Начально-краевые задачи для параболических уравнений с существенным неявным вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Соловьева Наталья Николаевна

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С СУЩЕСТВЕННЫМ НЕЯВНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Специальность 01.01.02 Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москпа - I Ч(>8

Работа выполнена в Тульском государственном университете. Научный руководитель: ■

доктор физико-математических наук, профессор Г.И. Лаптев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г.С. Балашова, доктор физико-математических наук, профессор A.C. Калашников.

Ведущая организация — Московский государственный технический университет. , ,

Защита состоится " Г . USt?^ 199;</ r в ff

часов

в аудитории^- заседании'диссертационного совета К.053. F 6.16 при Московском чисргетическом институте (техническом университете) /111250,Москва, ул. Красноказарменная. 14/.

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Автореферат разослан " : аЛ^-Сцх__19<)з года.

Ученый секретарь. ,. ; •,■!., \ диссертационного совета

В.П. Григорьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию вопроса о разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, у которых функции, входящие в уравнение, могут обращаться в нуль на отрезке, а также разрешимости краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с немонотонной функцией в главной части. Начально-краевые задачи для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математики и ее приложений. Особенно часто в приложениях возникают уравнения второго порядка, изучению которых посвящена обширная литература. Отметим обобщающие монографии Ладыженской O.A., Ураль-цевой H.H., Солонникова В.А., а также Лионса Ж. Л. и Крылова Н.В. Многие работы в значительной степени посвящены гладким решениям. В связи с развитием методов монотонности и компактности возрастает интерес к так называемым слабым решениям этих уравнений. Для уравнений с неявным вырождением глубокая математическая теория предложена в работе Ю.А. Дубинского "Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях" / Мат. сб., 1965/, в которой рассмотрены уравнения высокого порядка 2т (т ^ 1) в предположении, что производные порядка т входят в коэффициенты линейно. Еще в монографии Лионса Ж.-Д. "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач4 /1972/ сформулирована теорема существования для частного случая краевой задачи

«/ - У] —ai(t, х, и, (p{u)S/u) + п-о(f. .г, и, yj(u)Vu) = 0; ы dTi

(í,x)e<?=[0,TJxíl; u(0,r) = M0(x); «|w, = 0, (1)

p—2

когда коэффициенты имеют конкретный вид п, = |»|® jj^-'f где s > 0, р ^ 2. Однако путь к построению общей теории уравнений вида (1) оказался трудным и длинным. Заметим, что уравнение (1) может вырождаться как при <р(и) — 0, так и при Vit = 0. Изучение уравнений г двойным пырожденнем активизировалось после обзорной статьи Калашникова A.C. "'Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка" /Успехи мат. наук, 1987/, в Mnopoii -освещены разнообразные приложения таких уравнений.

Существенные результаты по квазилинейным вырождающимся параболическим уравнениям второго порядка получены в работах Иванова А.В. Часть их собрана в обзорной работе Иванова А.В. /Алгебра и анализ, 1992/ Теорема существования неотрицательного решения получена в работе- Иванова А.В., Мкртычана П.З. / Зап. научн. семнн. ПОМИ, 1990/. Все результаты относятся к уравнению (1) с конкретной функцией £>(«) = |>t|s , s > 0.

В работах зарубежных математиков также имеются теоремы существования для уравнений с. двойным .вырождением, однако, в предположении, что функция имеет вид ç(u) = |f<|s , s > 0 , и что степень s существенно связана со степенью роста коэффициентов .г, и,£) по аргументу £ . Укажем наиболее полные работы в этом направлении Bernis F. и Blanchard D., Francfort. G.

В работе Лаптева Г.И. /Сибирский матем. журнал, 1997/ доказывается теорема существования задачи (1) с произвольной функцией <р(и) степенного роста в предположении, что она обращается в нуль только в нуле и положительна для остальных значений аргумента.

В диссертации изучаются уравнения типа (1), в которых функция <р(и) вырождается на целом отрезке [«,/?], 0 < fv < Д < оо. Задачи с существенно вырождающимися коэффициентами возникают, в приложениях, в частности, в задаче Стефана о переходе вещества из одной фазы в другую. Например, в работе M. Bertsh, P. de Mottoni, L.A. Peletier /Trans. AMS, 1986/ изучается задача о плавлении, которая описывается уравнением

где функция ч(и) = 0 на отрезке [«, fi], 0 < « < /3 < оо, и положительна для и £ [о, ¡{\. Приведенное уравнение является линейным по градиенту, тогда как в диссертации рассматривается более общий случай, когда производные по пространственным переменным входят нелинейно в коэффициенты уравнения.

Кроме того, в диссертации изучена начально-краевая задача для уравнения, в котором вырождается коэффициент при щ . Это уравнение с так называемой двойной нелинейностью при производной и, , а также по производным по пространственным переменным. "о)ти уравнения тесно связаны с уравнениями вида (1) и переходят друг в друга после

замены U =■ J <p(ti}tLs, если функция р(и) обращается в нуль; например, только п "точке и = 0. По этой причине есть попытки объединить оба типа уравнении в один. Все же пока féope'iibi существования для

этих типов уравнений доказываютс я независимо. Отметим еще работу Иванова A.B., Мкртычана ПЛ., Яегера 13. /Пап. научи, еемин. ПОМИ, 1994/, в которой установлена теорема существования положительного решения для уравнения с двойной нелинейностью снова для случая конкретной функции <р(и) = |п|'4, s > 0. Возможность отказа от требования положительности решения обоснована в работе Лаптева Г.И. /Мат. сб. РАН, 1997/.

Цель работы. Получить результаты о разрешимости началыю-кра-евых задач для квазилинейных параболических уравнений с неявным существенным вырождением, а также изучить особенности краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.

Общая методика исследования. При решении поставленных задач используются методы исследования квазилинейных дифференциальных уравнений, созданные в теории монотонных операторов, методы регуляризации и компактности, а также методы, созданные в теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

1. Доказано существование решения начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с существенным неявным вырожденней, когда функции, составляющие уравнение, могут обращаться в нуль на отрезке.

2. Доказана разрешимость начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с двойной нелинейностью.

3. Доказана теорема существования решения параболического уравнения высокого порядка с вырождающимися коэффициентами и неограниченным возмущающим оператором.

4. Доказано существование гладких и негладких решений краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со знакопеременным коэффициентом при старшей пронзподной; построены решения специального вида и доказано, что они могут быть сколь угодно точно приближены решениями уравнении с малым параметром при старшей производной.

5. Доказана разрешимость красном задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, не разрешенного относительно старшей производной.

с

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Однако изученные в диссертации классы дифференциальных уравнений имеют своим источником математические модели конкретных физических процессов, в которых необходим учет существенной нелинейности задачи. Результаты диссертации могут быть использованы в этом направлении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского государственного университета, на Седьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара — 1997), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, март 1998г.). Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Г.И. Лаптева. В целом диссертация доложена на заседании кафедры математического анализа Тульского государственного университета и на семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю.А. Дубинского, а также на семинаре по дифференциальным уравнениям факультета ВМК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова под руководством проф. В.Г. Сушко.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 173 страницы машинописного текста, включающего 31 рисунок. Библиография содержит 47 наименований работ.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы, описываются предшествующие исследования, излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводится содержание.

В первой главе изучаются начально-краевые задачи для квазилинейных параболических уравнений с существенным неявным вырождением.

В первом разделе изучается задача вида

д_ dxj

п ъ

"< - £ J-, v(«)V«) = /(f, ;/••);

¿=1 ' т"

u(O.x) = w0(x); »|<«г=°;

в цилиндре <5 = Пх[0,Г], где П —- ограниченная область пространства 1Г .

Особенность данной задачи заключается в том, что коэффициент 1р(ч) вырождается и тождественный ноль па отрезке 0 < м <; п. <. /1 < ос . Функция <р(и) положительна вне отрезка [а,н подчинена, условию степенного роста

гУ(п)Г2 $ <р(и) ^ c(|f/(tt)|p-2 + l). С >0, г > 2.

(3)

Для сравнения выбрана функция (/(if) с условиями: ц(и) = 0 при u Е [<■>■, /i]; f/(u) = и — о при а. < ; у(ч) —н — /1 при u > ¡i.

Коэффициенты A;(f,.r,£) удовлетворяют условиям, характерным для теории монотонных оператор»«, именно, услопиям Каратеодорц (т.е. они измеримы по (t,x) 6 Q для всех £ и непрерывны по для почти всех ((, .г) G Q ), а также следующим условиям:

1А. Условия роста:

HiC.-r.OI < ''КГ1 + Л('.-г). ;< > 1. /' е w'(Q). р -

р- i

2А. Условно монотонности:

п

- Л.а.Л-.Ш, - Ч,) ^

1=1

ЗА. У словие коэрцитивное ги:

п

^ о,1ц(t,.г), о, > о. /„ € L'(g).

¡=1

Примером служат функции

0и

Ox,

*~'2 < \ 0,1

O-ii

¡•-'г

0.1-i

<]>;>/), (I)

и

ГДО Ф(») = J ip(-s) ds . 0

Цель проведенного в разделе 1.1 исследования - установить существование слабого решения задачи (2). При формулировке результата используются традиционные обозначения пространств абстрактных функций, заданных на отрезке [О, Т] и принимающих значения в банаховом пространстве. Символом (и, v) = J uvdx

и

обозначается двойственность между L1' (П) и //(Q), символом (u, v) =

[ uvdQ обозначается двойственности между L1' (Q) и LV(Q) , + ^ —1.

ц ■

В разделах 1.1 и 1.2 основную роль

о

играет пространство Л' — 1/(0, Т; H"|,(íi)), наделенное нормой ||и||д- = || V»||/,p<q) , а также сопряженное пространство Л'* = V' (0, Т; Wy1 (Í))). Результатом первого раздела является следующая

Теорема 1.1 гл. 1. Пусть и0(.г) € fo(^) > " пусть sup{u0} < « . Тогда для любой функции /(/, .г) G L1' (Q) существует слабое решение задачи (2), то есть функция u(t.x) со следующими свойствами:

1. Ф(«) G Л' ;

2. € !/((<?) Í

3. н, € Л" ;

4. функция u(t,jr) удовлетворяет уравнению (2) в интегральном смысле:

<«М'> + ¿>Ы'. ^Ф(и)), = (/, г>, Vi' € X; (5)

t^i '

5. u(t,x) 6 С([0,Г];w—Lr(í1)), где символ w— означает слабую топологию пространства L''(Í1) . При этом "(0, .г) = и0(х).

Доказательство проводится методом, ставшим классическим для нелинейных уравнений; строится вспомогательная задача с уравнением, содержащим параметр N и включающим исходное уравнение при N -» ос . Именно, вводится строго монотонная функция Фn{u) — Ф(ч) -f ^ = / г, а также обратная функция и = Ф/у({7), в результате чего уравнение (2) записывается в виде

Решение уравнения (б) аппроксимируется галеркингкими прибли-

n

жениями UN{t,x) = £ CNk(t)rk(-r), где ск{.г) -- полная счетная си-fc=i _ стема линейно независимых функций из С(\($2). Для коэффициентов CNk{t), к — l,N, составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений

n »

)')) + Wyv), J—г„,(.г)) -

= (/.с,,,), m = ÏJV, (7)

для которой проверяются условия Каратсодори и делается вывод о ее локальной разрешимости. Далее получаются априорные оценки для функций «/V и i/,v , где и /у " Ф n{Un) , не зависящие от параметра N : sup ||u/v(f,.r)||t,'(n) ^ С \ ^ С . На основании полученных

I

оценок решение продолжается на весь отрезок [0. Т] и обосновывается возможность осуществления предельного перехода Ф,v( ?( ,v ) —> Ф(") при А* —> оо почти всюду в . Здесь функция h(î, .г) есть слабый продол u/v(f, г) в пространстве £°°(0, Г; L' (Q)). Для этого доказывается сходимость <7(»/v) —> ';(") почти всюду на основании компактности множества функций y(u/v) в пространстве L"'(Q) , m = min{p, г — 1} . Именно, доказывается равностепенная непрерывность множества {fl(»t/v)} по сдвигу в

||</(mn(/ + л,.г)) - ;;(»*(>.•'•жи-чу) ^ C|/i|"",<>„ - («)

'7'

||.7(H/v(i,.r + h)) - i/(«w(/,.r))||fj...(g) <; = (9)

Далее» доказывается, что определена производная i/,(/,.r) как элемент пространства распределений /)'((). 7'; L'(iî)) , которая задаст непрерывный линейный функционал на пространстве X . Чатем приме няется метод монотонных операторов и. осуществляется предельный переход в илтегралыюм тождестве, определяющем слабое решение задачи (2). Основы этого метода можно найти в монографиях по нелинейным уравнениям Лионса. а также Гаевского, Грегера, Чахариаса. обзорах К).Л. Дубин« кого.

Во втором разделе первой главы рассматривается начально-краевая задача для параболического уравнения с двойной нелинейностью

" О

4>{п)щ х. Vu) = /(f,x);

¡=i ОХ{

v({), х) — n0(r): «|ôjj = 0. (10)

Условия (3) и 1A ЗА на коэффициенты <р(и), A,(t, x,Ç) сохраняются.

Методами, аналогичными использованным в разделе 1.1, доказывается результат о разрешимости задачи (10), а именно,

Теорема 2.1 гл. 1. Пусть щ(т) € Ь' (П) и пусть f(t,x) £ Lv'(Q). Тогда существует слабое решение задачи (10), То есть функция u(f, х) со свойствами:

1. u(t,x) е X = Ь"(0,Т;й'1р(П)) ;

2. Ai(t,x, Vw) G LP'(Q) ;

3. |?Ф(и)€Л'\

4. (U),v) + t(Ai(t,x,Vu)^) = (f,c), veX;

i=i

5. Ф(и) 6 C([fl, T]; w—Lr (П)) , где символ w— означает слабую топологию пространства V (П) ; при этом Ф(и(0, х)) = Ф(н0(:с)).

В третьем разделе первой главы изучается начально-краевая задача для параболического уравнения высокого порядка 2m

«/ + (-^)WD"[A,y(t,x,D"u) + Y, (£>"'")] = fit,т)-,

(«,J-)eg = [0,7]xn; u(0,a) = «oW; X>"u|an = 0; \/)\ ^ m - 1.

(H)

dl"lu

Здееь D" » = —---, где (ni.....a„) мультинндекс

О"1 • • ■U""xn

с целыми неотрицательными компонентами, rv( + • - • + <v„ = m ; под D" u понимается производная функции и по пространственным переменным (ni — 1)-го порядка,' удовлетворяющая'одному из тождеств D"u = ~D" u, i — 1, // . Коэффициенты Л0(/,х,£) удовлетворяют следующим условиям: .!„(/, .г,О s 0 при £ Ç [",,,'»,>], где «„ и

и

Ъа произвольные числя; функции ,(/,./',£) строго возрастают при £ € (-оо,о„) и (?•>«,+ оо) , кроме того, подчинены ограничениям

Предполагается, что функции и Л,,'(Л./) удовлетворяют сле-

дующим условиям:

Щ л„>(г) е С(1) и |М*)| < + г,. Л > С);

1/*) |/М = )| < ФГ + ''>, где НА'-) = [ '»-»'О

о

|л|=т Л' "' |<>'|=т-|

1А) А„'(<,./•) е ¿лт

о о

2А) если /Г = ТО €

«л-; с/.г^

Задача (11) записывается как операторное уравнение

и, + Л» + Ви = /, »(()) = »о, (13)

где операторы А и В строятся по дифференциальным выражениям

|г>| = Ш

Ви = ^ (14)

|»>| = т о'

Доказывается, что оператор А является ограниченным, непрерывным и монотонным (нестрого) оператором из пространства У — ¿''(О, Т\

о

И'™(О)) в его сопряженное, в то время как оператор В монотонным не является и может быть неограниченным как оператор из У в ) *. Наложенные на функции Аа'(/,.г), />„*(:) , условия позволяют доказать коэрцитивность оператора Д+ В , а также следующие специальные свойства оператора В , обеспечивающие разрешимость абстрактной задачи (13): тсли и,у -А и слабо в 1", Б" и^ —> Оп и сильно в №((}), то

1. {Вин, v) —> (Du, с) ( N oo) для любой функции r G С([0,Т];С(7°(П)) ;

2. (J?u/v, uN) <jy«, w) ( N -y (X)).

Определяется пространство J? = L|+e((),7'; Hr~m(i2)), в которое оператор В действует непрерывно п ограниченно. Здесь г - - любое

un 8

при н ^ р; 1 < г < ----гг при п > р, 0 < t < -- .

(п - 2>)(р - 6) р-.б

К операторному уравнению (13) применяется метод монотонных операторов и докалывается существование решения операторного уравнения.

На основании вышеизложенного доказывается

Теорема 3.1 гл. 1. Для любых функций «о (-'О £ L2(U) я /(/, х) G Г* — /,'' (О, Т\ (Q)) существует слабое решение задачи (11) со свойствами: 1. щ <Е Z ; 2. для любой v{t, х) G С([0,Т];

Q H='»Q «'

= JfvdQ;

Q

3. u{t,x) G C([0,T]; w-Щil)), при этом w(0,.r) = n0(;c).

Дадим некоторые пояснения к изложенной тео]>емс. Хорошо известно, что, если функции A„(f,.r,£) строго монотонны по аргументу £ , то в качество возмущающего оператора можно брать суммы вида

Bu = />°'(|1>аи|Р)

jo|=rm Kl=w>.-1

с подходящими степенями г ^ 1 . то есть разрешено вводить в оператор В производные порядка |а| = m . В теореме 3.1 строгая монотонность функций Aa(t,x,£) по £ не предполагается и потому такие .операторы не выдерживают указанных выше возмущений. Для нестрого монотонных операторов известно, что они выдерживают возмущения компактными операторами. Введенные в теореме 3.1 операторы не только не компактны, но даже неогранипены из А' в X* . Подводя итог изложенному, можно сказать, что в теореме 3.1 предпринята попытка очертить максимальный круг задач, доступных методу монотонных операторов.

Вторая глава посвящена краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.

В разделе 2.1 рассматривается задача для уравнения второго порядка

= <р(х{), *е[0,Т]; .т(0) = А; х(Т) = В, (15)

где А и В - произвольные числа. Функция ш(у) € С2(П) обладает следующими свойствами: она имеет три ветви строгой монотонности; точки максимума к\ и минимума к-г имеют разные знаки: к\ <0; к> >0. Г1оД|)обно рассмотрен случай, когда функция и/(//) обращается в ноль в трех точках: ш(п) = и;(0) = , и < 0, 1> > 0. Случаи, когда функция и)(у) имеет ни одного,-одни, дна, три произвольных ко] ж я с прежним условием <0, к-г > 0 сводятся к указанному выше случаю в силу тождества £[ш(х,) + с] = .

На функцию Ц>{у) € С (Я) накладываются следующие условия:

ур(у) > 0 Для V Ф 0 ;

к 1 оо

/га— *»

-П к]

^ / ^ +оо; /[

А9)

(1у — ОС'.

Приведем п]>имер функций и:(у) и <^(у) , удоплетпоряющих условиям 1у?) —. Если и¡(у) =■ \у\''~1у-у , то <р(у) = |у|ч_2у, где /> > ц > 2 .

Уравнение (15) имеет своим источником математическую модель конкретных физических явлений. Например, уравнение ^и-'(лг() = хт,' со знакопеременным коэффициентом вязкости предложил академик Н.Н.'Яненко при моделировании сложных течений вязкой жидкости: 1

'Запишем уравнение (15) подробнее:

и/(.т,);г;, = (16)

Очевидно, коэффициент П[)Н старшей производной х<< является знакопеременным, что не позволяет применить известные методы решения краевой задачи с условиями .г(0) =а .4 , х(Т) = В .

Доказывается, что существуют фиксированные положительные числа S| > S-s > 0, S-z > S4 > 0 такие, что на плоскости (Л, В) есть множества 0\ , , 03, 04, в которых задача (15) имеет классическое решение. Здесь полосы О, ( » = .1,4) определяются уравнениями: Oi : В ^ А- St; 02 : В 2 А + 52 ; 03 : А - 53 ^ В < Л; 04 : Л < Z? < Л -f S4 . Заметим, что на прямой В = А также существует гладкое решение задачи (15) j(f) = Л.

Далее доказывается, что п полосах : Л — < В < А — S.i и Og : Л + S* < ß < Л + 5а , не заполненных гладкими решениями, существуют решения специального вида, так называемые составные решения.

Определение 1. Назовем составным решением граничной задачи (15) функцию ./•(<) со следующими слойстнамн:

1. сама функция x(t.) непрерывна на отрезке [0,Т] и удовлетворяет граничным условиям г(0) = Л , х(Т) = В ;

2. производная х'(<) определена во всех точках [О, Т], кроме, быть может, одной точки io € (О, Т), в которой .r'(i) не существует;

3. на каждом из интершиюп [0, f(l), ('о.Т] определена непрерывная вторая производная x"(t), и при этом удовлетворяется уравнение (15);

4. функция w(.r') непрерывна на всем [О, Т], включая точку to:

М-OIU,- = M*')1L,0+ •

Составные решения, по нашему мнению, являются наиболее простыми по структуре после классических решении.

Построение составного решения начинается с построения производной ./(/) = y(f). Строится решение уравнения

и'Ш = М (17)

с начальным условием у(0) = у0 , где у0 6 (0, к2}. В силу свойств функции <р(у) гладкое решение задачи Кош и (17) у' (t.) определено для всех t 0. Фиксируем точку tQ 6 (О, Т). Будем переключаться в точке tn на другое решение y2(t ) уравнения (17) с начальным значением i/o < ч < А:, , где значение удовлетворяет условию ноп|)ерывности функции сj(y) в точке \j\yx(tQ)] — . Решение уравнения (17) с новым начальным условием также существует для всех f ^ /о. В результате получена разрывная кривая ?/(/) = //' (/) при t Q [0, /0] и !l(t) = U*{t) при tе [f0. Т]., Откуда искомая функция .<(/) находится по фо!>муле

I

х (t)='A +Jg(e)dH. (18)

с»

Остается удовлетворить второму граничному условию

t0T

В = А + jy1(t)dt + J у2(t.) dt., , ' (19)

О / о

или в терминах площадей, порожденных кривыми у1 (<) и y2(t) условие (19) можно записать в виде

B-A = SAh)-S2{t0) = a(t0). (20)

Далее рассматриваются свойства функции a(t0), кото)>ая дополнительно зависит от второго параметра уо . В частности, доказывается, что функция a{to,yo) возрастает с ростом <о • Из тождества (20) следует, что на плоскости (Л, В) составные решения заполняют полосу

min min <r(to, Vo) ^ В — А < inax max o(tn,ya). (21)

yo€(0,fc2l ioG[0,n v ' ' Vo€(0,fc,l <о6[ОЛ1

Доказывается, что полоса (21) целиком накрывает полосу О г,, где нет гладких решений, и для любых {А, В) из (21) существует 1'о > 0 такое, что для Vi/o ^ Уо существует составное решение задачи (15). Кроме того, существует более узкая полоса, чем (21), которая также накрывает множество О г, и обеспечивает существование составного решения для любого уо £ (0, к2] без ограничений.

Как результат раздела 2.1 сформулируем следующую теорему, а также следствие из нее.

Теорема 1.1 гл. 2. Пусть функция <р(у) 6 С'(Я1) а удовлетворяет условиям 1 tp) — 5ip). Пусть фиксировано 0 < ij0^ к2 . Тогда найдутся числа ст(0, уо) < 0 и <т(Т,у0) > 0 такие, что для любых А и В , разность которых лежит в интервале <7(0, у0) < В — А < а(Т,у0) , существует единственное составное решение задачи (15) с дополнительным граничным условием х'(0) = г/о • Меняя у0 , получим континуум составных решений для каждой пары (А, В).

Следствие. Для каждого у0 £ (0, к2] существует единственное значение ут такое, что задача (15) имеет составное решение как в теореме 1.1 с условием х'(Т) = ут ■ При этом значения у/о л Ут удовлетворяют тождеству

т

u(wr) - u(vn) = У <p[y(f)]<lt. (22)

Чтобы накрыть полосу О с , необходимо повторить все вышеизложенные рассуждения с условием уп € [/•'!. 0). В следующем разделе 2.2 оправдывается выбор именно таких начальных значений у0 - .т'(0) € [Ь,к2]. хЩфО. ' "

В разделе 2.2 рассматриваются приближенные уравнения для уравнения (15) с малым параметром 0 < £ < 1 при старшей производной

£х"'=-[ш(х')]' + ф-') (23)

с граничными условиями

.,:((),.-) = Л; ' -г(Т,£) == *'(()) = »„• (24)

Считаем, что пара (А, В) € От,- С заменой х' — у уравнение (23) представляется в виде системы

= у'= г, (25)

которая является линейной относительно функции е). Поставленная задача рассматривается как задача, имеющая решение с внутренним пограничным слоем. Такие задачи рассмотрены в монографии Васильевой А.Б., Бутузова В.Ф. "Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений."/1973/. Задача разбивается на две вспомогательные задачи с начальными значениями времени во внутренней точке 0 < * о < Т . Выпишем 'формулировку задачи, решаемой влево от :

ег' = -и/(у) г + ?(»), У = г, 0 < г ^ Г<>; (26)

.у(0,е) = й.; у('о ,е)=?л„; (27)

г(/«ь?) = ~. (28)

£

Условие (28) означает, что начальное значение функции г(/, е) бесконечно велико при £—>(). Значение у1п выбирается произвольным из отрезка [А:ь0]. Тогда коэффициент однозначно определяется параметром у,и из тождества, выведенного в указанной выше монографии: = Со)] - ы[у1а) . Здесь .//' (1) есть первое решение уравнения

(17).

Постановка второй задачи, решаемой вправо от , выписывается аналогично (26) (28) с теми же значениями функций ;/(/,?) и ;(/,<') в

llin lj(t,£) = £-♦0

точке ta ii с условием y{T,е) — //•/•, где значение yr G (-оо,к\). На основании теории, изложенной в монографии, доказывается, что существуют решения обеих вспомогательных задач как непрерывные функции, которые совпадают в точке 1п вместе со своими первыми и вторыми производными. В результате получается единая гладкая кривая ;'/(', f ) •

Этот результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 2.1 гл. 2. Пусть функция ip(y) G C2(Rl) и удовлетворяет условиям 1<+>) - 5р) . Вычислим f0 по теореме 1.1 и построим функцию y(t, ff) . Тогда эта функция является классическим решением уравнения ец" — — [u;(y)]' + <f(y) на отроке [0, '/'] л , кроме того, они приближенно с точностью порядка ()(е) удовлетворяет граничным условиям ;/((), е) « .'/о. !l('l'. '■) ~ ЦТ, еде у г находится im vi данному im следствия к теореме 1.1.

Построенное решение обладает следующим свойством:

' y'(i) npn0^t<t0,

Ut„ npnt, = t0.

( y2(t) npnt„<t^T.

Итог изложенному в разделе 2.2 подводит

Теорема 2.2 гл. 2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Зададим число Цо G (0,fc-i] и построим по нему составное решение :r(t.) задачи (15). Рассмотрим аналогичную задачу (23) (24) с малым параметром е. Тогда найдется такое е0 > 0, что для любого е Ç (0,5(,) задача (23) (24) имеет классическое решение х((,е) . Это решение определяется дополнительным параметром yi„ G [fr|,0]. П])п каждом фиксированном ytn равномерно но t G [0, Т\ выполняется предельное соотношение

lim x(f,e) = x(t).

В третьем разделе второй главы изучается краевая задача вида

(Р /I

• • ' '''* " ' = /(•'•• i'j-S) + -j;Ji( r- ' (2°)

„, \ . w(0) = Л:, ,n(I) = B\ , , ' (30)

• ■•■--•- • u>(ï/xi)|r=0 =^(?/xl.)|>=i = 0. ,■ (31)

Уравнение четвертого порядка (29) является математическим обобщением уравнения второго порядка, рассмотренного в разделе 2.1. Решение н = ч(х) разыскивается, на отрезке [0.1]. Функция u.-(y) G С (Л')

и обладает следующими свойствами: она строго возрастает при у £ (-oo,y0j U [у0,+оо), у0 > 0; о>(-у0) = w(y0) = 0; внутри отрезка [-Уо,Уо] функция а)(у) непрерывна, немонотонная и ведет себя произвольным образом; кроме того, и>(у) = 0(\y\p~iy) при |у| -4 оо, р > 0. Функции f{t.,x) и д(х,у) предполагаются непрерывными по аргументам х € [0,1], у €Е R1 , а также четными по второму аргументу, так что их можно представить в виде

/(*, у) = fix, |у|); д(х, у) = д(х, |у|). (32)

Благодаря специальному граничному условию (31) эту задачу удается свести к операторному уравнению в пространстве С[(), 1] непрерывных на отрезке [0,1] функций. При дополнительных ограничениях на рост функций fag доказывается разрешимость полученного операторного уравнения. Описываются также функциональные свойства решения.

Вводится замена игх = у, в результате которой задача (29)-(31) распадается на две независимые задачи:

(/): (II):

Решение задачи (II) дается формулой

i

н = А + (В - А)х + /у = А + (В - А)х + J G(x, t,)y{t) dt„ (35)

о

где

G{xJ)-\x(t- 1), 0<«<с<1. (3б)

Обратимся к задаче (I) и введем замену и>(у) = г. Чтобы функция ш(у) стала обратимой, выделим из нее две ветви для у < — у0 , у ^ Уо . Тогда и>(у) становится строго монотонной и однозначно определена обратная функция у = ш~1(г). В новых обозначениях уравнение (33) запишется в виде

d2 Л

—и;(?/)=/(х,у) + -5(х,у);

w(y)U=o=w(y)|,=I =0; (33)

u,x = у; м(0) = А; и{1) = В. (34)

^z = f(x,u>~1 (*)) + ±ф,и>-1М).

(37)

Далее исследуются свойства функций вида 'u> '[«ФОЬ Ялч »того ввод! ся множество Е - {h{x) = [г(г)],- z(j-)' € С(0.1), г(0) = г(1) = 0} и изучаются его особенности. В частности', это нелинейное и метрическое множество. Функции h(x) € Е являются счетно кусочно-непрерывными и \h.(x)\ yo ■ Недостатком множества Е является гот факт, что Е неполно.

Далее вводится оператор ]>( с(.'')) = (;(.г))| й доказывается, что он действует в пространстве Г'[(), 1] и непрерывен. С помощью оператора jt(z) задача (I) принимает вид

= (38)

Решение задачи (38) (39) дается интегральным оператором / , заданным формулой (35):

г - 1{Ях,р(г)) + ¿.7(.г.Мс))] = Лг. ' "' (40)

Доказывается, что оператор А определен как оператор из С[(), t] в С[0,1] и непрерывен.

Чтобы получить теорему существования операторного уравнения (40), накладываются ограничения на рост функций / и у:

\f(j,y) + д(х, у)| < h(x) + , 0 <С ,» < 7>, (4] )

где /((.»•) € С[0,1]. С учетом условия (41) доказывается, что оператор .4 является компактным в С[0,1]. К операторному уравнению ; = Az применяется принцип Шаудера о существовании неподвижной точки оператора и доказывается разрешимость операторного уравнения (40). Введем понятие обобщенного решения.

Определение 2. Пусть г 6 С'[(), 1] есть решение операторного уравнения (40). Назовем обобщенным решением краевой задачи (20) (31) функцию н <Е С[0,1]. иг £ С[0, 1]. игт G Е, связанную с функцией г равенством uj(iitx) — z . При этом краевая задача (29) (31) понимается как операторное уравнение (40). ,,-

Заканчивается раздел 2.3 следующей теоремой.' •

Теорема 3.2 гл. 2. Пусть выполнены.условия (32) и (41) То/ да. задача (29) (31) имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Это решение обладает следующими свойствами гладкости: н, u,.f- Г'[0,1 ] ; и,.,, с /'.' ; тт ) € С [0,1]. При это.и выполнены граничные услогшя (30) и (31).

.овьева H.H. Задача Дирихле для квазилинейного эллиптиче-авнения четвертого порядка г существенным вырождением // К i-ияТулГУ. Математика. Тула, 19%. С.220 231.

2. Соловьева II.H. Об одной краевой задаче для уравнения четвертого порядка со знакопеременным коэффициентом при старшей производной // Диф. уравнения и прикладные задачи. Тула, 1996. С. 31 37.

3. Соловьева H.H. Об одном уравнении третьего порядка с малым параметром при старшей производной // Диф. уравнения и прикладные задачи. Тула, 1997. С. 12 18.

4. Соловьева H.H. О слабых решениях квазилинейных параболических уравнений четвертого порядка с существенным вырождением // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 7-ой межвуз. конф. 28 30 мая 1997г. Ч.З Самара, 1997. С. 7" 79.

5. Лаптев Г.И., Соловьева H.H. Разрешимость квазилинейных параболических уравнений с существенным неявным вырождением // Тезисы докладов Междунар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", 23 27 марта 1998. - С. 139.

!к" ____Тираж ,QQ __зл^ ¿ Ы

Тигшграфмя МЭИ. Крапюказарм^пм.'Т'!