Модели взаимодействия квантовополевых систем с пространственно-временными неоднородностями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

На правах рукописи

Шухободская Дарья Юрьевна

Модели взаимодействия квантовополевых систем с пространственно-временными неоднородностями

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 АБГ 2015

005571379

}анкт-Петербург - 2015

005571379

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник, профессор кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета Антонов Николай Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент по кафедре общей физики, профессор Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена Гаврилов Сергей Петрович,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Санкт-Петербургского Отделения Математического Института им. В. А. Стеклова РАН Деркачев Сергей Эдуардович

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследо-

ваний, Дубна

Защита состоится «17» сентября 2015 г. : ^на заседании диссертационного совета Д 212.232.24, созданного на базе Санкт-Петербургского государственного университета, по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ и на сайте Санкт-Петербургского государственного университета http://spbu.ru/sciencc/disser

Автореферат разослан <_2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н. /! Аксёнова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Существенное улучшение качества экспериментальной техники, произошедшее за последние годы, позволило с высокой степенью точности измерить характеристики эффекта Казимира (ЭК), теоретически предсказанного им в 1948 году [9]. Это эмпирически подтвердило существование нанофизики, как особой области физических явлений, и стимулировало возросший интерес к ее исследованиям. В 2004 впервые был получен графен - двумерный кристалл, обладающий большой теплопроводностью, а также весьма специфическими электрофизическими и механическими свойствами. Результаты их экспериментальных исследований послужили основой разработки различных теоретических концепций в области физики двумерных материалов. В них, как и в теории Казимира, наиболее важным и общепризнаным для нанофизики является предположение о существенном влиянии квантовых законов на макроскопические свойства исследуемого объекта. Оно служит основой использования квантовополевых подходов при построении моделей.

Об актуальности экспериментальных и теоретических исследований на-нофизических эффектов может свидетельствовать вручение в 2010 году Нобелевской премии А. К. Гейму и К. С. Новосёлову за «передовые опыты с двумерным материалом — графеном» и премии Спинозы в 2013 году М.И. Кац-нельсону (МЛ. Katsnelson) за теоретические работы по исследованию свойств графена. За «теоретическое предсказание и экспериментальное открытие топологических изоляторов» Д. Халдану, Ч. Кейну и Ш. Чжану (Duncan Haldane, Charles Kane, Shoucheng Zhang) былы присуждены Медаль Дирака (2012 г.) и Премия по фундаментальной физике (2013 г.). В электрофизических свойствах топологических изоляторов, также как и в квантовом эффекте Холла, в плазмон-поляритонных эффектах, в свойствах тонких пленок и напылений проявляется особая физика двумерных материалов. Ее знание крайне необходимо для разработки современных технологий, создания новых материалов, а также различных устройств в наноэлектронике и микромеханике. Предлагаемые в диссертации методы моделирования и исследования взаимодействия двумерных поверхностей с квантовополевым вакуумом могут внести существенный вклад в построение общей теории физики двумерных материалов на основе выявления се фундаментальных нанофизических принципов.

Степень разработанности темы исследования. Хотя теоретическим исследованиям ЭК посвящено много работ, однако в них часто используются упрощенные модели свободной скалярной теории поля или свободного электромагнитного поля с фиксированными граничными условиями. Они

применимы для исследования только отдельных аспектов ЭК и многие важные особенности квантовой электродинамики в них не учитываются. Такие модели не пригодны для полного описания широкого круга нанофизических явлений, возникающих в системе в результате взаимодействия ее квантовых степеней свободы с материальными телами.

В теоретических исследованиях физики двумерных материалов весьма популярна модель взаимодействия фотонного поля в обычном (3+1) мерном пространстве-времени с полем Дирака, сосредоточенным в занятой двумерным объектом области пространства. Эта модель, которую часто называют дираковской моделью (ДМ) использующие ее исследователи, калибровочно инвариантна и в этом отношении сходна с квантовой электродинамикой. Однако в ДМ нет обычного электрон-позитронного поля во всем (3+1)-мерном пространстве-времени, поэтому она не пригодна для описания процессов с наличием электронов вне двумерного объекта. Хотя к настоящему времени при исследовании ДМ и моделей ЭК уже получено много важных результатов, законченной теории в области нанофизики пока не создано.

Основой представленных в диссертации исследований служит подход Симанзика, в рамках которого взаимодействия квантованных полей с пространственной неоднородностью (дефектом), моделируется дополнительным функционалом действия (действием дефекта), сосредоточенным в той области пространства где эта неоднородность - макроскопический объект находится. Важным предположением является также выполнение обычных требований, предъявляемым к квантовополевым моделям (локальность, перенормируемость, симметрийные свойства). Модели, построенные в рамках подхода Симанзика, основаны на фундаментальных принципах квантовой теории поля и применимы для описания широкого класса физических явлений. При этом в них существенно ограничено число допустимых параметров, что упрощает процедуру экспериментальной проверки адекватности модели.

Подход Симанзика оказался весьма плодотворным при моделировании различных систем в области статистической физики, стохастической динамики, квантовой теории поля, поэтому есть все основания ожидать его эффективность в исследовании взаимодействия полей квантовой электродинамики с макроскопическими объектами и, в частности, с двумерными материалами.

Целью диссертации являлось построение и исследование моделей взаимодействия квантованных полей с материальными телами, применимых для описания широкого класса явлений. В рамках подхода Симанзика планировалось рассмотреть задачу рассеяния электромагнитных волн на плоскости, в слоистой среде, построить и исследовать простую динамическую модель взаимодействия безмассового скалярного поля с движущимися навстречу друг

к другу параллельными плоскостями. Предполагалось также построить модель взаимодействия спинорного поля в (3+1)-мерном пространстве-времени с материальной плоскостью, исследовать процессы рассеяния на ней дираков-ских частиц, а также свойства локализованных вблизи нее состояний. Решение этих задач может использоваться для проверки применимости базисных принципов подхода Симанзика к исследованию нанофизических эффектов на основе сравнения результатов расчета их количественных характеристик с экспериментом.

Научная новизна. Основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые, опубликованы в рецензируемых отечественных и международных научных изданиях. К ним относятся:

1. При исследовании процессов рассеяния электромагнитной волны на плоскости в модели с потенциалом Черна-Саймонса обнаружен эффект изменения ее поляризации.

2. Для задачи взаимодействия движущихся плоскостей с безмассовым скалярным полем получены интегральные уравнения для теоретико-возму-щенческого решения уравнений Эйлера-Лагранжа.

3. Для слоистой среды Черн-Саймоновские константы взаимодействия выражены через Холловские проводимости разделяющих слои плоскостей. Для всех возможных процессов распространения электромагнитных волн в трехслойной среде получены явные выражения для их амплитуд.

4. В рамках подхода Симанзика предложена модель взаимодействия спинорного поля с материальной поверхностью. В ней проведены расчеты характеристик рассеяния дираковской частицы на плоскости, а также исследованы свойства локализованных вблизи нее состояний.

Теоретическая и практическая значимость. На основе анализа базисных физических принципов квантовой теории поля разработаны методы моделирования макроэффектов, в которых проявляются квантовые механизмы фундаментальных взаимодействий элементарных частиц. В рамках квантовой электродинамики построены модели взаимодействия с квантованными полями протяженных двумерных объектов, в которых учитываются свойства материалов. Из-за существенного изменения свойств квантово-поле-вого вакуума макрообъектами могут возникать весьма необычные явления: эффект Казимира, дробный эффект Холла, высокотемпературная сверхпроводимость, электропроводность топологических изоляторов и многое другое. Порождающие их механизмы формируются особой нанофизикой на масштабах от 10 до 10000 нанометров. В этой области, которая к настоящему времени еще мало изучена, проявляются как классические, так и квантовые физические закономерности. Для достижения нового уровня понимания сущности

нанофизических эффектов, особо важную роль, как выяснилось в последнее время, могут сыграть теоретические и экспериментальные исследования двумерных материалов. Это свидетельствует о важности поставленных в диссертации задач для развития теоретической нанофизики, знание основ которой необходимо для разработки нанотехнологий, создания новых материалов и различных устройств в наноэлектронике и микромеханике.

Предлагаемые в диссертации подходы могут стать основной построения единой универсальной модели взаимодействия полей квантовой электродинамики с двумерными материалами и трехмерными макрообъектами с резкими границами. Представленные в ней результаты важны для более глубокого понимания физики двумерных материалов, которое необходимо не только для развития физической теории, но и для создании принципиально новых технологий.

Методология и методы исследования. Для построения моделей взаимодействия квантованных калибровочных полей с протяженными материальными объектами использовался подход Симанзика. Для двумерных материалов макроэффекты, возникающие при нарушении четности, исследовались на основе учета Черн-Саймоновских вкладов в функционал действия. Для вывода интегральных уравнений, описывающих взаимодействие движущихся плоскостей с безмассовым скалярным полем, использовался теоретико-возмущенческий подход. Моделирование взаимодействия спинорного поля с материальной плоскостью проводилось в (3+1)-мерной квантовой теории на основе требований, налагаемых базисными физическими принципами (калибровочная инвариантность, локальность, перенормируемость). При исследовании рассеяния дираковских частиц на плоскости, а также свойств локализованных вблизи нее состояний, использовались модифицированные уравнения Дирака с дельта-образным потенциалом.

Достоверность результатов обеспечивается использованием эффективного, хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля, общеизвестных методов математической физики, четкой постановкой задач, а также сравнением результатов исследований, представленных в диссертации, с полученными ранее другими авторами.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) Для описания взаимодействия фотонного поля с двумерной поверхностью получены модифицированные уравнения Максвелла. Для задачи рассеяния электромагнитной волны произвольной поляризации на плоскости в модели с потенциалом Черна-Саймонса найден явный вид вектор-потенциала, напряженностей электрического и магнитного поля, коэффициентов отражения и прохождения волны. Обнаружен эффект изменения ее поляризации.

При распространении волны ортогонально плоскости угол поворота вектора поляризации оказывается близким к7г/2 у отраженной волны при малой константе взаимодействия с плоскостью, а у проходящей волны - при большой.

(2) Для задачи взаимодействия движущихся плоскостей с безмассовым скалярным полем получены интегральные уравнения для теоретико-возму-щенческого решения уравнений Эйлера-Лагранжа. Для их ядер найдены явные аналитические выражения, которые содержат константы взаимодействия безмассового поля с плоскостями, скорость их относительного движения и поперечные импульсы. Полученные уравнения могут быть использованы для построения асимптотических и приближенных решений.

(3) Для случая слоистой среды Черн-Саймоновские константы взаимодействия выражены через Холловские проводимости разделяющих слои плоскостей. Для всех возможных процессов распространения электромагнитных волн в трехслойной среде получены явные выражения для амплитуд. Показано, что взаимодействие Черна-Саймонса не меняет закон Снеллиуса, но изменяет коэффициенты отражения и прохождения. Оно приводит к перемешиванию между параллельной и перпендикулярной компонентами электромагнитных волн (ТЕ- и ТМ- модами).

(4) В рамках подхода Симанзика построена модель взаимодействия спи-норного поля с материальной плоскостью и проведены расчеты характеристик процессов рассеяния на ней дираковской частицы, а также исследованы свойства локализованных вблизи нее состояний.

Апробация результатов и публикации. Результаты диссертации представлялись на следующих научных конференциях:

1. Международная конференция «XII Small Triangle Meeting on Theoretical Physics in Stakcin, Slovakia, September 19-22, 2010» (Стакчин, Словакия, 2010 г.).

http://vww.saske.sk/Uef/Conferences/stmlO/index.html

2. III Международная конференция «Модели квантовой теории поля -2010», посвященная А. Н. Васильеву (Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/mktp2010

3. XLVI Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.).

http://dbserv.pnpi.spb.ru/WinterSchool/prog/school_prog_2012.html

4. IV Международная конференция «Модели квантовой теории поля -2012», посвященная А. Н. Васильеву (Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2012

5. XLVII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Санкт-Петербург. Россия, 2013 г.).

http://dbserv.pnpi.spb.ru/WinterSchool/prog/school_prog_2013.html

6. II российско-испанский конгресс «Физика частиц, ядерная физика и астрофизика» (Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).

http: //hep.phys.spbu.ru/conf/esp-rus2013/program.html

7. Международная конференция «In Search of Fundamental Symmetries, dedicated to the Novozhilov's 90-th anniversary» (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/

Публикации. Содержание диссертации полностью отражено в 5 статьях, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science или Scopus[l-5], а также в тезисах докладов международной конференции [6] и двух работах в электронных журналах [7, 8].

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все представленные к защите результаты были получены диссертантом лично или при совместной работе в неразделимом соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 5 глав, введения, заключения и списка литературы, включающего 68 наименований на 10 страницах. Общий объем работы - 93 страницы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны методология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатов и представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава содержит краткий обзор основных положений подхода Симанзика и результатов исследования полученных на его основе простейших моделей взаимодействия квантовых флуктуаций электромагнитного поля с двумерной поверхностью для двух параллельных плоскостей, сферы, системы плоскость - кулоновский центр, плоскость - параллельный ей ток и плоскость - нейтральный атом. Для описания взаимодействия квантового поля с материальным объектом (дефектом) Симанзик предложил использовать

функционал действия вида

= Зу((р) + Я^/Ор),

здесь 5\/ - действие исходной квантово-полевой системы, 3(1е/ - действие дефекта:

=

Ь(ч>{х))бРх, Бъ^ф) =

Ь<ге/(¥>( х))<Р'х,

где Г - подпространство размерности £)'<£) в Б-мерном пространстве. Основные принципы квантовой электродинамики - калибровочная инвариантность, локальность, перенормируемость - налагают сильные ограничения на возможный вид действия дефекта Взаимодействие с электромагнитным полем А^х) двумерной поверхности без зарядов и токов, форма которой определяется уравнением Ф(ж) = 0, х = (хо, х\,х^, хз), описывается функционалом действия Черна-Саймонса:

¿л

М) = ^е^"дхФ(х)А)1(х)Р1/р(х)5(Ф(х))с14х, (1)

где Рир{х) = диАр — дрАи, ех,шр обозначает полностью антисимметричный тензор (г0123 = 1), параметр а - безразмерная константа взаимодействия. Выражение (1) представляет собой наиболее общую форму сосредоточенного на поверхности дефекта калибровочно-инвариантного действия, инвариантного относительно перепараметризации и не содержащего параметров отрицательной размерности [10].

Во второй главе в рамках подхода Симанзика рассматривается задача взаимодействия электромагнитной волны с двумерной поверхностью. Находится решение модифицированных уравнений Максвелла с Черн-Саймо-новской добавкой, описывающее все возможные эффекты, возникающие при рассеянии плоской волны на материальной плоскости. Для плоского дефекта Ф(г) = хз функционал действия имеет вид

1

где

Зф(А) = \

= д^А» - д^А V

Для плоскости хз = 0 уравнения Эйлера-Лагранжа расматриваемой модели представляют собой модифицированные уравнения Максвела:

6Б{А) 5Аи

= д^ + аг^'ЗДх 3) = 0.

Воспользовавшись преобразованием Фурье по координатамхо,Х\,Х2 Для вектор-потенциала Ар и зафиксировав калибровку Л0 = 0, получаем решения уравнений Эйлера-Лагранжа:

Мх3,р) = ¿1 егрХз + ¿ре-ч** + 3 , 3 = 1,2

Аз(хз,р) = 43)е>™ + 43)е~!»хз + е(х3) 3 ^ .

Здесь р = (р0,р1,р2),

2аг[(41) + ^{арор - р^) - + 42))(Р§ ~ Рх)1;

1 РоР(а2 + 1)

2аг[(42) + 42>)(аРоР + Р1Р2)} + (с^ + <1^)(р2 - р\)\ 2 РоР(а2 + 1)

ф = 43) = +Р242)),

Сз = --(Р1С1+ Р2С2), = х3/\х3\, р = = \/р02 ~Р12 ~Р22,

Р

и г, ] = 1,2- произвольные функции р.

При исследовании процессов рассеяния плоских волн показано, что одной из их особенностей является независимость коэффициентов прохождения и отражения от угла падения волны и ее частоты: коэфициент отражения волны равен а2/(1 + а2), а коэффициент прохождения -1/(1 + а2). Направления движения прошедшей и падающей волн совпадают. В результате взаимодействия волны с плоскостью меняется ее поляризация. При этом чем меньше относительная интенсивность отраженной или прошедшей волн, тем сильнее меняется их поляризация по сравнению с поляризацией падающей волны.

В случае движения волн ортогонально плоскости при малых значениях константы взаимодействия а векторы электрического поля отраженной и падающей волн почти ортогональны, а падающей и прошедшей - почти параллельны, если же а > 1, то почти ортогональны друг-другу векторы падающей и прошедшей волн, а у отраженной и падающей они почти параллельны.

Третья глава посвящена задаче взаимодействия движущихся навстречу друг другу параллельных плоскостей с безмассовым скалярным полем и ее теоретико-возмущенческому решению. В моделях динамических эффектов Казимира предполагается, что функция Ф(х) зависит от времени. Для системы двух плоскостей ортогональных оси движущихся вдоль нее навстречу

друг другу с постоянной скоростью V, действие дефекта записывается следующим образом

5Ф(Л) = 5(Л,и,аьа2) = ^

(а15(х3 — ух0)+а26(х3+ухо))£3'"'рА11(х)Р1,р(х)с1х.

Основная трудность исследования модели с таким действием дефекта связана с отсутствием трансляционной инвариантности по координатам ха,х3. В диссертации предлагается подход к решению подобных задач на примере более простой модели взаимодействия движущихся плоскостей с безмассовым скалярным полем. В этом случае функционал действия записывается в виде

3(<р,у,а1,а2) = ^ |(д(р(х)2 - (аг5(х3 - ух0) + а25(х3 + ухо))у(х)2)<1х.

Здесь V скорость движения, а.\ (о2)-константа взаимодействия с полем плоскости, движущейся в положительном (отрицательном) направлении оси Ж3. Уравнение Эйлера-Лагранжа для действия 5(</>, у, а,1, а2) имеет вид

(дд - д2 + ах<5(^3 - ух0) + а26(х3 + ух0))(р(х) = 0.

Для преобразования Фурье щ(х) = <р(х+,х-, /сь к2) поля ср(х) по координатам х\,х2, рассматриваемого в терминах координат х± = х3 Т 1->хи-, оно переписывается в виде

((V2 - 1)(д2 + д2) - 2(у2 + 1)д+д_ + к2 + а16(х+) + а26(х-))<рк(х) = 0 (2)

где к = + Щ. В диссертации в рамках теории возмущения по параметрам ах, а2 для <рк(х) получено выражение в терминах решений Н2 линейных интегральных уравнений

КМ

ОМр'ЩШЛр' = ¡(р - Я), з = 1.2- (3)

Здесь ядра интегральных операторов определяются следующим образом , а2Р(р,р'; аО , а\Р(р,р'\ а2)

= 1 + «*(*) ' = 1 + аМ

00

д(д)= ^ (1рС0(р,д), 0(р,р';а^ =

" а^(?о(р, дрСр(р\ д)(1д 1 + а,д(ц)

-ОО -00

Со(р, Ч) = Со(я,р) = [(1 - У2)(р2 + Я2) + 2(у2 + 1 )рЧ + к2}-1.

Интегралы вычисляются точно:

/ ч __*_ П/ ч _ aj) ajXjq, aj)

9{q) ~ VWT^M)' - y^q aj) + Y(q,p,ajy

где

X(z,aj) = (1 - v2)W{z) - ajir(l - v2)2y/W(z) Y(zuz2,aj) = 2jt(zi - z2)g(z1r1(( 1 - v2)2a) тг2 - W(zi)) x x(2тг(1 + v^gizx)-1 - (1 + 6v2 + vA)Zl + (1 - v2fz2), W(z) = (1 - w2)(l + v2)2k2 - 4v2z((l + 6v2 + v4)z - 2тг(1 + и2)^)-1).

Таким образом, для ядер Q\, Q2 уравнений (3) в интересующей нас задаче имеются явные аналитические выражения. В них входят параметры ai,a2, v, к. Это дает возможность построения различных приближенных решений. В частности, не составляет большого труда расчет низших порядков теории возмущений по константам взаимодействия ai, а2. Уравнения (3) упрощаются в области больших и малых значений параметра к (большие и малые поперечные импульсы). В случае малых скоростей г; <С 1 мы имеем процесс, в котором будет наблюдаться эффект Казимира с малыми поправками, при больших скоростях v ~ 1 ядра Qi, Q2 уравнений (3) будут определяться предельным значением

/_в(р)___%)_\

ton D{p, - p_q^k2 + + 4a42p2j + Aq2^ki + ^^q*))

с пороговыми функциями Хевисайда в(р), 9{q),которое, очевидно, существенно проще чем выражение для D(p, q, а) при промежуточных значениях скорости 0 < v < 1. Все это позволяет надеяться на интересные результаты при более детальном исследовании свойств решения уравнений (3) и (2).

В четвертой главе рассматривается распространение электромагнитных волн в трех слоях, заполненных веществом с магнитными восприимчи-востями fxi, ji2, fiз и диэлектрическими проницаемостями £\, е2, £з> разделенных двумя параллельными материальными плоскостями = ±//2, чье взаимодействие Черна-Саймонса с электромагнитным полем характеризуется константами ai, а2. Для этой модели получено модифицированное уравнение Максвелла и построены его явные решения.

Действие фотонного поля А^, взаимодействующего в трехслойной среде с двумя разделяющими слои границами, имеет вид

S(A) =--G^F»» + S^A).

Здесь = - <9„/1,,. = £(х3)Р)1и при /х = О или и - О, = М~1(х3)Рй„ при ц ± 0 и V / О,

5(а:з) = £10(-//2 - а*) + е2в{1/2 - |:с3|) + £30(г3 - 1/2), М(х3) = ^в(-1/2 - х3) + ,12в(1/2 - |г3|) + //3в(х3 - 1/2).

Функционал действия Бф(А) описывает взаимодействие плоскостей х3 — ±1/2 сфотонным полем. Используя обозначения Ф^х) =х3 + 1/2, Ф^х) = х3 — 1/2, его можно представить в виде Бф(А) = 5х(Л) + 52(Л), где

БМ) = ^^е3»х1>А„(х)РХр(х)5(Ф1(х))<1х, з = 1,2.

Для всех возможных волновых процессов получены явные выражения для амплитуд электромагнитного поля во всех трех слоях. Взаимодействие Черна-Саймонса на плоских границах слоев не меняет закон Снеллиуса, однако меняет коэффициенты отражения и прохождения, которые зависят от свойств материала поверхностей. Оно приводит к перемешиванию между параллельной и перпендикулярной компонентами (ТЕ- и ТМ- модами) электромагнитных волн и изменяет соотношение между частотой и волновым вектором для волн между двумя полностью отражающими плоскостями. Следовательно, такое взаимодействие также будет изменять силу Казимира. Поиск поверхностей и слоев, обладающих такими свойствами, представляет несомненный интерес.

В этой главе показано, что электромагнитные поляризационные эффекты определяются Черн-Саймоновской добавкой к действию 5ф(Л), сконцентрированной на плоскостях х3 = ±1/2. Вне этих плоскостей модифицированные уравнения Максвелла совпадают с обычными и описывают электромагнитные волны с обычным дисперсионным соотношением, а смешивание поляризаций определяется граничными условиями, описывающими скачки компонент Н12 магнитного поля и 03 электрической индукции,

- = -2а]В3], - #1,^ = Н2,]+\ - Яг,; = 2а3Е2,г

Здесь второй индекс у компонент векторов В, В, Н, Е обозначает номер слоя, & j = 1,2 - номер разделяющей их границы.

В пятой главе подход Симанзика используется для построения модели взаимодействия спинорного поля с материальной плоскостью, в рамках которой решается задача рассеяния дираковской частицы на плоскости и исследуются свойства локализованных в ее окрестности состояний.

Функционал действия модели включает обычное спинорное действие Дирака и дополнительный, сосредоточенный на плоскости вклад дефекта. В

квантовой электродинамике фермионный вклад в действие дефекта в самом общем виде записывается следующим образом:

где Г, - 16 базисных матриц Дирака, а^ - безразмерные константы взаимодействия. Полное действие модели, удовлетворяющее требованиям локальности, калибровочной инвариантности и переномируемости, имеет вид

В силу требования перенормируемости, взаимодействие полей описывается стандартным вкладом ieфAф в действие квантовой электродинамики.

В диссертации в качестве дефекта рассматривалась материальная плоскость хз = 0. В этом случае в дираковской части действия нашей модели

взаимодействие спинорного поля с плоскостью описывается матрицей С1(хз) = С]5(хз). Так как Щхз) и 6(хз) имеют размерность массы, то матрица С} безразмерна. В силу симметрии нашей системы, действие дефекта должно быть инвариантно относительно преобразований подгруппы группы Пуанкаре, не меняющих координаты хз.

Анализ допустимых сингулярностей спинора ф{х) в точке х3 = 0 показывает, что при хз ф 0 поле ф(х) удовлетворяет уравнению Дирака (гд — т)ф(х) = 0, а при хз = 0 выполняется соотношение —гузфа{х) + <^фя(х) = 0, где

Отсюда, а также из симметрийных ограничений на матрицу <3 следует, что она полностью определяется тремя параметрами: С~) = (?27з75 ~ ^ ~г175) / (1+

<й), где 4 + 4 + 4 -?! = !■

В модели проведены расчеты характеристик процессов рассеяния дираковской частицы на плоскости хз = 0, получены явные выражения для потоков отраженных и пролетевших частиц с положительной и отрицательной спиральностью.

Для локализованных в окрестности хз = 0 состояний справедливо неравенство р2 = Рд — р1р2 < т2 и к = у/р — т2 является мнимым. Для них

Я(ф, ф, А) = -Ь^Я"' + Ф((д ~т + геА)ф + ЗДА) + Б^ф, ф).

также должно выполняться дисперсионное соотношение р2 — ^тп2 = 0, где

Коэффициент ^ при соответствующем значении параметров С; может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Так, например, = 0 при Ci = <й, <?2 = 1, Я4 = 0, a = 0 при е = q2 = 1, ?4 = 0. Если <;2 = 0,

Ti > \/1 <л = ±\Л? то> 0, и< 0, если= 1, <й = «з > 1,

<й = 0. Случай < 0 не реализуется.

Закон дисперсии р2—^тп2 описывает свободные частицы с эффективной массой < m в (2+1)- пространстве-времени с двумя пространствен-

ными, одной временной координатами, если ^ > 0. Если = 0 или = 0, то соответствующие частицы - безмассовые. Движением таких частиц объясняются многие эффекты в графене. Если < 0, то возникают состояния для которых р\ + pi > pi > 0, и соответствующий им ток, параллельный плоскости дефекта, не может быть равен нулю. Такие состояния подобны сверхпроводящим.

В Заключении проводится обсуждение основных результатов исследования по теме диссертации и их возможных применений для построения общей теории нанофизических эффектов. Также в нем представлены благодарности и список использованной литературы.

Благодарности Автор диссертации выражает благодарность Антонову Николаю Викторовичу за научное руководство, интерес к проводимым исследованиям, обсуждение результатов диссертации и помощь в подготовке и представления ее к защите. Автор также признателен Марачевскому Валерию Николаевичу за конструктивные дискуссии, Письмаку Юрию Михайловичу и профессору Гейдельбергского университета Францу Иоахиму Вегнеру за плодотворное сотрудничество.

Список публикаций по теме диссертации из перечня ВАК

1. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости // Вестник СПбГУ, Сер. 4 Вып. 2, с. 165-173, 2011.

2. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Рассеяние электромагнитных волн на плоской поверхности в модели с потенциалом Черна-Саймонса // ТМФ Т. 169. №1, с. 69-78, 2011.

3. D.Yu. Pis'mak, Yu.M. Pis'mak. Chern-Simons Potential in Models of Interaction of Electromagnetic Field with Thin Films // Phys. of Part, and Nucl. Vol. 44, №3, p. 450-461, 2013.

4. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с двумерной поверхностью в рамках подхода Симанзи-ка // ТМФ Т. 175. №3, с. 443-455, 2013.

5. Yu.M. Pis'mak, D.Yu. Pis'mak. Chern-Simons potential in models of Casimir effect // AIP Conf. Proceed. Vol. 1606, №3, p. 337-345, 2014.

Список публикаций в других изданиях

6. D.Yu. Pis'mak, Yu.M. Pis'mak. Scattering of electromagnetic waves on a flat surface in a model with potential of Chern-Simons // Тезисы международной конференции «XII Small Triangle Meeting on Theoretical Physics - 2010», Кошице, 2011.

7. D.Yu. Pis'mak, Yu.M. Pis'mak, F.J. Wegner. Electromagnetic Waves in a Model with Chern-Simons Potential // arXiv: 1406.1598, 2014.

8. Д.Ю. Письмак, Ю.М. Письмак. Моделирование взаимодействия материальной плоскости со спинорным полем в рамках подхода Симанзика // dspace.spbu.ru/handle/123456789/ 1539, 2015.

Цитируемая литература

9. Н. В. G. Casimir. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet Vol. 51, P. 793, 1948.

10. V. N. Markov, Yu. M. Pis'mak. Casimir effect for thin films in QED //J. Phys. A: Math. Gen Vol. 39, P. 6525, 2006.

Подписано в печать 13.07.2015 Формат 60x84 '/,6 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ № 14/07 печать

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2, Сайт: falconprint.ru)