Модельные изображения алгебр Ли линейных несамосопряженных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

акадоля наук укра1ки ф13ик0-шн1чнш 1н0титут низших температур 1м.бл.в6рк1на

На правах рукошсу

ЗОЛОТАРЬОВ Володимир 0лекс1йович/

моделью: зобрашшя алгебр л1 лшишх неоаыоопряжених оператор1в

01.01.01. - математичний анал1з

автореферат

дисэртацИ на здобуття паукового ступени докгора ф1эино-матемаг5Гших каук

Харьк1в - 1994

Дисертац1я е рукопис

Робота виконана на кафедр1 вица! математики та 1нформатики Харк1вського державного ун!верситету.

0Ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф1зико-математичних наук, професор Б.С.Павлов: . доктор фЗ.зико-математячних наук професор Ю.О.Самойлэнко: доктор ф1зико-математичнт наук, професор А.В.Кушель.

Пров1дна орган!заи1я - Швденно укра1лський педагог1чннй yHifiepcirrer 1м.Д.К.Ушинського.

-Вахисг даоертацИ в 1дбудаться " 1994 р.

■в _Ж годин на зас1данн1 сшц1ал1зовано1 ради Д 016.27.02 прн Ф1зико-техн1чному ■ 1нстнгут1 низькшс температур 1м.Б.Х.Берк1на АкадамП Наук Укра1ни (310164, м.Харк!в, пр.Ленина,' 47).

' 3 дисэртац!ею е можливЛсть ознайомнтясь в б1бл1отац1 Ф1зкко-"Г82сничного 1нституту кизысих температур 1м.В.1.Верк1на АкадеиП Наук Укра1ни. .

Вчвний секретар спец1ал1зовано1 ради

стц1ал1зовано1 ради /

доктор ф1зико-математагаяшс наук В.П.Котляров

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуальнЗсть теми.' I. Одною 1з ваыивнх задач спектрального енал1зу являеться побудова моделышх зоСражень для л1н1йних оператор1в, шс1 реалЗзуються "оператором множвння на незалежну зм1нну" в спец1альному простор! функц1й. На в!да1ну в1д побудованих Дж. фон Нейманом спектральних розклад1в самоспряшнлх (ун1гарних) оператср1в одержания аналог1чпих зображень для дасамоспрякених (неун1тарних) оператор1в-являе собою досить валку задачу. На початку '50-х рок1в досл1джэ1гня у цьому напряшсу були розпочат1 М.С.Л1вшщэм, який побудував теор1ю характеристична фушод!й та теор!ю трикутних моделей л1н1йних оператор1в. • Пот1м, , в середин1 60-х рок1в Б.Секефальв1-Надем 1 Ч.Фояшем аула створена теор1я далатацШ для стискуючих п1вгруп. В цей жэ час П.Лаксом 1 Р.Ф1лл1псом була тобудована геометрична теор1я розс1ювання акустичних хвиль яа обмежених переипсодах. Роэвигон цих трьох напрямк1в став основою для створення методу досл!джень нвсамоспряжених оператор1в I побудови в1дпов1дних моделей.

У в1дпов1дност1 з розвинугим п1дходом, побудова фушсдЮнально! модел1, яку прийнято вважати адекватною аам!ною спектрального розкладу дисштативного, щ1льно заданого оператора А, зд1йснкеться ,сл1дуючим способом. Як в!домо, оператор А е генератором сильно топерерБио1 п1вгрупи стиску яка породжуоться задачэю Коп!1, -

íL W) = t A h(t); at

h(0) = h, (tío);

де, h(t) - вектор-функц1я в г1льОертовому npocropi Я, • h(t)=Zth. Для Zt будуегься ун1тарна дилатац!я U¿ в розум!нн1 ЬяС.-Надя та Ч.Фояша в г1льбертовому npocropi жъП: Zt=P¡ft при íao, (Рц - ортопрооктор на И). При цьому з'ясовуеться, що к = й ф н «> дэ й_- в1даодяч1 та надходяч1 п1длростори ун!тарно1 групи t/{ в розум1нн1 П.Лакса-Р.Ф1пл1лса. Яот1м, в схем1 розс1яння П.Лакса-Р.Ф1лл1пса ' конструюеться трансляц1йяа модель ун1тарно1 групи Ut, основним параметром яко1 е S-оператор розс1яння. 1з трансляцию 1 модел! п1сля перетворень Фур'е одержуеться спектральний,розклад дилатацИ V^. Нарешт1, проектування спектрального' розкладу V^ на Н i приводить до функц1онально1 модед1. п1вгруш Zj (та 11 генератора А), яка являе собою .оператор тохвтя на (та на Л, в1 дтов1дно) в деякому

спец1альному простор! функц1й /(AJ.

Внкладена схема одаржання функЩональних моделей винисла завдяки роботам В.М.Адамяна-Д.З.Аровв, як1 для S-матриц! П.Лакса-Р.Ф1лл1лса дали стандартно визначення •через хвильов! операгори та показали, що ядро матриц! S зп1впадае з торетворекням Фур'е характеристично! функцИ М.С.Л1ьШИЦя п1вгрупи Zt. Ви01р riel чи 1ншо1 форми запису спектрального розкладу дилатацИ Ut приводить до в1дпов!дних функц1ональнга моделей nlsrpyn стиску Такими являються: модель в.с.-Надя - ч.Фояша; модель Б.С.Павлова; модель Л.де Бранжв-Дж.Ровняка та 1нш1.

II. Природном) уявляегься спроса побудувашш аналсПчних моделышх зображень для систем л1н1йних оператор1в. Вперше у 1Э30 р. Дк.фон Нейманом було розгючито систематична вивчення колець д1н1йиих неоОмежених опвратор1в та проведена 1х класиф1кация. В 40-х роках ЬМ.Гельфондом Оула побудована абстрактна теор!я койутативних нормованих колець,■ р1шучу роль в як1й виконуе к1лыдэ неперерышх функцХй на простор1 максшальних 1деал1в. Подвльший розвиток ц1е! теорП для некомутативних колець було продовжено в роботах 1.М.Гельфанда X М.Л.Наймарка. Однак, в рамках даного п1дходу не вдалося побудувати модельн1 зображешш для систем не само спр яке них л1н1йшх оператор1в.

Дотримуючись визначення Б.С.-Надя «та Ч.Фояша, далатац1ею комутэтивно1 системи л1н1йних оператор1в (Л^, д1ючих у г1ль0ерговому простор! И, назлваеться така система оператор1в {Ву «ьИ, що козший 1з оператор1в В^ являеться далатац!ею в1дпов1дного оператора А^ (для причому

[В^,Ва1=0. Одаяк, як з'ясувалося, комутативн1сгь дилатац1Я при п > 3 не за вида мае м1сце, що видно 1з контрприклада С.П&ррота.

Вих1д 1з обставин, що склалися, був запропонований Ы.С.Л1вшицем, який показав, що побудова дилатацИ багатопараметрично! комуташвдо1 п1вгруш стиску над грунтуетъся на використанн1 уиов сум1сност1 дояких систом р1внянь (аналог1чних (I)), в добудованою'правою частиною. А проблема побудови дилатацИ для некомутативних систом л]н1йних несамоспрякених оператор1в, взагал! кажучи, н1ким не вивчалась.

Мета.тоОога. Дана робота присвячена побудов! модельних зображень для комплексных, розв'язних алгебр Л1 (гкот)

jiiHiftfflx нвсамоспряженкх оператор!в, д!ючих в Пльбертовому простор1 И. П1д функц1ональною моделлю алгебри JI1 (A^tf будемо розум!ти таку функц!ональну реал!зац!ю простору И, при як1й хоча би один 1з оператор1в А^ переходить у "зр!зку" оператора множення на незалежну зм!нну.

Метод досл1дження. В -дисергацИ використан! метода фуш{ц1онального аяал1зу, а саме: теор!я дилатац1й B.C.-Надя 1 Ч.Фояпи, теор1я розс!ювання П.Лакса i Р.Ф1лл1пса, теор!я характеристичных функЩй М.С.Л1вщща.

Наукова новизна. Bel результате змодэльних зображень алгебр Л1 л1н1йннх нэсамоспряжених оператор1в, що одерг:ан1 в робот!, являються новими.

Теоретична 1 практична ц!нн1сть. Залролонований в робот! метод побудови модельних зображень для алгебр Л1 (Apf^ л1н1йних несамостгрякених оператор1в являеться ' Оагатопараметричнкм узагальнэнням, виклэдено1 в п.1 схеми 1 використовуеться для сл1дукщих систем оператор1в:

•1) коммутативних (fAk*Aal=0), (1 s й,з < п);

2) алгебри Л1 СА1,А2) такоЗ., що [А^,А1]=1А1;

3) алгебри Л1-Гейзенберга {Â},AS,A^1. - [А},Л2l^lAy,

lA2,Aj]=0;

4) алгебри Л1 ISO(1,1), CA^.A^rAj), - Г-^.Л^О,

В1дзначимо, що групи Л1, як! в!дпов!дають алгебрам Л1 1)' - 4), являються трупами Л1 перетворень. Наприклад, алгебр! Л! IS0(1,1 ) в1дпов!дае трупа перетворэнь

пс9вдоэвкл1дово1 площини, яка збер1гае форму

Метод побудови функц1ональю1х моделей для алгебр Л! л1н1йних олерагор1в полягае в ол1дуючому. Кожн!й алгебр! Л1 (Л^)" л1н1йних оператор1в, д!ючих у Пльбертовому простор! И, ([АЬ,А3] = I Е с%,3Ар> с^>3 « К, п а М) з1ставляетъся,

аналог1чно (I), Оагатопараметрична л1вгрупа 2 , що породжуеться задачею Кош1, -

' аэк + лк) Ых) = О;

(II)

ЫО}.= Ь; (1 < к < п);

де, Ых) = еН, - диференц1йн! оператори

першого порядку з коеф!ц1ентами, що залежать в!д х е

Показано, що сум1сн1сть 1 розв'язання системи р1внянь (II)

мае м1сце тод! 1 т1лыш тод1, коли оператори {д^ утворюють

в!дпов1дау алгебру Л1 векторних пол!в ([д^,да1 = Е 3 др).

Р

А, як в1домо, алгебр1 Л1 Сд^}" однозначно в1дпов1дае однозвязна група Л1 С. '

Додержуючись викладено1 вищэ (див.п.Г) схеми, спочатку будуеться дилатац1я стискаючо! багатопараметрично! п1вгрупи над -конус'ом (0агатовим1рним аналогом к+), пот!м конструюеться 5-опэратор розс1шшя П.Лакса-Р.Ф!лл1пса. Реал!зац1я п1вгрупи у надежному спектральному зображенн! ун!тарно1 дилагацИ 1 дае функц!ональну .модель вих1дно1 алгеОри Л1. Характерною асоблив1очЮ кокструкц11 дилатоцП багатопараметрично! п1вгрупи стиску являеться то, що спочатку будуеться дилатаШя "вид!лено1" однонаруметрично!

сгискуичо! п!вгрупи. Пот!м вона продовжуеться по 1шим зм1нним на rpyni JIl G в силу умов сум!сшст! для системи р!внянь, яка аналогична систем! (II) в добудованою правою частиною. При цьому в G видЬшегься опуклий гострий конус К, nai яким i будуеться в1дпов1дна дилатац1я. Гармон1чний анал1з, що проводиться в рамках побудовано1 о'агатопэраметричяо1 схеми розс1ювання, 1 дае функц!ональну модель вих1дно1 алгебри Л1 (А^ л1я1йних оператор!в. З'ясовуеться, що- вих!дна алгебра Л1 (А^ е 1зоморфна звужэшю ■ на модельний прост!р деяко! алгебри Л! саюсирякених оператор1в, яка задовольняе т1 сам! комутац!йн1 сп!вв!днош8ння. Модель, ¡до одержуеться, як правило, реал!зуеться у клас! мероморфних функц!й на риманов!й поверхл!.

Но зваягаючи на загальнХсть запропоновзно! схеми, сам процес яобудови модельних зобракень для кожно! конкретно1 алгебри Л! су то !щшв1дуалъний, тому що гармоничний анал!з 'нербх1дно здШонювати на- в1дпов1дн!й rpyni Л! G, що в!дпов1дае ц1й алге0р1 Л! В1дзначимо, що юрех!д до

спектрального розкладу дилатацН п1вгрули Zx зд1йснюеться кожйий раз спец1алышм пере творениям на в!дпов!дн1й груп! Л! тому, що перетворення, яке оператор "групово! трансляции." на .С переводить в оператор множэнвя на неяялежну зм!нну, суто залегать в!д властивостей конкретно! групи G. Так, у виладках 1) 1 3) - це перетворвння Фур'е; у випадку 2) - не пера творения Мелл1на; у випадку 4.) - це перетворення Ханкеля.

IV. Нагадоемо, що система лйШш оператор!в f^". то

д1е у г1льбертовому простор1 Я, називаеться простою, якщо нэ 1снуе зводячого одночасно вс1 А^ п1дпросгори, на якому (А^)^ 1 буде 1ндуц1ювати систему самоспряжаних рператор!в.

В робот! вивчаються прост1 системи jilHlflroix оператор1в (А^}™ у Пльбертовому npocropi Н,- для яких виконуються сл1дуюч1 умови:

1) (Аь)гН s (Ai)JH, ту, ¿«("Vr = -

2) (А^)^- мае обмежешгй обернаний в fJJTp?; (III)

3) (Ai)I ä О.

В1дзначимо, що умова 1) моке бути задов1льнвна за рахунок вибору надежного базису у алгебр! Умова 2) - у

випадку ск1нчвном!рност1 M-j^H виконуеться автоматично, 1 сама цбй випадок приводить до функц1й на р1манов!й поверхн! i являеться досить зм1стовним. Оеновним 1з припущень (III) являеться умова 3), яка природно вщшкае в однопараметричн1й cxsMi розс1ювання П.Лакса-Р.Ф1лл1пса. Появления умови 3) у даному розгллд! пояснюегься там, що в ochobI запропонованого

ч

методу лэжить багатопараметричш неабелевэ узагальнення схеми розс1ювання П.Лакоа-Р.Ф1лл1пса на группах Л1. Б1л ше того, на конкрвтних прикладах показано, що видХлення опуклого гострого конуса К, «ад яким будуваеться дилатац1я у випадку невиконання умови 3) не можливе, так як при цьому п1дпростори й+ i мають непустий ператин.

Апробац1я роботи. Результата дасертацИ допов1дались на сем1нарах Харк1вського, Санкт-ПетерОуршзького, Соф1йського (НРБ) ун1вврситвт1в, ' 1нституту математики АН _ Укра1ни

(м.Ки1в), на м!жпародн1й конференцИ з комплексного анал!зу та його застосуванням (Варна, 1987), на XIV Всесоюзн!й школ1 з теорИ оператор1в у функц!ональних -просторах (Новгород, 1989); зимових математичних школах у Воронеж! (1989, 1990); на' VII Всэсоюзн1й конференцИ "Комплексний анал1з и диференц!йн1 р!вняння" (Черноголовка, 1989), на сем1нарах з комплексного анал!зу в Санвт-Петербуржському в!дц1ленн1 ма-тематичного 1нституту, !м.В.А.Стеклова та в 1нститут1 математики 1м.В.А.Стеклова АкадемИ Наук Рос11 (Москва, 1990).

П.убл1кац11. ОсновнМ зм1ст дисертацИ опубл1ковано у 13 роботах. Список . основних публ1кац1й приведено в к1нд! автореферату.

■ Об'ем робоги. Дисертац1я внкладена на 219 стор1вках 1 складаеться 1з вступу, чотирьох глав, розбитих на параграфа та'списку цитуеио1 л1тератури (96 найменувань).

ВМ1СТ РОБОТИ

V. Робота складаеться 1з чотирьох глав, основн1 результата яких приведен1 нижче.

Глава I присвячена побудов1 функц1ональшх моделей для комучативнлх систем л!н1йних несамоспряжених ошратор!в ' М^)". Для того, тоО сформулювати одержан1 в ц1й глав1 результата, введемо нэобх!дн1 позначення та поняття.

Чьрез Е лозначимо г1льбертовий просИр, 1зоморфний простору неерм1товост! системи (А^}™ 1 нехай <р

- л1н1йний оператор (<р: Ь - Е), що зд1йснюе ней 1зоморф1зм. У простор! Б розглянемо самоспрякен! оператори (0%). то

побудован1 за системою /, - а£ ~ tip'o^p, (1 < к ± п); 1 позначимо через (ц^ а)" л1н1йн1 опзра'юри в Е, як1 визначаються за операторами ГА^)" сл1ду|ичш способом,

- аа^Ак = °fe<Ma " <у|Ый - lieV: (1 ¿к.а* п).

1з перестановочност1 оператор1в '"^•'j. н«т1кае самоспря-жен!сть а 1, б1льшэ того, тод1, коли ot-iB (що завжди мае м1сце при виконанн! умов (III)), справедлив! plEHocil:

1) [ak,aal = 0;

2> К-Гг.з1 =

3) Ъх.Ь'й.э1 = 0: () * к'3

(IV)

п).

Характеристичну фушщХю оператора /Ц позначимо через

Sf;u=I-i(|)('X-\r.)~1<p*, вона являеться стискуючою, анал1тичною

функц!ею у п1вплощин1 Im к < О. 1з леми Фату вит!кае, що

S(\) мае майже всюду граничн1 значения S(x) на к так!, що I S*(х)

оператор-функцДя

' S(x) I

,f I S \s I

к фулкц11 / =

[

Р'

- [■£ 1

нев1д'емна. Позначимо через

г!ль0ертовий проотЗр, який породаують вим!рн! на

(х) si значениями в Е ® Е, при цьому

<f,f> = f <

I

S(x) I

S*(x)

1Ш

(X),

h h

(x) )

cir.

Як звичайно, п!д Hl(E) будет розум!ти класи Хард! Е-

зрачних вектор-функЩй 1з I£(Е), в1дпов1даючих п1вплощинам' ±Ini Л > О.

Зд1йснення в рамках викладено!. вище схэми гармон1чного анал1зу на абеЛ0в1й rpyni по додаванню G = шп приводить до с.л!дуючо1 теореми.

Теорема 1. Bcsuca проста колутативпа система M^J", ] = О) aIhWhuz onepamopie, дйсчих у И, для яио1 жшпъ л1сце (III), - ynimapHo-eueiecuewma модельнШ систем МнШшх onepamopie, -

' А'

fx; = р~

,/2. й

* -ri.JL/p J

о

f Ti.ftJ

(i s к < п), де самоспряхен1 оператори у npocmopl

Е,' (о^ = I^r = О), що завоволышть сШввЮнашеннял

pfI S*-)

(17), а Р—• оператор проеитування в L \ I

_ . н . Is rj

npocmtp

на моделъний

с If

I _ fr + S*f2 * Нг+(Е); S ij' s/t + /2 * til(E);

Для того, щоб сформулювати сл1дуючий результат, який "вит1кае 1з поперэдньо! тоорёми, коли dim Е = г < «о, введемо следую-1 позначення. Для простоти викладання припустимо, що п = 2. Позначимо алгебра!чну криву у с2 через а, -

= |rxt,iVg) е с2; der (а2Ь1 - ох\2 + т 1>г/ = о|

(V)

Неважно вотановити, що detío2\1 - + 7^ 21 = detíOgXj-- + 2J i, toöto, о в1д вибору 7^ 2 не залетать. Р1д алгобро1чно1 криво! о позначимо через g. Введамо на с аналоги верхньо! та ншкньо! п1вплощин, а також д1йсно! oci,-

а+ = |Р - ± гп \t(P) > о

На неосо(Злив1Я крив!й ® розглянемо ввкторр1 поля ЪГ(Р) е Е, ■ як1 являються власними функц1ями оператора а2Х^ + Ii г' (а2Х, i 7j 2)h±(P) = X2hr(P) 1 як! нормован! умовою ti^(P)-l, да h*(P\- - г-я компонента ТГ(Р). Неважно -встановити, що dKj/ihrfP)^2 нев1д'емна Mipa на ®0> а це дае змогу ввести г1ль0ертовий npocTip (¡ir ,(Vií) вим1рних на* <oQ скалярних

фунюШ g(Р), для яких

<зл.

f lerwr + ?

J \\h-(P)f

®о

i

< а>.

Нласи Хард1 И^ (hr,cVí^) складаютьсй . 1з функцМ

g(PJeb? (br.dK,), як1 голоморфним чином продовжуються у о

обласг1 ®±

Доказана.ол1дуюча

Теорема 2. Нехай п = 2, dim В = г < а крива о (VJ ¡/ с2 кeoaoóá I лав píd g. Tod 1 ötieisop помс1в D+ веторного поля hr (Р) >ia © являться неспец1сиънил I dag D±= g + г - J. ФунмцЬоншыа модель npocmol ¡солуттив?ю1 оистеш (Аг,А2)

лШйних onepamopie, що вадоволъняе (III), лае вигляд

Ak f(P) = Рл \h(P) f(P); (k =1,2), к H R

de hfctP) - мероморфиЬ m © фунщИ, P* - проектор ш мо-

« Я

ófUbHUÜ npocmip.H,.f(P) е я-, яке являв собою

Гх(Рт1 (ТЛйЛ^ебГРЛ^ (h~,d\i); í2 (Р)* Л (Р)1^ЪГ ,бЛг ;ед f (7Г, сЛ,) ;

я = ■ /CPJ = л:

причому, Дг(\р; = i - |0fp;|2, а егр; - униоОулярна на о Фупкц1я (стискуюча у та "yulrnaprn" на ®0_).

Привэдемо приклад, який 1люструе дану теорему. Для ць&го припустимо, що ■ опоратори f^.^j, утворююч! комутативну 'систему так!, що din .£ = 31

/00" 00а' г-*-1 0 0 •

•°i = 0 Í 0 . о2 - ООО • Ч - TÍ.2 0 Í ь

. 0 0 Í _ ,á 0 0 0 ь к'1-2

де а > О; к * (0,1), Ъ = /2 (к 1-1). Криву ® (V) задае многочлен

кгс£\\(1 - \г) = (1 + \z)(l -

Покладаючи ШК^(1 - » С. одержимо криву Лежандра

С2 = (1 - A|jfí - йгл|;

Г "1

- и -1.1 и -,а>

К k

Г J1

роду g=l. Множин1 ®0 в!дпов1дають розр1зи

на \г площин1 дволисто1 р1маново! поворхн1 а ®+ (о) в1дпов1дае один 1з лист1в Ун1форм1зугачи о, пэрейдемо до прямокутника пер1од!в

Г = | цес; *|fíe и \ < |Ы t¿| < K'J.

Оператори /Ц, А^ задаються в даному , вигшдку оператором мноиення на эл1птичн1 функц11

Í

---ln'(l - 3h и); А „(и) = sh и,

1 ka ¿

дв.зп и - функц1я Якоб!. Проот1р iS (h.dX.) складаеться 1з

вим1рних на Г0 = Си е V; 1т и = 0 або 1т и = й'> функц1й , для яких

г о fe sh'u

}g(u)\z -ctu < о».

•1 П + ah и)(1 - к ah и)

Г„

В1дпов1дн1 класи Хард1 на о, взагал1 кажучи, . н1ким на вивчалися 1 вводяться, мабуть, вперше.

Викориотання моделыпш зображень комутативних систем л1н1йних оператор1в, що одержан1 в теоремах 113, дозволило одержати сл1дуюче:,

1) Для Судь-яко1, голоморфно1 рац!онально1 функцИ У справадливий сл1дуючий аналог нер!вност1 фон

Но Амана

М(Аг,АгЩ < Sup \f(\v\2n •

2) Якщо dim Е < т, то для просто1 комутативно! системи qpepaTopiB {A1,A¿J, задовольняючо1 (III), мае м!сце сл1дучий аналог теореми Гам1льтона-Кел1

®rit./l2J = О.

3) Нехай S*(\) внутр1шня оператор-функц1я в H2tСЕ), тод1 власн! oyMlcHi функцИ Лг i Аг магать вигляд

/vv - ЧЩ)

■■VV-- —-h (ра)

де. ?х= (\,хгМ), Pjj = íji, е о и efPp; = о. Б1лыш

того, якщо крива ® неособлива, а спектр a(Aí) р с+ складаеться 1з 1зольованих-власних чисел, то функцИ ф^СР^.) утворюють Оазис Picoa в Н тод1 i т1льки тод!, коли э а, р а > О, р > 0) так!., що для v / с мае м1сце

_ IgfVI2

де /а; = п~(Рх) ря = сл., хг(\)} * о.

В1дзначимо, що Л.Л.Ваксман, використовуючи п1дх!д М.С.Л1вшиця, на ochobI !нших (геометричних) м!ркувань побудував ун1тарну дилатац1ю та функц1онольну модель для деяких клас!в комутативних багатопарамотричних п!вгруп стиску над к".

Гармон1чному анал1зу в дус! Борл1нга-Лакса у багатозв'язних областях присвячений ряд роб1т-Б.С.Павлова та С.I.Федорова, в яких запропоновано спектральний п1дх1д до задач 1нтврголяц11; при цьому вингасаюч1 конструкцП аналог1чн! функц!оналышм моделям на р1манов1й поверхн1 (теорема-2).

Глава II присвящена побудов1 функц1онально1 модел1 для двовим1рно! влгебри Л! (А1,А2) л1н!йних ' несамоспряжеши оператор!в, комутац1йно сп!вв!дношетш для яко! мае вигляд lA^tA^l = lAi. Для того, щоб викласти одержан! в ц1й глав1 результати введемо в1дпов1дн1 позначення.

Через Е, як було пом1чено вище, позначимо г1льбертовий прост1р 1зоморфний простору }шэрм1товост1, а в Е аналог1чним чином введемо самоспряжен! оператори о^, о2 ta л!н1йн! оператори 7±= 7* 2, 7+- 7+= -ta^. Полос! П = fz = а + ip «с, а « (~1\0)) в!дпов1дае клас Хард!.'Н^, а //^(Ш - це п!дпростори функц1й в як! голоморфно продовжуються 1з П у п!вплощини ±Re г > О. 1з припущень (III) для алгебри Л1 (Ai,A.i) виходить, що ми можемо рахувати, що о2 > О ! а^1 1снуе ! обмелений. Через S(z) позначимо характеристику функц!ю оператора АS(z} - Г - Сф(А^ - - IzU'^^o^, яко явлпеться стискуючою (в о0-метриц!) ! голоморфною в Re z < О

функЩею. Аналог1чно введеному ран1ше простору I'

роаглянемо прост1р

CD'

t s:i

Використания викладёно1 в п.III cxetaT для дано1 двовим1рноГ аягебри (Л1,Л2У та використання схеми розс1ювання П.Лакса-Р.Ф1лл1пса на неа0елев1й rpynl аф1ншх перетворень прямо1 дозволяв довести следуючу теорему.

Теорема 3. Проста алгебра. JII СА^.А^У, ([Аг,А11 = 1А1), що заЭободьняе (III), ynimapno екб!б спешна cAidymiü фунщ1оналън1й модел1, -

(Z) = РЛ2 И-

Si &

(z);

(Z) = P„J»0.

g2 J ff '

-1

Iz - 7_ О

-7+.

1 IfzJ;

:> J

dlmti1 ¡/ модельному npocmopl.

H=

o2 s fz; sez; o2

_ gjf o2Vrz;g2 e fl2fn,o2dpj ' azS(z)gt + g2 e ff2fn,02dßj

Oe r - оператор асуву z) = g(z - 1), а Н1(П,о2ф) вЮповЮний npocmlp Xapdt ветор-фунщЫ la E no Mlpl о£ф.

. Сл1дуюча теорема, яка вит1кае 1з попаредньо1, коли dim Е - г < а, м1стить функц1ональну модель алребри Л1 (А^.А^У, яка реалlayеться в спец1альних класах мероморфних функц!й на р!манов1й поверхн!. Введемо необх1дн! позночення.

О

Розглянемо в с2 алгебра1чн1 крив!,

= det fCOj + (1±)R - = 0, гст±;д = т± + r*. i Н9Х8Й-C±f®±; = «КС,® J e o±, ± In Q(P} > 0); №±(®±) = IR(©±J; nfO±J = (P e © ICfpJI < 1/2).

поля

Позначимо через h~(F)<=-KerfCOj + ГТ+^д - векторЩ власти функЩй o~1(Qa1 + (i(±)ii)h±(P)=w±h(P), P+fC.iftJe®± на неособливих кривих ®±, нормован1 умовою .

ИльСертовий прост1р скалпрних голоморфгап. в Щ«( ) функц1й таких, що

Sup Г \g(P)\2 -р<®,

lt<&(*±) J |/арх-mf

де х = Re а 1( - сукупн1сть л1н1Й в П(©+), для яких

Im £(P)=t=ccnst, (|i|<0,5), - позначимо через Я2(?г,П,огОг;. В Я2Г^,П,ог<Зг; введемо класи Хард1 u\(lv,Iho^dx), як! в1дпов1дають областям с+(®+).

Доказана следуюча

Теорема 4. Пехай dim Е =г<ю, а криВ1 ®+ б ,неособлив1 I жать pld g±. Год I duetaopu полоо1в D± веторшх пол1 в 7г(Р) являться неспец1алънмж1, deg D+- g^ г - }, при цъолу фунщ1опсиът модель npoomol, задоволы<ято1 (III), сuzeflpii

M (ÄVAZ), ~ IA■пав бигляд.

2 1

АгТ(Р) = Р.

Ж™ - ¡1f(p,:

AXJ(P) = Р. ЦР) f(P);

И

де мадельний npocmip Н лае бигляб,

я = /гр; =

Г /_ 1 .n.o2<ir) ö .Yi.a^äx);

I ]" ьягЫ,П,о2йг; в д ,п,огс1х);

причолу, 0(Р) - ун1ж>дулярш фунщЫ, а kd(V) = i-|efPj|2. Виыю тог о, Р= f£,tu±rUMIf®±J i Р = (£,w±(l)) а

фунщЫ ЦР) лае бигляЗ Л(Р) = ffitCP±j • <a2h±(Pi),h±(T±)>E ■

0двржан1 в теоремах 3 14 модельн! зображення для алгебри JI1 (А^.А^) дозволяють дати структуру спектра оператор1в А^ 1 ¿4g. Нед1йсний спектр оператора Л2 утворюють ск1кчен1 cepil власних аначань Гц-Ш 1з верхньо1 п1вплощини (S е Ii, ц е с+). Оператор Аj переводить власну функц1ю оператора Ащо в1длов1дае влаоному значению ц, у власну функц1ю оператора А2, що Б1дгов1дае власному значению ц-!. Власн! функцИ оператора Л£, в1дпов1даюч1 влаоним значениям' Гц - kl) утворюють так аван! когерентн1 стани, як! в1д1грають важливу роль у квантовМ механ1ц1.

У глаь1 III одержана фуикц1оналыт модель алгебри Л1 (А^.Л^.Ау! лШШтх oneparoplB, комутац1йн! сп1вв1дноншшш

для яко1 мають вигляд [А1,Лг] = IА^, 1А1,А^] =О, =0.

Для того, щоб сформулювати основний результат ц!е1 глави ввэдемо сл1дуюч1 позначен!«. Через г, як 1 ран!шо, позначимо г!льбертовий прост!'р, 1зоморфшй простору неерм1товост1 алгебри Л1 СА1,Аг,А^). Розглянемо в Е оператори ^.Т* ПК1 визначаються за алгеброю Л!

аналог1чним чином, при цьому, - о^ = о^ (о1=ГЕ),

TÍ,3=f'тl,з-,*' "Ч.г'^иг** = {оэ г=0). 1з комутац1йних сп!вв!даошень для олгебри Л! випливае, що

справедлив! р!вноот1, (аналог1чн! (IV)):

1) Гсг,оэ7 = О;

2) •ГоЭ*'т1,г-' ~ 1аг'1из] + 1оз = 0:

3) =

(VI)

В ц1й глав1 розглянута багатопараметрична схема розс1ювання на груп1 Л1-Гейзенберга, та дано 11 гармон1чний анал1з у рамках приведено! вищэ схеми. В результат! побудована функц!ональна Модель для ц1е1 "алгебри Л1, яка приведено в сл!дуюч!й теорем!.

Теорема 5. Проста алгебра Д1 (А^гА^А^) л1нШш спе-рсшор1б А^1=0,1А^,А^1=0), що зававольняс

(III), ун1парно екв1валеитпа Функц1пналънШ лоОвл1, -

Л

л>

(X)

X

н

03х +71>э

А 1./г

о

сх;;

л

'А' (х)= Р~

ш . Ы

(X);

де <9 = д/дх, а проектор - адШснюе прдетування- на

„ И

люделтий прост1р И, хсий приведено у теорем1 1, де 3 сп1впадав э хараыперистичною фушсц1ею оператора АБ(Х) = - I - - Х1Г\*.

В силу ен!вв1дношення 2) (V) прост!р Е не може бути ск1нченом1рпим. А тому дана фушц1ональна модель алгебри Л1 (А^,Аг,А^> не моке Оути реал!зована в клас! мероморфних функц!й на р!манов1й поверхн!.

Глава IV присвячена побудов1 функд1оналыю1 модел1 алгеОри Л! (А^,Аг,А^> л1н1йних оператор!в, яка задаеться комутац1й1шми сп1вв1дношвннями, [А1гА^] = О, =

[А^.Ау] Для цього використовуеться Запропонований

метод спектрального анал1зу багатозм1нно1 схеми розс!ювання на групп1 Л! 130(1,1) ун1тарних перетворень псевдоевкл1дово1 площини. Для того, щоО сформулювати основы! .результата ц1е! глави Бвндемо шобх!дн1 иозначення. В г!льберювому простор! Е, яке Оуло введено ища, розглянамо л1н!йн! оператора Год,,')^ 3), як1 визначаються за {АХ,А?,А^У аналог!чним чином, при цьому, - ой= о^оу 1Е), гг{>г/; 7з>г- ^.г-'*3

=-(01; в = -Та Аналог 1чно (IV) та

(VI) для а} в СИЛУ комутац1о1мх сп1вв!днош'внь для

дано! алгебри Л! маемо, -

1) Гого21 = О;

2) fo1,73,2J " [0г'Ъ,г] = i(al ~

3) r^fl.T5f2i = KOJT^J. - Oai3,2)-

(VIT.)

Одним 1з основных результат:!в, що одержан! в ц!й глав1, являеться сл1дукпа теорема.

Теорема G. Проста алгебра Ai СAltA^,Ajl лШйних onepamopie таю, vfo (A^.ApI'O, [A^.A^l^iA^, [A2,A^1=IA^, для swot маютъ м1сце (III), ynlmapno еМ1валентиа сл1<\утШ модельнШ cuseópl Я1, -

„

(г) = P. z

J H

' I (г);

f J

S.

[£+J

(z)

X+(2) 0 . 0 IJZ).

+ r

N+(z) О ■ О H (z)

Ls,

(z);

(z) = Р,- Г X+(z) 0 ■

Я . 0 LJz)_

\(z) 0 0 Ljz)

(z);

de

2J, Оля onepamopie ¡P б E спрабедлп31

cnteetdHOwewui (VII), r(r*) - оператор зсуву, rf(z) = = f(zil), (r*f(z) f(z -D). Нодэлъний npocmlp $унщ1й H, аналог 1чний яодслънолу простору, svcvJX приведено б теорем 3, de П = (z •s с, \ïm г\ <î>, a S(z) - .тарпюперпстичт (ftрог^я оператора АS(z) = I - íipfAj - 1г1)'^ц>*.

Анвлог1чно TBoppMl 4, для дгтоТ. алгабри Л! {¿Ц./Ц,,!,* Япбудовпнп фунтЦонплню модель, що лит lune ггоперчдиьсТ

теореми у випадку ск1нченном1рност1 Е, у клас1 мероморфних функц1й на р1манов!й- повврхн1, що приведена у сл1дуючому ствердженн1.

Сл1дство 1. Проста алгебра Л1 тана, що

1Ах,Аг1 = 0, [A^.A^l^, [A^.A^^iA^ I аадоволънята (III), а dlmE<m yuimapHO enöiвалентна систем aIhIühuz onepamoptö,-

A3 f(P) = P* f(P); rcwcfb

At f(P) = P« VPJ ?(Р): fa-cfb

^ J(P) = ^ |____J h(P) fm;

öe, Р=^1Д2Д3; належтъ алгебраЫнШ Kpuölü © б с3, - мероморфн1 на © функца, а - деяний автоморфСзм нриво1 а функца f(P) на р1лановИХ поверни о належать модельному простору Н, яке мае бигляЗ аналог1чний прострру И в теорел1 4.

Запропонований метод поОудови фушсцЮнальних моделей, ефекгивн1сть якого була продамонстрована у сформульованих вида теоремах, допускав природне узагальнення 1 на 1ш1 алгебри Л1, з в1дпов1даим гармон1чним анал1зом на грушах Л1.

ПУБЛШЦИ

1. Золотарев В.А. Спектральный анализ не самосопряженных, коммутативных систем операторов и нелинейные дифференциальные уравнения // Теория функций, функц. анализ и их прил. -1983.' - Вып.40. - С.68-71.

2. Золотарев В.А. Универсальные модели операторов сзаданшми . ограничениями на рост резольвенты // Теория функций, функц.анализ и их прил. - 1986. - Вып.45,- С.40-45.

3. Золотарев В.А. Моделыше представления систем линейных операторов // функц. анализ и его прил. - 1988. - Т.22. Вып.1. - С.66-88.

4. Золотарев В.А. Временные конусы и функциональная модель римановой поверхности // Матем. сб. - 1990. - Т.181, № 7. -С.965-995.

5. Золотарев В.А. Функциональные модели на римановой поверхности // Теория функций, функц. анализ и их прилож. -

1991. - Вал.56. - С.123-128.

6. Золотарев В.А. Схема рассеяния Лакса-Фшшшса на группах и функциональная модель алгебры Ли U Матем.сб. -

1992. -.1.183, X 5. - С.115-144.

7. Золотарев В.А. функциональная модель одной алгебры Ли // Теория функций, функц.анализ и их прил. - 1993. - Вып.58. - С.80-87.

8. Zolotarlov V.A. Lea modelee triangulaireз et fonctionnels de colligations conrnutatiires imitares metriqueo // Preprint Lab.l'andyse numerique, Université Paris V. -

.1983. - Р.1-52.

9. Золотарев В.А. Об открытых системах и характистических функциях- коммутирующих. систем операторов // Харьк. ун-т. Харьков. 1979. - 370.: Деп. в ВИНИТИ. 12.03.79.' Лв58-79 Доп.

10. Золотарев В.А. Треугольные модели и задачи Кош Для характеристических функций коммутирувдих систем операторов J/ Харьк. ун-т. Харьков. 1980. - 66С.: Деп. в ВИНИТИ. 02.09.80. ^978-80 Деп.

11. Золотарев В.А. Коммутативные расширения и треугольные модели систем операторов // Харьк. ун-т. Харьков. 1982. -БОС.: Деп. в ВИНИТИ. 06.07.82. » 3526-82 Деп.

12. Золотарев В.А. Метод открытых систем. Треугольные и функциональные модели коммутативных систем двух линейных операторов // Харьк. ун-т. Харьков. 1984. - 166 С.: Деп. в УкрНШШГИ. 05.03.84. Я412УК-84 Деп.

13. Золотарев В.А. Коммутативные унитарные метрические узлы и их приложении // Харьк. ун-т.Харьков. 1984. - 160С.: Деп. в УкрНИШПИ. 14.03.84. № 48'Ш1-84 Деп.