Моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Пономарева Мария Андреевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Томск-2011

4847363

Работа выполнена на кафедре математической физики ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Якутенок Владимир Альбертович

доктор физико-математических наук, профессор

Воеводин Анатолий Федорович

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Бубенчиков Алексей Михайлович

ФГУП «ФЦДТ «Союз», г. Дзержинский, Московской обл.

Защита состоится 3 июня 2011 г. в 14-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, НИИ прикладной математики и механики, ауд. 242.

Отзывы направляются по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 26 апреля 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению фундаментальных и прикладных задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью в приближении ползущего течения. Основой численных исследований рассматриваемых течений является гранично-интегральная методика расчета.

Актуальность темы. В ряде случаев гидродинамические процессы, происходящие при изготовлении изделий с использованием различных технологий, представляют собой медленные течения вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок. Наиболее эффективным, с точки зрения информативности и экономичности, для их исследования является применение методов математического моделирован™, основанных на численном решении соответствующих задач. Данный подход используется в настоящей работе для изучения процессов растекания вязкой жидкости по твердой стенке, потери устойчивости струй, натекающих на твердую стенку, движения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе с конической вставкой («диафрагмой») и заполнения пресс-форм с центральным телом при малых числах Рейнольдса. Такого вида течения характерны для методов изготовления изделий из вязкотекучих композиций, в частности, при производстве крупногабаритных зарядов ракетных двигателей на твердом топливе методом свободного литья. Исследование вышеуказанных течений, реализующихся на различных стадиях изготовления зарядов, позволяет прогнозировать протекание технологического процесса с целью выявления причин появления дефектов в готовом изделии. Таким образом, является актуальным создание эффективных вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитывать сложную эволюцию свободной поверхности жидкости, и исследование ее поведения при протекании гидродинамических процессов наиболее часто встречающихся в природе и производстве.

Цели и задачи исследований

• формулировка задач о растекании вязкой жидкости по твердой стенке, о потере устойчивости струи, натекающей на твердую стенку, о течении вязкой жидкости в массопроводе с конической вставкой («диафрагмой») и о заполнении пресс-форм с центральным телом при малых числах Рейнольдса;

• создание вычислительных алгоритмов решения поставленных задач;

• исследование особенностей и основных закономерностей соответствующих течений вязкой жидкости со свободной поверхностью.

Научная новизна работы

1.На основе непрямого варианта метода граничных элементов разработана вычислительная методика расчета медленных течений вязкой жидкости с меняющейся во времени свободной поверхностью в присутствии твердых границ, позволяющая учитывать влияние поверхностного натяжения и эффектов смачивания.

2. С использованием данного вычислительного подхода проведено численное моделирование растекания объемов вязкой жидкости по горизонтальной твердой поверхности и получены основные характеристики процесса растекания в широком диапазоне изменения числа Бонда и равновесного краевого угла. Сравнение с аналитическим решением в приближении теории смазки, а также сопоставление получаемых равновесных форм с формами, построенными на основе решения уравнений равновесия, подтвердило эффективность предложенной методики.

3.Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров -высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

4.В результате исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, получена зависимость от соотношения вязких и гравитационных сил критической высоты сливного отверстия над твердой стенкой, при превышении которой происходит потеря устойчивости струи, выражающаяся в ее периодическом изгибании. Выявлен режим течения, характеризующийся затухающими колебаниями.

5. Описаны особенности течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе, содержащем конструктивный элемент типа «диафрагма», и течения, реализующегося при заполнения пресс-форм при наличии центрального формующего стержня. Выявлены режимы, при которых возможно появление дефектов по монолитности в получаемых изделиях, на указанных стадиях реализации метода свободного литья.

Достоверность результатов следует из корректности математических постановок задач, из внутренних проверок используемого метода (проверка аппроксимационной сходимости и выполнения законов сохранения), а также из согласования с известными данными экспериментальных и численных исследований, и существующими аналитическими решениями.

Практическая ценность. Полученные результаты и созданные программы расчета могут использоваться при численном моделировании течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, контактирующей с твердыми стенками, для прогнозирования протекания процесса формования в технологии изготовления изделий методом свободного литья, а также для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей и угла смачивания.

Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ (проекты № 06-08-00107а, 08-08-00064а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК № П474 от «4» августа 2009г., № П848 от «18» августа 2009г., № 14.740.11.0533 от «01» октября 2010г.), договоров с ФГУП «ФЦДТ «Союз» (х/д №175 от 04.02.2008г., х/д № 1037 от 04.02.2010).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Вычислительный алгоритм расчета медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, базирующийся на непрямом методе граничных элементов, включающий учет действия сил поверхностного натяжения, эффектов смачивания и значительных деформаций свободной поверхности.

2. Результаты численного исследования растекания объема вязкой жидкости под действием силы тяжести и сил поверхностного натяжения, в том числе с учетом смачиваемости подложки.

3.Способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли - высоты ее вершины и радиуса пятна контакта.

4.Результаты численного моделирования процесса потери устойчивости струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную стенку.

5.Результаты численного исследования течения вязкой жидкости в массопроводе с конструктивным элементом типа «диафрагма» и заполнения пресс-форм с центральным телом, реализующихся в технологии изготовления изделий методом свободного литья.

Личный вклад автора заключается в написании литературных обзоров, в формулировке задач, разработке вычислительных алгоритмов их решения и программ расчета, в проведении соответствующих расчетов, в анализе полученных результатов и их сопоставлении с известными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007), IV и V

Всероссийских конференциях молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2008-2009), 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008), VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ ПММ ТГУ «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008), XII Всероссийской конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2008), IV Всероссийской конференции молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в 3-м тысячелетии» (Томск, 2009), VII Международной конференции студентов и молодых учёных «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2010), научной конференции «Байкальские чтения: наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и эксперимент)» (Улан-Удэ, 2010), Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения» (Новосибирск, 2011), VII Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященной 50-летию полета Ю.А. Гагарина и 90-летию со дня рождения основателя и первого директора НИИ ПММ ТГУ Л.Д. Колмакова (Томск, 2011).

Публикации. Основные результаты представлены в журналах «Известия РАН. Механика жидкости и газа», «Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования», «Вестник ТГУ. Математика и механика» и «Известия ВУЗов. Физика».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 159 страницах, содержит 83 рисунка и 10 таблиц, список литературы включает 168 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок, в особенности процессов растекания и смачивания. Отмечены значительные трудности, связанные с моделированием движения линии трехфазного контакта (ЛТФК) по твердой стенке. Сформулированы цель и основные задачи исследований.

В первой главе освещены основные проблемы и достижения в области исследования процессов растекания и смачивания. Сформулирована математическая постановка задачи о растекании

объема вязкой жидкости по твердой горизонтальной поверхности в приближении ползущего течения, включающая уравнения движения и уравнение неразрывности, записанные в безразмерных переменных

^ = 0, ^ = 0, 2, (I)

ах] дх1

где П(>+2г0 - компоненты преобразованного тензора напряжений, р = р + Вох2 - модифицированное давление, 5у - символ Кронекера, компоненты тензора скоростей деформаций определяются

по формуле ги = —

1 си, ди л —+ —£

дх/ 8х1

и, - компоненты вектора скорости, х, -

, ___ тс.

К J

декартовы координаты, р - давление, число Бонда Во = pgR2/з характеризует отношение силы тяжести и сил поверхностного натяжения, р-плотность жидкости, ускорение свободного падения, Я - радиус круга, эквивалентного по площади рассматриваемому сечению, о - коэффициент поверхностного натяжения. В качестве характерных масштабов длины, давления (напряжений), скорости и времени использованы, соответственно, следующие величины: К; Р = о/Л; и= а/р; Г= Яр/а, ц - динамический коэффициент вязкости.

Граница области решения Г включает свободную поверхность Г! и твердые стенки Г2. Динамическое граничное условие на свободной поверхности заключается в отсутствии касательных напряжений и равенстве нормальных напряжений давлению Лапласа

I = = -(к + Вох2)и,,х, еГ,, (2)

где I, - компоненты усилий на свободной поверхности, к - кривизна поверхности, п, — компоненты внешней нормали. На твердых стенках задаются условия прилипания

и, =0,х, еГ2. (3)

Движение точек свободной поверхности осуществляется с использованием кинематического условия

^ = и,,*,еГ,. (4)

т

В предельном случае при Во —»оо жидкость растекается только под действием силы тяжести, силы поверхностного натяжения не учитываются. В качестве характерных масштабов используются величины Я, Р = pgR, V = р#/?2/р, Т = \ifpgR. Модифицированное давление р= р + х2. Вместо (2) на свободной поверхности

выполняется I = -x2nt. Такой выбор характерных масштабов позволяет получить автомодельное решение задачи.

В начальный момент времени форма границы задавалась в виде окружности или прямоугольника. Последнее использовалось только для исследования поведения касательных напряжений на стенке. Скорости в начальный момент времени и, = 0.

Для учета эффектов смачивания необходимо записать граничные условия, которые будут выполняться на ЛТФК вместо условий прилипания. Движущую силу, действующую на ЛТФК при ограниченном смачивании, можно представить в виде [1]

До = (о, -a2)-ocos0</, где оь о2 - коэффициенты поверхностного натяжения жидкость/тв. тело, тв. тело/газ, - динамический краевой угол. Данная величина представляет собой равнодействующую трех сил, действующих на ЛТФК, и равна нулю только, если поверхность раздела приобрела равновесную форму. С учетом уравнения Юнга [1] получаем

До = cícosG-cosO^), (5)

где 8 - равновесный краевой угол. В безразмерных переменных выражение (5) примет вид

До = cos В-cos dd. (6)

Таким образом, в случае значения 8 отличного от 180° на ЛТФК используется условие непротекания совместно с заданием касательного напряжения, отвечающего действию движущей силы (6).

Описан алгоритм получения решения, основанный на непрямом варианте метода граничных элементов [2], который удобно применять для решения плоских задач гидродинамики при наличии свободной поверхности, являющийся в настоящее время мощным альтернативным методом вычисления, по сравнению с конечно-разностным и конечно-элементным методами, в которых определенную сложность составляет процесс построения разностных сеток, способных адаптироваться к сложным изменениям свободной поверхности. Система дифференциальных уравнений (1) заменяется эквивалентной ей системой граничных интегральных уравнений

г г

где х0 - точка наблюдения, принадлежащая Г, Ь, - точка приложения нагрузки, Uj/xо,^), Tjj(x0,Q - фундаментальные сингулярные решения линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса для компонент скоростей и усилий, соответственно, <р/Е,) — интенсивность фиктивных источников, которая определяется в соответствии с граничными

условиями и,(х0) и г,(х0). Для получения численного решения уравнений (7) граница области решения разбивается на N прямолинейных отрезков (элементов), вдоль которых функция <р;(^) считается постоянной, тогда (7) в дискретизированной форме примут вид

?=1 ДГ«__«=' ДГ«___

ду™ лг,"

где £4 - координата д-го элемента, АР - д-ый элемент. Запишем эту систему уравнений в матричной форме

«Г

и

■(ФЗ). (8)

V ч У

Система уравнений (8) решается стандартным методом Гаусса с выбором главного элемента.

Для вычисления новой формы свободной границы в соответствии с (4) используется схема Эйлера х"*х = х" + Лг • и", где п -номер шага по времени, Д/ - шаг по времени, величина которого ограничена условием Куранта А/ < кАТпип1\итах\. Здесь АТ„,1П - длина наименьшего элемента, а итт - значение наибольшей скорости, которая достигается на каком-либо из элементов, к < 1 - коэффициент, определяемый с помощью численного эксперимента для обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

Особенность вычислительного алгоритма, в случае учета смачивания заключается в следующем. Для учета условия (6) на ЛТФК на элементе цСи расположенном на твердой стенке и примыкающем к ЛТФК, задаются граничные условия вида

I, =-, м2 = 0, где Ау - длина элемента

д? ча

яа

Представлены результаты численного исследования процесса растекания. Эволюция свободной поверхности в процессе растекания для малых чисел Во иллюстрируется рис. 1. Расчет прекращается при достижении свободной поверхностью равновесной формы. На этом же рисунке показаны траектории маркеров (фактически краев граничных элементов). Видно, что движение свободной границы носит характер накатывания на твердую стенку, подобно движению «тракторной гусеницы» или развертывающемуся ковру. При этом, расчетное значение краевого угла, вычисляемого по положению примыкающего к твердой стенке граничного элемента, близко к 180°.

Рисунок 1 - Последовательность форм свободной поверхности: Во = 2,0= 180° (Af = 0.2).

Анализ зависимости касательных напряжений на твердой стенке от времени показывает, что в процессе растекания напряжения уменьшаются и равномерно распределяются вдоль стенки. В конце процесса они равны нулю. Таким образом, в случае несмачиваемой подложки, когда движение ЛТФК происходит в режиме накатывания, для решения уравнений движения можно использовать условия прилипания. Использование условий прилипания в случае больших значений числа Бонда приводит к некоторым, вычислительным трудностям, пути решения которых указаны в работе. Результаты одного из расчетов представлены на рис. 2.

Рисунок 2 - Последовательность форм свободной поверхности Во = 15, 9= 180° (At = 0.5).

На рис. 3 представлена зависимость положения ЛТФК от времени в случае растекания цилиндрического объема вязкой жидкости без учета сил поверхностного натяжения. Значительные отличия между расчетной кривой и аналитическим решением, полученным в приближении теории смазки (пунктирная кривая) наблюдаются только на начальном этапе процесса растекания, когда пленочная модель течения является достаточно грубым приближением.

О 10 2 0 30 40 50 60 70 80 9fl ]00 t

Рисунок 3 - Зависимость положения ЛТФК г от времени при Во —¡► оо (сплошная линия) и сравнение с [3] (пунктирная линия).

Результаты расчетов в условиях ограниченного смачивания для 6 отличных от 180° представлены на рис. 4. Получены зависимости динамического краевого угла от времени, которые приведены в работе.

Рисунок 4 - Последовательность форм свободной поверхности для Во = 2, Дг = 1: а - 6 = 60°: 6 - 6 = 90°; в - 6 = 120° (пунктирные линии -равновесные формы - решения уравнений равновесия).

Изложена методика построения равновесных форм капель в плоском и осесимметричном случаях. Описан способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли - высоты ее вершины и радиуса пятна контакта. Выбирая в качестве характерного масштаба длины радиус шара К, эквивалентного по объему рассматриваемой капле, уравнения равновесия совместно с начальными условиями, отвечающие равновесной форме капли, в безразмерных переменных можно записать следующим образом [4]:

г' = -г,(Ъог-гЧг + С), г" = г\Ъог-гЧг + С), (9)

г(0) = 2,(0) = 0, 2(0) = 2„, г'(0) = 1, (10)

где г = г(1), г = г(1) - уравнения равновесной линии в параметрической форме, с — параметр, означающий длину дуги, отсчитываемую от оси г, С - произвольная постоянная, г0 - высота капли. Таким образом, задача построения равновесной формы сводится к решению однопараметрической системы (9) с начальными условиями (10) и подбору значения С такого, чтобы объем фигуры вращения интегральной кривой был равен 4тг/3. Для численного интегрирования использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Подбор значения параметра С осуществлялся, ввиду незначительности общих вычислительных затрат, методом половинного деления. Величина параметра С лежит в диапазоне от - 2 до 0. В результате такого решения находятся значения угла смачивания 0 и радиуса пятна контакта капли гк. Для решения общей поставленной задачи, заключающейся в определении коэффициента поверхностного натяжения по заданным г0 и гк, устраивается дополнительный итерационный цикл по значению числа Во, что позволяет получить значение последнего с заданной точностью. Интервалы для поиска решения можно определить с помощью рис. 5, где показана область допустимых значений (гк, г0) для равновесных форм капли (область, ограниченная верхней сплошной и нижней пунктирной линиями). Пользуясь этим же рисунком, можно приближенно определить величины о = pgR2/Во и 0.

В настоящей работе показано, что равновесная форма свободной поверхности капли, расположенной на горизонтальной твердой стенке однозначно определяется двумя из четырех параметров: числом Бонда, значением краевого угла, безразмерными величинами высоты капли и радиуса пятна контакта. Следовательно, зная значения двух из указанных параметров, оставшиеся находятся путем построения

равновесной формы. Для определения 6 по известным значениям числа Бонда и радиуса пятна контакта капли можно использовать рис. 6.

В работе представлена сравнительная таблица для реальных систем жидкость/подложка, в которой отражено влияние погрешности измерений высоты и радиуса пятна контакта капли на точность определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания предложенным способом. Описаны преимущества такого подхода по сравнению с существующими методиками.

контакта с подложкой. Сплошные линии сверху вниз: Во = 0, 1, 4, 10. Пунктирные линии слева направо: 0 = 180°, 135°, 90°, 45°, 20°, 10°.

Рисунок 6 - Зависимость радиуса пятна контакта капли от числа Бонда. Кривые построены с шагом Д9 = 10°: нижняя кривая соответствует 6 = 180°, верхняя - 10°.

Во второй главе представлены результаты исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную стенку. Проведен обзор существующих работ, посвященных изучению этого явления, и приведены результаты численного моделирования. Предполагается, что основное влияние на течение оказывает сила тяжести и вязкие силы. Задача формулируется в плоской постановке в приближении ползущего течения, т.е. в предположении незначительности инерционных эффектов, что характерно для рассматриваемого явления. Численное решение задачи получено с использованием непрямого метода граничных элементов, изложенного в первой главе. При таком подходе естественным источником малых возмущений являются ошибки округления, получаемые при расчете.

Область течения, имеющая границу Г = Г]иГ2иГ3, представлена на рис. 7, где Г, - свободная поверхность, Г2 - твердые стенки, Г3

— входная граница. Характерные геометрические параметры: Я -полуширина канала, £ - расстояние между входной границей и сливным отверстием, Я - высота сливного отверстия над твердой стенкой.

Задача состоит в решении системы уравнений (1) с краевыми условиями (3), (4) и динамическим граничным условием на свободной поверхности

/, =-Шх2й,,х,бГ1. (11)

При обезразмеривании использовались следующие масштабы: длины

- Я, скорости - 1/, давления - \iUIR, где С/ - средняя скорость течения в канале. Модифицированное давление р = р + Ъ/х2, где = рgR2l\iU -

параметр Стокса, характеризующий соотношение гравитационных и вязких сил.

На входной границе Г3 на расстоянии ¿ от сливного отверстия, достаточном для исключения влияния свободной поверхности, задан параболический профиль скорости. характерный для стабилизированного течения в плоском канале

(12)

Рисунок 7 - Область решения.

-1), и, = 0,х,еГ3

В начальный момент времени свободная поверхность Г] имеет горизонтальную форму х2 = 0,-1 <Х]< 1,х,еГь/ = 0.

Проведенные расчеты показали, что использование примененного в первой главе подхода для определения форм свободной поверхности образующейся струи приводит к тому, что расчетные узлы скапливаются в ее нижней части, а на боковых сторонах струи с увеличением ее длины расчетных узлов становится меньше. Вычислительный алгоритм позволяет на каждом шаге увеличивать количество элементов для сохранения точности аппроксимации свободной границы, длина которой в ходе процесса постоянно увеличивается. Для того, чтобы добиться равномерного распределения расчетных узлов на свободной границе, используется процедура их перераспределения.

Исследования показывают, что при заданном значении XV существует критическое значение высоты Нс, при котором происходит изгибание струи, приводящее к образованию внутренних границ раздела в жидкости, так называемых «складок». На рис. 8 представлены различные варианты протекания процесса при фиксированном значении параметра \¥. В случае, когда значение высоты Я значительно меньше критического значения (Я « Яс), струя жидкости натекает на твердую стенку с последующим симметричным растеканием (рис. 8, а). Если значение Я меньше критического, но близко к нему (Я < Яс), то реализуется режим растекания с наличием колебательных движений струи, приводящих к нарушению симметрии и образованию наплывов на свободной поверхности. Такой режим, представленный на рис. 8, б, будем называть промежуточным. Потеря устойчивости струи, т.е. ее изгибание с образованием внутренних границ раздела, происходит при Я = Яс и иллюстрируется рис. 8, в. Изгибание с образованием газовых включений и внутренних границ раздела реализуется, когда значение высоты Я значительно превышает критическую величину (Я» Яс), что показано на рис. 8, г.

Промежуточный режим, представленный на рис. 8, б, сопровождается затухающими колебаниями (рис. 9), возвращающими струю к симметричному растеканию. В данном случае образования внутренних границ раздела в жидкости не происходит. Таким образом, формирующийся на твердой стенке слой стабилизирует течение. В случае Я > Нс амплитуда колебаний достаточно велика, и струя начинает изгибаться еще до того, как слой на твердой стенке успеет сформироваться, приводя к образованию внутренних границ раздела.

Рисунок 8 - Формы свободной поверхности струи при V/ = 0.001: а — Н = 12, С= 80; 6~Н= 16.27, /= 80; е- # = 16.3,1 = 90; г-#= 30,/= 80.

Рисунок 9 - Колебания струи жидкости (х2 = -5) при XV = 0.001, Н = 16.27,

На рис. 10 сплошной линией изображена зависимость критической высоты Нс от полученная в результате расчетов. В [5, 6] наряду с критерием \У, для анализа результатов используется число Бонда, Во = pgR2/(J, характеризующее отношение гравитационных сил и сил поверхностного натяжения. На рис. 10 данные из [5] получены для Во = 0.42, в [6] - Во = 4.36. В настоящей работе поверхностное натяжение не учитывается. Характер зависимости /-//¡«Ш) и влияние поверхностного натяжения на критическую высоту следует из физического содержания безразмерных критериев Ке, W, Во. При малых числах Яе в области небольших, но сравнимых между собой значений №иВо действия вязких сил и сил поверхностного натяжения соизмеримы и следует ожидать существенного влияния поверхностного натяжения на величину Нс. что и подтверждают данные [5, 6], полученные для 0.025 < У/ < 0.16 и Во = 0.42, 4.36. Поверхностное натяжение стабилизирует течение с точки зрения устойчивости рассматриваемого вида и значение Нс растет с уменьшением Во. С ростом числа Во, в частности, при Во > 1 его влияние существенно падает в рассматриваемом диапазоне что подтверждается сопоставлением экспериментальных и расчетных данных. Уменьшение Нс с ростом связано с уменьшением толщины струи, с соответствующим ростом осевой скорости по ее длине и, как следствие, ростом осевых напряжений в окрестности твердой стенки.

30

Нс

25

20

15 10 5 О

Рисунок 10 - Зависимость критической высоты Нс от параметра 1 - расчет, 2 - данные [5], 3 - данные [6].

В третьей главе рассматриваются гидродинамические процессы, протекающие при изготовлении изделий из полимерных композиций методом свободного литья, применительно к условиям формования зарядов ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ).

\ Д «г оЗ

- & *

Д л Л д

; О

о о о ^^^^

1 1 1—Т—I—(—1 1 1

-4 -3 -2 -1 0 ^ 1

При изготовлении зарядов методом свободного литья осуществляется заливка высоковязкой топливной массы в вакуумированную оболочечную пресс-форму, представляющую собой корпус двигателя, содержащую центральный формующий стержень [7]. Транспорт композиции осуществляется через вертикальные массопроводы, которые могут содержать конструктивные элементы, например, конические вставки типа «диафрагма». Течение в массопроводе такого типа исследуется в третьей главе. Задача заключается в решении системы уравнений (3) с краевыми условиями (3), (4), (11), (12) в области, схематично представленной на рис. 11. Для получения решения используется тот же подход, что и во второй главе. Характер течения жидкости определяется параметром Стокса и геометрическими

характеристиками Я и г.

Результаты расчетов без учета диафрагмы показали наличие режима полного заполнения и режима, характеризующегося образованием струи, что согласуется с выводами работы [8]. Зависимость положения установившейся ЛТФК к относительно начального положения свободной поверхности в случае перехода к струйному режиму течения можно аппроксимировать степенным выражением к = 0.45 У/"'67 . Поведение со временем геометрических характеристик струи иллюстрирует рис. 12.

I '' м-;''.' ^ шм

ш\\ \ щи \ \ \ \\\\

ип\ \ \

Рисунок 12 - Геометрические характеристики струи в зависимости от времени: а - дайна /; б - сплошные кривые соответствуют минимальной толщине ¿„¡л, пунктирные - толщине каплевидного образования на конце струи 5шах. Правые крайние кривые соответствуют \У=1, левые - \¥=10, кривые построены с шагом Д\У=1.

В случае установки диафрагмы могут реализовываться следующие варианты течений: ]) сплошное заполнение с формированием на выходе из отверстия диафрагмы струи шириной, равной ширине отверстия диафрагмы; 2) переход к струйному течению выше диафрагмы с дозаполнением промежуточной области, при этом заполнение происходит как сверху напорным течением, так и со стороны диафрагмы; 3) заполнение промежуточного объема, предшествующего диафрагме, происходит только со стороны диафрагмы, в этом случае до того, как промежуточная область будет заполнена произойдет разрыв струи, формируемой после диафрагмы, поскольку происходит ее быстрое утоньшение; 4) потеря устойчивости струи, натекающей на твердую поверхность, в качестве которой выступают стенки диафрагмы; 5) может оказаться, что значение ширины отверстия установленной диафрагмы будет больше толщины сформировавшейся струи. В таком случае струя беспрепятственно преодолеет отверстие диафрагмы, и последняя не окажет никакого влияния на течение. Зависимость критического значения гс(Н), при превышении которого происходит беспрепятственное прохождение струи, представлена на рис. 13.

Рисунок 13 - Критическое значение полуширины отверстия диафрагмы: верхняя кривая - XV = 1, нижняя - \У = 10, Д\У = 1.

Задача о заполнении пресс-форм в струйном режиме, также рассмотренная в третьей главе, включает в себя расчет течения в области, представленной на рис. 14. Решение получено в плоском приближении. Основные уравнения, граничные условия и метод решения аналогичны использованным в предыдущей главе.

Серия расчетов была проведена для случаев, когда поперечный размер центрального тела превышает ширину сливного отверстия и наоборот. Для прогнозирования функционирования готового изделия при использовании для его изготовления нескольких порций композиции большое значение имеет знание о массораспределении порций по объему (так называемых топограмм). Возможные варианты

расположения границ раздела также представлены в третьей главе. Для отслеживания границ раздела между порциями топливной массы в ходе заполнения пресс-формы вводятся частицы маркеры, которые двигаются в соответствии с кинематическим условием, записанным в лагранжевом виде. Совокупность частиц вводится в поток в выходном отверстии канала через каждые 10 единиц безразмерного времени (рис. 14).

= 10; 6 - ? = 20; в - / = 30; г - / = 40; д - / = 50; е - в готовом изделии.

Целью исследования течения в пресс-форме являлось также выяснение гидродинамических причин возникновения дефектов по монолитности в получаемых изделиях. На рис. 14 представлены картины течения в технологически приемлемом режиме. Струя сначала взаимодействует с горизонтальной поверхностью центрального тела, затем композиция в виде слоя стекает по его боковым поверхностям.

После достижения слоем дна пресс-формы начинается процесс перемещения свободной поверхности снизу вверх. Возможны следующие отклонения от указанного режима. Так при контакте струи с горизонтальной поверхностью центрального тела может произойти потеря устойчивости. Возможно образование дефектов при интенсивном обтекании угловых точек центрального тела при его относительно близком расположении к сливному отверстию. Потеря устойчивости течения может произойти при обтекании центрального тела, или уже после контакта жидкости с дном пресс-формы. Все эти варианты иллюстрируются соответствующими расчетами. Кроме того, стекающая по центральному телу жидкость может полностью заполнить пространство между центральным телом и стенками пресс-формы, не достигнув дна. Этого можно избежать путем выбора параметров формования в соответствии с зависимостью толщины слоя от параметра W, приведенной на рис. 15.

1-1

-И.........................—.................... Цэю^

-3-2-10 1 2

Рисунок 15 - Зависимость толщины слоя 5, стекающего по поверхности центрального тела от значения в логарифмических

координатах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.В плоском приближении сформулированы физико-математические постановки задач о безынерционном растекании вязкой жидкости по твердой стенке с учетом и без учета действия сил поверхностного натяжения и эффектов смачивания, о взаимодействии струи высоковязкой жидкости с твердой стенкой, о течении высоковязкой жидкости в вертикальном массопроводе с конструктивным элементом типа «диафрагма», о заполнении пресс-форм высоковязкой жидкостью с учетом наличия центрального тела. Рассмотренные задачи относятся к классу задач о медленных течениях

вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых границ.

2. Разработаны численные методики решения поставленных задач с использованием непрямого метода граничных элементов. Создан пакет прикладных программ.

3. Проведено исследование процесса растекания объема жидкости по твердой стенке, позволившее выявить адекватные способы постановки граничных условий вблизи движущейся ЛТФК и получить временные зависимости основных геометрических параметров растекающегося объема жидкости в широком диапазоне изменения числа Бонда, в том числе зависимость динамического краевого угла от времени, что представляет фундаментальный интерес для изучения процессов растекания и смачивания.

4. Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

5. Представлены картины эволюции свободной поверхности струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, в четырех режимах в зависимости от соотношении гравитационных и вязких сил (параметр и^: 1) устойчивое симметричное растекание жидкости по стенке; 2) колебательные движения струи с последующим затуханием и переходом к устойчивому растеканию; 3) колебания струи с образованием на свободной поверхности наплывов, приводящих к появлению внутренних границ раздела; 4) изгибание струи с образованием газовых включений и внутренних границ раздела. Полученная зависимость критической высоты Нс, при которой происходит переход от второго варианта течения к третьему показывает, что при XV < 0.01 величина Нс практически постоянна и равна 16.4. Показано также, что дальнейшее увеличение значения комплекса XV приводит к существенному снижению Нс.

6. Проведенные расчеты течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе показывают, что при определенном соотношении гравитационных и вязких сил и геометрических параметров диафрагмы могут реализовываться следующие варианты течений: 1) сплошной режим заполнения с формированием струи толщиной равной ширине отверстия диафрагмы; 2) струйный режим, характеризующийся заполнением промежуточной области, предшествующей диафрагме после касания последней; 3) случай, аналогичный предыдущему, но с

распадом струи до момента заполнения промежуточной области; 4) струйный режим, характеризующийся потерей устойчивости струи после касания стенок диафрагмы; 5) беспрепятственное прохождение струей стенок диафрагмы без касания. Полученные условия разделения режимов заполнения массопровода и зависимости геометрических характеристик струй от времени позволяют осуществить выбор технологически приемлемого режима течения жидкости в массопроводе как с учетом наличия диафрагмы, так и в ее отсутствие.

7. Проведенное математическое моделирование течения вязкой жидкости, заполняющей пресс-форму с центральным телом, выявило существование пяти различных вариантов отклонения от стабильного протекания данного технологического процесса, что может являться причиной появления дефектов по монолитности в получаемых изделиях. Первый связан с потерей устойчивости струи, взаимодействующей с горизонтальной твердой поверхностью центрального тела. Второй характеризуется образованием дефектов при обтекании угловых точек центрального тела. Третий и четвертый режимы связаны с потерей устойчивости слоя, стекающего по центральному телу и растекающегося по дну пресс-формы. Пятый выражается в полном заполнении пространства между центральным телом и стенками пресс-формы на начальном этапе до достижения композицией дна. Представленные результаты расчетов при различных значениях определяющих параметров могут быть использованы для правильной организации технологического процесса изготовления изделий методом свободного литья, в частности, при формовании зарядов ракетных двигателей на твердом топливе.

Публикации по теме диссертации

1. Я кутенок В. А. Численное моделирование в плоской постановке растекания капли по твердой стенке / В.А. Якутенок, М.А. Пономарева, В.А. Архипов // Известия ВУЗов. Физика. - 2006. -Т. 49, № 6. Приложение. - С. 172-176.

2. Пономарева М.А. Определение равновесной формы объема капиллярной жидкости, расположенного на горизонтальной поверхности / М.А. Пономарева, А.М Тимохин, В.А. Якутенок // Известия ВУЗов. Физика. - 2007. - Т. 50, № 9/2. - С. 269-273.

3. Пономарева М.А. Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах Бонда / М.А. Пономарева, В.А. Якутенок // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2007. - № 1. - С. 79-83.

4. Пономарева М.А. Моделирование растекания объема вязкой жидкости по горизонтальной поверхности / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Математические модели физических процессов : материалы XII Международной конференции. -Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2007. - С. 117-121.

5. Пономарева М.А. Вычислительный алгоритм расчета взаимодействия свободной поверхности жидкости с твердой стенкой / М.А. Пономарева, В.А. Якутенок // Наука. Техника. Инновации : тезисы докладов Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. техн. ун-та, 2007. - С. 68-69.

6. Пономарева М.А. Использование уравнения Дюпре-Юнга для решения задачи о растекании жидкости при ограниченном смачивании / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2008. 1(2). - С. 9096.

7. Пономарева М.А. Особенности течения при заполнении пресс-формы с центральным телом / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Известия ВУЗов. Физика. - 2008. - Т. 51, № 8/2. - С. 206-212.

8. Пономарева М.А. Способ определения форм свободной поверхности для жидкостей, находящихся в равновесном состоянии // Физика и химия высокоэнергетических систем : сборник материалов IV Всероссийской конференции молодых ученых. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2008. - С. 276-277.

9. Пономарева М.А. Динамика контактной линии при растекании вязкой жидкости по твердой стенке / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения : тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции. - Новосибирск : Изд-во ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2008. - С. 87.

10. Пономарева М.А. Учет смачиваемости подложки при растекании жидкости по горизонтальной поверхности / М.А. Пономарева, В.А. Якутенок // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : сборник докладов VI Всероссийской конференции. - Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2008. - С. 492-493.

11. Пономарева М.А. Изучение равновесных форм капель на горизонтальной подложке применительно к технологическим процессам / М.А. Пономарева, A.C. Усанина // Наука и образование : сборник материалов XII Всероссийской

конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Т. 6. -Томск : Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2009. - С. 94-98.

12. Пономарева М.А. Численное исследование потери устойчивости струи вязкой жидкости / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Физика и химия высокоэнергетических систем : сборник материалов V Всероссийской конференции молодых ученых. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2009. - С. 349-352.

13. Пономарева М.А. Растекание жидкости по несмачиваемой поверхности // Физика и химия высокоэнергетических систем : сборник материалов V Всероссийской конференции молодых ученых. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2009. - С. 353-355.

14. Пономарева М.А. Численное моделирование потери устойчивости струи при контакте с твердой стенкой в технологии переработки полимерных композиций методом свободного литья / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Материаловедение, технологии и экология в 3-м тысячелетии : материалы IV Всероссийской конференции молодых ученых. - Томск: Изд-во инта оптики атмосферы СО РАН, 2009. - С. 244-248.

15. Пономарева М.А. Расчет равновесных форм капли, расположенной на горизонтальной поверхности / М.А. Пономарева, A.C. Усанина, В.А. Якутенок // Известия ВУЗов. Физика. - 2009. - Т. 52, № 7/2. -С. 162-166.

16. Пономарева М.А. Особенности потери устойчивости слоя высоковязкой жидкости [Электронный ресурс] // Перспективы развития фундаментальных наук : труды VII Международной конференции студентов и молодых учёных / Том. политех, ун-т. -Томск, 2010. - С. 149-151. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials /Konf_2010.pdf.

17. Пономарева М.А. Эволюция формы капли при растекании [Электронный ресурс] / М.А. Пономарева, A.C. Усанина // Перспективы развития фундаментальных наук : труды VII Международной конференции студентов и молодых учёных / Том. политех, ун-т. - Томск, 2010. - С. 197-199. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials /Konf_2010.pdf.

18. Борзенко Е.И. Моделирование технологических процессов переработки полимерных композиций / Е.И. Борзенко, М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А Якутенок, Ю.Б. Банзула, Ю.М. Милехин // Байкальские чтения: наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и

эксперимент) : тезисы докладов научной конференции. - Ижевск: Изд-во ин-та прикл. механики УрО РАН, 2010. - С. 115-116.

19. РаФорм-1. Определение равновесной формы объема жидкости, расположенного на твердой горизонтальной поверхности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010614033. Правообладатель: ГОУ ВПО Томский госуниверситет. Авторы: Пономарева М.А., Тимохин А.М., Якутенок В.А. Зарегистрировано в реестре программ 22 июня 2010.

20. РаФорм-2. Определение равновесной формы капли жидкости, расположенной на твердой горизонтальной поверхности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010612178. Правообладатель: ГОУ ВПО Томский госуниверситет. Автор Пономарева М.А. Зарегистрировано в реестре программ 24 марта 2010.

21. Пономарева М.А. Устойчивость плоской струи высоковязкой жидкости, натекающей на горизонтальную твердую плоскость / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2011. - Т. 46, № 1. - С. 53-61.

22. Ponomareva М.А. Stability of a Plane Jet of a Highly Viscous Fluid Impinging on a Horizontal Solid Wall / M.A. Ponomareva, G.R. Shrager, V.A. Yakutenok // Fluid Dynamics. - 2011. - Vol. 46, № 1. -P. 44-50.

23. Пономарева М.А. Определение коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания с применением численных расчетов равновесных форм капли / М.А. Пономарева, В.А. Якутенок // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования.-2011.-№7.-С. 1-4.

24. Ponomareva М.А. Surface tension coefficient and contact angle définition using numerical calculations of equilibrium drop shapes / M.A. Ponomareva, V.A. Yakutenok // Journal of Surface Investigation. -2011.-№4/l.—P.l-4.

25. Пономарева М.А. Колебания струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную плоскость / М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Нелинейные волны: теория и новые приложения : тезисы докладов Всероссийской конференции. -Новосибирск : Изд-во ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2011.-С. 54-55.

Список цитируемой литературы

1. Сумм Б.Д. Физико-химические основы смачивания и растекания / Б.Д. Сумм, Ю.В. Горюнов. - 1976. - М. : Химия. -232 с.

2. Якутенок В.А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 4, № 10. -С. 62-70.

3. Nakaya С. Spread of fluid drops over a horizontal plane // Journal of the Physical Society of Japan. - 1974. - Vol. 37, № 2. - P. 539-543.

4. Бабский В.Г. Гидромеханика невесомости / В.Г. Бабский, Н.Д. Копачевский, А.Д. Мышкис и др. - М. : Наука, 1976. - 504 с.

5. Cruickshank J.O. Viscous fluid buckling of plane and axisymmetric jets / J.O. Cruickshank, B.R. Munson // J. Fluid Mech. - 1981. - Vol. 113. -P. 221-239.

6. Cruickshank J.O. Low-Reynolds-number instabilities in stagnating jet flows //J. Fluid Mech.- 1988.-Vol. 193.-P. 111-127.

7. Глушков И.А. Моделирование формования изделий из свободно литьевых композиций / И.А. Глушков, Ю.М. Милехин, В.М. Меркулов, Ю.Б. Банзула. - М. : Архитектура-С, 2007.-362 с.

8. Борзенко Е.И. Заполнение каналов неньютоновской жидкостью в поле силы тяжести / Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2009. - № 6. - С. 4046.

Тираж 100 экз. Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РАСТЕКАНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1 Состояние проблемы.

1.1.1 Равновесный и динамический краевые углы.

1.1.2 Линия трехфазного контакта и прекурсионная пленка.

1.1.3 Математическая особенность при гидродинамическом описании движения линии трехфазного контакта.

1.1.4 Современное состояние исследований.

1.2 Численное исследование растекания объема вязкой жидкости по твердой горизонтальной поверхности.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Непрямой метод граничных элементов для решения плоских задач о ползущем течении вязкой жидкости со свободной поверхностью.

1.2.3 Особенности вычислительного алгоритма.

1.2.4 Результаты расчетов.

1.2.5 Определение равновесной формы объема капиллярной жидкости, расположенного на твердой горизонтальной поверхности.

1.3 Определение коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли.

1.3.1 Обзор существующих способов определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания.

1.3.2 Методика построения равновесной формы капли, расположенной на горизонтальной твердой поверхности.

1.3.3 Способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТРУИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ, НАТЕКАЮЩЕЙ НА ТВЕРДУЮ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ.

2.1 Состояние проблемы.

2.2 Постановка задачи и метод решения.

2.3 Особенности вычислительного алгоритма.

2.4 Результаты расчетов.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ МЕТОДОМ СВОБОДНОГО ЛИТЬЯ.

3.1 Общие сведения.

3.2 Течение в вертикальном массопроводе с конструктивным элементом типа «диафрагма».

3.2.1 Постановка задачи и метод решения.

3.2.2 Результаты расчетов.

3.3 Заполнение пресс-форм методом свободного литья.

3.3.1 Постановка задачи и метод решения.

3.3.2 Результаты расчетов.

3.3.3 Топограммы массораспределения.

В настоящей работе рассматриваются задачи о медленном течении вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок. К данному классу задач относятся гидродинамические процессы, происходящие при изготовлении изделий с использованием различных технологий. Наиболее эффективным с точки зрения информативности и экономичности, для исследования гидродинамических аспектов данных течений является применение методов математического моделирования, основанных на численном решении соответствующих задач. Данный подход используется в настоящей работе для изучения процессов растекания вязкой жидкости по твердой стенке, вопросов смачивания, устойчивости струй, падающих на твердую стенку, движения вязкой жидкости в массопроводе с конической вставкой ("диафрагмой") и заполнения пресс-форм с центральным телом. Данные задачи встречаются при изучении широкого круга явлений природы и технологических приложений, что обуславливает актуальность их исследования и практическую значимость получаемых при этом результатов.

Цель работы состоит в постановке вышеуказанных задач, создании эффективных вычислительных алгоритмов их решения и исследовании соответствующих течений вязкой жидкости со свободной поверхностью.

Процессам растекания и смачивания посвящено значительное число работ [1-79]. Данные процессы распространены в различных технологиях, к которым можно отнести: пайку, покрытие и покраску поверхностей методом напыления, струйную печать, склеивание и смазку материалов, нанесение пленочных покрытий, например покрытие металлических листов и стержней с помощью погружения в объем с жидкостью или извлечения из этого объема. К технологиям, основанным на механизмах растекания также можно отнести послойное покрытие поверхностей методом центрифугирования. Приведенные примеры касаются растекания жидкости по твердым поверхностям, если же поверхность представляет собой пористую среду, то область применения механизмов растекания и смачивания значительно расширяется [1]. Достижение пространственной однородности во всех перечисленных случаях является одной из основных задач, решение которой невозможно без понимания процессов растекания и сведениях об основных закономерностях этого процесса. Задачи о растекании рассматриваются в значительно отличающихся друг от друга постановках, к примеру, удар капель о твердую поверхность с разбрызгиванием и захватом пузырьков и медленное растекание, при котором инерционные эффекты можно не учитывать. Последний случай является предметом настоящей работы. Большинство исследований как экспериментальных, так и теоретических проведены в предположении, что основное влияние на процесс оказывают силы поверхностного натяжения. Это имеет место только в случае малых характерных размеров задачи, когда действие силы тяжести незначительно. Учет влияния силы тяжести, в случае, когда действие последней значительно, вносит дополнительную сложность в теоретическое описание процессов растекания капель или заполнения капилляра, так как предположение о сферичности формы свободной поверхности, использующееся в ряде работ, становится неверным. При экспериментальном изучении закономерностей растекания и смачивания обычно рассматриваются следующие явления: растекание капель по твердой поверхности, заполнение капилляра, погружение твердого тела в жидкость или изменение формы свободной поверхности жидкого объема, сжатого двумя пластинами. Теоретические исследования используют математические постановки задач, соответствующие указанным вариантам динамического взаимодействия поверхности жидкости с твердой стенкой. Следует также отметить, что немаловажное значение имеет исследование процессов растекания объемов жидкости при наличии источника [2, 3]. Данные процессы лежат в основе одной из многочисленных концепций охлаждения высокотемпературных металлических обшивок аварийных атомных реакторов, использующихся в атомной промышленности [3]. В связи с чем существует большое количество экспериментальных работ, посвященных растеканию расплавов металлов в неизотермическом режиме. Основное внимание уделяется изучению динамики процессов растекания и смачивания, поскольку, в отличие от случая равновесия [80-102], именно в этом направлении больше всего нерешенных проблем. К таким проблемам в первую очередь относится проблема динамического краевого угла (ДКУ) - это, прежде всего, его экспериментальное измерение и зависимость от основных характеристик процесса, проблема движения линии трехфазного контакта (ЛТФК) — наличие прекурсионной пленки и кинетика движения. Имеет место проблема математического описания процесса смачивания, заключающаяся в математической особенности, характерной для стандартной гидродинамической модели, предполагающей скачкообразный переход от граничных условий прилипания на твердой стенке к динамическим граничным условиям на свободной поверхности. Как показывает анализ литературных данных технологии определения равновесных краевых углов нуждаются в совершенствовании. Решению указанных проблем с освещением современного состояния исследований, посвящена первая глава диссертационной работы.

Во второй главе рассматриваются взаимодействие струи вязкой жидкости с твердой стенкой и возникающие при этом вопросы устойчивости. Проблеме устойчивости в механике уделяется особое внимание. Так, например, в механике конструкций ни один инженерный расчет не обходится без определения критических нагрузок, при которых возможна потеря устойчивости стержневых и . тонкостенных элементов. Наиболее распространенным критерием, определяющим критические нагрузки для покоящейся упругой системы, является статический критерий Эйлера [103]. Подход, который используется для получения этого критерия, заключается в анализе поведения системы при наложении малых возмущений. Если система находится в устойчивом состоянии, то наложение малых возмущений не повлияет на ее состояние. Неустойчивое же состояние будет характеризоваться развитием возмущений и удалением системы от исходного состояния. Данный принцип широко используется при анализе устойчивости механических систем. В механике жидкости и газа задача определения критериев устойчивости систем, а также классификация их поведения в смысле потери устойчивости представляется весьма сложной. Впервые вывод условий механической устойчивости неподвижной жидкости в поле силы тяжести, называемых условиями отсутствия конвекции, был представлен Рэлеем (1916г.) [104]. В случае стационарного движения жидкости, если неизбежно возникающие в потоке сколь угодно малые возмущения возрастают со временем, то движение считается неустойчивым. Одной из первых работ посвященных анализу устойчивости такого движения является решение Тейлором (1924г.) задачи о течении вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами [104, 105]. Было показано, что потеря устойчивости стационарного вращения жидкости приводит к появлению другого, тоже стационарного течения, которое представляет собой торроидальные вихри (их называют тейлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины цилиндров. В таких случаях принято говорить о смене устойчивости. Совершенно особым характером потери устойчивости обладает стационарное течение жидкости в трубе, где имеет место снос возмущений вниз по течению. Переход к турбулентному течению, устойчивость пограничного слоя и многие другие явления представляют собой фундаментальные проблемы механики жидкости и газа. Степень сложности задачи об определении устойчивости возрастает с переходом к эволюционным задачам гидродинамики, т.е. к задачам с заранее неизвестной границей. Так, во второй главе исследуется устойчивость струй высоковязких жидкостей, вертикально падающих на твердую горизонтальную поверхность в присутствии силы тяжести. Потеря устойчивости таких струй при контакте с твердой стенкой является распространенным гидродинамическим явлением [106-133], наблюдаемым как в быту, так и в технологических процессах [106-109]. В тех и других случаях наличие указанной особенности течения может привести к дефектам получаемых изделий. При высоте струи больше критической (под высотой понимается расстояние между отверстием канала, откуда вытекает жидкость и твердой стенкой) в окрестности твердой стенки происходит потеря устойчивости, и осесимметричное течение приобретает трехмерную структуру. В трехмерном случае наблюдается закручивание струи вблизи стенки, в плоском, когда под струей фактически понимается слой жидкости, - периодическое изгибание и образование складок. Рассматриваемое явление может наблюдаться также в том случае, когда вместо твердой поверхности выступает такая же жидкость. На основе томографических исследований движения лавы на глубине 660 км, ученые геофизики пришли к заключению, что подобные процессы происходят в местах столкновения тектонических плит в океане [110].

В третьей главе исследовано течение в массопроводе с конструктивным элементом "диафрагма" и изучены гидродинамические причины возникновения дефектов по монолитности .при заполнении пресс-форм с центральным телом. Указанные течения сопровождают процесс формования различных изделий, в том числе зарядов ракетных двигателей на твердом топливе методом свободного литья [134, 135]. Исследование заполнения пресс-форм экспериментальными методами позволяет определить возможные формы свободной границы [136, 137]. Однако, проведение таких экспериментов является дорогостоящим мероприятием и не может дать полной количественной информации о течении в окрестности центрального тела. Гораздо более информативным оказывается применение методов математического моделирования [135, 138—149]. Исследование процесса заполнения пресс-форм свободно-литьевыми составами проведено в режиме постоянного расхода.

При исследовании свойств изделий обнаруживается разброс физико-механических характеристик в занимаемом объеме. Анизотропия свойств готового изделия определяется, в числе прочего, характером течения жидкости в процессе заполнения пресс-формы. Для прогнозирования механических, прочностных и рабочих характеристик конкретного готового изделия необходимо знать топограмму распределения порций композиции по его объему. Решение данной задачи также рассмотрено в третьей главе.

Научная новизна работы.

• На основе непрямого варианта метода граничных элементов разработана вычислительная методика расчета медленных течений вязкой жидкости с меняющейся во времени свободной поверхностью в присутствии твердых границ, позволяющая учитывать влияние поверхностного натяжения и эффектов смачивания.

• С использованием данной вычислительной методики проведено численное моделирование растекания объемов вязкой жидкости по горизонтальной твердой поверхности и получены основные характеристики процесса растекания в широком диапазоне изменения числа Бонда и равновесного краевого угла. Сравнение с аналитическим решением в приближении теории смазки, а также сопоставление получаемых равновесных форм с формами, построенными на основе решения уравнений равновесия подтвердило эффективность предложенной методики.

• Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

• В результате исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, получена зависимость от соотношения вязких и гравитационных сил критической высоты сливного отверстия над твердой стенкой, при превышении которой происходит потеря устойчивости струи, выражающаяся в ее периодическом изгибании. Описан режим течения, характеризующийся затухающими колебаниями.

• Описаны особенности течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе, содержащем конструктивный элемент типа "диафрагма" и течения, реализующегося при заполнения пресс-форм при наличии центрального формующего стержня. Выявлены режимы, при которых возможно появление дефектов по монолитности в получаемых изделиях, на указанных стадиях реализации метода свободного литья.

Практическая ценность

Полученные результаты и созданные программы расчета могут использоваться при численном моделировании течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, контактирующей с твердыми стенками, для прогнозирования протекания процесса формования в технологии изготовления изделий методом свободного литья, а также для расчета коэффициента поверхностного натяжения жидкостей и определения угла смачивания.

Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ (проекты № 06-08-00107а, 08-08-00064а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК № П474 от «4» августа 2009г., № П848 от «18» августа 2009г., № 14.740.11.0533 от «01» октября 2010г.), договоров с ФГУП «ФЦДТ «Союз» (х/д №175 от 04.02.2008г., х/д № 1037 от 04.02.2010).

Достоверность полученных результатов следует из корректности математических постановок задачи, из внутренних проверок используемого метода (проверка аппроксимационной сходимости и выполнение законов сохранения), а также из согласования с экспериментальными данными, численными исследованиями других авторов и известными аналитическими решениями.

Основные положения выносимые на защиту:

• Вычислительный алгоритм расчета медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, базирующийся на непрямом методе граничных элементов, включающий учет действия сил поверхностного натяжения, эффектов смачивания и значительных деформаций свободной поверхности.

• Результаты численного исследования процесса растекания объема вязкой жидкости под действием силы тяжести и сил поверхностного натяжения, в том числе с учетом смачиваемости подложки.

• Способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта.

• Результаты численного моделирования процесса потери устойчивости струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную стенку.

• Результаты численного исследования течения вязкой жидкости в массопроводе с конструктивным элементом типа "диафрагма" и заполнения пресс-форм с центральным телом, реализующихся в технологии изготовления изделий методом свободного литья.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007), IV Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2008), 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008), VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008), XII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2008), V Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009), IV Всероссийской конференции молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в 3-м тысячелетии» (Томск, 2009), VII Международной конференции студентов и молодых учёных «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2010), научной конференции «Байкальские чтения: наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и эксперимент)» (Улан-Удэ, 2010), Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения» (Новосибирск, 2011), VII Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященной 50-летию полета Ю.А. Гагарина и 90-летию со дня рождения основателя и первого директора НИИ ПММ ТГУ А.Д. Колмакова (Томск, 2011).

Публикации. Основные результаты представлены в трудах вышеизложенных конференций, а также в журналах Известия РАН. Механика жидкости и газа [150] и Fluid Dynamics [151], Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования [152] и Journal of Surface Investigation [153], Известия ВУЗов. Физика [154-157], Вестник ТГУ. Математика и механика [158, 159]; получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [160, 161]; подана заявка на получение патента на изобретение. Всего по материалам диссертации опубликована 21 работа.

Краткое содержание работы.

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок, в особенности процессов растекания и смачивания. Сформулированы цель и основные задачи исследований, представлены положения, выносимые на защиту.

В первой главе освещены основные проблемы и достижения в области исследования процессов растекания и смачивания. Сформулирована математическая постановка задачи растекания объема вязкой жидкости по твердой горизонтальной поверхности. Описан алгоритм получения решения, основанный на непрямом варианте метода граничных элементов. Представлены результаты численного исследования процесса растекания. Проведено сравнение полученных результатов в результатами существующих исследований и с известным аналитическим решением. Изложена методика построения равновесных форм капель в плоском и осесимметричном случае. Описан способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли - высоты ее вершины и радиуса пятна контакта.

Во второй главе представлены результаты исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность. Проведен обзор существующих работ, посвященных изучению этого явления и приведены результаты численного моделирования.

Третья глава содержит общие сведения о сущности метода свободного литья, применяемого для изготовления изделий из высоковязких полимерных композиций и результаты численного моделирования течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе с установленным конструктивным элементом и процесса заполнения пресс-форм, содержащих центральный формующий стержень в режиме постоянного расхода.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие научные результаты:

1. В плоском приближении сформулированы физико-математические постановки задач о безынерционном растекании вязкой жидкости по твердой стенке с учетом и без учета действия сил поверхностного натяжения и эффектов смачивания, о взаимодействии струи высоковязкой жидкости с твердой стенкой, о течении высоковязкой жидкости в вертикальном массопроводе с конструктивным элементом типа "диафрагма", о заполнении пресс-форм высоковязкой жидкостью с учетом наличия центрального тела. Рассмотренные задачи относятся к классу задач о медленных течениях вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых границ.

2. Разработаны численные методики решения поставленных задач с использованием непрямого метода граничных элементов. Создан пакет прикладных программ.

3. Проведено исследование процесса растекания объема жидкости по твердой стенке, позволившее выявить адекватные способы постановки граничных условий вблизи движущейся ЛТФК и получить временные зависимости основных параметров растекающегося объема жидкости в широком диапазоне изменения числа Бонда, в том числе зависимость динамического краевого угла от времени, что представляет фундаментальный интерес для изучения процессов растекания и смачивания.

4. Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

5. Представлены картины эволюции свободной поверхности струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, в четырех режимах в зависимости от соотношении гравитационных и вязких сил (параметр "\У): 1) устойчивое симметричное растекание жидкости по стенке; 2) колебательные движения струи с последующим затуханием и переходом к устойчивому растеканию; 3) колебания струи с образованием на свободной поверхности наплывов, приводящих к появлению внутренних границ раздела; 4) изгибание струи с образованием газовых включений и внутренних границ раздела. С технологической точки зрения третий и четвертый варианты являются нежелательными. Полученная зависимость критической высоты Нс, при которой происходит переход от второго варианта течения к третьему показывает, что при XV < 0.01 величина Нс практически постоянна и равна 16.4. Показано также, что дальнейшее увеличение значения комплекса приводит к существенному снижению Нс.

6. Проведенные расчеты течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе показывают, что при определенном соотношении гравитационных и вязких сил и геометрических параметров диафрагмы могут реализовываться следующие варианты течений: 1) сплошной режим заполнения с формированием струи толщиной равной ширине отверстия диафрагмы; 2) струйный режим, характеризующийся заполнением промежуточной области, предшествующей диафрагме после касания последней; 3) случай, аналогичный предыдущему, но с распадом струи до момента заполнения промежуточной области; 4) струйный режим, характеризующийся потерей устойчивости струи после касания стенок диафрагмы; 5) беспрепятственное прохождение струей стенок диафрагмы без касания. Полученные условия разделения режимов заполнения массопровода и зависимости геометрических характеристик струй от времени позволяют осуществить выбор технологически приемлемого режима течения жидкости в массопроводе как с учетом наличия диафрагмы, так и в ее отсутствие.

7. Проведенное математическое моделирование течения вязкой жидкости, заполняющей пресс-форму с центральным телом выявило существование пяти различных вариантов нарушения стабильного протекания данного технологического процесса, что может являться причиной появления дефектов по монолитности в получаемых изделиях. Первый связан с потерей устойчивости струи, взаимодействующей с горизонтальной твердой поверхностью центрального тела. Второй характеризуется образованием дефектов при обтекании угловых точек центрального тела. Третий и четвертый режимы связаны с потерей устойчивости слоя, стекающего по центральному телу и растекающегося по дну пресс-формы Пятый выражается в превышении толщиной стекающего слоя ширины пресс-формы. Представленные результаты расчетов при различных значениях определяющих параметров могут быть использованы для правильной организации технологического процесса изготовления изделий методом свободного литья, в частности при формовании зарядов ракетных двигателей на твердом топливе.

Автор благодарит за содействие в проведении представленных исследований научного руководителя Якутенка В.А. и за ценные указания и критические замечания профессора Шрагера Г.Р., а также коллектив кафедры математической физики физико-технического факультета Томского государственного университета.

1. P.G. de Gennes. Wetting: static and dynamic // Reviews of Modern Physics. -1985. Vol. 57, № 3. - P. 827-863 / П.Ж. де Жен. Смачивание: статика и динамика // Успехи физических наук. - 1987. — Т. 151, Вып. 4. — С. 619681.

2. Chebbi R. Viscous-gravity spreading of time-varying liquid drop volumes on solid surfaces // J. Colloid and Interface Science. 2006. - Vol. 300. - P. 688696.

3. Foit J.J. Spreading under variable viscosity and time-dependent boundary conditions: estimate of viscosity from spreading experiments // Nuclear Engineering and Design. 2004. - Vol. 227. - P. 239-253.

4. Yuong T. An essay on the cohesion of fluids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1805.-Vol. 95.-P. 65-87.

5. Сумм Б.Д., Горюнов IO.B. Физико-химические основы смачивания и растекания. 1976. — М.: Химия. - 232 с.

6. Li D., Neumann A.W. Determination of line tension from the drop size dependence of contact angles // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 1990. - Vol. 43. - P. 195-206.

7. Li D. Drop size dependence of contact angles and line tensions of solid-liquid systems // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 1996. - Vol. 116. - P. 1-23.

8. Gu Y. Drop size dependence of contact angles of oil drops on a solid surface in water // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2001. - Vol. 181. - P. 215-224.

9. Letellier P., Mayaffre A., Turmine M. Drop size effect on contact angle explained by nonextensive thermodynamics. Young's equation revisited // J. Colloid Interface Sci. 2007. - Vol. 314. - P. 604-614.

10. Старое В.М., Чураев Н.Б. Равновесие капель жидкости на твердой подложке и линейное натяжение // Коллоидный журнал. — 1980. — Т. 42, Вып. 4.-С. 703-710.

11. Tadmor R., Yadav P.S. As-placed contact angles for sessile drops // J. Colloid Interface Sci. 2008. - Vol. 317. - P. 241-246.

12. Gibbs J.W. The Scientific Papers. 1961. - Vol. 1. - Dover, New-York. p. 288.

13. Boruvka L., Neumann A.W. Generalization of the Classical Theory of Capillarity // J. Chem. Phys. 1977. - Vol. 66. - P. 5464-5476.

14. Hoffman R. A study of the advancing interface. I. Interface shape in liquid-gas systems // J. Colloid Interface Sci. 1975. - Vol. 50, № 2. - P. 228-241.

15. Hocking L.M., Rivers A.D. The spreading of a drop by capillary action // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 121. - P. 425-442.

16. Cox R.G. The dynamics of the spreading of liquids on a solid surface. Part I. Viscous flows // J. Fluid Mech. 1986. - Vol. 168. - P. 169-194.

17. Байков В.И., Коробко Е.В., Гончарова Н.А. Растекание капли жидкости по твердой горизонтальной поверхности // Инженерно-физический журнал. 2003. - Т. 76, № 2. - С. 3 8-41.

18. Erickson D., Blackmore В., Li D. An energy balance approach to modeling the hydrodynamically driven spreading of a liquid drop // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2001. - Vol. 182. — P. 109122.

19. Hansen R.J., Toong T. Y. Dynamic contact angle and its relationship to forces of hydrodynamic origin // J. Colloid Interface Sci. 1971. - Vol. 37, № 1. -P. 196-207.

20. Sikalo S., Tropea C., Ganic E.N. Dynamic wetting angle of a spreading droplet // Experimental Thermal and Fluid Sci. 2005. - Vol. 29. - P. 795802.

21. Blake T.D., Bracke M., Shikhmurzaev Y.D. Experimental evidence of nonlocal hydrodynamic influence on the dynamic contact angle // Phys. Fluids. 1999.- Vol. 11, № 8. P. 1995-2007.

22. Shikhmurzaev Y.D. The moving contact line on a smooth solid surface // Int. J. Multiphase flow. 1993. - Vol. 19. - P. 589-610.

23. Blake T.D., Clarke A., Ruschak K.J. Hydrodynamic assist of dynamic wetting // AIChE Journal. 1994. - Vol. 40. - P. 229-242

24. Shikhmurzaev Y.D. Moving contact lines in liquid/liquid/solid systems // J. Fluid Mech. 1997. - Vol. 334. - P. 211-249

25. Ngan C.G., Dussan V.E.B. On the nature of the dynamic contact angle: an experimental study // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 118. - P. 27-40.

26. Железный Б.В. Экспериментальное исследование динамического гистерезиса краевого угла // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 207, № 3. - С. 647-650.

27. Elliot G.E., Riddiford A.C. Dynamic contact angles // J. Colloid and interface science. 1967. - Vol. 23. - P. 389-398.

28. Gutoff E.B., Kendrick C.E. Dynamic contact angles // AIChE Journal. 1982.- Vol. 28. № 3. - P. 459-466.

29. Tanner L.H. The spreading of silicone oil drops on horizontal surfaces // J. Phys. D Appl. Phys. 1979. - Vol. 12. - P. 1473-1484.

30. Jiang T.S., Oh S.G., Slattery J.C. Correlation for dynamic contact angle // J. Colloid Interface Sci. 1979. - Vol. 69. - P. 74-77.

31. Kistler S.F. "Hydrodynamics of wetting" in Wettability, edited by J.C. Berg (Marcel Dekker, New York, 1993). p. 311.

32. Heslot F., Cazabat A.M., Levinson P., Fraysse N. Experiments on wetting on the scale of nanometers: Influence of the surface energy // Phys. Rev. Lett. -1990.-Vol. 65.-P. 599-602.

33. Zosel A. Studies of the wetting kinetics of liquid drops on solid surfaces I I Colloid and Polymer Science. 1993. - Vol. 271, № 7. - P. 680-687.

34. Andre V., Zosel A. Dynamic wetting on porous and non porous substrates. Influence of surface tension, viscosity and porosity // Berichte der Bunsengesellschaft fur physilcalische Chemie. -1994. — Vol. 98, Is. 3. P. 429-434.

35. Lavi В., Marmur A. The exponential power law: partial wetting kinetics and dynamic contact angles // Colloid and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects. 2004. - Vol. 250. - P. 409-414. ?

36. Carre A., Woehl P. Spreading of silicone oils on glass in two geometries // Langmuir. 2006. - Vol. 22, № 1. - P. 134-139.

37. Moffat H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. 1963.-Vol. 18.-P. 1-18.

38. Huh C., Scriven L.E. Hydrodynamic model of steady movement of a solid/liquid/fluid contact line // J. Colloid Interface Sci. 1971. - Vol. 55, № l.-P. 85-101.

39. Dussan V.E.B., Davis S.H. On the motion fluid-fluid interface along a solid surface // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 65. - P. 1.

40. Калинин В.В. Влияние поверхностных сил на гидродинамику растекания капель и капиллярные течения : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.02.05 / В. В. Калинин ; Москва, 2002. - 289 с.

41. Reznik, S.N., Yarin, A.L. Spreading of a viscous drop due to gravity and capillarity on a horizontal or an inclined dry wall // Phys. Fluids. — 2002. — Vol. 14.-P. 118-132.

42. Reznik, S.N., Yarin, A.L. Spreading of an axisymmetric viscous drop due to gravity and capillarity on a dry horizontal wall // Int. Journal of Multiphase Flow. 2002. - Vol. 28. - P. 1437-1457.

43. Navier C. Memoire sur les lois du mouvement des fluids // Memoires de l'Academie Royale des Sciences de l'lnstitut de France. — 1823. Vol. 6. — P. 389-440.

44. Dussan V.E.B. The moving contact line: the slip boundary condition // J. Fluid Mech. 1976. - Vol. 77. - P. 665-684.

45. Hocking L.M. Moving fluid interface — 2. The removal of the force singularity by a slip flow // J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 79, № 2. - P. 209-229.

46. Пухначев B.B., Солонников В.А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ. 1982. - Т. 46, № 6. - С. 961-971.

47. Hocking L.M. The spreading of a thin drop by gravity and capillarity // Q.J. \ Mech. Appl. Math. 1983. - Vol. 36. - P. 55.

48. Cox R.G. The dynamics of the spreading of liquids on a solid surface. Part II. Surfactants // J. Fluid Mech. 1986. - Vol. 168. - P. 195-220.

49. Байокки К., Пухначев В.В. Задачи с односторонними ограничениями для уравнений Навье-Стокса и проблема динамического краевого угла // Г1МТФ. 1990. -Т. 180, № 2. - С. 27-40.

50. Somalinga S., Bose A. Numerical investigation of boundary conditions for moving contact line problems 11 Physics of fluids. 2000. — Vol. 12, №3. - P. 499-510.

51. Flocking L.M. On contact angles in evaporating liquids // Physics of Fluids. -1995. Vol. 7, № 17. - P. 2950-2955.

52. WangX., PengX., Duan Y., Wang В. Dynamics of spreading of liquid on solid surface // Chin. J. Chem. Eng. 2007. - Vol. 15, № 5. - P. 730-737.

53. Nakaya С. Spread of fluid drops over a horizontal plane 11 Journal of the Physical Society of Japan. 1974. - Vol. 37, № 2. - P. 539-543.

54. Воинов О.В. Гидродинамика смачивания // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1976.-Т. 5.-С. 76-84.

55. Voinov O.V. Wetting line dynamics in the process of drop spreading // J. Colloid Interface Sci. 2000. - Vol. 226. - P. 22-28.

56. Воинов О.В. Течения с квазиравновесными свободными границами в динамике смачивания твердых тел // ПММ. 2006. — Т. 70, № 2. - С. 264275.

57. Воинов О.В. Динамические краевые углы смачивания при растекании капли на поверхности твердого тела // ПМТФ. — 1999. — Т. 40, № 1. — С. 101-107.

58. Вавкушевский А.А., Арсланов А.А., Огарев В.А. Растекание капель полимеров по гладким твердым поверхностям // Коллоидный журнал. — 1984. Т. 46, Вып. 6. - С. 1076-1081.

59. Вавкушевский А.А., Арсланов А.А., Степаненко В.Ю., Огарев В.А. Растекание капли вязкой жидкости по твердой горизонтальной поверхности // Коллоидный журнал. — 1989. Т. 51, Вып. 3. - С. 379-383.

60. Reznik S.N., Yarin A.L. Strong squeezing flow between parallel plates leads to rolling motion at the contact line // Int. Journal of Multiphase Flow. 2002. -Vol. 28.-P. 911-925.

61. Lopez J., Miller C., Ruckenstein E. Spreading kinetics of liquid drops on solids // J. Colloid Interface Sci. 1976. - Vol. 57, № 3. - P. 547-550.

62. Greenspan H.P. On the motion of a small viscous droplet that wets a surface //J. Fluid Mech.-1978.-Vol. 84, № l.-P. 125-143.

63. Huppert H.E. The propagation of two-dimensional and axisymmetric viscous gravity currents over a rigid horizontal surface // J. Fluid Mech. — 1982. — Vol. 121.-P. 43-58.

64. Barenblatt G.I., Beretta E., Bertsch M. The problem of the spreading of a liquid film along a solid surface: A new mathematical formulation // Proc.

65. Natl. Acad. Sci. USA. Applied Mathematics. 1997. Vol. 94. - P. 1002410030.

66. Blake T.D., Haynes J.M. Kinetics of Liquid/Liquid Displacement // J. Colloid Interface Sci. 1969. - Vol. 30. - P. 421-423.

67. Hoffman R.L. A study of the advancing interface: II. Theoretical prediction of the dynamic contact angle in liquid-gas systems // J. Colloid Interface Sci. — 1983.- Vol. 94, № 2. P. 470-486.

68. Yang J., KoplikJ., Banavar J.M. Molecular Dynamics of Drop Spreading on a Solid Surface//Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - P. 3539.

69. Wu X., Phan-Thien N., Fan X.-J., Ng T.Y. A molecular dynamics study of drop spreading on a solid surface // Phys. Fluids. 2003. — Vol. 15, № 6. — 1357-1362.

70. Blake T.D., De Coninck J. The influence of solid-liquid interactions on dynamic wetting // Advances in Colloid and Interface Science. — 2002. — Vol. 96.-P. 21-36.

71. Дропников В.В. Молекулярно-динамическое моделирование растекания нанометровых капель простых и полимерных жидкостей по структурированной поверхности твердого тела : дис. . к-та физ.-мат. наук : 01.04.07 / В.В. Дронников ; Тверь, 2003. - 190 с.

72. Petrov J.G., Ralston J., Schneemilch M., Hynes R.A. Dynamics of Partial Wetting and Dewetting in Well-Defmed Systems // J. Phys. Chem. B. 2003. -Vol. 107, №7.-P. 1634-1645.

73. Blake T.D. The physics of moving wetting lines // J. of Colloid and Interface Science. 2006. - Vol. 299. - P. 1-13.

74. Самсонов B.M., Щербаков Л.М. Неравновесная термодинамика периметра смачивания. Термодинамические характеристики периметра смачивания. Уравнения баланса // Коллоидный журнал. 1985. - Т. 47, № 4. - С. 729-736.

75. Сал(сонов В.М., Щербаков JI.M. Применение неравновесной термодинамики к кинетике растекания и течения жидкости в капилляре // Коллоидный журнал. 1985. - Т. 47, № 5. - С. 907-914.

76. Decent S.P. The spreading of a viscous microdrop on a solid surface // Microfluid Nanofluid. 2006. - Vol. 2. - P. 537-549.

77. Королев Д.В., Наумов B.H. Определение краевого угла смачивания по анализу бинарного изображения проекции капли // Сборник трудов международной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-19», 30 мая - 1 июня 2006, Воронеж. - 4 с.

78. Ишков А.В., Разумовский Д.С., Барсуков А.А., Сагалаков A.M. Разработка программного обеспечения установки для исследования смачивания // Изв. Алтайского государственного университета. Математика и информатика. 2006. - № 1(39). - С. 64-68.

79. Арсентьев 77.77., Яковлев В.В., Крагиенников М.Г. и др. Физико-химические методы исследования металлургических процессов. — М.: Металлургия, 1988.-512 с.

80. Поппель С.И. Поверхностные явления в расплавах. — М.: Металлургия, 1994.-440 с.

81. Bashforth F., Adams J.С. An attempt to test theories of capillary action by comparing the theoretical and measured shapes of drops of fluids. Cambridge Univ. Press, London, 1883.

82. Padday J.F. The profiles of axiaily symmetric menisci // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1971.-Vol. 269, № 1197.-P. 265-292.

83. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д. и др. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976. - 504 с.

84. Иващенко Ю.Н., Еременко В.Н. Основы прецизионного измерения поверхностной энергии методом лежащей капли. — Киев: Наукова думка, 1972.-230 с.

85. Джейкок М., Парфит Дэ/с. Химия поверхностей раздела фаз. М.: Мир, 1984. С. 43-60.

86. Зимон АД. Адгезия жидкостей и смачивание. М.: Химия, 1974. - 416 с.

87. Власов Ю.В., Некрасов С.А., Хентов В.Я. Методика косвенной оценки угла смачивания по геометрическим размерам пробной капли // Математическое моделирование. 1994. — Т. 6, № 9. — С. 33-40.

88. Кузъмичев Д.Н., Багов М.С. К методике определения краевого угла смачивания поверхности пористых тел // Журнал физической химии. -1969. Т.43, № 7. - С. 1790-1794.

89. Rotenberg Y., Boruvka L., Neumann A. W. Determination of Surface Tension and Contact Angle from the Shapes of Axisymmetric Fluid Interfaces // J. Colloid Interface Sci. 1983. - Vol. 93. - P. 169-183.

90. Li D., Cheng P., Neumann A. W. Contact angle measurement by axisymmetric drop shape analysis (ADSA) // Advances in Colloid and Interface Science. -1992. Vol. 39. - P. 347-382.

91. Cheng P., Neumann A.W. Computational evaluation of axisymmetric drop shape analysis-profile (ADSA-P) // Colloids and Surfaces. Vol. 62, № 4. -P. 297-305.

92. Li D., Neumann A. W. Equation of state for interfacial tensions of solid-liquid systems // Advances in Colloid and Interface Science. 1992. - Vol. 39. - P. 299-345.

93. Dingle N.M., Harris M.T. A robust algorithm for the simultaneous parameter estimation of interfacial tension and contact angle from sessile drop profiles // J. of Colloid and Interface Sci. 2005. - Vol. 286. - P. 670-680.

94. Канчукоев В.З. Вариационный метод определения профиля жидкой капли на твердой поверхности // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2005. — № 9. - С. 109-112.

95. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Гидромеханика. Т. VI. -М.: Наука, 1988.-736 с.

96. Andereck C.D., Swinney H.L. Flows in a circular couette system // A Gallery of fluid motion. Cambridge University Press, New York, 2003. - P. 96.

97. Gomon M. Experimental study of highly viscous impinging jets // Report of Amarillo National Resource Center for Plutonium. Texas, 1998. - 36 p.

98. Tomé M.F., McKee S. Numerical simulation of viscous flow: buckling of planar jets // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 1999. - Vol. 29. - P. 705-718.

99. Tomé M.F., McKee S., Barrat L., Jarvis D.A., Patrick A.J. An experimental and numerical investigation of container filing with viscous liquids // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 1999. - Vol. 31 (8). - P. 1333-1353.

100. Habibi M. Coiling instability in liquid and solid ropes : ph. doct. thesis / Habibi M. ; De L'Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie. - Paris, 2007. -96 p.

101. Ribe N.M., Stutzman E., Ren Y., Van der Hilst R. Buckling instabilities of subducted lithosphere beneath the transition zone // Earth and Planetary Science Letters. 2007. - Vol. 254. - P. 173-179.

102. Taylor G.I. Instability of jets threads and sheets of viscous fluid // Proc. 12-th Cong. Appl. Mech. Berlin : Springer : Verlag, 1968. - P. 384-388.

103. Buckmaster J.D. The buckling of thin viscous jets // J. Fluid Mech. — 1973. — Vol. 61.-P. 449-463.

104. Buckmaster J.D., Nachman A., Ting L. The buckling and stretching of a viscida // J. Fluid Mech. 1975. - Vol. 69. - P. 1-20.

105. Cruickshank J.O., Munson B.R. Viscous fluid buckling of plane and axisymmetricjets//J. Fluid Mech. 1981. - Vol. 113.-P. 221-239.

106. Cruickshank J. O., Munson B.R. A theoretical prediction of the fluid buckling frequency // Phys. Fluids. 1983. - Vol. 26, № 4. - P. 928-930.

107. Bejan A. Buckling flows: a new frontier in fluid mechanics // Annual Review of Numerical Fluid Mech. and Heat Transfer. 1987. - Vol. 1. - P. 262-304.

108. Cruickshank J. O. Low-Reynolds-number instabilities in stagnating jet flows // J. Fluid Mech. 1988. - Vol. 193. - P. 111-127.

109. Yarin A.L., Tchavdarov B.M. Onset of buckling in plane liquid films I I J. Fluid Mech. 1996. - Vol. 307. - P. 85-99.

110. Tchavdarov B.M., Yarin A.L., Radeev S. Buckling of thin liquid jets // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 253. - P. 593-615.

111. Tomé M.F., Duffy B., McKee S. A numerical technique for solving unsteady non-Newtonian free surface flows // J. of Non-Newtonian Fluid Mech. -1996.-Vol. 62.-P. 9-34.

112. Skorobogatiy M., Mahadevan L. Buckling of viscous sheets and filaments // Europhysics Letters. 2000. - Vol. 52, № 5. - P. 532-538.

113. Castello A., Tomé M.F., Cesar C.N.L., Cuminato J.A., McKee S. Freeflow: an integrated simulation system for three-dimensional free surface flows // Comput. Vis. Sci. -2000. Vol. 2. - P. 199-210.

114. Tomé M.F., Mangiavacchi N., Cuminato J.A., Castello A., McKee S. A numerical technique for solving unsteady viscoelastic free surface flows // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2002. - Vol. 106. - P. 61-106.

115. Ribe N.M. Periodic folding of viscous sheets // Phys. Review E. — 2003. — Vol. 68.-036305 P. 1-6.

116. Ribe N.M. Bending and stretching of thin viscous sheets // J. Fluid Mech. -2001. Vol. 433. - P. 135-160.

117. Ribe N.M. A general theory of the dynamics of thin viscous sheets // J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 457. - P. 255-283.129 .Ribe N.M. Coiling of viscous jets // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A: Math. Phys.

118. Mahadevan L., Ryu W.S., Samuel A.D.T. Fluid 'rope trick' investigated // Nature. 2000. - Vol. 402. - P. 502.

119. Nagahiro S. Bending-filament model for the buckling and coiling instability of viscous fluid rope // Phys. Review E. 2008. - Vol. 78. - 0253 02(R) P. 14.

120. Глу гиков И. А., Милехин Ю.М., Меркулов B.M., Банзула Ю.Б. Моделирование формования изделий из свободно литьевых композиций. -М.: 2007.-362 с.

121. Козлобродов А.Н., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических течений в технологии переработки полимерных материалов. Томск: изд-во ТГУ, 1999. — 230 с.

122. Дудин И.В., Ищенко В.П., Малкин А.И. Экспериментальное исследование течения наполненного полимера при наличии свободной поверхности // Тепло- и массоперенос. Минск, 1972. - Т. 3. - С. 167—172.

123. Шрагер Г.Р., Щербакова И.В. Течение жидкости в процессе заполнения цилиндрических емкостей // Изв. РАН. Механика жидкости и газа.' -1990. -№ 1.-С. 65-70.

124. Березин И.К. Методы расчета течений неньютоновских жидкостей со свободными поверхностями в технологии формования полимеров и дисперсных систем : дис. . д-ра техн. наук : 01.02.05 / И.К. Березин ; — Пермь, 1995.-348 с.

125. Чехонин К.А. Моделирование технологических проблем в механике композитных материалов : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.02.04 / К.А. Чехонин ; Хабаровск, 2002. — 392 с.

126. Борзенко Е.И., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Заполнение каналов неныотоновской жидкостью в поле силы тяжести // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2009. № 6. - С. 40-46.

127. Создание и переработка высокоэнергетических наполненных полимерных композиций: отчет о НИР (промежуточ.) / Томский госуниверситет; рук. Г.Р. Шрагер.— Томск, 2009. 218 с.-№ ГР 01200963786. - Инв. № 02201050420.

128. Создание и переработка высокоэнергетических наполненных полимерных композиций: отчет о НИР (промежуточ.) / Томский госуниверситет; рук. Г.Р. Шрагер.— Томск, 2010.-269 с.-№ ГР 01200963786. Инв. № 02201056956.

129. Моделирование формования зарядов для РДТТ из свободно-литьевых составов: отчет о НИР (промежуточ.) / Томский госуниверситет; рук. М. А. Пономарева. Томск, 2009.- 75 с.- № ГР 01200963813. - Инв. №02201050401.

130. Моделирование формования зарядов для РДТТ из свободно-литьевых составов: отчет о НИР (заключит.) / Томский госуниверситет; рук. М.А.Пономарева. Томск, 2010.- 62 с.- № ГР 01200963813. - Инв. №02201056652.

131. Моделирование заполнения пресс-форм при формовании зарядов РДТТ: отчет о НИР (промежуточ.) / Томский госуниверситет; рук. М.А.Пономарева.- Томск, 2010.- 61с.- № ГР 01201061986. Инв. №02201150996.

132. Пономарева М.А., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Устойчивость плоской струи высоковязкой жидкости, натекающей на горизонтальную твердую плоскость // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2011. Т. 46, № 1.-С. 53-61.

133. Ponomareva M.A., Shrager G.R., Yakutenok V.A. Stability of a Plane Jet of a Highly Viscous Fluid Impinging on a Horizontal Solid Wall // Fluid Dynamics. 2011. - Vol. 46, № 1. - P. 44-50.

134. Пономарева М.А., Тимохин А.М, Якутенок В. А. Определение равновесной формы объема капиллярной жидкости, расположенного на горизонтальной поверхности // Изв. Вузов. Физика. — 2007. Т. 50, №9/2. -С. 269-273.

135. Пономарева М.А., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Особенности течения при заполнении пресс-формы с центральным телом // Изв. Вузов. Физика. — 2008. Т. 51, № 8/2. - С. 206-212.

136. Пономарева M.А., Усанииа A.C., Якутенок В.А. Расчет равновесных форм капли, расположенной на горизонтальной поверхности // Изв. Вузов. Физика. 2009. - Т. 52, № 7/2. - С. 162-166.

137. Пономарева М.А., Якутенок В.А. Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах Бонда // Вестник ТГУ. Математика и механика. — 2007. — № 1. — С. 79-83.

138. Пономарева М.А., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Использование уравнения Дюпре-Юнга для решения задачи о растекании жидкости при ограниченном смачивании // Вестник ТГУ. Математика и механика. — 2008. -№ 1(2).-С. 90-96.

139. Баттерфилд Р., Бенерджи П. Методы граничных элементов: пер. с англ. -М.: Мир, 1987.-524 с.

140. Бреббыя К., Телес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.-524 с.

141. Якутенок В.А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4, № 10. - С. 62-70.

142. Ладыэ/сенская О.В. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

143. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. — 279 с.

144. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука, 1975.-255 с.

145. Богатыренко С.И., Гладких Н.Т., Дукаров C.B., Крышталь А.П. Плавление и кристаллизация в слоистой пленочной системе Ge-Bi // Ф1П ФИП PSE (Физическая инженерия поверхности). 2004. - Т. 2, № 1. - С. 32-36.