Модель развития пластической области при нормальном отрыве тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Мерцалова Татьяна Анатольевна

МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ОТРЫВЕ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003460102

Тула - 2008

003460102

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Глаголев Вадим Вадимович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, проф.

Шоркин Владимир Сергеевич.

доктор технических наук, проф. Архипов Игорь Константинович.

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский государственный

университет».

Зашита диссертации состоится «18» февраля 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»: 300600, Тула, пр. Ленина, 92, корп. 9, ауд. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разостлан «25» декабря 2008г. Ученый секретарь СТ^

диссертационного совегаД 212.271.02 Толоконников Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из модельных представлений механики разрушения является вид зоны пластичности у вершины трещины нормального отрыва. Область пластичности в этом случае является продолжением трещины и имеет нулевую толщину. Классическое рассмотрение трещины нормального отрыва в виде математического разреза постулирует механизм пластического течения, при котором по берегам границы пластической зоны действуют напряжения, равные пределу текучести. Данный подход, рассмотренный в работах Леонова, Панасюка, Дагдейла (ЛПД подход), по настоящее время является основной моделью при моделировании развития трещины в плоском напряженном состоянии. С формальной точки зрения при вычислении длины пластической зоны данное положение при различных видах плоского состояния приводит практически к одинаковому результату. Однако экспериментальные данные свидетельствуют о существенном различии длин этих зон. В частности, Ирвином вводится поправка, соответствующая увеличению в л/з раз предела текучести материала при плоском деформированном состоянии.

Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать форму и развитие пластической области, является достаточно актуальной.

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ (проект № 07-01-96402) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/941).

Цель и задачи диссертации. Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании развития пластической зоны в окрестности физического разреза конечной толщины при нагружении типа нормального отрыва при плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

Научная новизна работы

1. Поставлена и решена задача о зарождении и развитии тонкой пластической зоны в окрестности физического разреза.

2. Показано принципиальное различие в характере пластического течения при плоском напряженном состоянии и плоской деформации.

Практическая ценность работы

1. Результаты данной работы могут найти применение в конструкторских бюро, НИИ.

2. Материалы работы могут использоваться в теоретических курсах для студентов, обучающихся по направлению «Механика. Прикладная математика».

Основные положения, выносимые на защиту

1. Постановка и решение задачи упругого деформирования тонкого материального слоя в окрестности трещины нормального отрыва.

2. Постановка и решение задачи упругопластического деформирования тонкого материального слоя в окрестности трещины нормального отрыва в случае плоской деформации.

3. Постановка и решение задачи упругопластического деформирования тонкого материального слоя в окрестности трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного состояния.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы * математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007-2008 гг.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин A.A.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации. По материалам работы опубликовано 9 работ, в том числе 6 статей и 3 тезиса. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.

Струю-ура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Объем работы — 102 страницы, включая 39 рисунков, и список литературы из 91 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение приведено историческое развитие рассматриваемой темы, обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Проведен анализ модельных представлений трещиноподобного дефекта в виде математического разреза, где отмечен вклад ученых: А. Гриффитса, Е. Орована, G.A. Христиановича, Г.И. Баренблатта, Е.М. Морозова, Н.Ф. Морозова, В.З. Партона, Е.И. Шемякина, Р.В. Гольдштейна, H.A. Махутова и ряда других отечественных и зарубежных исследователей. Альтернативной моделью трещины является физический разрез с определенным характерным размером, который определяет масштабный уровень описания процесса разрушения. Если это уровень кристаллической решетки, то в рассмотрение вводятся соответствующие потенциалы межатомного

взаимодействия, рассмотренные в работах Дж. Н. Гудьера, М. Каннинена, A.C. Кравчука. Другим масштабным уровнем является уровень, где остаются справедливыми гипотезы механики сплошной среды. Здесь стоит отметить соответствующие представления Л. Прандтля, Ф. Макклинтока, Д.Д. Ивлева и A.B. Ершова. Выделен дискретный подход к описанию процесса разрушения, заложенный В.В. Новожиловым и развиваемый в работах: Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова, С.А. Назарова, М.В. Паукшто. Одним из недостатков данного подхода является потребность в больших вычислительных ресурсах, поэтому представляется достаточно эффективными подходы, сочетающие в себе возможности представлений механики сплошной среды (фундаментальных решений) для областей, не подвергающихся разрушению, и дискретного подхода для разрушающейся области. В этом случае задачи сводятся к граничным интегральным уравнениям, методы решения которых можно найти в работах A.M. Линькова, К.А. Бреббии, Т.В. Громадки II, С. Крауча, А. Старфилда, А.Г. Угодчикова.

Приведена характеристика научной новизны, обоснована достоверность полученных результатов и их практическая ценность.

В первом разделе рассмотрена задача о нагружение плоскости, ослабленной физическим вырезом S0 симметричной внешней нагрузкой, согласно схеме на рис. 1, моделирующей разрушение типа нормального отрыва. Считается, что материал, лежащий на продолжении физического разреза в плоскости, образует слой - слой взаимодействия с однородным распределением напряженно-деформированного состояния (НДС) по толщине.

Рис.1

Наряду с напряжением ац(х2) в слое учитывается напряжение о22(х2) вдоль оси разреза, которое обусловлено касательной нагрузкой по границе со слоем. Связь между напряжениями и деформациями вне слоя взаимодействия описывается в рамках линейной теории упругости.

В силу симметрии задачи рассматривается только верхняя полуплоскость (Х[>(50/2), а действие слоя заменяется нагрузкой

Ч(*) = -

ч

CTi 1 с, + G2I ё2 I (здесь и далее л s х2/д0 - безразмерная

координата; Сту = /', ] = 1,2 - безразмерные напряжения;

я 2Ц-1/2) - А

Р =--параметр материала для случая плоской деформации,

пЕ

а 2

Р =--параметр материала в плоском напряженном состоянии, Е -

яЕ

модуль упругости; V- коэффициент Пуассона).

Л Л

Соотношения Фламана связывают внешние нагрузки <тц и стп с перемещениями границы полуплоскости безразмерными выражениями

А л / _ 4_ Л Л ^ Л IГ — ¿\

Н|(л) = -Р1п -- + (1)

L,

Н2(х)= }сП2(£)1п^—(2)

О S

Л Л

где и, = Ui/S0 / = 1,2 - безразмерные перемещения; P = Pß/S0-безразмерная сила на единицу толщины; L - расстояние от начала координат до удаленной точки с нулевым перемещением.

В силу гипотезы об однородности НДС по толщине слоя из условия равновесия следует, что:

~~ - -2О21 . (3)

ох

Напряжения в состоянии плоской деформации, до достижения предела текучести, связаны с деформациями законом Гука:

Л Л

£и = Ааи-В<У22, (4)

Л А

£-22 = Аап-Ва\\, (5)

где А = —, В = —— - безразмерные постоянные. 2 2(1-v) ^ V

В плоском напряженном состоянии закон Гука запишем в виде:

Л Л

£•,, = Ло-Ц-ЙСТ 22, (6)

-¿L

где Л = —, В-

7IV

¿"22 = А а гг- Вст\\,

(л л f33 СГЦ + О'22

V

безразмерные постоянные.

(8)

Исходя из формул (1) и (2), изменение объема вдоль слоя за счет движения "стенок", ограничивающего его упругого пространства, запишется в виде

L,л 1 L л It — ¿\ Л ( г 4- а

\<7U W-^di + 2 fff, ,(f)ln - IP In f-^

3 x-Z I L-4 \L+a

+ c33(x) =

(9)

о ^ о

= £-п(.г) + £-22(х) + г33(х).

Уравнение (9) определяет условие сопряжения относительного изменения объема слоя взаимодействия, полученного из решений (1)-(2), и найденного из деформированного состояния самого слоя. В данной работе полагалось, что относительное изменение объема упруго как на стадии обратимого (упругого) деформирования, так и в случае упругопластического.

С учетом определяющих соотношений (4)-(8) и уравнения (9), выражения (1)-(3) преобразуются в следующую систему интегродифференциальных уравнений, описывающую деформирование слоя до достижения предела текучести:

о о £-<? и+а

= (л- В\ СГ11+ О"22

л л -л 1

Л (7 22~ В СЦ = \сгп(ь)-

' г — t

(10)

С С 22

= -2<Т12.

Ох

Основными неизвестными системы (10) являются компоненты тензора напряжений. Так как полагается, что торцевая плоскость начального разреза не нагружена, то:

ет 22

■ 0.

(И)

г=0

Следуя Новожилову, полагается, что разрушение твердого тела -процесс дискретный, поэтому в пределах элемента слоя взаимодействия длиной д0 или единичной безразмерной длины напряженное состояние

полагается однородным. Для построения решения задачи в рамках дискретной модели разобьем границу полуплоскости ОЬ на N единичных элементов. Каждый элемент границы к, с координатами 4к-\ >4к (к ~ характеризуется постоянным (средним по элементу)

значением напряжений ^гг и определяемым следующим

образом: сг^Цх(к))= где = + 4к-\ )/2 • В результате

интегралы в уравнениях системы (10) предстанут в виде соответствующих сумм. Для дискретизации уравнения равновесия (3) проинтегрируем его по к-ому элементу, в результате получим: сг^у - ст^Г'' = Таким

образом, дискретное представление интегро-дифференциальной системы (10), дополненное граничным условием (11) примет вид:

Ы(Щ>) £«$(*„))

м /=1 г,

2Р\п

п + а

= {А-В^(х(к)) + а(2%{к))\ к = 1,..,я;

'=1

Отметим, что линейная система (12) в обшем случае содержит бесконечное количество уравнений (и-*со). Однако, как показывают расчеты, для анализа результатов можно ограничиться конечным числом уравнений.

На рис. 2 кривые 1, 2 и 3 определяют напряжения <тп, а12 и а у, для состояния плоской деформации, графики 4 и 5 соответствуют напряжениям <ти и ст22 для плоского напряженного состояния. Расчеты проводились при следующих характеристиках: « = 10000, Р~1, а- 5, V = 0.2.

Рис. 2

Анализ результатов показывает, что если стп - напряжение отрыва, <х22 - напряжение, действующее вдоль слоя, - напряжение,

действующее в направлении, ортогональном аи <т22, то на первом дискретном элементе слоя при плоском напряженном состоянии имеет место сгп > СГ22 = 0, а для плоского деформированного состояния -сг,! > ст33 ><722 (Рис- 2). В этом случае, если в качестве критерия перехода в пластическое состояние использовать критерий Треска, то для плоского напряженного состояния напряжение сги всегда будет равно пределу текучести, а в случае плоской деформации может его превышать.

Во втором разделе рассмотрена задача упругопластического деформирования слоя взаимодействия в случае плоского деформирования. Схема нагружения аналогична схеме упругой постановки (см. рис.1). Полагается существование пластической зоны в слое взаимодействия длиной / .

Из решения упругой задачи имеем стп >о"33 ><т22. Таким образом, критерием перехода из упругого состояния в пластическое считаем достижение максимальным касательным напряжением критического значения:

л л л

О-Ц-О-22 =2гл, (14)

л

где гх = /?гл - безразмерный предел текучести.

Полагаем деформации малыми и для стадии упругопластического деформирования справедливым следующее разложение:

£„=е^+еР, 1 = 1,2, (15)

где £?■• упругая составляющая полной деформации; £•,"- пластическая составляющая.

Считаем, что материал пластически несжимаем:

=и

+ е%2 + £& =0.

33

(16)

В состоянии плоской деформации полагаем, что упругая и пластическая составляющие поперечной деформации нулевые:

(17)

Используя связи закона Гука (4), (5) с учетом (15)-(17) относительное изменение объема представим в виде:

в(х) = (А-в1о-и + <Т22

(18)

Из выражений (9) и (18), условия равновесия элемента слоя (3), условия текучести Треска (14) получим следующую интегродифференциальную систему уравнений, описывающую деформирование пластической области слоя длиной / в состоянии

плоской деформации:

-<? и + а,

+ 2 /СТИ(<?)1п

I) х ь о

= (А-В1 егц+о-22 ;

(19)

СО 22

= -2ал;

дх

л а л

СЛ1-СГ22 =2г?.

л л л

В упругой области, где х > 1р и егц-ст?? <2г.,, НДС описывается системой (10). Основными неизвестными систем (19) и (10) являются компоненты тензора напряжений, а так же длина пластической области при удовлетворении граничного условия (11).

Модель дискретного решения полученной системы уравнений (19), (10), (11), описывающих упругопластическое деформирование слоя в состоянии плоской деформации, будет состоять из трех подсистем.

1. Уравнения, описывающие пластическую область (дискретный аналог системы (19)):

кН.

г

х + а

п + а

Т!+СГ22

(Х~2у)

1-й

(20)

г») .„.(М.

22 °22 '

= ~2а{\\ к = 1,..,/;

а£> = 0

2. Уравнения, описывающие переход / + 1 элемента из упругого состояния в пластическое (дискретный аналог системы (10) при условии

Л Л Л

достижения на элементе напряжением предела текучести стц-стгг =2т$)'-= ¿ = /+1;

V/ V — />- ъ ~~ ь

^ ■ I/ * ^ /' Г £

<=1

2Р/+1Ш|

х+ау +-

+ а >

2(1-,)

(21)

°22 -сг22

3. Уравнения, описывающие упругую область (дискретный аналог системы (10)):

'=1 s-,

м

2P,+1ln|

.T + CI

п +а

-Г" ÍÍ .....w

2{X-v)

к = 1 + 2,..,п; (22)

f¡

1

о-22 - = ~2a\ki, к = 1 + 2,..,«.

Полная система дискретного деформирования, состоящая из подсистем (20)-(22), содержит 3п +1 линейное уравнение. Неизвестными являются Ъп обобщенных напряжений и критическая сила Р/+1, обеспечивающая данное напряженное состояние. Решать поставленную задачу предлагается пошагово, определяя на каждом этапе критическую силу и напряженно-деформированное состояние слоя, соответствующее достижению критерия текучести на / +1 элементе.

При решении упругопластической задачи учитывалось перераспределение напряжений в материале слоя. Для пластически деформируемых элементов, в которых оказывалось ст2: > азз условие

АЛ Л

текучести (14) менялось на условие сгп-егзз = 2тЛ.

На рис. 3 показана зависимость распределения напряжений, отнесенных к пределу текучести, по элементам при достижении предела текучести на втором элементе (нагрузка Р2). Кривая I определяет напряжение сги, кривая 2 характеризует распределение а22, кривая 3 -соответственно <х33 при 2т Je = 3-10~3. Из приведенной зависимости видно, что напряжения в пластически деформируемом элементе при плоской деформации могут существенно превышать предел текучести. Это объясняется существенной величиной гидростатической составляющей напряжения.

\ ; л \ 2

1 3 5 7 «

Рис. 3

На рис. 4 показано изменение численных значений критической нагрузки при достижении предела текучести на первом, втором и третьем элементах.

Рис. 4 - Зависимость критической нагрузки от длины пластической

зон ы

Из анализа результатов следует, что рост нагрузки, необходимой для осевого продвижения пластической области, в условиях плоской деформации указывает на возможность ее распространения в направлении, ортогональном слою взаимодействия.

В третьем разделе рассматривается задача упругопластического деформирования слоя взаимодействия в условиях плоского напряженного состояния.

Из анализа упругого решения получено, что а, [ > сг22 - азз = 0 • Следовательно, переход из упругого состояния в пластическое, согласно критерию текучести Треска (18) для данной схемы нагружения, определяется выражением:

л л

стц = 2rs. (23)

л

где rs = /?гл - безразмерный предел текучести.

Для области развитого пластического течения полагаем выполнение соотношения полной пластичности:

Л Л Л

0"11 =(Т22 =2г,. (26)

С учетом уравнения равновесия (3) из (26) получаем, что по границе со слоем в пластической области касательные напряжения равны нулю

Л

о" 12 =0. Следовательно, для области пластического течения слоя имеем:

Л Л

си=2гл;

• С22 = 2r.v; (27)

<г 12 =0.

л л

В упругой области, где х > 1р и а и < 2г.,, к (27) добавляется система

(10). Основными неизвестными (27) и (10), как и в случае плоского деформированного состояния, являются компоненты тензора напряжений, а так же длина пластической области при удовлетворении граничному условию (И).

При определении напряженного состояния слоя по выражениям (6)-(8) могут быть найдены соответствующие упругие деформации слоя. В пластической области, в силу однородности напряженного состояния (27), деформации будут постоянны по всей длине пластической зоны и равны деформациям на момент перехода из упругого состояния слоя в пластическое.

Дискретная модель будет состоять из трех подсистем. 1. Уравнения, описывающие пластическую область (дискретный аналог системы (27)):

а№= 2т,; к = 1,..,/

М. 22 '

■■2тг; к = 1,..,1

2. Уравнения, описывающие переход / +1 элемента из упругого состояния в пластическое (дискретный аналог системы (10) и условие

л

достижения на элементе напряжением а 11 предела текучести): =2 г.,; к=1 +1;

'■=1 (')- ^ '-1 ^

2/}+11п|

.г + а л + а

, к = 1 + \\

Ас${х{к))- = ¿4^(.г(1)) } —Цк = 1+1;

'=1 'х(') - *

3. Уравнения, описывающие упругую область (дискретный аналог системы (10)):

Ы^О)) I + 224^,)) ъШ« -

\п + а) 2

Ао^2\х{к)) - Ва\\\х{к)) = 24'ц,)) I -4^. * =1 +

с/*-') = 22 22

= -2а\\', к = 1 + 2,.., п.

Рис. 5 отображает распределение напряжений, отнесенных к пределу текучести, по элементам при переходе третьего элемента в пластическое состояние (нагрузка Р}) для плоского напряженного состояния. Кривая 1 определяет напряжение сгп, кривая 2 - соответственно сг22 при

2гл/£ = 3-Ю"3.

2г.

0.5

0

\ \ \ \ \ Ч^— 1 2

......... V -- ч — ---.

1 3 5 7 9 «

Рис. 5

На рис. 6 показана зависимость длины пластической зоны от приложенной нагрузки в концепции слоя взаимодействия и классического подхода Леонова-Панаскжа-Дагдейла (ЛПД).

,1 2

0

0.5

1.5

2.5

Рис.6

График 1 соответствует плоскому напряженному состоянию, график 2 построен для случая плоской деформации. График 3 соответствует аналитическому решению Р = 2сг0р + а). Из полученных графиков

следует, что предлагаемая модель, в отличие от ЛПД модели, позволяет отразить чисто упругое поведение материала. На кривых 1, 2 видно, что пластическая деформация начинается после достижения силой Р

критического значения. В то же время, из графика 3 следует, что развитие пластического отрезка в рамках модели ЛПД начинается при сколь угодно малой внешней нагрузке. Для плосконапряженного состояния при достижении текучести в элементах слоя результаты по модели ЛПД и рассмотренной модели совпадают. Зависимости на графиках 1, 2 качественно отражают экспериментально установленный факт существенно увеличенной длины пластической области при плоском напряженном состоянии по сравнению с плоской деформацией.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Модель физического разреза позволила описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.

2. Напряженное состояние слоя и длина пластической зоны определяются из решения соответствующих краевых задач, позволяющих, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, выделить чисто упругий процесс и отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Учет напряжений, действующих ортогонально отрыву (в данной работе crji) 8 слое конечной толщины, определил принципиальное различие в характере пластического течения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мерцалова Т.А. Система исследования процесса разрушения двухконсольной балки на основе математической модели // Известия Орловского государственного технического университета. Серия Информационные системы и технологии. №2(8). 2005. С. 112117

2. Мерцалова Т.А. Программное обеспечение для исследования процесса разрушения материалов с использованием математической модели двухконсольной балки // Известия Орловского государственного технического университета. Информационные

технологии в науке, образовании и производстве (ИТНОП). Том 2. №1(2)2006 г. С. 104-108

3. Мерцалова Т.А. Математическая модель исследования процесса разрушения двухконсольной балки // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. Выпуск 10, 2006 г. С. 143-148

4. Мерцалова Т.А. Программное приложение для изучения процесса разрушения материалов // В сб. «1-я магистерская научно-техническая конференция. Тезисы докладов», Тула: ТулГУ, 2006, С.96.

5. Глаголев В.В., Мерцалова Т.А. Упругоплаапическое поведение тонкого слоя в окрестности трещины нормального отрыва // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки.-Вып.2.-2008.- С. 67-85

6. Глаголева М.О., Мерцалова Т.А. Подходы к дискретному исследованию краевой задачи механики разрушения Н Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т.13. Вып.2. Механика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, С.60-67

7. Мерцалова Т.А. Дискретное представление задачи разрушения типа нормального разрыва // В сб. «Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов», Тула: ТулГУ, 2007, С. 169-171

8. Мерцалова Т.А. Дискретная модель упругопластического деформирования слоя взаимодействия в условиях плоской деформации //' В сб. «Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов», Тула: ТулГУ, 2008, С. 255-259

9. Глаголев В.В., Маркин A.A., Мерцалова Т.А. Дискретно-континуальная модель процесса симметричного разделения Н ПМТФ. 2009. Т. 50, Ли I. С. 134-140

МериаловаТ.А.

Автореферат

Подписано в печать^^З^^ОСЖг. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага типографская

М'2. Офсетная печать. Усл.печл^ %.Усл.кр.-огт._Уч тд л Тираж /£/с/

Заказ ¡¿¿'О

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92. Редакшонно-издательский центр Тульского государственного университета.300600. г. Тула, ул. Болдина, 151

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

1.1. Постановка задачи упругого деформирования слоя взаимодействия.

1.2. Подходы к решению задачи упругого деформирования слоя взаимодействия.

В настоящее время исследование проблем прочности и разрушения твердых тел представляется важной задачей, как в теоретическом, так и в прикладном плане. Под разрушением понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения. Ввиду отсутствия единой теории процесса разрушения, закономерности этого явления принято рассматривать на разных масштабных уровнях. Однако наибольшее развитие получили модели, описывающие разрушение в рамках теории трещин. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется математическим разрезом. Но, как правило, точно описать поведение среды представляется возможным до вершины трещины (особой точки). Дальнейшее решение строится на определенной модели разрушения, включающей в себя модель трещины и критерий разрушения.

Основы механики разрушения были заложены английским ученым Аланом Гриффитсом [64,65]. Он постулировал, что для образования единицы новой свободной поверхности под действием приложенной нагрузки уменьшение потенциальной энергии тела (вследствие подрастания трещины) должно быть равно поверхностной энергии, затраченной на образование новой свободной границы тела (вследствие приращения длины трещины). Таким образом, согласно Гриффитсу, трещина растет, если освобождающейся потенциальной энергии достаточно для преодоления взаимодействия слоев атомов и образования новой свободной поверхности. Этот подход получил название энергетического критерия разрушения.

Важно отметить, что после достижения критического значения напряжения для поддержания роста трещины при определенных условиях не требуется увеличение прикладываемой нагрузки — рост трещины является лавинообразным. Такие трещины называются неравновесными, а рост трещины - неустойчивым. Условие устойчивого роста трещины - требование малого увеличения внешней нагрузки для малого увеличения длины трещины. Такие трещины называют равновесными.

Идеализированный критерий хрупкого разрушения Гриффитса был предложен для трещины нормального отрыва в линейно упругом теле. В большинстве случаев существенны процессы нелинейного деформирования в окрестности вершины трещины. Поэтому Орован [79] обобщил концепцию Гриффитса на случай металлов, где возникают необратимые деформации в зоне предразрушения, и ввел в рассмотрение работу пластической деформации. Ирвин установил [66-68], что процесс разрушения материала при распространении трещины обуславливается напряженно-деформированным состоянием в окрестности вершины трещины, которое в свою очередь, в линейно упругом теле определяется коэффициентом интенсивности напряжений. Поэтому естественно предположить, что трещина получает возможность распространяться при достижении коэффициентом интенсивности напряжений некоторого критического значения. Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений являются постоянными материала, характеризующими его трещиностойкость при заданной температуре, внешней среде и т.п. Этот критерий разрушения получил название силового критерия разрушения.

Вышеприведенные подходы являются эквивалентными и формируют критерии хрупкого разрушения.

В механике упругопластического разрушения предполагается образование зоны пластических деформаций у вершины трещины и в процессе роста трещины энергия, ассоциированная с локализованным полем пластических деформаций, значительно превышает поверхностную энергию, которую необходимо затратить, чтобы образовалась новая свободная поверхность. Важно отметить, что критерий Ирвина используется и для упругопластических материалов в ' предположении, что область пластического деформирования не влияет на характер решения в окрестности особой точки, определяемого в рамках соотношений линейной теории упругости. Однако работа разрушения в этом случае ассоциируется не с поверхностной энергией, а с энергией диссипации (работой пластического деформирования) в концевой зоне. Для того чтобы подчеркнуть упругопластический характер разрушения, предельное значение коэффициента интенсивности напряжений получило название вязкости разрушения. Расчеты коэффициентов интенсивности для различных типов начальных трещин и внешних сил и последующая экспериментальная реализация этих задач позволили определить условия начала разрушения различных тел при плоском напряженном или деформированном состояниях [41].

Дальнейшее развитие механика разрушения получила в работах Ф. Макклинтока [74], В.В. Новожилова [45], Д.Д. Ивлева [19-21], Л.В. Ершова [51], Ю.Н. Работнова [50] , А.Ю. Ишлинского [23], Н.А. Махутова [34,72], Н.Ф. Морозова [41], Е.М. Морозова [47,73,76], В.И. Астафьева [57], В.З. Партона [47], A.M. Линькова [31], Р.В. Гольдштейна [12-17,62], Ю.Г. Матвиенко [72,73], Болотина В.В. [59] и ряда других отечественных и зарубежных исследователей [42-44,46,49,58, 70,71,75,77,78,80,82,86-91]. Ограниченность критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости и необходимостью существования дефектов типа математического разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Раиса [83-85], Г.П. Черепанова [53].

Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К.Ф. Черныха [41]. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком [30] и несколько позже Д.С. Дагдейлом [61]. Существенным отличием подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла Я была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования новых поверхностей. Для определения критического состояние в данных работах требовалось два параметра (постоянных материала) — критическое раскрытие трещины и притягивающие противоположные берега напряжения. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблаттом [58], В.М. Битовым и Р.Л. Салгаником [18]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом [28,29].

Интерес к проблемам разрушения не ослабевает ввиду их огромного прикладного значения. В настоящее время подавляющее число публикаций по механике деформируемого твердого тела в той или иной степени касается проблем разрушения и развития повреждений [1,2,12,14-17,25,26,32,3540,48,52,54-56].

Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании развития пластической зоны в окрестности физического разреза конечной толщины при нагружении типа нормального отрыва в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:

1. Рассмотрена модель физического разреза, что позволило описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.

2. Сформулированы и решены краевые задачи, позволяющие, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет напряжений сжатия-растяжения и упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Показано принципиальное различие в характере пластического течения. В состоянии плоского деформирования в концевой области трещины наблюдается сильный гидростатический эффект, что приводит к превышению напряжений в окрестности вершины разреза над пределом текучести. Для плоского напряженного состояния напряжения в зоне пластического течения не превосходят предел текучести.

5. С использованием соотношений теории течения и гипотезы полной пластичности поставлена и решена связанная упругопластическая задача о развитии тонкой пластической зоны в окрестности трещиноподобного дефекта для плоского деформирования и случая плоского напряженного состояния.

Достоверность полученных результатов достигается использованием известных математических постановок задач механики разрушения, сравнением с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Создание любых изделий и сооружений неизбежно соприкасается с вопросом прочности. Результаты данной работы могут найти применение в различных конструкторских бюро, а также могут использоваться в теоретических курсах для студентов по направлению «Механика. Прикладная математика».

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007-2008 гг.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

По материалам работы опубликовано 9 работ, в том числе 6 статей и 3 тезиса. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.

Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы, включающего 91 наименование.

Во введении приведено историческое развитие рассматриваемой темы, обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведена характеристика научной новизны, обоснована достоверность полученных результатов и их практическая ценность.

В первой главе рассмотрена математическая модель трещины типа нормального отрыва в линейно упругой среде. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется физическим разрезом с некоторым характерным размером. Данный масштабный уровень выбираем как минимально допустимый с точки зрения выполнения гипотез сплошности. Материал, лежащий на мысленном продолжении физического разреза в сплошной среде, формирует материальный слой -слой взаимодействия. На основе концепции слоя взаимодействия получена система интегродифференциальных уравнений, позволяющая учесть напряжения, действующие в слое, не только в направлении отрыва, но и в ортогональном ему направлении. Предложен численный метод дискретного анализа полученной системы. Произведено сравнение результатов расчета с известным асимптотическим решением.

Во второй главе исследуется математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоской деформации. Предполагается, что пластическое течение может быть локализовано в пределах слоя взаимодействия. Вне слоя среда считается линейно упругой. Исследована зависимость длины пластической зоны от внешней нагрузки и напряженно-деформированное состояние слоя. Определено возможное направление распространения пластической области.

В третьей главе рассматривается математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоского напряженного состояния. Проведено сравнение зависимости длин пластических зон от приложенных нагрузок в случае плоской деформации, для плоского напряженного состояния и классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла.

В заключении приведены основные выводы по работе.

3.3. Основные результаты третьей главы

1. Модель дискретного деформирования позволила описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины для плоского напряженного состояния.

2. Напряженное состояние слоя и длина пластической зоны определяются из решения соответствующих краевых задач, позволяющих, в отличии от ЛПД подхода, отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет напряжений сжатия-растяжения и упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Из анализа упругопластического решения следует, что в случае плоского напряженного состояния возможно существование тонкой пластической зоны с длиной, существенно превышающей введенный характерный размер.

5. Проведено сравнение зависимости длин пластических зон от приложенных нагрузок в случае плоской деформации, для плоского напряженного состояния и классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла (ЛПД). Анализ результатов показывает, что предлагаемая модель позволяет отразить чисто упругое поведение материала. Развитие пластического отрезка в рамках ЛПД начинается при сколь угодно малой внешней нагрузке.

6. Установлен факт существенно увеличенной длины пластической области при плоском напряженном состоянии по сравнению с плоской деформацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие выводы:

1. Модель физического разреза позволила описать развитие зоны пластичности в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.

2. Напряженное состояние слоя и длина пластической зоны определяются из решения соответствующих краевых задач, позволяющих, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, выделить чисто упругий процесс и отразить перераспределения напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.

3. Установлено, что учет упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.

4. Учет напряжений, действующих ортогонально отрыву (в данной работе сг22), в слое конечной толщины, определил принципиальное различие в характере пластического течения.

1. Буханько А.А., Степанов С.Л., Хромов А.И. Растяжение полосы с V-образным вырезом и разрушение пластических тел // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007.№ 3. С. 177-186.

2. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин в упругом теплопроводном теле с учетом взаимодействия их берегов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 1. С. 149-160.

3. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин А.А. К решению одной задачи механики разрушения 11 ПМТФ. №4. -2007. - С. 121-127.

4. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С.61-68.

5. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модель установившегося разделения материального слоя // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 121-129.

6. Глаголев В.В., Маркин А.А. Об одном способе определения связей между критическими значениями характеристик процесса установившегося разделения материала // Проблемы прочности. 2006. №2. С. 47-58.

7. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. №6. - 2007. - С. 101-112.

8. Глаголев В.В., Маркин А.А. Термомеханическая модель дискретного разделения упругопластических тел // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. -Том 12. Вып. 2. - 2006. - С. 103-129.

9. Глаголев В.В., Маркин А.А., Мерцалова Т.А. Дискретно-континуальная модель процесса симметричного разделения // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 1. С. 134-140.

10. Глаголев В.В., Мерцалова Т.А. Упругопластическое поведение тонкого слоя в окрестности трещины нормального отрыва // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки.-Вып.2.-2008.- С. 67-85.

11. Глаголева М.О., Мерцалова Т.А. Подходы к дискретному исследованию краевой задачи механики разрушения // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 13. Вып.2. Механика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, С.60-67

12. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Моделирование отслоений покрытий при термомеханичесом нагружении в балочном приближении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 75-90.

13. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // В кн.: Проблемы механики. Сб. статей. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003. - С. 221-239.

14. Гольдштейн Р.В., Сарычев М.Е. Влияние дислокаций на критерий роста трещин по границе соединения деформируемых материалов // Известия РАН. Механикатвердого тела. 2006. № 1. С. 125-135.

15. Гольдштейн Р.В., Шаталов Г.А. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 151-164.

16. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможной искривления трещины нормального отрыва в анизотропной плоскости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 6. С. 173-182.

17. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможной неустойчивости прямолинейного пути трещины в ортотропной плоскости в условиях одноосного нормального растяжения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 33-45.

18. Ентов В.М., Салганик P.JI. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.

19. Ивлев Д.Д. О выводе соотношений, определяющих пластическое течение при условии полной пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1959. №3. - С. 137.

20. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.М.:Наука, 1966. 232с.

21. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности: избранные работы. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. - 357с.

22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

23. Ишлинский И.Ю. Сопоставление двух моделей развитиятрещин в твердом теле // Изв. АН СССР МТТ.-1971.-№4.-С.116-121.

24. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.:Наука, 1969. 420с.

25. Ковтуненко В.А., Сухоруков И.В. Оптимизационная постановка эволюционной задачи о развитии трещины при квазихрупком разрушении // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 5. С. 107-118.

26. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 5. С. 153-161.

27. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. М.: Мир, 1987. -328 с.

28. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале // Проблемы прочности.-1988.-№7.-С. 18-23.

29. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского научного центра высш. Школы. Естественные нуки.-1985.-№1 .-С.28-30.

30. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. — Т. 5. — № 4. - С. 391-401.

31. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // ДАН СССР.-1977.-Т.233.-№1 .-С.45-48.

32. Ловейкин А.В., Улитко А.Ф. Анализ напряженно-деформированного состояния в несжимаемом полупространстве с приповерхностной клиновиднойтрещиной // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 1. С. 136-148.

33. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970.

34. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конствукций на прочность.-М.'Машиностроение, 1981.-270с.

35. Мерцалова Т.А. Математическая модель исследования процесса разрушения двухконсольной балки // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика.Физика. Выпуск 10.2006 г. С. 143-148

36. Мирсалимов В.М. Зарождение трещин в перфорированномтепловыделяющем массиве // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 121-133.

37. Мирсалимов В.М. К решению задачи механики контакного разрушения о зарождении трещины со связками между берегами во втулке фрикционной пары // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 132-151.

38. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы механики разрушения твердых тел Спб.: Изд-во С-Петербурского ун-та, 1997.- 132 с.

39. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

40. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. JI. , 1984. - 93 с.

41. Назаров С.А., Шпековиус-Нойгебауер М. Применение энергетического критерия разрушения для определения формы слабоискривленной трещины // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 5. С. 119-130.

42. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. № 2. С. 212-222.

43. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. - 256 с.

44. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластичекого разрушения 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-504с.

45. Перельмутер М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 152-171.

46. Петров Ю.В. О "квантовой" природе разрушения хрупкихсред // Докл. АН. 1991. Т. 321. № 1. С. 66-68.

47. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.-80с.

48. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. Т.2.-М.:Мир, 1975-764с.

49. Трифонов О.В. Об описании связанных процессов деформирования и накопления повреждений в конструкциях при интенсивных воздействиях // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 2. С. 142-153.

50. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

51. Шоркин B.C. Анализ напряженного состояния износостойких покрытий восстановленных деталей / B.C. Шоркин, Ю.А. Кузнецов, А.Н. Батищев // Механизация и электрификация сельского хозяйства.-2003, №3.-С.28-30

52. Шоркин B.C. Математическая модель механического взаимодействия тела детали и ее поверхностного слоя /

53. B.C. Шоркин // Справочник. Инженерный журнал.-2006, №7.-С.30-36

54. Шоркин B.C. Моделирование процесса виброобработки методами механики сплошных сред / B.C. Шоркин // Сборка в машиностроении, приборостроении.-2004, №31. C.13-17

55. Astafiev V.I. Grigorova T.V. Pastukhov V.A. Influence of continuum damage on stress distribution near a tip of growining crack under creep conditions // Proc. 2 nd Intern. Collog. On Mech. Of Creep Brittle Materials. Leicester, UK, 1991. P. 49-61.

56. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech. 1987. - V.28. - №5/6. - P. 623-626.

57. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growth retardation due to overloading // International Journal of Solids and Structures. 1996. - №9. - P. 1229-1242.

58. Cook J., Gordon J.E. A mechanism for the control of crack propagation in all brittle system // Proc. Roy. Soc, London. Ser. A, 1964. V. 282. № 1391. P. 508-520.

59. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.- J. Mech. and Phys. Solids. 1960. - V.8. - № 2. - P.100-108.

60. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture. 1999. - V. 99. -№1-2. - P. 53-79.

61. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformations superimposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. London. 1951. - V. A211. - P. 128-154.

62. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A. 1920. - V. 221. - P.163-198.

63. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech.- Delft. 1924. - P. 55-63.

64. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.-Brussels. 1957. - V. 8. - P. 245-251.

65. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. -№ 3. - P. 361-364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958.

66. V. 25. № 2. - P. 299-303 ).

67. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. 7th Samagore Ardance Materials Research Conference. -Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

68. Isupov L.P., Mikhailov S.E. A comparative analysis of several nonlocal fracture criteria // Archive of Appl. Mech. V. 68. 1998. P. 597-612.

69. Kishimoto K., Aoki S., Sakata M. On the path independent integral J. // Eng. Fracture Mech. 1980. - 13. - P. 841-850.

70. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures. 1998. - V. 35. - №20. - P. 2585-2600.

71. Matvienko Yu.G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in engineering safety for structures damaged by cracks // Int. J. Vessels and Piping. 1999. - V. 76. - P. 441-444.

72. Matvienko Yu. G., Morozov E.M. Some problems in linear and non-linear fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 1987. - V.62. - P. 127-138.

73. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - P. 581-588.

74. Mishra R.S., Bieler T.R., Mukhetjee A.K. // Acta Metall. Mater. 1995. V.43. - №3. - P. 887-891.

75. Morozov E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. By G.P. Cherepanov. Melborn: Grieger Publ. Сотр., 1998. - P. 440-449.

76. Murakami S. Mechanical modeling of material damage //

77. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. June. - P.280-286.

78. Nemat-Nasser S., Hori M. Void Collapse and Void Growth in Grystalline Solids // J. Appl. Phys. 1987. - V.62. - №7. -P. 2746-2757.

79. Orowan E.O. Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows.- London: Institut of Metals, 1948, p.451.

80. Perelmuter M.N. Fracture model for an interface with bridged zone // Proc. of the 14 European Conference on Fracture, ECF-14, Crackow, Poland, 8-13 September. 2002. - P. 655-662.

81. Prandtl L. Ein Gedankenmodell fur den Zerreibvorgand sproder Korper// ZAMM Bd. 13. 1933. P. 129-133.

82. Qi-Kui Du. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001. - V. 51. - P. 1195-1210.

83. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension // Int. J. Fracture Mech. 1968. - V. 4. - № 1. - P. 41-47.

84. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture // Inelastic Behaviour in Solids. New York: McGraw-Hill. - 1970. - P. 641-672.

85. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen embrittlement of metals // Corrosion. 1976. -V. 32. - № 1. - P. 22-26.

86. Schraad M.W., Triantafyllidis N.I. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures. Part I. Macroscopic properties // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1997. - V. 64. - № 4. - P. 75 1-762.

87. Schwalbe K.N., Zerbst U. The Engineering Treatment Model // Int. J. Pressure Vessels and Piping. 2000. - V. 77. -P. 895-918.

88. Smith C., Post. D., Epstein J. Algorithms and restrictions in the application of optical methods to the shell intensity factor determination // Theor. Appl. Fract. Mech. 1981. -V. 2. - P. 81-89.

89. Vasyutin A.N. Fracture mechanics of physically short cracks // Fatigue and Fracture Engng Mater, and Struct. 1992. -V. 15. - № 2. - P. 203-212.

90. Weighardt K. Uber das Spalten und Zerresen elastischer Korper // Zeitschr. fiir Math. Und Phys. -1907. Bd. 55. -№ 1/2. - S. 60-103.

91. Will P., Totzauer W., Michel B. Analysis of surface cracks by holography // Theor. Appl. Fract. Mech. 1988. - V. 9. -P. 33-38.