Модели нелинейных конвективно-диффузионных процессов в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

с < • !*>

о

На правах рцкигшси

КУРБАТОВА Галина Ибрагиховна

МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ШВЕКТИШЮ-ДИФФазИОНШ ПРОЦЕССОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01.02.05,-иехеника нкдкости. газа и плаэхы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание яченой степени доктора фкзнка-иатекатнческих наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 19Й5

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальна« оппонента:

доктор фиэико-иатекетических наук, профессор

Юрий Михайлович Давыдов, доктор физико-математических наук, профессор

Роман Николаевич Мироиик, доктор физико-математических наук, профессор

Валерия Алексеевич Павловский.

Бедузая организация: Санкт-Петербургский Балтийский государственный технический университет ии. Д.С. Устинова.

Зацита состактса ___1995г. час .00 мин.

на заседании специализированного совета Д 063,57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2.си(З.Ъ22>6

С диссертацией моено ознакомиться в Научной библиотеке имени И, Горького Санкт - Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская набережная, ?/9.

Автореферат разослан "12" 1995г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

С,А. Эепда

- 3 -

0С1МЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ«

Ант Дальность' прорлемч моделирования нелинейных нинвектив-но-диффузионннх процессов в неоднородных средах «НКДП&НС» обусловлена тем, что больвинство процессов, происходящих в естественных условиях и используемых а современник технологиях, иошю квалифицировать как один из вариантов НКДПвНС. Интерес к атой проблеме подтверждается кеуиекьаавщимся число« публикаций в периодических научкнх изданиях. В диссертации на основе единого подхода к проблеме моделирования НКДПвНС реаенм такие актуальные задачи, как очистка газов на пористых сорбентах, отекание технологического режима производства оптических стекол с задашиш распределением показателя преломления, повыяение эффективности разогрева мерзлого грунта, удаление газовых пузырьков из расплава стекломасса.

Результаты, относящиеся к исследовании проблем моделирования НКДПвНС, в основном, получены при выполнении научно-исследовательских те», включенных в постановления Правительства, в координационные план« научно-исследовательских работ Вузов ( Н г.р. 01860101042, СПбГУ 6.3.91). Часть результатов получена и использована при выполнении хоз. - договоров- с научно-исследовательскими учеревдшиями (СКБ АП ЙНСССР. ГИС, ВИСЯ. ГОИ им. С.И. Вавилова).

Реиение прикладных задач оформлено в виде комплексов программ, т.е. доведено до еозмояности проведения кнееньрных расчетов. Это позволило ставить и решать актуальные задачи оптимизации и управления технологическими процессами.

Цельв работы явилось комплексное и взаимосвязанное исследование проблем моделирования НКДПвНС,таких как проблема осреднен-ного описания, проблема модульного анализа (декомпозиции) системы моделируазих уравнений, проблема численного решения нелинейных интегродифференциальних уравнений в частннх производных, проблема постановки и решения обратных задач, проблема постановки задач управления. Обкность этих проблем моделирования обуславливает целесообразность совместного рассмотрения столь разных в плане приложения задач.

Цель исследований, уточняется с помочь» введенного понятия конструктивной математической модели(Ш).

КкК-совокупность четырех необходимых элекектов: 1. моделируЕ1гнх уравнений, описываяцих процесс, (полнота опкс<;г.ия определяется требуемой точностью расчета);

- 4 -

2, начальных И граничных условий;

3. методики ремениа обратных задач определения параметров, входя-«их в 1.. 2.; !

4. ¿(флективных алгоритмов решения 1., 2., доведенных до программ для персональных компьютеров,

В диссертации каждый раздел исследования НКДПвНС содержит Ш. реааюцув крупиув прикладную задачу.

Научная новизна и теоретическое значение.

Предложена новая недель нелинейной диффузии 'п' «оппонент, в которой вид зависимости коэффициента диффузии от концентрации ОЮр непосредственно связан с обменным механизмом перемецения компонент при ограниченности обнего числа пест замещения. Научный интерес представляет найденная итерационная процедура ревения зтой замкнутой нелинейной системы уравнений и полученное аналитическое репейке системы в первом приблилении для двух компонент.

Создана эффективная численная процедура определения зависимости Ь(С), основанная на идеях Больцмана, вклвчаюцая:

1. формулировку требований к проведении эксперимента по определении профиля концентраций С (хД>;

2. решение обратной задачи определения вида зависимости ОС С) по экспериментальному профиле С (хД>:

5. проверку ревения обратной задачи прямим численным расчетом процесса и сравнением с экспериментальный профилем концентрации С (хЛ>.

Созданная процедура ревения обратных задач является универсальной при моделировании изотермических процессов ионообменной диффузии в стеклах. Разработаны аффективные алгоритмы численного ревения краевых многомерных задач для квазилинейных параболических уравнений при достаточно общем виде зависимости 0(С>, при граничных условиях I, И, 111 рода на поверхности образцов канонической Формы (пластина, цилиндр).

Предло*ена физическая интерпретация механизма 'конвективной диффузии', связанного с осредненным описанием процессов в пористых средах. Получены аналитические реиения ряда задач неизотермический динамики сорбции примесной компоненты в поглоцапдей пористой среде. Найден класс течений газа в пористой среде', для которых соблядается подобие теплового профиля и профиля скорости. Впервые проанализирована возмомность моделирования тепловых процессов в пористых средах одиотемпературной моделью.

Предломена оригинальная модель динамики фазовых превращений в пористой многофазной среде при вмнумденной конвекции парогазо-

вой снеси и соитеетствувцая модель тепловых процессов. Выявлен механизм, приводящий к возникновение объемных зон Фазовых переходов. Доказана эффективность зтого механизма в процессе экергопе-редачи в мерзлом грунте.

Впервые дана об^аа постанови задачи о пузырьковой конвенции тяяелой вязкой жидкости, в которой распределение газовых пузырьков моделируется с помочь«) Функции распределения. Для нее в обчем случае записано кинетическое уравнение, в ряде частных случаев найдено его решение. Существенное теоретическое значение имеет полученное приближенное аналитическое ревение задачи сие-яанной пузырьковой конвекции при произвольном заданном законе распределения пуэырьков£с*). Найденная явная Форма зависимости гидродинамических полей от (£) позволяет свести ревение задачи о пузырьковой конвекции к ревенио кинетического уравнения. Это аналитическое ревение задачи пузырьковой коньекиии легко переносится на аналогична задачи тепловой конвекции, причем, реиение последних соответствует при этом более общей постановке задач тепловой конвекции, чем традиционно кспользуекое приблккение Буссинеска. Получены новые результаты по моделирования зволвции одиночного пузырька в кеаадвинкай и двимуаейся яидкости.

Получено методом характеристик аналитическое реиение кинетического уравнения для функции распределения пузнрьков в »идкости в случае их бесстолкковительного двигечня.

Достоверность новнх оригинальных неделей пойтеерчдается тек. что при налокекии упро«ав«их предполовений из них следулт известные результата. Достоверность полученных аналитических ремений ряда вариантов моделей гарантируется корректность» математических методов, ислольэуеиих при рекеиии краевых задач для систем уравнений в частных производим*, 0 достоверности численных ревекий краевых задач свидетельствует исследование сходимости численных рееений, проверка используемых разностных схеи на тестовых примерах, для которых найдены аналитические решения краевых задач. Достоверность оценок масштабов времен, лкмитируй*нх стадий, области линейности процессов и т.п., используекых при анализе и декомпозиции слоеных замкнутых систем уравнений моделей НКДПвНС, основана на строгой Физической постановке соответствувикх задач и на использовании теории размерности, известных законов фиэичи и махаш'ки сплошных сред. Достоверность расчетов по созданни« в диссертации КИП, кроме корректности используемых математических методов, подтверждается совпадением результатов численных экспериментов по КИМ с саответствувцими денными натурных экспериментов.

- о - .

Практическое значение обусловлено, с одной стороны, кругом ревенных ирдпинх прикладных задач, перечисленных выше, с другой стороны, многие результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в учебном процессе при чтении

таких дисциплин, kjk механика сплошных сред, теоретические основы химической технологии, математическая Физика. На основе исследований по созданным а диссертации КНИ соответствуациа организациям видака практические рекомендации по разработке оптических систем для приборов медицинской диагностики, по создании систем очистки воздуха многоразового использования, по интенсификации оттайки мерзлых грунтов, по удалении газовых пузырьков из расплава стекломассы.

Апробация. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на следующих семинарах, вколах, конференциях: научно-техническая конференция ДТИ (Ленинград, 1973), семинар отдела выч. Физики ИТПН СО АН СССР (рук. ак. Н.Н. Яненки, Новосибирск, 1975), семинар кафедры теории упругости СПбГУ (р«к. чл.-кор. РАН Н.Ф. Морозов. 137S, 1994), семинар кафедры физической механики СП0Г9 (рук. проф. Б.В. Филиппов, 1973, 1976. 1978), симпозиум " Математические методы в химии" (Новосивирск, 197В), научно-практическая конф. 'иняенерно-геологнческке изыскания в области вечной мерзлоты' (Благоееценск, 1388), IV Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Новосибирск, 1987), XI Всесовз-ная «кола-семинар по численным методам механики вязкой «идкости ( Свердловск, 1980>, Всесоюзная «кола по моделям механики сплоаних сред (Петродворец 1975, Якутск 1987, Хабаровск 1989, Владивосток 1991), семинар отдела оптических материалов ГОИ им.С.И.Вавилова (рук. ак. РАН Г.Т. Петровский, Ленинград. 1989. 1991), International toaíereace "fidvances in the Fusión and Processing oí C1ass" (Dusseldorf 1990), 4 европейская конференция-выстовка по материалам и технологиям "Восток-Запад" (СПб, 1993), International Conference on Optlcal Infornatlon Processlns (St. Petersburg 1993), 5 International Otto Schott Colloqultm (Jena, 1994). Б целом работа докладноалась на кафедре гидроаэромеханики СГ16ГУС рук. чл.-кор. РАН В.Г. Дулов, 1994), на кафедре теории управления СПбГУ (рук. чл.-ьор. РАН В.И. Зубов, 1994).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы , содерлит 18 таблиц и 22 рисунка. Работа изложена на 324 страницах машинописного текста, из них 21 стр. -список литературы, содеркаций 212 наименований.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в 27 статьях.

- ? -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении формулируется цель работы, вводится понятие КУЙ, кратко излагается содержание работы, ее актуальность н основные результаты, выносимые на эа«иту. В 1 главе исследуется многокомпонентная неподзихная твердая среда, конвекция отсутствует, часть компонент под воздействием тепловых и концентрационных внеиних полей может диффундировать. Процессы диффузии в такой среде с достаточной точностью моделируются уравнениями:

^ = у .гисадте,). (1) ^ - V • (В(Т)?Г). (2)

от

Сс -концентрация компонента 1-огп сорта. Т-температура, Ь -время.

Сравнением типа I моделируется, ьроке того, движение влаги в почве, фильтрация газа, массообмен частицы с жидкость«, "лучистая теплопроводность" и ряд других процессов. Проблемы моделирования нелинейных диффузионных процессов рассмотрены ;в диссертации на примере ионообменной диффузии в стеклах. Полученные обцие результаты могут бить прияонмы ко всем перечисленным визе процессам. Успехи в исследовании уравнения 1 связаны с именами Больцмана, Самарского, Вияика, Полянина, Сидорова и др, авт.. Применительно к ионообменным процессам в стеклах частиае варианты 1 рассматривались, например, в работах Бургграфа, Евстропьева. Карапгтяна, Петровского, Мазурина, Для ряда частных видов зависимости В(С.Т) в одномерном варианте при некоторых краевых условиях получены аналитические рессния I ( Пиков, Полянин, Баренблатт. Филиппов). В обцем случае зто сделать не удается. Проблемой является реаение обратных задач определения Функций 0(С,Т), В(Т).

5 I глазе создай комплекс КИИ, ссстояадй из аффективных прцедур числечяого ревен:а прямых и обратных задач 1,2 для граничных условий I, И, Ш рада для образцов 8 форме пластин и цилиндров .

Исследована модель нелинейной диффузии * п * компонент, в которой вид зависимости иепосрьдстзеано связан с механизмом перехечения компонент, й именно, при обменной аехянизче перенеяе-ния и при ограниченности обцгго числа мест замеяония В, выражение для потока ,7. частиц 1-го компонент а записано в виде:

= (г-1,. ..,»)• (3)

Б нестационарном случае получена замкнутая нелинейная система уравнений:

^-МДОТ!*-^1*^), (»• = !,•••>«)• <*>

Для изотермических задач в случае близости значений коэффициентов В^ построена итерационная процедура решения 4 при условии постоянства суммарной концентрации ОТ,-Ь) в начальный момент времени, которая е этом случае является точным ре-мением 4 при 0^= <[/ 1), На 'к' итерационном «аге ремение 4

сводится к ременив (п+П уравнений, линейных относительно С.К, Б"

«=>.....»)• «

51! . я,-соп.(, (!)

Для ионообменной диффузии двух компонент в первом приближение <к=1) получено аналитическое ремение 8, В в

одномерном варианте для эадачи.Коми: .......

^ Г а, ®<0; - /6, ж<0; ■ 4-° : = 0. ' 1 а, ® > 0.

+ <$>+*. (8) „ = *ехр(-*7Н£*» / (2{к£>Ь)1'2),

+ Г(ха/(41>*)) / (4тг(В - а - Ь)), 0 = 2?,(В-а-Ь)/В> <*а(Ь-а)/2, е = I - 0,/1>а,

./1/2 £ (1 - о

-ремения задачи Коки в кулевой нриблияение по б(.ЦяЦл Для этой модели ремение обратной задачи не вызывает затруднений, т.к. сводится к определение трех параметров 0, . , В, имевших ясный Физический смысл.

В I главе исследован метод ревения обратной задачи определения коэффициента диффузии, справедливый для широкого класса функций, аппроксимирующих зависимость 0(С,Т> (Т^сопзЬ). Суть метода состоит в допущении существования автомодельного решения 1 в некоторой области Л изменения СхЛ) и в соответствующей обработке экспериментальной зависимости С,<хД). снятой в областиЛ . Ивтод не требует решения (1), которое в аналитической форме не получено даде для простеймих задач при произвольном виде зависимости 0(С), и сводится к простому способу определения величины О для данной величины С*;

) (9)

■с

Cjx.t) - экспериментальный профиль концентрации снятый в момент времени Г. Функциональная зависимость 0(С) находится с помощьо аппроксимации точек на плоскости (О.С).В I главе определены границы применимости 9 и предложен эффективный алгоритм численного решения обратной задачи определения D(C),

Получека процедура определения кинетического коэффициента с<. входящего в граничное условие III рода на поверхности образца

(D(C)VC)

по соответствупщим экспериментальным интегральным характеристика*. Построены эффективные алгоритмы численного ремения прямых задач для многомерных уравнений 1,2 при достаточно общем виде зависимости De CJK В(Т) и при граничных условиях I, II, III рода.

Использованы явные двухслойные схемы на равномерных прямоугольных сетках и монотонная схема Самарского при аппроксимации пространственных производных от нелинейных правых частей 1, 2. Для каждой нелинейной задачи определялось условие устойчивости и проверялась практическая сходимость разностного метода. Схиди-мость численного ремения к решении» исходного нелинейного ур-.еге-ния проверялась на тестовом примере, для которого найдено тс i-oe аналитическое рещеиие уравнения 1;.

у а

r,*) = - * + (1 + у/ф^) + '-

(«»1/(8еа)) (Ю)

- 10 -

в частном случае выполнения условий:

С = С{г,г,ч>), 07 = ^ = °'

= = Г ~сопеЬ, £>(С)-аС + Ь,

= Лу/чНЧ-Ь).

и и

В конце I главы приведен« ККЫ ионообменной диффузии в условиях невесомости в неоднородно* нестационарном тепловом поле в сооскых цилиндрах, состоящих из стекол разного химического состава, и КИМ ионообменной диффузии в тонких цилиндрических образцах, погрухенных в расплав. Эти Ш использовались в наяей совместной работе с ГОИ им. С.К. Вавилова и позволили найти тсхнологичзские режимы, по которым были созданы объектив» для медицинских эндоскопов. кснкуренгноспособные на мировом рынке.

Во II главе исследованы проблемы моделирования процессов в неподвижной пористой среде, характеризующейся сложной внутренней структурой, определенней кинетику I! статику сарбционных процессов сорбируемой компоненты ( сорбага ) из потока газа-носителя. Рассмотрены проблемы осреднгнного описания этих процессов и получена замкнутая нелинейная интегродиФФеренцальная система уравнений модели НКДПвНС, состсяцая из уравнений статики 11, кинетики 12, 13 и динамики сорбции 14, уравнений гидродинамики потока 13-18, уравнений тепловых процессов в сорбнрушей пористой среде 19 для одномерного варианта в следующей Форме:

а;-/(Т,С), (о* — Г(Т)С);

(11)

(12)

■п

(И)

(15)

(16)

Р = рПгв/М;

(17)

+иВ ="в) ь т -0)+

09

= к^Ъ+т - т)+т ~т)+чте (19)

Здесь £ -пористость; у, " сдельная плотность сор-

бата, газа, твердой фазы;

и, б1, Р. Н, Су.уЧ . Лг -скорость, температура, давление, молекулярный вес, коэффициенты теплоемкости, вязкости, теплопроводности (молекулярной и конвективной) газа; 1Ц - газовая постоянная: I) - эквивалентный радиус частиц: С, а - концентрация сорбата в газовой и твердой Фазах; а* - локальная концентрация сорбата в твердой фазе; 0 - коэффициент "конвективной диффузии";.^ козффи-циевт теплопроводности твердой фазы; к - проницаемость;

(] = 1, 2. 3) - эффективные коэффициенты теплообмена; Т„ - температура окрумамей среды; ч - тепло та сорбции; а^ г С(Т,С) - уравнение изотермы сорбции;/"1- коэффициент Генри; а - кинетический коэффициент. Величины И,5, Р, С,_р . ^ осред-неиы по пространству пустоте, величин» Т, а - по пространству твердой Фазы (1-е).

Сгстема ур. 11-13, дополненная граничными и начальными угле виями, является математической моделью значительной части просос-сов, используемых в химических производствах. Во II главе иссле-

дованы вариант« 11-19, соответствующие выполнении одного или нескольких условий; Т=0, U=const, у =соп»'Ь, D «-0, а=ГС, St«-3.

Получено аналитическое решение задачи о стационарно* течении газа в пористой среде при Фиксированной распределении температуры.

Найден класс течений, для которых сиблидается подобие теплового профиля и профиля скорости. Расчеты по оОцей модели, учитывавшей гидродинамику потока и сорбционкые процессы, показали, что учет зависимости U(T) во многих случаях существенен. Позднее, в 80-х годах, вымел цикл работ H.A. Кудрямева, в которых приведено исследование ряда вариаонтов 11-19, частично совпадавшее с рассмотренным в намих райотах 70-х г..

Найдено аналитическое ремение варианта изотермической динамики сорбции при внутридиффцзионной кинетике,линейной изотерме при произвольных начальных условиях. Решение получено операционным методом с использованием полиномов Эрмитта. Ремение этой задачи для нулевых начальных условий в иэобра»ениях по Лапласу впервые получено Мясниковым, асимптотические решения - Золотаревым, приближенные ремения - Ь'реслером. Найденное ремение позволило в явной фцрм1 выписать ремение обратной задачи определения коэффициента диффузии [)„.

Рассмотрено ремение обратных задач дшимини сорбции моыент-ным методом H.ft. Тихонова.

Построены аффективные процедуры численного ранения ряда пояыых эааач для (11-19):

U^conet, I> neonat, Г=0; Pi « р, Г = а=Г(Г)С;

U s= mnat, р œ coiist,

Для вариантов, учитывавших гидродинамику потока, оказалось необходимым использование консервативных разностных схем. Показано, что при интенсивном поглощении сорбата (большие значения Г1 ) являыса предпочтительнее явные схемы (с неявкой аппроксимацией ряда граничных точек).

В конце И глави приведена КИМ блока очистки воздуха в системах жизнеобеспечения многоразового использования. Обоснован выбор моделируиших уравнений и краевых условий в следившем виде (безразмерном):

,>U — ctm»t\

СЦ* *»(*)• с\

н=о 1»-=о

вс\ = _к 0С\

вх 1..1 4 вЬ 1««.»'

а =3 ¡Ха'гЧг, Л

ОТ , вт , . да , ^Т

дх 1.-1 "¿>¿1.-1

Разработанные процедуры численного решения этой системы ур. ( основанные на неявных разностных схемах и специальном способе рас*епления ревения этой нелинейной интегродифференциальной системы ур.) обеспечили расчет концентрации примесной компоненты С(хД) с требуемой высокой точностью в режиме сорбции и десорбции за время много меньжее реального времени процесса. Эта НИМ использовалась в СКВ ЙП ЙН СССР в 70-х г, при создании системы управления цикловым режимом работы системы жизнеобеспечения в космических летательных аппаратах.

6 III главе проблвми моделирования НКДПьНС рассмотрены применительно к многофазным пористым средам при отсутствии термодинамического равновесия менду фазами. Модель НКДПвНС в атом случав включает в себя ур. состояния и переноса парогазовой смеси 26,21. у1), переноса пара 23, ур, переноса импульса парогазовой смеси 27, ур. динамики льда и води 33. 34, ур, энергии для подвижной и не-подвимной фаз 28,29, цчитывамие теплообмен мещду Фазами и поглощение (выделение) энергии при фазовых переходах ( ФП) лед-вода-пар. Оригинальная модель динамики ФП и соответствующая модель тепловых процессов в неподви«ной части такой среды 29-36 впервые была предломена в намих работах в 86 г,. В них был раскрыт механизм, приводящий к возникновение объемных зон ФП. Позднее, в 90-х г. Г.Г, Цыпкин получил объемные зоны ФП при моделировании процессов в природных пластах. Впервые вместо границы ФП целуй область ФП получил Кейрканов в 81г. при построении обобщенного ремеиия задачи Стефана для локально-однородной среды. Однако, вопрос о механизмах, приводящих к такой картине ФП, оставался вне рамок модели локально-однородной среды. Приведенная нище модель 21-36 охватывает «ироьий круг задач, связанных с процессами в мерзлых грунтах.

Приведем математическую модель нелинейных конвективно-дкФФу-зноннкх процессов в многофазной пористой среде

(21)

Р-РГ+ РП'

(22)

+ V • («/>,?) - (1 -«)/ + ?• фЧЫ) • (23)

М 4 г '

/«аиад-.*).

Р => рЯММ.

(24)

(25)

(26)

рС^^й^ • Щ<в)) = -/1(0 - Т) + V • (АУ(св))-

°Ь - е)/. Г-»)

(20)

О

- <)Т) « -МП

Л- = V . (д,У((1 - е)Т)) + (1 - *)к,г + (Кв - П О«')

1, Т < Т.;

0, Г = Г., > 0;

1, Г. < Т < ех и 0;

0, Г.. < Т, > 0;

1, Т.. <Т, =

(31)

( т < Т.;

I - { II, Т.<Т< Т.,;

I и/, т„ < т.

= Я(Т - 2'.)/ - Я(Т -

(32)

(за)

р^ = Н(Т - + Я(Г - Г.)й(т - 2и)/-

Я(г-г..)/я/ля; (34)

е +«т + «л + «4 = 1.

ш

(35)

(36)

• ев ~ дшы ГВ(,РДО* матрицы, льда, коды в единице ибьема среды;^ . ^ - удельная ндитность газа, пара, льда, воды;

V - (.карасть парогазовой снеси; . ^с. Х-- плотность, удельная пншоемкость, аффективная теплопроводность неподвижной части среди (жидкая фаза счтается неподвижной) в фазовом состоянии, соотве-тствувпем индексу 1; (1 = 1, Н, Ш) - мерзлый, талий и оттаявмий. и.укой грунт соответственно; Т# , -температуры фазовых переходов;

- удельная теплота сублимации и конденсации паров воды; ^ -удчльная теплота плавления льда, Остальные обозначения прежние.

Уравнения 29, 30 отражает специфику поведения температуры при Фазовых переходах лед - вода, вода - пар и позволяют учесть различие теплофиэических характеристик среды в разных фазовых состояниях. Модель кинетики льда и воды 33, 34 отражает тот факт, что кок только температура неподвижной части пористой среды достигает температуры соответствуюцего фазового перехода, весь приток тепла расходуется на плавление льда (испарение воды) вплоть до полного его исчезновения, при этом температура неподвижной части остается неизменной.

Соотножения 29-33 в частном случае выполнения условий;

€ = 0, в = т, / = о, е„«=0, Т<Т„

переходят в классическуп задачу Стефана, рекение уравнений 29-33 в этом случае понимается е обобщенном смысле.

В Ш главе рассмотрена задача о разогреве мерзлого грунта с поможыо териозаряда - интенсивного локализованного источника тепла и газа, работа которого сопровождается вынужденной конвекцией паров воды, образовавшихся в результате плавления льда и послену-южего,испарения воды. Созданная Ш «тих процессов позволила выявить17 и оценить роль особого механизма передачи энергии в такой среде, не сводяжегося к теплопроводности неподвижной фазы и к конвективному переносу тепла подвижной фазой. Прямыми расчетами доказано, что наблюдаемая экспериментально знергопередача на значительные расстояния в этом случав объясняется конденсацией паров воли, которче вместе с газом за счет больвого градиента давления проникает на значительные расстояния в мерчлый грунт.

КПК сформулированной задачи получена из уравнений 21-36 при упрочениях 1. - В., законность которых доказана с помокьв проведенного анализа и соответствующих оценок; 1. задача сферически симметричная; 2. цр. 27 сводится к закону Лаоск к&Р

у в------ ;

г цдг

3. < ~ соп»Ц 4.-0*0; 5.0кТ; 6. Г < Т„.

Приведем е безразмерной форме систему моделирущих уравнений и крп'выи условий для этой задачи (давление и скорость парогазо-

вой смеси вырашены через плотность и температуру. П == Тр

(38)

(39)

1,1 = Г, Г < Т,; <р(Т) = о, « - II, Т = Т.', > 0; (11)

1, « = £ <Я\ -0.

к

г - Цр* ~ №)п{т - з;') - к,Н(Т - т[)зц.

ж.

де

дь

^ — 0» г€(г0,оо): Г <>);

Р=Л + РЧТо). (43)

Ь > 0, г « Го : Т = Та + к10Ц р, = />*('Л>) + М;

p»Лf/»•(3,)^-(*a + <^J)t. (44)

дт Ор до, ¿>0^00: -^0; ^ - «0. . (45)

Тд - безразмерная температура плавлении льда. Задача решалась численно на равномерной сетке с ламочый консервативной явной двух слойной схемы с разность» вперед по врвменн. Погокивые члены аппроксимировались по монотонной ехене Самарского, ФШшция уЗ(Т) задавалась логически* иперашром; таолииа равнивегны* значений плотности интерполировалась кубически« сплайном; Массивы значений а . Т.о. «г имели нвшзменнув длину, обусловленную Зокинни /ч у 1

с!ьш использования граничного условия 45. Проверялась пращиче екая сходимость численного решения. Результат расчетов представ лени в виде графиков распределения , И по г для разных

моментов времени. Сооткомение коэффициентов к!7, к!5, к1б определяет каргинд таяння: от послойного таяния при И? « «1п(к13,к!6) до объемного таяния льда, которое наблюдается при преобладащей роли механизма передачи тепла за счет конденсации паров воды < Ш >> мах(к15,к16)).

При лвбом соотношение коэффициентов к!5. кЮ, к1? ремение строилось с явным выделением границ области ФП.

В IV главе проблемы моделирования НКДПеНС рассмотрены на примере конвенции тяжелей вязкой жидкости, содержащей ансамбль газовых пузырьков малого радиуса, неоднородно распределенных в этой жидкости. При выводе системы уравнений переноса, как и в предыдущих главах, использована модель взаимопронииавких континуумов. Показано, что наличие пузырьков, даме попавшихся относительно жидкости, может привести и такому интенсивному движению, по сравнение с которым дополнительное деимение жидкости, связанное с движением пузырьков относительно нее, пренебрежимо мало. Причиной интенсивных движений среды, как и в случае тепловой конвекции, является неравномерность гидростатического давления, вызванная неоднородность» плотности среды, обусловленной неравномерным распределением пузырьков. Исследование этого явления, названного нами пузырьковой конвекцией, имеет большое научное и прикладное значение.

Система моделирующих уравнений записана в терминах величин ^•У' осреднениях по объему 1*(И*Ч<1« Ь), Ь, 1- характерные значения масштаба движения среды, радиуса пузырьков, расстояния между ниши, В изотермическом случае ока состоит из ур, гидродинамики ддя осредненного течения 4в, 47. 48 и ур. динамики ансамбля газовых пузырьков 49, дополненного эволюционными ур. для одиночного пузырька и явным выражением для правой части кинетического уравнения 49. вопрос о замкнутых ур. движения жидкости, содермашей частицы другой фазы, имеет богатую историв и обширную библиография (Рахматулик, Накоряков, Нигматулин, Иорданский, Куликовский, Струминский. Бэтчелор, Грин и мн. др. авторы). На основе работ Иорданского, Куликовского. Струминсиого, Бэтчелора проведен анализ уравнений переноса массы и импульса для газового и жидкого континуума, позволивший записать ур. гидродинамики для осредненного течения в еяедцвщей форме:

— -Ь V • (/>$} = 0; (-16)

от

+. V)?) ■= -V/»++(47)

4 т

и - вязкость, плотность жидкости;

- плошость газа; "¡Г - ускорение силы тяжести: Р,_р("\7" - давление, плотность, скорость смеси;£ - дола объема, приходящегося на газовые пузырьки в единице объема счеси. Уравнения 40-48 соэтветствивт медленному двияени» пузырьков газа малого радиуса 8 тяжелой вязкой жидкости при постоянной температуре. Предполагается, что пузырьки ведут себя как твердые часткцм в отковении сохранения форма к отсутствия в них внутреннего движения, но имеет С в отличие от твердых частиц ) прчнебрежчио калий момент инерции. Дополнительным средним импульсом , связанным с движением пузкрьков относительно жидкости , пренебрегается . Нр, 46-48 записаны з первом приближении по параметру Р.*/1. Система ур. 46-43 не замкнута. Необходимы дополнительные уравнения для

Поведение ансамбля гаэоьнг. пузырьков в жиякссти , определявшее величииуе(х,£) , описывается на языке функции распределение {(к,г Л). <г=К/1, Т. Ь - безразмерные). Кинетическое уравнение для функции распределения Г , моделируючее динамику ансамбля газовых пузырьков , записано следувциа образом :

Правая часть кинетического уравнения 43 учитывает вклад ь баланс пузырьков их столкновений ;Э) и наличие источников пцзноькоа (ф) С точной обозначено дифференциирование по времени ) . Величины х, у, г. г определятся уравкериямк движения индивидуального

% - +я «Я ■♦ * - Л - т

При этомопределяется соотношением :

(50)

пулфька в среде , осреднениое движение которой характеризуется

полями

„(е), Р(е), ?(е): ' . (51)

*=т, у=т, í=но, г=т, е=рм. г, Г, о

Нелинейная интегродиФФеренциальная система уравнений 46-51 представляет собой замкнутую самосогласованна« постановку задачи о пузырьковой конвекции. Обобщение этой задачи на случай смешанной пузырьковой и тепловой конвекции является естественным развитием предложенного подхода. Полное решений 40-51 далеко от эавержения, однако, наличке общей постановки позволило сформулировать ряд частных задач, режение которых имеет больное теоретическое значение.

Приведем постановку и приближенное режение 46-48 при условиях: задача стационарная, плоская, изотермическая, вынужденная конвекция малоинтенсивная. Граничные условия:

у —О:

V, = V,=0;

V я Ф) :

6 нулевом приближении режение этой задачи представляет собой плоскопараллельное течение:

>„(о)=0, V.(0) = -y5T + 2yT, р(о) =» —2/1хТ + ЛЯ(1 - у) +

(52)

Кд-м/я).

Н - высота сдоя жидкости,Т - скорость внработочного потока, величины к, у - безразмерные, у-ср(х)~ цр. свободной поверхности слоя жидкости. В первом приближении дополнительное течение, порождаемое наличием пузырьков, удовлетворяет граничным условиям:

<р(х) а 1 :

У/ vi = o» + (53)

(54)

и системе уравнений:

дУ<» дУ" дх ду » d?

орм __

0Х 0Г3 + 0J/2

Решение ур. 34 при усл. 53 для протяшенноги бассейна с «идкисть» получено в виде;

Функции Рк, ^ выписани явно. Полное режение задачи в первом приближении определяется соотношениями; __

р = - V = + V«, р = Р{а) + (56)

Ремение справедливо для произвольной зависимости <г"(х) и виражзно в явной форме от «г , ё . ¿", с"

Уравнения тепловой конвекции в приблиЕении буссинеска соответствует первому приближение рассмотренной задачи при условииТ = 0. Поэтсму соотножэния 58 позволяют реьжь задачи тепловой конвекции в жидкой и зри произвольном распределении температуры в рамках сделаннкх допущений.

С цель» замыкания кинетического ур. 49 рассмотрены две мат. модели движения индивидуального пузырька в жидкости. Первая соответствует покощейся жидкости, вторая - движущейся. Система моде-лирувких ур. 97, 58 в обоих случаях решена численна методом Ринге- Купа. Анализ расчетов позволил оценить влияние диффузии растворенных газов на эволюция пуэырьм и ввести понятие критического радиуса пузырька, определявшего характер его двииниа. Приведем математичзскуп постановку зтих задач с безразмерной форме

У = га - 1 + Ы* - у) « ЬР - кф\

(57)

(г3С) — — С).

г = : г — гд, у — ув-а = Ру{8у2 - 1Ьу + Ь)с0е{кх) + 2 - у);

у = V+рк/фу2 - 5у + 3) вт(Ь); г2 = (и)

(г¡С) — — С).

t~ts: г = г£Г, У — УЕ, х - ~Я-

Трудности ревения кинетического ур.49 общеизвестны. Поэтому представляет интерес каадый вариант двиаения пузырьков, допускап-«ий речение 49 в обозримом виде. При двиаении пузырьков в несминаемой жидкости и при отсутствии явной зависимости скорости относительного двивения пузырька от пространственных координат 49 коено записать в виде

£ + Ф,

М 0г

(59)

где /йЪ - полная производная вдоль фазовой траектории:

л~оь ох+удл дя

дт'

Для бесстолкнооителького двивения пузырьков 59 является дифференциальны* ур. в частных производных первого порядка и мошет быть проинтегрировано методом характеристик.которые совпадает с траекториями отдельного пузырька в фазовом пространстве переменных (х, у, 2, г), если известны Функции:

гВ~гя(х,у,г,г,&,

гя-гя(г, у, г, г, 4),

определяемые из зеолпционных ур. для пузырька по начальному условии:

г = : к-яц, у-уа, г = гд-, г = тц.

Для модели эволвции пузырька 5? показано, что при к^ ~ 0 функции 60 могут быть определены и имеет вид:

(60)

Г в = Г - сх(Г,У)^ -

(61)

Л, 13г(1 + к, - М +

Для зтрго случая в явкой фирме получено режение задача Коня для кинетического ур. 59 при 3=0. Проанализирована возможная Фирна записи интеграла столкновений'3 в 59 при модели движения пузырька 5?.

На основе модели 58 создана Ш движения пузырьков у конвективных потоках стекломассы, которая была успеано использована в ВИАСНе в 80-х г. при создании автоматизированной системы управления варкой стекла,

В V главе реяепы дое задачи граничного управления процессом нелинейной ионообменной диффузии в цилиндрических образцах стекла на основе KUH I главы. В периой задаче на основе аналитического решения уравнения нелинейной диффузии, полученного в I гл., найден граничный режим изменения концентрации иона-диффузента, обеспечивавший формирование радиального параболического распределения концентрации иона в цилиндрическом образце. Во второй задаче построена процедура поиска граничного управления концентрацией иона-диффузанта в классе кусочно-постоянных функций, которая обеспечивает Формирование е цилиндрическом образце заданного оптимального распределения концентрации иона и , соответственно, заданного оптимального распределения показателя преломления.

В заключении диссертации перечислены основные результаты, полученные в работе.

РЕЗУЛЬТАТ». ШОСИИНЕ Hfl ЗМИТУ.

К КИП нелинейной диффузии, .включающая систему моделирующих уравнений, постановку обратных задач определения вида функциональной зависимости DtC;.) и кинетического козФФициента на границе расплав - твердое тело, эффективные процедуры режения прямых и обратных задач, оформленные в виде программ для персональных компьютеров.

2, Модель нелинейной миогокоапэнентной диффузии 'п' компонент, ' итерационная процедура ее ревення и аналитическое решение в первом приближении для двух компонент.

3, Комплекс КИИ конвективно-диффузионных процессов в погло-«аваей пористой среде. Исследование влияния гидродинамических, сорбционнкх, кинетических и тепловых Факторов. Аналитическое реяение ряда вариантов.

4. Ш конвективно - диффузионных процессов в поглотительном и осумтельном патронах системы жизнеобеспечения многоразового использование.

5. Кодель динамики фаз льда, воды, пара и модель тепловых

процессов в многофазной пористой среде при вынцяденной конвенции парогазовой смеси.

6, КММ конвектиено-диффуэиошшх процессов в многофазной пористой среде при работе термозаряда. Выявление и исследование аффективного механизма энергопередачи в мерзлом грунте.

7. Замкнутая модель конвективного движения тякелой вязкой жидкости. вызванного наличием неравномерно распределенных газовых пузырьков малого радиуса. Постановка самосогласованной задачи пузырьковой конвекции.

В. Приближенное аналитическое рекение задачи смешанной пузырьковой конвекции.

3. Аналитическое и численное решение ряда вариантов системы уравнений модели п. 7.

10. КМ эволюции пузырька в конвективных потоках текломассы в стекловаренной печи.

11. Ревение одной задачи граничного управления в классе непрерывных функций для процесса нелинейной диффузии в бесконечном цилиндре.

12. Процедура ревения задач граничного управления в классе кусочно-постоянных Функций для ионообменной нелинейной диффузии в цилиндрических образцах стекла, погруженных в расплав, на основе КШ п.1.

Часть работ по теме диссертации написана совместно с соавторами, участие которых в проведенных исследованиях состояло в: участив в постановке задач ( Филиппов Б.В.), участие в создании некоторых программ ( Лыкосов В.К. и др.), постановка »кспериыен-тов, реализация технологий С Таганцев Л.К. и др.). Основные результаты в совместных работах принадлежат лично автору.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Курбатова Г.И. Постновка и решение задач фильтрации и динамики сорбции газов в пористых средах. // Сб. Физическая механика. Изд-во ЛГУ 1974. В. 1. С. 34 - 4В.

2. Курбатова Г.И., Яыкосов В.и. Численные ревения некоторых задач динамики сорбции в пористых средах. // Сб. Физическая механика. Изд-во ЛГУ 1974, В. I. С. 76 - 84.

3. Курбатова Г.И.. Филиппов Б.В. Иатематическая модель сорбции в промывленкых установках. // Л.: Сб. тр. НТК ЛТИ. Изд-во ЛТИ. 1973. С. 14 - 17.

4. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В. Численные решения задач динамики

- 213 -

сорбции. // П. : Вест.ЛГУ. 1375. Б. 3. Н 13. С. 71 - 79.

5. Курбатова Г.И.. Филиппов Б.В. Влияние тепловых процессов на гидродинамический реяин течения газов в пористых средах. // /1. : Тр. Симп. "Мат. методы в химии" 18Г6. С. 19 - 25.

В, Курбатова Г.И., Филиппов 5.В, Численное реккнив задач неизоте-ркической динамики сорбции-десорбции в недефоркируемых пористых средах. // Изв. Р.Н СССР. Неханика твердого тела. 1976. N 3, С. 117.

7. Курбатова Г.И., Лккосов В.Ы..... Математическая модель «идкой

стекломассы. // В кн. : Численные методы механики сплошной среды. Изд. ЯН СССР. 1976. Т. 7. N 3. С. 112 - 116.

8. Курбатова Г.И., Осипков Л.П..... Математическая модель стекловаренной печи на основе физических представлений с процессе стекловарения, // (1. : Сб. трудов "Автоматизация техн. проц. в пром. стр. мат.". 1978. С. 31 - 43.

9. Курбатова Г.11. Модель движения пузыря в вязкой жидкости. // ЯН СССР. Теор. осн. хим. технологий. 1380, Т. ХИ). Н1. С. 128-131.

10. Курбатова Г.И., Попов Б.В. Движение газового пузырька в циркуляционных потоках стекломассы. // ЙН СССР. ФХС. 1980 Т.В. Н I. С. 110 - 113.

11. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В. Об одном классе точных реаений нелинейной граничной задачи для враиаюзегося цилиндра с *ид-костьп. //Изв. ЙН СССР. цаг. 1984. N 1. С. 71-75

12. Курбатова Г.И. Динамика конструкций, содерхавих цилиндрические объемы с «идкостьа и стабилизированных вращением. // В сб. : Вочросы механики и процессов управления,

Изд-во ЛИ 1969. В. 2. С. 75 - 78.

13. Курбатова Г.И.. Филиппов Б.В. Пузырьковая конвекция в вязкой аидкосги. // АН СССР. ФХС. 1984. Т. 10. Н 6. С. 733 - 738.

14. Бурнаева Э.Г., Курбатова Г.И. Движение частицы в тяаелой вязкой несминаемой ¡гидкости, заполняющей цилиндр. //

В сб, : Проблемы динамических процессов в гетерогенных средах. Калинин. 1987. С. 152 - 157.

15. Курбатова Г.И.. Суворов В.И. Особенности математического моделирования процессов тепломассопереноса в мерзлых средах. // Калинин. Тр. КПИ. 1986. С. 25 - 27. :

16. Курбатова Г.И.. Суворов В.И. Некоторые особенности движения «идкости в среде с" измекяацейся структурой с учетом тепловых эффектов'. // Калинин. Сб. тр. "Гидравлика русловых потоков", йэд-зо КГ9." 1988. ■ С. 55 - 58.

17. Курбатова Т.К., Суворов В.И. Неустановивмееся течение в много-

фазных средах при наличии Фазовых переходов. // Калинин. Св. тр. "Проблемы динамических процессов в гетерогенных средах". 198?. С. 132 - 140.

18. Курбатова Г.И.. Никольская Н.А., Филиппов Б.В. Динамика высокотемпературного газа в мерзлой пористой среде. // С~П. Вестник СПбГУ. 1994. Сер. 1 Вып. 4 М 22 С. 57 - 62.

19. Курбатова Г.И. 0 математическом аппарате расчйта коэффициента вэаимодиффуэии по экспериментальным данным. // АН СССР, ОХС.

1988. Т. 14. N I. С. 155 - 158.

20. Курбатова Г.И.. Филиппов 5.В. Оптимизация технологических режимов получения граданов. // С-П. : Вестник СПбГУ, 1992,Сер, 1. Вып.4. Н 22. С. 68 - 71.

21. Kurbatova 6.1., Ivashevskll S.N., Petrovskll S.T. The calculation of thersal and ton-exchanjlna processes In the cylindrical speclaens far the flat gradient alcrolenses creation. /7 2. International Conference " advances In the Fusion and Processing of Glass", Dusseldorf (F.R.G,). 1990. P. 29 - 3?.

22. Курбатова Г.И. , Морозова Л.Е. Анализ процесса неадиабатического зажигания конденсированных систем. // Ленинград. : Вестник ЛГУ, 1983. Сер. 1. Вып. 2. Hi, С. 111 - 113.

23. Курбатова Г.И., Морозова Л.Е. Диализ одной фильтрационной модели конденсированных веществ. // Ленинград. : Вестник ЛГУ,

1989. Сер. 1. Вып. 3, Н 15. С. 100 - 102.

24. Ivashevskll S.H.. Karapetjan 6.0., Korolyov Yu.6.. Kurbatova 6.I., Lykoson V.H. and Tcgantsev O.K. Sraded-lndex objektlve ultha spherical and for endoscopy. //Proc. SPTE 1993,

Uol 2000. P. 389 - 395.

25. Kurbatova 6.1., Flllppov B.H. ... Calculation of heattranster and lon-exchanie processes In composite cylindrical saepleS for the fabrication of flat graded-Index »lcrolenses.

// Glass Phys. and Ches. 1993. Vol. 19. H 4. P. 329 - 333. 28. Курбатова Г,И., Таганцев Д.К, Решение нелинейных задач ионообменной диффузии в системе стекло-расплав соли с учетом кинетики установления равновесия на поверхности стекла. /7 РАН. ЧХС 1994. Т. 20. К 3. С. 121 - 135. 27. Курбатова Г.И. Управление граничной концентрацией обменивавшегося компонента при создании элементов градиентной оптики. // РЙН. ФХС 1993, Т. 19. Н 5. С. 794 - 799.