Мозаики из выпуклых пятиугольников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Вагина Ольга Георгиевна

Мозаики из выпуклых пятиугольников

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ 2013

Кемерово - 2013

005539817

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кемеровском государственном университете".

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Кабенюк Михаил Иванович. Официальные оппоненты:

Носков Геннадий Андреевич, доктор физико-математических наук, доцент, Омский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, старший научный сотрудник.

Славский Виктор Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Югорский государственный университет", институт (НОЦ) систем управления и информационных технологий, кафедра высшей математики, профессор.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Защита состоится 18 декабря 2013 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, расположенного по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения пауки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 15 ноября 2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Одна из областей комбинаторной геометрии — теория замощений пространства интенсивно развивается на протяжении последних ста лет. Однако она имеет древнюю историю. Известно много древних и средневековых орнаментов в Европе, Африке и Азии, составленных из повторяющихся мотивов

Остановимся на замощениях евклидовой плоскости. Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т = {Pi, Р^,..., Pk, ■..} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры замощения часто называют плитками. Рассмотрим задачу замощения плоскости конгруэнтными многоугольниками. Будем говорить, что многоугольник замощает плоскость, если существует замощение плоскости многоугольниками, конгруэнтными данному. Такой многоугольник будем называть мозаичным, а мозаики из конгруэнтных многоугольников называют моноэдральными [10].

Многие мозаики обладают симметриями, то есть они совмещаются с собой под действием некоторого движения плоскости. Если среди симметрий мозаики есть две неколлипеарные трансляции, то мозаика является периодической. В такой мозаике можно выделить область, заполняющую всю плоскость без пробелов и наложений при параллельных переносах. Можно построить периодические и непериодические моноэдральные мозаики, используя одну и ту же плитку [10]. Отдельный класс мозаик составляют изоэдральиые мозаики или мозаики, транзитивные на плитках [10]. Изоэдральная мозаика — это мозаика, чья группа симметрий действует транзитивно на плитках, т. е. каждая плитка мозаики может быть переведена в любую другую плитку мозаики с помощью симметрии этой мозаики.

Кроме того, часто рассматриваются мозаики, называемые нормальными (или мозаиками "ребро к ребру"). Мозаика называется нормальной, если пересечение любых двух смежных ее плиток является ребром или вершиной каждой из них.

Если плитка изоэдралыюй нормальной мозаики — это выпуклый многоугольник, то такую мозаику часто называют правильной. Впервые понятие правильного замощения плоскости и пространства дал Е.С. Федоров в своих работах еще в конце XIX - начале XX вв. Его труды, касающиеся этой темы, переизданы в [3], [4]. Плитку в случае правильного замощения плоскости он называл планигоном. В [1] Б.Н. Делоне предложил идею нахождения

[Г.], [7], [10].

типов правильных мозаик на плоскости. В [8], [9j Грюнбаум и Шеипард изучали изоэдральпые и изогональные мозаики (под изогональным замощением понимается замощение плоскости, чья группа симметрий действует транзи-тивно на вершинах разбиения). В работе [б] Долбилин и Шаттшнейдер также описывают многоугольники, допускающие изоэдральные мозаики. Если группа симметрий мозаики действует транзитивно на блоке из к плиток мозаики при к > 1, то мозаика называется к-блок транзитивной или /с-изоэдралыюй.

Остается до сих пор нерешенной задача нахождения и классификации многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Такие мозаики включают в себя как к-блок транзитивные (к > 1), так и непериодические мозаики. Любой треугольник и четырехугольник замотает плоскость, при этом мозаики могут быть как изоэдральные, так и непериодические [10].

Остановимся на задаче нахождения выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Известно, что выпуклым многоугольником, имеющим более 6 сторон, замостить плоскость невозможно, доказательство этого утверждения приведено в [13], [15]. Мозаики из шестиугольников были полностью исследованы в 1918 г. Рейнхардом [14], Таких шестиугольников оказалось 3 различных типа.

Проблема построении исчерпывающей классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, остается до сих пор нерешенной. Было найдено 14 типов таких пятиугольников. Но до сих пор нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Некоторые мозаики из выпуклых пятиугольников были известны еще в древности [16]. Первая попытка классифицировать пятиугольники, которые замощают плоскость была сделана в 1918 г. Рейнхардом в его докторской диссертации [14]. Он перечислил пять различных типов таких пятиугольников (типы 1 — 5 из списка, приведенного ниже). В 1968 г. Кершнер нашел еще три тина пятиугольников, замощающих плоскость [12] (типы 6, 7, 8). Один тип пятиугольников был найден Джеймсом в 1975 г (тип 10). Еще четыре типа пятиугольников найдены Райе в 1976 — 1977 гг (типы 9, 11, 12, 13). Последний 14 тип в 1985 г. открыл Штейн.

Перечислим 14 типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Обозначим последовательные вершины пятиугольника Xq. Х\, X2, Хз, Х4, его углы — соответственно xq, х\, Х2, хз, х^. Длины сторон пятиугольника С,- = \Xi-iXi\, i = 0,1, 2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по модулю 5. Известны следующие типы пятиугольников, замощающих плоскость:

1. xo + xi = 180°;

2. хй + х2 = 180", С\ = С3;

3. xQ = x2 = x3 = 120°, Co = Cu C3 = C2 + C4;

4. x0 = x2 = 90°, C0 = Cb C2 C3;

5. x2 = 2x() = 120°, C0 = Сь C2 = C3;

6. si + x3 = 180°, x0 = 2жз, C0 = Ci = C2, C3 = C4;

7. x0 f 2x3 = 360°, x2 + 2xi = 360°, C0 = Ci = C2 = C3;

8. жх + 2x0 - 360°, x2 + 2x3 = 360°, C0 = 6\ = C2 - C3;

9. X! + 2x4 = 360°, x2 f 2.T3 - 360°, C0 = Cx = C2 - C3;

10. z4 = 90°, x0 + x3 = 180°, 2xx - x3 = 180°. 2x2 + x3 = 360°, C0 = C4 = Cx + C3]

11. x0 = 90°, x2 + x4 = 180°, 2xi + x2 = 360°, C3 = C4 - 2C0 + C2;

12. x0 --= 90°, x2 + = 180°, 2жх + x2 = 360°, 2C„ = C3 = C2 + C4;

13. x0 =- x2 = 90°, 2xi - 2x4 - 360° - x3, C2 = C3, 2C3 - C4;

14. Хз = 90°, x0 + x2 = 180°, x0 + 2x4 = 360°, C0 = 2C2 = 2C4.

В работах [10], [16], [18] перечислены все эти типы пятиугольников, и приведены примеры мозаик из таких пятиугольников.

В 1982 г. Шаттшнейдер [17] представила списки выпуклых и невыпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 1985 г. Хант и Хиргахорн [11] доказали полноту списка Шаттшнейдер выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 2001 г. в [21] и в 2004 г. в [24] приведено новое доказательство полноты этого списка.

Одной из задач проблемы нахождения выпуклых пятиугольников, замещающих плоскость является задача нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Остановимся на этой задаче.

С 1999 года вышел ряд публикаций японских авторов Сугимото и Ога-ва в японском журнале Forma с результатами их исследований нормальных мозаик. В работах [19], [20] авторы попытались классифицировать известные пятиугольники с четырьмя равными сторонами, замощающих плоскость нормально. В работе Ю.Г. Никонорова и В.В. Чинакова [2] рассматриваются пятиугольники, замощающие плоскость регулярно (под регулярной мозаикой понимается изоэдральная нормальная мозаика, чья группа симметрии включает только собственные преобразования плоскости).

Многие авторы разделяют пятиугольники по типам в соответствии с равенствами длин сторон пятиугольника. С учетом этого имеется ровно 12 различных типов пятиугольников.

В работах многих авторов [б], [19], [20] и в моих работах используется понятие короны для плитки мозаики. Некоторое множество плиток, конгруэнтных Р, называется короной для плитки Р, если выполняются условия: 1) плитки этого множества замощают часть V плоскости; 2) плитка Р содер-

жится внутри V; 3) это множество минимально с условиями 1 и 2.

Для того, чтобы существовала мозаика из выпуклого пятиугольника, необходимо, чтобы существовала корона для каждой плитки мозаики. В 2005 г. в [25], а затем в 2009 г. в [26] приведена идея нахождения пятиугольников, замощагощих плоскость нормально. Эта идея включает в себя полный перебор, который был проведен с помощью пакета математических вычислений "Maple". Результаты этих исследований докладывались автором на конференциях. В дальнейшем компьютерный перебор был полностью исключен [28] —

[31].

Цели работы.

— Перечисление всех выпуклых пятиугольников, которые замощают плоскость нормально.

— Доказательство, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Описаны все типы выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Доказано, что этот список, полный.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в. дальнейших исследованиях разбиений плоскости и пространства.

Основные результаты.

1. Доказана

Теорема 1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. х0 + хх = 180°, С0 = С2 или С3 = С4;

2. хо + Х2 - 180°, С\ - С3, Са С2:

3. хо = %2 = 90°, С0 = Си Сг = С3;

4. Х2 = 2х0 - 120°, Со - Си С2 - С3;

5. xi + x-i = 180°, х0 = 2х3, С0 =- Су - С2, С3 - С4;

6. ха + 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°; С0 = Су = С2 = С3;

7. xi + 2х0 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Су = С2 = С3;

8. Ху + 2х4 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Су = С2 = С3.

2. Доказано утверждение, что в любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

3. Приведено новое доказательство полноты списка выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость.

4. Найдены все новые выпуклые неравносторонние пятиугольники, име-

ющие корону.

5. Доказано, что ни одна из корон из найденных пятиугольников не может быть продолжена до мозаики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях: II Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2002; III Всесибирский конгресс женщин-математиков, КрасГУ, Красноярск, 2004; Международная конференция "Мальцевские чтения" Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2005; Международная конференция "Мальцевские чтения", Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2009; Общегородской алгебраический семинар, руководитель: проф., д.ф.-м.н. В.Н. Ремесленников, Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2011; Семинар "Геометрия, топология и их приложения", руководитель: академик, д.ф.-м.н. И.А. Тайманов, Институт математики им. С.Л. Соболева СО PAII, 2012; Семинар "Инварианты трехмерных многообразий", руководитель: чл.-корр., д.ф.-м.н. А.Ю. Веснин. Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2012; Международная конференция "Дни геометрии в Новосибирске, 2012", Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 30 августа - 1 сентября 2012 г; Семинар кафедры математического анализа КемГУ, руководитель: д.ф.-м.н., профессор II.К. Смоленцев, Кемеровский государственный университет, 2013 г; Семинар кафедры математического анализа АлтГУ, руководитель: к.ф.-м.н., А.Н. Саженков, Алтайский государственный университет, 2013 г.

Публикации, Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях, а также в тезисах докладов на конференциях. Список указанных работ приведен в конце автореферата [21] -- [31].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 41 наименование, включая работы автора. Дополнительно представлено приложение на 15 страницах. Общий объем диссертации 149 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава содержит формулировку основного результата диссер-

тации и основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем. Глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 1.1 сформулирован основной результат диссертации в виде

Теорема 1.1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. х0 + xi - 180°, С0 - С2 или С3 - С4;

2. х0 + х2 = 180", С\ - С3, С0 = С2;

3. х0 = х2 = 90°, С0 = С,С2 = С3;

4. х2 - 2х0 ~ 120°, С0 - С\, С2 = С3;

5. х!+х3 = 180°, х0 = 2ж3, С0 = Ci = С2, С3 = С4;

6. х'о + 2х3 - 360°, х2 + 2xi = 360°; С0 = С\ - С2 - С3;

7. Xl -Ь 2a;0 - 360°, х2 4- 2х3 = 360°, С0 = Cj -- С2 = С3;

8. xi + 2х4 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = С, = С2 = С3.

Степенью вершины плитки Р называется число сходящихся в ней пятиугольников. Назовем строку («о, щ) набором степеней вершин плитки Р, где каждое из чисел щ является степенью одной из вершин Р; а, и а7- при i ф j являются степенями разных вершин; ао < . ■. < ач. Доказательство теоремы 1.1 основывается на следующей теореме.

Теорема 1.2. В любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Приводится доказательство этой теоремы. В параграфе 1.2 вводятся следующие понятия.

Назовем последовательность S(P) из пяти цифр типом пятиугольника Р. Каждая цифра последовательности 5(Р) принимает значение от 1 до 5. Например, запись ё(Р) -- 11212 означает, что в пятиугольнике Р Сц — С\ ---С3,С2 = Ci, С0 ф С2. Имеется ровно 12 различных ¿-типов: 12345, 11234, 11232, 12134, 12123, 11213, 11212, 11223, 11123, 11122, 11112, 11111.

Некоторое множество плиток, конгруэнтных Р, называется короной для плитки Р, если выполняются условия:

1) плитки этого множества замощают часть V плоскости;

2) плитка Р содержится внутри V;

3) это множество минимально с условиями 1 и 2.

Назовем плитку центральной, если она имеет корону и набор степеней ее вершин удовлетворяют заключению теоремы 1.2.

Пусть гii2 ... i/t сочетание с повторениями на пяти символах: 0, 1, 2, 3, 4. Будем называть такое сочетание меткой плитки Р, если на плоскости существует такое расположение пятиугольников Pi, Р2,... конгруэнтных Р,

для которого выполняются три условия (рис. 1(а)):

а) некоторая точка О плоскости является общей вершиной углов ¿1, ¿2, ..., 1к пятиугольников Рь Р?....., Рк, соответственно;

б) каждая другая точка некоторой достаточно малой окрестности О, не лежащая на сторонах пятиугольников, попадает внутрь ровно одного пятиугольника из списка;

в) каждая точка, лежащая на стороне, выходящей из О, одного из пятиугольников принадлежит ровно двум пятиугольникам из нашего списка, то есть стороны смежных пятиугольников равны.

Мнохсество всех меток Р будем обозначать символом Л4(Р) или Л4.

Метки у, ьи согласованы, если им отвечают циклы Р\..... 1\ « Р[,..., Р/ вокруг вершин О и О', соответственно (рис. 1(Ь)). Причем, отрезок ОО' является ребром, и инцидентные этим вершинам пары плиток в циклах совпадают. В противном случае мы говорим, что метки несогласованы.

= ^ I

(а) (Ъ)

Рис. 1.

Результаты первой главы получены лично автором и опубликованы в работе [28].

Во второй главе исследуются равносторонние мозаичные пятиугольники. Для описания таких пятиугольников предположим, что длина стороны пятиугольника равна 1. Глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 2.1 приведен список равносторонних мозаичных пятиугольников.

Теорема 2.1. Равносторонний выпуклый пятиугольник замощает плоскость тогда и только тогда, когда сумма каких-нибудь двух углов равна 180°, или углы этого равностороннего выпуклого пятиугольника Хо,Х1,Х2,Хз,Х4 удовлетворяют следующей линейной системе уравнений

Г х0 + 2x1 = 360°, \ Х2 + 2^4 = 360°.

Представлена основная идея доказательства теоремы 2.1, данное в работе [И] Хаитом и Хиршхорном.

В параграфе 2.2 представлено другое доказательство теоремы 2.1. Это доказательство основывается на следствии к теореме 1.2 из первой главы.

Следствие. В любой нормальной мозаике из выпуклых пятиугольников найдется плитка, у которой, по крайней мере, три вершины имеют степень три.

Это утверждение получено автором совместно с научным руководителем Кабенюком М.И. Результаты второй главы опубликованы в работах [21], [24].

В третьей главе исследуются пятиугольники с четырьмя одинаковыми сторонами, то есть тип пятиугольника Р 6(Р) = 11112. Глава состоит из семи параграфов.

В параграфе 3.1 сформулирован а теорема, содержащая основной результат этой главы, основные формулы и вспомогательные утверждения — леммы 3.3 — 3.11. Всюду здесь мы придерживаемся нумерации, при которой первые четыре стороны имеют равные длины. Однако ясно, что для заданного пятиугольника таких нумераций имеется две. Одна из другой получается заменой 0 f) 2, 3 (•> 4. Такую замену мы называем симметрией, а обе нумерации вершин — допустимыми. Одна из двух допустимых нумераций выбирается случайно.

Вводятся множества выпуклых пятиугольников T¿, углы и стороны которых удовлетворяют соотношениям, перечисленным в г-м пункте теоремы 1, г — 1,..., 8.

Теорема 3.1. Если Р — центральная плитка, и 5(Р) — 11112, то Р 6 Т) U Т2 U Т3 U Т4 U У6 U TV U Tg либо Р имеет один из четырнадцати наборов углов (для некоторой допустимой нумерации вершин):

1. х0 « 93, 06°, XI - 120°, х2 « 133,47й, х3 « 73,47°, х4 = 120°;

2. х0 « 94,56°, хг и 113,64°, х2 ~ 132,72°, ж3 « 75, 9°, х4 ~ 123,18°;

3. х0 «88, 71°, XI и 135,65°,х2 « 74,78°,х3 « 135,65°,х4 « 105,21°;

4. х0 « 81, 2°, х\ и 139,4°, х2 « 69,7°,x;¡ » 139, 4°, х4 « 110,3°;

5. х0 = хх = х3 = 120°, х2 » 94,34°, х4 и 85,66°;

6. х0 и 108,28°, Ж! « 125, 86°, х2 « 78, 05°, х3 « 140, 98°, х4 « 86, 83°;

7. х0 « 129,13°, xi 90°, х2 « 101, 74°, х3 = 135°, х4 « 84,13°;

8. х0 и 126, 42°, xi « 77,86°, х2 ~ 107,16°, х3 « 141, 07°, х4 » 87,49°;

9. х0 « 83,32°, xi = 120°, х2 « 78, 34°, х3 и 138,34°, х4 = 120°;

10. х0 « 124,23°, XI « 82,82°, х2 « 111,54°, х3 и 124, 23°, х4 « 97,18°;

11. х0 и 75, 96°, XI « 142, 02°, х2 « 66, 05°, х3 « 142, 02°, х4 « 113,95°;

12. х0 « 85,88°, xi « 137, 06°, х2 « 68,53°, х3 и 145, 74°, х4 « 102, 79°;

13. х0 « 128, 22°, хх = х4 и 85,48°, х2 « 103,56°, х3 и 137, 26°;

14. х0 = 360° - 2х3, xi = х3, х2 = 180° - х4, Р £ Тх U Т2.

Доказательство теоремы 3.1 излагается в пяти параграфах 3.2 — 3.6 в

соответствии со следующими возможными наборами степеней вершин, да-

ваемых теоремой 1.2:

1. г)з — 1)4 — 3;

2. у0 = VI = у2 = 3;

3. ы = ?;2 = Уз = 3, г-'о - и4 = 4;

4. г;0 -- и2 — Уз — 3, г^ = и4 — 4;

5. г»0 = ш = из = 3, щ = и4 = 4.

В параграфе 3.7 доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2. Пятиугольники, имеющие один из четырнадцати наборов углов, перечисленных в теореме 3.1, имеют коропы, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Результаты третьей главы получены лично автором и опубликованы в работе [31].

В четвертой главе исследуются пятиугольники, в которых длины трех идущих подряд сторон одинаковы и одинаковы длины оставшихся двух сторон, то есть ¿-тип 11122. Глава состоит из девяти параграфов.

В параграфе 4.1 сформулирована теорема, содержащая основной результат этой главы, основные формулы и вспомогательные утверждения — леммы 4.3 — 4.6. Всюду здесь мы придерживаемся нумерации, при которой первые три стороны имеют равные длины и две оставшиеся стороны имеют равные длины. Для заданного пятиугольника таких нумераций имеется две. Одна из другой получается заменой О Н 1, 2 4. Такую замену мы называем симметрией, а обе нумерации вершин — допустимыми. Одна из двух допустимых нумераций выбирается случайно.

Теорема 4.1. Если Р — центральная плитка, и <5(Р) — 11122, то Р € Т^иТзиТ^Тг, либо Р имеет один из следующих наборов углов (для некоторой допустимой нумерации вершин):

1. Хц — Х]_ = хз — 120°, х2 = х4 — 90°;

2. х0 = 140°, хг = 80°, х2 « 117, 88°, х3 = 120°, х4 и 82,12°;

3. х0 = 120°, хг « 84, 74°, х2 - 120°, х3 120°, х4 « 95, 26°;

4. хо « 141,33°, XI « 77,34°, х2 и 102,66°, х3 ~ 154,67°, х4 « 64°;

5. х0 « 141,33°, XI и 77,34°, х2 и 122°, х3 и 116°, х4 « 83,33°;

6. х0 - 150°, хг = 90°, х2 = 105°, хз =-- 120°, х4 = 75°.

Учитывая "симметрию" 0 1, 2 -н- 4, для всех наборов углов, кроме набора (1), есть симметричный набор.

Доказательство теоремы 4.1 излагается в семи параграфах 4.2 — 4.8 в соответствии со следующими возможными наборами степеней вершин, даваемых теоремой 1.2:

1. t>2 = v3 = V4 = 3; 2. vi = v2 — v3 — 3; 3. t'0 = v2 = V3 = 3;

4. Do = Ui V3 = 3; 5. vo — V]_ = V2 — v4 — 3;

6. Di — V3 — 4; 7. V2 — V3 — 4.

В параграфе 4.9 доказывается следующая теорема.

Теорема 4.2. Пятиугольники, имеющие один из шести наборов углов, перечисленных в теореме 4.1, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Результаты четвертой главы получены лично автором и опубликованы в работе [31].

В пятой главе исследуются пятиугольники для оставшихся девяти типов 5(Р). Глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 5.1 сформулирована

Теорема 5.1. Если Р — плитка типа 5(Р) = 12345, то она не имеет ни одной короны. Если тип центральной плитки Р один из следующих: 11234, 11232, 12134, 12123, 11213, 11212, 11223, 11123, то он принадлежит одному из множеств T¡, г = 1, 2,3, 4, либо имеет один из четырех наборов углов:

1. х0 = 180° - xit xi - 90° + xa/2, х2 = 180° - х4, х3 = 90° 4- х4/2;

2. х0 - 90°, х\ = 135°, х2 = х4 = 112, 5°, х3 = 90°;

3. х0 = х2 = 120°,ху = 150°,.г-з = 45°, х4 = 105°;

4. хо = х2 = 120°, xi 160°, х3 = 40°, х4 = 100".

Доказательство этой теоремы включает в себя девять лемм. Первые семь лемм 5.1 — 5.7 содержатся з параграфе 5.1. В этих леммах рассматриваются пятиугольники, <$(Р)-тип которых один из следующих: 12345, 11234, 11232, 12134, 12123, 11213, 11212. Параграф 5.2 содержит лемму 5.8, в которой рассматриваются пятиугольники 6(Р)-типа 11223. Параграф 5.3 содержит лемму 5.9, в которой рассматриваются пятиугольники ¿(Р)-типа 11223.

В параграфе 5.4 доказывается следующая теорема.

Теорема 5.2. Пятиугольники, имеющие один из четырех наборов углов, перечисленных в теореме 5.1, имеют короны, но ни одна из таких корон не может быть продолжена до мозаики.

Результаты пятой главы получены лично автором и опубликованы в работе [28].

В Заключении приведены итоговые результаты диссертационного исследования.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Кабенюку Михаилу Ивановичу за постановку задач, цепные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Делоне Б.Н. Теория планигоноп /' Б.II. Делоне // Изв. All СССР, сер. матем. - 1959. - Т. 23. - С. 365-386.

[2] Никоноров Ю.Г. Регулярные замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками / Ю.Г. Никоноров, В.В. Чинаков // Вестник Алтайской государственной педагогической академии. - 2002. - № 2-3. - С. 21-28.

[3] Федоров Е.С. Начала учения о фигурах /' Б.С. Федоров, 1953.

[4] Федоров Е.С. Правильное деление плоскости и пространства / Е.С. Федоров, 1979.

[5J Critchlow К., Islamic Patterns. An Analytical and Cosmological Approach / K. Critchlow. - Now York: Schocken Books, 1976.

[6] Dolbilin N. One Corona is Enough for the Euclidean Plane / N. Dolbilin, D. Schattschneider /,/ Quasicrystals and Discrete Geometry J. Patera. - 1998.

- V. 10. - P. 207-246.

[7] Field R. Geometric Patterns from Roman Mosaics and how to draw them / R. Field. -Stradbroke (England): Tarquin Publications, 1988.

[8] Griinbaum B. The eighty-one types of isohedral tilings in the plane / B. Griinbaum, G.C. Shephard // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. -- 1977.

- V. 82. - P. 177-196.

[9] Griinbaum B. The ninety-one types of isogonal tilings in the plane / B. Griinbaum, G.C. Shephard // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1978. - V. 242. - P. 335-353.

[10J Griinbaum В., Shephard G.C. Tilings and Patterns / B. Griinbaum, G.C. Shephard. - W.H. Freeman and Company, 1987.

[11] Hirschhorn M.D. Equilateral Convex Pentagons Which Tile the Plane / M.D. Hirschhorn, D.C. Hunt // J. Combin. Theory. Ser. A. - 1985. - V. 39. - P. 1-18.

[12] Kershner R..B. On Paving the Plane / R..B. Kershner // American Mathematical Monthly. - 1968. - V. 75. - P. 839-844.

[13] Niven I. Convex polygons that cannot tile the plane / I. Niven // Amer. Math. Monthly. - 1978. - P. 785-792.

[14] Reinhardt K. Uber die Zerlegung der Ebene in Polygone: Dissertation / K. Reinhardt. - Universit at Frankfurt, 1918.

[15] Reinhardt K. Zwei Beweise fur einen Sat/ uber die Zerlegung der Ebene / K. R.einhardt // Tohoku Math. J. - 1927. - V. 28. - P. 221-225.

[16] Schattschneider D. Tiling the Plane with Congruent Pentagons / D. Schattschneider // Math. Magazine. - 1978. - V. 51. - P. 29-44.

[17] Schattschneider D. A (complete) catalogue of equilateral pentagons that tile / D. Schattschneider. - Mimeographed note. - 1982.

[18] Schattschneider D. A new pentagon tiler / D. Schattschneider // Mathematics Magazine. - 1985. - T. 58. - P. 308.

[19] Sugimoto T. Systematic Study of Convex Pentagonal Tilings, I: Case of Convex Pentagons with Four Equal-length Edges / T. Sugimoto, T. Ogawa // Forma. - 2005. - V. 20. - P. 1-18.

[20] Sugimoto T. Systematic Study of Convex Pentagonal Tilings, II: Tilings by Convex Pentagons with Four Equal-length Edges / T. Sugimoto, T. Ogawa // Forma. - 2009. - V. 24. - P. 93-109.

Работы автора по теме диссертации

[21] Вагина О.Г. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками / О.Г. Вагина, М.И. Кабенюк // Вестник Кемеровского государственного университета, серия Математика. - 2001. - № 3(7). - С. 162-166.

[22] Вагина О.Г. Мозаики из равносторонних выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина //И Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тезисы докладов конгресса. - Красноярск, - 2002. - С. 14-16.

[23] Вагина О.Г. Разбиения плоскости выпуклыми пятиугольниками с четырьмя равными ребрами / О.Г. Вагина // III Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): Тезисы докладов конгресса. - Красноярск: ПФК'ТОРРА", - 2004. - С. 32-33.

[24] Bagina О. Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons / O. Bagina // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 2004. - V. 105 -P. 221-232.

[25] Вагина О.Г. Классификация выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость ребро к ребру / О.Г. Вагина // Международная конференция "Мальцевские чтения". Тезисы докладов. — Новосибирск. 2005. -URL: http://math.nsc.ru/conference/malmeet/05/BAGINA.PS. (дата обращения 01.10.2013 г.)

[2б[ Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева, 24-28 августа 2009 г. Тезисы докладов. - Новосибирск, 2009. - С. 40.

[27] Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Алгебра и математическая логика. Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. - Казань: КФУ, 2011. - С. 41-42.

[28] Вагина О.Г. Мозаики из выпуклых пятиугольников / О.Г. Вагина // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. - № 4(48). - С. 63-73.

[29] Bagina О. Convex Pentagons Which Tile the Plane / О. Bagina // Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov. August 13-18, 2012. Abstracts. - Yaroslavl State University, 2012. - P. 8-12.

[30] Вагина О.Г. Выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость / О.Г. Вагина // Тезисы международной конференции "Дни геометрии в Новосибирске, 2012", посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. - Новосибирск, 2012. - С. 23-24.

[31] Вагина O.P. Выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость (типы: 11112, 11122) / О.Г. Вагина // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т. 9. - С. 478-530.

В работе [21] вклад авторов равноценный.

Вагина Ольга Георгиевна

Мозаики из выпуклых пятиугольников

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 08.11.2013 г. Формат 60 х 84 1/16. Заказ №1575 Офсетная печать. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО РПК "Радуга" 650004. г.Кемерово, ул. Соборная, 6

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кемеровский Государственный Университет

04201451333

На правах рукописи

Вагина Ольга Георгиевна

Мозаики из выпуклых пятиугольников

01.01.04 - геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к. ф.-м. н., доцент Кабенюк Михаил Иванович

Кемерово - 2013

Содержание

Введение ......................................................................4

Глава 1. Определения и обозначения................16

1.1. Центральные плитки мозаики...................16

1.2. Метки.................................21

Глава 2. Мозаики из равносторонних пятиугольников.....25

2.1. Соображения Ханта-Хиршхорна..................25

2.2. Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников ..............................26

Глава 3. Мозаики из пятиугольников с четырьмя равными сторонами ...................................37

3.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения......37

3.2. Случай г>з = г>4 = 3 .........................47

3.3. Случай vq = vi = V2 = 3.......................51

3.4. Случай v\ = г>2 = щ = 3, vq — г>4 = 4 ...............55

3.5. Случай vq = v2 = = 3, v\ = V4 = 4 ...............57

3.6. Случай vq = vi = = 3, v2 = V4 = 4 ...............61

3.7. Продолжение корон до мозаик...................70

Глава 4. Мозаики из пятиугольников типа 11122.........84

4.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения......84

4.2. Случай V2 = = V4 = 3.......................89

4.3. Случай i>i = г>2 = г»з = 3.......................90

4.4. Случай vq = v2 = v3 — 3.......................92

4.5. Случай vq = vi = = 3.......................95

4.6. Случай vq = v\ — V2 = = 3....................97

4.7. Случай vi — г>з = 4 .........................99

4.8. Случай v2 — v3 = 4 .........................100

4.9. Продолжение корон до мозаик...................105

Глава 5. Мозаики из пятиугольников общего вида .......110

5.1. Пятиугольники первых семи типов................110

5.2. Пятиугольники типа 6(Р) = 11223 ................. 116

5.3. Пятиугольники типа Ö(P) = 11123.................121

5.4. Продолжение корон до мозаик...................126

Заключение..................................129

Литература..................................130

Приложение А. Графики функции S(t) для пятиугольников типа Ö(P) = 11112..............................135

Приложение Б. Графики функции S(t) для пятиугольников типа 6(Р) = 11122..............................143

Введение

Актуальность работы.

Одна из областей комбинаторной геометрии — теория замощений пространства интенсивно развивается на протяжении последних ста лет. Однако она имеет древнюю историю. Пожалуй, впервые интерес к замощению плоскости возник в связи с построением орнаментов и узоров. Известно много древних и средневековых орнаментов в Европе, Африке и Азии, составленных из повторяющихся мотивов [21], [23], [27]. Одним из первых в мировой науке примеров решенной классификационной задачи из теории правильных замощений является полный список Платоновых тел, а затем и список Архимедовых тел.

Остановимся на замощениях евклидовой плоскости. Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т = {Рь Р2,..., Рк, ■ ■ •} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры замощения часто называют плитками.

Конечно, плитки, которыми выкладывают мозаику, могут иметь бесконечно много форм. Кроме того, мозаики бывают периодическими и непериодическими. Периодической мозаикой называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую всю плоскость без пробелов и наложений при параллельных переносах. Голландский художник М.К. Эшер известен тем, что многие его рисунки и гравюры представляют собой периодические мозаики, составленные из областей, напоминающих очертаниями живых существ [20], [37]. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить только периодическую мозаику. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить и периодические, и непериодические

мозаики. В середине XX в. возник вопрос о существовании набора фигур, из которых можно построить только непериодическую мозаику. Здесь предполагается, что ни из одной фигуры, ни из какого-то подмножества фигур, ни из всего набора нельзя построить периодическую мозаику. В 1973 г. Р. Пен-роуз обнаружил такой набор из двух фигур [24], [27], [32]. В 2010 году Дж. Соколар и Дж. Тэйлор [39] предложили вариант непериодической мозаики, которая использует плитки одной формы — правильного шестиугольника. Однако плитки в этой мозаике должны прилегать друг к другу по определенным правилам, учитывая раскраску сторон.

Если наложить на конфигурацию плиток ограничения, то задача классификации мозаик становится обозримой. Рассмотрим задачу замощения плоскости конгруэнтными многоугольниками. Будем говорить, что многоугольник замощает плоскость, если существует замощение плоскости многоугольниками, конгруэнтными данному. Такой многоугольник будем называть мозаичным, а мозаики из конгруэнтных многоугольников называют моноэдраль-ными [27].

Многие мозаики обладают симметриями, то есть они совмещаются с собой под действием некоторого движения плоскости. Если среди симметрии мозаики есть две неколлинеарные трансляции, то мозаика является периодической. Можно построить периодические и непериодические моноэдральные мозаики, используя одну и ту же плитку. Существуют мозаики, в которых одна единственная плитка может оставаться неподвижной при действии группы симметрий мозаики, а остальные плитки переводятся при этом в какие-либо другие плитки [27].

Отдельный класс мозаик составляют изоэдральные мозаики или мозаики, транзитивные на плитках [27]. Изоэдральная мозаика — это мозаика, чья группа симметрий действует транзитивно на плитках, т. е. каждая плитка мозаики может быть переведена в любую другую плитку мозаики с помощью

симметрии этой мозаики.

Кроме того, часто рассматриваются мозаики, называемые нормальными (или мозаиками "ребро к ребру"). Мозаика называется нормальной, если пересечение любых двух смежных ее плиток является ребром или вершиной каждой из них.

Если плитка изоэдральной нормальной мозаики — это выпуклый многоугольник, то такую мозаику часто называют правильной. Впервые понятие правильного замощения плоскости и пространства дал Е.С. Федоров в своих работах еще в конце XIX - начале XX вв. Его труды, касающиеся этой темы, переизданы в [14], [15]. Плитку в случае правильного замощения плоскости он называл планигоном. Расположение плиток вокруг каждой плитки в правильной мозаике всегда одинаковое, то есть все плитки имеют один и тот же набор степеней вершин.

В [10] Б.Н. Делоне предложил идею нахождения всех типов правильных мозаик на плоскости. В своих исследованиях он использовал теорему Шубникова-Лавеса о существовании И топологически различных типах правильных сеток на плоскости, эти сетки часто называют сетками Лавеса. Его исследования продолжил в 1968 г. Хеш [28]. Окончательно в 1978 г. Делоне в [11] перечислил 93 сорта правильных замощений плоскости.

Грюнбаум и Шеппард изучали изоэдральные мозаики, в которых плитка не обязательно является выпуклым многоугольником. В 1977 г. в работе [25] независимо от Делоне, но, используя схожие методы, они перечислили 81 тип изоэдральных замощений плоскости. В 1978 г. в работе [26] они перечислили 91 тип изогональных замощений плоскости, здесь под изогональным замощением понимается замощение плоскости, чья группа симметрий действует транзитивно на вершинах разбиения. В работе [22] Долбилин и Шаттшнейдер также описывают многоугольники, допускающие изоэдральные мозаики.

Если группа симметрий мозаики действует транзитивно на блоке из к

плиток мозаики при к > 1, то мозаика называется к-блок транзитивной или /с-изоэдральной.

Остается до сих пор нерешенной задача нахождения и классификации многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Такие мозаики включают в себя как к-блок транзитивные (к ^ 1), так и непериодические мозаики. Любой треугольник и четырехугольник замощает плоскость, при этом мозаики могут быть как изоэдральные, так и непериодические [27].

Многие авторы исследуют невыпуклые многоугольники, замощающие плоскость. Мозаики из таких многоугольников могут быть /с-блок транзитивными, непериодическими и спиральными.

Остановимся на задаче нахождения выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость. Известно, что выпуклым многоугольником, имеющим более 6 сторон, замостить плоскость невозможно, доказательство этого утверждения приведено в [31], [34]. Мозаики из шестиугольников были полностью исследованы в 1918 г. Рейнхардом [33]. Он перечислил все выпуклые шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, и доказал, что все мозаики из выпуклых шестиугольников изоэдральные. Таких шестиугольников оказалось 3 различных типа.

Проблема построения исчерпывающей классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, остается до сих пор нерешенной. Было найдено 14 типов таких пятиугольников. Но до сих пор нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Некоторые мозаики из выпуклых пятиугольников были известны еще в древности [35]. Первая попытка классифицировать пятиугольники, которые замощают плоскость была сделана в 1918 г. Рейнхардом в его докторской диссертации [33]. Он перечислил пять различных типов таких пятиугольников (типы 1 — 5 из списка, приведенного ниже). Каждый тип пятиугольника определяется множеством условий на углы и стороны пятиугольника, и каждое та-

кое множество гарантирует, что выпуклый пятиугольник, удовлетворяющий этим условиям, существует. Рейнхард показал, что существует, по крайней мере, одно замощение плоскости пятиугольником каждого типа. Каждый из пяти типов, описанных Рейнхардом, может порождать изоэдральную мозаику, и мозаики могут быть нормальными и не являться таковыми. В 1968 г. Кершнер нашел еще три типа пятиугольников, замощающих плоскость [30] (типы 6, 7, 8). Эти пятиугольники допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках. Один тип пятиугольников был найден Джеймсом в 1975 г (тип 10). Такой тип допускает только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Еще четыре типа пятиугольников найдены Райе в 1976 — 1977 гг (типы 9, И, 12, 13). Пятиугольники девятого типа допускают только нормальные мозаики, не транзитивные на плитках, пятиугольники типов И, 12, 13 допускают только мозаики, не транзитивные на плитках и не являющиеся нормальными. Последний 14 тип в 1985 г. открыл Штейн. Мозаики из таких пятиугольников всегда не транзитивные на плитках и не являются нормальными.

Перечислим 14 типов пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Обозначим последовательные вершины пятиугольника Xq, Х2, Х3, Х4, его углы — соответственно хо, х\, Х2, хз, х4. Длины сторон пятиугольника Ci = \Xi-\Xi\, i = 0,1,2,3,4, индексы в последнем равенстве берутся по модулю 5. Известны следующие типы пятиугольников, замощающих плоскость:

1. x0 + xi = 180°;

2. XQ + Х2 = 180°, С\ — Сз;

3. х0 = х2 = х3 = 120°, С0 = Си Сз = С2 + С4;

4. xq — х2 = 90°, Со — Ci, С2 — С3;

5. х2 = 2х0 = 120°, С0 = Ci, С2 - С3;

6. xi + х3 = 180°, х0 = 2х3, С0 = Ci = С2, Сз = С4;

7. хо + 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°, С0 = Сх = С2 = С3;

8

8. xi + 2x0 = 360°, + 2z3 = 360°, C0 = Cx = C2 = C3;

9. X\ + 2x4 = 360°,+ 2x3 = 360°, C0 = Cx = C2 = C3;

10. = 90°, x0 + x3 = 180°, 2xi - ж3 = 180°, 2;r2 + z3 = 360°, C0 = C4 = Ci + C3;

11. xQ = 90°, x2 + x4 = 180°, 2xi + x2 = 360°, C3 = C4 = 2C0 + C2;

12. x0 = 90°, + x4 = 180°, 2rri + = 360°, 2C0 = C3 = C2 + C4;

13. = = 90°, 2хг = 2x4 = 360° - я3, C2 = C3, 2C2 = C4;

14. x3 = 90°, x0 + x2 = 180°, + 2x4 = 360°, C0 = 2C2 = 2C4.

В работах [27], [35], [38] перечислены все эти типы пятиугольников, и примеры мозаик из таких пятиугольников. Кроме того, многие авторы исследуют и описывают сами мозаики из пятиугольников, известных типов. В [25], [27] Грюнбаум и Шепард перечислили 24 изоэдральных мозаики из пятиугольников.

В 1982 г. Шаттшнейдер [36] представила списки выпуклых и невыпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 1985 г. Хант и Хиршхорн [29] доказали полноту списка Шаттшнейдер выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость. В 2001 г. в [1] и в 2004 г. в [18] приведено новое доказательство полноты этого списка.

Одной из задач проблемы нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость является задача нахождения выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Остановимся на этой задаче.

С 1999 года вышел ряд публикаций японских авторов Сугимото и Ога-ва в японском журнале Forma с результатами их исследований нормальных мозаик. В работах [40], [41] авторы попытались классифицировать известные пятиугольники с четырьмя равными сторонами, замощающих плоскость нормально. В [12] рассматриваются пятиугольники, замощающие плоскость регулярно.

Многие авторы разделяют пятиугольники по типам в соответствии с ра-

венствами длин сторон пятиугольника. С учетом этого имеется ровно 12 различных типов пятиугольников.

В работах многих авторов [22], [40], [41] и в моих работах используется понятие короны для плитки мозаики. Некоторое множество плиток, конгруэнтных Р, называется короной для плитки Р, если выполняются условия:

1) плитки этого множества замощают часть V плоскости;

2) плитка Р содержится внутри V;

3) это множество минимально с условиями 1 и 2.

Для того, чтобы существовала мозаика из выпуклого пятиугольника, необходимо, чтобы существовала корона для каждой плитки мозаики.

В 2005 г. в [4], а затем в 2009 г. в [5] приведена идея нахождения пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Эта идея включает в себя полный перебор, который был проведен с помощью пакета математических вычислений "Maple". Результаты этих исследований докладывались автором на конференциях. В дальнейшем компьютерный перебор был полностью исключен [7] - [9], [19].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Кабенюку Михаилу Ивановичу за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Цели работы.

— Перечисление всех выпуклых пятиугольников, которые замощают плоскость нормально.

— Доказательство, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

— доказать утверждение, что в любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4);

— привести новое доказательство полноты списка выпуклых равносторонних пятиугольников, замощающих плоскость;

— найти все новые выпуклые неравносторонние пятиугольники, имеющие короны;

— исследовать вопрос о том, можно ли продолжить короны из найденных пятиугольников до мозаики;

— доказать, что полученный список выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально, полный.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Описаны все типы выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость нормально. Доказано, что этот список полный.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях разбиений плоскости и пространства.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

Обозначим вершины, углы, стороны пятиугольника, как сказано выше. Нумерация может начинаться с любой вершины и менять свое направление. Понятно, что обсуждаемые утверждения не зависят от способа нумерации вершин.

Основной результат содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Выпуклый пятиугольник тогда и только тогда замощает плоскость нормально, когда он относится к одному из следующих типов:

1. xq + Х\ — 180°, С0 = С2 или С3 = С4;

2. х0 + х2 = Ж°,С1 = С3,Со = С2;

3. х0 — х2 = 90°, Со = Ci, С2 = С3;

4. £2 - 2жо = 120°, Со = Сь С2 = С3;

5. xi + х3 = 180°, = 2а;з, С0 = Ci = С2, С3 = С4;

11

6. х0 + 2х3 = 360°, х2 + 2xi = 360°; С0 = Сг = С2 = С3;

7. X! + 2х0 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Сг = С2 = С3;

8. xi + 2х4 = 360°, х2 + 2х3 = 360°, С0 = Сх = С2 = С3.

Доказательство теоремы 1 использует следующие теоремы.

Теорема 2. В любой нормальной пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор степеней вершин один из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Приведено новое доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Равносторонний выпуклый пятиугольник замощает плоскость тогда и только тогда, когда сумма каких-нибудь двух углов равна 180°, или углы этого равностороннего выпуклого пятиугольника xq, х\, х2, х3, Х4 удовлетворяют следующей линейной системе уравнений

x0 + 2xi = 360°, х2 + 2х4 = 360°

Обозначим Т{ — множество пятиугольников, углы и стороны которых удовлетворяют соотношениям, перечисленным в г-м пункте теоремы 1, г = 1,...,8.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Если Р — центральная плитка, и 5(Р) = 11112, то Р £ Т\ U Т2 U Т3 U Т4 U Tq U Т-? U Т8 либо Р имеет один из четырнадцати наборов углов (для некоторой допустимой нумерации вершин):

1. х0 ~ 93,06°, xi = 120°, х2 « 133,47°,х3 « 73,47°,х4 = 120°;

2. хо ~ 94,56°, xi « 113,64°, х2 « 132, 72°, х3 w 75, 9°, х4 « 123,18°;

3. х0 ~ 88,71°, xi « 135,65°, х2 « 74, 78°, х3 « 135, 65°, х4 « 105, 21°;

4. х0 « 81, 2°, xi « 139,4°, х2 « 69, 7°, х3 « 139,4°, х4 « 110,3°;

5. х0 = xi = х3 = 120°, х2 ~ 94,34°, х4 « 85,66°;

6. х0 « 108,28°, xi « 125,86°, х2 « 78,05°, х3 w 140,98°, х4 « 86, 83°;

7. х0 « 129,13°, xi = 90°, х2 « 101, 74°, х3 = 135°, х4 « 84,13°;

8. х0 ~ 126,42°, xi w 77,86°, х2 « 107,16°,