Моделирование нестационарных процессов удара и проникания тел вращения в мягкие грунтовые среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛИННИК ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ УДАРА И ПРОНИКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ В МЯГКИЕ ГРУНТОВЫЕ СРЕДЫ

01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005558540

Нижний Новгород - 2014

005558540

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Котов Василий Леонидович

Волков Иван Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор, Волжская государственная академия водного транспорта, заведующий кафедрой прикладной механики и подъемно- транспортных машин электромеханического факультета

Осипенко Кирилл Юрьевич, кандидат физико-математических наук, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, научный сотрудник лаборатории механики и оптимизации конструкций

Ведущая Институт проблем машиностроения РАН,

организация: г. Нижний Новгород

Защита состоится "29" декабря 2014 года в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корпус 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского и на сайте diss.unn.ru/431.

Автореферат разослан "28" ноября 2014 г.

Ученый секретарь ^ р Горохов Василий Андреевич

диссертационного совета л ^

Общая характеристика работы:

Диссертация направлена на анализ и развитие методов математического моделирования процессов удара и проникания осесимметричных тел в мягкие грунтовые среды в рамках теории локального взаимодействия, определение параметров и построение области применимости моделей на основе сочетания вычислительного эксперимента и данных натурных испытаний.

Актуальность проблемы:

Исследование процессов удара и проникания жестких тел в грунты представляет сложную проблему, для эффективного решения которой совместно применяются экспериментальные и теоретические методы на основе известных моделей грунтовых сред. Существующие численно-аналитические методы определения контактных сил и глубин проникания ударников в основном базируются на гипотезе локального взаимодействия. Простая связь контактного напряжения на поверхности тела с его геометрией в рамках модели локального взаимодействия (МЛВ) позволяет также эффективно решать задачи поиска оптимальных форм проникающих тел и анализа устойчивости их движения. Однако применимость идеализированных моделей к расчету параметров движения тел в грунтовых средах в настоящее время исследована недостаточно1 - практически отсутствуют верифицированные методы определения параметров моделей локального взаимодействия, учитывающие нелинейные свойства грунта.

Таким образом, проблема разработки и развития методов, основанных на сочетании модели локального взаимодействия и вычислительного и натурного экспериментов, применительно к решению задач удара и проникания в мягкие грунтовые среды с учетом двумерных эффектов обтекания и нелинейных физико-механических характеристик, является актуальной и в настоящее время.

Цель работы: Разработка и развитие математических моделей и методик исследования нестационарных процессов удара и проникания осесимметричных тел с учетом двумерных эффектов обтекания и нелинейных свойств грунтовых сред на основе теории локального взаимодействия.

Задачи исследования:

1. Разработка и развитие методик определения параметров модели локального взаимодействия при учете нелинейных свойств среды и процессов обтекания.

2. Исследование процесса внедрения тел вращения в грунт на основе модели локального взаимодействия и изучение границ ее применимости.

3. Анализ моделей и методов расчета форм тел вращения минимального сопротивления движению в грунтовых средах.

1 Ben-Dor, G., Dubinsky, A., Elperin, T. (2014). Engineering models of high speed penetration into geological shields. Central European Journal of Engineering, 4(1): 1-19.

Методы исследования:

Решение задачи основано на методике локального взаимодействия для связи силовых и кинематических характеристик процесса проникания, а также точных и численных решений в одномерной постановке. Обоснование и калибровка модели проводится сравнением с данными прямых и обращенных экспериментов НИИМ ННГУ им. Н.И. Лобачевского и результатами двумерных осесимметричных расчетов в рамках модели грунтовой среды С.С. Григоряна. Для компьютерного моделирования нестационарных процессов удара и проникания жесткого ударника в сжимаемые среды применяется схема С.К. Годунова, реализованная в пакете прикладных программ «Динамика-2» .

Научная новизна:

1. Получено новое аналитическое решение одномерной задачи о расширении сферической полости с постоянной скоростью в предположении несжимаемости грунтовой среды за фронтом ударной волны, с учетом кусочно-линейной зависимости предела текучести от давления.

2. Предложены и верифицированы два способа определения параметров МЛВ, включающей квадратичную зависимость нормального напряжения на поверхности тела от скорости и модель трения Кулона.

3. Предложен и обоснован критерий применимости МЛВ для конических и сферических ударников в широком диапазоне изменения скоростей удара. Критерием служит близость к единице отношения максимального и квазистационарного значений силы сопротивления внедрению. Построена область применимости модели для конических ударников на плоскости «угол раствора конуса - коэффициент внутреннего трения грунта».

4. Установлено, что учет нелинейных кавитационных эффектов в двумерных численных расчетах в рамках модели грунтовой среды С.С. Григоряна позволяет существенно уточнить как форму, так и силовые и кинематические характеристики проникающих тел.

Практическая ценность:

1. Вычислительные модели описания нестационарной и квазистационарной стадий движения сферических и конических тел вращения в нелинейных грунтовых средах разработаны на основе нового аналитического решения задачи о расширении сферической полости с учетом нелинейной сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды, что существенно расширяет применимость в практически важном около- и сверхзвуковом диапазоне скоростей проникания.

2 Баженов В.Г., Зефиров C.B., Кочетков A.B., Крылов C.B., Фельдгун В.Р. Пакет программ «Динамика - 2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами // Мат. моделирование. 2000. Т. 12. № 6. С. 67-72.

2. Разработанные методы решення задач поиска форм тел вращения минимального сопротивления внедрению позволяют существенно уточнить силовые и кинематические характеристики оптимальных затупленных тел при проникании в грунтовые среды с учетом нелинейных эффектов обтекания в двумерной постановке.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение одномерной задачи о расширении сферической полости в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны.

2. Методы определения параметров МЛВ на основе полученного решения задачи о расширении полости в грунтовой среде с известной ударной адиабатой и данных обращенного эксперимента.

3. Обоснование применимости МЛВ к решению задач ударного воздействия острых тел на мягкие грунтовые среды и нарушение условий применимости модели для затупленных тел.

4. Численное решение задачи оптимизации формы тела вращения минимального сопротивления с заданными ограничениями на геометрию на основе МЛВ и в двумерной осесимметричной постановке.

Достоверность:

Обоснованность и достоверность основных положений обеспечивается корректностью математической постановки задачи, применением известных моделей, анализом сходимости апробированных численных методов, качественным и количественным совпадением результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

Диссертационная работа выполнена при поддержке:

Исследования проводились в составе коллектива научной школы академика РАН Ф.М. Митенкова и Заслуженного деятеля науки РФ профессора В.Г. Баженова (НШ-2843.2012.8; НШ - 593.2014.8); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» (П1108, 14.В37.21.1137) и РФФИ (10-08-00376_а, 11-08-00565_а, 12-08-33106-мол_а_вед, 13-08-00531_а, 14-01-31113-мол_а).

За полученные результаты автор награжден стипендией Президента РФ (2013) и стипендией Министерства образования Нижегородской области им. академика Г.А. Разуваева (2012, 2013).

Апробация работы:

Работа получила высокую оценку в конкурсе научных работ аспирантов на получение финансовой поддержки диссертационных исследований, выполняемых по приоритетному направлению развития ННГУ как национального исследовательского университета (УНИК-3).

Результаты работы докладывались: на XVII - XX Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, Ярополец, 2011 - 2014; IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, Крым, 2012; XVI Международной конференция по методам аэрофизических исследований (1СМАЯ 2012), г. Казань, 2012; Международной конференции «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию Л.А. Галина, Москва, 2012; X - XII Всероссийских молодежных школах-конференциях «Лобачевские чтения», 2011 -2013; IX, X Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», г. Казань, 2012, 2014; 16 - 19 Нижегородских сессиях молодых ученых, 2011 - 2014; Форуме молодых ученых ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013; Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения», Казань, 2014.

Публикации:

Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работах, 13 из которых статьи в журналах и сборниках, рекомендованных ВАК [1-13].

Личный вклад автора:

В работах [7, 8] Линник Е.Ю. получено новое аналитическое решение задачи о расширении сферической полости в мягкой грунтовой среде с учетом нелинейной сжимаемости и внутреннего трения. Получены результаты численных расчетов, подтверждающие волновой механизм формирования силы сопротивления внедрению [3, 4, 6], определены параметры квадратичной МЛВ [2, 3, 5, 8, 9] и критерий ее применимости [4]. Реализованы модификации существующих численных методов решения задач поиска оптимальных форм тел вращения минимального сопротивления с учетом нелинейных эффектов [1, 10 - 13].

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы, содержит 145 страниц текста, 74 рисунка, 9 таблиц, список литературы включает 179 наименований.

Автор выражает благодарность проф. В.Г. Баженову за ценные замечания при обсуждении работы.

Содержание работы:

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, направленной на исследование процессов удара и проникания, протекающих в грунтовых средах, сформулированы основные цели исследований и положения, выносимые на защиту.

Глава 1 имеет обзорный характер, в ней исследуются методы изучения процессов удара и проникания в грунтовые среды: экспериментальные, аналитические, численно-аналитические и численные методы.

В пункте 1.1 проведен обзор литературы, направленной на экспериментальное изучение процессов удара и проникания в грунтовые среды. Исследованиям на основе данных методов посвящены работы H.A. Алексеева, В.В. Баландина, Ю.К. Бивина, А.П. Большакова, A.M. Брагова, Ю.Н. Бухарева, В.А. Велданова, В.П. Гандурина, С.С. Григоряна, А.К. Ломунова, В.А. Могилева, К.Ю. Осипенко, Х.А. Рахматуллина, А.Я. Сагомоняна, Ю.Н. Файкова, а также зарубежных авторов: J. Allen, X.W. Chen, M.J. Forrestal, D.J. Frew, L.M. Lee, B.D. Jenrette, R.E. Setchell, D.Y. Tzou, T.L. Warren.

Изучению процессов проникания аналитическими методами посвящен пункт 1.2., основы которых заложены в работах R.F Bishop, J.N. Goodier, R. Hill и H.G. Hopkins. Широкое распространение при изучении процессов удара и проникания получил приближенный подход, в соответствии с которым давление в каждой точке боковой поверхности ударника отождествляется с давлением на внутренней поверхности сферической полости - модель локального взаимодействия. Исследования на основе модели локального взаимодействия отражены в работах В.Н. Аптукова, В.А. Бабакова, Н.В. Баничука, К.Ю. Бобровницкого, В.А. Велданова, A.B. Звягина, А.Н. Крайко, К.Ю. Осипенко, H.A. Остапенко, И.В Симонова, Е.В. Шабунина, Г.Е. Якуниной, G. Ben-Dor, A. Dubinsky, D. Durban, T. Elperin, M.J. Forrestal, R. Masri, D.Y. Tzou, T.L. Warren. Проблема практического применения МЛВ при решении задач проникания в грунтовые среды заключается в отсутствии методов определения параметров, учитывающих нелинейные свойства грунта.

В работах коллектива НИИМ ННГУ: В.Г. Баженов, В.В. Баландин, A.M. Брагов, Е.Г. Глазова, C.B. Зефиров, В.Л. Котов, A.B. Кочетков, C.B. Крылов, А.И. Садырин, Е.В. Цветкова, развивается сочетание модельных экспериментов и расчетных методов в рамках экспериментально-теоретического подхода, что позволяет с большей полнотой устанавливать основные закономерности проникания твердых деформируемых тел в грунтовые среды.

В пункте 1.3 показано многообразие существующих методов численного решения начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, описывающих сплошные среды, таким образом, выбор конкретного численного метода при изучении процессов удара и проникания является нетривиальной проблемой и определяется классом поставленных задач.

В пункте 1.4. приведены выводы по Главе 1: для эффективного исследования процессов динамического деформирования грунтовых сред при ударе и проникании необходимо развивать комбинированные подходы, основанные на использовании методики локального взаимодействия и полученных точных и численных решений в одномерной и двумерной постановках, а для их исследования и обоснования

использовать сравнение с экспериментальными данными и решениями в полной постановке на начальной нестационарной стадии процесса.

В Главе 2 описывается математическая постановка задачи проникания ударников в грунтовую среду, в виде начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных, выражающей модель грунтовой среды С.С. Григоряна.

Математическая модель записывается в стандартных обозначениях в цилиндрической системе координат Юг (Ог - ось симметрии) в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и максимальной плотности, достигнутой в процессе активного нагружения грунта, а также уравнений теории пластического течения:

йр! & + г +игл)=-{риг)/г, йр* 1Ж = с1р1с1Ш{р — р*)Н(с1р1Ж),

рс1иг 1йг- агг г - стпл = (стгг - <7^ )/ г, /х/иг / сЬ — - г = (сг^)/ г,

DJ^ + /Ц = Юе^, (7,} = г,г), ^^ <|сг£, (1)

где обозначено: ? — время, р и р* -текущая и максимальная плотность, достигнутая в процессе нагружения, и, — вектор скорости, ег - тензор напряжений Коши, .ч, е -девиаторы тензоров напряжений и скоростей деформаций, Н(х) — функция Хевисайда, - производная Яумана, й /Л полная производная по времени, С -модуль сдвига. Параметр Я = 0 при упругом деформировании и Л > 0, если реализуется условие пластичности, оу - предел текучести. По повторяющимся индексам производится суммирование.

Замыкается система дифференциальных уравнений (1) конечными соотношениями, определяющими зависимость давления р от плотности среды при нагружении и разгрузке и условие пластичности грунтовой среды:

2

Р = л(р>Р*)н(Р* -р)н{ро -р), сгт=-/2(р). (2)

В расчетах используется контактный алгоритм «непроницаемости» по нормали со «скольжением по касательной с сухим трением» в соответствии со смешанной моделью трения. В начальный момент времени напряжения и скорость частиц грунта равны нулю, ударник считается жестким.

Расчеты проводятся по схеме С.К. Годунова и для одномерной задачи о расширении полости и в двумерной постановке при проникании затупленного ударника заданной длины на вычислительных сетках с различной степенью дискретизации показали линейную сходимость.

В Главе 3 проведено исследование модели локального взаимодействия применительно к решению задач удара и проникания осесимметричных тел в грунтовую среду, которая определяется квадратичной зависимостью нормального напряжения от скорости проникания:

ап=аи2+/3и + у, (3)

где а, р, у - коэффициенты, характеризующие инерционную, вязкостную и прочностную составляющие, находятся из решения модельных задач или определяются экспериментально.

В соответствии с известным подходом3 рассматривается одномерная задача о расширении полости из точки с постоянной скоростью в безграничной среде, которая в эйлеровых переменных с учетом сферической симметрии записывается следующим образом:

дрл_______

(4)

{ + -

8r

да „(<х-егя) (du du

-+ 2--— = Р\ — + f—

дг г I dt 8r

На границе расширяющейся полости радиуса Я0- У01 задается скорость У0, внешняя поверхность сферического слоя свободна от напряжений:

г=й„

--V0, а г=д =0,/?0|(=0 -О,

где р- плотность в деформированном состоянии, и - скорость, ег и ав -радиальная и окружная компоненты тензора напряжений Коши, г - радиальная координата.

Динамическая сжимаемость среды характеризуется ударной адиабатой в виде линейного соотношения:

с = А + Ли, (5)

связывающего скорость ударной волны с и скорость за фронтом волны о. Здесь А соответствует скорости продольной волны при отсутствии возмущений, параметр Я характеризует предельную сжимаемость. Функции и /2 в выражении (2) имеют вид:

\т0+/Л<У, 0 <а<ат, [гт, а > ат ' (6)

где р. = к /(1 + 2к /3) - коэффициент внутреннего трения.

В предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны аналитическое решение в общем виде представляется следующим образом:

<у = сг1.+руВи2С, (7)

рув=р0/(\-£3),£=У0/с,с = А1'Х+А/3,

з/г-гг-ИД, ^ = 0;

СИ 1/З-21п£-С3/З, ^ = 0,5;

ф) = р0А2в/(1-Лв)2 f2(ß) =

2/^ + 1 l-2,u ■--£

[(^-2)(2/i-l) 2fi — \

М-I 4-2 м

■--£ ,

м-2

3 M.J.Forrestal and V.K. Luk. Penetration into soil targets // Int. J. Impact Engng. 1992. Vol. 12. # 3. Pp. 427^444.

9

В полученном аналитическом решении плотность несжимаемой среды не является произвольным параметром, как у M.J. Forrestal, а определяется для каждой скорости расширения полости в соответствии с ударной адиабатой из условия Гюгонио на ударной волне. Это существенно расширяет применимость аналитического решения для около- и сверхзвуковых скоростей проникания.

Аппроксимацией полученного решения (7) методом наименьших квадратов определяются неизвестные параметры а, ß модели локального взаимодействия (3). Для песчаной смеси естественного состава в диапазоне изменения скоростей расширения полости и=40+250 м/с получены значения а =1,2, /9=190 м/с, при i(=200+1000 м/с значения параметров модели составили «=0,9, /7=260 м/с.

Другой способ определения параметров модели основан на использовании экспериментальной зависимости силы сопротивления внедрению от скорости удара

в форме Резаля: F — /10V0 + B0VQ. Исследовались процессы удара и проникания конических ударников с углом раствора при вершине конической части 2т]= 40°, 60°, 80°, 100°, 140°

и 180°. Принимая во внимание модель локального взаимодействия (3), сила сопротивления внедрению конического ударника с учетом трения Кулона также может быть представлена в виде, близкому к квадратичному закону проникания в форме Резаля:

F = (l + kj-ctgTj )crnS = р0и(аи +/?)(l + kfCtgrj]s, u=V0smrj, (8)

где S - площадь миделя поперечного сечения конического ударника, kj- -

коэффициент поверхностного трения.

На рис. 1 приведены нормированные силы сопротивления внедрению конических ударников в песчаный грунт в зависимости от безразмерной скорости удара и нормальной скорости, где F0 = pQVQAS, Fn = (l + кjCtgrjjp()uAS, kj-= 0,45.

Штриховые линии на рис. 1, а соответствуют линейной аппроксимации результатов экспериментов4, полученных для конических ударников. Видно, что для конических ударников при 2т] < 80° зависимость силы сопротивления может быть представлена единой кривой (штриховая линия) с погрешностью, не превосходящей разброс экспериментальных данных.

Таким образом, представленные результаты можно использовать для определения параметров квадратичной MJIB [8]. В диапазоне изменения нормальных компонент вектора скорости ¡(=40+250 м/с получены значения а =1,21, >9=182 м/с, что достаточно близко к значениям, полученным при решении задачи о расширении сферической полости с учетом нелинейных свойств грунта.

4 Баженов В.Г., Баландин В.В., Врагов A.M. и др. Экспериментально-теоретическое исследование процессов взаимодействия ударников различной формы с преградой из песка // Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения. Сборник докладов II Научной конференции ВРЦ PAP АН. Саров: РФЯЦ- ВНИИЭФ, 2003

Рис. 1. Безразмерные зависимости максимума силы сопротивления внедрению от скорости удара (а) и нормальной скорости (б)

Этот факт свидетельствует также о применимости разработанной MJIB к определению максимального значения силы сопротивления внедрению в песчаный грунт конических ударников с углом раствора менее 80 градусов.

В Главе 4 проведен анализ применимости MJIB к решению задач удара и проникания полусферических и конических ударников в мягкий грунт, построена область применимости модели для конических ударников.

Сравнение результатов численных расчетов и MJIB показало, что для сферических ударников значения напряжений, определенные в моменты достижения силой сопротивления внедрению максимального значения, удовлетворительно описываются моделью (3). Для определения значений на квазистационарной стадии внедрения, предлагается модифицировать (3), добавив постоянное слагаемое (с обратным знаком), равного напряжению в точке отрыва потока а*:

ап=а-а* = «V02 (cos2 <р - cos2 ф *)+ f3V0 (cos ф- cos ф*), crT=kfan, (9)

угол ф отсчитывается от вершины сферы. В соотношениях (9) ф* является свободным параметром, который при изменении скорости удара в диапазоне 0,5 <Vo/A < 1,5 близок углу отрыва потока (ф* ~ 60°) [3, 9].

Аналогичные исследования проведены при определении сил сопротивления прониканию конических ударников [5]. На рис. 2 в безразмерном виде приведены линейные аппроксимации данных обращенного эксперимента в зависимости от нормальной компоненты вектора скорости. Для сферического ударника величина Fn определялась при 277 =71°. При выбранной нормировке результаты, полученные в

рамках МЛВ на основе решения задачи о расширении сферической полости (штрихпунктир на рис. 2) для сферы и конуса практически совпадают. Хорошее

совпадение результатов свидетельствует о применимости МЛВ к определению максимального значения силы сопротивления внедрению в песчаный грунт сферических и конических ударников с углом раствора менее 80°.

Как было отмечено ранее, МЛВ не всегда удовлетворительно описывает величину силы сопротивления внедрению.

В работе показано, что в качестве критерия применимости МЛВ можно использовать близость отношения максимального и квазистационарного значений силы сопротивления к единице [4] или величины = [рх/— 1]-100% к нулю.

Д конус

О сфера

— МЛВ

^¿Яг

0,5

Рис. 2. Сравнение максимальной силы сопротивления внедрению, полученной в рамках МЛВ с экспериментальными данными

V ¡¡¡¡¡¡ш

ш Ян

о 0,5 1 *

Рис. 3. Область применения МЛВ для конических ударников: заштрихована область I, где погрешность МЛВ ¿><20%, и практически совпадает с ней область II, где выполняется условие К/< 20%.

полученные на основе МЛВ (1) и в рамках МСС(2): светлые ромбы - кусочно-линейное представление образующей (N=16), сплошная и штриховая линии -представление образующей в форме полинома Безье при №= 3 и 2

С учетом критерия получена область применимости МЛВ к расчету силы сопротивления внедрению конических ударников (рис. 3), погрешность

= (т7'" - млв|/ р'п . [00% которой не превосходит 20% во всем диапазоне изменения коэффициентов внутреннего трения.

В Главе 5 проводится анализ моделей и методов решения задач поиска осесимметричных форм тел минимального сопротивления при проникании в мягкие грунтовые среды на основе моделей локального взаимодействия и модели грунтовой среды С.С. Григоряна.

Одним из методов для поиска оптимальных тел, применяемых в работе, является метод локальных вариаций. Для приближенного решения поставленной задачи рассматриваются различные представления образующей: кусочно-линейный вид [10], квадратичный полином Безье [11] с притуплением радиуса гд.

Численные расчеты проводятся при следующих значениях параметров: а^1,1, Р= 0, у=0, размеры тела 0,01м, 1УЯ =45, скорость проникания У0 =400 м/с. Формы образующей, полученные в расчетах, представлены на рис. 4.

Сравнение результатов расчетов оптимальных форм показало, что решение, определяемое тремя параметрами, практически точно соответствует кусочно-линейному представлению. Показано подобие итерационных процессов с применением МЛВ и в постановке механики сплошной среды, что позволяет обосновано использовать аппроксимацию образующей полиномом Безье с тремя параметрами в осесимметричной постановке. г!Ь

0,5

V /я

/ / X У //' /// //< ' / У

"'Л \ \ \ ч ч. ______6

У / / / Г

0

0,5

г/Л

Рис. 5. Формы тел вращения минимального сопротивления (о) и соответствующие им силы сопротивления внедрению (б): сплошная линия - результаты численных расчетов, штрихпунктирная и штриховая линии - граничные значения области допустимого изменения параметров с учетом погрешности 3=5%

Результаты расчетов с учетом трения 0,3, //=0,6) представлены на рис. 5, а, б. Видно, что оптимальные тела в полученном диапазоне также имеют затупленную форму с торцом [11]. Графики сил сопротивления внедрению, соответствующих крайним положениям форм лежат выше оптимальной на участке, когда достигается квазистационарная стадия внедрения. Различия в силах на этой стадии не превосходят 5%.

В таблице представлены значения силы сопротивления внедрению в грунт ударников с различными формами головной части с постоянной скоростью 400 м/с при различных значениях коэффициента внутреннего трения грунта. В первом столбце представлены формы сравниваемых тел: оптимальные тела, полученные в рамках МЛВ и в двумерной осесимметричной постановке и конический ударник той же длины и радиуса поперечного сечения. Во втором столбце представлены значения силы сопротивления внедрению, полученные в рамках квадратичной МЛВ, в третьем столбце - в двумерной осесимметричной постановке МСС с использованием ППП «Динамика-2». В последнем столбце - погрешность определения силы сопротивления внедрению. В верхних строчках таблицы представлены данные для грунта с коэффициентом внутреннего трения //=0,6, в нижних - для водонасыщенного грунта (//=0).

Сравнение сил сопротивления внедрению для различных форм и методов расчета

-----Модель Форма тела Б,, кН (МЛВ) /-2, кН (МСС) Рг

/¿=0,6 58 60 3

//=0 16 17 4

о /¿=0,6 49 41 20

/¿=0 13 11 18

а ,"=0,6 55 34 61

/¿=0 17 8 112

Из таблицы видно, что силы сопротивления внедрению конического ударника, полученные по разным моделям, близки, отличия не превышают погрешности расчетов 5%. С увеличением радиуса притупления тел различие сил вследствие ошибки МЛВ растет и составляет 1,5-2 раза. Таким образом, учет нелинейных кавитационных эффектов в двумерных численных расчетах в рамках модели грунтовой среды С.С. Григоряна позволяет существенно уточнить как форму, так и силовые и кинематические характеристики проникающих тел.

В работе определены максимальные глубины проникания по инерции в грунт [1] конуса и затупленного тела; получено хорошее соответствие расчетов в двумерной постановке и аналитического решения на основе зависимости квазистационарных значений силы сопротивления внедрению от скорости удара, которая описывалась законом Резаля. Это подтверждает вывод о том, что параметры процесса проникания тела конечной массы в грунт преимущественно определяются квазистационарными значениями силы сопротивления внедрению.

14

В Заключении приведены основные результаты и выводы:

1. Получена новая МЛВ, уточненная за счет учета нелинейной сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды при аналитическом решении задачи о расширении сферической полости:

• - погрешность аналитического решения в предположении несжимаемости за фронтом ударной волны по сравнению с численными решениями в полной постановке для модельной среды составила менее 5% в допустимом диапазоне изменения коэффициента внутреннего трения при около- и сверхзвуковых скоростях расширения полости;

• - подтверждено соответствие двух подходов к определению параметров МЛВ, основанных на использовании решения задачи о расширении сферической полости с учетом динамической сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды и на основе данных обращенных экспериментов по внедрению конических ударников в песчаный грунт;

• разработанная МЛВ удовлетворительно качественно и количественно описывает распределение нормальных напряжений в момент достижения силой сопротивления максимального значения при внедрении в мягкий грунт сферических и острых конических ударников.

2. Проведено исследование процесса внедрения осесимметричных ударников в песчаный грунт с постоянной скоростью на базе данных обращенных экспериментов, двумерных численных расчетов и модели локального взаимодействия на основе квадратичной зависимости нормального напряжения на поверхности тела от скорости и модели трения Кулона:

• показано хорошее соответствие результатов экспериментов, двумерных численных расчетов и МЛВ для определения максимума силы сопротивления при внедрении в песчаный грунт ударников с полусферическими оголовками и конических ударников с углом раствора менее 80 градусов;

• предложен критерий применимости МЛВ к описанию квазистационарной стадии внедрения в грунт сферических и конических ударников, основанный на близости к единице отношения максимального и квазистационарного значений силы сопротивления;

• на плоскости «угол полураствора-коэффициент внутреннего трения» построена диаграмма, отражающая область применимости квадратичной МЛВ с погрешностью менее 20% к описанию квазистационарной стадии внедрения в грунт конических ударников.

3. Проведен анализ моделей и методов решения задач поиска оптимальной формы тел вращения при их проникании в грунтовые среды

на основе МЛВ и модели грунтовой среды С.С. Григоряна в осесимметричной постановке:

• - установлено, что сходимость последовательных приближений при расчете сил сопротивления в рамках квадратичной МЛВ и в двумерной осесимметричной постановке качественно подобны при существенном количественном отличии форм минимального сопротивления;

• - методика расчета полей давлений в окрестности головной части тела должна учитывать двумерные эффекты обтекания, в предварительных исследованиях может быть использована МЛВ, при этом рассчитанные силы сопротивления могут оказаться завышенными в полтора — два раза;

• - численно показано, что силы сопротивления, соответствующие квазистационарной стадии внедрения, преимущественно определяют параметры процесса глубокого проникания тела конечной массы в грунт, при этом отношение конечных глубин проникания тел вращения при учете внутреннего трения оценивается отношением коэффициентов в формулах Резаля.

Публикации по теме диссертации в изданиях из списка ВАК

1. Баженов В.Г., Котов В. Л., Линник Е.Ю. О моделях расчета форм осесимметричных тел минимального сопротивления при движении в грунтовых средах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 449, №2. С. 156-159.

2. Котов В.Л., Баландин Вл. В., Линник Е.Ю., Баландин Вл. Вл. Применение модели локального взаимодействия для определения силы сопротивления внедрению ударников в песчаный грунт // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Вып. 54. № 4. С. 114-125.

3. Котов В.Л., Баландин Вл.В., Линник Е.Ю., Баландин Вл.Вл. О применимости модели локального взаимодействия для определения сил сопротивления внедрению сферы в нелинейно-сжимаемый грунт // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т.5, № 4. С. 435-442.

4. Линник Е.Ю. Численное исследование волнового механизма формирования силы сопротивления внедрению тел вращения в грунтовые среды // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 1(1). С. 164-169.

5. Линник Е.Ю. Определение параметров модели локального взаимодействия при внедрении конических ударников в песчаный грунт // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014 №1(1). С. 186-191.

6. Котов В.Л., Баландин Вл.Вл., Линник Е.Ю., Баландин Вл.В. Численный анализ методики прямого эксперимента при внедрении полусферического ударника в песчаный грунт // Проблемы прочности и пластичности. 2011. Вып. 73. С. 51-57.

7. Котов В.Л., Линник Е.Ю., Макарова A.A., Тарасова A.A. Анализ приближенных решений задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде // Проблемы прочности и пластичности. 2011. Вып. 73. С. 58-63.

8. Линник Е.Ю., Котов В.Л., Тарасова A.A., Гоник Е.Г. Решение задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде в предположении несжимаемости за фронтом ударной волны // Проблемы прочности и пластичности. 2012. Вып. 74. С. 49-57.

9. Котов В .JI., Линник Е.Ю., Тарасова A.A. Определение параметров квадратичной модели локального взаимодействия при внедрении сферического ударника в мягкий грунт // Проблемы прочности и пластичности. 2013. Вып. 75(1). С. 47-55.

10. Котов В.Л., Линник Е.Ю. Численный расчет формы тела вращения минимального сопротивления движению в грунтовой среде // Проблемы прочности и пластичности. 2013. Вып. 75(4). С.77-83.

11. Котов В.Л., Линник Е.Ю. Численный расчет оптимальной формы тела вращения при движении с постоянной скоростью в грунтовой среде // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т.7, № 2. С. 142-150.

12. Котов В.Л., Линник Е.Ю. Прямой метод расчета формы тела вращения минимального сопротивления внедрению в грунтовую среду // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 4(1). С. 145-149.

13. Линник Е.Ю. Численный расчет оптимальной формы тела вращения при проникании в грунтовые среды // Ученые записки Казанского университета. 2014. Т. 156, Вып. 2. С. 99-101.

Доклады на международных конференциях (за последние 3 года):

14. Баженов В.Г., Котов В.Л, Линник Е.Ю. Оценка силы сопротивления внедрению ударника в грунт на основе решения задачи о расширении сферической полости // XVIII Международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. - М.: «ТР-принт». 2012. Т. 1. С. 13-14.

15. Врагов А.М., Котов В.Л., Линник Е.Ю. и др. Экспериментально-теоретическое исследование движения сферического тела в песчаном грунте // Там же. С. 32-33.

16. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю. Численный расчет формы тела вращения минимального сопротивления внедрению в сыпучие среды с учетом трения и кавитации // IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях 2012 г. Алушта, Крым. М.: Изд-во МАИ. С. 303-305.

17. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю. О применимости моделей локального взаимодействия для определения сил сопротивления внедрению затупленных тел вращения в нелинейно-сжимаемый грунт // XVI Международная конференция по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2012), 20-26 августа 2012 года, г. Казань, Республика Татарстан. С. 28-29.

18. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю. Моделирование наклонного проникания тел в грунтовые среды на основе моделей локального взаимодействия // Международная конф. "Современные проблемы механики", поев. 100-летию Л.А. Галина. 2012. С. 13-14.

19. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю., Тарасова A.A. Анализ моделей и методов расчета движения тел вращения минимального сопротивления в грунтовых средах // XX Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций сплошных сред» им. А.Г. Горшкова,- М.: «ТР-принт». 2014. Т. 1. С. 14-16.

20. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю., Тарасова A.A. Исследование моделей и методов расчета форм тел вращения минимального сопротивления при движении в грунтовых средах // XIX Международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. - М.: «ТР-принт». 2013. Т. 1. С.26-27.

Подписано в печать 28.10.2014 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 639. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37