Моделирование гидродинамики и теплообмена при турбулентных течениях газа в каналах с переменным расходом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

005046536

Янышев Дмитрий Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ГАЗА В КАНАЛАХ С ПЕРЕМЕННЫМ

РАСХОДОМ

Специальность: 01.04.14 «Теплофизика и теоретическая теплотехника»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 ИЮЛ 2012

Москва-2012

005046536

Работа выполнена в Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) «МАИ»

Научный руководитель:

д.т.н., доцент Краев Вячеслав Михайлович

Официальные оппоненты:

Деревич Игорь Владимирович, д.т.н., профессор, Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана, профессор кафедры «Прикладная математика»

Яковлев Алексей Александрович, к.т.н., доцент, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент кафедры «Теория воздушно-реактивных двигателей»

Ведущая организация: Открытое акционерное общество «Красноярский машиностроительный завод»

Защита состоится « 15 » октября 2012 г. в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 212.125.08, созданного на базе Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета) «МАИ» по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4

Автореферат разослан «_»_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.125.08

д.т.н., профессор Зуев Ю.В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В современной науке и технике особое место занимают вопросы оптимизации различных процессов и устройств. Сейчас, когда большинство основополагающих принципов создания энергоустановок уже известны, повышение эффективности их работы -первостепенная задача.

Расчеты нестационарных тепловых и гидродинамических процессов становятся в ряд определяющих при разработке новых образцов техники в различных областях - в авиации и космонавтике, теплоэнергетике, судостроении, криогенной технике и т. д. Это вызвано возрастанием энергонапряженности устройств, повышением требований к возможным режимам регулирования работы этих систем.

Всё ещё мало исследованной с этой стороны являются процессы нестационарные. Данных по таким процессам на сегодняшний день часто не хватает и очень часто используется подход так называемого квазистационарного приближения, которое заключается в том, что влиянием нестационарности на интегральные характеристики системы пренебрегается. Опыт, однако, показывает, что во многих случаях такой подход оказывается несостоятельным. Самой большой сложностью в оптимизации процессов, связанных с конвективным теплообменом и гидродинамикой, является подчас их нерегулярность и, как следствие, трудность математического описания.

Поэтому проблема исследования нестационарных процессов теплообмена и гидродинамики и разработка методики их расчета и оптимизации представляются чрезвычайно актуальными.

Очевидно, что инженерные расчеты по теплообмену и гидродинамике могут быть выполнены при условии фундаментального изучения нестационарных процессов. Лишь органичное сочетание фундаментальных и прикладных исследований является наиболее эффективным путем получения практических результатов.

Объектом исследования в настоящей работе являются гидродинамически нестационарные турбулентные течения в каналах при числах Рейнольдса Ле от 3200 до 30000 с монотонно изменяющимся расходом.

Цель диссертационной работы. Обобщение экспериментальных и теоретических данных и разработка адекватной незатратной методики моделирования турбулентных течений газа в каналах в условиях гидродинамической нестационарности.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

- Разработка вычислительной методики для моделирования турбулентных течений.

- Валидация существующих моделей турбулентности на предмет адекватности моделирования гидродинамически нестационарных турбулентных течений.

- Анализ и обобщение экспериментальных и теоретических данных относительно гидродинамически нестационарных течений газа в каналах.

- Разработка модели турбулентности для гидродинамически нестационарного течений газов в каналах.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- Проанализированы широко используемые на сегодняшний день модели турбулентности на предмет адекватности моделирования гидродинамически нестационарных течений.

- Получены универсальные аналитические выражения для коэффициента трения и его производной по параметру для течения в каналах для гладких и шероховатых труб.

- Предложены обобщающие зависимости для инженерных расчетов нестационарного коэффициента трения при ускорении и замедлении газового потока в трубе. Особенностью зависимостей является возможность их применения для любой монотонной кривой изменения расхода.

- Предложены обобщающие зависимости для инженерных расчетов нестационарного коэффициента теплоотдачи при ускорении и замедлении газового потока в трубе. Особенностью зависимостей является возможность их применения для любой монотонной кривой изменения расхода.

- Предложена эмпирическая зависимость для коэффициента вихревой вязкости при гидродинамически нестационарном течении газа в канале.

- Выявлено влияние второй производной по времени от расхода на профиль турбулентной вязкости при гидродинамически нестационарном течении газа в канале.

- Выявлено влияние гидродинамической нестационарности на турбулентное число Прандтля.

- Разработана незатратная модель турбулентности, способная адекватно моделировать гидродинамически нестационарные турбулентные течения газов в каналах.

Методы исследования. Результаты работы получены на основе сочетания метода математического моделирования и экспериментальных

исследований. В теоретических исследованиях использована математическая модель, включающая полную систему уравнений Навье-Стокса (Рейнольдса) для несжимаемого течения, уравнение энергии, и уравнения для турбулентных характеристик. Математическая модель решалась с помощью широко используемых эффективных численных методов.

Эксперименты проводились с помощью термоанемометрического оборудования фирмы Т81 с использованием воздуха в качестве рабочего тела.

Достоверность_научных_положений подтверждается

использованием законов сохранения массы, количества движения и энергии, теории численных методов; всесторонним тестированием применяемых численных методов и алгоритмов, сравнением результатов расчётов с экспериментальными данными, использованием экспериментальных данных как базиса для разработанной модели турбулентности.

Научные положения, выносимые на защиту:

- Полуэмпирическая модель турбулентности для гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

- Эмпирическая модель турбулентной вязкости в каналах для гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

- Результаты валидации моделей турбулентности на предмет адекватности расчета гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

- Модели для инженерных расчетов коэффициента трения в условиях гидродинамической нестационарности.

- Аналитические зависимости для коэффициента трения и его производной по параметру для гладких и шероховатых труб.

Личное участие автора. Автором лично разработаны и апробированы:

- метод получения аналитических решений в некоторых задачах теории турбулентного пограничного слоя с помощью функции Ламберта;

- модели для инженерных расчетов коэффициента трения в условиях гидродинамической нестационарности;

- полуэмпирическая модель турбулентности для гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

Автором лично проведены:

- критический анализ и обобщение полученных в МАИ экспериментальных данных по турбулентной вязкости при течении газа в условиях гидродинамической нестационарности;

-тестирование (валидация) наиболее широко используемых на сегодняшний день моделей турбулентности на предмет адекватности моделирования гидродинамически нестационарных течений в каналах.

Практическая значимость и ценность проведенных исследований заключается в их использовании для решения широкого круга практических задач теплотехники авиационной, ракетно-космической и других отраслей промышленности, в особенности при проектировочных и поверочных расчётах различных систем терморегулирования.

Предложенные в работе математические модели позволяют:

- проводить анализ переходных процессов в различных газодинамических системах;

- оптимизировать процесс регуляции и регулирующие устройства.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, в том числе в 4 статьях в журналах из списка ВАК Минобрнауки.

Апробация и внедрение результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 1 ой и 2ой Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроения России» (г. Москва), на XVII Школе-семинаре молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева (г.Жуковский), на XII, XIII и XIV международных конференциях «Решетневские чтения» (г.Красноярск).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 разделов и заключения. Она содержит 139 страниц машинописного текста, включающего 60 рисунков, и списка литературы из 110 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость. Сформулированы цель и задачи исследований. Представлены основные научные положения,

выносимые на защиту. Дается описание структуры и содержания диссертации. Дана общая характеристика диссертационной работы.

Раздел 1 посвящен анализу турбулентных течений и влиянию нестационарных условий на структуру потоков, гидродинамику и теплообмен.

Вопросам гидродинамически нестационарных турбулентных течений посвящены работы Э.К. Калина, Г.А. Дрейцера и др. (1973-2005), С.Б.Маркова (1973), А.Берганта (2001), А.Варди и Дж.Брауна (2003), И.В.Деревича (2005), И.Потхофа (2008).

На сегодняшний день установлено, что при умеренных значениях производной расхода по времени дв /<Э; порождение турбулентности и ее интенсивность около стенки при дад1> 0 возрастают, а при дв/дкО убывают, что соответственно увеличивает теплоотдачу в первом случае и уменьшает - во втором.

Экспериментально коллективом исследователей в МАИ (В.К.Кошкин, Г.А.Дрейцер, Э.К.Калинин, В.М.Краев), было установлено, что ускорение потока приводит к увеличению коэффициента трения £ и числа N11 по сравнению с их квазистационарными значениями. Замедления течения приводит к противоположному результату.

В качестве основного критерия нестационарности можно принять:

К \±

1 саг1

(1)

А в качестве временного параметра - приведённый критерий гомохронности.

— Но Но =-

Но„

(2)

где Но = Цт/с1 соответствует текущему времени процесса, а Но0- общему времени процесса.

Влиянение нестационарности на коэффициент трения показано на Рис. 1 и Рис. 2 (под ^о понимается квазистационарное значение коэффициента

\

<¡7

/У

I *яг-

V

V, \\

Ч '¡г

о 0.1 о: 0.3 0.4 0.5 й.б 0." 0.5 0.9 1 Но

Рис. 1 Влияние ускорения течения на коэффициент трения, 1*е=3100...9300, Т„Л>1, а- Кг*„„ =0.111, б- К8*т„ =0.088.

Э 0.1 0,- 0.5 ОД 0.5 0.6 0.7 0.3 0.Э 1 Ко

Рис. 2 Влияние замедления течения на коэффициент трения, Ие=3100...9300, Т№/Т(=1, а- К,*т|11 = -=0.111, б- Кг*т1п =-0.044.

трения). Влияние на число Нуссельта сходно, однако для него нестационарный эффект несколько меньше.

В разделе также формулируется общая математическая модель турбулентного течения, включающая в себя следующие уравнения (используется тензорная нотация и правило Эйнштейна о свёртке, знак осреднения, где это возможно, опущен):

^ = 0, дх.

дид(иги,) д1 дх.

дх, дх.

ди, | ди, дх, дх,

-ри'У

+ pJ„

(3)

(4)

\дТ дТ

рсЛ--\-и -

Лдг 'дх,

д

' дх,

, дТ -гр

А--рс„и,Т

дх, Н " '

+ Я,-

(5)

Данная система уравнений дополнительно содержит девять неизвестных членов (шесть членов вида -р и\и\ и три члена вида -рсри'Т').

Чтобы вычислить эти члены, требуются дополнительные уравнения, обычно называемые моделью турбулентности.

Самый распространенный подход здесь - введение коэффициента турбулентной вязкости, согласно гипотезе Буссинеска. Данная гипотеза для несжимаемой жидкости может быть записана в виде:

'сЦ' дх, дх

-ри,и1 = р,т

-\б»рк.

(6)

В данном уравнении - символ Кронекера, а к = —

2 р

кинетическая

энергия турбулентности.

Турбулентная теплопроводность вычисляется через турбулентное число Прандтля:

Ргт=^. (7)

Для многих течений справедлива гипотеза, что Ргт=0.9.

В данной работе рассматриваются несколько моделей, основанных на использовании концепции вихревой вязкости: среди них модели к-е, ШТО к-е, ББТи

В разделе даётся краткая формулировка данных моделей.

Модель к-е:

ас = 1.3; Се1 =1.44; с,, =1.92; сц = 0.09.

(10) (П)

ди,

где Рк = т —- источник энергии турбулентности; дх1

2

г. = ——ркбц - тензор напряжений Рейнольдса;

ди, | ди1 дх дх,

- тензор скоростей деформации.

Модель ИИО к-£. Уравнения модели - такие же, как и для стандартной к-е (см. уравнения (8)-(10)). Однако используются другие константы:

с^О-ч/чо)

'Г —1(1 1ЛО.Л /Т —II / I

(12)

с\ = 1.68+-

-;с = 0.0845, ак =0.7194,

1 + 0П

а, = 0.7194,^, =1.42, г)а = 4.38, /3 = 0.012.

где г! = ^ / е; (5'^— тензор скоростей деформации).

При этом вихревая вязкость определяется из следующего дифференциального уравнения:

<10

р-к

у[рёV

1.72-1/

^3-1 + С„

(13)

где ¿ = С„^100.

V

Модель ББТ Ф.Р. Ментера (1993):

(/1 + °'лй)

¿л I/, а*.

+ 2(1-^)

р<т_, дк ди> и> Зл:у

(14)

(15)

где

о/

^ = 1апЬ (агд,4); ш^, = тт

-Л" 500г/

Р ш<1 <1~и>

4раи1к

СО,ш = тах

При этом турбулентная вязкость определяется как:

" и дх/ дх)

л = '

РО\к

та

где а, =0.31 - числовой коэффициент, П = |Ухи| - величина модуля вектора завихренности. - вторая весовая функция. Ниже представлен способ её вычисления:

(17)

' -]к бООч 0 шс1 сС'ш

(18)

где а - расстояние до ближайшей стенки.

Набор констант модели ББТ ф будет вычисляться следующим образом:

¿ = /•¿,+(1(19) 7, =~,— ^Г' ^.=0-85; с„1 = 0.5; Д =0.072;

7 <т,, =1.0; а, =0.856; Д =0.0828; (20)

~ Ж ~

Д^ = 0.09; к = 0.41; Д. =0.31. Модель и'2-/ включает уравнения (8) и (9), а также уравнения для и'2 и /:

<?г/2 Зт/2 ,, и'2 3

--1-й.---¡н--

д1 ' дх, к дх,

V, Зг/2

ьН---

дх,

, -, С -1

т

к 3

-сД

(21) (22)

В данных уравнениях Ь - масштаб длины, а Т - масштаб времени. Они вычисляются следующим образом:

1/4

к

/. = С, шах

Т — тах

Сг, ,

£ ( £ I

(23)

(24)

При этом турбулентная вязкость вычисляется как:

»Т = су-т

Приведём набор констант:

С„ = 0.22; <т-у = 1; С, = 1.4; С, = 0.45; Сг = 6; С1 = 0.25; Сщ = 85 (25)

Ещё одним подходом к моделированию турбулентности является непосредственное моделирование переноса каждого из компонентов тензора рейнольдсовых напряжений.

Данная модель может быть записана следующим образом:

Э/ 1 5х * Зх 'к дх. '' дхь

дт„

При этом полагают, что:

Г - итдт.1

(27)

где ак =0.82, а вихревая вязкость вычисляется согласно формуле (10) При этом энергия турбулентности к = -0.5т.,. /р.

П» = +у}рк£11]-а0(ри -К/5Л)"

- А [О, " X Р„6, ] ■-.къ . - X

(28)

_ а» где0'=т'"'аГ+т"»аГ;

/. - модифицированная константа (см. (20);

1 дк дш .

**" ы3 а*. ' "

1; х,<о

а«.

Э»,

14-400^ ^=0.891,^ = 0.196, 7^ = 0.495.

В случае приводимой здесь модели тензор диссипации записывается следующим образом:

(29)

Средняя скорость диссипации вихрей со определяется из стандартного уравнения модели к-со:

дх

к

(30)

р и 'ди,

№ а*, Эх,

где Л =-^, у, =

В Разделе 2 описывается численный метод решения рассмотренной системы уравнений, а именно - метод контрольного объёма.

Для вычисления величин на гранях объёмов используется схема против потока второго порядка:

<^=¥> + ^¥>•«1 (31)

где величина (р и её градиент У^р берётся в ячейке против потока, ¿Я -вектор соединяющий центр ячейки против потока с соответствующей гранью, у - дифференцируемый ограничитель.

Вычисление градиента величин производится на основе дискретного аналога теоремы Гаусса.

(Д++е')Д_ + 2Д:Д

где А_=чэг-1р; Д+ =

Д;+2Д:+Д+Д_+£2 <р — ¡р; А < 0' £ = 0 05'[тахИ-тт(^)]; <р„

(32)

локальное максимальное значение /р в узлах рассматриваемой ячейки сетки; ср^п ~ локальное минимальное значение (р в узлах рассматриваемой ячейки сетки; тах(^) - максимальное значение <р во всей расчётной области; шах(р) - минимальное значение <р во всей расчётной области.

Для аппроксимации производной по времени принималась неявная схема второго порядка:

(33)

Схема интерполяции поля давления была составлена согласно методу Ри и Чоу (1983).

Система алгебраических линейных уравнений решалась алгебраическим мультисеточным методом.

В разделе 3 проведён критический анализ несоответствий между данными экспериментов, выполненных в МАИ Г.А. Дрейцером, В.М.Краевым и др. (1973-2011) и расчётов, проведенных Е.П.Валуевой и Чэнь Лэем (2000), и И.В.Деревичем (2005). Установлено, что данные расчётов указанных авторов следует принимать во внимание с большой осторожностью при разработке новой модели турбулентности в виду их неподтвержденное™ экспериментальным материалом и отдельных противоречий в используемых авторами моделях.

Основное содержание раздела 3 - тестирование (валидация) рассмотренных в разделе 1 моделей турбулентности на предмет их адекватности при моделировании турбулентных течений в условиях гидродинамической нестационарности.

Для выполнения задачи валидации моделей турбулентности на предмет адекватности моделирования течений в каналах с переменным расходом была создана расчётная модель, учитывающая геометрию экспериментальной установки кафедры «Авиационно-космической теплотехники» МАИ: труба диаметром 42.8 мм и длиной 3 м.

Вдоль канала расчетная сетка имела 3000 расчётных ячеек, а по радиусу - для всех моделей, кроме к-е, 200 ячеек (со сгущением у стенки с целью

обеспечить >*<1). Для модели k-е - вдоль радиуса количество ячеек выбиралось таким образом, чтобы обеспечить У" не менее 11.5. В качестве модельной кривой расхода была принята:

tanh Но —0.5

+ 1

а

(34)

где <7 =

d G,,„-G„

-; индексы st и end означают значения на момент

начала и конца нестационарного процесса соответственно; К'м -экстремальное значение критерия нестационарности; 1гаах - общее время протекания процесса.

По результатам расчётов можно сделать вывод, что наилучшего совпадения с экспериментальными данными удалось добиться, используя модель ББТ.

Сводные результаты расчётов с помощью разных моделей приведены на Рис. 3 и Рис. 4.

№ '

Рис. 3 Сравнение численных расчётов с результатами эксперимента при ускорении потока. Режимные параметры: 11е=6200... 18700, К8*т„ =0.059

Рис. 4 Сравнение численных расчётов с результатами эксперимента при замедлении потока. Режимные параметры: Яе=6200...18700,1^*т|„=-0.059

По результатам валидации можно сделать следующие выводы:

- Из рассмотренных в разделе моделей турбулентности сходные с экспериментальными данными результаты даёт только модель БЗТ.

- Высокорейнольдсовские модели турбулентности в принципе не способны хоть как-то учесть эффект нестационарности.

- Модель БЗТ является низкорейнольдсовской, и в связи с этим расчёты с применением данной модели требуют существенного времени и затрат вычислительных ресурсов.

- Модель хоть и даёт результаты, сходные с экспериментальными данными, на некоторых режимах существенно завышает эффект нестационарности.

- В связи с указанными выше причинами необходима разработка более адекватной модели турбулентности, которая с одной стороны будет обеспечивать лучшее совпадение с экспериментальными данными, а с другой - меньшие требования к вычислительным ресурсам. Для создания такой модели выполнены дополнительные экспериментальные исследования, а также проведены более тщательный анализ и обобщение экспериментальных и теоретических данных.

В разделе 4 приведено описание экспериментальной установки и анализ экспериментальных и теоретических данных по турбулентным течениям с переменным расходом.

Экспериментальный участок выполнен из трубы, изготовленной из нержавеющей стали Х18Н9Т с внутренним диаметром ¿=42.8 мм и толщиной стенки 5=0.6 мм. Участок расположен вертикально. Исследования структуры турбулентного потока проводены с помощью термоанемометрической аппаратуры. В качестве таковой был выбран термоанемометрический блок фирмы ТБ1.

Анализ показал, что погрешность измерения турбулентной вязкости не превышает на данном стенде 6%.

На основании анализа полученных экспериментальных данных была составлена эмпирическая модель вихревой вязкости в канале. Данная модель имеет следующий вид:

где а характеризует амплитуду пика вихревой вязкости, ср - сдвиг пика относительно стенки канала, р - ширину пика.

При этом а в большей степени является характеристикой нестационарности, а р отражает конвективную составляющую переноса скалярной функции £1 и зависит в основном от числа Рейнольдса.

— 1 + а 5есЬ --—

(35)

Р

При ускорении потока:

6.254-./Г

--—цМ (36)

^=-16.7 + 388.5 /г;-2300Г:+3.688(-^)-8.65-И — 6.67АГ*1. (37)

1нп иоч * [шч ^ '

Р. = -7.437 + 0.03Ы1е08 -К'^25 (38)

При замедлении потока:

^=-11.237.^, (39)

«д, = 1апЬ (3784?7) • . 176 + 1.704-^- - 147.9т)| + 2.9-^- + 2.558») + 6.75, (40)

Д, = 1апЬ (5046 • т?) |о.237 + 0.535 ~ + 300т, | +1Л 77^- -175.68т, - 0.9 (41)

Данные формулы применимы для диапазона чисел Рейнольдса от 3000 до 30000 и абсолютных значений критерия нестационарности К,/ от 0 до 0.111 и согласуются с экспериментом со средним отклонением ±5%. Сравнение полученных формул с экспериментом приводится на Рис. 5.

Рис. 5 Сравнение полученной модели с экспериментом, а) - ускорение потока Ие=3500, К8'=0.044; 6) - замедление потока Ке=8800, К8*=-0.044, ц=-0.012 При этом в ходе проведенного исследования установлено, что при ускорении потока ширина пика и сдвиг относительно стенки зависят от самого критерия нестационарности (т.е. от первой производной расхода по времени), а для замедления потока - от параметра Т] (т.е. от второй производной).

В разделе также приводятся данные о функции Ламберта, с помощью которой выводятся аналитические выражения для коэффициента трения и его производной по параметру для гладких и шероховатых труб. Для гладкой трубы:

£0 =[0.88-Ьат\У(0.46-Яе)]": (42)

¿. = -1 55 £о'к\

ЗА

(43)

Для шероховатой трубы:

&.=;-, .-т (44)

[0.73 ■ LamW (0.46 Re- ea>2Rc- ) + 0.09 Re, di С2 ■ кх ■ (0-02-■ Re; + 0.18 Ree■ + 0-2 Ree+0.84)

= _1 4--i---L

дХ (0.18Re,-Viôr + 0.84) (Viô7 + 0.12Re,,/&7 + 1.1494)

(45)

где Ret = R ее/ Dh = pue/ fi - число Рейнольдса, вычисленное по

1 dRe

характерному размеру шероховатости; Кх =---.

Re д\

Приводятся разработанные автором зависимости для коэффициента трения в нестационарных условиях.

32-vFp IdG

(46)

где 6 - немая переменная, - квазистационарный коэффициент трения (который можно рассчитать по формулам (42) или (44)). При ускорении:

0.0025 Яе(0-2.1 (

При замедлении:

'-м-—<«»

, VI „. 12.86 _ л

где = —г; в —-——. , г0 - радиус трубы, а индекс 0 означает, что

го ° '

число Рейнольдса берётся в начале процесса.

Сравнение данных зависимостей с экспериментальными данными приводится на Рис. 6. В разделе также демонстрируется, что для рассматриваемого диапазона параметров в инженерных расчётах допустимо рассчитывать нестационарное число Нуссельта по классической

зависимости Петухова, связывающей коэффициенты трения и теплообмена:

№ = 0.125 • $ Яе- Рг + ^ + 4.49 • ^ (Рг'3 -1)|

(49)

«о

а)

б)

Рис. 6 Сравнение расчётной зависимости для нестационарного коэффициента трения с использованием (46) и экспериментальных данных, а) при ускорении б) при замедлении. Режимные параметры: 1?е=3100...9300, [К8*|т„=0.111

Раздел 5 посвящен разработке малозатратной модели турбулентности, позволяющей учитывать влияние нестационарности на течение в канале. В качестве основы была выбрана модель к-с, для которой были составлены модернизированные функции стенки и добавлен дополнительный источник энергии турбулентности в уравнение для к.

Пристеночные функции для уравнения сохранения импульса имеют следующий вид:

Ф->>+; у* <11.5

— 1п(>-+) + 5.1; ^+>11.5

(50)

где Ф = 0.947-

Нестационарный эффект для процессов конвективного теплообмена в целом ниже такового для процессов турбулентного трения.

Функция стенки для температуры помимо свойств вещества и скорости в пристеночной области зависит от функции и+ и турбулентного числа Прандтля Рг7. Можно сделать вывод о переменности Ргг под воздействием ускорения и замедления потока.

Для ускорения течения формула для турбулентного числа Прандтля записывается следующим образом:

^([ЗЗКео""5*7)

Яе,

Ро

4090

При замедлении течения:

Ргг. = Ргг0 1 +

(1-20 *

1 Яе^'5"""""-

(52)

—, ехр---

2-^0 18.37

Ро

аI

где Ро = — - число Фурье, гоСравнение данных экспериментов и результатов расчётов показывают, что дополнительная генерация турбулентной энергии, обусловленная гидродинамической нестационарностью имеет место в основном в пристеночной области, которая в случае использования высокорейнольдсовской модели турбулентности в основном находится в пределах между непосредственно поверхностью стенки и первым пристеночным расчётным узлом. В данной зоне расчёт течения ведётся с помощью пристеночных функций.

Однако не следует забывать, что часть области, где происходит генерация турбулентности вследствие нестационарного эффекта, лежит за пределами «зоны действия» пристеночных функций и поэтому необходимо ввести в уравнение для переноса кинетической энергии турбулентности дополнительный генеративный член, моделирующий нестационарный эффект.

Данный генеративный член может быть получен при использовании данных по турбулентной вязкости, обобщенных в данной работе.

Были получены два выражения для источника турбулентности: явный и неявный.

В первом случае выражение для источника не зависит от к:

г

Во втором случае:

I -Уп]5/

И тогда уравнение для к после преобразований принимает вид:

дк_ dt

= Vf2

а

дх,

, .дк г+ъ Ь—

ох.

-и,к

+ Р„-е

(55)

Для рассматриваемого в данной работе диапазона параметров разработанные подходы дают сходные результаты, однако первый имеет несколько более простую численную реализацию.

Полученная модель может быть легко модернизирована для более широкого диапазона параметров и для более широкого круга задач (как например внешнее обтекание) путём внесение необходимых поправок в функцию О. и зависимости для коэффициента трения.

Результаты расчётов при ускорении потока представлены на Рис. 7 и Рис. 8, а при замедлении - на Рис. 9 и Рис. 10.

Рис. 7 Расчет коэффициента трения при ускорении потока в сравнении с экспериментальными данными. Ке=6200... 18700, ТЛ^ 1.18, *т„=0.035

Рис. 9 Расчет коэффициента трения при замедлении потока в сравнении с экспериментальными данными. 11е=18700...6200, ТУТр 1.18, АГЕ*„и=-0.035

о о 2 'Ы Di. [I а т—-

Но

Рис. 8 Расчет числа Нуссельта при ускорении потока в сравнении с экспериментальными данными. Re=6200... 18700, TJTf 1.18, ЛГ„*„ах=0.035

Рис. 10 Расчет числа Нуссельта при замедлении потока в сравнении с экспериментальными данными. 11е=18700...6200, ТУГ/= 1.18, Ке*„,„=-0.035

Как видно из приведённых рисунков, полученная модель хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Основные выводы

1. Существующие высокорейнольдсовские модели турбулентности в принципе не способны учесть эффект нестационарности. Из рассмотренных в работе моделей турбулентности близкие с экспериментальными данными результаты даёт только модель Ментера

являющаяся низкорейнольдсовской. Однако она хоть и даёт результаты, сходные с экспериментальными данными, на некоторых режимах существенно завышает нестационарный эффект.

2. В ходе работы впервые получены универсальные аналитические выражения для коэффициента трения и его производной по параметру для течения в каналах для гладких и шероховатых труб.

3. В работе были предложены обобщающие зависимости для инженерных расчетов нестационарных коэффициентов трения и теплоотдачи при ускорении и замедлении газового потока в трубе. Особенностью зависимостей является возможность их применения для любой монотонной кривой изменения расхода и хорошая сходимость с данными экспериментов по гидродинамически нестационарному течению газов в каналах.

4. На основании анализа экспериментальных данных была составлена эмпирическая модель вихревой вязкости в канале. По физической природе полученная зависимость для вихревой вязкости аналогична бегущей волне, возникающей на стенке и направляющейся к ядру потока. В работе показано, что с увеличением числа Рейнольдса амплитуда пика данной волны убывает, а его ширина и сдвиг относительно стенки канала -увеличиваются как для ускорения, так и для замедления потока. Полученная модель применима для диапазона чисел Рейнольдса от 3000 до 30000 и абсолютных значений критерия нестационарности от 0 до 0.111

5. Анализ модели вихревой вязкости в канале выявил влияние второй производной по времени от расхода на профиль турбулентной вязкости при гидродинамически нестационарном течении газа в канале.

6. Установлено влияние гидродинамической нестационарности на турбулентное число Прандтля. В работе предложены формулы для расчёта турбулентного числа Прандтля в зависимости от ускорения или замедления потока.

7. Предложена и апробирована незатратная математическая модель турбулентности, позволяющая проводить расчёты гидродинамически нестационарных турбулентных течений газов в каналах при наличии и в отсутствии теплообмена. Данная модель сопоставлена с экспериментальными данными для диапазона чисел Рейнольдса от 3000 до 30000 и абсолютных значений критерия нестационарности Kg* от 0 до 0.111 и показала достаточную степень сходимости расчётных данных и эксперимента.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Краев В.М., Мякочин A.C., Янышев Д.С. Эмпирическая модель расчёта вихревой вязкости при течении газов в каналах в условиях монотонного изменения расхода // Тепловые процессы в технике. 2012. №2. С.50-55.

2. Краев В.М., Янышев Д. С. О расчете гидродинамики и теплообмена в случае нестационарного турбулентного течения в каналах ЭУ JIA // Вестник МАИ, 2009 г., Т.16, № 5, С. 64-72

3. Краев В.М., Янышев Д.С. Проблемы расчёта переходных процессов в при турбулентном течении в каналах энергетических установок JIA // Труды МАИ, № 37 - 2010 г.

4. Янышев Д.С. Применение функции Ламберта в теории турбулентного трения // Труды МАИ, № 50 - 2012 г.

5. Краев В.М., Янышев Д.С. Обобщение экспериментальных данных о вихревой вязкости при течении газов в каналах в условиях монотонного изменения расхода // Сборник тезисов XV международной научной конференции «Решетневские чтения», Красноярск, 10-12 ноября 2011 года. 4.1. С.182-183.

6. Янышев Д.С. К анализу нестационарного турбулентного течения в каналах// Труды XVII Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. T.l. М: Издательский дом МЭИ, 2009. С.449-452.

7. Янышев Д.С. Моделирование структуры турбулентных течений, теплообмена и гидродинамики в условиях гидродинамической нестационарности// Сборник трудов Всероссийской конференнции молодых ученых и специалистов "Будущее машиностроения России", 2008 г., М.: издательство МГТУ им. Баумана., тезисы доклада.

8. Янышев Д. С. К вопросу о расчете гидродинамически нестационарных течений и оптимизации процессов с ними связанных// Наука и образование, №10, октябрь 2009.

9. Янышев Д.С. К вопросу о расчете гидродинамически нестационарных течений и оптимизации процессов с ними связанных// Сборник трудов Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов "Будущее машиностроения России", 2009 г., М.: издательство МГТУ им. Баумана., тезисы доклада.

Ю.Янышев Д.С. Моделирование структуры турбулентных течений, теплообмена и гидродинамики в условиях гидродинамической нестационарности// Материалы ХП международной конференции "Решетневские чтения", Красноярск, изд-во СибГАУ им. М.Ф. Решетнева, тезисы доклада.

П.Янышев Д.С. К вопросу о расчете турбулентных течений с переменным расходом в каналах энергетической установки летательного аппарата и оптимизация процессов, с ними связанных// Материалы ХШ международной конференции "Решетневские чтения", Красноярск, изд-во СибГАУ им. М.Ф. Решетнева.

12. Аникеев A.A., Молчанов A.M., Янышев Д.С. Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики // Москва, Либроком, 2010. 152 стр.

Подписано в печать: 28.06.12

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 124 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г.Москва, ул.Бауманская, д.ЗЗ (495)979-96-99; www.reglet.ru

Введение.

1. Обзор современного состояния вопроса.

1.1. Моделирование турбулентности.

1.1.1. Феномен турбулентности и особенности внутренней структуры турбулентных потоков.

1.1.2. Гипотеза Буссинеска.

1.1.3. Модель пути смешения.

1.1.4. Современные полуэмпирические модели вихревой вязкости.

1.1.5. Модели переноса рейнольдсовых напряжений.

1.2. Важнейшие результаты теоретических и экспериментальных исследований турбулентных течений в каналах.

1.2.1. Профили скорости и турбулентных пульсаций при течениях жидкости в каналах.

1.2.2. Коэффициенты турбулентного переноса.

1.2.3. Связь профилей скорости и турбулентной вязкости.

1.2.4. Теплообмен в каналах на стабилизированном участке течения и его связь с трением.

1.3. Нестационарные граничные условия и турбулентность.

1.3.1. Особенности структуры турбулентных потоков в условиях тепловой нестационарности.

1.3.2. Влияние гидродинамической нестационарности на турбулентное течение в каналах.

1.4. Выводы по разделу и постановка задач исследования.

2. Основные уравнения и численный метод.

2.1. Используемые уравнения.

2.2. Дискретизация уравнений по пространственным координатам.

2.3. Дискретизация по времени и линеаризация.

2.4. Проблема связи поля давления и поля скорости.

2.5. Решение системы линейных уравнений.

2.6. Верификация вычислительных методик.

2.6.1. Течение в квадратной полости.

2.6.2. Турбулентное течение в круглой трубе.

3. Валидация моделей турбулентности на предмет моделирования нестационарных течений газа с переменным расходом.

3.1. Анализ несоответствий.

3.2. Ускорение потока.

3.3. Замедление потока.

3.4. Тестирование модели 88Т.

3.5. Выводы по разделу.

4. Анализ экспериментальных и теоретических данных.

4.1. Общее описание экспериментальной установки и погрешности экспериментов.

4.2. Анализ данных по вихревой вязкости.

4.3. Обобщение данных и получение эмпирических зависимостей для коэффициента трения и числа Нуссельта.

4.3.1. Функция Ламберта и аналитическое выражение для коэффициента трения в каналах.

4.3.2. Получение модифицированного нестационарного коэффициента трения с учётом экспериментальных данных.

4.3.3. Определение коэффициента теплоотдачи.

5. Построение модели турбулентности для гидродинамически нестационарных течений.

5.1. Модификация пристеночных функций.

5.2. Дополнительный источник турбулентной энергии.

5.3. Результаты расчётов с использованием разработанной модели турбулентности, сопоставление с экспериментом.

В современной науке и технике особое место занимают вопросы оптимизации различных процессов и устройств. Сейчас, когда большинство основополагающих принципов создания энергоустановок уже известны, повышение эффективности их работы - первостепенная задача. Стоит отметить, что при нынешнем уровне развития техники вообще, и двигателестроения в частности, при создании новых образцов двигателей повышение к.п.д. даже на доли процента уже считается немаловажным достижением, не говоря уж об его увеличении на единицы или даже десятки процентов.

Расчеты нестационарных тепловых и гидродинамических процессов становятся в ряд определяющих при разработке новых образцов техники в различных областях - в авиации и космонавтике, теплоэнергетике, судостроении, криогенной технике и т. д. Это вызвано возрастанием энергонапряженности устройств, повышением требований к возможным режимам регулирования работы этих систем.

Всё ещё мало исследованной с этой стороны являются процессы нестационарные. Данных по таким процессам на сегодняшний день часто не хватает, и очень часто используется подход так называемого квазистационарного приближения, которое заключается в том, что влиянием нестационарности на интегральные характеристики системы пренебрегается. Опыт, однако, показывает, что во многих случаях такой подход оказывается несостоятельным. Самой большой сложностью в оптимизации процессов, связанных с конвективным теплообменом и гидродинамикой, является подчас их нерегулярность и, как следствие, трудность математического описания.

Поэтому исследование нестационарных процессов теплообмена и гидродинамики и разработка методики их расчета и оптимизации представляется чрезвычайно актуальной задачей.

Очевидно, что инженерные расчеты по теплообмену и гидродинамике могут быть выполнены при условии фундаментального изучения нестационарных 5 процессов. Лишь органичное сочетание фундаментальных и прикладных исследований является наиболее эффективным путем получения практических результатов.

В данной работе основное внимание будет уделено гидродинамически нестационарным турбулентным течениям в каналах энергетических установок летательных аппаратов (ЛА) (а именно течениям с переменным расходом жидкости (газа)). В качестве модельной задачи рассматривается течение воздуха в круглой трубе с переменными граничными условиями на входе в канал.

Исследования по влиянию нестационарных граничных условий на структуру турбулентных газовых потоков были начаты в МАИ в 1985 году под руководством д.т.н. профессора Э.К. Калинина и д.т.н. профессора Г.А. Дрейцера.

Экспериментальные исследования показывают существенное отличие интегральных характеристик (коэффициенты теплоотдачи и трения) в нестационарных условиях от данных квазистационарного расчета. Оно может достигать 3-х - 4-х кратного значения. Проведенные исследования показали, что основным механизмом, определяющим это отличие, является специфическое изменение турбулентной структуры потока теплоносителя.

Несмотря на обилие экспериментальных работ по данной тематике, моделированию нестационарных турбулентных течений путём решения трёхмерной системы уравнений гидродинамики на сегодняшний день, к сожалению, уделяется всё ещё недостаточное внимание. Меж тем, применение методов вычислительной гидродинамики сегодня стало неотъемлемой частью процесса проектирования многих сложных устройств. При этом практика показывает, что применение современных моделей турбулентности для расчёта нестационарных процессов во многих случаях оказывается некорректным, поскольку данные модели могут давать качественно неверные по сравнению с экспериментом результаты. При этом информация относительно адекватности многих популярных моделей турбулентности в нестационарных условиях просто отсутствует.

Следует отметить, что полученный в экспериментальных исследованиях турбулентных течений материал в большинстве случаев невозможно 6 непосредственно воплотить в математической модели. Очень часто таким экспериментальным данным требуется дополнительная обработка.

Цели и задачи работы. Целью данной работы является обобщение экспериментальных и теоретических данных по гидродинамике и теплообмену при турбулентных течениях газа в каналах с переменным расходом, а также разработка адекватной незатратной методики математического моделирования турбулентных течений газа в каналах в условиях гидродинамической нестационарности.

Для достижения поставленных целей в работе решены следующие задачи:

1. Анализ и обобщение экспериментальных и теоретических данных по гидродинамике нестационарных течений газа в каналах.

2. Разработка вычислительной методики для моделирования турбулентных течений.

3. Валидация существующих моделей турбулентности на предмет адекватности моделирования гидродинамически нестационарных турбулентных течений.

4. Проведение дополнительных экспериментальных исследований гидродинамически нестационарных турбулентных течений в каналах.

5. Разработка математической модели турбулентности для гидродинамически нестационарного течений газов в каналах.

Научная новизна работы. Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

1. Проанализированы широко используемые модели турбулентности на предмет адекватности моделирования гидродинамически нестационарных течений.

2. Получены универсальные аналитические выражения для стационарного коэффициента трения и его производной по параметру для течения в каналах как для гладких так и для шероховатых труб.

3. Предложены обобщающие зависимости для инженерных расчетов нестационарного коэффициента трения и теплоотдачи при ускорении и замедлении газового потока в трубе. Отличительной особенностью этих зависимостей является возможность их применения для любой монотонной кривой изменения расхода.

4. Предложена эмпирическая зависимость для коэффициента вихревой вязкости гидродинамически нестационарного течения газа в канале.

5. Выявлено влияние второй производной по времени от расхода на профиль турбулентной вязкости гидродинамически нестационарного течения газа в канале.

6. Выявлено влияние гидродинамической нестационарности на турбулентное число Прандтля.

7. Получена незатратная с точки зрения использования вычислительных ресурсов модель турбулентности, способная адекватно моделировать гидродинамически нестационарные турбулентные течения газов в каналах.

Практическая значимость работы состоит в разработке методов и средств для инженерных расчётов гидродинамически нестационарных турбулентных течений в каналах. Данные модели используются для инженерных расчетов прикладных задач при разработке различных систем, работающих в нестационарных условиях. В ОАО «ГНПП «Регион» полученные модели используются при разработке новых образцов современной техники.

Результаты работы используются в учебном процессе кафедры «Авиационно-космической теплотехники» МАИ при чтении курсов лекций «Теплопередача» и «Теплообменные аппараты».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Полуэмпирическая модель турбулентности для гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

2. Эмпирическая модель турбулентной вязкости в каналах для гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

3. Результаты валидации моделей турбулентности на предмет адекватности расчета гидродинамически нестационарных турбулентных течений газа в каналах с монотонно изменяющимся расходом.

4. Разработанная модель для инженерных расчетов коэффициента трения в условиях гидродинамической нестационарности.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на 1ой и 2ой Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроения России» (г. Москва), на XVII Школе-семинаре молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева (г.Жуковский), на XII, XIII и XIV международных конференциях «Решетневские чтения» (г.Красноярск).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в 12 печатных работах, 4 из которых опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК Минобрнауки.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов и заключения. Она содержит 139 страниц машинописного текста, включающего 60 рисунков, и списка литературы из 110 наименований.

Заключение

На основании работы можно сделать следующие выводы:

1. Существующие высокорейнольдсовские модели турбулентности в принципе не способны учесть эффект нестационарности. Из рассмотренных в работе моделей турбулентности близкие с экспериментальными данными результаты даёт только модель Ментера 88Т, являющаяся низкорейнольдсовской. Однако она хоть и даёт результаты, сходные с экспериментальными данными, на некоторых режимах существенно завышает нестационарный эффект.

2. В ходе работы впервые получены универсальные аналитические выражения для коэффициента трения и его производной по параметру для течения в каналах для гладких и шероховатых труб.

3. В работе предложены обобщающие зависимости для инженерных расчетов нестационарных коэффициентов трения и теплоотдачи при ускорении и замедлении газового потока в трубе. Особенностью зависимостей является возможность их применения для любой монотонной кривой изменения расхода и хорошая сходимость с данными экспериментов по гидродинамически нестационарному течению газов в каналах.

4. На основании анализа экспериментальных данных составлена эмпирическая модель вихревой вязкости в канале. По физической природе полученная зависимость для вихревой вязкости аналогична бегущей волне, возникающей на стенке и направляющейся к ядру потока. В работе показано, что с увеличением числа Рейнольдса амплитуда пика данной волны убывает, а его ширина и сдвиг относительно стенки канала — увеличиваются как для ускорения, так и для замедления потока. Полученная модель применима для диапазона чисел Рейнольдса от 3000 до 30000 и абсолютных значений критерия нестационарности Кё* от 0 до 0.111

5. Анализ модели вихревой вязкости в канале выявил влияние второй производной по времени от расхода на профиль турбулентной вязкости при гидродинамически нестационарном течении газа в канале.

6. Установлено влияние гидродинамической нестационарности на турбулентное число Прандтля. В работе предложены формулы для расчёта турбулентного числа Прандтля в зависимости от ускорения или замедления потока.

7. Предложена и апробирована незатратная математическая модель турбулентности, позволяющая проводить расчёты гидродинамически нестационарных турбулентных течений газов в каналах при наличии и в отсутствии теплообмена. Данная модель сопоставлена с экспериментальными данными для диапазона чисел Рейнольдса от 3000 до 30000 и абсолютных значений критерия нестационарности Кё* от 0 до 0.111 и показала достаточную степень сходимости расчётных данных и эксперимента.

Перечень условных обозначений а - коэффициент температуропроводности, м /с; с - теплоёмкость, Дж/(кг*К); Е - напряжение, В; в - массовый расход, кг/с; Но — критерий гомохронности;

Но - приведенный критерий гомохронности;

2 2 к - кинетическая энергия турбулентности, м /с ; 1 - длина, м;

Ьат\¥(х) - функция Ламберта; ш - количество точек в интервале осреднения; п - количество точек в интервале осреднения;

N11 - число Нуссельта; р - давление, Па;

Рг - число Прандтля; г — радиальная координата, м;

Я -газовая постоянная, Дж/кг*К;

Яе - число Рейнольдса;

2 3

8 — дополнительный источник энергии турбулентности, м /с , тензор скоростей деформации, 1/с; площадь грани контрольного объёма м . I - время протекания процесса, с; Т - температура, К; весовая функция; и — скорость, м/с; и - среднемассовая скорость, м/с; 8 - символ Кронекера;

2 3 — диссипация турбулентной энергии, м /с ; г| — безразмерная производная от критерия нестационарности, отношение турбулентного трения в нестационарном процессе к равновесному значению; к = 0.41 - постоянная Кармана; ц - коэффициент динамической вязкости, Пахе; V — коэффициент кинематической вязкости, м /с;

6 — немая переменная, отношение квадратов турбулентной вязкости в нестационарном процессе и равновесного её значения;

4 - коэффициент гидродинамического сопротивления (коэффициент трения); (о - скорость диссипации турбулентной энергии, частота выброса вихрей, 1/с; у = vf/rí72 - безразмерное время; т - турбулентное напряжение трения, Па; - функция учёта нестационарности в модели турбулентности; £1 - отношение коэффициента вихревой вязкости к квазистационарному значению; завихренность, 1/с;

Индексы:

0 - относящийся к процессу, квазистационарный, относящийся ко всему каналу; а - при ускорении

1 - при замедлении

Г— относящийся к потоку;

1, }, к - тензорные индексы; т - относящийся ко входу в канал; т - модифицированный, смешения;

Рг — относящийся к числу Прандтля; г - радиальный; б - относящийся к датчику;

Т — турбулентный, вихревой;

ШгЬ - турбулентный, вихревой; w - относящийся к стенке; х - осевой; - относящийся к коффициенту трения; + - динамический параметр. Надстрочные знаки: - осреднённый, приведённый;

Жирным шрифтом обозначаются векторы

1. Дрейцер Г.А. Основы конвективного теплообмена в каналах: Учебное пособие. -М.: МАИ, 1989, 84 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е, переработанное, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978, 736 стр.

3. Аникеев A.A., Молчанов A.M., Янышев Д.С. Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики. Учебное пособие. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 152 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. Пособ.: Для вузов. В 10 т. T. VI. Гидродинамика. 5-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 736 с.

5. Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика: Учебник для авиационных вузов. — М.: Машиностроение, 1981.— 374 с.

6. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие, Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с.

7. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчётах турбулентных течений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368 с.

8. Фрост У., Моулден Т. Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир, 1980.-478 с.

9. Prandtl L., Ueber die ausgebildete Turbulenz // ZAMM. 1925. - 5, S. 136139 und Verhdlg. d. II. Intern. Kongr. fuer angew. Mech., Zuerich. 1926. -S. 62-75.

10. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. — Изд. 5-е перераб. и доп. — М: Атомиздат, 1979, 416 с.

11. Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics. Herbert Oertel, ed. Springer-Verlag N.Y. Inc., 175 Fifth Avenue, New York, NY 10010. 723 pages. 2004

12. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших чисел Рейнольдса // Доклады АН СССР. -1941. Т.ЗО, - №4. - С. 299-303.

13. Колмогоров А.Н. Уравнение турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1942. - Т.6, - № 1-2. - С 56-58.

14. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локальной изотропной турбулентности //Доклады АН СССР. -1941. Т.32, - №1. - С 19-21.

15. Launder В.Е., Spalding D.B. The numerical computation if turbulent flow // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1974. V.3. N.2. P.269-289.

16. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974. 278с.

17. Chien K.-Y. Predictions of Channel and Boundary-Layer Flows with a Low-Reynolds Number Turbulence Model. AIAA Journal, Vol. 20, No. 1, pp. 3338., 1982

18. Nagano Y., Tagawa M. An Improved k-epsilon Model for Boundary Layer Flows. Journal of Fluids Engineering, Vol. 112, pp. 33-39. 1990

19. Durbin P. Separated flow computations with the к s - v2 model, AIAA Journal, 33, 659-664, 1995.

20. Saffman P.G., Wilcox D.C. Turbulence-Model Predictions for Turbulent Boundary Layers// AIAA Journal, Vol. 12, No. 4, pp. 541-546., 1974

21. Wilcox D.C., Turbulence modeling for CFD, La Canada, California, 537p., 1994

22. Menter F.R. Zonal two equation k-co turbulence models for aerodynamic flows //AIAA Paper. 1993. N93-2906. 21p.

23. Липанов A. M., Кисаров Ю. Ф., Ключников И. Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург: УрО РАН, 2001.

24. Rotta J. С. Turbulent Boundary Layers in Incompressible Flow // Progress in Aerospace Science. 1962, V.2, P.l

25. So, R. M. C., Lai, Y. G., Zhang, H. S. and Hwang, B.C. Second-Order Near-Wall Turbulence Closures: A Review," AIAA Journal, Vol. 29, No. 11, 1991 -pp. 1819-1835.

26. Ciofalo M. Large-Eddy Simulation: A Critical Survey of Models and Applications//Advances in Heat Transfer, Vol.25., pp.321-419., 1994

27. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения в гладких трубах. // Проблемы турбулентности. — М. -JL: Изд. НКТИ СССР. 1936, -С. 75-150.

28. Reichardt Н. Zeitschr. foer angew. // Math. Und Mech., 1951. No. 7. - S. 132.

29. Karman Th. "Trans. Amer. Soc. Mech. Engng"., 1939, v.61.

30. Corino E.R., Brodkey R.S. A Visual Investigation of the Wall Region in a Turbulent Flow // Journal of Fluid Mechanics. 1969, - Vol.37. - № 1. - P.l-30.

31. Deissler R.G. Investigation of turbulent flow and heat transfer in smooth tubes, including the effect of variable fluid properties // Trans. ASME. -1951, V.73. -№2. - P. 101-107.

32. Deissler R.G. Weak locally homogeneous turbulence in idealized flow through a cone // NASA TND-3613. 1966.

33. Deissler R.G. Analytical and experimental investigation of adiabatic turbulent flow in smooth tubes. NACA Tech. Note, 2138, 1950

34. Kline S.J., Reynolds W.S., Schraul F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layers // Journal of Fluid Mechanics, 1967. - Vol. 35. -№4. - P. 741-773.

35. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow // -NASA Rep., TR 1174,- 1954.

36. Кошкин В.К. и др. Нестационарный теплообмен. М.: Машиностроение, 1973. - 328 с.

37. Дрейцер Г.А., Краев В.М. Турбулентные течения газа при гидродинамической нестационарности. Красноярск: САА, 2001.- 148 с.

38. Калинин Э.К. и др. Методы расчета сопряженных задач теплообмена. -М.Машиностроение, 1983. 232 с.

39. Kalinin Е.К., Dreitser G.A. Unsteady Convective Heat Transfer in Channels //Advances in Heat Transfer. -1994. Vol.25. - P. 1-150.

40. Петухов Б.С. и др. Теплообмен в ядерных энергетических установках -М.: Атомиздат, 1974. 408 с.

41. Дрейцер Г.А., Кузьминов В.А. Расчет разогрева и охлаждения трубопроводов. М.: Машиностроение, 1977. - 128 с.

42. Лелеев Н.С. Неустановившееся движение теплоносителя в обогреваемых трубах мощных парогенераторов М.: Энергия, 1978. -288 с.

43. Беляев Н.М. и др. Нестационарный теплообмен в трубах // Киев -Донецк: Вища школа, 1980. - 100 с.

44. Охми М., Игучи М. Обзор по нестационарным течениям в трубах // Нихон Никай Гакай Ромбунсю, 1982. - В48. - №430. - С. 981-987.

45. Iguchi М., Ohmi М. Turbulent accelerating and decelerating pipe flows in quasisteady motion // Technol. Repst. Osaka Univ. 1983. - V.33. - N1696. -P97-107.

46. Sparrow E. Siegel R. Unsteady turbulent heat transfer in tubes // Trans. ASME. Ser. C. Journal of Heat Transfer. 1960. - V.82. - № 3. - P. 170-180.

47. Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Байбиков B.C., Неверов A.C. Влияние нестационарного теплового потока на теплоотдачу в трубе при нагревании газа // Тепло- и массоперенос. — 1972. Т. 1.4.1. - С. 363-367.132

48. Марков С.Б. Экспериментальное исследование скоростной структуры и гидравлических сопротивлений в неустановившихся напорных турбулентных потоках // Механика жидкости и газа, 1973. - №2. - С. 65-75.

49. Васильев О.Ф., Квон В.И. Неустановившееся турбулентное течение в трубе // ПМТФ. 1971. №6. - С. 132-140.

50. Букреев В.И., Шахин В.М. Экспериментальное исследование турбулентного неустойчивого течения в круглой трубе // Проблемы аэромеханики. М.: Наука. 1976. - С. 17-25.

51. Букреев В.И., Шахин В.М. Экспериментальное исследование энергии турбулентности при неустановившемся течении в трубе // Динамика сплошной среды. СО АН СССР. 1975. - В.22. - С. 65-72.

52. Зубков В.Г. Об изменениях структуры турбулентных течений под действием ускорения потока // ИФЖ. 1990. - Т.59. - №2. - С. 196-202.

53. Бэнкстон С.А. Теплопередача. 1970. - Т.92. - №4. - С. 1-12.

54. Дрейцер Г. А., Кузьминов В. А., Марковский П. М. Нестационарный конвективный теплообмен в трубах при изменении расхода охлаждаемого газа // Тр. Всесоюзн. заочн. машиностр. института. — 1973. -Гидр. 9(2).-С. 210-219.

55. Калинин Э.К., Дрейцер Г.А. Нестационарный конвективный теплообмен и гидродинамика в каналах // Итоги науки и техники. Общие и теоретические вопросы теплоэнергетики. М.: Гелиоэнергетика (ВИНИТИ). - 1969. - 136 с.

56. Dreitser G.A., Neverov A.S., Kraev B.M. Sublimation cooling in board systems of spacecraft // Tesises of reports of The 3-rd Russian-China seminar

57. SCSAE'94, Divnogorsk. 1994. - P. 39-40.133

58. Dreitser G.A., Neverov A.S., Bukharkin V.B., Kraev V.M. Experimental study of the structure of turbulent unsteady gas flow in tubes // Book of the ICHMT International Symposium on Turbulence . Heat and Mass Transfer, Begell House, Inc, 1995. P. 65-71.

59. V.B. Bukharkin, G.A. Dreitser, V.M. Kraev, A.S. Neverov. Experimental investigations of influence of unsteady and non-isothermal conditions on a structure of turbulent gas flows // Papers of International Symposium on Transient

60. Convective Heat Transfer, 19-23 of August 1996, Cesme, Turkey. 1996. -P. 125-128.

61. Неверов A.C., Краев B.M., Бухаркин В.Б. Исследование нестационарного турбулентного газового потока /У Сб. трудов. Материалы, технологии, конструкции. — Красноярск: САА, 1996. С. 1415.

62. Краев B.M. Экспериментальные исследования турбулентной структуры течения в гидродинамически нестационарных условиях // Вестник МАИ -2003, -Т.10. -№1. С. 22-29.

63. Дрейцер Г.А., Неверов А.С., Краев В.М., Бухаркин В.Б. Влияние гидродинамической нестационарности на структуру турбулентного потока //Тезисы доклада научной конференции "Проблемы техники и технологий XXI века", Краснояоск , КГТУ. 1994. -С. 14-15.

64. Краев В.М., Тихонов А.И. Модель влияния гидродинамической нестационарности на турбулентное течение. Известия Академии наук. Энергетика.-2011. №1. С.112-118

65. Краев В.М., Мякочин А.С., Янышев Д.С. Эмпирическая модель расчёта вихревой вязкости при течении газов в каналах в условиях монотонного изменения расхода. Тепловые процессы в технике 2012. №2. С.50-55.

66. Краев В.М. О физических принципах влияния гидродинамической нестационарности на турбулентное течение. Сборник тезисов XV международной научной конференции «Решетневские чтения», Красноярск, 10-12 ноября 2011. 4.1. года.С. 128-129.

67. Vardy, А.Е., Brown, J.M.B. Transient turbulent friction in smooth pipe flows. J. Sound Vibration 259(5), 1011-1036. 2003

68. Bergant, A. et. al. Developments in unsteady pipe flowfriction modelling. Journal of Hydraulic Research Vol. 39, No.3 (2001), pp. 249-25.

69. Pothof, I. A turbulent approach to unsteady friction. Journal of Hydraulic Research Vol. 46, No. 5 (2008), pp. 679-690

70. Zielke,W. Frequency dependent friction in transient pipe flow. ASME J. Basic Engng. 90(1), 109-115. 1968.

71. Валуева Е.П., Чэнь Лэй . Численное моделирование процессов теплообмена и гидродинамики при нестационарном турбулентном течении в трубе жидкости с переменными свойствами // Вестник МЭИ. 2000. № 6. С. 3

72. Деревич И.В. О моделировании нестационарной гидродинамики при турбулентном течении в трубах // ТВТ, 2005, т. 43, №2, сс. 231-248.

73. D. G. Holmes and S. D. Connell. Solution of the 2D Navier-Stokes Equations on Unstructured Adaptive Grids. Presented at the AIAA 9th Computational Fluid Dynamics Conference, June, 1989.

74. R. D. Rauch, J. Т. Batira, and N. T. Y. Yang. Spatial Adaption Procedures on Unstructured Meshes for Accurate Unsteady Aerodynamic Flow Computations. Technical Report AIAA-91-1106, AIAA, 1991.

75. V. Venkatakrishnan. On The Accuracy of Limiters and Convergence to Steady State Solutions. Technical Report AIAA-93-0880, American Institute of Aeronautics and Astronautics, January 1993.

76. Z. .J. Wang. A fast nested multi-grid viscous flow solver for adaptive Cartesian:Quad grids. International journal for numerical methods in fluids Int. J. Numer. Meth. Fluids 2000; 33: 657-680

77. Tony W. H. Sheu, R. K. Lin. Newton linearization of the incompressible Navier-Stokes equations. International journal for numerical methods in fluids Int. J. Numer. Meth. Fluids 2004; 44:297-312

78. Патанкар С., численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984, 154 с.

79. С. М. Rhie and W. L. Chow. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation. AIAA Journal, 21(11):1525—1532, November 1983.

80. Briggs, W. L. Henson, V. E., McCormick, S.F. A multigrid tutorial. SIAM, 2000, 193 pp.

81. McCormick, S.F. Multigrid methods. SIAM, 1987. 282 pp.

82. Ghia, Ghia, Shin. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. Journal of Computational Physics, Vol. 48, pp. 387-411. 1982

83. Kim, J., Parviz, M., and Robert, M., "Turbulent Statistics in Fully Developed Channel Flow at Low Reynolds Number," Journal of Fluid Mechanics, Vol. 177, 1987.

84. Cokljat D., Kim S.E., Iaccarino G, Durbin P.A. A comparative assessment of the v2f model for recirculating flows. 41st Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 6-9 January 2003, Reno, Nevada.

85. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. // Advances Computational Maths. 1996. Vol. 5, p. 329359.

86. Дубинов A.E., Дубинов И.Д., Сайков C.K. W-функция Ламберта и её применение в математических задачах физики: Учеб. пособие для вузов. -Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006, 160 с.

87. Интенсификация тепло- и массообмена на макро-, микро- и наномасштабах/ Дзюбенко Б.В. и др.; Кузма-Кичта Ю.А. (ред.). -М., 2008

88. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.:Мир, 1985

89. Мышкис А.Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2007 688 с.

90. Дрейцер Г.А., Евдокимов В.Д., Калинин Э.К. Нестационарный конвективный теплообмен при нагревани жидкости в трубе переменным тепловым потоком // Инженерно-физический журнал. 1976. - №31(1). -С. 5-12.

91. IFA-100. System instruction manual // TSI inc., St. Paul, MN, USA. 1980. -110 p.

92. Метрологическое обеспечение. Основные положения. ГОСТ 1.25-76 ГСС — М.: Изд-во стандартов, 1976. — 54 с.

93. Гусев К.И. Метрологическое обеспечение теплотехнических измерений // М.: Изд. МАИ. - 1983. - 74 с.

94. Гусев К.И., Медведева Р.В., Солохин Э.Л. Вопросы метрологического обеспечения производства // М.: Изд. МАИ, 1984. - 88 с.

95. Colebrook C.F. Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws. Journal of the Institution of Civil Engineers (London), 1937

96. Янышев Д.С. Применение функции Ламберта в теории турбулентноготрения. Труды МАИ, № 37 2010 г.137

97. Краев В.М., Янышев Д. С. О расчете гидродинамики и теплообмена в случае нестационарного турбулентного течения в каналах ЭУ ЛА Вестник МАИ, № 5, 2009 г., т. 16

98. Краев В.М., Янышев Д.С. Проблемы расчёта переходных процессов в при турбулентном течении в каналах энергетических установок ЛА. Труды МАИ, № 37 2010 г.

99. Янышев Д.С. К анализу нестационарного турбулентного течения в каналах. Труды XVII Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. Т.1. М: Издательский дом МЭИ, 2009. С.449-452.

100. Янышев Д. С. К вопросу о расчете гидродинамически нестационарных течений и оптимизации процессов с ними связанных. Наука и образование, электронный журнал №10, октябрь 2009.

101. Launder, В. Е.; Spalding, D. В. The numerical computation of turbulent flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 3, Issue 2, PP.: 269-289. 1974.

102. Malin, M. R. On the calculation of heat transfer rates in fully turbulent wall flows. Applied Mathematical Modelling. Vol. 11, Issue 4, Pages 281-284, 1987

103. Kwon, O., Amest, F.E. Advanced k-epsilon Modeling of Heat Transfer. NASA Contractor Report 4679. 1995.

104. Jayatilleke, C. L. V. 'The influence of Prandtl number and surface roughness on the resistance of the laminar sublayer to momentum and heat transfer', in 'Progress in heat and mass transfer', Vol. 1, Pergamon Press, 1969