Моделирование свойств композиционных материалов, дисперсно армированных жесткими короткими волокнами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ РАН

004613443

Гордеев Андрей Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ, ДИСПЕРСНО АРМИРОВАННЫХ ЖЕСТКИМИ КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 НОЯ 2010

Москва 2010

004613443

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Институте Прикладной Механики РАН

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Лурье Сергей Альбертович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Березин Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор Дудченко Александр Александрович

Ведущая организация:

«МАТИ» — Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Защита состоится " / "^//(ДьЩЗ 2010 г. в & часов на

заседании диссертационного совета Д212.125.05 в Московском авиационном институте (государственный технический университет), кафедра 902 по адресу: 125871, г.Москва» ГСП, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан 2010

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат фйзйко-математических наук

Г.В. Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Композиционные материалы и конструкции находят широкое применение в различных областях техники уже достаточно давно. Связано это в первую очередь с их более высокими удельными характеристиками, а также с возможностью изменить свойства материала именно в тех направлениях и в тех местах конструкции, где это наиболее необходимо.

Принципиальные результаты при разработке прикладных моделей новых композиционных конструкционных материалов, методов оценки эффективных свойств, методов оценки разрушения, накопления повреждений композитов, зависимости процессов поврежденности от свойств структуры, а также асимптотических итерационных и иных приближенных методов исследования деформаций элементов конструкций, несущей способности композитных конструкций связаны в первую очередь с именами таких ученых как: Н.С. Азиков, А.В.Бабешко, А.В.Березин, В.А.Бунаков, Г.А.Ванин, В.В.Васильев, И.И.Ворович, Р.В.Гольдштейн, Э.И.Григолюк, А.А. Дудченко, А.Н. Елпатьевский, С.А. Лурье, Ю.М.Новичков, И.Ф.Образцов, А.Н.Полилов, Б.Е.Победря, Н.Н.Рогачева, Салганик Р.Л, Ю.Н.Тарнопольский, К.Б. Устинов, а также В.ВисИашку, Я. М. Оп^ешеп, АУ. Бузкт, Ь-КОегтапомсЬ, г.НаэЬт, М.КасЬапоу, Б. Капаип, Т.Моп, К. Тапака, Т.Мига, в-М. Ос^агё и др.

Открытие в 1991 году длинных, цилиндрических углеродных многослойных и однослойных структур получивших название нанотрубок (УНТ) стало отправной точкой в создании нового вида композиционных материалов - нанокомпозитов. Как известно, углеродные нанотрубки обладают механическими характеристиками, значительно более высокими, чем у стали. Одна из наиболее очевидных возможностей использования этих уникальных объектов связана с созданием нанокомпозитов, т. е. полимерных материалов (матриц), содержащих некоторое, весьма небольшое количество УНТ. В этом случае говорят о модификации полимерных матриц. Главная цель такой модификации состоит в целенаправленном изменении свойств

матрицы. Ожидается, что малое объемное содержание нановключений изменяя некоторые базовые механические свойства матриц, позволит оставить без изменения их технологические качества, являющиеся существенными при изготовлении неоднородных армированных композитов в целом, что позволит получить улучшенные конструкционные композитные материалы без существенного изменения технологии изготовления. При этом главная трудность состоит в обеспечении хорошей адгезии между поверхностью нанотрубки и молекулами полимерной матрицы. При плохой адгезии нанотрубки внутри матрицы при малых объемных долях могут фактически никак не влиять на свойства матриц, или даже приводить к ухудшению свойств.

Основными областями применения наномодифицированных композитных материалов в настоящее время являются автомобилестроение, авиастроение, космическая промышленность, производство упаковочных материалов, спортинвентаря. Темпы промышленного освоения наномодифицированных полимерных материалов, с каждым годом растут. По мере того, как решаются проблемы получения и удешевления нанонаполнителей, разрабатываются новые технологии диспергирования наночастиц в полимерной матрице, снижается себестоимость конечной продукции и увеличиваются объемы её производства. В этой связи представляется весьма актуальным предсказание свойств будущего нанокомпозита по свойствам, входящим в его состав, компонентов. Разработке модели, позволяющей предсказать конечные свойства нанокомпозитов, и посвящена данная работа.

Целью работы является: обоснование и разработка инженерной модели для наномодифицированных матриц как мелкодисперсных композитов, усиленных короткими волокнами (включениями), способной достоверно предсказать свойства композита по свойствам компонент, особенно в области малых объемных содержаний сверхмалых включений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Предложен алгоритм оценки эффективных свойств, использующий характеристики погранслоя в рамках классической теории упругости, трактуемого как «межфазный слой».

- Предложена прикладная.,модель адгезии, позволяющая учесть влияние адгезии на границе волокно-матрица на эффективные модули упругости нанокомпозита.

- Развита модель межфазного слоя, в рамках градиентной теории упругости, учитывающей локальные когезионные взаимодействия. Дан обоснованный прогноз получения более высоких значений эффективных характеристик композиционных материалов, армированных нановолокнами, в рамках градиентных моделей, позволяющих учитывать масштабные эффекты.

- Построена когезионно-адгезионная модель межфазного слоя, в рамках градиентной теории упругости. Модель позволяет объяснить известные эффекты аномального усиления в нанокомпозитах.

- Предложена процедура оценки свойств «изотропного» нанокомпозита, армированного нановолокнами с изотропным распределением по углам с использованием градиентной модели.

Практическое значение работы. Введение в полимер относительно небольшого объема нановолокон (нановключений) позволяет существенно изменить жесткость модифицированной матрицы за счет межфазных эффектов на границах раздела фаз, величина которых возрастает с уменьшением размера включений. Поэтому использование предложенной методики, учитывающей межфазные пограничные эффекты, позволяет дать обоснованный прогноз эффективных характеристик наномодифицированных матриц, указать пути повышения их свойств и возможности реализации повышенных свойств. Помимо обоснованной оценки механических характеристик модифицированных дисперсно-армированных нанокомпозитов, свойствами которых можно управлять в

достаточно широких пределах, предложенные расчетные схемы могут быть полезными для экспресс - оценки свойств дисперсно-армированных композитов с учетом адгезионных пар в рамках классических расчетных схемА так как предлагаемые оценки являются аналитическими и удовлетворяют предельным соотношениям, справедливыми и для коротких и для длинных армирующих волокон.

Разработанный в диссертации метод и алгоритмы могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертации, используются в Учреждении Российской Академии Наук Институте Прикладной механики РАН, ОАО НИАТ, ВИАМ.

Достоверность результатов обеспечивается использованием обоснованных математических методов, методов прикладной теории упругости: методов механики сплошной среды, вариационных методов, тензорного анализа, уравнений математической физики, прямых вариационных методов. Решение тестовых задач сравнивается с экспериментальными данными независимых исследователей.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции, приуроченной 20-летию ИПРИМ РАН: «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы, перспективы», 20 Юг, Москва; XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2009, Пермь.

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах:

- Семинар по механике гетерогенных сплошных сред ИПРИМ РАН;

- Научный семинар им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» в МАИ (под руководством д.ф.-м.н., проф. Д. В. Тарлаковского, д.т.н., проф. Ф. Н. Шклярчука, д.т.н., проф. В. В. Фирсанова).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 научные работы. Перечень публикаций приведен в конце автореферата. На защиту выносятся:

Общая постановка - задачи, алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости. Математическое обоснование общепринятых гипотез осреднения, таких как гипотеза эквивалентного континуума, гипотеза эквивалентной матрицы, гипотеза эквивалентного волокна, гипотеза третьей фазы.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий краевые эффекты, возникающие вдоль оси волокна при нагружении композита. Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках модели, учитывающей сдвиговые адгезионные взаимодействия. Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках модели, учитывающей адгезию сдвига и поверхностного натяжения на границе контакта матрица/включение.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели композита, учитывающей когезионные взаимодействия.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга для изотропного нанокомпозита с разноориентированными волокнами, построенный в рамках градиентной модели. Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели, учитывающей когезионные взаимодействия, адгезию сдвига и поверхностного натяжения. Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 124 страницы, из них 10 занимает список использованных источников. Список используемой литературы включает 81 наименование (из них 46 на

иностранном языке).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы: цель исследования, научная новизна, практическая и теоретическая ценность работы.

В первой главе приведен обзор работ по проблемам моделирования свойств нанокомпозитов. Дана характеристика углеродных нанотрубок (УНТ) и область их применения, рассмотрены нанокомпозиты и их механические свойства, приведены примеры модификации поверхности УНТ, а также даны свойства уже модифицированных связующих.

Рассматриваются и анализируются методы моделирования нанообъектов и нанокомпозитов. Приведена краткая характеристика метода молекулярного моделирования, область применения и возможности модели. Рассматриваются и анализируются методы, основанные на механике сплошной среды.

Несмотря на то, что приведенные выше методы применяются уже достаточно давно, были многократно апробированы и хорошо себя зарекомендовали, они имеют ряд недостатков, связанных, прежде всего, со сложностью их реализации. В качестве одной из наиболее перспективных для решения этих проблем моделей выбрана для дальнейшего развития континуальная градиентная модель межфазного слоя.

Во второй главе рассмотрена задача по расчету модуля Юнга композиционного материала, армированного короткими продольно ориентированными волокнами, в рамках классической теории упругости.

В главе строятся, а затем сравниваются общая постановка задачи в осесимметричной (рис.1) и плоской постановке (рис.2), где в соответствии с методом В.З.Власова, распределение перемещений вдоль оси волокна задается в виде линейной функции х: Щх,у) = хЯ, (у).

Y

Рис. 1. Цилиндрический фрагмент композита, с длиной волокна 1. Осесимметричная постановка задачи.

Записывается вариационное уравнение, определяющее расчетную модель для контактной задачи волокно-матрица в осесимметричной постановке:

<й = 2яЛ {^-(rR[)'-EDrR,+rP}SR.dr-2n^-rR!xSR' [D+ J 12 12

R С1)

+ 27d\ - EurR, + rP}SRldr - 2ж ^-гЩЗЯ' £ =0

ъ

Индексом M обозначены параметры, относящиеся к матрице, а индексом D -параметры, относящиеся к волокну (дефекту). В вариационном уравнении 1 -длина включения, EMD,GMD, - модуль Юнга и модуль сдвига, Р - кусочно-

постоянная нагрузка, rD - радиус волокна, RM - внешний радиус слоя матрицы (рис.1).

В качестве упрощенной постановки приводится плоская постановка рассматриваемой проблемы. В соответствии с методом В.З.Власова вариационное уравнение приводится к виду:

5L = l) fi^-Rl-EDRx+P}6Rxdy-^-R[SR |J> +

° (2)

Ao+v г l2 Г I3

+ / J {^rR;-EMRl+P}5Ridy-^-R[3R

*D

Здесь hU D - толщина матрицы и толщина включения (рис.2).

Рис. 2. Фрагмент композита, с длиной волокна 1. Плоская постановка задачи.

I

9

Вариационное уравнение определяет уравнения Эйлера и спектр граничных условий. Таким образом, решая контактную задачу, определяются перемещения и напряжения в компонентах дисперсно-армированного композита.

Проблема определения эффективных свойств решается с использованием принципа энергетической эквивалентности, путем приравнивания потенциальной энергии фрагмента составного фрагмента потенциальной энергии деформации гомогенного материала.

В результате, для классической постановки получено следующее соотношение для расчёта эффективного модуля эквивалентного континуума:

1 _ 1~/* , /'

(3)

Здесь ? - относительная объемная доля для эквивалентного континуума. Для осесимметричной постановки /'будет:

2

_1___1_

С\т\ ' ^ п,

12Е^

Ов1г

+ Сю • ^07

12£д Оп12

Ыг+

С\м '¿ш

(4)

гс1г

Здесь /=

относительная объемная доля включений,

Ьг.

Л:

ПЕп

Мм.

12£„ ,.

»^ОАа

12£„

функции Бесселя

- \)и -I /-» »2 . '

первого й второго рода мнимого аргумента, Сю,Сгв,Сш,С1М - постоянные интегрирования в решениях для волокна и матрицы соответственно. Дш1 плоской постановки получаем:

Л,

(К +К)

у= К

Здесь: (Л0 + _ охносихельная объемная доля включений в плоской постановке; величина Ъ!, в дальнейшем называемая как «обменная» объемная доля, вычисляется по формуле:

(Ев -Ем)рвьврмкм

1 \\2Еив

ьм.о = - -— - показатели затухания классического краевого

' V

эффекта;

ШЬ,, пИ,, п) _

Рмя - — —:— - относительная объемная доля однородного

состояния.

Чтобы пояснить физический смысл величины /¡7 выражение для эффективного модуля упругости переписывается в виде:

К + К

Е =

"о

Ьи-Н, к+ъ, (7) --^--

Ем Ев

Физический смысл состоит в том, что объемная доля слабой фазы уменьшается - матрица «отдает» включению часть своей объемной доли.

Далее приводятся трактовки различных форм полученного решения. Так полученное решение может быть представлено в форме, соответствующей гипотезе эквивалентного включения:

1 1-/ /

где:

1

1 (Ев-Еи)Н, (9)

Ей

Ниже соотношение для эффективного модуля представлено в форме, соответствующей гипотезе эквивалентной матрицы. Здесь также как и ранее формула расчёта эффективного модуля также принимает вид осреднения по Рейсу:

где

1--

Ер К

(П)

Аналогично предыдущим случаям получается представление для эффективного модуля в виде осреднения по Рейсу с точки зрения гипотезы трех фаз:

К+К Кг | к - V | (V+V)

(12)

где:

1

г

ЕрРрК ЕЫР,,К 1 1

■м [—*—+—!—]

ЕрРрЬр ЕмрмНм

(13)

Здесь величина л7 связана с суммарной толщиной межфазного слоя

(И0/ +Ии/) следующим соотношением ьг = (ЛС/ ■ Полученный

{Ев + Ем)

результат соответствует классическому осреднению Рейсса трехфазного композита с модулем третьей фазы Е{.

Далее приводится доказательство того, что в предельных случаях при больших длинах волокон формула осреднения принимает вид классического осреднения по Фойхту, а при малых длинах классического осреднения по Рейсу.

Результат расчета величины эффективного модуля нанокомпозита в осесимметричной постановке представлен в виде графиков на рис. 3. На рисунке показаны зависимости значений модуля Юнга от длины

волокна, полученные по классическим формулам Фойхта и Рейсса, показано решение, полученное на модели, рассмотренной во второй главе, а также приведены данные из работы Г.М.Одегарда. Исходя из решений, показанных на рис.3, делается вывод о том, что результат, полученный на предложенной модели, не объясняет эффект усиления, описанного Одегардом и др.

I!

II

л £

Осрвднеиа пофолту Е\-52507ГП1

Осрвднаи* поРвйссу " Ег"0.9091 ГПа

, -

Реш» осесимм поста ГфкННОЙ ноам

I - длина волокна, нм

Рис. 3. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна. Осесимметричная постановка, а также данные численного эксперимента.

Определяя модуль упругости включения из асимптотики по Фойхту для кривых, полученных в работах Одегарда, можно получить результат, показанный на рис. 4. Новый модуль включения составляет 1012,4 ГПа, что почти в полтора раза больше, чем реальный модуль нанотрубки (680 ГПа).

Решмм •

осеоммйтрмной )

П0СТ1Н0ВК»

1-длина волокна, нм

Рис. 4. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна с примененимем эквивалентного модуля включения Её*=1012,4ГПа

Фактически тем самым предложена процедура приведения полученных теоретических результатов к результатам численного эксперимента, найденных группой Одегарда.

Однако имеет место существенное неустранимое расхождение результатов в диапазоне коротких волокон при малых объемных долях включения. Оно отражает неклассический эффект усиления, наблюдаемый в экспериментах.

Расхождение в зоне длинных волокон также отражает эффект усиления при армировании нанотрубками. Потому что реальный модуль нанотрубки и модуль включения, определяющий асимптотику по Фойпу, существенно отличаются.

На рис. 5 показаны решения в осесимметричной постановке при фиксированной объемной доле включений и разных диаметрах включений.

Рис. 5. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна при фиксированной объемной доле включений 1%, эквивалентном модуле включения Е<1*=1012.4 ГПа и различных радиусах включений. Осесимметричная постановка.

При уменьшении диаметра включений для малых длин волокон композит становится жестче, при увеличении диаметра включений жесткость снижается. Данный эффект можно трактовать как гипотезу осреднения с двумя эффективными параметрами.

Аналогичный эффект проявляется и для модели в плоской постановке, что позволяет подобрать толщину Иа таким образом, чтобы решение совпадало с полученным для этой модели в осесимметричной постановке (рис.6).

Рис. 6. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна при фиксированной объемной доле и эквивалентном модуле Е(1*=1012.4ГПа. Плоская постановка совпадает с осесимметричной при толщине Иа' =0.133нм

В главе были получены следующие результаты:

1. При анализе результатов обнаружен эффект изменения эффективного модуля композита в рамках вилки Фойгта-Рейсса с изменением диаметра включения при фиксированной объемной доле и длине волокон. Точнее: эффективный модуль является монотонно убывающей функцией от АВП. Появление этого эффекта объясняется тем, что предложенная в главе модель, учитывает краевые эффекты, возникающие поперек оси волокна и играющие роль «межфазного слоя». При уменьшении диаметра включений растет относительная длина краевого эффекта, а значит и суммарная толщина «межфазного слоя».

2. На основании этого эффекта предложены технологические рекомендации: повышение/понижение эффективного модуля композита путем использования волокон меньшего/большего диаметра при фиксированной длине и объемной доле.

3. В качестве параметра «межфазного погранслоя» введена «обменная доля» композита И] =к/(Е0,Ем,Ос,Ои,/г0,Им,1), которая определяет его толщину. Необходимо отметить, что в предложенной модели межфазного погранслоя отсутствуют параметры, связанные с изменением морфологии материалов. Однако, очевидно, что изменение морфологии материала в областях, прилегающих к зоне контакта матрица/волокно, является существенным фактором, влияющим на повышение эффективного модуля. Следовательно, дальнейшие разработки моделей должны проводиться в этом направлении.

4. Даны трактовки общепринятых гипотез осреднения, согласно которым, решение, полученное в модели, можно представить в форме, эквивалентной формулировкам этих гипотез. Сделан вывод о том, что решение как в плоской, так и в осесимметричной постановке можно привести к виду формул осреднения как по Фойгту, так и по Рейссу.

В третьей главе рассматривается модель композиционного материала, армированного короткими продольно ориентированными волокнами, позволяющая учесть краевые эффекты вдоль оси волокна, возникающие при нагружении. Учет краевого эффекта приводит лишь к уменьшению эффективной жесткости композита, «отдаляя» решения от экспериментальных данных. Следовательно, возможные уточнения, связанные с более полным описанием краевых эффектов на концах волокна, не могут принципиально привести к объяснению неклассических эффектов усиления наномодифицированных композитов, армированных короткими нановключениями в области малых относительных объемных содержаний.

Четвертая глава посвящена разработке модели композиционного материала, армированного короткими продольно ориентированными волокнами, учитывающей адгезионные взаимодействия. Актуальность

этих исследований определяется тем, что в реальных условиях контакт между волокном и матрицей не будет абсолютным. Таким образом, для адекватного моделирования поведения композита необходимо учитывать адгезионные свойства пары волокно-матрица.

Одна из моделей учитывает только сдвиговую адгезию волокна и матрицы, вторая модель учитывает два типа адгезионных взаимодействий. Первый - трение покоя, второй - поверхностное натяжение поверхности контакта. Оба эффекта одновременно моделируются единым фиктивным межфазным слоем, при этом, жесткость на сдвиг межфазного слоя определяет первый тип адгезионных взаимодействий, а жесткость на растяжение - второй тип адгезионных взаимодействий.

Модель композита с адгезионным взаимодействием волокна и матрицы рассматривается в плоской постановке. Решение также строится методом В.З.Власова, вариационное уравнение при этом имеет вид:

Я = ) №~+ Ем!гм

о 12 »„ 1

Отличие этого вариационного уравнения от рассмотренных ранее состоит в том, что в уравнение добавляются новые члены с дополнительными параметрами, соответствующие модели типа винклера на сдвиг для адгезионного слоя. Величина определяет модуль сдвига фиктивного слоя, величина gs = Сг определяет удельный адгезионный сдвиговой модуль адгезионного слоя, Ъг - толщина адгезионного слоя.

Это вариационное уравнение полностью определяет математическую модель и дает формулировку соответствующей краевой задачи. Построив решение этой задачи, и используя процедуру энергетического осреднения, то есть сравнивая потенциальную энергию деформации составного фрагмента с энергией деформации гомогенного

материала, можно получить формулу для определения эффективного модуля Юнга:

Е= к+к

где

Л

К -Л | К (16)

Ем

7 '

ГГ Я к +Г Я * , ПЕу/ЗЛ.ЕпР^ (17) \.ЕвРоП0 +ЬириПи +---]

Из полученных уравнений можно сделать следующие выводы:

1. При -> °о величина стремится снизу к соответствующей величине , полученной при идеальном контакте (см. (6)), когда волокно не проскальзывает относительно матрицы.

2. При gs-+ 0 величина стремится к нулю и, соответственно, эффективный модуль стремится к величине, определяемой осреднением по Рейссу.

3. При 0 <^<оо эффективный модуль будет удовлетворять

неравенствам: ЕФ<Е<Е0 для любой длины волокна. Соответственно, кривая зависимости эффективного модуля от длины волокна при конечном значении адгезионного модуля будет всегда лежать ниже кривой, для которой реализован полный контакт волокна и матрицы. Кривые на рис.8 демонстрируют зависимости осредненного модуля композита от длины включения при идеальном контакте, при контакте с учётом адгезии и экспериментальные данные группы Одегарда.

Рис. 8. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна при фиксированной объемной доле 1%, эквивалентном модуле включения Ес1*=1012.4ГПа. Адгезионный параметр g изменяется от

0.0005 ГПа/нм до 0,3125 ГПа/нм

Как видно из приведенных графиков, перебор параметра gg позволяет описать различные условия взаимодействия матрицы и волокна. На рисунке показано, что полученные кривые при различных значениях сдвигового адгезионного параметра gg лежат между кривой, определенной полным геометрическим контактом, рассмотренной в главе 2 и осреднением по Рейссу.

Анализ результатов позволяет говорить о том, что предложенная модель уточняет характер взаимодействий волокно-матрица, учитывает возможный несовершенный сдвиговой характер контактных взаимодействий, однако при этом, очевидно, не может описать эффект усиления. Полученная модель и ее решение позволяют сделать следующие выводы:

1. В качестве параметра межфазного слоя предложена «обменная» объемная доля композита в виде А, = Н/(Е1),Ем,01),См,И1},11и,1^г), которая определяет его толщину. Необходимо отметить, что в

предложенной модели межфазного слоя присутствует параметр gg, связанный с взаимодействием пары матрица/волокно на границе контакта. Таким образом, выражение (16) для вычисления эффективного модуля совпадает с выражением (7), полученным во второй главе. Выражения (6) и (17) для вычисления величины в этих моделях отличаются.

2. Адгезионный параметр gs может играть роль параметра качества технологии при изготовлении композитов. Нужно отметить, что существуют технологические приемы (например, предварительная активация поверхности волокон, функционализация), которые привели бы к более высоким значениям эффективного модуля при той же объемной доле волокон. И наоборот, «загрязние» поверхности волокон, может свести эффект усиления к нулю, какая бы большая объемная доля волокон не использовалась. Здесь учет адгезии влияет на эффективные свойства, как поврежденность и снижает эффективный модуль. Следовательно, при исследовании перспективных пар матрица-волокно следует иметь в виду как принципиальную возможность дополнительного увеличения эффективного модуля композита за счет целенаправленного увеличения адгезии волокна к матрице, так и возможность его снижения.

Далее рассматривается несколько более общая модель, которая учитывает два типа адгезионных взаимодействий волокна и матрицы. Первый - поверхностное натяжение поверхности контакта, которое сводится к моделированию жесткости на растяжение адгезионного слоя. Второй тип учитывает сдвиговые свойства адгезионного слоя. Оба типа адгезионных взаимодействий моделируются здесь, по существу, в рамках моделей типа Винклера.

Решение строится методом В.З. Власова. Вариационное уравнение

получено в соответствии с принципом Лагранжа из требования стационарности лагранжиана:

Л0 г~< »3 Ло+^г гЭ

+^,/¿(0)^(0)+

+

Здесь gg = Gg/hg - удельный адгезионный модуль сдвига, = £гА4 /4 -адгезионнная жесткость адгезионной пленки на растяжение.

Эффективный модуль композита определяется из условия равенства потенциальных энергий для композита и эквивалентной однородной среды. Формула для расчета имеет вид:

Е = -

К +К

К-Ь, | А0+А, (19)

Здесь величина Ау («обменная» объемная доля) имеет вид:

Л/ = '(С ш Рв ко + С.ш А/ ) =

=-г___!___х

*(«. % ^ + ^ ^++ +

^Ё Ё~^

1

+----->

(20)

На рис. 9 приведены данные, полученные Одегардом и др. для двух разных случаев адгезионных взаимодействий (функционализированное и

нефункционализированное волокно), а также решения модели, сформулированной в данной главе. При значении параметра ^ = °о и изменении все кривые эффективных модулей лежат между кривой, не учитывающей адгезию, кривой определяемой параметрами gi = а> и е8=ег_тах. В модели, показанной на рис. 9, параметр ег изменялся в диапазоне от 2 до 24 ГПа-нм. На графике видно, что силы поверхностного натяжения приводят к усилению композита в диапазоне длинных волокон (рис.9), если пролагать возможность увеличения приведенной жесткости адгезионной пленки на сдвиг и на растяжение за счет соответсвующих технологических приемов (функционализации). При этом, модель не может объяснить эффект аномального усиления, возникающий на коротких волокнах.

вд-чг*.

Рис. 9. Зависимость эффективного модуля Юнга от длины волокна с учетом адгезии. Учитываются только поверхностное натяжение е% -

произвольно

Полученная модель и ее решение позволяют сделать следующие выводы: 1. В качестве параметра межфазного слоя предложена величина А/ = Л/ (Еа названная «обменной долей»

композита, которая определяет его приведенную толщину. В

предложенной модели межфазного слоя присутствуют параметры gg,eg, связанные с взаимодействием пары матрица/волокно на границе контакта. Таким образом, выражения для вычисления эффективного модуля совпадают с полученными во второй (7) и четвертой главе (16), отличаются лишь выражения для вычисления величины hf.

2. Адгезионные параметры gsH eg могут играть роль параметров качества технологии изготовления композитов.

3. Результаты, полученные в настоящей главе, позволяет объяснить эффект аномального усиления для достаточно длинных волокон, описанный группой Г.М.Одегарда. Адгезионные эффекты, фактически описывают возможное повышение жесткости погранслоя, что приводит к некоторому усилению композита в диапазоне достаточно длинных волокон. Тем не менее адгезионная модель не позволяет объяснить эффект аномального усиления для коротких волокон.

Пятая глава является принципиальной и посвящена разработке модели, учитывающей когезионные взаимодействия в волокне и матрице при продольном расположении волокон относительно нагрузки. Необходимость разработки такой модели вызвана прежде всего необходимостью описания эффекта усиления для малых длин волокон в рамках модели классической теории упругости.

В пятой главе также описана достаточно простая детерминированная модель композита с изотропным распределением волокон но углам ориентации.

Для построения модели с расположением волокон вдоль нагрузки, рассматривается фрагмент композита аналогичный, рассмотренным в предыдущих главах. Искомое решение также строится методом Власова, а распределение перемещений выбирается в виде R(x,у) = хг(у).

Для градиентной модели вариационное уравнение выглядит следующим образом:

Здесь г(у) - искомая неизвестная функция. В вариационном уравнении имеется дополнительное слагаемое с дополнительным градиентным модулем С.

Градиентный (когезионный) параметр С, имеет смысл градиентного модуля упругости, отличающегося на квадрат длины от модуля упругости. Тем самым градиентная модель позволяет учесть масштабные эффекты, которые в данной работе связываются с изменением морфологии в зоне волокна-матрицы. В общем случае изменение морфологии затрагивает как волокно, так и матрицу. Однако в дальнейшем показано, что все изменения, носящие градиентный характер определяются главным образом матрицей. При этом дополнительный модуль не только учитывает изменение механических свойств в локальном градиентном слое (слое с измененной морфологией), но и позволяет определить важную геометрическую характеристику - эффективную протяженность этого слоя.

После решения краевой задачи (21) используется процедура энергетического осреднения для определения эффективного модуля упругости композита. Для этого вычисляется энергия деформации составного фрагмента, которая приравнивается затем энергии гомогенного образца. Таким образом, формула для вычисления эффективного модуля по-прежнему имеет вид:

(21)

£ _ _"М ^"Р_

К | К

Где А,:

Л/ =-;-7— ¡(Стск(аву) ■ са${роу)+Ст$к{апу) ■ ът(роу))с1у

~ I(С.т(У - К -К)У ^{Рм (У - К - К+ (23)

1

Здесь Ст,СВ2,Сш,Си2 - постоянные интегрирования.

На рис.Ю показаны решения при изменении когезионного модуля матрицы.

Оцмдммм 12 пофойгту ■ Еу"11в1ЯГП1

I- длина волокна, ни

Рис. 10. Зависимость эффективного модуля Юнга композиционного материала от длины волокна при фиксированной объемной доле 1%, эквивалентном модуле Её*=1012.4ГПа. Когезионный модуль См менялся в пределах от 0,00009 ГПа/нм2 до 0,06561ГПаУнм2

Решение задачи моделирования композиционного материала в рамках градиентной модели принципиально не отличается от задачи с растяжением вдоль оси волокна. Значение осредненного значения модуля Юнга показывает хорошее согласование с данными, приведенными Одегардом и др., позволяя моделировать эффект усиления для композита, армированного короткими

тонкими волокнами (микро- и нано-волокнами).

Решение задачи моделирования композиционного материала с изотропным распределением волокон по углам ориентации принципиально не отличается от задачи с растяжением вдоль оси волокна. Здесь, в силу линейности задачи, решение представляется в виде суперпозиции решений полученных для проблем растяжения вдоль волокон и перпендикулярно им, а также решений для продольного и поперечного сдвига. Эффективный модуль композита находится с использованием процедуры энергетического осреднения. Значение осредненного по углам значения модуля Юнга показывает хорошее согласование с данными, приведенными Одегардом и др., позволяя моделировать эффект усиления для композита, армированного короткими тонкими волокнами (микро- и нано-волокнами). Таким образом, можно говорить о том, что рассмотренная схема осреднения применима для расчетов эффективного модуля изотропного композита.

Основные выводы по главе:

1. В качестве расчетного параметра межфазного слоя используется величина И, =И/(Ео,Ем,0о,0и,Ио,Ии,1,С1),См), которая определяет его приведенную толщину. В предложенной модели межфазного слоя присутствуют параметры Са,См, определяющие когезионные взаимодействия как в волокне, так и в матрице. Выражение для вычисления эффективного модуля совпадает с полученными в предыдущих моделях (7), (16), (22), отличается лишь выражение для вычисления величины .

2. Изменение морфологии материала в областях, близких к границе контакта матрица/волокно оказывает существенное влияние на эффективный модуль для композитов с волокнами малых длин. Наибольшее влияние на эффективный модуль оказывает изменение

морфологии матрицы в области, близкой к зоне контакта с волокном. Материал матрицы с измененной морфологией образует дополнительный слой, характерная ширина которого определяется по формуле 1М = л/бд, 1СМ , и для рассматриваемого композита превышает радиус включения в ~6 раз. Рассмотренный эффект не связан с геометрией структуры композита и носит характер масштабного эффекта.

Наконец. рассмотренная в шестой главе модель, является обобщением моделей, рассмотренных в предыдущих главах. В модели учтены когезионные взаимодействия в матрице и волокне, которые были в рассмотрены в 5 главе, сдвиговое адгезионное взаимодействие и адгезионное взаимодействие на границе волокно/матрица, определяемое силами поверхностного натяжения, рассмотренные в главе 4.

Решение строится методом В.З. Власова. Распределение перемещений выбирается в виде Я(х,у) = хг(у). Вариационное уравнение в данной постановке имеет вид:

Эффективный модуль композита определяется из условия равенства потенциальных энергий для композита и эквивалентной однородной среды. Формула для расчета эффективного модуля композита по-прежнему имеет вид:

(24)

Здесь «обменная» объемная доля выражена через постоянные интегрирования Ст,Ст,Сш,Си2 следующим образом:

2 "о "м

+-1-— )(СтсИ.{аи{у-ки -й0))-со${рм(У-К -Ь0)))с1у +

Ъ-Г-Т* " 1

(26)

+-;-]— \{См2^{аи(У-К-ЮУМРАУ-К ~Ю))с1у

А/

На рис. 11 приведены решения для двух композиционных материалов с разными адгезионными параметрами е8=19ГПа*нм и =14,7ГПа*нм (функционализированные и нефункционализированные нанотрубки). Остальные параметры композитов зафиксированы: Си =0.0088 ГПа/нм2, Ев = 435,97/77а, Ем = 0.9ГПа, М%. Также на

графике представлены решения для этих композитов, полученные Одегардом и др.

Осрадмнм Е* 10 904 "

3 X

ц

2 *

¿г * о 2

Ос РЧ1 мни* ло Файлу Е»б.2907

Оермим« Ег-0 8001 "*"

\

/ ______ ----

См>0,00М ГТЪ/ии2

СимО.ООМ ГПМин2 «^14.7

I'Длина волокна, н

Рис. 11. Зависимость эффективного модуля Юнга от длины волокна с учетом когезионных взаимодействий при Сд/ от 0,0088 ГПа/нм2 и различных значениях ег

Модель показывает хорошее соответствие данным численного

эксперимента и позволяет объяснить эффект аномального усиления в нанокомпозитах. Основные выводы по главе:

1. В качестве параметра межфазного слоя используется эффективная толщина межфазного слоя Ь/ = И/(Е0,Еи,0о,0м,Но,Им,1,С1„См^!!,е1!). Данная модель обобщает модели, построенные в предыдущих главах.

2. Показано, что адгезионные взаимодействия являются причиной усиления композита в диапазоне длинных волокон. Эффекты же аномального усиления в области коротких тонких включений обязаны учету когезионных взаимодействий (преимущественно в матрице).

3. Адгезионные параметры ^и е$ могут играть роль параметров качества технологии изготовления композитов.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Наиболее существенные научные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. В диссертации предложена модель дисперсно армированного композиционного материала, усиленного короткими волокнами, позволяющая давать адекватные оценки эффективных свойств композита. Эти оценки получены на основе приближенного аналитического решения, построенного методом В.З. Власова. Результаты показывают хорошее согласование результатов моделирования с данными численного эксперимента для армирующих волокон | конечной длины. Показано, что предложенная модель обеспечивает правильность предельных переходов при увеличении длины армирующих волокон.

2. Предложено математическое обоснование гипотез «эквивалентного континуума», «эквивалентного включения», «эквивалентной матрицы», «гипотезы третьей фазы», в рамках теории межфазного слоя. Показано, что они являются разной формной одного и того же

решения. Предложено определение межфазного слоя, следующее непосредственно из структуры построенного решения. Этот слой представляет краевую зону (область краевых эффектов), прилегающую к поверхности контакта волокна и матрицы, и не требует для своего определения дополнительных параметров, определяющих его свойства и толщину.

3. Установлены численные оценки для эффекта изменения эффективного модуля композита в рамках вилки Фойгта-Рейсса с изменением диаметра включения при фиксированной объемной доле и длине волокон. Показано, что эффективный модуль является монотонно убывающей функцией от hD/l. Установлено, что диапазон значений hD/l, при котором эффективный модуль существенно меняется, ограничен. При уменьшении диаметра включений растет относительная дайна краевого эффекта в матрице, а значит и толщина межфазного слоя. Указанная зависимость может быть использована при формулировке рекомендаций по получению композитов повышенной жесткости, если удастся снять частично технологические ограничения по толщине используемых волокон.

4. Предложено использовать в качестве параметра межфазного слоя характеристику hf («обменную долю»), определяющую эффективную толщину межфазного слоя. Показано, что эта характеристика является естественной для композитов, где волокна включаются в работу за счет сдвига (т.е. в «задачах включения»), и поэтому может использоваться в качестве основной характеристики во всех рассмотренных в диссертации моделях. Формула для вычисления эффективного модуля через этот характерный параметр отличается лишь конкретным выражением для h{, в которое входят параметры, учитываемые в каждой конкретной модели.

5. Предложена модель адгезионного слоя, которая позволяет моделировать как уменьшение эффективных механических свойств, определяемое повреждённостью, так и возможное «усиление» композита.

Адгезионнные модули могут служить технологическими параметрами, отражающими качество исходных материалов и композита в целом. Следовательно, при исследовании перспективных пар матрица-волокно следует иметь в виду как возможность дополнительного увеличения эффективного модуля композита, так и возможность его снижения.

6. Предложена градиентная модель, учитывающая локальные взаимодействия когезионного типа. Дана трактовка межфазного слоя с точки зрения градиентной теории межфазного слоя, отличная от трактовки, предложенной в рамках классической теории упругости. Межфазный слой представляется комбинацией краевых и масштабных (тиШвсаЬ) эффектов. Характеристики межфазного слоя определяются исходя из классических и неклассических харатеристик фаз, входящих в состав композита. Показано, что именно эта модель ответственна за эффекты усиления в области именно коротких включений.

7. Построена градиентная модель, учитывающая когезионные и адгезионные взаимодействия, являющаяся комбинацией моделей, рассмотренных ранее, которая позволяет описывать поведение нанокомпозита для любого диапазона длин волокон. Эта модель фактически является моделью, учитывающей изменения морфологии матрицы в окрестности волокон и адгезионные свойства контакта фаз.

8. Приведены примеры, получены расчетные соотношения, позволяющие давать оценки эффективных свойств по входным параметрам матрицы и включений. Сделан соответствующий расчёт и получены конкретные результаты. Построена модель композита с изотропным распределениям армирующих элементов (волокон) по углам ориентации относительно направления растяжения.

Разработанный в диссертации метод прогноза свойств нанокомпозита на основе теории межфазного слоя является аналитическим и имеет преимущества перед иными численными методами (методами молекулярной динамики, методов конечных элементов и пр.) как по объему вычислений,

так и по возможности моделирования механического поведения многомасштабных структур. Располагая найденными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний. Моделирование позволяет во многом избежать проведения сложных экспериментов над образцами наноматериалов.

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке композитов, наполненных короткими волокнами, микро-волокнами и нанотрубками, при разработке и моделировании схем механических испытаний нанокомпозитов.

Таким образом, в рамках проделанной работы, была разработана методика, опирающаяся на аналитические решения, которая позволяет прогнозировать свойства композита по входным параметрам - модулям Юнга, сдвига, объёмной доле, когезионному модулю, учитывающему масштабные эффекты и определяющем длину межфазного слоя в матрице, а также адгезионным модулям сдвига и растяжения.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Гордеев A.B. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами // Механика композиционных материалов и конструкций, т. 16, №1, 2010 г. с.106-116.

2. Гордеев A.B. Моделирование эффектов усиления дисперсных композитов, армированных ориентированнми микро- и нанотрубками // «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы и перспективы». Материалы Всероссийской конференции, приуроченной к 20-летию ИПРИМ РАН. Тезисы докладов. Москва, 30 ноября - 2 декабря 2009 г. -М.:Альянстрансатом, 2009, с.95-96.

3. Белов П.А., Гордеев А.В. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами. Учет адгезионных взаимодействий // Композиты и наноструктуры №1,2010, с.40-46.

4. Соляев Ю., Гордеев А. Моделирование эффектов усиления дисперсных композитов, армированных короткими микро- и нановолокнами с использованием прикладной теории межфазного слоя // «Математическое моделирование в естественных науках». Тезисы докладов XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов. Пермь, издательство Пермского государственного технического университета, 2009, с.94-95.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОМПОЗИТОВ.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ЖЕСТКИМИ ВОЛОКНАМИ.

2.1 Введение.

2.2 осесимметричная постановка задачи.

2.3 Плоская постановка задачи.

2.4 Возможные трактовки соотношений для эффективных характеристик в плоской постановке

2.5 Анализ построенных решений.

3.2 Постановка задачи.50

3.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.53

3.4 Анализ построенных решений.53

3.5 Заключение.56

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ АДГЕЗИОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ВИНКЛЕРОВСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖФАЗНОГО СЛОЯ.58

4.1 Введение.58

4.2 Модель межфазного адгезионного слоя, работающего на сдвиг.59

4.2.1 Постановка задачи.59

4.2.2 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.62

4.2.3 Анализ построенных решений.64

4.2.4 Заключение.65

4.3 Модель межфазного адгезионного слоя, работающего на сдвиг и растяжение.67

4.3.1 Постановка задачи.67

4.3.2 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.71

4.3.3 Анализ построенных решений.73

4.3.4 Заключение.75

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ. ГРАДИЕНТНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖФАЗНОГО СЛОЯ.77

5.1 Модель композита с однонаправленными волокнами.77

5.1.1 Введение.77

5.1.2 Постановка задачи.78

5.1.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.82

5.1.4 Анализ полученных результатов.83

5.1.5 Заключение.86

5.2 Модель изотропного композита.87

5.2.1 Введение.87

5.2.2 Постановка задачи.87

5.2.3 Модель композиционного материала с нагрузкой, приложенной вдоль волокна.91

5.2.4 Модель композиционного материала с нагрузкой, приложенной поперек волокна.91

5.2.5 Модель композиционного материала со сдвигающей нагрузкой в направлении оси волокна.95

5.2.6 Модель композиционного материала со сдвигающей нагрузкой в поперечном направлении.97

5.2.7 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.97

5.2.8 Анализ полученных результатов.99

5.2.9 Заключение.100

ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ. КОГЕЗИОННО-АДГЕЗИОННАЯ МОДЕЛЬ.Ю1

6.1 Введение.101

6.2 Постановка задачи.102 2

6.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.105

6.4 Анализ полученных результатов.107

6.5 Заключение.110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.112

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.116

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Композиционные материалы и конструкции находят широкое применение в различных областях техники уже достаточно давно. Связано это в первую очередь с их более высокими удельными характеристиками, а также с возможностью изменить свойства материала именно в тех направлениях и в тех местах конструкции, где это наиболее необходимо.

Открытие в 1991 году длинных, цилиндрических углеродных молекул, получивших название нанотрубок (УНТ) [1] стало отправной точкой в создании нового вида композиционных материалов [2] — нанокомпозитов [3]. Как известно, углеродные нанотрубки обладают прочностью и жёсткостью, значительно более высокими, чем у стали [4]. Одна из наиболее очевидных возможностей использования этих уникальных объектов связана с созданием нанокомпозитов, т. е. полимерных материалов, содержащих некоторое, весьма небольшое количество УНТ. При этом главная трудность состоит в обеспечении хорошей адгезии между поверхностью нанотрубки и молекулами полимерной матрицы. При плохой адгезии нанотрубка внутри матрицы снижает жесткость композита.

Основными областями применения нанокомпозитных материалов в настоящее время являются автомобилестроение, авиастроение, космическая промышленность, производство упаковочных материалов, спортинвентаря. Темпы промышленного освоения полимерных нанокомпозиционных материалов, с каждым годом растут. По мере того, как решаются проблемы получения и удешевления нанонаполнителей, разрабатываются новые технологии диспергирования наночастиц в полимерной матрице, снижается себестоимость конечной продукции и увеличиваются объемы её производства. В этой связи представляется весьма актуальным предсказание свойств будущего нанокомпозита по свойствам, входящим в его состав, компонентов. Разработке модели, позволяющей предсказать конечные свойства нанокомпозитов, и посвящена данная работа.

Целью работы является: обоснование и разработка инженерной модели мелкодисперсного композита, способной достоверно предсказать свойства композита по свойствам фаз.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Развита классическая модель межфазного слоя. Даны математические обоснования известных гипотез осреднения.

- В рамках этой модели показано влияние адгезии на границе волокно-матрица на снижение и повышение эффективного модуля нанокомпозита.

- Развита градиентная модель межфазного слоя. Обоснована возможность предсказания более высоких значений эффективных характеристик композиционных материалов, армированных нановолокнами, в рамках градиентных моделей, позволяющих учитывать масштабные эффекты.

- Построена градиентная когезионно-адгезионная модель, позволяющая объяснить эффект аномального усиления в нанокомпозитах.

- Построена градиентная модель, позволяющая провести оценку свойств изотропного нанокомпозита, армированного разнонаправленными нановолокнами.

Практическое значение работы. Введение в полимер относительно небольшого числа нановолокон позволяет повысить жесткость в разы, и использование данной методики позволяет дать точный ответ, как и сколько нужно добавить армирующего вещества, чтобы получить заранее заданные параметры композита. Помимо разного рода пластиков, такие нанокомпозиты могут хорошо проявить себя в качестве связующего вещества в классических волокнистых композитах, где остро стоит проблема растрескивания матрицы при продольных сдвигах между слоями.

Разработанный в диссертации метод и алгоритмы могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертации, используются в Учреждении Российской Академии Наук Институте Прикладной механики РАН, ОАО НИАТ, ВИАМ.

Достоверность результатов следует из общепринятых допущений теории упругости. Модель, построенная в диссертации, даёт совпадение полученных результатов экспериментальным данным.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции, приуроченной 20-летию ИПРИМ РАН: «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы, перспективы», XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2009, Пермь.

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах:

- Аспирантский семинар по механике гетерогенных сплошных сред в ИПРИМ РАН (под руководством д.т.н, проф. Яновского Ю.Г.),

- Научный семинар им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» в МАИ (под руководством д.ф.-м.н., проф. Д. В. Тарлаковского, д.т.н., проф. Ф. Н. Шклярчука, д.т.н., проф. В. В. Фирсанова).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 научные работы. Перечень публикаций приведен в конце диссертации.

На защиту выносятся:

Общая постановка задачи, алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости. Теоретическое обоснование общепринятых гипотез осреднения, таких как «гипотеза эквивалентного континуума», «гипотеза эквивалентной матрицы», «гипотеза эквивалентного волокна», «гипотеза третьей фазы».

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий краевые эффекты, возникающие вдоль оси волокна при нагружении композита. Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий сдвиговые адгезионные взаимодействия.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий адгезию сдвига и поверхностного натяжения на границе контакта матрица/включение.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели композита, учитывающей когезионные взаимодействия.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели, учитывающей когезионные взаимодействия и адгезию сдвига и поверхностного натяжения.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга для изотропного нанокомпозита с разноориентированными волокнами, построенный в рамках градиентной модели. Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка используемой литературы. Она содержит 124 страницы, из них 10 занимает список использованных источников. Список используемой литературы включает 81 наименование (из них 46 на иностранном языке).

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке композитов, наполненных короткими волокнами, микро-волокнами и нанотрубками, при разработке и моделировании схем механических испытаний нанокомпозитов.

Таким образом, в рамках проделанной работы, была разработана методика, опирающаяся на аналитические решения, которая позволяет прогнозировать свойства композита по входным параметрам - модулям Юнга, сдвига, объёмной доле, когезионному модулю, учитывающему когезионные взаимодействия и определяющем длину межфазного слоя в матрице, а также адгезионным модулям сдвига и растяжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наиболее существенные научные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. В диссертации предложена модель наполненного композиционного материала, армированного короткими волокнами, позволяющая давать адекватные оценки эффективных свойств композита. Эти оценки получены на основе приближенного аналитического решения, построенного методом В.З. Власова. Результаты показывают хорошее согласование с данными численного эксперимента для армирующих волокон конечной длины, что подтверждает применимость данного подхода. Показано, что предложенная модель обеспечивает правильность предельных переходов при увеличении длины армирующих волокон.

2. Предложена трактовка гипотез «эквивалентного континуума», «эквивалентного включения», «эквивалентной матрицы», «гипотезы третьей фазы» в рамках теории межфазного слоя. Предложено определение межфазного слоя, следующее непосредственно из структуры построенного решения. Этот слой представляет краевую зону (область краевых эффектов), прилегающую к поверхности контакта волокна и матрицы, и не требует для своего определения дополнительных параметров, определяющих его свойства и толщину.

3. Обнаружен эффект изменения эффективного модуля композита в рамках вилки Фойгта-Рейсса с изменением диаметра включения при фиксированной объемной доле и длине волокон. Показано, что эффективный модуль является монотонно убывающей функцией от

А0//. Установлено, что диапазон значений ИВП, при котором эффективный модуль существенно меняется, ограничен. При уменьшении диаметра включений растет

112 относительная длина краевого эффекта в матрице, а значит и толщина межфазного слоя. Указанная зависимость может быть использована при формулировке рекомендаций по получению композитов повышенной жесткости, если удастся снять технологические ограничения по толщине используемых волокон.

4. Предложено использовать в качестве параметра межфазного слоя характеристику «обменную долю» композита кг, которая определяет толщину «краевого» межфазного слоя. Показано, что эта характеристика является естественной для компотизов, армированных короткими волокнами и присутствует во всех рассмотренных в диссертации моделях. Формула для вычисления эффективного модуля отличается только лишь выражением для Иг, в которое входят параметры, учитываемые в каждой конкретной модели.

5. Предложена модель адгезионного слоя, которая позволяет моделировать как повреждённость, так и возможное «усиление» композита, а адгезионнные модули служат технологическими параметрами, отвечающими за качество исходных материалов и композита в целом. Действительно, используя некоторые технологические приемы для повышения адгезии волокна к матрице (например, предварительно активируя поверхность волокон), можно добиться более высокого значения эффективного модуля композита при той же объёмной доле волокон за счет образования «адгезионного» слоя. И наоборот, «загрязняя» поверхность волокон, можно свести эффект усиления к нулю, какая бы большая объемная доля волокон не использовалась. Следовательно, при исследовании перспективных пар матрица-волокно следует иметь в виду как возможность дополнительного увеличения эффективного модуля композита, так и возможность его снижения.

6. Предложена градиентная модель, учитывающая когезионные взаимодействия. Дана трактовка межфазного слоя с точки зрения градиентной теории межфазного слоя, отличная от предложенной в рамках классической теории упругости. Межфазный слой представляется комбинацией краевых и тиШ5са1е эффектов. Характеристики межфазного слоя определяются исходя из харатеристик фаз, входящих в состав композита. Показано, что именно эта модель ответственна за эффекты усиления в области именно коротких включений.

7. Построена градиентная модель, учитывающая когезионные и адгезионные взаимодействия, и являющая комбинацией моделей, рассмотренных ранее, позволяет описывать поведение нанокомпозита для любого диапазона длин волокон. Эта модель фактически является моделью изменения морфологии матрицы в окресности волокон, что наблюдается при использовании в качестве армирующих элементов углеродных нанотрубок.

8. Приведены примеры, получены расчетные соотношения, позволяющие давать оценки эффективных свойств по входным параметрам матрицы и включений. Сделан соответствующий расчёт и получены конкретные результаты. Построена модель композита, с изотропным распределениям армирующих элементов (волокон) по углам по отношению к нагружению.

Разработанный в диссертации метод прогноза свойств нанокомпозита на основе теории межфазного слоя имеет преимущества перед распространенными методами молекулярной динамики как по объему вычислений, так и по возможности моделирования механического поведения многомасштабных структур.

Располагая найденными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний. Моделирование позволяет во многом

114 избежать проведения сложных экспериментов над образцами наноматериал ов.

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. London. 1991. No. 354. P. 56-58.

2. Васильев B.B. Механика конструкций из композиционных материалов. М.Машиностроение, 1988. - 272 е.: ил.

3. Ajayan P.M., Schadler L.S., Braun P.V. Nanocomposite Science and Technology // WILEY-VCH Verlag GmbH Co. KGaA. Weinheim. 2003. -230 стр.

4. Пул Ч. мл., Оуэне Ф. Нанотехнологии. Изд. Техносфера. Москва 2006. - 336с.

5. Thostenson Е.Т., Ren Z., Chou T.W. Advances in the science and technology of carbon nanotubes and their composites: a review // Composites Science and Technology 2001, V.61, p. 1899-1912.

6. Кривцов A.M., Волковец И.Б., Ткачев П.В., Цаплин B.A. Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика 2002», посвященной 10-летию РФФИ.

7. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов// ФТТ. 2002. Т.44. N.12. С.2158-2163.

8. Д.А. Индейцев, Е.А. Иванова, Н.Ф. Морозов К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // Журнал технической физики, том 76, вып. 10, с.с.74-80, 2006.

9. Яновский Ю.Г., Никитина Е.А., Карнет Ю.Н., Валиев Х.Х., Лущекина С.А. Молекулярное моделирование мезоскопических композитныхсистем. Структура и микромеханические свойства. Физическая мезомеханика, 2005, т.8, №5, с.61-75.

10. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. V. 140, No.4A. P. 1133-1138.116

11. Phillips J. C. Energy-band interpolation scheme based on a pseudopotential //Phys. Rev. 1958. V. 112. P. 685-695.

12. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density functional theory// Phys. Rev. Lett. 1985. V.55, No. 22. P. 2471-2474.

13. Askcroft N. W., Mermin N.D. Solid state physics. Philadelphia, 1976. P. 113.

14. Harik V.M. Ranges of Applicability for the Continuum-beam Model in the Constitutive Analysis of Carbon Nanotubes: Nanotubes or Nano-beams // NASA Langley Research Center. NASA/CR-2001-211013. ICASE Report No. 2001-16. 2001

15. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials// Composites Science and Technology. 2002 V.62 p. 1869-1880

16. Odegard G.M., Gates T.S., Wise K.E. Park C., Siochi E.J. Constitutive modeling of nanotube-reinforced polymer composites // Composites Science and Technology. 2003 V.63 p. 1671-1687

17. Leung A.Y.T., Guo X., He X.Q., Kitipornchai S. A continuum model for zigzag singlewalled carbon nanotubes // Appl. Phys. Lett. 2005. V.86. 083110

18. Ченцов A.B. Разработка дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов // Диссертация. Москва. 2008. 120 с.

19. Мига Т. Micromechanics of defects in solids // Martinus Nijhoff Publishers 1987, Dordrecht.

20. Beran M.J. Statistical Continuum theories // N.-Y. Interscience 1968

21. Zimmerman R. W. Behaviour of the Poisson ratio of a two-phase117composite materials in the high-concentration limit // Appl Mech. Rev. 1994, V.47, p. S38-S44.

22. Hashin Z. Analysis of composite materials -a survey // J. Appl. Mech. 1983, V.50, p. 481-505.

23. Салганик P.JI. Mechanics of Bodies with Many Cracks // Изв. АН СССР MTT 1973, No.4, c. 149-158, (In Russian. Engl, transl. Mechanics of Solids)

24. Nemat-Nasser S., Hon M. Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials // Elsevier Science Publisher B.V. 1993

25. Kachanov M. Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts // Applied Mechanics Reviews 1992, V.45, p. 304-335.

26. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problems // Advanced in Applied Mechanics 1993, V.30, Editors: Hutchinson J., Wu. T. Academic Press, p. 259-445.

27. Dyskin, A.V., Germanovich L.N. On the effective characteristics of heterogeneous materials // Chapter 8 in the book: Germanovich L.N., A.P. Dmitriev, S.A. Goncharov. Rock Fracture Thermomechanics. Gordon and Breach. London-N.Y. 2000

28. Tucker C. L., Liang E. Stiffness Predictions for Unidirectional Short-Fiber Composites: Review and Evaluation // Composites Science and Technology 1999, V.59, p. 655-671.

29. Сидоренко Ю.Н. Конструкционные и функциональные волокнистые композиционные материалы. Учеб. Пособие. — Томск: Изд.-во ТГУ, 2006. 107 с.

30. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М. Изд-во Моск. Ун-та, 1984. - 336 с.

31. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов: Пер. с японск. М.: Мир, 1982. - 232 е., ил.

32. Кристенсен P.M. Введение в механику композитов: Пер. с англ. — М.Мир, 1982. 334 с.

33. Torquato S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on effective properties // Appl. Mech. Rev. 1991, V.44, p. 37-76.

34. Бахвалов H.C., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984. — 352 с.

35. Устинов К.Б. Некоторые частные случаи определения эффективных упругих характеристик тел с изолированными неоднородностями // Препринт 715 ИПМ РАН 2002, 50 стр.

36. Mori Т., Tanaka К. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metallurgica 1973. V.21, p. 571574.

37. Wakashima K., Otsuka M., Umekawa S. Thermal expansion of heterogeneous solids containing align ellipsoidal inclusions // J Compos Mater 1974, V.8, p. 391-404.

38. Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials // J. Mech. Phys. Solids 1965, V.13, p. 223-227.

39. Riccardi A., Montheillet F. A generalized self-consistent method for solids containing randomly oriented spheroidal inclusions // Acta Mechanica 1999, V.133,p. 39-56.

40. Taya M., Mura Т., On stiffness and strength of an aligned short-fiber reinforced composite containing fiber-end cracks under uniaxial applied stress // ASME J. Appl. Mech. 1981, V.48, p. 361-367.

41. Taya M., Chow T.-W. On two kinds of ellipsoidal inhomogeneities in an infinite elastic body: An application to a hybrid composite // Int Journal of Solids and Structures 1981, V. 17, p.553-563.

42. Weng G.J. Some elastic properties of reinforced solids, with special reference to isotropic ones containing spherical inclusions // Int. J. Engng. Sci. 1984, V.22, p. 845-856.

43. Tandon G.P., Weng G.J. The effect of aspect ratio ofinclusions on the elastic properties of unidirectionally aligned composites // Polym. Composites. 1984, V.5, p.327-333.

44. Benveniste Y., A new approach to the application of Mori-Tanaka theory in composite materials // Mech. Mater. 1987, V.6, p. 147-157.

45. Ferrari M. Composite homogenization via the equivalent poly-inclusion approach // Compos. Engr. 1994, V.4, p.37-45.

46. Lurie S., Belov P., Tuchkova N., Miltiscale modfeling of the reinforcement effects of the nanocomposites// 13 Int. Workshop Computational Mechanics of Materials, 2003, Book opf Absdtracts, sept. Magdeburg, 2003. p.69-70

47. Lurie S, Belov P, Volkov-Bogorodsky D, Tuchkova N, Nanomechanical Modeling of the Nanostructures and Dispersed Composites // Int. J. Comp Mater Scs 2003, V.28(3-4), p.529-539

48. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D. Multiscale Modeling in the Mechanics of Materials: Cohesion, Interfacial Interactions, Inclusions and Defects // In book Analysis and Simulation of Multifield Problems, Springer 2003; V.12, p. 101-110.

49. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. Journal "Computational Materials Science" A., 2004, V.36(2), p.145-152.

50. Бодунов A.M., Белов П.А., Лурье C.A., Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г О моделировании масштабных эффектов в тонких структурах // Механика композитных материалов и конструкций 2002, №4, т.8, стр.585-598

51. Лурье С.А., Белов П.А. Вариационная модель диссипативных сред //

52. Механика композиционных материалов и конструкций 2001, Том.7, №2, с.266-276.

53. Voyiadjis G.Z., Abu Al-Rub R.K. Gradient plasticity theory with a variable length scale parameter // International Journal of Solids and Structures 2005, V.42, p.3998-4029

54. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. Journal "Computational Materials Science" A. 2004, V.36(2), p. 145-152.

55. Власов В.И., Волков Д.Б. Метод мультиполей для решения уравнения Пуассона в областях со скругленным углом // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 6. С. 867-892.

56. Vlasov V.I., Volkov D.B.: Analytic-numerical method for solving the Poisson equation in domains with rounded corners // ZAMM. 1996. Vol. 76, Suppl. 1. P. 573-574.

57. Vlasov V.I., Volkov-Bogorodsky D.B.: Block multipole method for boundary value problems in complex-shaped domains // ZAMM. 1998. Vol. 78, Suppl. 3. P. 1111-1112.

58. Лурье C.A., Белов П.А., Орлов А.П. Модели сплошных сред с обобщенной кинематикой. Свойства и некоторые обобщения // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996, Т.2, N 2, с.84-104.

59. Образцов И.Ф., Лурье С.А. Белов П.А. Об обобщенных разложениях в прикладной теории упругости и их приложения к конструкциям из композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997, №3, с. 62-79.

60. Лурье С.А., Белов П.А., Орлов А.П. Continuum mechanics models with generalized kinematics and fracture mechanics application // 16th Canadian Congress of Applied Mechanics 1997. Quebec, Canada, p.93-94.

61. Белов П.А., Лурье С.А. Модели деформирования твердых тел и иханалоги в теории поля // Мех. тв. тела Изв. РАН, 1998, № 3 С. 157166.

62. Образцов И.Ф., Лурье, С.А., Яновский Ю.Г., Белов П.А. О некоторых классах моделей тонких структур // Изв. Вузов. Северо-Кавказский регион, Естественные науки (к 80-ю академика И.И. Воровича). Ростов-на-Дону 2000, № 3 с. 110-118.

63. Лурье С.А., Белов П.А. Математические модели механики сплошной среды и физических полей // Изд. ВЦ РАН, Москва 2000г.(монография), 151с.

64. Лурье, С.А., Белов П.А. и Криволуцкая И.И. Об одной модели когезионных взаимодействий в сплошных средах // Конструкции из композиционных материалов N 2, 2000, М. ВИМИ. Журнал посвящен 80-ю академика И.Ф. Образцова.

65. Белов П.А. Лурье С.А. Модели сплошных сред с неинтегрируемым полем тензора деформаций // Сборник аннотаций докладов 8-го Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. 2001 г., с.98

66. Белов П.А., Лурье С.А. Общая теория дефектов сплошных сред // Механика композиционных материалов и конструкций 2003, т.9 .N4. с. 210-222

67. Бабешко A.B., Лурье C.A., Белов П.А., Яновский Ю.Г. Масштабные эффекты в моделях сплошных сред // Механика композитных конструкций 2002, №8 т. 1 стр.71-82

68. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов: учебник для авиационныхспециальностей вузов // Машиностроение, Москва 1986, 536с. ил.

69. Снедцон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости // изд. Вузовская книга 2008, 216с., ил.

70. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред // Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010, 320 с.

71. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции (Формулы, таблицы, графики) // изд. Наука, Москва 1964, 344 с. с ил.

72. Odegard G.M., Frankland S.J.V., Gates T.S., Effect of Nanotube Functionalization on the Elastic Properties of Polyethylene Nanotube Composites // AIAA J. 2005, V. 43, pp. 1828-1835

73. Pipes R.B., Frankland S.J.V., Hubert P., Saether E. Self-consistent Physical properties of Carbon Nanotubes in Composite Materials // NASA/CR-2002-212134 ICASE Report No. 2002-46

74. Глухова О.E., Терентьев О.А. Теоретическое изучение зависимостей модулей Юнга и кручения тонких однослойных углеродных нанотрубок zigzag и armchair от геометрических параметров // Физика твердого тела, 2006, том 48, вып.7, с.1329-1335.

75. Образцов И.Ф., Лурье С.А., Белов П.А., Волков-Богородский Д.Б., Яновский Ю.Г., Кочемасова Е.И., Дудченко А.А., Потупчик Е.М., Шумова Н.П. Основы теории межфазного слоя// Механика композиционных материалов и конструкций, 2004, вып.4, 596-612.

76. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses//Arch. Ration. Mech. And Analysis, 1962, 11.

77. Гордеев A.B. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами // Механика композиционных материалов и конструкций, т. 16, №1, 2010 г. с. 106-116.

78. Гордеев А.В. Моделирование эффектов усиления дисперсных композитов, армированных ориентированнми микро- и нанотрубками // «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы и перспективы». Материалы