Модулi над нетеровими спадковими кiльцями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

: КИ1ВСБКИЯ УН1ВФСШГ ги. ТАРАСА ЩЕВЧЕНКА

РГ8 ОД

. , На правах рукогмсу

13ЮМЧЕНК0 Людмила Володимир£вна

МОДУЛ! НАД Н2ГЕРОВИШ СПАДКОВИМИ К1ЛБЦЯМИ

01.01.06 - матемзтична лсимка, алгебра I теоргя чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертац11 на здобуття наукового ступеня кандидата ф!зико-математичних наук

Ки1в - 1994

Дисертац1ею в рукопис.

Роботу' виконано на кафедр! аягебрй 1 магематичноК логики КиКвського ун!верситету Тараса Шевченка.

Науковий кер!вник: доктор ф!зико-махематичних наук, професор ДРОЗД ЮрМ Анатолиевич

0ф1ц1й1П опоненти: доктор ф1зико-матеиатичких наук,

професор КИРИЧЕНКО Володимкр Васильевич кандидат ф1аико-математичних наук, БЕШРТ ВШор 1ванович ...

Пров!дна установа: Ужгородеький державний университет

Захисг вибудеться ".1? " вересня ' 1994 року о 14 годин! на застданн! спец1ал1зовано? вченоК ради Д 01.01.01 при Ки'1'вському уШверситет! 1м. Тараса Шевченка ' за адрееою; 252127, Ки*в-127, проспект акад. Глушкова, б, '. Ки1'вський ун!верситет,' механ1ко~математичний факультет. .

3 дисертац!ею можна ознайомитися в науков1й б1бл1отец1 ун{версйтету. . , -

Автореферат резгеланий чМ» ■ ¡Ц/гтка- 1994 року

Вчекий секретер спец1ал1зовано! вченоХ ради

овыенко С.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуадьн!сть теми. Теор1я модулIв эаймас ч!льне м{сце у сучаснШ алгебр! завдяки глибии! проблем, що в нгй виника-ють, та широким зв'язкам теорН з багатьма I игами га-луэями математики, Добре в!домо, що багато важливих клас1в к!лець характеризуются властивостями модул!в над ними. Прикладами таких к!лець е кап!вг«рост1 к!льця, спадковг порядки над повними локальяими дедек1цдовкми К1льцями, уза-галькено однорядн! к!льця. Вид1лено класи артидавих к*лець, що мають ск!нченну к!льк1сть нерозкладних не!эоморфних морщив /к1льця сличенного типу/. Зокрема, описано спадков! артинов! алгебри сличенного типу, ск1нченновим!рн1 к. -алгебри скгнченного типу з радикалом в квадрат!, р*БНИМ нулю /Габриель, Кругляк, Длаб, Р:кгель, Мюллер/. Однак для нетерових к1лець, як! не е артиновими, умова скгнченност} кглькостх нерозкладних модул!в не е природньоо I зам1«оеть-оя умовою обмеженост1 к!лькост} твхрних у вогх нерозкладних модулгв. К1льця модульно обмеженого типу були введен! Уорфхлдом. Серед них було вид!лено узагальнено сднорадш кгльця, будову яких свого чаоу було доклздно вивчено /Нака-яма, Скорняков, Ейзенбуд, Грхффхтс, Дрозд, Уорф{лд, Кириленко та 1и./, а також спадков1 кхльця, вивченням яких за- , Умались Ейзенбуд, Робсон, Четтерс, Длаб, Р1нгель, С^алл, Сириченко, Дрозд, Губарев та 1н. За цих передумов вивчення ювих клас1в спадкових к!лець модульно обменного типу в >дшею з актуал'&них задач теор: I кхлець. ДисертацЩну роботу иконано саме в цьому напрямку.

Мета £оботи.

Метою роботи е вавчення ыодул!в над спадковими нетерови-т к!льцями та близькими до- них та .зид!лйння серед шх кх-лець модально обмеженого типу. . ; " :

Пашкова новизна. '

В poöoTi отримеко так1. нов! результата:

- для випадку непростого основного /нотерового спадково-. го/ К1льця отримано критерШ модульно! обмеженрст! (У-виду 2. ; • • . . . ' '"'•.*■'.

- для випадку простого основного /нетерового спадкового/ ' кiльда. побудовано аналог алгоритму Клёйнера-Ройтера i отри-

мано критер!й модульной обмежаност! - £) -виду 2. .

Результата роботи шить теоретичнкй .характер I 1х'буде. використано в подалыоих досд!дкеннях э теорП к!лець 1 моду-, л!в. ' . '•■■•'

Загауьна методика досл!дження,

В робот! застосовано'метод матрячних задай, розроблений» ' '■ в оснйвному. кихвськшм фах!вцями, I його формал!зац!я, 'а '. сам»? техй!ка "зображення бокс!в", а також э^гальна техника-■. Teopli к!лвць t модул!в.

' АпроОац!я робота. . •

Осковн! .реэультати роботи допов!дались на У М!жнародн1й .' конферекц!! з теор!? аобрахень алгебр /1С8А У, Цукуба, Япо-' н!я, 1990/, на УГ Cmmoatykt- з теор! Г к!^ець, алгебр та мо-дул!8'7Льв1в,-1»90/ та на алгебраХчтх teuiнарах Ки^'вського. ун1верситвтзг'/198В-1994/. .

Публ!кац!1. /

По тем! дисертацИ опубл!ковано 3 роботи : [l3 - [зЗ ,

Об*ем та

Дисертац!я складаоться is вступу, двох роздШв, як! роз-• бито на ,5:параграф1в, та списку л!тарзтури. Загальний об'зм - сторiнок друкованого тексту. Список лггератури м!стить

_47_" найменувань. •

3 М I О Т ' Р О Б О Т К

Встуи MicwiTb делкх г&гальнЛ мотйвування до постанови ос-давних задач роботе, а також стчслиЯ огляд результат!», цо i'x в робот! отримако. \ "

Перший рсзд!л присвяченай вивченда модул! внад нзторови-ми спадковиии к!льцями у випадку простого основного кхльак. ,. В § I приведен! основн! означеннл 1. поняття, постановка задачх. Дел! (Т означая /двостороиы/ нетерсве спадково к!льце без д!льник!в куля, D - його т!ло частой. Якщо

А - Aia (D) , то (У -порядком в А назвемо нэтерове п!дк!«ьце А с: А , для якого А в клйсичним йльцем чес-ток, причому в простому правоцу А -модул». м!ститься

0 ~ А -п!дб!модуль, ск!нченнопороджений ! як л!вий ¿Г- ,

1 як правий А -модуль. Мае м!сце ,

Твердження I. Зивначеяня £Г'-порядку л!во-право-екмвт-ричне.

У зипадку, коли к!льцэ (У - просте, маз Mtci;e Твердження 2. Якщо (J - просте кхльце» то будь-який

т* /w

епэдковий \J -порядок Mopi та-екв!валентний до кьчьця и .

Ящо А = Мп (£)) , В>--Мт(Т>), ТО А - 8-б¿модуль

назвемо узгодженим, якцо його л!ва S драка розм!рност! над

X) ск$нченн! 1 дор1внюють одна одШй.

X) -видом назвемс ск1нченний нзб!р

Дв

а \ч/ в узгодкений /4; - -б!мо-дуль. Схемою V -виду ^ назвемо граф , точки

V" » »

якого - числа /, ^ , а !з точки / в точку ^ веде с^у стр!лок, де # • •

Увгодженою с!.м'вю иорядк!в в!дносно Х^-виду назвемо с!«'» ^Л; I I - к) , де Л: в ¿Ппоря-' док в А; , причому в \/у' е Л;- Ау ~п!дб1модуль /Чг/' ск! нченнопороджений як л!вий А; - 1 правий Л--модуль,, такий що

" V = МуЛ; = Щ . '

Нехай, дано узгоджену с1м»ю спадкових порадк!в. ( Л^.) в!дносно I) -виду . Тод! С-видом назвемо наб!р

21 ~ (6:, ) « Дв Для кожного номера або £>; - , або 8: = .:В останньоцу виладну I назвемо шзэначеною. точкою 1 будемо иозньчатй таким чином:■ О . Схемою ■ (Г -виду Л назвемо схему

гт

. Поповненняй схемй назвемо схему Г~{£) , яку отримаемо гз Г(22) зам!ною кожной позначен»? точки неск1нченним ланцюгом, що • починавться в ц!й точд! I не мае к1яких додаткових эв»язк1в з 1шими точками схемк. ...

Нагадаемо, що тенэорною алгеброю Т(21) виду 2Г

на-

эиваегься текзорна алгебра б!модуля V — (35 Чц над к1ль-цем 8 — 0 . "Ч '

. Кажуть, ¡цо кхльце А модульно. обмеж^ке /чи модульно . обмеже'ного типу/, яшдо 1снуе таке натуральне число /V , цо будь-який нерозкладний ск1нченн0представлений ■ А -модуль породжувться' А/ елементами. (У-вид 2: назвемо модульно обмеженим, яюцо таким а гальце тег).. ' Осфоркулюемо основний результат дисертац! I . '

' Теорема . О -вид 21 модульно обмежений тодх I тальки тодГ, коли:

. ' I/ або 0 - просте к1льце I будь-яка зв'язна компонента схеш ) (X) . е схемою Дишана;

2/ або кгльце. (Г"' - непросте х будь-яка зв'язна СК1Н-ченна частина поповненох схеми е схемою Динк!на.

Наведено приклади видхв, що задовольнотть укоей пунктIв I/, 2/ д{в! теореми. Зокрема, якцо (X - локально кгльце •. головних лхвих Г-правих 1деал!в, то сформульована теорема /пункт 2/ зсНгаеться з критерием, одержанхм для. даного час-тинного випадку Губарен!.

§ 2 присвязений опису методу "матрячних задач", його формалтзац!У - техшц1 "зображення бокс:в", ожсу алгоритму Клейнзра-Ройтера. В пунктI 2 § 2 сформульоване

Твердження 3. Нехай ■ (У - двостороннз нежерове спадко-ве кгльце без д*льник1в нуля з тгла часток , (/\} Г") _ узгоджена С1м'я порядив вгдноско I) -виду (Мт (£>), М,,. £0) уг) . Елементарними перетвореннями над Д , Г~ матрица з коефхц!ечтами I) /розш ру шхп/ можна ззести

до д*агонального вигледу

Г / . ' - • •

А □ —^ a Lag ( ^, .1., о ) ,

i ir^- ' , ' . ' .

Насл1Док I . У випадку ко Л "Г • - просте к!ль-це, вс! д1агонадьн1 елементи, кр5м 1»,гливо, одногоt- нул! i • единиц;: • '

dca^ (Ч,.„, i, л,О>.., о), a е. Д •

Пункт 3 § 2 присвячений викладу техн1ки "зображень бок-с!в" i опису алгоритму Клейнера-Ройтера: наводяться визначен-ня боксу, ядра боксу, диференц!ала боксу, в!льного, нормального, трикутного боксу, зображення боксу, розм!рност1 зобра-ження i {н., амальгами категорий. Формулюеться алгоритм Клейнера-Ройтера /твердження 4, 5, б/, описуеться функтор 0 , про який йшла мова в тверджечнях 4, 5.

§ 3 присвячений опису (Г-боксiв i аналога алгоритму Клейнера-Ройтера. В п. I § 3 пояснюеться, чому для боксtв над простим нетеровим спадковям к!льцем вдалося побудувати аналог алгоритму Клейнера-Ройтера. В п. 2 вводиться визна-чення (X -боксу:

$ -бокс - це пара Ъ0- V), де А - тензорна категорхя деякого (J -виду, V - коалгебра над катего-piea А , тобто V - А-бгмодуль, с комноження jU. : V—** y®.V i ксодиниця £ : V-^A , як! задовольня-

А

ють звичайы зластивост*;

а/ ( i Ф (М )-уИ = (уч <S> i ) [Ц ;

б/ = 1 , (£а>4 )уч

. Будемо вимагати виконання тако х' умови: £ : V'-*-А -. еп1морф!зм. ГНдб1модуль. б!модуля у нэзвемо

ядром (Г-боксу.

. Нехай 01 _ кормальний бокс, тобто У"Х Д 30>х€\/ х СО* ®СОх -

Диференц1ал 0 -боксу

визначимо за

формулами:

0. С0Х - оду (Л. для

ас- А(Х, У)>

СНм'ю тв!рних £ | ядра Кё1* £ /аналог "в!ль-них тв1рних" ядра боксу/ визначимо так: для будь-яко!' пари I >г1 заданий або А^-А^'-б^модуль /якщо хоч би одна точка непозначена/, або в ньому "хороший" /сш нченкопороджений з двох бок1в/ п!дбхмодуль /якщо ¿ - позначен! точки/;

тод! У= , де .

"С У

Схемою 0 -боксу назвемо схему {X -виду, да пунктиром

додатково нанесен! твхрш ядра V •

Сформулюемо аналог алгоритму Клейнера-Ройтера.

Твердження 7. Нехай СС — ^ А, V) - бокс такий, як

описано вн^е, 1 нехай С1£ V) - м1н1мальне ребро

/тобто 6 (о.) = 0 I К^У /. Генуе в!льний бокс *

морфзЬам & "■ з такими властивостями:

I/ *0* - строгай повний Диктор /для будь-якоК кате-

горН С /;

- екв1валентн!сть

категор!й;

3/ ЯЙЦО Г^е^б- причому РШЬ I Р(У)*0, то Н&ип (г11 ^ ИсИ'П Р11.

Твердження 8. Нехай сп = (АУ) - & -бокс такий, як описано вице, 1 ас 50(х> У) - такий елемент, що т можна включити в с1ы'ю тв1рдах ядра V /можливо, V/. 1сцув в1льний бокс (X 1 морфгзм в : — Ъ з такими влестивостями: .

ех- -

- екв1 валентность категорий для будь-яко'1 ка-

тегорИ С ;

2/ яюцо Р— ,. цричому I Р(У) Ф0,

то Ц (На с. 6 II < \\diilb Г//. '

Перех1д в1д боксу ^ до боксу , описаний у твердаеннях 7, 8, наэвемо "кроком аведення", а довгльцу гте- . рац<ю крокхв введения - "эведенням" боксу. ■

Твердження 9. -бокс ОЬ —(Л, V) за ск!нченну-

к1льк!сть крок!в вводиться до тривиального боксу.

Чим 1 завершуеться доведения пункту I/ основноУ теореми.

Роэд1л П присвячений вивченяо модул!в над нетеровими спадковими к!льцями у випадку непростого основного к1льця. .

Б п.1 § 4 наведено список схем (У -вид1в ходульно обмеженого типу 1 сформульовано твердження 10, аНдно .з яким. (У -сиди, схсми яких не попали в описаний вище список схем, • в (X -видами модульно необмеженого типу: .

I. ---¿>.

П.

ш. ©-----о ;

. 1У.,' ©------ ...

•. /непрям стр!лок може бути дов{льним/.

• В п. 2 § 4 доводиться '

г. Лёма II, Якщо кольце () не просте,-то 1Снус нескш-чекнкй ланцюг двоетороннIх !деалI в

. 1X ^1, => 12 =>13 =>•.„•

• При цьо¡¿у вишкаа 2 суттево р{зних випадки: а/- або буде неск1.нченний ланцюг надк1лець '

а 0~, ^ 0~г

!, в!дпов1дно, несх{нченний ланцюг 1д5Мпотентких 1Деал1в

. а- р

б/ або 1снуе максимально надк!льце без '!демпо- -

тентних 1деал1в

(X с СГг <г ... с: (Х^ } якцо 1 - не !деютотентний 1деал , то ' ,

■ ' I ^ '

А е шуканий неск1нченний ланцюг двосторонн!х 1деал!в. ■ В п. '3 § 4.доводиться :'й«>

Твердження 12. К1дьцеД =.0 0;, . Дв> { 01 ? - зрос-

■ -к. 1=0 - •>

тавчий ланцюг надк!лець в тШ х> , е нетеровим I для'до-

е С"-модулем скютенно? довжини. ' , ' .. „ • ' '■

■Наслхдок 2. Кхльце . Д ' - епадкове. Твердггення 12 доз вовне обмежитися розглядом вйаадку ' б/ леки II у доведенш твОЗДгеиня 10;' .. ■.

В п.'3 § 4 завершузться доведения твердження 10,-'а разом з нин г кео'.'х1ДНост1 пункту 2/ основиб? теореми . ■

§ 5 присвячений опису (Г -эидгв кодульне обмеженого •типу. 'Аормулветься 1 доводиться ', ' ■'' • ■

Твердження 13 , (Г _вид (Рг, схема, I (Е) якого попадае до наьеденого нюме списку схем, .е->модульно -обмеженим: ■ .

I. 0 1 . ••• ■ ■ !

il. ' • • « * ¡

ш. ---0---

1У. о-- ...--/

ч

/непрям стрхлок моке бути довхльниад/.

Твердження 13 зак!нчуе доведения доствтносту пункту 2/ OCHOBHOÍ теореми., .

Автор висловлюе здячн!сть нзуновому к ер i в ни ку - доктору ф; зико-математичних наук, нрофесору Дрозду Юрхю Анатолиевичу за nocTiühy уьагу до робота, цгннх поради i зауэажения.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДКСЕРТАЩI :

, I. Дрозд Ю.А.Ильяшкк Л.В. .0 модулях над порядками в

наследственных артиновых кольцах //УI Симпозиум по теории колец, алгебр' и модулей: Тез. еообщ. - АН УССР, ИППМиМ. -Лйвов, .1990. - С. .48.

, ■ 2.- Дрозд Ю.А.-, Изюмченхо Л.В. Предетаяления (Т-т-• .до'в /Дкр. мат. жури. 1992. - 44, № 4. - С. 572 - 574.

' 3. Изюмченко Л.В. О наследственных кольцах модульно ограниченного.типа. - Киев: Киев, ун-т, 1994. - 42 с. - Деп. в УкрИНТЭИ/22.02,94, 386 - Ук94.