками, что также ълэчет расщепленность стабильных кас.а-тельннх расслоений этих пленок - лемма 3.8.2 и следствие 3.3.3 . Приводятся примеры подобных расщеплений, возникающих в прикладных задачах .. Основные результаты этого параграфа опубликованы в ■[ з, 1 ч, 19 ].

В § 3.3- обсуждаются обратные задачи интегральной

1-2

геометрии, теория которых развивалась И.М.Гельфандом, М.М.Лаврентьевым и их сотоудникаш. В таках задачах неизвестная гладкая бнстроубывающая (в некоторых постановках -финитная) функция п вещественных переменных г(х) восстанавливается но значениям J =s() ее интегралов вд..ъ ч-мер-

1шх плоскостей в ¡¡п. Этими же авторами исследовались многочисленные обратные задачи интегральной геометрии в вещественном, комплексном., афинном и проективном случаях. В.А.Ша-рафутднноЕ по интегральным характеристикам восстанавливал тензорные поля. Для четного q И.М.Гельфандом и его соавторами была построена дифференциальная ч-форма такая,

что ее интегралы по q-мэрннм циклам в многообразии Грассмана всех q-мерных ориентированиях плоскостей, проходящих через

точку х е кп, позволяют получить формулу обращения -интегралы х g по всем q-мерннм клеткам liiySepTa с,

x j , , . . ю

с у

( (ш0-2)+...(m^-q)=q ) равны нулю, а интеграл по клетке Шуберта е.. , (ее называй1 также эйлеровым циклом , и

.3,0, ... »1+ 1 ■

замыкание ее - либо сфера s4 либо проективное пространство

RF-q в зависимости от ориентированности или неориентированно-' сти плоскостей, образующих многообразие Грассмана) с точностью до зависящего лишь от q и п коэффициента равен Их}.

Аналогичная дифференциальная форма строится нами

и для случая нечетного ч :

ТЕОРЕМА 3,3.8, Для нечетного q имеет место формула ооращэ-

шы интегрального преобразования л : <1 (с 1 ■ С(х ) = +

с

Для всех ч эйлоропн циклы имеют растепленные нормальные пучки в обг.ьмлюи"*х многообразиях Грассмана и возможность построения дифференциальных форм * >на этих многообразиях 'Грассмана обусловлена таким расщеплением - (21, подобные же ра&цег.лешш рассматривались С.Г.Гишшкиным в обратных задачах интегральной геометрии на однородЕгнх пространствах.

В заключение §3.3 вкратце рассматривается обратная яадача трехмерной томографии (случай ч=3), предлагается алгоритм ее решения и приводятся результаты восстановления модельного объекта с помощью описанного алгоритма. Вычисления производились на ЭВМ ЕС-3061 . совместно с Н.Б.-Ашовой. [1].

В 53.4 описаны многообразия с расщеплениями стабильными нормальными пучками, возникающие в рассмотрениях, связанных о обратными задачами оптики, в честности, с обратными задачами дифракции. Проблема, кото-рад в разных формулировках привлекала интерес многих исследователей к занимает центральной место в этом параграфе, состоит в восстановлении тела в пространстве по его проекциям (дифракционным картинам, томограммам, рефлектограшам и т.п. ). Так например Ю.Е.Аниконовнм изучался вотфос о

восстановлении выпуклой пог^рхности в в3 и заданной на ней

/

функции х по прООШИЯМ ОТОЙ поверхпостл на ВСОВСЗМу«!»!: плоскости и определенной на .тгил проекциях фикции, р<м-:и а сушз значений х и точках, детсадах на одиг.м перпендикуляр'- >." плоскости проекции восстановленном из соотвьтстиунцей точки. Р. Пиньони изучал топологическое строение гладкой поверхности, у которой иароспш котурн всех проекций, го-есть мл каждой плоскости зашиш проегнии таких точек поверхности, в которых якобианы отображения проектирования на пту плискосл. внрождаются. В обоих случаях сушественннм сбрзгом

используется рассмотрение соответствующих поверхностей

*

уровня как регулярных, так и нерегулярных значений.

В' этом параграфе мы начинаем исследование групповых свойств обратных задач восстановления пространг-взнннх эбъектов по их проекциям. Первый иш1 в этом исправлении 1'ыл, по-видимому,сделан Зюссом , который установил, что сети у двух выпуклых компактов в я" проекции на люоуо чшерплоскость попарно совмещаются параллелышш переноса -

ш, то и исходные компакты совмещается в нп параллеяышм тррцосом. ( Здесь и в дальнейшем все проекции предполага->тся ортогональными, а п - большим или ракнкм 3).

'ункщш, характеризующие проекции выпуклого компакта в я" а к-мершзе плоскости, как и в работах АЛ.Фоменко об изо нергетичеекпх поверхностях, могут быть определены на ферическом подрасслоении универсального расслоения над ногообразием Грассмана к , Именно , если I - еци-

1 5

ничный вектор из этого раеслоешя, соответствующий плоскости' р , то представляет интерес рассмотриле функций f(t), задавдлх ширину, кривизну или другие характеристики проекции выпуклого компакта на плоскость р для единичной нормали t. границы такой проекции. Множества уровней подобных функций изучаются в главе 4.

Б лемме S.4.3 утверждение о параллельных проекциях, известное в литературе,как лемма Зт с а, не сложным образом обобщается на случай когда у рассматриваемых компактов параллельными переносами совмещаются проекции на плоскости коразмерности большей I (но, конечно кэ, меньшей п-1 ).' Кроме того, в лемме 3.4.4 мы приводим некоторые дальнейшие обобщения леммы Зысса на класса объектов более сложных, чем выпуклые компакты :

I. Назовем компакт к с Rn ^-выпуклым, если для произвольной точки из его дополнения существует q-мерная плоскость, содержащая эту точку и непересекащая компакт к.

- Подобные объекты интенсивно изучаются в задачах комплексного анализа , дополнения к ним называются (n-q-l)-линейно вогнутыми областями, и в работах С.Т.Гиндикина и Г.М.Хенкина исследовались задачи интегральной геометрии в таких областях. Эти задачи можно ставить и в вещественном и в комплексном случаях как в аффинном, так и в проектив-вном вариантах, так например, С,В.Знаменский рассматривал СВЯЗЬ q-выпуклых КОМПЕЖТОВ С ЕОПрО^аШ ТОМОГрафШ! в комплексном пространстве.

ю

2. Компакт V с кп назове.л д-обозримим, если через любую (д-к)-мерную ПЛОСКОСТЬ ИЗ ДОПО-тае.Ч'ИЯ к этому компакту можно провести ч-мернув плоскость такие непереся-каетую н, ( о < к ч < п ).

Очевидно, что Vобозримый компакт д-выпукл; обратное вообще говоря, неверно. Ест ч-п-1 и » лпнеяио связен, то он выпукл. ч-оСозримые и я-выпумше компакты могут иметь фрактапьную структуру.

Далее для таких классов объектов вводятся некоторые естественные обобщения понятия опорной функция выпуклого компакта и устанавливается общие свойства птих функций -лзммн 8. 4 Л И 3.4.2,

Основные результата этого параграфа опубликованы в

[3,19,23].

В -зтвертой глазе исследуются групповые свойства указанных вше обратных задач, связанных с обобщениями леммы Звэсса. Скачала рассматривается случай, когда множество плоскостей, таких, что проекции компактов ^,ч2

только на эти плоскости совмещаются параллельными переносами ',;не совпадают со множеством всех плоскостей. Установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы лемма Зюсса • была справедлива при таком неполюм наборе проекционных данных -.теорема 4.1.4.

Далее в § 4.1 , §4.,2 исследуется вопрос о связи менду двумя выпуклыми компактами в .п-мерком евклидовом

!!,.'5странстве, у которых проекции на лгйуг двумерную плоскость собственно конгруэнтны ( т.е. конгруэнтны с сохранением ориентации) . Откатим, что в своей рецензии на прочфшг Iз) В.К.Ионин сформулиоовоп подобную проблему в самом общем варианте : если у двух выпуклых компактов проекции па лкоуи к- кзрнуо плоскость совмещается невоторим (лнпеКшм) преобразованием плоскости, то как при атом связан« меклу собой исходные компакты ? (2£к«п-1).

При некоторых дополнительных предположениях (см. ниже), гыделяшпх ъ классе всех ьыпуклых компактов открытое асту плотное множество, исходные компакты совмещаются в

яп лило параллельным переносом, либо цйнтральной симметрией - теория 4.1.10". 4.1.Л , 4.а,С и 4.2.8, Изучон так гл> случай, когда проекции этих компактов подобны друг другу и одинаково ориентированы при тех же предположениях

что л ьы.;:«^; такие- мг.гхпй соьмэшаптси в и" либо парал-лчч!1!"реносом. либо гокотетис-й - теорема 4.2.7 . Ге~ зу.чмаш 5 4.2 огк'.-Еыьа&я'Ся на вспоиогачелншг. утвержм-ы:пк 4.5-.1 и 4.2.£ >, из к.тз|ых следуе:, что .если

у аь', ы;г;,т..-;ых к мпактов в и1' проекции на лпбуг плчкосл с >3.::виш.> к».«', руэтни. то катдая асая на! а (1".. г-г^ £ -: - ли-.-:' госп т ся пиралл№-1Г:;м П^ЙГГОМ ИЛИ циг;-г '¡-тг¡1 .>и с,.!,.:.,,ет' ИС;П, . ик'-от .'.г ши; :;;гу,

:< 5 4. и г-с г-,;.1.,- : "'"!1 ¡ц •" лк^ч-и;.''. г\>.;~/. ич{ иг; :л-> -у;-.¡с.

ч.ЧШ на К Г.Ч>)Г-2.' :::1.".уг.".ы.'< И (и- 2 )■■: И'Т'Х К' М1:ак

I Й

tob в rn.

ТЕОРЕМА 4.3 г.Если WpW cr" - (n-й)-выпуклые компакты такие, что их проекции ка любую двукернуо плоскость в Rn собственно подобны, а соответствующие проекции их выпуклых оболочек не имеют симметрии: относительно вращений, то W||WK

совмещаются в р." либо гомотетией, либо параллельным переносом .

ТЕОРЕМА 4,3.2, Если Vj.w скп -- односвяэгаю (п-2;-обозрьмые

компакты, а их проекции на .;гоб.ую двумерную плоскость собственно подобны и не имеют скммегрий относительно вращений, то

w1 ,v,2 совмещаются в к" либо гомотетией, либо параллельным

переносом.

Условие отсутствия стметрий относительно врашенйй. и есть дополнительнее ограничение, о котором речь шла шзе. Смысл его заключается в том, что для -кавдой двумерной плоскости в

и" проекции рассматриваемых компактов на эт./ плоскость совмещаются друг с другом единственным преобразованием из класса допустимых преобразований ( дычкеиия -или подобия).

Основные результаты этих, трех гарагр&фоз опубликованы в [3,4,,19,21,23]. ,

В 5 4.4 результата предыдущих параграфов обобщаются на бесконечномерный случай • -. когда исследуемыэ компакты выпукла« или обозркмке _ .лежат б гильбертовом • пространстве - теорема 4.4.2 ( см. j vэ,2пi ). Кро;,:с того, обсуждается

ваший с течки зрения приложений вопрос о восстановлении

О с

дискретного набора точек в п (или в я ) по их

проекциям на конечная набор прямых. Сколько требуется таких проекций для нахождения N точек ?

И, наконец, в 54.5 рассматриваются проблемы усидчивости решения обратных задач, изученных в предыдущих параграфах главы 4. Для выпуклых компактов Гремером были получены оценки устойчивости для лем!.^ Звсса : еппи у

выпуклых компактов в кп проекции на любую гиперплоскость ПЕфаллелтшм переносом совмещаются с точностью до с , то сами зги компакты" параллельным переносом совмещаются в

в" с точностью до е(1+2/5~)п~2 . Ми доказываем в теореме 4.5.1, что некоторыхдополнительных предположениях (похожих на предыдущие) из того, что у двух випук-

лих компактов в й /¿оекшш на любую плоскость совмещаются некоторым движением с точностью до ¿к, вытекает, что

о ^

сами эти компакты совме-'аптся в в »„¡Зо центральной симметрией либо параллельным- переносом с точностью до

са(]+2/Ё~ )(о1/'3 . Здесь с®сопя1, а - диаметр одного1 из компактов. Получен аналог этого утверждения и а- пространствах старших размерностей :

Пусть с ц3 - выпуклое компактнее тело, у которого

проекции на любую плоскость не имеют симметрий. относительно вращений и, либо все не им?ют постоянную ширину, -либо все

являются строго выпуклыми фигурами, у которых ГрШШШ з\'((и) юнеют отграниченную от нуля кривизну - для всех и е

е з2 и ;для всех х е эу^и) к|х) г о. : «ой класс

сошакишх тел назовем допустимым. Очевидно, что для любого выпуклого компакта существует сколь угодно близкий к нему допустимый компакт.

ТЕОРЕМА 4.5.2. Пусть с яп (Пьз) - выпуклое компактов тело, у которого все проекции на двумерные плоскости сбацают теми даз свойствами, что и проекции допустимых компасов. Тогда существуют зависящие от V с3>о и е1 е0 > ,е1 >

О такие, что если е<£1 и у компактного выпуклого тела г с й" все проекции на двумерные плоскости с точностью до : собственно конгруэнтны соответствующим проекциям то и \2 совмещаются в нп либо параллельным переносом либо

игральной симметрией с точностью-до с3( 1+2/-2)п-2ас1/'3.

Соответствующих оценок устойчивости для классов эзримых компактов, как показано в §4.3, быть не может -ьдел обозримых компактов может оказаться и необозримым, мы выделяем в классе обозримых компактов некоторый под-юс, для которого существование оценок устойчивости [ученных в §4.3 результатов удается доказать - теорема

о

>.10. Именно, назовем компакт I с «-топорным (0< а *

^ г. ), если че!рез каждую точку, не лежащую в « , можно провести двугрс'шшй угол величины а , внутренность которого с » ле пересекается. Доказывается, -¡то при тупых «

о-топорный компакт в н13 I-обозрим - лемма 4.5.9, что и 'юзволяет установить существование оценки устойчивости. 'Три а = и «-топорный компакт выпукл.

Научная новизна и практическая ценность диссертации:

Все результаты диссертации являются новыми и имеют, в основном, теоретический характер. В части, связанной с топологией 'интегральных многообразий, оне.мсйтт быть использованы в теоретической физике. Результаты, относящиеся к~вое-' становлению фермы тела по формам его проекций представляют интерес с точки'зрения обратных задач томографии, рефлекто-графии и других задач реконструкции объектов, по их проекци-ошшм данным.

Таким образом, основными результатами представляемой диссертации .определявшими ее научную новизну, являются :

- установление общих свойств 'теорий кобордизмов многообразий с расщепленными нормальными пучками ;

- вычисление колец (2к-1)г-бордизмсв, введение метода вычислений 2-примаряых компонент колец (4к-2)7-бордизмов и их вычисление в размерностях,меньших 16 .;

- вычисление характеристических чисел и других инвариантов интегральных - подмногообразий фазовых пространств и обобщение теоремы Лиувилля об интегрируемых динамических

системах в двумерном случае:

- внвсд формул» обращения для обратной задачи интегральной геометрии» когда яскомая функция, оправданная г. к" , интегрируется по шчегномерикм плоскостям;

- <-устачсвле1глс сеяяакпнз: с ос общошгяш лешы Ъюсса гвуппоанх свойств обрат<п(х зацач зосст'&козлеиия форм выпуклых и более слошх яхилагстов по их проекциям или формам их проекций, доказательство единственности и получение оценок устойчивости решения, таких задач.

Апробация работа и публикации: Основное содержанке

диссертации отражено в 22 работах, опублгкоьаяшх в центральных математических журналах, в сборшнах яэучянх трудов Ви-шслктвлького Центра и Института Математики СО АН СССР , и п 12 тезисах всесоюзных и международных конференций и симпозиумов.

Результата диссертации докладывались ка международных топологических койф&решдиж ( Ыоогза 1979, Л&нияград Баку 19&7), Сибирских .матейашческих вколах ''Алгебра с. Анализ" »Иркутск 1989, О.у.ск 19901, Советско-японском симпозиуме по топологии {Хабаровск 1989), Совместных заседаниях Московского Математического Общества и Об ¡демос-коеского ?опологическотч» сешк&ра ил. П.С.Александрова ( с 1984 по 1990 г.г. топологических геометрических семинаров ЛСМИ, МГУ, НГ-/, ИМ СО АН СССР, а тзкке Утешерот-тетов Флоренции и Ни шла ; Италияь Зсэсскзнлгх шкояах-

гг

семинарах по некорректным задача,? ( Новосибирск J9B2, Самарканд 1988), Всесоюзных конференциях по геометрии "в целом" (Новосибирск ISS2 , 1987 ), Советско-венгерском симпозиуме по геометрии (Новосибирск 1981), Международных конференциях г;о алгебре {Новосибирск 1989, Барнаул 1991 ), Дальневосточных математических школа:''. (Находка 1986,

1988), Всесоюзной конференции по системным исследованиям' (Москва 1934), Всесошной конференции по геометрии к анализу (Новосибирск J989), Советско-итальянском симпозиуме по неклассическим к некорректно поставлена»,! задачам математической физики и анализа (Самарканд 1990), Всесоюзной конференции "Проблема чистой и прикладной математики" (Тула 1988), Всесоюзных симпозиумах по вычислительной томографии (Новосибирск 1983, Самарканд

1989) и др.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ашова Н.В., Голубятников В.П. Алгоритмы решения многомерных обратных аадач интегральной геометрии и комплексы прямых и плоскостей // Методы решения обратных задач. -Новосибирск, 1990. - С. 36-44.

2. Голубятников В.П. О многообразиях с расщепленными пополам стабильными нормальными пучками в фазовых пространствах// Фугасц. анал. и его прил. - 1934. - т. 18, н.2. -с. 63-64.

3. Голубятников В. П. Вопросы единственности решения об-

ратшх задам восстановления формы тела по его» проекциям. -

Новосибирск, 1880. - 25 с. (Препринт кг 3, Икс?. Математики СО Ahl СССР)..

■1. Голубятников В.П. ОС однозначном определении обозримых тел по их проекциям // Сиб. мг.тем. журнал. -1938. - т. 29, К 3. - С. 92 - 96.

5. Голубятников В.II. Интегральные . подмногообразия фазовых пространств и когемотопип // ДАН СССР. - 1985. -Т. £80 , N I. - С. 27 - 29.

6. Голубятников В.II. Некоторые когомотопичзекке свойства пространств Тома // Си5. матем. журнал. - IfcöS. - т. 27, N2. - С. 202 - 205.

7. Голубяпппс'оз В.II. Топологические свайстса ггегамильто-кових систем // теория, методология к практика системных исследований. М., I9P4. - В11ШСП I'IÍHT. - С. 29 ~ ГЛ.

з. Голубятников В.П. О кольцах бордизм.-е. с растепленными нормальными пучками 1,2// УШ , 10?9, - г. 34, м б. - С. ISO - 154; Сиб. мат. журнал, 1989.- г.30, N - С.42 - 43.

э. Голубятников В.П. Об одной теории ксбордизмоэ // Сиб. матем. курнал. - JS79. - т.20, n 2. - С. ñGO - 269.

10. "Голубятников В.П. Об одной алгебра!¡ческой спектральной последовательноста // Сиб. матем. журнал. - 1980, - т. 21, N I. - С. 203 - 207.

11. Голубятников В.П., Смирнов Г,И., Филиппов В.П. Хроно-геометрические и топологические структуры пространств с меняющейся сигнатурой метрики // ДАН СССР. - ]&38.- т. 299

к 5. - С. П06 - 1108.

i2. Голубятников В.П. Геометрические вопросы мсстано&дения источников eojhobuk фронтов // Методы исследования неклаосических задач математической физики. -Нодасибярск. I£65. - С. 46 -- 62.

is. Голубятников В.П. Определение размерности модельного источника ео.шоного излучения по кинематическим данным // Вопрося корректвозти оааач математической ©истки а анализа Новосибирск, Г-Э85. - Q. 45 - ¡51.

14. Гслубятшасов Б.П.. Пестов Л.Н. О траекториях динамической системы, • определенной одаопарамегрической

Q

группой кокфзрмных прообразовгний в н // Сиб. катем. яур-нзл. - I9BJ3. - т. РА, ы 1. - С. 63 - 67.

15. GoluhyatniVo" V.P. Cobordisras of integral manifolds in phese space.3 // Abatr. of Collo<^. on Tocology, Eger, Hungnry, 1933. - v- 40.

16. Qoluhy&tnikov V.P. Characteristic claasies in ccbordiams with uplitted normal bundlea // Теория размерности и смежные вопросы :Тр.. советско-японского симпозиума, Хабаровск, сект. 1889. - М., препринт МИАН, 1Э83, к 7. - С. П.

17. Голубятников В.П., Смирнов Г.И. Интегральные_подшо-гообразия пространств Тоыа // Топологические и геометрические метода анализа. - Вороне», изд.ВГУ, 1939.-С. J46 - 152.

18. Golubyatnikov V.P. Integral aubmanifolds of the Thorn spaces of tangent bundles cf spheres // Questions ana Ar.s-

worea.-'in GorieraJ. Topology. 1900. - v..3, special issue, p. 163 - 167, ■ . ;;; " :',..

19." Golubyar.nikov V,I>, Some inverse picblicn» in geometry. — Milano, - 1990. - 17 p. - ijuarierno n.2S/1990; Univer-. '. ; ■. site deg.'Li studi dj. Milano., . . ' ,

го. Голубятников B.II.i.' - Нотмгиъша пучки в '.кольце "•'••.'• .неориентированных бордизме»-// Bwo;v' Сйбирзвою, Матем. 0б--;. . Еэства( 1990, s i, Новосибирск 1990, г С. '43.

21. Голубятаивов.' ВЛ ; Об , однсзнйчной ,'восстаьовкмости ',. •; выпуклых компактов по их лроекцияу. // СпС, мат-ем. курввл.

1990. - Т. 31« N S. - С. 130 - 199. • ' ./ , .

22. Golubyatnikov .V.P, Noi-ir.a.t bundle's of tho Euler

cycles) in- int«iiveJ. geoitiatry' // Г/езд'народная: конференция, по алгебре, Барнаул, алг. 1991, ¡: Яовосибкроа, '1891. - С. 12, 23; Голубятников Б.П. Об одемначяой лсост'апозкмссти . ' . ^нпуклых' и' обозримых кшпзкгов, по их, проекциям '//, Матем.. . ■ Ыерзав. IS9I.. - т. IP2, К Б . -. С. (ill - 621. V