Моделирование нелинейного поведения анизотропных и композитных материалов и конструкций из них тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОД

На правах рукописи

КАШ» РЛШИТ ЛБДУЛХАКОВИЧ

УДК. 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕДЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НИХ

Специальность - 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертация ка соискание ученой стсяеки доктора физико-натенатнческйх наук

КАЗАНЬ - 1994 г.

Работа выполнена на кафедре "Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности" Казанского инжеиерно-строительного института.

Научный консультант: Заслуженный деятель науки и тех-

ники РФ к РТ , академик АН РТ, доктор' физико-математических наук, профессор И.Г.Терегулов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.А.Шестериков

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Пайнувик

доктор физико-математических наук, профессор И.П.Артемьев

Ведущая организация - НИИ механики при Нижегородском государственном университете

Защита состоятся * *__1994г. в ауд. 2физ.

на заседании специализированного совета Д.053.29.01 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете им.В.Н.Ульянова-Ленина (420008, г.Ьазань, ул.Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке КГУ им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан " " i¿?

1994р.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат.наук А.И.Голованов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие современной техники неразрывно связано с созданием новых материалов и конструкций, отвечающих возрастающим требованиям надежности, прочности и экономичности проектируемых машин и сооружений. Все вире применяются композиционные материалы (КМ), конструк чи из которых часто изготавливают путем послойной намотки или наложением волокнистых КИ (ВКМ) типа армированных лент, жгутов, препре-гов, КМ на основе ткаки. Особенность таких конструкций заключается в том, что вместе с ними создается и материал, поскольку свойства его сильно зависят как от компонент КМ, их объемного содержания, структуры, так и технологии из го-; явления. Кроме анизотропии механических свойств многие КМ проявляют существенно нелинейные свойства при эксплуатационных нагрузках. В связи с этим в настоящее время наблюдается увеличение числа исследований, посвященных проблемам установления определяющих соотношений (соотношений, связывающих силовые и деформационные характеристики), решению широкого класса прикладных задач механики деформируемого твердого тела с более полным учетом свойств материала, в частности, нелинейной упругости, пластичности, ползучести.

Таким образом, актуальность рассмотренных вопросов определяется, как потребностями в проектировании конструкции из новых материалов с учетом особенностей их структуры и свойств, необходимостью обеспечения их большей надежности, так и логикой развития механики анизотропных и композиционных материалов и методов расчета конструкций из них.

Цели и задачи исследования. При рассмотрении проблем установления определявших соотношений (ОС) исследователям приходится учитывать два противоречивых требования. С одной стороны, ОС должны быть достаточно общими, позволяющими описывать поведение широкого класса реальных материалов, а с другой, они долвкы быть достаточно просты и удобны в использовании при экспериментальном отыскании параметров и функции, определяющих свойства материала, и при репенив практических задач расчета конструкций. Ваяно при этой, чтобы практические

- 3 -

модели деформирования КМ были апробированы на традиционных и новых методах численного анализа конструкций. Это позволяет использовать особенности моделей тела для создания эффективных алгоритмов расчета и дает возможность обнаружить недостатки моделей и методов, "парадоксы", к- которым приводит используемая идеализация.

В связи с этим целями работы являлись:

развитие метода асимптотического анализа определяющих соотношений для анизотропна"о материала типа ВКМ на основе учета его особенностей и получение упрощенных моделей его деформирования;

развитие теоретических основ экспериментальных методик отыскания характеристик определяющих свойства материала на основе подхода, согласно которому искомые параметры определяются на основе анализа конструкций, изготовленных из этого материала;

разработка новых методов расчета конструкций и развитие традиционных применительно к предложенным в работе и уже известным моделям деформирования твердых тел, их апробация, выявление условий применимости, достоинств и недостатков этих методов.

Научную новизну составляют следующие результаты.

1. Развита теория определяющих соотношений для анизотропных тел типа композиционных материалов: проведен анализ физических соотношений и их упрощение с целью облегчения решения задачи экспериментального определения механических характеристик материала. Методика асимптотического анализа,основанная на использовании особенностей ВКМ - сильной анизотропии механических свойств материала, позволила получить упрощенные модели нелинейно-упругого1 пластического и келинейно-вязко-упругого деформирования различных классов ВКН.

2. Развиты теоретические основы экспериментальных методик определения механических характеристик ВКМ (функций, описывающих нелинейно.упругое поведение ВКМ, параметров некоторых видов условий прочности и текучести, аппроксимаций ядра ползучести ВКМ). Методики основаны на анализе данных об 'испытаниях цилиндрических оболочек, образованных намоткой исследуе-

мого КМ.

На основе разработанных программ для определения механических характеристик К»! проведен анализ некоторых методик на предмет разрешимости, сходимости, точности, влияния разброса экспериментальных данных.

3. Рпзработаны методы решения задач прочности, жесткости и несущей способности оболочечных конструкций, в том числе, с использованием разработанных моделей деформирования ВКМ. При этом получены следующие результаты.

- Предложена итерационная процедура уточнения гипотез сдвиговых моделей деформирования оболочек, развита теория оболочек вращения по модели Тимошенко с учетом конечности перемещений.

- Разработай метод вариации упругих постоянных для двусторонней оценки несущей способности конструкций в рамках жестко-пластической модели материала, который распространен также на задачи о приспособляемости конструкций при циклических нагрузках.

- Предложенные методы проиллюстрированы аналитическими и численными решениями задач о деформировании тонкостенных конструкций. Методы реализованы в пакетах прикладных программ расчета многослойных композитных и однородных оболочек, с помощью которых проведен анализ их напряженно - деформированного состояния, несущей способности в модельных задачах, численно исследованы некоторые вопросы сходимости и точности.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается корректностью постановки задач механики и методов их решения; хорошим согласованием полученных результатов при сравнении с известными; проверкой практической сходимости численных решений конкретных задач.

Практическую ценность составляют разработанные в диссертации модели деформирования ВКМ; теоретические основы методик экспериментального определения их механических характеристик; методы расчета прочности, жесткости, несущей способности оболочечных конструкций и созданные на их основе алгоритмы и программы расчета НДС конструкций из КМ; результата исследований по влиянию различных возмущающих факторов на характеристи-

ки деформируемых тонкостенных элементов конструкций.

Основная часть работы выполнялась в рамках программы ■осударственного комитета РФ по высшему образованию "Прочность", "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций*, проекта N 93-013-16747 Российского фонда фундаментальных исследований, в соответствии с планом хоздоговорных НИР кафедры сопротивления материалов Казанского ИСИ с НПО "Композит", выполнявшихся в 1983-1993г. Часть работы, связанная с расчетами конструкций методой конечных элементов, .внедрена в учебный процесс в виде учебной программы и методической разработки.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

- Развитие методики асимптотического анализа и упрощения определяющих соотношений для волокнистых композиционных материалов.

- Упрощенные модели нелинейно-упругого, пластического к нелинейно-вязкоупругого деформирования ВНМ.

- Развитие методики экспериментального определения механических . характеристик ВКМ на основе анализа данных испытаний цилиндрических образцов, изготовленных намоткой из этого материала.

- Новый метод двусторонней оценки несущей способности конструкций в рамках теории предельного равновесия и результаты расчетов этим методом задач о несуцей способности пластин и оболочек.

- Методы, алгоритмы и результаты численных расчетов НДС нелинейно-упругих конструкций на основе итерационной процедуры уточнения гипотез теории оболочек и теории Тимошенко с учетом конечности перемещений.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Казань, 1990 г., Нижний Новгород 1993 г.); на Всесоюзной конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (г.Запорожье, 1989г.); на Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (г.Сыктывкар, 1989 г.); на Всесоюзной конференции "Современные проблема строительной механики и прочности летатель-

ных аппаратов" (г.Казань, 1988 г.); на Всесоюзной конференции "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций" (г.Тарту»1989 г.); на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоки* температур" (г.Саратов, 1988г.); на Межрегиональном совещании "Новые конструкционные материалы. Композиты" (г.Ленинград, 1991 г.); на IV Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (г.Харьков, 1991 г.); на 13-ой межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теорий упругости и прочности (г.Новосибирск, 1993 г.); на IV Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г.Казань, 1992 г.); на Международной конференции "Composite: fracture mechanics and thechnology" (Черноголовка, 1992 r;); на VIII Международной конференции по механике композитных материалов (г.Рига, 1993 г.); на итоговых научных конференциях Казанского инженерно-строительного института (1981-1994 г.г.); на Всесоюзных школах молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1983; Казань, 1985 г.; Казань, 1988 г.); на Республиканских научно-технических конференциях "Механика машиностроения" (г.Брежнев, 1987); "Наука-производству" г.Набережные Челны, 1990 г.

В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИ математики и механики Казанского государственного университета; на семинаре института механики и машиноведения Казанского научного дентра РАН; на семинаре кафедры сопротивления материалов Тверского политехнического института; на семинаре кафедры И-1 Московского государственаого технического университета им. Н.Э.Баумана.

Публикации. По теме исследований опубликованы 43 печатные работы. В автореферате приводится 22 основные публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, И разделов, заключения, графического материала и библиографического списка, включающего 305 наименований. Изложена на 410 страницах машинописного текста,

содержит 5 таблиц, 43 рисунка.

Диссертационная работа выполнена на кафедре сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности Казанского инженерно-строительного института, в соответствии с планом научно-исследовательских работ института.

Автор считает своим долгом с благодарностью отметить больсую роль научного консультанта Заслуженного деятеля науки и техники РТ И РФ, академика АНТ, профессора И.Г.Терегулова в формировании его научного миоовозрения и темы диссертационной работы.

Краткое содержание работы .

Во введении приводится обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов, формулируются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации по разделам.

Далее дается обзор работ по темам, разрабатываемым в диссертации. Отмечается, что проблемы механики анизотропных и композитных материалов и конструкций из них решали многие известные отечественные и зарубежные ученые, в том числе: Д.С.Аболинып, А.Адаме, Б. Д. Аннин, И,В.Андриянов, H.H.Алфутов, С.А.Амбарцумян, Е.К.Аикенази , И.П.Бабич, В.Л.Бажанов Н.С.Бахвалов, А.В.Березин, B.J1 .Бидерман, В.В.Болотин, В.А.Бу-нахов, И.А.Буянов, Ф.Я.Булаве, Г.И.Брызгалии, Г.А.Ванин, А.Т.Василенко, В.В.Васильев, В.Р.Винсон, Э.М.Ву, И.И.Гольден-блат, В.Т.Головчан, В.Т.Голуб, Я.М.Григоренко, А.Н.Гузь, Э.И.Григолюк, Д.Друккер, Й.Г.Иигун, А.Н.Елпатьевский, Н.П.Ершов, Ю.В.Захаров, П.А.Зиновьев, А.А.Заболоцкий, Р.И.Каралюнас, А.Л. Каламкаров, Б.А.Кудрявцев, В.И.Королев, А.Ф.Крегерс, Р.Н.Кристенсен, В.А.Копнов, А.С.Кравчук, В.В.Кобелев, Д.Н.Кар-пинос, А.Ж.Лагздинь, А.Ф.Крегерс, С.Г.Лехиицкий, В.А.Ломакин,

A.К.Малмейстер, Д.Марин, В.П.Иайборода, Б.П.Наслов, М.Ш.Нике-ладзе, С.Т.Милейко, Л.М.МанеВич, Ю.А.Иитропольский. В.Л.Нарус-берг, D.M.Новичков, Ю.В.Немировский, И.Ф.Образцов, А.С.Овчин-ский, Н.Д.Пагано, В.Н.Паймушин, Г.П.Панасенко, В.З.Партон, Б.Л.Пелех, В.В.Пикуль, В.Г.Пискунов, А.Н.Полилов, В.Прагер,

B.Д.Протасов, Б.Г.Попов, Б.Е.Победря, Г.И.Пшеничное, А.Л.Рабинович, Ю.Н.Работнов, Б.В.Розен, А.В.Розе, Б.С.Резников,

Р.Б.Рикардс, Л.Н.Сараеь, Н.П.Семенюк, Д.П.Сендецки, В.С.Сипе-тов, Р.Л.Сираковский, Э.С.Сибгатуллин, А.М.Скудра, Ю.В.Суворова, В.П.Тамуж, Ю.И.Тарнопольский, И.Г.Терегулов, Г.А.Тетере, В.Т.Томашевский, Р.Толанд, Ю.С.Уряумцев, Т.Фудзи, Л.А.Фильштинскнй, И.Н.Францевич, З.Хашин, Р.Хилл,

Л.П.Хорошун, С.Цай, С.Б.Черевацкий, С.Чамис. К.Ф.Черных, Р.А.Шейпери, Г.Д. Шермергор, С.Штрикман, Н.Л.Шульга и др.

Указывается, что в последнее время велик объем публикаций, посвященных установлению определяющих соотношений для композиционных материалов. В большинстве случаев используется структурный подход, который необходим для прогнозирования свойств КИ, особенно при решении задач проеггирования и оптимизации. Однако он в некоторых случаях плохо согласуется с экспериментом. Это вызвано тем, что в композиции материалы часто ведут себя соверненно иначе, чем в отдельности. Поэтому остается актуальной задача установления определяющих соотношений с использованием феноменелогического подхода. Для определения характеристик материала типа многослойного элемента оболочки широкое распространение получил структурио-феноменелогический подход. В работе используются последние два подхода. Указывается, что для учета специфики работы компонент КМ в композиции и косвенного учета технологических факторов, влияющих на свойства КМ, наиболее предпочтительной является методика экспериментального определения механических свойств КМ на основе анализа конструкций, изготовленных из этого КМ.

Отмечается, что вопросам расчета оболочек, в том числе, с учетом геометрической и (или) физической нелинейности, посвящено большое количество работ. Результаты фундаментального и прикладного характера излояены в ряде обобщающих монографий, например, в работах С.П.Тимоиенко, Х.М.Муитари, К.З.Галимова, В.В.Новожилова, С.Л.Амбарцумяна, А.Л.Гольденвейзера, Я.М.Григо-ренко, Л.Т.Василенко, М.С.Кориишина, Н.В.Валишвили, И.Г.Тере-гулова и многих других.Теории расчета многослойных оболочек посвящена весьма обширная литература, обзор которой проводили

A.К.Галины», З.И.Григолюк, Ф.А.Коган, А.А.Дудченко, С.А.Лурье, И.Ф.Образцов, С.А.Амбарцумян, В.В.Болотин, D.H.Новичков,

B.В.Васильев, З.И.Григолюк, Г.М.Куликов, Я.И.Григоренко,

A.Т.Василенко, Г.П.Голуб, П.В.Немировский, B.C.Резников,

B.В.Пикуль, А.И.Голованов, В.Б.Mentira, Л.П.Хоровуи.

Одним из специфических широко используемых методов расчета конструкций является метод предельного равновесия. Основополагающими в.этой теории являются работы А.А.Гвоздева. Теории пластического разрушения и методам расчета конструкций посвятили также работы Д,А.Марков, С.Н.Феинберг, Д.Друккер, В.Прагер, X.Гринберг, Р-Хидл, Ф.Ходж, Д.Д.Ивлев, А.0.Рассказов, Д.С.Дехтярь, И.И.Ерхов, А.Р.Ржаницын, А.К.Процеико, В.Одьеак, З.Мруз, П.Пежина, H.H.Безухое, А.А.Гвоздев, Л.Ц.Процеико, А-Савчук, И.Г.Терегулов, Ю.В.Немировский, ЙГ.Яигун А.А.Чирас, и другие.

В первом разделе приведена основные положения, используемые в работе.

Излагается один из подходов К ревению задачи установления структуры аргументов упругого потенциала. Используется базис симметричных тензоров второго порядка:

л4-* < 11

1 о о

ООО

(21

а а о о i о о о а

еМ , <б>

0 t о

1 о, о

ООО

И образуются инвариант«

которые в осях 0х'хгХ3 представляют собой следующие величины: I = © , I = е , I = е к I =2е , I =2е , I =2е

1 11 г 2 2 3 3 3* 6 12 * 5 13* 4 23

Любой инвариант, содержащий е^ может быть вычислен через них. Следовательно, упругий потенциал будет зависеть только от них:

Р = Р (I ..... I )

1 6

В Качестве иллюстрации удобства использования приведены

примеры вычисления числа независимых констант в общем случае анизотропии для линейно упругого тела, получения структуры аргументов для ортотропного и траисверсальио изотропного тел. Во-второн разделе развивается предложенный И.Г.Терегуло-

вым метод асимптотического анализа ОС для сильно анизотропных тел типа волокнистых КМ.

При разработке физических законов обычно вводятся различного рода гипотезы, упрощающие структуру ОС. Следуя методике И.Г.Tepeгулова в диссертации для упрощения используется тот факт, что у волокнистых материалов жесткость в направлении армирования существенно выше жесткости " поперечном направлении.

Сначала рассматривается плоское напряженное состояние. Пусть оси координат совмещены с осями ортотропии так, что стзз= <г13= <ггз= 0, а ось Ох1 расположена в направлении армирования. Для удобства анализа используется следующая индексация:

е = е , е = е , е = 2е , т '»«т", г';= аа2, с'=<г,г i и' г яг' з 13

Тогда

«T^fá^F/ае.ае.) se. = С<4&в.

aF/ae., . _ .. _________ __ .

- i -i

В силу устойчивости упругого материала

(1)

згч«е.= С4se.se .> О, <- i-

и большой жесткости К!1 в направлении армирования пг= иах ti" = Сал/С,1<< 1 . гаах <1 Сзэ/Сгг< 1,

(2)

(3)

из (2) следует, что элементы С1* должны иметь различный порядок малости по отношению к С":

|С|

1

т tí о

Г) Т)»К ' ífl _ 2 »• Э

1} П 1 к.

п <1 гг íi ?. г

V к ' т) к к п

p,q,r,S,B а 1

(4)

Отсюда вытекает, что г можно представить в виде

г'= if (е ) + тА> (е е ) + ч^к4» (е е е ) + ...

*) I 1 12 1 3 3 1 2 3

та- Л (е ) + T)2ip (е е ) +...

ТЙ1 1 23 1 2

3= (в.) +...

р. .(z,z,z) " (z), -t^ 11

Ч = Л

31 1

а < 1

Путем удержания конечного числа членов в этих рядах получены (в развитие работ И.Г.Терегулова ) другие варианты упрощенных соотношений для нелинейно упругого КМ. Например, для КМ на тканевой основе ОС, записанные в форме закона Гуна для ортотропного материала, имеют вид:

V*« В'ЧГ^в,, + 01а(1 , I )в , <т,2= 20ЭЭ(Г а)е .

I и ,1гаа . < 12

(5)

,1а)в.11+ 0аа(11)ваа, в(01а1а)/Лг.

Они является обобщением соотновений, подученных в работах И.Г.Терегулова* при условии н»р»ч»гв8=1 .

В третьем разделе рассматриваются ОС для нелинейно упругого КМ в случае объемного напряженного состояния. Волокнистый материал считается трансверсально изотропным в сечении, перпендикулярном направлению армирования Ох? Как и в разделе 2 напряжения представляются в виде асимптотических рядов по степеням малого параметра а (а"» ««С^/С11, вл»»«хС44/Сг2, в*=««*С55/С44):

+ (е ,...,е ) + ... ........ 1 * (6)

т6 = (е1) + «**"'л**%м<е,,еа,еэ) + ...

(г*- т3-»". г4-» <г", т5= *гз, а,г)

Вначале рассмотрен случай 1 «р « ц з.г « 8 » Ь, (исследований ранее в работе И.Г.Терегулова, но в первом приближении) и получены упрощение представления ОС во втором приближении в виде, аналогичном закону Гука для трансверсально изотропного тела.

' Далее проведен анализ ОС для случая, когда касательный коэффициент Пуассона много меиыве единицы (когда 1 > 2 в (6)) и случай, когда величина С44 " С2а. Например, в последнем случае вариант ОС имеет вид

'Терегулов И.Г. ДАН СССР, 1988, т.302, Н 6, с.1333-1336.

- 12 -

r4» D^e., Dtl » Dl,(J ), D1* - const, ■p 1

D23 = D23(J ,J ), De6= Dse(Jj. D2a= 2D44, (7)

Э ♦ 2

D44= D44(J3,J4), J3(eD*VaJ4) =■ aD44/8J4

V V Ja- (es + *V /2' J3e e* + V J«= вг + e3 + </2> V*.,' V'aa- еЭ=Взз- B4= 2вм- V 2e>3- ea_ 2e1Z

Рассмотрен также материал типа волокнистого КМ с обвей ортотропией и получена упроченная структура ОС для случая, когда материал имеет существенно различные жесткости в разных направлениях.

В конце раздела предложены ОС для использования в уточненных теориях оболочек, учитывающих поперечный сдвиг при допущении тэ® аР/аезя 0. Например, при С44 ~ Сга получены ОС, в обычных обозначениях имеющие вид:

a»- D"<I,>e,a+ D-e22, »«-D»eil+ 0»(Ia, J6)e22, J6 - e*3, агз» 2D44(I , J )e , <r13= 2DSS(J )e , <т,г- 2DS5(J )e .

2 6 23 2 13' 2 J 2

Четвертый раздел посвящен вопросам экспериментального опредления упругих и прочностных характеристик КИ. Использован подход, согласно которому информация о механических характеристиках КМ извлекается из данных об экспериментальных испытаниях конструкций.

Сначала исследуется задача определения жесткостных характеристик D4^ в случае плоского напряженного состояния. В качестве образца, моделирующего конструкцию, рассматривается тонкая цилиндрическая оболочка. Она изготавливается путем намотки КИ под углами ±р(А>(к = 1,...,Н) к образующей, (слои могут представлять собой различные материалы с различными характеристиками Dj^'). Нагрукение оболочек осуществляется небольшими приращениями деформаций при действии внутреннего давления q и осевой силы Р. На каждом шаге нагружения замеряются относительные удлинения ei вдоль оси 0xt (вдоль образующей), и е__ - вдоль направляющей, нагрузки Р, q (рис.1).

Учитывая законы преобразования:

Ч^З!*'^, (8)

уравнения равновесия оболочки можно записать в виде а* . . ги . .

£ г *НЬ - Е Ь т!>,л'0*" ет = Р/гпИ, (9)

где И - радиус срединной поверхности оболочки, Ь(А>- толщина слоя с номером к. Уравнения (17) можно записать для каждой точки траектории нагружения для оболочки, изготовленной из любой комбинации материалов и при любой комбинации симметричной (*р) намотки. отыскивается в виде аппроксимаций по системе функций

= 'С ^ *П(1»1»1,>- - <10>

Тогда подстановка (10) в уравнения равновесия (9) записанная для нескольких оболочек различных этапов нагружения с различной структурой намотки дает в общем случае переопределенную систему уравнений относительно О4^, решаемую методом минимизации квадратичной невязки. Эта методика реализована в виде программного комплекса для ПЭВМ.

Для случая линейной упругости при использооании двух оболочек, образованных намоткой под углами и ±р'2> соот-

ветственно, получено условие разреиимости упомянутой системы уравнений в виде:

(!'*'- 1|Л>) (I'I^'lJ'Mttg^'2'- fcg22P<l> J»0, к-1,2

На основе анализа решений ряда разработанных тестовых задач исследовано влияние разброса экспериментальных данных. Указано, что при увеличении степени анизотропии (3,1/D22) этот разброс начинает сильно влиять на D12, D21. Даются объяснения явления. Сделан вывод о тон, что самые ваяные характеристики D11, D22, D33 определяются при этом с удовлетворительной точностью.

Далее рассмотрен случай объемного НДС. Приводится методика отыскания D^ на основе анализа работы тонкой оболо ши при допущении, что известно значение модуля сдвига D41= G2j.

В этом не разделе рассмотрена задача отыскания прочностных характеристик КМ. Рассмотрен случай плоского НДС. Предложены подходы к решению этой задачи для двух вариантов критериев кратковременной прочности:

1) сттС а - cor = 1, 2) nin{ |£т^— |(тг- = О,

-с *

где с, s , s - векторы, С - матрица, характеризующие прочностные свойства КМ, <г = {<г,,<г22о-1г)т (аналогичные условия записаны в компонентах тензора деформаций). Запись этих условий при различных комбинациях внутреннего давления и осевой силы, приводящих к разрушению оболочки, дает систему уравнений относительна искомых коэффициентов матрицы С и вектора с или векторов s^, s_. Для определения напряжений в КМ "в момент разрушения используются ОС для модели разномодульного материала. Показано, что формулировка критериев прочности в компонентах деформаций имеет преимущества при использовании выбранного подхода к определению прочностных характеристик, в связи с тем, что компоненты тензора деформации в осях ортотропии могут быть вычислены с помощью формул преобразований (8) по экспериментальным значениям деформаций оболочки. Приводятся примеры построения критерия прочности для многослойного пакета в компонентах тензора деформаций оболочки, решения тестовых задач, »а которых отрабатывались алгоритмы и программы определения С,

- 15 -

с, s^, s_, численно анализировалось влияние на них разброса экспериментальных данных. Сделан вывод о том, что наибольшее влияние этот разброс оказывает на самые важные характеристики: С", с11, С22. С33.

Пятый раздел посвящен вопросам расчета нелинейно-упругих оболочечных конструкций, в том числе, с учетом геометрической нелинейности. Первоначальна рассмотрена проблема выбора закона изменения перемещений по толщине оболочки при учете поперечного сдвига. Предложена итерационная процедура уточнения этого закона, изложенная на примере геометрически линейной задачи об оссесимметричной деформации оболочек вращения.

Принимаются следующие гипотезы для компонент перемещения

+ f(<,e) <Ле), uc= u°(e),

где f, u, u°, u°- искомые функции, с - дуговая координата,

направленная по меридиану,< - по нормали к нему, щ - вдоль

параллели, х,у,п - цилиндрические координаты (Ох - является

осью вращения). Деформации в системе £С> имеют вид (штрихи обозначают производную по

е„= Ü' t + f'u + f u>-, e = (u° + f и sm «)/ Y (11) о y

2e^= Ü^fí + ы ef/эс, Й = |-si» а, сов a]T, t = {eos a, o}T

Принимая на первом шаге f11^ <;, с помощью уравнений равновесия оболочки в перемещениях и физических соотношений

вычисляются и у, и'1', <r<¿| Функция определяется из

уравнений равновесия в местной декартовой системе координат

Э(г fñt, + Эо^/ ас = о (12)

Предлагается удовлетворять уравнения равновесия (12), условие контакта по о-^ между слоями и статические граничные условия по ' а^ на лицевых поверхностях оболочки методом переопределенной коллокации. Затем из (11) отыскивается f(a,i€,<) для следующей итерации в виде

f '2,U,c) = г 2всс<<т«' "ее dc " с •

В выражении для f12'отсутствует функция и(1>, поскольку f можно определять с точностью до множителя - функции.

Работоспособность*этого метода продемонстрирована на примере задачи о деформации бесконечной пластины ширины L, толщины Н = 2h, жестко заделанной с одного края (при £ = 0), свободной с другого. Внешние нагрузки приняты следующими: на краю ? = L действуют касательная qT= 2qoGL/Eh и нормальная qa= qo(3c2- h2)/3h2 поверхностные нагрузки (qo~ константа размерности нагрузки, E,G - модули Юнга й поперечного сдвига), на поверхности с = h действует нагрузка q* = 2qQG(L + ?)/Eh, на поверхности, с = -h - нагрузка q~ =2qjH«; - L)/Eh. Решение отыскивалось методом Ритца в виде:

u€ = A,m>u°(e)+ Bmlf(m,(<,e)<J<D,(€), uc= A(m,u°(£), f<l»-c

Некоторые результаты его анализа приведены в таблице 1 (а = аХ - невязка вектора X = {А, В)т, m - число итераций).

Таблица 1.« = | дХ | / | X |

га 1 2 3 4 5

G/E L/2h

0.4 3 .536 .137 .027 .005 .001

0.08 3 .571 .438 .351 .250 .159

Делается вывод, что для достаточно тонких оболочек может быть использована модель Тимошенко.

Далее развивается теория сильного осесимметричного изгиба оболочек вращения с учетом поперечного сдвига при малых относительных толщинах. Получены соотношения для деформаций с использованием компонент перемещений срединной поверхности в цилиндрической системе координат ц , и и угла поворота нормали в в виде:

е».= е + г х. за , (13)

15 1 сШ

е.

du, du . r du 2 du г -,

1 dS dS * L dS dS J

U .in($+s) - .Ini

f r du. » si «1» (0 - **+ = »1» 0 1 +—:

l* l L dS

1С UU du -, л

- совб - совф - --i-sini J

L dS dS J J

Здесь S - длина дуги меридиана. При выводе формул для е^, е| пренебрегались деформации поперечного сдвига.

Для дискретизации задачи использовался метод конечных элементов, аппроксимация их, и^ в и меридиана проводилась линейными функциями S, интегрирование по объему элемента велось численно по квадратурным формулам Гаусса.

Разработанные алгоритмы и программы расчета НДС оболочек вращения, тестировалась на ряде задач, решенных другими авторами или имеющих аналитическое решение. Например, решалась задача о безмомеатном деформировании цилиндрической оболочки, образованной путем намотки нелинейно-упругого КМ, для которой легко найти аналитическое решение в геометрически линейной постановке. С целью проверки работоспособности программы в геометрически нелинейной постановке были ревены задачи о конечных прогибах круглой пластины и сферической оболочки из изотропного материала (результаты сравнивались с решениями, приведенными в монографии Н.В.Валившили), задачи о больших прогибах оболочек, загруженных через жесткую шайбу (реиение сравнивалось с результатами С.С.Гаврюшииа). Аналогичные сравнения были проведены с результатами расчетов об осесимметричном деформировании и выпучивании оболочек вращения, проведенных U.C.Танеевой с сотрудниками в рамках теории среднего изгиба.

Приведены реяения ряда модельных задач. В частности, задачи о малых прогибах композйЗДой оболочки, образованной намоткой нелинейно упругого однонапразленно армированного КМ вдоль геодезических линий срединной поверхности; задачи о больиих прогибах и осесимметричном выпучиваний обоЯочкй вращения под действием осевой нагрузки Рл, Приложенной через жесткую шайбу, (такие оболочки являются упругими элементами кнопочных механизмов). За параметр продолжения принималось перемещение под нагрузкой.

Был рассмотрен ряд оболочек положительной, отрицательной и нулевой Гауссовой кривизны. Исследовалось влияние геометрических и физических параметров на диаграмму "сила-перемещение" с целью удовлетворения некоторым техническим условиям.

На рис.2 приведены результаты для усеченной конической

оболочки,- с параметрами: г » 0.5И, R = 4Н, h^« О.ЗН, hc= Н/5, Е.= Е . р = 0.5, G = Е /3. Физические соотношения для ленты

Ч» О 12 13 0

принимались в виде: tjz) - [V /а2 + 11-

/ (1 Ьг). IJ- 4е^,

О"» О11^ , / 0 «31 /I , а = а = 0.01.

12 _ 11 12 О

Кривая 1 построена для случая линейной упругости, кривая 2 для Ь =» Ьг * 4, кривая 3 для Ь ■» Ь2= 2, кривая 4 - для

Ь = Ь = 1.

г г

Были проведены исследования с целью выявления параметров, по отношению к изменению которых высока чувствительность диаграммы "сила-перемещение" и получены выражения для анализа чувствительности. Оказалось, что таковыми являются толщина оболочки и кривизна меридиана. Сделаны некоторые выводы, справедливые для оболочек как из линейно, так и нелинейно упругих материалов. Например, в отличие от выпуклой оболочки для вогнутой оболочки увеличение отрицательной кривизны начиная с нулевой ведет сначала к увеличению изменяемости

р «о/zX

X

А ie

ч. ■ *

Р H

' Ь;г ' o'.V ' b;. e' ' b'.è' ' Vtb' Ч^ЧХ

100U J<rl?5ro V

100

Рис.2 Рис.3

графика "сила-перемещение", а затем - к ее выполаживанию; при больших положительных кривизнах меридиана для существования хлопка и обеспечения условия Р / Р "0,5 необходимо

m* х min

перераспределение материала путем уменьшения толщины оболочки у опорного края.

Шестой раздел посвящен приложению метода асимптотического анализа определяющих соотношений к теории пластического и вязкоупругого деформирования волокнистых композиционных материалов. Используются классические представления и положения теории пластичности, заключающиеся в следующем:

1. Пластические деформации появляются тогда, когда вектор напряжений в пространстве напряжений достигает поверхности нагружения, которая представлена в виде .

iUaß) = 1. (14).

2. Деформации считаются малыми, процесс является изотермическим, скорости нагружения, изменения деформаций малы, процесс можно считать статическим. Вводя обозначения

de

de"11, аа

de = геи"1',

3 ) 2 '

га= сг

1,2,

е = ар /(1\ , а = 1,2,3 можно записать выражения для приращений в виде:

ае = (зг1/ах ах )йт = ВЯ1Лс1т (1Ь

^т т п. п п

Ввиду невогнутости поверхноси (15) имеет место г"равенство

ЕГМт йг а 0 (16)

т л

Далее используется предположение о том, что для ВКМ характерна большая податливость пластическим деформациям сдвига и поперек волокон в сравнении с податливостью деформациям вдоль волокон. Это означает, что В11 << В"' В33. Тогда можно получить соотношение порядков элементов В и записать г.ыражения для виде асимптотических рядов:

е,-» ... сЛ= „»„¡в"/ в23)<<1, ап~ »„к(вг*/ в3!) ц

Получены упрощенные модели пластического деформирования путем отбрасывания слагаемых с малыми множителями.

Например, если волокна могут иметь пластические деформации, то условие текучести для тканевых ВКМ принимает вид

Мт,) + Мт^) + {.5(г*) = 1 . (16)

а для ОКИ

I (г ) + 1 (г ,г2) = 1

1 1 V. :> й 1

Далее рассматривается задача определения £. Сначала

изучен случай идеальной пластичности. В качестве примера

рассматривается класс ВКМ с условием текучести типа (16) в виде неполного тензорного полинома порядка 2п:

Нт) = Е (г.- х )п (т.- х = 1, (п * 1), (17)

о при ± * а, = о, ха= спи Из (17) и закона пластического течения вытекают соотношения:

V + *J. й " I J (e'J/A^)1/,an-nJ,/an

■V "V VV X

Для проведения эксперимента по аналогии с нелинейно упругим случаем применяется образец в виде многослойной тонкой цилиндрической оболочки, изготовленной намоткой ВКН под углом ± (к = 1,..., N) к образующей, Для отыскания параметров А*"* и хг используются условия равновесия оболочки в предельном состоянии.

Подстановка в уравнение равновесия (9) дает систему нелинейных уравнений относительно Xй, %(в качестве принимаются приращения пластических деформаций ободочки). Для решения применяется метод минимизаций квадратичной невязка в комбинации с методом простых итераций.

Приводится подробное описана? « анализ методик» для случая квадратичной функции f(г).

Далее рассмотрена задача об определении пластических характеристик при наличии упрочнения, Обмечается, что принятый в работе подход приводит к даяейноа алгебраической системе уравнений, если условие текучести имет вид

U - х) А(<г - ^ = &'( Г), <хт= {сг11 ,а2г,сг12}, *т={*',*2.0), а для параметров упрочнения S и xi задаются аппроксимации

о,1* <рJj-dcj, S = Е г* tfJ/Zdc dc^l г * А= i

Исследован случай, когда, извести« опредедяюяие соотношения в упругой облает;.« деформирования. Для получения разрешающих алгебраических уравнений относительно оМ', rfc необходимо провести испытания не менее (й + Ц)/2 оболочек с пошаговым нагружением обеспечивающим догрузку. Здесь de, xk можно

приближенно вычислить через замеряемые в эксперименте приращения пластических деформаций de » Дс'р> в системе координат X, по'формулам (8,). Подстановкой напряжений в уравнения равновесия (9) и закон упругости (1) получена линейная система уравнений относительно G"*"*, Н\

Рассмотрена такие задача'об определении параметров кусочно-линейной поверхности текучести. В этом случае нет одиознач-

ной зависимости между приращениями пластических деформаций и напряжениями. Эта трудность обходится путем использования итерационного процесса. С другой стороны, в этом случае в отличие от предыдущего можно учесть изменение формы поверхности текучести.

3 этом же разделе рассмотрены ОС теории нелинейной наследственности ВКИ. Для плоского напряженного состояния они записываются в следующем виде

V V т3=

Далее используется условие, согласно которому увеличение напряжения ведет к росту скорости ползучести, на всем интервале времени:

d^dr* = B^drP-dT* > 0, Bfep= агП/дхНтк, к = 1,2,3

1(C) _ . 9А<С> - Г _ А 12 _ _з /1, _ , 0\

кк ' «Л- 1 г _ ~ г • % ~ Т ' (к ~ 1,2)"

Диагональные члены матрицы В имеют физический смысл и характеризуют вязкость материала при простых напряженных состояниях. Принимается предположение о том, что вдоль волокон скорости деформаций ползучести намного меньше, чём поперек волокон и сдвиге. Это означает, что Bit« В2а, Вээ. Проведен асимптотический анализ ОС и получены различные виды выражений для ядра Н с пониже-ной размерностью.

В проблеме ' экспериментального определения вязких характеристик ВКМ исследуется принятая ранее концепция. Сначала рассмотрен линейно-вязко-упругий материал. Закон ползучести в матрично-векторных обозначениях в осях ортотропии записывается в виде i.

с = Sa + s Bade, Во- = эН (t - e,<r)/d<r, В. = В .= О (18)

4,3 3-е

о

Интеграл в (18) заменяется конечной суммой (индекс "к" означает, что параметр вычислен в момент времени t^):

- ЙЗ -

Л* 1

Отсюда находится <rft и подставляется в уравнения равновесия (9). Использование не менее двух оболочек с разными углами намотки дает систему нелинейных уравнений относительно неизвестных В <тк- Она легко решается, поскольку

распадается на систему рекуррентных уравнений, в которой первая система оказывается линейной.

Для случая нелинейной теории наследственности соотношения ползучести принимаются в виде, аналогичном линейному: г

е = Se + S В <t - 0, Tjt Тг, Тэ) <r(e) de

о

Вводится аппроксимация для матрицы В по аргументам Т.: к

В ~ £ B¿(z), *,<Т ,Т ,Т ), z = t-e. 5«! * 1 2 3

Получена разрешающая система уравнения для В*. При этой, на саге п по времени аргументы функций определяются через значения напряжений на шаге п - 1.

Далее приводятся методика численного расчета НДС оболочек из вязкоупругого КИ, которая реализована для оболочек вращения в случае линейной вязкоупругости на основе симплексных сдвиговых элементов, описанных в разделе 5, примеры решения задач для многослойных оболочек и анализ их НДС.

В седьмом разделе приводятся основные положения теории предельного равновесия, в которой используется модель жестко -пластического тела. Такая модель не учитывает упругих деформаций. Эта особенность использована в следующих разделах для разработки методов расчета предельной нагрузки.Принимаются следующие допущения и положения.

1? Поверхность текучести считается выпуклой.

2? Имеют место теоремы о нижней н верхней границах предельной нагрузки:

S<T4t* dV s jqV dV + jpVdS, a " ** o s

j-a^t*., dn г jQ^nT da + /P^atdS

Q * ** Q s 4'

где а*- кинематически допустимое поле скоростей, Q^, Р^- компонента объемных и поверхностных предельных нагрузок, «г^ -поле напряжений, удовлетворяющее закону пластического течения, - статически возможное поле напряжений. В восьмом разделе рассматривается условие текучести, являющееся обобщением критерия Мизеса на случай анизотропии:

JM = о-тА<г = 1, Уравнения равновесия записаны в операторной форме:

Lг = - Qofc , (х с a), Itr " qQt, (и с г ).

Здесь г - граница области П, занимаемой конструкцией, L.1

матрицы линейных дифференциальных операторов; х - рад ус вектор точки тела.

Представление решения в виде:

а = at , Ltr = -Q lor - q f(ff) « t2fU ) s 1 ООО O O 'O

позволяет записать t_ в следующей форме:,

t = (1//1 ' ), I » f(«r ) (19)

»а* О

к

Далее задача отыскания <го заменяется задачей нахождения поля перемещений и, связанного с aQ фиктивным законом Гука:

о-= *(х)Е (х)с ЫУ, с =Ви (х),

■о о

где Ео - симметрическая матрица упругих констант, которая определена ниже, л - искомая скалярная функция, В - линейный дифференциальный оператор, с - вектор, составленный из компонент тензора деформаций, поле перемещений и удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Задача максимизация t_ сведена к задаче минимизации функционала F

F.= min Р, F - s Ip(aE Bu )d$l (19)

Л,и о

при изопериметрическом условии:

п '»> ja(Bu)tE (Bu)dn - SQl* dQ - /qjudr « const « a (20) О 0 О 0 г 0

Уравнениями Эйлера ее являются уравнения равновесия и

соотношение для А в виде:

л = с/ /(Вц) Е^А Е0Вц, c«const

Константа с может выбираться произвольной. С использовании принципа взаимности показано, что задача отыскания нижней 'границы предельной нагрузки эквивалентна з чаче отыскания равнопрочной конструкции путем подбора упругих характеристик.

Результаты решения задачи (19), (20) использованы для отыскания верхней границы коэффициента предельной нагрузки:

t = K/U, V - s стА'1с//стА':с dfl, и = S QTudO + i qTudr О о ° г . 0

Предлагается решать задачу методом простых итераций.

В девятом разделе изложены обобщения предложенного метода вариации упругих постоянных (ВУП). Сначала он рассмотрен для разнопрочных матеоиалов и случая неоднородного нагружения. Тогда условие текучести и внешние нагрузки можно представить в виде

(о- - s)TA (<r - s) = 1, Q=Q+Qt, q=q+qt

СО. со

Задача сведена к предыдущей с модифицированными уравнениями равновесия

U = - Q , (х С п), 1т = q , (х с г),

о 1 О 1

Qs= Qo+ Ls/t_ + q,= q„- ls/t + qc/t_.

Рассмотрено прилс«ение метода ВУП к теории оболочек в двух случаях: когда условие текучести представляет собой квадратичную форму от усилий, моментов и когда условие текучести формулируется в компонентах тензора напряйений.

Далее изложено приложение метода ВУП к задаче о приспособляемости. Приведен пример решения задачи о циклическом нагру-жейии осевой силой двух соосных труб, соединенных жесткой крышкой.

Получено необходимое условие, при котором найденные методом ВУП величины t_ и t^ совпадут. Оно имеет вид

- г& ~

структур // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. КНЦ РАН, Институт мех. и машиностроения.- 1992.- Вып.27,-с.37-44.

1?. Кавмов P.A. Пластическое течение волокнистых материалов и разрушение конструкций из них // Механика композитных материалов, Рига.- 1993.- N 1- с.84-90.

18. Каюков P.A. Модели пластического течения волокнистых композитов и разрушение конструкций из них // Изв.ВУЗов. Математика,- 1993. N 4.- с.82-87.

19. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Кавков P.A. Определение яесткосткых характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Ракетно-космическая техника. Серия VIII. Материаловедение. Механика композиционных материалов. НПО "Композит",- 1993.- вып.2,- с.17-28.

20. Каюков P.A., Богданович А.У., Сафиуллии Д.Х. Физически нелинейное поведение композитных оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Кежвуз.сб. ИНГУ, 1994,- Вкп.51, Анализ и оптимизация конструкций.

21. Терегулов И.Г., Каюмов P.A., Сафиуллин Д.Х. Моделирование работы оболочек из нелинейного вязкоупругого композитного материала // Труды Международной конференции по теории оболочек и пластин, 1993, Н.Новгород. - ННГУ.: Н.Новгород, 1994, т.З.

22. Терегулов И.Г., СалимовР.Б., Каюмов P.A., Нефедов В.И. Метод и программа расчета на ЭВМ ортотропных пластин с жесткими включениями. Методические рекомендации. Гос.комитет СССР по стандартам, ЗНИИНМАШ Москва, 1985,- 36 с.