Неравновесная термодинамика эластомерных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩИЕ ПОСЫЛКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ НАПОЛНЕННЫХ ЭЛАСТОМЕРОВ.

1.1. СТРУКТУРА МАТЕРИАЛА И ПРОЦЕССЫ В ЭЛАСТОМЕРАХ.

1.1.1. Многоуровневое строение наполненных эластомеров.

1.1.2. Термофлуктуации как причина структурных перестроек в эластомере

1.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ЕДИНЫХ ПОЗИЦИЙ СВОЙСТВ И ПРОЦЕССОВ

В МАТЕРИАЛЕ.

1.2.1. Анализ материала как смеси взаимопроникающих континуумов

1.2.2. Термодинамическое описание диссипативных свойств среды

1.2.3. Использование осредняющих сглаживающих операторов для установления связи между структурными уровнями материала.

1.2.4. Формулировка определяющих уравнений с учетом требования инвариантности законов к выбору инерциальной системы отсчета

1.2.5. Моделирование процессов с учетом ведущей роли термофлуктуаций в формировании диссипативных свойств и необратимых структурных изменений в материале.

Актуальность работы

Подавляющее большинство публикаций с математическими моделями и их применениями в технике касаются анализа готовых изделий, эксплуатационных свойств, особенностей разрушения, структуры используемого материала и ее влияние на механическое поведение. Вопросы моделирования технологических процессов, формирования свойств материалов на стадии изготовления рассматриваются редко. Сказанное выше с полным правом относится и к эластомерным материалам. Их изготовление ведется в присутствии растворителя. Под давлением происходит насыщение полимера газом. Температурные режимы играют исключительно важную роль. Материалы с рекордно высокими обратимыми деформациями получены на основе полимеров с длинными цепями и высоким содержанием жидкой фазы в момент изготовления. В наполненных эластомерах жидкие компоненты под действием неоднородных полей напряжений могут перераспределяться по объему связующего около включений. Это должно отразиться на макроскопических свойствах композита как один из релаксационных механизмов. Растворенный в эластомере газ выходит в микроповреждения и способствует их большему раскрытию. Поскольку эластомеры деформируются при небольших напряжениях, это явление может привести к значительным эффектам. Резкий сброс внешнего давления способен вызывать "закипание" материала, резкое увеличение его объема, появление большого числа микроразрывов. Необходимо уметь рассчитывать эти явления. Проведение компьютерных экспериментов связано с выбором адекватного понятийного и математического аппарата, формулировкой определяющих уравнений.

Эластомеры (материалы, обладающие высокоэластическими свойствами во всем диапазоне температур их эксплуатации) являются объектом изучения химиков, физиков, механиков, экспериментаторов. Наука о них представляет собой множество теорий, точек зрения, гипотез, связь между которыми не всегда очевидна. При попытке использовать уже опубликованные результаты часто возникает необходимость перевода терминов и приемов количественного описания в рамках одного научного направления на язык понятий и количественных характеристик другого направления. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить работы по диффузии газов в полимерах (законы Генри, Рауля, Фика), с идеями линейной термодинамики массообменных процессов. В линейной термодинамике часто используются представления о самодиффузии компонентов вещества, о химических потенциалах (значение которых стремится к минус бесконечности при уменьшении концентрации растворенных компонентов до нуля), применяются для описания процессов координаты, связанные с движением центра масс компонентов. В физикохимии высокомолекулярных соединений работают с понятиями "активностей" растворителей. Массообменные процессы в газах часто формулируются с использованием термина "летучести" газового компонента. В свою очередь понятия и уравнения линейной термодинамики отличаются от понятий и уравнений термодинамики смеси континуумов. В термодинамике смесей никакой самодиффузии быть не может. Рассматриваются движения континуумов только относительно друг друга. Координаты связываются с деформируемым компонентом смеси. Во многих работах по теории смесей не используются понятия химических потенциалов растворенных компонентов. Но имеются публикации, в которых химические потенциалы задаются в виде тензорных величин для растворенных компонентов смеси, встречаются понятия абсолютного и относительного потенциалов, чего нельзя найти в работах по физикохимии полимеров. В ряде публикаций понятие "химический потенциал" применяется к деформируемому компоненту системы (т. е. к полимеру). Неясным при этом остается вопрос: "Как совместить представления о химическом потенциале полимера с моделированием его реологических свойств? Как использовать его для описания вязкоупругих свойств эластомерных сеток с учетом процесса массообмена?"

Многие задачи моделирования процессов в эластомерах появляются на стыке разных научных направлений. Приведем один из примеров. Поведение реальных материалов иногда сопровождается переходом их от вязкотекучего к упругому состоянию. Определяющие уравнения должны допускать такую возможность, не ограничиваться анализом только упругих или только текучих сред. В незашитых полимерах между отдельными макромолекулами может возникать сетка физических узлов. Такие среды ведут себя как упругий материал. Однако, добавление растворителя или повышение температуры, приводит к разрушению физической сетки. Макромолекулы становятся несвязанными друг с другом. Полимер начинает течь под нагрузкой. Это означает, что процессы тепло- и массообмена имеют непосредственное отношение к переходу среды от вязкоупругого к вязкотекучему состоянию. Их необходимо учитывать при изучении поведения систем с неоднородными полями напряжений, температуры, концентраций растворителей. Моделирование должно осуществляться на стыке реологических теорий конечнодеформируемых сред и теорий тепло- массообмена.

Построение математической модели эластомерного материала (с учетом конечных деформаций, массообменных процессов, возможности течения) является необходимым шагом на пути к моделированию более сложных технологических задач. Теория должна допускать использование в расчетах всего накопленного теоретического и экспериментального материала в физикохимии высокомолекулярных соединений и статистической физике макромолекул. Эти общие проблемы послужили основой для выбора цели диссертационной работы.

Цель работы

В шестидесятые годы XX века появились публикации, в которых показано, как из первого закона термодинамики и требования справедливости его к выбору инерци-альной системы отсчета получаются в качестве следствия законы сохранения массы и уравнения движения компонентов смеси взаимопроникающих континуумов. Их появление позволило глубже понять особенности моделирования массообменных процессов в деформируемых материалах, сформулировать определяющие уравнения с учетом конечных деформаций среды. Применялись эти теории для моделирования сред, в которых деформируемый компонент являлась упругим континуумом. Жидкие компоненты могли диффундировать по объему, занимаемому деформируемым компонентом смеси, или перетекать по имеющимся в материале каналам. Идеи теории смесей послужили в диссертационной работе основой для построения математической модели вязкоупругой или вязкотекучей многокомпонентной деформируемой среды.

В девяностые годы XX века широко стали широко использоваться для исследования структур и построения бессеточных алгоритмов решения краевых задач интегральные операторы (вейвлет-анализ, вычислительный метод ККРМ и т. д.). Их возможности выявления структур определенного типа на заданном масштабном уровне могут оказаться полезными для анализа эффективного поведения изделий из композиционного материала. Это второй набор идей, использованный в диссертационной работе для моделирования изделий из наполненных эластомеров.

Многочисленные теоретические и экспериментальные работы указывают на решающую роль термофлуктуаций в критических ситуациях (формировании зародышей новой фазы при фазовом разделении, появлении микроразрывов). Учесть их в модели поведения сплошной среды можно только в формулировке критерия наступления этой ситуации. Поскольку в основе ее лежат случайные события (термофлуктуации), критерий должен оперировать вероятностными характеристиками. Поэтому, разумным кажется объединение возможностей статистических теорий разрушения с термофлук-туационной трактовкой их появления. Аналогичный подход может быть использован и для расчета вероятности появления зародыша новой фазы в заданной области пространства на рассматриваемом интервале времени.

Таким образом, выполнение диссертационной работы преследовало следующие цели;

1) обобщить теорию смесей на вязкоупругие и вязкотекучие материалы и получить определяющие уравнения в отсчетной конфигурации, связанной с деформируемым компонентом;

2) установить, возможно ли применение в рамках этой теории понятия химического потенциала, выяснить является ли он тензорной или скалярной величиной;

3) использовать идеи анализа инвариантности законов термодинамики к выбору инер-циальной системы отсчета для анализа возможной формы записи граничных условий и для корректного введения макроскопических параметров состояния среды;

4) использовать аппарат интегральных преобразований с непрерывным дифференцируемым сглаживающим ядром для перехода от структурного к макроскопическому описанию процессов в композитном изделии;

5) на примере моделирования условий появления микроповреждений ввести в модель вероятностные характеристики случайных событий, в основе которых лежат критические термофлуктуации в эластомере.

Итог работы подводят примеры использования теории к решению конкретных практических задач.

Положения, которые выносятся на защиту

Полученные при выполнении работы результаты являются новыми. На защиту выносится следующее:

1) определяющие уравнения вязкоупругой и вязкотекучей смеси деформируемого и жидких континуумов, деформируемый компонент которой работает в условиях конечных деформаций;

2) предложение использовать вязкоупругий спин и спин течения для точного описания вязкоупругого и вязкотекучего поведения среды в условиях нагружения с изменяющейся ориентацией собственных векторов тензора напряжений по отношению к собственным векторам тензора скоростей деформирования материала;

3) полуэмпирический потенциал свободной энергии смеси, учитываюгций конечность длин полимерных цепей, содержание жидкой фазы в момент сшивания полимерных цепей в сетку и в момент нагружения готового материала;

4) предложение использовать понятия "адгезионных" и "когезионных" линий при моделировании наполненных эластомеров и формулировка термодинамических условий на них;

5) термодинамический анализ возможного вида записи граничных условий, позволяющих учитывать в модели: а) силы поверхностного натяжения; б) проницаемость границ диффундирующими компонентами материала; в) скачок теплового потока при испарении; г) скачки импульсов диффундирующих компонентов;

6) определения объективных макроскопических параметров состояния наполненных эластомеров, позволяющие на макроскопическом уровне записывать макроскопические уравнения термодинамики смеси деформируемого и жидких континуумов в условиях конечных макроскопических деформаций;

7) формулировка вероятностного критерия появления адгезионных и когезионных микроповреждений, в основе которых лежит событие появления критической термофлуктуации на микроструктурном уровне материала.

Практическая значимость

Для выяснения причинно-следственных связей между внутренними процессами в среде и внешними воздействиями обычно используются два пути. Первый из них предполагает объяснение рассматриваемых закономерностей с позиций детального их описания на более глубоком физическом уровне. Например, формирование упругих, вязкоупругих и вязкотекучих свойств полимеров можно объяснить, привлекая математические модели статистической физики. Анализ процессов в наполненном эластомере на масштабном уровне отдельных включений позволяет установить структурные причины формирования макроскопических свойств композиционного материала. Указанный путь теоретического исследования сложен, но результативен.

Вторым направлением изучения наблюдаемых закономерностей является путь осуществления строгих математических выкладок из надежных посылок, достоверность которых не вызывает сомнения. Область применимости его ограничена. В отличие от первого пути, речь идет не об использовании в качестве отправных посылок детального описания процессов на более глубоком физическом уровне, а об использовании в качестве исходных посылок феноменологических законов (аксиом) данного уровня. Во втором случае удается скрытые в формулах знания о явлениях природы сделать открытыми, пригодными для решения практических задач. В рамках второго направления можно найти ответы только на некоторые вопросы. Например, что является причиной диффузии вещества? Вызывают ли ее неоднородности температур, химических потенциалов, средних напряжений и т. д., или неоднородности диффузионных сил и напряжений, действующих на растворенные компоненты системы? В каких случаях эти подходы эквивалентны? В каких ситуациях, при моделировании массо-обменных процессов, можно пользоваться диффузионным приближением? Может ли причина вязкостной аномалии растворов и расплавов полимеров оказаться не связанной с изменением количества зацеплений полимерных цепей при течении? Какова роль вращательных движений в формировании механических свойств среды? Возможно ли обобщение закона Дарси на случай взаимодействующих газовых смесей? Достаточно ли для по-иучения химического потенциала растворителя в нагруженном полимере использовать только измерения химического потенциала в непагруженных образцах и данные о связи между напряжениями и деформациями образцов с различным содержанием растворителя в условиях сложного нагружения? Отличаются ли процессы массообмена в деформируемой среде от процессов массообмена в неньютоновской жидкости? Как связано выделение растворителя на внешней границе материала (вы-потевание) с фазовым разделением под действием нагрузок? Список вопросов может быть продолжен. Второе направление изучения причинно-следственных связей необходимо для более точного понимания физического смысла используемых выражений и для установления границ применимости математических моделей. Поэтому, в диссертационной работе много внимания уделено получению следствий из достаточно разумных посылок.

Сформулированная в работе теория вязкоупругой и вязкотекучей смеси ориентирована на применение к задачам, возникающим при моделировании технологических процессов во время изготовления резин, гелей, губчатых материалов, фильтрационных мембран. С ее помощью возможен анализ влияния растворителей на свойства эластомеров, процессов выделения растворенных компонентов в самостоятельную фазу при изменении нагрузки материала, выход растворителей во внешнюю среду и микродефекты.

Другим возможным направлением использования теории является исследование в рамках компьютерных экспериментов структурных механизмов формирования макроскопических свойств наполненных эластомеров, особенностей протекания процессов в связующем около включений. Математическая модель позволяет в полном объеме учитывать связь между массообменными процессами, полями напряжений и температуры в вязкоупругих и вязкотекучих средах, работающих в условиях конечных деформаций. Для конкретизации математических выражений можно использовать известные методики измерения термодинамических свойств материалов.

Достоверность результатов исследования

В диссертационной работе в качестве отправных аксиом используются первый и второй законы термодинамики и требование инвариантности их к выбору инерциаль-ной системы отсчета. Применяются они как при выводе ограничений на вид определяющих уравнений, так и при формулировке возможных условий на границах эласто-мерного связующего, так и при анализе вида определяющих уравнений на макроскопическом уровне композиционного материала.

Все внимание в работе сосредоточено на материалах дифференциального типа сложности, свободная энергия которых зависит только от скалярных параметров состояния среды. В качестве проверки общей математической модели осуществляется вывод хорошо известных частных моделей. Показано, что при задании концентрации деформируемого компонента смеси, равной нулю, получаются уравнения термодинамики смеси жидкостей или газов. При обращение упругих констант вязкотекучей среды в бесконечность ее движение превращается в течение ньютоновской жидкости. В свою очередь, обращение в бесконечность вязкости текучей среды делает ее упругим материалом. Установлено, что для описания процессов диффузии растворителей в полимерах в рамках рассматриваемой теории должен применяться понятийный аппарат, используемый в физикохимии высокомолекулярных соединений. В расчетах можно использовать хорошо известные упругие потенциалы эластомеров и теории растворов полимеров. В качестве следствия из теории смесей получены известные методики измерения химических потенциалов. Все это подтверждает достоверность предлагаемой модели.

Перестройка структуры эластомерных сеток на уровне элементов макромолекул происходит в результате теплового движения и ускоряется действием напряжений. При моделировании вязкоупругих, вязкотекучих свойств и массообменных процессов проявляется это в задании зависимости диссипативных характеристик среды от действующих напряжений и температуры. Критические ситуации (появление зародыгпей новой фазы, микроповреждений) можно учесть в рассматриваемой модели только с помощью критериев. Для случайных явлений необходимо формулировать их на языке теории вероятностей. Пример такой формулировки рассматривается в работе. Используется гипотеза о термофлуктуационной причине появления микроповреждений, возникновение которых в данной точке среды в данный момент времени зависит только от действующих в данной точке в данный момент времени напряжений. Исходная посылка имеет понятный физический смысл и позволяет получить в расчетах реально наблюдаемые масгнтабно-временные закономерности роста поврежденности эластомеров.

Приведенные в диссертации расчеты сравниваются с известными экспериментальными данными, дают удовлетворительное совпадения при соответствующем выборе констант материала. Таким образом, достоверность предлагаемой модели обеспечивается: а) строгими выкладками из посылок, правильность которых не вызывает сомнения; б) использованием в определяющих уравнениях хорошо изученных и экспериментально проверенных выражений термодинамических свойств эластомеров; в) контролируется получением в качестве следствий известных математических моделей сплошной среды и подтверждается сравнением результатов вычислений с эксне-риментальпыми данными.

Структура работы

Изложение материала в диссертационной работе осуществлено по следующей схеме. От описания состояния вопроса (глава 1) к математической модели (глава 2), конкретным примерам ее использования (глава 3), особенностям учета граничных явлений в наполненных эластомерах (глава 4), возможности макроскопического моделирования (глава 5) и примерам использования теории в неоднородных материалах (глава 6). Ниже приводятся последовательность изложения материала в соответствующих разделах.

Выводы

Путь практического осуществления расчетов процесса испарения (в рамках феноменологической модели) сводится к двум шагам:

1. При формулировке неравновесных условий на поверхности раздела фаз разрешается параметрам состояния (непрерывным в равновесии, таким, как химический потенциал, температура) иметь скачки.

2. В модель вводятся дополнительные уравнения, определяющие особенности протекания явлений на поверхности раздела фаз (величины скачков параметров состояния).

Общий итог приведенному описанию подводит энциклопедия физики [246, стр. 218]: "При интенсивном испарении жидкости плотность пара вблизи поверхности ниже, чем при изотермическом равновесии фаз . Испарение мало связано с условиями фазового равновесия системы жидкость — пар и определяется газодинамическими условиями у поверхности раздела фаз."

4.2.3. ]Математическая формулировка задачи испарения жидкости из полимера

Рассмотрим задачу моделирования испарения летучей жидкости из раствора полимера в окружающую среду. Величины, определяющие свойства растворителя, будем обозначать с индексом один (первый компонент раствора). Процесс моделируем в рамках изотермического приближения.

Считаем, что полимерные цепочки не сшиты в сетку, могут перемещаться друг относите.11ьно друга. Смесь находится в открытом сосуде. Окружающая среда имеет бесконечный объем и представляет собой газовую смесь (воздух), не содержащую паров жидкости. Испаряющийся растворитель сразу устремляется от границы раздела фаз. Поэтому, с высокой точностью можно считать концентрацию пара растворителя в окружающей среде равной нулю.

Мы ищем решение в одномерной постановке задачи. Положение осей координат показано на рис. 4.6. Высота раствора полимера в отсчетный момент времени равна /. При испарении жидкости из смеси свернутость полимерных клубков не меняется. Никаких упругих деформаций и напряжений не возникает. Изменение объема смеси происходит только за счет ухода жидкого компонента. Выполняется условие

4.65)

Символом ср1 обозначена доля растворителя в растворе полимера в отсчетный момент времени. Сжатие среды происходит вдоль оси хл. Деформационный градиент имеет вид

Г = —Л 1111 ^ 1212 + 1з1з.

I - (р1

4.56)

Рис. 4.6. Расположение осей координат в задаче моделирования испарения летучей жидкости из раствора полимера

Используем для расчетов теорию Флори — Хаггинса. В соответствии с ее выводами химический потенциал растворителя определяется выражением CKA(ln(Al + 1 -(л1 + Х{Л~4>1У\ (4.57) где — функция температуры. Полагаем далее, что параметр взаимодействия имеет значение х = 0,5. Давление (тл во всех точках раствора и окружающей среде постоянно.

Gs = const.

Считаем, что ускорения континуумов пренебрежимо малы. Ищем решение задачи в рамках диффузионного приближения

Wo Wi 0.

Параметр ?]ji рассматриваем как постоянную величину.

Используя представление относительной скорости через деформационный градиент и разность скоростей движения компонентов раствора (2.10), запишем уравнение неразрывности в виде

-Ь V - ( P : F -1-( V I - V O ) ) =0.

Уравнение движения жидкости дает второе определяющее уравнение, которое с учетом сделанных допущений представляет собой равенство

А u (vl-Vo) = -ЛГ -Т- У М 1 . (4.58) с их помощью и зависимостью между плотностями массы в отсчетной и актуальной конфигурации (2.21) выпишем уравнение диффузии растворителя 2

-V- . AF-A-F-A-VM H = O .

Изменение концентрации летучей жидкости в полимере удобнее всего описывать с помощью объемной доли растворителя <р\. Чтобы полностью сформулировать уравнение диффузии относительно одной переменной (/?1=(/?1(<, жЛ), представим плотность массы р\ через <рх1 используя выражение (3.15)

Принимая во внимание равенства (4.55), (4.56), получаем т. е. приходим к зависимости

Подстановка в нее выражения химического потенциала (4.57) позволяет получить окончательную формулировку уравнения диффузии летучего компонента смеси /5Л1 \л

-2х<л1(1-¥Л1) • (4.60)

4.2.4. Решение задачи моделирования массообмена раствора полимера с окружающей средой с учетом проницаемости границ

Покажем теперь, что учет проницаемости границы приводит к корректной математической задаче, имеющей простой физический смысл. Используем диффузионное приближение. Считаем квадраты относительных скорости движения диффундирующего вещества малой величиной. На границе полимерный раствор — газовая среда условие (4.47) записывается в виде л = 5.п.(у.-у). (4.61) 1

Полагаем, что газовую среду можно считать смесью идеальных газов. В изотермических условиях химический потенциал растворителя в газовой смеси вычисляется по формуле

Рх = Ц1 + сяв1п(л), (4.62) где Щ — некоторая функция температуры. Для завершения постановки задачи необходимо конкретизировать вид функции Л1. Зададим ее с помощью выражения

V =-л (4.63) при ограничениях О, сь> О, сь - скв Ь > 0.

Выписанные неравенства необходимы для удовлетворения ности значения величины VI. Формула (4.63) может быть требования неотрицатель-использована для описания свойств только в том случае, когда парциальное давление пара растворителя не превышает значение р1 ехр(сь/слв) рг < Р1 ехр ( А ) .

После подстановки выражений химических потенциалов диффундируюпл;его компонента в газовой фазе (4.62) и полимерном растворе (4.57) в граничное условие (4.61) с учетом (4.63), получаем равенство

АСь - Спв 1п П • (VI- V) = /л'А - (Т, +

Р1Сп \ \р1), СйА(Ь(/Р1 + 1-<А1 -Ьх(1 -Л1)') - Д1 - 1п (А) .

Нас интересует математическая постановка задачи, в которой отсутствуют молекулы растворителя в газовой среде. Полагается, что газ занимает бесконечный объем пространства, и пар растворителя быстро уходит от поверхности раздела фаз. Поэтому, концентрация пара в газе практически равна нулю. Быстрый уход молекул растворителя от границы происходит за счет их высокой подвижности в газе и за счет конвективного уноса пара газовым потоком (ветром). Аналогичная ситуация возникает и при испарении растворителя из полимера в вакууме. В этом случае ничто не мешает молекулам растворителя быстро удаляться от границ полимерной среды. Удары о другие молекулы (изменение направление движения) практически невозможны. Устремив значение парциального давления пара к нулевому значению рх О, приходим к условию на границе, сформулированному в виде зависимости п- ( У 1 - у ) = 1 . (4.64)

Преобразуем равенство (4.64). Определим относительную скорость движения диффундирующего компонента в растворе из уравнения (4.58) с учетом формул (2.21), (4.55), (4.56), (4.59)

9П (1 - Аг) дцг .

VI — Уо -ь—Агт:-гг -г— II. А (1 - <р\) дх1

С помоп];ью выражения химического потенциала растворителя (4.57) получаем зависимость

А ' АО — - « Т Г Ш

В рассматриваемой задаче нормаль к поверхности раздела фаз (внешняя по отношению к объему занимаемому раствором полимера) противоположна направлению первой оси декартовой системы координат. п = -11.

Это означает, что требование (4.64) с учетом (4.65) и физического смысла скорости V

Уо = У определяется выражением д(р1 с<А (1 - АР!) дх1 (1-А,у(1-2х9г)' А

Рис. 4.7. Диффузионные профили концентрации растворителя 1Л1, рассчитанные для моментов времени г = 0,1 (1), т=1 (2), т= 1 0 (3), т= 1 00 (4), т= 1 000 (5), г=10000 (6). Испарение осуш;ествляет-ся через границу с высокой проницаемостью с.л=1000 (а), средней с<л=1 (б) и низкой сл=0,001 (в)

0,008 -0,006 -0,004 0,002 О 6

1111

0,2 0,4 0,6 0,8 XVI 4 5 где

Р Ч> ~ спвт1 •

Необходимое для решения задачи граничное условие сформулировано в удобном для осуп];ествления расчетов виде.

Результаты численного эксперимента показаны на рис. 4.7. В начальный момент времени объемная доля растворенного компонента имела значение <?Л = 0) = = 0,01 во всех точках смеси. Диффузионные профили концентрации растворителя (зависимости от координаты х1) показаны для безразмерных моментов времени г. Связь параметра т с реальным временем осугцествляется с помопщю перехода

Нас интересуют массообменные процессы на временах от г = 0,1 до г=10000. Приведенные графики иллюстрируют три возможных режима испарения растворителя.

В системе с высокой проницаемостью границы (рис. 4.7, а) концентрация растворителя на поверхности раздела фаз быстро принимает малые значения. Диффузионные профили в растворе близки к профилям, получаемым при решении задачи с помогцью уравнения Фика.

В противоположность этому, в системе со средней проницаемостью границы (рис. 4.7, б), на рассматриваемом масштабе времени можно наблюдать понижение концентрации растворителя около поверхности раздела фаз. Выход растворителя из полимера происходит медленнее.

Сугцественным отличием обладают системы с низкой проницаемостью границы (рис. 4.7, в). В них испарение идет очень медленно. Диффузионный процесс внутри полимера практически успевает выравнивать концентрацию растворителя по его объему.

• Учет проницаемости границ смесей диффундирующими компонентами позволяет моделировать испарение как хорошо летучих, так и слабо летучих растворителей. Нулевая проницаемость означает невозможность выхода растворителя в газовую фазу, несмотря на равенство в газе значения его химического потенциала минус бесконечности. Термодинамическое требование движения растворителя в среду, где ее химический потенциал ниже, компенсируется непроницаемостью границы раздела фаз.

Важно отметить следуюш;ее.

• Раствор полимера может иметь непроницаемую для растворителя границу при контакте с окружающей газовой средой и проницаемую границу при контакте с жидкой средой.

Можно иллюстрировать приведенные на рис. 4.7, в зависимости следующим примером. Поместим в сосуд раствор полимера с очень большим содержанием растворителя. Пусть доля растворителя в среде велика, практически равна единице. Очень малое число полимерных молекул плавает в окружении очень большого числа молекул растворителя. Естественно, что мы имеем право рассмотреть такую среду как смесь и связать отсчетную конфигурацию с полимерным компонентом. В течение большого числа дней растворитель испарится из сосуда. На дне его останется только тонкая пленка чистого полимера. При высыхании раствора концентрация растворителя будет уменьшаться медленно, оставаясь практически одной и той же во всех точках смеси. Именно такое поведение системы показано на рис. 4.7, в.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ в диссертационной работе предложена система определяющих уравнений, позволяющих описывать процессы в наполненных и ненаполненных эластомерах, содержащих растворенные жидкие и газовые компоненты. Рассматриваются особенности моделирования напряженно-деформированного состояния, релаксационные переходы, тепло-и массообмен как в объеме эластомера, так и на его границах, как на структурном, так и на макроскопинеском уровнях материала. Метод исследования на объективность смеси континуумов обобщен на анализ возможной математической записи граничных условий и анализ макроскопических законов поведения композиционного материала. Переход от структурного к макроскопическому уровню предлагается осуществлять с помощью оператора сглаживающего осреднения. Показано, что термофлуктуацион-ную природу возникновения микроповреждений целесообразно учитывать с помощью вероятностного пространственно-временного описания. Практическая ценность работы иллюстрируется регпением конкретных задач.

Главными результатами диссертационной работы является следующее.

1. Получено обобщение теории смесей на вязкоупругие и вязкотекучие материалы, работающие в условиях конечных деформаций. Определяющие уравнения сформулированы в отсчетной конфигурации, связанной с деформируемым компонентом смеси. Модель позволяет использовать в готовом виде результаты исследования свойств эластомерных материалов в статистической физике макромолекул и физи-кохимии полимерных материалов. Для точного описания поведения материала в условиях сложного нагружения с изменяющимся во времени направлением деформирования предложено использовать вязкоупругий спин и спин течения.

2. Сформулированы граничные условия, в которых учитывается действие сил поверхностного натяжения, проницаемость границ, диссипация на границах, скачки теплового потока, скачки импульсов и кинетической энергии движения диффундирующих компонентов. Установлены особенности состояния структурно-неоднородного материала на линиях встречи поверхностей раздела фаз (на адгезионных и когезион-ных линиях материала).

3. Осуществлен термодинамически обоснованный переход от структурного к макроскопическому уровню описания процессов в композитном изделии. Показано, что резкой границы на макроскопическом уровне между ансамблем из конечного числа включений и окружающей его бесконечной матрицей не существует. Происходит плавный переход от эффективных свойств ансамбля к свойствам матрицы.

4. Предложен потенциал свободной энергии пластифицированного эластомера, учитывающий конечность длин полимерных цепей, содержание жидкой фазы в материале при образовании эластомерной сетки и при ее испытании. Установлено, что в условиях, когда полимерные цепи близки к предельно растянутому состоянию, неоднородность поля деформаций эластомера может служить причиной интенсивных массообменных процессов растворенных компонентов смеси.

244

5. Показано, что предложенная теория правильно моделирует поведения расплава полиэтилена (сдвиговое течение, вязкостную аномалию, эффект Ваёссенберга), вязко-упругое поведение нитрильной резины при циклическом нагружении. Установлено, что в результате сброса внешнего давления происходит значительный рост имею-Ецихся в эластомере пор не только под действием высокого давления находящегося в них газа, но ив результате дополнительного интенсивного выделения в поры газа из окружающего эластомерного материала.

6. Предложен способ учета в модели вероятностных случайных событий, в основе которых лел<:ат критические термофлуктуации. Показано, что с помощью предложенного кинетико-статистического критерия удается учитывать в модели масштабные и временные эффекты прочности.

1. Савин Г. Н., Подстригай Я. С. О влиянии диффузионных процессов на напряженное состояние деформируемых тел // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л., 1970. — С. 391-403.

2. Лыков А. В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1978. — 480 с.

3. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. — 464 с.

4. Петров П., Бранков И. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986. — 288 с.

5. Руш;ицкий Я. Я. Элементы теории смеси. Киев: Наук, думка, 1991. — 160 с.

6. Atkin R. J., Crain R. E. Continuum theory of mixtures; basic theory and historical development // Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1976. — V. 29, N. 2. — P. 209-244.

7. Bedford A., Brumheller D. S. Theories of immiscible and structured mixtures // Int. J. Eng. Sci. — 1983. — V. 21, N. 8. — P. 863-960.

8. Любов Б. Я., Фастов П. С. Влияние концентрации напряжений на процессы диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. — 1952. — Т. 84, № 5. — С. 939-941.

9. Павлина В. С. О взаимодействии процессов деформации и физико-химических явле-nnii в упруговязких телах // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1978. — Вып. 7. — С 64-67.

10. Павлина В. С. Кинетические уравнения упруговязкого деформирования твердых тел при наличии физико-химических явлений // ДАН УССР. — 1978. — Сер. А. — Т. 5. — С. 440-443.

11. И. Подстригач Я. С. Диференциальн1 piвняння задач! термодифузГ.'в твердому дефор-мированому 1зотропному тш // Доп. АН УРСР. — 1961. — № 2. — С. 169-171.

12. Подстригач Я. С, Павлина В. С. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в п-компонентном твердом растворе // Физико-химическая механика материалов. — 1965. — Т. 1, № 4. — С. 383-389.

13. Подстригач Я. С, Павлина В. С. Диффузионные процессы в упруговязком деформируемом теле // Прикл. механика. — 1974. — Т. 10, вып. 5. — С. 47-53.

14. Hashino Т., Matsushita П., Naito S. An irreversible thermodynamic approach to the diffusion in sohds accompanied by deformation // Techn. Reports Inst. Atom. Energy. Kyoto Univ. — 1981. — N. 186. — P. 1-11.

15. Петров H., Рангелова P. Термодинамичен модел на дифузия с памет в деформируема среда // Теорет. прикл. мех. — 1977. — Т. 8, № 3. — С. 66-72.

16. Biot М. А. Variational lagrangian-thermodynamics of nonisothermal finite strain mechanics of porous sohds and thermomolecular diffusion // Int. J. Sol. Struct. — 1977. — V. 13. — P. 579-597.

17. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1976. — 536 с.

18. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. — 1952. — Т. 16, № 1. — С. 67-78.

19. Баренблатт Г. П., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. — 1956. — Т. 20, № 3. — С. 411-417.

20. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. к семидесятилетию академика

21. A. Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. — С. 61-71.

22. Cattaneo С. Sur une forme de l'equation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantée // Comp. Rend. Л 1958. — V. 247, N. 4. — P. 431-433.

23. Vernotte P. Les paradoxes de la théorie continue de léquation de la chaleur // Comp. Rend. — 1958. — V. 246, N. 22. — P. 3154-3155.

24. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физ. жури. — 1965. — Т. 9, № 3. — С. 287-304.

25. Cohen D.S., White Jr А. В. Sharp fronts due to diffusion and stress at the glass transition in polymers // J. Polym. Sei. Part B. — 1989. — V. 27. — P. 1731-1747.

26. Cohen D. S., White Jr A. B. Sharp fronts due to diffusion and viscoelastic relaxation in polymers // SI AM J. Appl. Math. л 1991. — у. 51. — p. 472-483.

27. Edwards D. A., Cohen D.S. An unusual moving boundary condition arising in anomalous diffusion problems // SI AM J. Appl. Math. — 1995. — V. 55. — P. 662-676.

28. Edwards A. D., Cohen D. S. The effect of a changing diffusion coefficient in super-Case II polymer-penetrant systems // IMA J. Appl. Math. — 1995. — V. 55. — P. 49-66.

29. Edwards D. A. Constant front speed in weakly diffusive non-Fickian system // SI AM J. Appl. Math. — 1995. — V. 55. — P. 1039-1058.

30. Edwards D. A. Non-Fickian diffusion in thin polymer films / / J . Polym. Sei. — Part

31. B. — 1996. — V. 34. — P. 981-997.

32. Camera-Roda G., Sarti G. C. Non-Fickian mass transport through polymers: a viscoelastic theory // Trans. Theory Stat. Physics. — 1986. — V. 15. — P. 1023-1032.

33. Camera-Roda G., Sarti G. C. Mass transport with relaxation in polymers // AIChE J. — 1990. — V. 36. — R 851-860.

34. Colombo I., Grassi M., Fermeglia M., Lapasin R., Pricl S. Modeling phase transitions and sorption desorption kinetics in thernio-sensitive gels for controlled drug delivery systems // Fluid Phase Equihbria. — 1996. — V. 116. — P. 148-161.

35. Depireux N., Lebon G. An extended thermodynamics modeling of non-Fickian diffusion // J. Non-Newton. Fluid Mech. — 2001. — V. 96. — P. 105-117.

36. Ichiyanagi M. A contribution to extended irreversible thermodynamics // Physica. — Part A. — 1995. — V. 215. — P. 123-137.

37. Jou D., Casas-Vázquez. Extended irreversible thermodynamics and its relation with other continuum approaches / / J . Non-Newton. Fluid Mech. — 2001. — V. 96. — P. 77-104.

38. Del Castillo L. F., Criado-Sancho М., Jou D. Nonequilibrium chemical potential and shear-induced migration of polymers in dilute solutions // Polymer. — 2000. — V. 41. — P. 2633-2638.

39. Criado-Sancho M., Jou D., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. Shear induced polymer migration: analysis of the evolution of concentration profiles // Polymer. — 2000. — V. 41. — P. 8425-8432.

40. Jou D., Criado-Sancho M ., Del Castillo L. F., Casas-Vázquez J. A thermodynamic model for shear-induced concentration banding and macromolecular separation // Polymer. — 2001. — V. 42. — P. 6239-6245.

41. Truesdell C, Toupin R. A. The classical field theories // Encyclopedia of Physics. Edited by S. Flügge, Berlin, 1960. — V. III/I. — P. 226-793.

42. Adkins J. E. Diffusion of fluids trough aeolotropic highly elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1964. — V. 15. — P. 222-234.

43. Adkins J. E. Non-linear diffusion. III. Diffusion through isotropic highly elastic sohds // Phil. Trans. Roy. Soc. — Part A. — 1964. ~ V. 256. — P. 301-316.

44. Atkin R. J., Chadwick P., Steel T. R. Uniqueness theorems for linearized theories of interacting continua // Mathematika. — 1967. — V. 14. — P. 27-42.

45. Crochet M. J., Naghdi P. M. On constitutive equations for flow of fluid through an elastic solid // Int. J. Eng. Sei. — 1966. — V. 4. — P. 383-401.

46. Green A. E., Adkins J. E. A contribution to the theory of non-hnear diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1964. — V. 15. — P. 235-246.

47. Green A. E., Naghdi P. M. A dinamical theory of interacting continua // Int. J. Eng. Sei. —1965. — V. 3. л R 231-241.

48. Green A. E., Steel T. R. Constitutive equations for interactiong continua // Int. J. Eng. Sei. —1966. — V. 4. — P. 483-500.

49. Green A. E., Naghdi P. M. The flow of fluid throught an elastic soUd // Acta Mech — 1970. — V. 9. — P. 329-340.

50. Steel T. R. AppHcation of a theory of interacting continua //J. Mech. Appl. Math. —1967. — V. 20. — P. 57-72.

51. Truesdell C. Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics. — N. Y.: McGraw-Hill, 1969. — 208 p.

52. Дэй У.A. Термодинамика простых сред с памятью.— М.: Мир, 1974.— 192 с.

53. Kondepudi D., Prigogine I. Modern thermodynamics. From heat engines to dissipative structures. — John Wiley & Sons, 1998. — 486 p.

54. Трусделл К. Нервоначальный курс рациональной механики сплошных сред.— М.: Мир, 1975.— 592 с.

55. De Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory // Appl. Mech. Rev. — 1996. — V. 49. — R 201-262.

56. De Boer R. Theory of porous media — past and present // ZAMM — 1998. — V. 78. — p. 441-466.

57. Bennethum L. S., Cushman J. H. Miiltiscale, hybrid mixture theory for swelling systems — I: Balance laws // Int. J. Engng Sei. — 1996. — V. 34. — P. 125-145.

58. Bennethum L. S., Cushman J. M. Multiscale, hybrid mixture theory for swelling-systems — II: Constitutive theory // Int. J. Engng Sei. — 1996. — V. 34. — P. 147-169.

59. Murad M. A., Cushman J. H. Multiscale flow and deformation in hydrophilic swelling porous media // Int. J. Engng Sei. — 1996. — V. 34. — P. 313-338.

60. Lee Y. M., Martin C. J. A resiprocal theorem for a mixture of interacting continuous media // Int. J. Eng. Sei. — 1975. — V. 13, N. 11. — P. 979-991.

61. Huyghe J. M., Janssen J. D. Quadriphasic mechanics of swelling incompressible porous media // Int. J. Eng. Sei. — 1997. — V. 35. — P. 793-802.

62. Larche F., Cahn J. W. A Nonlinear theory of thermochemical equilibrium of solids under stress // Acta Metallurgica. — 1978. — V. 26. — P. 53-60.

63. Svistkov A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. Eng. Sei. — 2001. — V. 39. — P. 1509-1532.

64. Bowen R. M. Incompressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J. Eng. Sei. — 1980. — V. 18. — P. 1129-1148.

65. Samohyl I., Rabst W. The Eshelby relation in mixtures // I. J. Non-linear Mech.— 1997. — V. 32. — P. 227-233.

66. Samohyl I. Thermodynamics of non-reacting mixtures of any symmetry with heat conduction, diffusion and viscosity // I. J. Non-linear Mech.— 1997. — V. 32. — P. 235-240.

67. Денисюк E. Я., Терешатов В. В. Теория механодиффузионных процессов переноса многокомпонентных жидкостей в сшитых эластомерах // НМТФ. — 1997. — Т. 38, № 6. С. 115-129.

68. Bennethum L. S., Cushman J. H., Murad M. A. Clarifying mixture theory and the macroscale chemical potential for porous media // Int. J. Engng Sci. — 1996. — V. 34. — P. 1611-1621.

69. Bennethum L. S., Murad M. A., Cushman J. H. Macroscale thermodynamics and the chemical potencial for swelling porous media // Transport in Porous Media. — 2000. — V. 39. — P. 187-225.

70. Tarep A. A. Физикохимия полимеров. М.: Химия. — 1978. — 544 с.

71. Гросберг А. Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М.: Наука. — 1989. — 344 с.

72. Green А. Е., Naghdi Р. М. On continuum thermodynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1972. — V. 48. — P. 352-378.

73. Binder K. Collective diffusion, nucleation and spinodal decomposition in polymer mixtures // J. Chem. Phys. — 1983. — V. 79. — P. 6387-6409.

74. De Gennes P. G. Dynamics of fluctuations and spinodal decomposition in polymer blends // J. Chem. Phys. — 1980. — V. 72. — P. 4756-4763.

75. He D. Q., Nauman E. B. On spinodal decomposition of binary polymer blends under shear flows // Chem. Eng. Sci. — 1997. — V. 52. —P. 481-496.

76. Matsuoka Т., Yamamoto S. Computer simulation of phase separation in binary polymer mixtures // J. Appl. Polym. Sci. — 1995. — V. 57. — P. 353-362.

77. Митлин В. С, Маневич Л. И., Ерухимович И. Я. Образование кинетически стабиль-Hoii доменной структуры в процессе спинодального распада бинарных полимерных смесей // ЖЭТФ. — 1985. — Т. 88. — С. 495-506.

78. Митлин В. С, Маневич .Л. И. Переход к термодинамическому равновесию через перестройки метастабильных структур при спинодальном распаде бинарных смесей полимеров // Высокомолекулярные соед. — 1988. — Сер. А. — Т. 30, № 1. — С. 9-15.

79. Green А. Е., Naghdi Р. М. А unified procedure for construction of theories of deformable media. I. Classical continuum physics // Proc. R. Soc. bond. — 1995. — Ser. A. — V. 448. — R 335-356.

80. Green A. E., Naghdi P. M. A unified procedure for construction of theories of deformable media. II. Generalized continua // Proc. R. Soc. Lond. — Ser. A. — 1995. — V. 448. — R 357-377.

81. Green A. E., Naghdi P. M. A unified procedure for construction of theories of deformable media. III. Mixtures of interacting continua // Proc. R. Soc. Lond. — Ser. A. — 1995. — V. 448. — P. 379-388.

82. Green A. E., Naghdi P. M. An extended theory for incompressible viscous fluid flow // J. Non-Newton. Fluid Mech. ~ 1996. — V. 66. — P. 233-255.

83. MuUins L., Tobin N. R. Stress softening in rubber vulcanizates. Part I. Use of a strain amplification factor to describe the elastic behavior of filler-reinforced vulcanized rubber // J. Appl. Polym. Sci. — 1965. — V. 9. — P. 2993-3009.

84. Harwood J. A. C, Mullins L., Payne A. R. Stress softening in natural rubber vulcanizates. Part II. Stress softening effects in pure gum and filler loaded rubbers / / J . Appl. Polym. Sci. — 1965. — V. 9. — P. 3011-3021.

85. Govindjee S., Simo J. C. A micro-mechanically based continuum damage model for carbon black filled rubbers incorporating Mullins effect // J. Mech. Phys. Solids. — 1991. — V. 39. — P. 87-112.

86. Schapery R. A. A theory of mechanical behavior of elastic media with growing damage and other changes in structure / / J . Mech. Phys. Solids. — 1990. — V. 38. — P. 215-253.

87. Bergstrom J. S. Constitutive modehng of the large strain time-dependent behavior of elastomers / / J . Mech. Phys. Sofids. — 1998. — V. 46. — P. 931-954.

88. Bueche F. MuUins' effect and rubber-filler interaction // J. Appl. Poiym. Sei. — 1961. — V. 5. — P. 271-281.

89. Александров A. П., Лазуркин Ю. С. Прочность аморфных и кристаллизуюхцихся каучукоподобных полимеров // ДАН СССР. — 1944. — Т. 45, № 7. — С. 308-311.

90. Mullins L., Tobin N. R. Theoretical model for the elastic behavior of filler reinforced vulcanized rubber // Rubb. Chem. Techn. — 1957. — V. 30. — P. 551-571.

91. Dannenberg E. M. The effects of surface chemical interactions on the properties of filler-reinforced rubber // Rubb. Chem. Techn. — 1975. — V. 48. — P. 410-444.

92. Coleman B. D., Gurtin M. E. Thermodynamics with internal state variables / / J . Chem. Phys. — 1967. — V. 47. — R 597-613.

93. Астарита Д., Марруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. — М.: Мир, 1978. — 312 с.

94. Чанг Дей Хан. Реология в процессах переработки полимеров. — М.: Химия, 1979. — 368 с.

95. Dafalias Y. F. Constitutive model for large viscoelastic deformations of elastimeric materials // Mech. Res. Comm. — 1991. — V. 18. — P. 61-66.

96. Lion A. A constitutive model for carbon black filled rubber: experimental investigations and mathematical representations // J. Cont. Mech. Therm. — 1996. — V. 8. — P. 153169.

97. Hausier К., Sayir M. В. Nonlinear viscoelastic response of carbon black reinforced rubber derived from moderately large deformations in torsion / / J . Mech. Phys. Solids. — 1995. — V. 43. — R 295-318.

98. Новокшанов P. C, Роговой A. A. 0 построении эволюционных определяюш;их уравнений // Сб. Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: ПГУ, 2001. — Т. 9. — С. 103-109.

99. Simo J. С. On а fully three-dimensional finite-strain viscoelastic damage model: formulation and computational aspects // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. — 1987. — V. 60. — R 153-173.

100. Govindjee S., Simo J. C. Mullins' effect and the strain amplitude dependence of the storage modulus // Int. J. Sol. Struct. — 1992. — V. 29. — P. 1737-1751.

101. Holzapfel G. A., Simo J. C. A new viscoelastic constitutive model for continous media at finitethermomechanicalchanges //Int. J. Sol. Struct. — 1996. — V. 33. — P. 3019-3034.

102. Holzapfel G. A. On large strain viscoelasticity: continuum formulation and finite elem-ment applications to elastomeric structures // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1996. — V. 39. — P. 3903-3926.

103. Lee E. H. Elastic-plastic deformation at finite strains. // J. Appl. Mech. — 1969. — V. 36. — R 1-6.

104. SidoToff F. Un modele viscoélastique non linéaire avec configuration intermédiaire // J. de Mécanique. — 1974. — V. 13. — P. 679-713.

105. Govindjee S., Reese S. A presentation and comparison of two large deformation viscoelasticity models // J. Eng. Mater. Tech. — 1997. — V. 119. — P. 251-255.

106. Reese S., Govindjee S. A theory of finite viscoelasticity and numerical aspects // Int. J. Sol. Struct. — 1998. — V. 35. — P. 3455-3482.

107. Reese S., Wriggers P. A material model for rubber-like polumers exibiting plastic deformation: computional aspects and a comparison with experinental results // Comp. Meth. Appl. Eng. 1997. - V. 148. - P. 279-298.

108. Lion A. A physically based method to represent the thermomechanical behaviour of elastomers // Acta Mech. — 1997. — V. 123. — P. 1-25.

109. Lion A. On the large deformation behaviour of reinforced rubber at different temperatures // J. Mech. Phys. Solids. — 1997. V. 45. — P. 1805-1834.

110. Lion A. Thixotropic behaviour of rubber under dynamic loading histories: experiments and theory // J. Mech. Phys. Sohds. ~ 1998. — V. 46. — P. 895-930.

111. Haupt P., Lion A., Backhaus E. On the dynamic behaviour of polymers under finite strains: constitutive modeling and identification of parameters // Int. J. Solid Struct. — 2000. — V. 37. — P. 3633-3646.

112. Miehe C, Keck J. Superimposed finite elastic-viscoelastic-plastoelastic stress response with damage in filled rubbery polymers. Experiments, modelling and algorithmic implementation // J. Mech. Phys. Solids. — 2000. — V. 48. — P. 323-365.

113. Пальмов В. A. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики. — 1980. — Т. 3, № 3. — С. 75-115.

114. Пальмов В. А. Сравнение методов декомпозиции деформации в нелинейной вяз-коупругости и упруго-пластичности // Сб. Упругость и неупругость (посвящен 90-летию со дня рождения А. А. Ильюшина), М.: МГУ. — 2001. — С. 81-87.

115. ИЗ. Пальмов В. А., Штайн Е. Разложение упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие // Сб. Математическое моделирование систем и процессов. Пермь: ИГУ, 2001. ~ Т. 9. ~ С. 110-126.

116. Palmov V. А. Comparison of different approaches in viscoelastoplasticity for large strane // ZAMM. — 2000. — V. 80. — P. 801-806.

117. Яновский Ю. Г., Басистов Ю. А., Згаевский В. Э., Власов А. В., Карнет Ю. Н. Иерархические модели в механике гетерогенных сред // Физическая мезомеханика. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 23-45.

118. Яновский Ю. Г., Згаевский В. Э. Иерархическое моделирование механического поведения и свойств гетерогенных сред // Физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 4, № 3. — С. 63-71.

119. Яновский Ю. Г., Образцов И. Ф. Некоторые аспекты компьютерного моделирования структуры и микромеханических свойств перспективных полимерных композиционных материалов // Физическая мезомеханика. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 135-142.

120. Згаевский В. Э., Яновский Ю. Г. Механические характеристики слоя макромолекул вблизи поверхности наполнителя // Механика композиционных материалов и конструкций. — 1997. — Т. 3, № 1. — С. 105-112.

121. Згаевский В. Э., Яновский Ю. Г., Власов А. П., Балабаев Н. К., Карнет Ю. Н. Структура и микромеханические свойства межфазных слоев полимерных матричных композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. — 1999. — Т. 5, № 2. — С. 109-122.

122. Burr А., Monnerie L. On the stress, strain and energy density repartitions in particle-reinforced elastomer networks // Polymer. — 2000. — V. 41. — P. 5909-5919.

123. Адамов A. A., Голотина Л. A., Кожевникова Л. Л., Мошев В. В. Проблема континуа-лизации для зернистых композитов на основе анализа их мезоуровня / / Физическая мезомемеханика. — 1999. — Т. 2. л № 3. — С. 109-113.

124. Moshev V. V., Evlampieva S. Е. Discrete models of failure for particulate polymer composites // Pol. Eng. Sci. — 1997. — V. 37. — P. 1348-1358.

125. Мошев В. В. Кожевникова Л. Л. Высокоэффективная структурная ячейка для наполненных частицами композитов // Мех. комн. матер, констр. — 1996. — Т. 2, № 1. — С. 70-76.

126. Moshev V. V., Kozhevnikova L.'L. Pressure reinforcement of particulate polemeric composites originated by adhesive debonding / / J . Adhesion. — 1996. — V. 55. — P. 197-207.

127. Moshev V. V., Kozhevnikova L. L. Unit cell evolution in structurally demageable particulate-fllled elastomeric composites under simple extension // J. Adhesion. —1996. — V. 55. — P. 209-219.

128. Moshev V. v., Kozhevnikova L. L. Higly predictive structural cell for particulate polymeric composites // J. Adhesion. — 1997. — V. 62. — P. 169-186.

129. Moshev V. V., Kozhevnicova L. L. Predictive potentialities of a cylindrical structural cell for particulate elastomeric composites // Int. J. Solids Struct. — 2000. — V. 37. — P. 1079-1097.

130. Гаришин 0. К. Структурно-статистическая модель наполненного композита и ее применение для исследования процессов разрушения // Каучук и резина. —' 2000. — № 2. С. 16-18.

131. Garishin О. С, Moshev V. V. Modeling of mechanical behaviour of damageable particulate composites // Theor. Appl. Frac. Mech. — 1999. — V. 31. — P. 61-66.

132. Moshev V. v., Garishin 0. K. Physical discretization approach to evaluation of elastic moduh of highly filled granular composites // Int. J. Solids Struct. — 1993. — V. 30. — P. 2347-2355.

133. Moshev V. v., Golotina L. A., Garishin 0. С Continuum models for damageable particulate composites based on structural formulation / / J . Adhesion. — 1998. — V. 65. — P. 207-216.

134. Zhong X. A., Knauss W. G. Analysis of interfacial failure in particle-filled elastomers // Trans. ASME — 1997. — V. 119. — P. 198-204.

135. Победря Б. E. Механика композиционных материалов. — M.: МГУ, 1984. — 336 с.

136. Вильдеман В. Э., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. Физматлит,1997. — 288 с.

137. Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднороднх тел // М.: Наука, 1984. — 116 с.

138. Miehe С, Schröder J., Schotte J. Computational homogenization analysis in finite plasticity. Simulation of texture development in polycrystalline materials // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 1999. — V. 171. — P. 387-418.

139. Gray W. G., Hassanizadeh S. M. Macroscale continuum mechanics for multiphase prous-media flow including phases, interfaces, common lines and common points // Adv. Water Resour. — 1998. — V. 21. — R 61-281.

140. Чуй К. Введение в вейвлеты. M.: Мир, 2001. — 416 с.

141. Chen J.-S., Pan С, Wu С.-Т., Liu W. К. Reproducing kernel particle methods for large deformation analysis of non-linear structures // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 1996. " V. 139. — P. 195-227.

142. Chen J.-S., Pan C, Wu C.-T. Large deformation analysis of rubber based on a reproducing kernel particle method // Comput. Mech. — 1997. — V. 19. — P. 211-227.

143. Hardee E., Chang K.-H., Grindeanu I., Yoon S., Kaneko M., Chen J.-S. A structural nonlinear analysis workspace (SNAW) based on meshless methods // Adv. Eng. Software. — 1999. — V. 30. — R 153-175.

144. Liu W. K., Hao S., Belytschko T., Li S. F., Chang C. T. Multiple scale meshfree methods for damage fracture and localization // Computational Materials Sei. — 1999. — V. 16. — P. 197-205.

145. Drozdov A. D. A constitutive model for nonlinear viscoelastic media // Int. J. Solids Struct. — 1997. — V. 34. — P. 2685-2707.

146. Drozdov A. D. The effect of temperature on the viscoelastic response of rubbery polymers at finite strains. E-print: arXiv:cond-mat/0010407. — 31 P.

147. Green М. S., Tobolsky A. V. A new approach to the theory of relaxing polymeric media // J. Chem. Phys. — 1946. — V. 14. — P. 80-92.

148. Lodge A. S. Constitutive equations from molecular network theories for polymer solutions // Rheol. Acta. — 1968. — V. 7. — P. 379-392.

149. Tanaka F., Edwards S. F. Viscoelastic properties of physically cross-linked networks. Transient network theory // Macromolecules. — 1992. — V. 25. — P. 1516-1523.

150. Yamamoto M. The visco-elastic properties of network structure. 1. General formalism // J. Phys. Soc. Japan. — 1956. — V. 11. — P. 413-421.

151. Aksel N., Hiibner C, The influence of dewetting in flUed elastomers on the changes of their mechanical properties // Arch. Appl. Mech. — 1996. — V. 66. — P. 231-241.

152. Leblanc J. L., Cartault M. Advanced torsional dynamic methods to study the morphology of uncured filled rubber compounds //J. Appl. Polym. Sci. — 2001. — V. 80. — P. 20932104.

153. Phan-Thien N., Tanner R. L. A new constitutive equation derived from network theory // J. Non-Newton. Fluid Mech. — 1977. — V. 2. — R353-365.

154. Phan-Thien N. A nonlinear network viscoelastic model / / J . Rheol. — 1978. — V. 22. P. 259-283.

155. Бартенев Г. М. Структура и релаксационные свойства эластомеров. М.: Химия, 1979. — 288 с.

156. Бартенев Г. М., Бартенева А. Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992. — 384 с.

157. Grosch К. А. The relation between the friction and visco-elastic properties of rubber // J. Roy. Soc. — 1963. — V. 274. — P. 21-39.

158. Moshev V. V. Interfacial friction in filled polymers initiated by adhesive debonding / /J . Adhesion. — 1991. — V. 35. — P. 181-186.

159. Moshev V. V., Kovrov V.N., Sannicov L. S. Interfacial friction in filled polymers initiated by adhesive debonding. II. Relaxation studies / / J . Adhesion. — 1993. — V. 43. — P. 239-243.

160. Drozdov A. D., Dorfmann A. Finite viscoelasticity of filled rubbers: experiments and numerical simulation E-print: arXiv:cond-mat/0110110. — 33 P.

161. Drozdov A. D., Dorfmann A. Finite viscoelasticity of filled rubbers: the effects of preloading and thermal recovery E-print: arXiv:cond-mat/0110269. — 37 P.

162. Drozdov A. D., Dorfmann A. A concept of polymeric networks with shding junctions for the time-dependent response of filled elastomers. E-print: arXiv:cond-mat/0111280. — 37 R

163. Дой M., Эдварде С. Динамическая теория полимеров. М.: Мир, 1998. — 440 с.

164. Drozdov А. D. А tube concept in rubber viscoelasticity. E-print: arXiv:cond--mat/0105521.— 27 P.

165. Oberth A. E. Principle of strength reinforcement in filled rubbers // Rub. Chem. Techn. — 1967. — V. 40. — R 1337-1363.

166. Schwarzl F. R., Bree H. W., Nederveen C. J. Mechanical properties of highly filled elastomers. I. Relationship between filler characteristics, shear moduli and tensile properties // Proc. 4th Int. Congr. Rheol. — 1965. — V. 3. — P. 241—263.

167. Gent A. N., Park B. Failure processes in elastomers at or near a rigid spherical inclusion // J. Mater. Sci. — 1984. — V. 19. — P. 1947-1956.

168. Park S. W., Schapery R. A. A viscoelastic constitutive model for particulate composites with growing damage // Int. J. Solids Struct. — 1997. — V. 34. — P. 931-947.

169. Vratsanos L. A., Farris R. J. A predictive model for the mechanical behavio of particulate composites. Part II. Coomparison of model predictions to literatuure data // Polymer Eng. Sci. 1993. - V. 33. - P. 1466-1474.

170. Бартенев Г. М. О некоторых закономерностях прочности резины на разрыв // ДАН СССР. 1952. - Т. 82, № 1. - С. 49-52.

171. Kase S. А theoretical analysis of the distribution of tensile strength of vulcanized rubber // J. Polymer Sci. 1953. - V. 11. - R 425-431.

172. Kawabata S., Blatz P. J. Creep failure studies on SBR vulcanizates // Rub. Chem. Tech. 1966. - V. 39. - R 923-939.

173. Журков С. Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вести. АН СССР. 1968. — № 3. - С. 46-52.

174. Регель В. Р., Слуцкер А. И., Томашевскии Э. Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. — 560 с.

175. Бартенев Г. М. Прочность и механизм разрушения полимеров. М.: Химия, 1984. — 280 с.

176. Петров В. А., Савицки11 А. В. Термофлуктуационная природа размерного эффекта прочности // ДАН СССР. 1975. - Т. 224, № 4. - С. 806-809.

177. Гуль В. Е. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1978. — 328 с.

178. Мэнсон Д., Сперлинг Л. Полимерные смеси и композиты. М.: Химия, 1979. — 440 с.

179. Grosch К. А., Harwood J. А. С, Payne А. R. Hysteresis in polymers and its relation to strength // Rub. Chem. Tech. 1968. - V. 41. - P. 1157-1167.

180. Разрушение. T 7. Часть 2. M.: Мир, 1976. — 472 с.

181. Ogden R. W. Large deformation of isotropic elasticity — on the correlation of the theory and experiment for incompressible rubber-like sohd//Proc. Roy. Soc. Lond. 1972.— Ser. A. — V. 326. - P. 565-584.

182. Valanis K. C, Landel R. F. The strain-energy function of a hiperelastic materials in terms of the extansion ratios // J. Appl. Phys. 1967. - V. 38. - P. 2997-3002.

183. Green A . E ., Naghdi P.M. A dinamical theory of interacting continua // Int. J. Eng. Sci. — 1965. V. 3, N 2. - P. 231-241.

184. Holzapfel G. A., Simo J. C. A new viscoelastic constitutive model for continious media at finite thermomechanical changes // Int. J. Solids Struct. 1996. - V. 33. - P. 30193034.

185. Свистков A. Л. Дифференциальная модель вязкоупругого пластически деформируемого материала // ПМТФ. 1996. - Т. 37, № 5. - С. 178-188.

186. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИЛ, 1953. — 240 с.

187. Moony М. А theory of large elastic deformation // J. Appl. Phys. 1940. - V. 11. — P. 582-592.

188. Riviin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. 4. Further developments of the general theory // Phil. Trans. Royal Soc. — Ser. A. 1948. - V. 241, N. 835. — P. 379-397.

189. Rivhn R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. 5. Further results in the theory of torsions shear and flexure // Phil. Trans. Royal Soc. — Ser. A. 1949. — V. 242, N. 845. - R 173-195.

190. Черных К. Ф., Шубина И. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов (феноменологический подход) // Сб. "Механика эластомеров". Краснодар.: КГУ. 1977. - Т. 1. - С. 54-64.

191. Treloar L. R. G. The elastocity and related properties of rubbers // Reports on progress in the physics. 1973. - V. 36, N. 7. - P. 755—826.

192. Rivlin R. S., Saunders D. W. Large elastic deformations of isotropic materials — VIL Experiments on the deformations of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1951. — Ser. A. — V. 243. — R 251-288.

193. Alexander H. A constitutive relation for rubber-like materials // Int. J. Engn Sci. — 1968. — V. 6. — P. 549-563.

194. Hart-Smith L. J. Elasticity parameters for finite deformations of rubber-like materials // Z. Angew. Math. Phys. — 1966. — V. 17. — P. 608-626.

195. Бартенев Г. М., Хазановит Т. Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров // Высокомол. соед. — 1960. — Т. 2, № 1. — С. 20-28.

196. Blats Р. J., Tschoegl N. W., Sharda S. С. Strain energy function for rubber-like materials based on generalized measure of strain // Trans. Soc. Rheology. — 1974. — V. 18. — R 145-161.

197. Tobish K. A three-parameter strain energy density function for filled and unfilled elastomers // Rubber Chem. and Technol. — 1981. — V. 54, N. 5. — P. 980-989.

198. Gent A. N. A new constitutive relation for rubber // Rubber Chem. and Technol. — 1996. — V. 69. — R 59-61.

199. James H. M., Guth E. Theory of the elastic properties of rubber / /J . Chem. Phys. — 1943. — V. 11. — N. 10. — R 455-481.

200. Bah R. C, Doi M. , Edwards S. P., Warner M. Elasticity of entangled networks // Polymer. — 1981. — V. 22. — P. 1010-1018.

201. Edwards S. F., Vilgis T. The effect of entanglements in rubber elasticity // Polymer. — 1986. — V. 27. — P. 483-492.

202. Flory P. J., Erman B. Theory of elasticity of polymer networks // Macromolecules. —1982. — V. 15. — P. 800-806.

203. Kilian H. G. General deformation modes of a van der Waals network // Progr. Colloid Polymer Sci. — 1987. — V. 75. — R 55-61.

204. Бартенев Г. М., Зуев Ю. С. Прочность и разрушение высокоэластичных материалов. М.-Л.: Химия, 1964. — 388 с.

205. Mark J. Е. The use of model polymer networks to elucidate molecular aspects of rubberlike elasticity // Advances in polymer science. Polymer networks— Berlin: SpringerVerlag, 1982. — V. 44. — P. 1-26.

206. Займан Д. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982. — 592 с.

207. Erman В., Flory Р. J. Experimental results relating stress and birefringence to strain in poly(dimethylsiloxane) networks. Comparison with theory // Macromolecules. —1983. — V. 16. — P. 1607-1613.

208. Xu P., Mark J. E. Biaxial extension studies using inflation of sheets of unimodal model networks // Rubber Chem. and Technol. — 1990. — V. 63, N. 2. — P. 276-284.

209. Нестеров A.E., Липатов Ю. С. Термодинамика растворов и смесей полимеров. Киев: Наук, думка, 1984. 300 с.

210. Flory Р. J., OrwoU R. А., Vrij А. Statistical thermodynamics of chain molecule hquids. I. An equation of state for normal paraffin hydrocarbons // J. Am. Chem. Soc. — 1964. — V. 86. — P. 3507-3514.

211. Flory P. J., OrwoU R. A., Vrij A. Statistical thermodynamics of chain molecule liquids. II. Liquid mixtures of normal paraffin hydrocarbons // J. Am. Chem. Soc. — 1964. — V. 86. — P. 3515-3520.

212. Flory P. J. Statistical thermodynamics of liquid mixtures // J. Am. Chem. Soc. — 1965. — V. 87. — P. 1833-1838.

213. Eichinger B. E., Flory P. J. Thermodynamics of polymer solutions // Trans. Farad. Soc. — 1968. — V. 64. — P. 2035-2066.

214. Flory P. J., Hooker H. Thermodynamics of polystyrene solutions // Trans. Farad. Soc. — 1971. — V. 67 . ~ P. 2258-2281.

215. Flory P. J. Thermodynamics of high polymer solutions / /J . Chem. Phys. — 1941. — V. 9, N. 8. — P. 660-661.

216. Flory P. J. Thermodynamics of high polymer solutions / /J . Chem. Phys. — 1942. — V. 10, N. 1. — P. 51-61.

217. Huggins M. L. Solutions of chain compounds / / J . Chem. Phys. — 1941. — V. 9, N. 5. — P. 440.

218. Huggins M. L. Theory of solutions of high polymers / /J . Amer. Chem. Soc. — 1942. — V. 64, N. 7. — P. 1712-1719.

219. Flory P. J., Tatara Y-L The elastic free energy and the elastic equation of state: elongation and swelhng of polydimethylsiloxane networks / / J . Polym. Sci. — 1975. — V. 13, N. 4. — P. 683-702.

220. Boonstra B. B. Role of particulate fillers in elastomer reinforcement: a review // Polymer. — 1979. — V. 20. — R 691-704.

221. Kraus G. Reinforcement of elastomers by carbon black // Advances in polymer science — Berlin: Springer-Verlag, 1971. — V. 8. — P. 155-235.

222. Kraus G. Reinforcement of elastomers by carbon black // Rubber Chem. and Technol. — 1978. — V. 51, N. 2. — P. 297-321.

223. Rigbi Z. Reinforcement of rubber by carbon-black // Adv. Polym. Sci. — 1980. — N 36. — P. 21-68.

224. Gessler A. M., Hess W. M., Medalia A. L. Reinfircement of elastomers with carbon black // Plast. and Rub. Process. — 1978. — V. 3, N. 4. — P. 141-156.

225. Свистков А. Л. Моделирование разрушения эластомера с твердым наполнителем зернистого типа с учетом характерных размеров включений // Высокомолек. со-ед. — Сер. А. — 1994. — Т. 33, № 36. — С. 412-418.

226. Мошев В. В., Свистков А. Л., Раришин О. К. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. — 508 с.

227. Kawabata S. Fracture and mechanical behavior of rubber-like polymers under finite deformation in biaxial stress field // J. Macromol. Sci. — Phys. — 1973. — V. B. 8, N. 3-4. — P. 605-630.

228. Kawabata S, Kawai H. Strain energy density functions of rubber vulcanizates from biaxial extension // Adv. Polym. Sci. — 1977. — V. 24. — P. 90-124.

229. Рак H., Flory P. J. Relationship of stress to uniaxial strain in crosslinked polydimethylsiloxane) over full range from large compressions to high elongations / / J . Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. — 1979. — V. 17, N. 11. — R 1845-1854.

230. Erman B. Nonhomogeneous state of stress, strain, and swelling in aamorphous polymer networks // J. Polym. Sci. Polym. Phys. Edition. — 1983. — V. 21 — P. 893-905.

231. Flory P. J.,Rehner J. Statistical mechanics of cross-linked polymer networks. 2. Swelling // J. Chem. Phys. — 1943. — V. 11, N. 11. — P. 521-526.

232. Flory P. J., Rehner J. Effect of deformation on the swelling capacity of rubber // J. Chem. Phys. — 1944. — V. 12, N. 10. — P. 412-414.

233. Rijke A.M., Taylor G. L. Stress-strain behavior of swollen polymeric networks // Rubber Chem. and Technol. — 1969. — V. 42, N. 2. — P. 572-579.

234. Свистков А. Л., Свисткова Л. А. Полуэмпирический потенциал свободной энергии полимерной сетки, учитывающий конечность длин полимерных цепей // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. — С. 835-840.

235. Flory Р. J. Principles of polymer chemistry. — New-York: Cornell univ. press. — 1953. — 594 p.

236. Sternstein S. S. Inhomogeneous swelling in filled elastomers // J. Macromol. Sci. — Phys. — 1972. — V. В 6, N. 1. — P. 243-262.

237. Свистков A. Л. Влияние напряжений на совместимость эластомеров с пластификаторами в условиях одноосного растяжения // Высокомолекулярные соединения. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. — С. 841-846.

238. Giacomin А. J., Jeyaseelan R. S., Samurkas Т., Dealy J. М. Validity of separable BKZ model for large amphtude oscillatory shear // J. Rheol. — 1993. — V. 37, N. 5. — P. 811-826.

239. Хан Ч. Д. Реология в процессах переработки полимеров. М.: Химия. — 1979. — 368 с.

240. Химическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 672 с.

241. Роулинсон Д. 1П., Уидом Б. Молекулярная теория капиллярности. — М.: Мир, 1986.— 376 с.

242. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // УФП. — 2001. — Т. 171, № 7. — С. 765-774.

243. Ивченко И. П., Мурадян С. М. Об испарении сферических капель в бинарной газовой смеси при произвольных числах Кнудсена // Изв. АН СССР. — 1982. — № 1. — С. 112-118.

244. Eames I. W., Marr N. J., Sabir Н. The evaporation coefficient of water: a reviev // Int. J. Heat Mass Trans. — V. 40, N. 12. — P. 2963-2973.

245. Повстугар В. П., Кодолов В. П., Михайлова С. С Строение и свойства поверхности полимерных материалов. — М.: Химия, 1988. — 192 с.

246. Пугачевич П. П., Бегляров Э. М., Лавыгин И. А. Поверхностные явления в полимерах. — М.: Химия, 1982. — 200 с.

247. Физическая энциклопедия, — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 704 с.

248. Мусхелишвили Н. И. — Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с. 630 с.

249. Гаришин О. Л., Свистков А. Л., Евлампиева С. Е., Лебедев С. Н. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Механика композиционных материалов и конструкций. — 1999. — Т. 5, .№ 2. — С. 17-28.

250. Евлампиева С. Е., Мошев В. В. Новый метод оценки эффективных свойств среды с хаотично расположенными включениями // Сб. Деформирование и разрушение структурно- неоднородных материалов и конструкций. — 1989. — С. 22-26.

251. Ball J. М. Discontinuous equalibrium solutions and cavitations in nonlinear elasticity // Phil. Trans. R. Soc. bond. Ser. A. — 1982. — V. 306. — P. 557-611.

252. Ganghoffer J. F., Schultz J. Expansion of a cavity in a rubber block under stress: application of the asymptotic expansion method to the analysis of the stability and bifurcation conditions // Int. J. of Fract. — 1995. — V. 72. — P. 1-20.

253. Gent A. N., Lindley P. B. Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension // Prog. R. Soc. bond. Ser. A. — 1958. — V. 249. — R 195-205.

254. Gent A. N., Tompkins D. A. Surface energy effects for small holes or particles in elastomers // Rubb. Chem. and Technol. — 1970. — V. 44, N. 4. — P. 873-877.257

255. Horgan C. 0., Polignone D. A. Cavitation in nonlinearly elastic solids: a review // Appl. Mech. Rev. — 1996. V. 48. — P. 471-485.

256. Kasner A. I., Meinecke E. A. Porosity in rubber, a review // Rubb. Chem. and Tech-nol. — 1996. V. 69, N. 3. — P. 424-443.

257. Goodier J. N. Concentration of stress around spherical and cylindrical inclusions and flawers / / J . Appl. Mech. — 1934. V. 55. — P. 39-44.