Моделирование массообменных процессов в неоднородных полях напряжений в эластомерных материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Черепанов Андрей Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛЯХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛАСТОМЕРНЫХ

МАТЕРИАЛАХ

01 02.04 — механика деформируемого твердого тела

> Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

к

Пермь — 2005

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация'

Доктор физико-математических наук Свистков Александр Львович

Доктор физико-математических наук, профессор Шардаков Игорь Николаевич

Кандидат физико-математических наук, доцент Келлер Илья Эрнстович

ООО "НТЦ "НИИ Шинной промышленности", г. Москва

Защита диссертации состоится 23 ноября 2005 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН но адресу 614013 г. Пермь, ул. Ак Королева д. 1

С диссертацией можно ознакомиться в Институте механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан^ октября 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

ик'Березин

^^- 1117128

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Наполненные эластомерные материалы- композиты, обладающие способностью находится в высокоэлластичном состоянии на всем диапазоне температур их эксплуатации. Их изготовление часто осуществляется под давлением и в присутствии растворителя, а так же газа, который растворяется в эластомере в процессе изготовления. Под действием неоднородных полей напряжений или температурных неоднородностей, жидкая и газовая компонента может перераспределяться по объему матрицы, Это будет сказываться на свойствах конечного изделия. Особенно ярко процессы массообмена будут идти в окрестности концентраторов напряжения и границ раздела фаз. Известно такое явление, как взрывная газовая декомпрессия. Суть ее состоит в том, что после изготовления материала под давлением и насыщением его газом, давление резко сбрасывается. При этом теряется совместимость эластомера с растворенным газом и начинается его выход как во внешнюю среду так и в имеющиеся микродефекты. В результате внутри них растет давление и размер дефектов увеличивается. Процесс может происходить очень интенсивно и заканчиваться разрывом эластомера на границе микродефектов. Эти эффекты используются при изготовлении газонаполненных полимеров (пенопласты, поропласты и губчатые резины). Так же они интересны и с противоположной точки зрения. Во многих технологических процессах появление пор в эластомере является крайне нежелательным явлением.

Конечные изделия из эластомеров очень редко используются в чистом виде Для придания им нужных механических свойств используют жесткий наполнитель. При эксплуатации таких изделий матрица может отходить от включения, в образовавшуюся вакуоль начнет выделяться растворенная в эластомере компонента. При циклическом нагружении кривые нагрузки и разгрузки могут не совпадать, в следствии разных характерных времен диффузии и внешней нагрузки. Это может быть одним из механизмов разогрева материала в окрестности микродефекта.

По нашему мнению в формировании свойств наполненных эластомер-ных материалов массообменные процессы играют очень серьезную роль. Несмотря на это эффекты, связанные с диффузионными процессами были недостаточно исследованы Цель этой работы - по возможности восполнить этот пробел.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА I

"■ Г I .ЛЯ I*

Цель работы

Выполнение диссертационной работы преследовало следующие цели:

1) анализ явлений происходящих в окрестности поры в условиях взрывной газовой декомпрессии в полной термодинамической постановке с решением следующих задач:

• выяснить насколько необходимо учитывать конечность длин полимерных цепей при моделировании массообменных процессов в окрестности микродефектов;

• исследовать массообменные процессы и их влияние на изменение напряженно- деформированного состояния эластомера в окрестности поры;

• исследовать влияние таких факторов как деформации, напряжения в матрице и условия изготовления эластомера на интенсивность протекания диффузионных процессов в матрице.

2) решение задачи о циклическом нагружении наполненного эластомер-ного материала в полной термодинамической постановке и анализ процессов происходящих в окрестности отслоения матрицы от включения:

• исследовать влияние массообменных процессов на величину конечного раскрытия вакуоли при многоцикловом нагружении;

• установить, как влияет скорость нагружения на деформации и ве-лечину гистерезисных потерь в окрестности микродефекта;

• исследовать диссипационные потери массообменных процессов с точки зрения разогрева материала в процессе нагружения;

3) решение диффузионной задачи с учетом проницаемости границ материала.

Научная новизна

Решена задача о диффузии газа в эластомерном материале в полной термодинамической постановке. Использован потенциал, учитывающий конечную деформируемость среды. Проведен сравнительный анализ потенциалов. Показано, что решение задач с потенциалами свободной энергии не учитывающими конечной длинны полимерных цепей ведет к возникновению парадокса бесконечного роста поры. Исследована роль массообменных процессов в формировании напряженно- деформированного состояния на микроструктурном уровне, влияния деформаций, напряжений и условий изготовления смеси эластомер — газ на протекание массообменных процессов в окрестности микродефектов. Проведен анализ

поведение системы в условиях циклического нагружения. Показано, что массообменные процессы могут вносить очень существенный вклад в величину конечного раскрытия вакуоли. Решение задачи массообмена с уточненными граничными условиями Исследовано влияние проницаемости границ материала на протекание диффузионных процессов. Подобные работы в литературе нам не встречались.

Достоверность результатов исследования

Достоверность результатов обеспечивается:

1) для расчетов использована теория смеси взаимопроникающих континуумов, для которой доказано автоматическое удовлетворение требований объективного описания (выполняются законы термодинамики, уравнения инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея и т. д.). Определяющие уравнения смеси использовались неоднократно в литературе и подтвердили свою достоверность при решении многих практических задач.

2) проведенные расчеты проверялись с использованием различных численных методов;

3) полученные результаты сравнивались с имеющимися экспериментальными данными, а так же известными опубликованными результатами.

Апробация работы

Отдельные части диссертационной работы обсуждались на научных семинарах в Институте механики сплошных сред УрО РАН, двенадцатой и тринадцатой Зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь), тридцатой Летней школе по актуальным проблемам механики (С.-Петербург), двенадцатом симпозиуме "Проблемы шин и резинокорд-ных композитов"(Москва), на конференции "Математическое моделирование физико-механических процессов "(Пермь) на Втором Всероссийском семинаре им. С. Д Волкова (г. Пермь), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Пермь).

Структура и объем работы

Работа содержит 97 страниц текста. В диссертации приводится 38 иллюстрации 68 библиографических ссылок.

Содержание работы

Данная работа построена по следующей схеме. В первой главе кратко излагаются предложенные в литературе теории массообменных процессов. Во второй главе решена задача об увеличении размеров поры в эластомерном материале. В третьей главе рассмотрена задача изменения размеров отслоения матрицы от жесткого включения при циклическом нагружении в насыщенном газом эластомерном материале В четвертой главе вводятся уточненные граничные условия для задач массообмена. Ниже приводится последовательность изложения материала в соответствующих разделах.

ГЛАВА I. Сделан литературный обзор по методам моделирования массообменных процессов. Для построения математической модели использована теория взаимопроникающих континуумов. В рамках этой теории полагается, что среда представляет собой смесь континуумов. В каждой точке среды одновременно может находиться любой из них. Для каждого выполняется уравнение неразрывности, сохранения массы, энергии, импульса. Каждый из компонентов смеси двигается по своим законам, при этом они активно обмениваются энергией и взаимодействуют друг с другом. Этот подход хорошо подходит для описания гомогенных смесей газов, растворов и расплавов. В рамках этой теории рассматриваются диффузионные и фильтрационные явления.

Математические модели строятся путем анализ первого и второго начала термодинамики, совместно с требованием инвариантности относительно выбора систеЖы координат. Первое начало термодинамики записывается в виде

1

+ V • ( ]Г \/ТзР*е,У, + 2 X] ^Рг 'у«')Уг) =

г

г=0

г=1

Здесь символами обозначены: р, — объемная плотность г-го континуума; е* — массовая плотность внутренней энергии г-го компонента среды; v, — скорость движения г-го компонента смеси. Tj — тензор истинных напряжений, действующих на г-ый компонент (тензор напряжений Коши г-ro компонента); F — деформационный градиент; /3 — третий инвариант тензора F • FT; h — вектор теплового потока.

Использована объемная плотность свободной энергии смеси эластомер — растворенный газ в следующем виде:

10 = we+CRe (iny> +

(1 - tp)vv +X(1 - Ч>) + c*i) + const.

Здесь символом we обозначен упругий потенциал, <р— объемная доля растворенного компонента; ipo~ объемная доля растворенного компонента в начальный момент времени; 9— температура; \ ~ параметр взаимодействия; vv— константы среды; сц — универсальная газовая постоянная. В данной работе использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей, который задается выражением:

«>е = (1 - <Р0) £ (bl ( ■- f + <? ~ С. - 1п(1 - 6)) + ¿Нй))2). (1)

A max V 1 - <р /

где bi, 62— упругие константы материала, А,— главные кратности удлинений; A max— максимально возможное, для данного материала, удлинение; <р@ - объемная доля растворителя в момент формирования полимерной сетки. Выражения, входящие в потенциалы и содержащие объемную долю растворенного газа учитывают изменение размеров материала при набухании. Для чистого газа объемная плотность свободной энергии в виде записывается в виде:

Wg=- CR6ni + ЩСд, Сд = Сд(в). (2)

где сд - функция температуры, Ay — V/Vq —относительное изменение объема газа (V, Vq — объемы газа в текущий и начальный моменты времени), П] — мольная плотность идеального газа в начальной конфигурации (количество молей газа в единице объема деленное на параметр Ау).

В соответствии с выбранным потенциалом свободной энергии, химический потенциал растворенной компоненты смеси будет определяться выражением

Л ,=1 ох*

Здесь р~ неопределенный множитель Лагранжа.

ГЛАВА II. Мы работаем с двухкомпонентной смесью, смесь упругого компонента (полимерная матрица) и растворенный в ней газ. В результате все процессы происходящие в рассматриваемой среде описываются: уравнением равновесия

Р-Г--УТ = 0, (4)

уравнением движения растворенной компоненты смеси, которая в диффузионном приближении имеет вид

■^Е-Г-УМ = -»7(У1-УО), (5)

то 1

и уравнениями неразрывности

| (\Лз/>1) + V • = о. (б)

Здесь у}— скорость газа относительно полимерной сетки; От1— мольная масса растворенного газа; т] — коэффициент сопротивления относительному движению компонентов среды Рассматриваемая смесь является механически несжимаемой средой. Изменения ее объема возможно только за счет изменения концентрации растворенного компонента. Формулируется это с помощью следующего уравнения

= = (7)

Исследованы процессы, происходящие в окрестности поры в эласто-мерном материале в условиях быстрого сброса внешнего давления. Решена задача для толстостенной сферической оболочки. Ее внешний радиус достаточно большой (в двадцать раз больше внутреннего). Тем самым воспроизведена ситуация, сходная с моделированием явлений около поры в бесконечном материале. Температура смеси во всех точках постоянна

(изотермический процесс). В начальный момент времени концентрация газа и его давление внутри поры и снаружи одинаково. Материал не деформирован (все Л, = 1) Диффундирующая компонента равномерна распределена по объему смеси Это условие соответствует ситуации, в которой материал создавался в условиях высокого давления. При этом полагалось, что газ из внешней среды проникал в материал при его изготовлении и растворялся в нем. После завершения технологического процесса быстро снимаем внешнее давление. Соответствующий момент времени считаем начальным.

Для численной реализации мы перешли к безразмерному виду записи всех уравнений с помощью следующих преобразований:

СхЬ _ г ~ V и .и

т = 55 > г = ~Б~> Р=—< Р= -. и ~ ~ЕГ

г]Щ «о С1 сщ Яо

т, г, р, ¡1, й— приведенное время, радиус, параметр Лагранжа. химический потенциал и перемещение, сх— упругая константа материала; По — начальный радиус поры.

На поверхности поры приведенное радиальное напряжение 5у равно приведенному давлению внутри поры Р взятому с обратным знаком Химический потенциал газа в поре равен химическому потенциалу газа в смеси на границе с порой. Поток газа через границу поры задается в виде

дщ _ Зу>2(1 -<р0) /др д<р _ др\

дт А? (1 — у») \dtpdr дг) и

Исследованы процессы, происходящие в окрестности поры в условиях быстрого сброса внешнего давления Для представления результатов счета вместо реального времени < использовалось безразмерное время г

а

Т~2пЩ'

где б — начальный модуль сдвига.

Константы материала зависят от выбора компонент смеси и условий изготовления эластомера. В расчете константы выбирались из эксперимента по набуханию ПДМС в углекислом газе. На рис. 1 показано, как сброс давления приводит к мгновенному увеличению размеров поры соответствующему изменению напряженно-деформированного состояния в окрестности дефекта. На этом процесс не останавливается. После снятия внешнего давления теряется совместимость компонент смеси. Газ начи нает выходить из полимера и выделяется во внешнюю среду и в пору.

Это приводит к увеличению давления в поре и дальнейшему ее росту. Процесс будет продолжаться до выравнивания химических потенциалов газа в соприкасающихся средах, мъ №

Рис. 1 Изменение радиуса поры во времени при сбросе внешнего давления с 0,3 МПа. Начальный модуль сдвига равен 0,12 МПа, что соответствует Атоа1=10

Рис. 2. Зависимость относительного изменения размеров поры от величины начального внешнего давления. Расчеты выполнены для материалов с начальными модулями сдвига G=0,33 (1), 0,20 (2) и 0,12 МПа (3).

Были проведены расчеты для ПДМС с начальными значениями модуля сдвига 0,33, 0,20 и 0,12 МПа, что связано с разной плотностью сетки. Указанные значения соответствуют максимальным кратностям удлинения материала \тах— 5, 7 и 10 соответственно. Расчеты показали, что существует такое внешнее давление, при сбросе с которого увеличение размеров поры будет практически соответствовать максимально возможному (рис 2). Дальнейшее повышение внешнего давления не влияет на конечный размер поры. Однако, оно существенно влияет на время протекания процессов, а так же на конечное давление в поре. Необходимо отметить, что первоначальное внешнее давление влияет не только на НДС в окрестности поры в первый момент времени. Мы считаем, что материал создавался под этим давлением и насыщался газом, чем больше было давление, тем больше газа смогло раствориться в матрице И как следствие повышается интенсивность массообменных процессов.

ГЛАВА III. Реальные эластомерные материалы в чистом виде практически не используются в промышленности. Для придания им нужных

и

механических свойств их смешивают с жестким наполнителем. В процессе эксплуатации матрица может отходить от включения, в результате чего в образовавшуюся вакуоль начнет выделятьгя растворенный в эластомере газ. В случае циклического нагружения кривые нагрузки и разгрузки могут сильно отличаться, это приведет к тому, что в условиях циклического нагружения в окрестности дефекта начнет выделяться тепло.

Были проведены исследования процессов, происходящих в окрестности включения в эластомерном материале под действием циклической нагрузки приложенной на бесконечности Решена задача с единственным включением в бесконечной упругой среде, содержащей растворенную газовую компоненту.

В начальный момент включение жестко сцеплено (прилипло) с матрицей. Материал не деформирован (все его кратности удлинения А, равны единице). Растворенный газ равномерно распределен по объему эластомера. На бесконечности прикладывается нагрузка по гармоническому закону. Исследовалось поведение материала после отслоения матрицы от включения. Считалось, что при критическом нагружении происходит отслоения матрицы от включения сразу по всем точкам контакта

Образовавшаяся вакуоль мгновенно вырастает до конечных размеров в следствии напряженно-деформированного состояния в окрестности включения В вакуоли в начальный момент газа нет, т.е. там вакуум. Начинаются массообменные процессы, параллельно с приложением внешней нагрузки. В результате, поведение материала в окрестности включения зависит от величины внешней нагрузки и от диффузии газа в вакуоль, которая, в свою очередь, зависит от скорости приложения внешней нагрузки.

На рис. 3 приведена зависимость изменения размеров вакуоли от величины внешней нагрузки. Расчет приведен для трех разных скоростей нагружения. При каждом эксперименте сделано три цикла нагрузки. В место реального времени используется безразмерное время т. Хорошо видно, что когда безразмерное

Рис. 3. Зависимость относительного изменения размеров вакуоли от величины внешней нагрузки. Период внешней нагрузки т=3 (1), 300 (2) и 3000

(3)

время одного цикла г равно трем, мы не выходим за три цикла на установившейся режим. На каждом цикле вакуоль продолжает расти, при этом ширина гистерезисной петли не большая.

Для следующего расчета было значительно увеличено время одного цикла, г равно триста. Хорошо видно, что уже на втором цикле мы попадаем на установившейся режим, при этом гистерезисная петля наибольшая. Площадь гистерезисной петли связана с энергией перешедшей в тепло. Иными словами материал выделяет достаточно большое количество тепла, которое на каждом цикле успевает отводится во внешнюю среду.

Третий расчет проведен для времени одного цикла т три тысячи. Мы почти сразу попадаем на установившейся режим, при этом диссипатив-ные потери уменьшились по сравнению с предыдущим расчетом. Хорошо виден участок, при малых размерах вакуоли, когда кривая разгрузки совпадает с кривой нагрузки. Это происходит потому, что диффузионные процессы успевают за скоростью нагрузки в результате на каждом временном шаге мы имеем близкий к равновесному процесс. Когда размеры отслоения увеличиваются диффузия уже не может успеть за увеличением размеров вакуоли, в результате появляется гистерезис, материал нагревается.

ГЛАВА IV. Во всех массообменных задачах очень существенную роль играют граничные условия. Передо мной была поставлена задача, более корректно сформулировать условия на границе и посмотреть, как это повлияет на протекание массообменных процессов Проделано это было на примере задачи получения полимерных пленок.

Тонкие полимерные пленки можно получать путем испарения растворителя из раствора полимера Эти эксперименты проводились в Естественно-научном институте при Пермском государственном университете Романовой В.А. В ванночку наливался раствор полиуретан-этилацетат нужной толщины и измерялась скорость испарения растворителя.

При использовании вместо реального времени параметра т = ¿/¿о реальное время, толщина полимерной пленки), было замечено, что на начальном этапе испорения, расчеты для разных толщин пленок совпали, при этом они апроксимируется прямой линией. Однако потом появились очень сильные отклонения от прямолинейности. Произошло это потому что в данном опыте одновременно реализуются два механизма массооб-мена: испарение растворителя во внешнюю среду с поверхности раствора

и диффузия растворителя в самом растворе. На начальном этапе, когда растворителя много, диффузионные процессы успевают подводить растворитель к поверхности раствора в необходимом количестве Поэтому на данном этапе скорость изменения объема растворителя зависит только от скорости испарения с поверхности При уменьшении концентрации растворителя решающая роль в формировании скорости высыхания пленки переходит к диффузионным процессам.

В ИМСС УрО РАН Свистковым А.Л. было показано, что в строгой термодинамической постановке на границ раздела фаз должно выполняться следующее условие для химических потенциалов

5 (VI - у0) • (VI - у„) - \ (VI - у0) • (VI - у0) + ~ ^ = II ГП1

= ЩП ■ - У0) , Г}1 > О

Здесь ц 1,У1— химический потенциал и скорость растворенной компоненты в смеси на границе раздела фаз, ДьУх - химический потенциал и скорость растворенной компоненты на этой же границе со стороны другой фазы.

В диффузионном приближении можно пренебречь квадратом скорости растворенного компонента относительно деформируемой среды. Условие согласование химических потенциалов на границе раздела фаз будет выглядеть следующим образом

= (9)

т 1

Была решена задача об испарения низкомолекулярной компоненты из раствора эластомера во внешнюю среду. Полагалось, что газ во внешней среде подчиняется законам поведения идеального газа. Его химический потенциал записывается в следующем виде

Й = Й + (Ю)

здесь Д] — функция температуры, рх и давление соответственно в текущем и начальном состоянии

Считалось, что концентрация растворителя во внешней среде практически равна нулю, те. смесь находится в большом, хорошо проветриваемом помещении, молекулы, диффундировавшие из смеси сразу уходят

от границы раздела фаз. После не сложных преобразований получаем условие на границе:

М = <у(1-у>р) <Р1 пп

дх1 (1-^)2(1-2 ХпУ ^

Функция с^ имеет смысл проницаемости границы. Покажем, как влияют уточненные граничные условия на протекание массообменных процессов в смеси, на примере испарения жидкости из раствора полимера.

Были исследованы массообменные процессы происходящие в растворе эластомера. В начальный момент растворитель равномерно распределен по объему смеси Его начальная концентрация составляет 70% Полимерные цепи в смеси не зашиты, в процессе испарения к смеси не прикладывается механическое воздействие, следовательно смесь не деформирована, напряжения во всей смеси одинаковые и равны внешнему давлению.

Математическая постановка для данной задачи более простая, чем во второй и третье главе Связано это с однородным и неизменным напряженно-деформированным состоянием.

На границе контакта с внешней средой граничные условия формулируются выражением (11). На границе контакта с дном ванночки должно выполняться условие отсутствие потока массы через эту границу.

Имеем смесь незашитого полимера с растворителем, налитую в ванночку и оставленную на некоторое время для испарения растворителя и получения полимерной пленки. Исследовалось, как проницаемость границы влияет на протекание массообменных процессов. Параметры среды выбирались из экспериментов по испарению растворителя из полимерной смеси.

На рис. 4 показано, как меняется концентрация смеси во времени для различных значений проницаемости границы Если проницаемость очень большая су = 900 (кривая 1 рис. 4), граница абсолютно проницаемая, т.е. фактически на границе выполняется условие равенства химических потенциалов. Процесс на начальном этапе идет быстро, содержание растворителя снижается с 70% до 10%. Это не соответствует реальным процессам наблюдаемым в природе Необходимо время, причем для каждого материала это время будет меняться. Изменяя степень проницаемости границы мы можем тормозить скорость первого этапа (кривая 2,3 рис. 4), можно сделать границу совсем не проницаемой, при этом диффузионные процессы практически остановятся (кривая 4 рис. 4).

Рис. 4. Изменение средней (осреднение по объему) объемной доли полимера в растворе. Проницаемость границы смеси cv=900 (1), 1 (2), 0,001 (3) и 0,000005 (4). В начальный момент объемная доля полимера составляет 30%.

Рис. 5. Сравнение расчетных кривых с экспериментальными данными Проницаемость границы раствора сv = 0 008. Толщина пленки 0,23 мм (1), 0,44 мм (2) и 0,57 мм (3).

Для проверки нашей теории сравним расчеты с экспериментальными данными полученными в Естественно-научном институте при Пермском государственном университете. На рис. 5 показаны расчетные кривые и экспериментальные данные. Отличие между ними составляет менее 5%. Обеспечить хорошее совпадение с экспериментальными данными удалось благодаря использованию понятия проницаемость границы.

Главными результатами работы являются следующие выводы:

1) Сброс внешнего давления может приводить к значительному увеличению размеров поры в материале. Это происходит в два этапа- мгновенное увеличение радиуса поры в результате изменения напряженно-деформированного состояния и дальнейший рост радиуса в результате диффузии растворенного газа из полимера. Ключевую роль на втором этапе играет явление потери совместимости полимера с растворенным газом.

2) При циклическом нагружении эластомеров содержащих поры или отслоенные включения происходит выделение тепла за счет процессов массообмена растворенных в эластомере газов. Существуют режимы при которых разогрев материала максимален.

16

20 4 4 1

3) Показано, что для моделирования процесса испарения из смеси деформируемого и жидкого континуумов необходимо учитывать как яв.

на границе среды, так и массообменные процессы внутри объем! -

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах

1. Свистков А.Л. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомерном маНепале при быстром снятии внешнего давления // Физическая мезомеханика. 1999. — Т.2 — №3 — С. 97-102.

2. Черепанов A.B. Исследование процессов в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. —Пермь. Вестник ПГТУ Прикладная математика и механика. -2003. -С. 56-62.

3. Свистков А.Л. Черепанов A.B. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Высокомолекулярные соединения. — Сер А. —

2003. -Т. 45, Л> 9. -С- 1559-1565.

4. Черепанов A.B. Деформирование в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. // Высокомолекулярные соединения. — Сер А. —

2004. -Т. 46, № 8. -С. 1383-1387.

Труды конференций, симпозиумов

1. Черепанов A.B. Свистков А.Л. Использование теории смеси для моделирование массообменных процессов в пористом эластомерном материале. // Тез докА Зимняя школа по механике сплошных сред(двенадцатая).— Пермь. ИМСС УрО РАН. - 1999. - С. 275.

2. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомерном материале при быстром снятии внешнего давления // Тез. докл. Математическое моделирование физико-механических процессов — Пермь ПГТУ. — 1999. — С. 27.

3. Черепанов А В Моделирование вспенивание эластомерного материала при быстром сбросе внешнего давления. // Тез. докл. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Второй всероссийский семинар им. С.Д. Волкова. — Пермь. - 2000. - С. 62.

4. Черепанов A.B. Моделирование массообменных процессов около пор в эластомере в условиях взрывной газовой декомпрессии. // Тез. докл. Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - Пермь. — 2001. — С. 594.

5. Черепанов А.В Свистков А Л. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Труды двенадцатого симпозиума Проблемы шин и резинокордных композитов. — Москва. ГУП НИИШП — 2001 — Т 2 —

6. Cherepanov А V. Mass transfer processes near pores of a gas saturated elastomeric material. // Proceedings XXX Summer school "Advanced problems in mechanics". — St. Petersburg. - 2002. - P. 35.

7. Черепанов A.B. Влияние циклического нагружения на массообменные процессы в окрестности жесткого включения. // Тез. докл. Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). -Пермь. ИМСС УрО РАН. - 2003. - С. 275.

Лицензия JIP №020370

Сдано в печать 19.10.05. Формат 60x84/16. Объём 1,0 п.л. _Тираж 100. Заказ 1430._

С. 197

Печатная мастерская ротапринта ПГТУ.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕРМОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ МАССООБМЕНА В ЭЛА-СТОМЕРНЫХ МАТЕРИАЛАХ.

• 1.1. ТЕОРИИ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1.1. Линейная термодинамика

1.1.2. Теория взаимопроникающих континуумов.

1.2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ В ТЕОРИИ СМЕСИ ГРИНА И НАДХИ.

1.2.1. Используемые обозначения.

1.2.2. Первый закон термодинамики.

1.2.3. Инвариантность уравнений к выбору инерциальной системы отсчета.

1.2.4. Первое следствие закона сохранение энергии

1.2.5. Второе следствие закона сохранение энергии

1.2.6. Третье следствие закона сохранение энергии.

1.2.7. Второй закон термодинамики.

0/ 1.2.8. Термодинамическое неравенство.

1.3. УРАВНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕСИ ЭЛАСТОМЕР - РАСТВОРЕННЫЙ ГАЗ

1.3.1. Теория флори-Хаггинса

1.3.2. Формулировка определяющих уравнений.

2. ГАЗОВАЯ ДЕКОМПРЕССИЯ В ЭЛАСТОМЕРАХ В УСЛОВИЯХ РЕЗКОГО СБРОСА ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ. ф 2.1. УРАВНЕНИЯ ОПИСЫВАЮЩИЕ МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ ЭЛАСТОМЕР - ГАЗ «.

2.2. ФОРМУЛИРОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КОРДИНАТ . : *.

2.2.1. Уравнения равновесия и диффузии.

2.2.2. Граничные условия.

2.3. ВЫБОР ПОТЕНЦИАЛА СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СМЕСИ ЭЛАСТОМЕР

РАСТВОРЕННЫЙ ГАЗ. 2.4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ О ДИФФУЗИИ ГАЗА

В ЭЛАСТОМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ.

2.4.1. Решение нелинейной задачи диффузии.

2.5. ВЛИЯНИЕ ЗАШИТОСТИ И ВЕЛИЧИНЫ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ НА ПРОЦЕССЫ ВСПЕНИВАНИЯ МАТЕРИАЛА

2.6. ВЫВОДЫ.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В ОКРЕСТ НОСТИ ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ.

3.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОБЪЕМА ВАКУОЛИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

3.2. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

3.3. ВЫВОДЫ. 4. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ МАССООБМЕНА С УЧЕТОМ

ПРОНИЦАЕМОСТИ ГРАНИЦЫ.

4.1. ФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЙ НА ГРАНИЦЕ МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ЕЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИФФУНДИРУЮЩИМИ КОМПОНЕНТАМИ.

4.2. ОСОБЕННОСТИ ИСПАРЕНИЯ РАСТВОРИТЕЛЯ ИЗ РАСф ТВОРА ПОЛИМЕРА

4.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ИСПАРЕНИИ РАСТВОРИТЕЛЯ ЭЛАСТОМЕРА

4.4. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

4.5. ВЫВОДЫ.

Актуальность работы

Наполненные эластомерные материалы- композиты, обладающие способностью находится в высокоэлластичном состоянии на всем диапазоне температур их эксплуатации, являются средами со сложным механическим поведением. Описание поведение композиционных и эластомерных материалов в частности давно интересовало исследователей [1-3]. Их изготовление часто осуществляется под давлением и в присутствии растворителя, а так же газа, который растворяется в эластомере в процессе изготовления. Под действием неоднородных полей напряжений, или температурных неоднородностей жидкая и газовая компонента может перераспределяться по объему матрицы. Это будет сказываться на механических свойствах конечного изделия. Особенно ярко процессы массообмена будут идти в окрестности концентраторов напряжения и границ раздела фаз (трещины, поры, вакуоли). Известно такое явление, как взрывная газовая декомпрессия. Суть ее состоит в том, что после изготовления материала под давлением и насыщением его, давление резко сбрасывается. При этом теряется совместимость эластомера с растворенным газом и начинается его выход как во внешнюю среду так и в имеющиеся микродефекты. В результате внутри них растет давление и размер дефектов увеличивается. Процесс может происходить очень интенсивно и заканчиваться разрывом эластомера на границе пор и появлением микроразрывов. Эти эффекты используются при изготовлении газонаполненных полимеров (пенопласты, поропласты и губчатые резины). Так же они интересны и с противоположной точки зрения. Во многих технологических процессах (при изготовлении резинокордных композитов и т. д.) появление пор в эластомере является крайне нежелательным явлением.

Конечные изделия из эластомеров очень редко используются в чистом виде. Для придания им нужных механических свойств используют жесткий наполнитель. При эксплуатации таких изделий матрица может отходить от включения, в образовавшуюся вакуоль начнет выделяться растворенная в эластомере компонента. При циклическом нагружении кривые нагрузки и разгрузки могут не совпадать, в следствии разных характерных времен диффузии и внешней нагрузки. Это может быть одним из механизмов разогрева материала в окрестности микродефекта.

По нашему мнению в формировании свойств наполненных эластомер-ных материалов массообменные процессы играют очень серьезную роль. Несмотря на это эффекты, связанные с диффузионными процессами были недостаточно исследованы. Цель этой работы - по возможности восполнить этот пробел.

Цель работы

Выполнение диссертационной работы преследовало следующие цели: 1) анализ явлений происходящих в окрестности поры, в условиях взрывной газовой декомпрессии в полной термодинамической постановке с реше нием следующих задач: А

• выяснить насколько необходимо учитывать конечность длин полимерных цепей при моделировании массообменных процессов в окрестности микродефектов;

• исследовать массообменные процессы и их влияние на изменение напряженно- деформированного состояния эластомера в окрестности поры;

• исследовать влияние таких факторов как деформации, напряжения в матрице и условия изготовления эластомера на интенсивность протекания диффузионных процессов в матрице.

2) решение задачи о циклическом нагружении наполненного эластомерного материала в полной термодинамической постановке и анализ процессов происходящих в окрестности отслоения матрицы от включения:

• исследовать влияние массообменных процессов на величину конечного раскрытия вакуоли при многоцикловом нагружении;

• установить, как влияет скорость нагружения на деформации и ве-лечину гистерезисных потерь в окрестности микродефекта;

• исследовать диссипационные потери массообменных процессов с точки зрения разогрева материала в процессе нагружения;

3) решение диффузионной задачи с учетом проницаемости границ материала.

Научная новизна

Решена задача о диффузии газа в эластомерном материале в полной термодинамической постановке. Использован потенциал, учитывающий конечную деформируемость среды. Проведен сравнительный анализ потенциалов. Показано, что решение задач с потенциалами свободной энергии не учитывающими конечной длинны полимерных цепей ведет к возникновению парадокса бесконечного роста поры. Исследована роль массообменных процессов в формировании напряженно- деформированного состояния на микроструктурном уровне, влияния деформаций, напряжений и условий изготовления смеси эластомер — газ на протекание массооб-менных процессов в окрестности микродефектов. Проведен анализ поведение системы в условиях циклического нагружения. Показано, что массо-обменные процессы могут вносить очень существенный вклад в величину конечного раскрытия вакуоли. Решение задачи массообмена с уточненными граничными условиями. Исследовано влияние проницаемости границ материала на протекание диффузионных процессов. Подобные работы в литературе нам не встречались.

Достоверность результатов исследования

Достоверность результатов обеспечивается:

1) Для расчетов использована теория смеси взаимопроникающих континуумов, для которой доказано автоматическое удовлетворение требований объективного описания (выполняются законы термодинамики, уравнения инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея и т. д.). Определяющие уравнения смеси использовались неоднократно в литературе и подтвердили свою достоверность при решении многих практических задач.

2) проведенные расчеты проверялись с использованием различных численных методов;

3) полученные результаты сравнивались с имеющимися эксперименталь ными данными, а так же известными опубликованными результатами.

Структура и объем работы

Данная работа построена по следующей схеме. В первой главе кратко излагаются предложенные в литературе теории массообменных процессов. Здесь же рассказывается о посылках, методике построения определяющих уравнений, используемых в данной работе.

Во второй главе предложена модель изменения размеров поры в эластомере в результате выделения в нее растворенного газа после резкого сброса внешнего давления. Для описания упругих свойств полимерной сетки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. Рассмотрены приложения теории к системе полидиметил сил океан — углекислый газ. Показано, что сброс внешнего давления приводит к значительному увеличению размеров поры в материале. Происходит это в два этапа — мгновенное увеличение радиуса поры в результате изменения напряженно-деформированного состояния и дальнейший рост радиуса в результате диффузии растворенного газа из полимера. Показано, что ключевую роль на втором этапе процесса играет потеря совместимости полимера с растворенным газом.

В третьей главе рассмотрена задача изменения размеров отслоения матрицы от жесткого включения при циклическом нагружении в насыщенном газом эластомерном материале. Исследовано влияние скорости нагруже-ния на величину раскрытия вакуоли и разогрев материала в следствии диссипативных потерь. Для описания упругих свойства полимерной сет ки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. *

В четвертой главе рассмотрен ряд диффузионных задач, при которых классическая формулировка граничных условий дает результаты не согласующиеся с экспериментальными данными. Предложена уточненная запись граничных условий с учетом проницаемости границы материала. Показано, что уточненная запись дает результаты, хорошо согласующие с представлениями о протекании процессов испарения. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ. Работа содержит 97 страниц текста. В диссертации приводится 38 иллюстраци и 68 библиографических ссылок.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах

1. Свистков A.J1. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомер-ном материале при быстром снятии внешнего давления. // Физическая мезомеханика. 1999. - Т.2 - № - С. 97-102.

2. Черепанов A.B. Исследование процессов в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. —Пермь. Вестник ПГТУ Прикладная математика и механика. —2003. —С. 56-62.

3. Свистков A.JI. Черепанов A.B. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Высокомолекулярные соединения. - Сер. А. — 2003. -Т. 45, № 9. -С. 1559-1565.

4. Черепанов A.B. Деформирование в окрестности жесткого включения в условиях циклического нагружения. // Высокомолекулярные соединения. - Сер. А. - 2004. -Т. 46, № 8. -С. 1383-1387.

Труды конференций, симпозиумов 1. Черепанов A.B. Свистков A.J1. Использование теории смеси для моделирование массообменных процессов в пористом эластомерном материале. / / Тез. докл. Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая).— Пермь. ИМСС УрО РАН. - 1999. - С. 275.

2. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомерном материале при быстром снятии внешнего давления. // Тез. докл. Математическое моделирование физико-механических процессов. — Пермь. ПГТУ. — 1999. - С. 27.

3. Черепанов A.B. Моделирование вспенивание эластомерного материала при быстром сбросе внешнего давления. // Тез. докл. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Второй всероссийский семинар им. С.Д. Волкова. - Пермь. - 2000. — С. 62.

4. Черепанов A.B. Моделирование массообменных процессов около пор в эластомере в условиях взрывной газовой декомпрессии. // Тез. докл. Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - Пермь. - 2001. - С. 594.

5. Черепанов A.B. Свистков A.JI. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Труды двенадцатого сим ♦ позиума Проблемы шин и резинокордных композитов. — Москва. ГУП НИИШП. - 2001. - Т. 2 - С. 197

6. Cherepanov A.V. Mass transfer processes near pores of a gas saturated elastomeric material. // Proceedings XXX Summer school "Advanced problems in mechanics". — St. Petersburg. — 2002. — P. 35.

7. Черепанов A.B. Влияние циклического нагружения на массообменные процессы в окрестности жесткого включения. // Тез. докл. Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). —Пермь. ИМСС УрО РАН. - 2003. - С. 275.

Апробация работы

Отдельные части диссертационной работы обсуждались на научных семинарах в Институте механики сплошных сред УрО РАН, двенадцатой и тринадцатой Зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь), тридцатой Летней школе по актуальным проблемам механики (С.-Петербург), двенадцатом симпозиуме "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва), на конференции "Математическое моделирование физико-механических процессов" (Пермь) на Втором Всероссийском семинаре им. С. Д. Волкова (г. Пермь), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Пермь).

4.5. ВЫВОДЫ

С помощью использования понятия проницаемости границы удалось описать процесс испарения растворителя из раствора полимера. Он состоит из двух массообменных процессов: испарение и диффузия. При неучете проницаемости, первый участок, отвечающий за испарение растворителя с поверхности раствора будет потерян.

Рис. 4.5. Распределение объемной доли растворителя у? в полимерной пленке для моментов времени 0.16 секунд (1), 2.4 секунды (2), 6.4 секунды (3) и 160 секунд (4). Проницаемость границы раствора с^ = 1. г — текущая координата. Ф 1

0.68 3

0.65

0.4

0.8

Рис. 4.6. Распределение объемной доли растворителя уз в полимерной пленке для моментов времени 0.16 секунд (1), 16 секунды (2), 80 секунды (3) и 160 секунд (4). Проницаемость границы раствора — 0.001. г — текущая координата.

Pan

Рис. 4.7. Сравнение расчетных кривых с экспериментальными данными. Проницаемость границы раствора cv = 0,008. Толщина пленки 0,23 мм (1), 0,44 мм (2) и 0,57 мм (3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе предложена модель изменения размеров поры в эластомере в результате выделения в нее растворенного газа после резкого сброса внешнего давления. Рассмотрена задача изменения размеров отслоения матрицы от жесткого включения при циклическом нагружении в насыщенном газом эластомерном материале. Исследовано влияние скорости нагружения на величину раскрытия вакуоли и разогрев материала в следствии диссипативных потерь. Предложена уточненная запись граничных условий с учетом проницаемости границы материала.

Для описания упругих свойства полимерной сетки использован потенциал, учитывающий конечность длин полимерных цепей. Рассмотрены приложения теории к системе ПДМС — углекислый газ.

Главными результатами работы являются следующие выводы:

1. Сброс внешнего давления приводит к значительному увеличению размеров поры в материале. Это происходит в два этапа — мгновенное увеличение радиуса поры в результате изменения напряженно-деформированного состояния и дальнейший рост радиуса в результате диффузии растворенного газа из полимера. Ключевую роль на втором этапе играет явление потери совместимости полимера с растворенным газом.

2. При циклическом нагружении эластомеров содержащих пЪры или отслоенные включения происходит выделение тепла за счет процессов мас-сообмена растворенных в эластомере газов. Существуют режимы при которых разогрев материала максимален.

3. Показано, что для моделирования процесса испарения из смеси деформируемого и жидкого континуумов необходимо учитывать как явления на границе среды, так и массообменные процессы внутри объема.

1. Бартенев Г. М., Зеленев Ю. В. Курс физики полимеров. Л., 1970. — С. 391-403.

2. Тагер А. А. Физико-химия полимеров. М.: Химия. — 1978. — 544 с.

3. Мэнсон Д., Сперлинг Л. Полимерные смеси и композиты. М.: Химия, 1979. 440 с.

4. Савин Г. Н., Подстригач Я. С. О влиянии диффузионных процессов на напряженное состояние деформируемых тел // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л., 1970. — С. 391-403.

5. Лыков А. В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1978. — 480 с.

6. Йигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. — 464 с.

7. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986. 288 с.

8. Рущицкий Я. Я. Элементы теории смеси. Киев: Наук, думка, 1991. — 160 с.

9. Любов Б. Я., Фастов Н. С. Влияние концентрации напряжений на процессы диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. — 1952. — Т. 84, № 5. С. 939-941.

10. Павлина В. С. О взаимодействии процессов деформации и физико-химических явлений в упруговязких телах // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1978. — Вып. 7. — С. 64-67.

11. Павлина В. С. Кинетические уравнения упруговязкого деформирования твердых тел при наличии физико-химических явлений // ДАН УССР. — 1978. Сер. А. - Т. 5. - С. 440-443.

12. Подетригач Я. С. Диференциальш р1вняння задач1 термодифуз1"1 в твердому деформированому 1зотропному тШ // Доп. АН УРСР. — 1961. — № 2. С. 169-171.

13. Подетригач Я. С., Павлина В. С. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в n-компонентном твердом растворе // Физико-химическая механика материалов. — 1965. — Т. 1, № 4. — С. 383-389.

14. Подетригач Я. С., Павлина В. С. Диффузионные процессы в упруговяз-ком деформируемом теле // Прикл. механика. — 1974. — Т. 10, вып. 5. — С. 47-53.

15. Hashino Т., Matsushita Н., Naito S. An irreversible thermodynamic approach to the diffusion in solids accompanied by deformation // Techn. Reports Inst. Atom. Energy. Kyoto Univ. — 1981. N. 186. - P. 1-11.о

16. Петров H., Рангелова Р. Термодинамичен модел на дифузия с памет в деформируема среда // Теорет. прикл. мех. — 1977. — Т. 8, № 3. — С. 66-72.

17. Biot М. A. Variational lagrangian-thermodynamics of nonisothermal finite strain mechanics of porous solids and thermomolecular diffusion // Int. J. Sol. Struct. 1977. - V. 13. - P. 579-597.

18. Седов JI. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1976. — 536 с.

19. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. - Т. 16, № 1. '—С. 67-78.

20. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. — 1956. Т. 20, № 3. - С. 411-417.

21. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. к семидесятилетию академика А. Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 61-71.

22. Cattaneo С. Sur une forme de l'equation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantée // Сотр. Rend. — 1958. — V. 247, N. 4. — P. 431-433.

23. Vernotte P. Les paradoxes de la théorie continue de léquation de la chaleur // Сотр. Rend. 1958. - V. 246, N. 22. - P. 3154-3155.

24. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физ. журн. — 1965. Т. 9, № 3. - С. 287-304.

25. Del Castillo L. F., Criado-Sancho M., Jou D. Nonequilibrium chemical potential and shear-induced migration of polymers in dilute solutions // Polymer. 2000. - V. 41. - P. 2633-2638.

26. Criado-Sancho M., Jou D., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. Shear induced polymer migration: analysis of the evolution of concentration profiles // Polymer. 2000. - V. 41. - P. 8425-8432.

27. Jou D., Criado-Sancho M., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. A thermodynamic model for shear-induced concentration banding and macromolecular separation // Polymer. 2001. - V. 42. - P. 6239-6245.

28. Truesdell C., Toupin R. A. The classical field theories // Encyclopedia of Physics. Edited by S. Flugge, Berlin, 1960. V. III/I. - P. 226-793.

29. Adkins J. E. Diffusion of fluids trough aeolotropic highly elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V. 15. - P. 222-234. :

30. Crochet M. J., Naghdi P. M. On constitutive equations for flow of fluid through an elastic solid // Int. J. Eng. Sci. 1966. — V. 4. - P. 383-401.

31. Green A. E., Adkins J. E. A contribution to the theory of non-linear diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. - V. 15. - P. 235-246.

32. Green A. E., Naghdi P. M. A dinamical theory of interacting continua // Int. J. Eng. Sci. 1965. - V. 3. - P. 231-241.

33. Steel T. R. Application of a theory of interacting continua //J. Mech. Appl. Math. 1967. - V. 20. - P. 57-72.

34. Truesdell C. Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics. N. Y.: McGraw-Hill, 1969. - 208 p.

35. Свистков A. JI. Неравновесная термодинамика эластомерных материалов. Пермь, 2002.

36. Мошев В. В., Свистков A. JL, Гаришин О. К. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств и прочности зернистых полимерных композитов. Издательство УрО РАН, Екатеринбург, 1997. 508 с.

37. Flory P.J. Thermodynamics of high polymer solutions //J. Chem. Phys. — 1941. V. 9, N. 8. - P. 660-661.

38. Huggins M. L. Solutions of chain compounds // J. Chem. Phys. 1941. V. 9, N. 5. P. 440.

39. Meyer К. H. // Helv. Chim. 1940. V. 23. P. 1063.

40. Нестеров A. E., Липатов Ю. С. Термодинамика растворов и смесей полимеров. Киев: Наукова думка, 1984. 295 с.

41. Свистков А. Л., Свисткова Л. А. Полуэмпирический потенциал свободной энергии полимерной сетки, учитывающий конечность длин полимерных цепей // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. С. 835-840.

42. Свистков A. JI. Влияние напряжений на совместимость эластомеров с пластификаторами в условиях одноосного растяжения // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. — С. 841-846.

43. Treloar L. R. G. The elastocity and related properties of rubbers // Reports on progress in the physics. — 1973. — V. 36, N. 7. — P. 755—826.

44. Svistkov A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. Eng. Sci. 2001. - V. 39. - P. 1509-1532.

45. Свистков A.Jl. Черепанов A.B. Моделирование роста пор в эластомер-ном материале при быстром снятии внешнего давления. // Физическая мезомеханика. 1999. — Т.2 №3 - С. 97-102.

46. Черепанов А.В. Моделирование роста пор в эластомерном материале при быстром снятии внешнего давления. // Тез. докл. Математическое моделирование физико-механических процессов. — Пермь. ПГТУ. — 1999. С. 27.

47. Черепанов А.В. Моделирование массообменных процессов около пор в эластомере в условиях взрывной газовой декомпрессии. // Тез. докл. Восьмой всероссийский съезд по теоритической и прикладной механике. Пермь. — 2001. - С. 594.

48. Черепанов А.В. Свистков A.J1. Массообменные процессы около пор в насыщенном газом эластомерном материале. // Труды двенадцатого симпозиума Проблемы шин и резинокордных композитов. — Москва. ГУП НИИШП. 2001. - Т. 2 - С. 197

49. Cherepanov A.V. Mass transfer processes near pores of a gas saturated elastomeric material. // Proceedings XXX Summer scheol "Advanced problems in mechanics". — St. Petersburg. — 2002. — P. 35.

50. Flory P. J. Thermodynamics of high polymer solutions. //J. Chem. Phys. 1942. V. 10, N. 1. P. 51-61.

51. Flory P. J. Principles of polymer chemistry. New York: Cornell univ. press. 1953. 594 p.

52. Huggins M. L. Theory of solutions of high polymers //J. Amer. Chem. Soc. 1942. V. 64, N. 7. P. 1712-1719.

53. Huggins M. L. Physical chemistry of polymers. New York: Interscience. 1958. 175 p.

54. Ball Л. M. Discontinuous equalibrium solutions and cavitations in nonlinear elasticity. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1982. Ser. A. V. 306. P. 557-611.

55. Ganghoffer J. F., Schultz J. Expansion of a cavity in a rubber block under stress: application of the asymptotic expansion method to the analysis of the stability and bifurcation conditions. // Int. J. of Fract. 1995. V. 72. P 1-20.

56. Gent A. N., Lindley P. B. Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension // Prog. R. Soc. Lond. 1958. Ser. A. V. 249. P. 195-205.

57. Gent A. N., Tompkins D. A. Surface energy effects for small holes or particles in elastomers. // Rubb. Chem. and Technol. 1970. V. 44. N. 4. P. 873-877.

58. Horgan С. O., Polignone D. A. Cavitation in nonlinearly elastic solids: a review // Appl. Mech. Rev. 1996. V. 48. P. 471-485.

59. Kasner A. I., Meinecke E. A. Porosity in rubber, a review // Rubb. Chem. and Technol. 1996. V. 69. N. 3. P. 424-443.

60. Stevenson A., Morgan G. Fracture of by gas decompression // Rubb. Chem. and Technol. 1995. V. 68. N. 2. P. 197-211.

61. Подбельский В. В. Язык С+Н-. Финансы и статистика, Москва, 1996. 559 с.

62. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и програмирование на фор-троне. Издательство Мир, Москва, 1977. 584 с.

63. Калиткин Н. Н. Численные методы. Наука, Москва, 1978. 423 с.

64. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. Наука, Москва, 1989. 423 с.

65. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т 2. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962. 639 с.

66. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления. // Успехи физических наук. 2001. —Т. 171, № 7. — С.765-774.

67. Франк-Каменский Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. Наука, Москва, 1987. 502 с.