Напряженно-деформированное состояние, колебания и устойчивость быстро вращающихся пространственных элементов машиностроительных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

\ 9 ДПР 1993

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РИС? ПО ДОШЛ НАТКИ И ВЬСШЕЙ ШКОДЫ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Ц1ЕМЕВ НИКОЛАЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

НАПРЯКЕННО-ДЕвОРШРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ, КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ БЫСТРО ВРАЩАЮЩИХСЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАВШОСГРОИГЕПШС КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ дяосэртации на соискание ученой степени доктора технических наук

Пермь - 1993

Работа выполнена на кафедре Динамики к прочности Пермского государственного технического университета

Иаучяка консультанты - доктор технических наук,

профессор й.Е.Трояновсг,;:?;; доктор фй2ш;о-;»;атеглат|-кеак12С наук, профессор ¿'¿.И,карданов

Официальные оппоненты - Заслуженны* деятель науки л

техшаш Р^, доктор технические наук, профессор П.А.Еирхч^; доктор фгзихо-штекатдческах наук, профессор А.С.Кравчук; доктор техшкусизс наук, Бвдущай научны:; еотрудаш: jtj.rl.AnTy поз

Ведущая организация - 1иЛи "АБ7адБ::гатель"

Защита дкссортагаш состоится 1993 х\

в /¡2^?чаоов на засадамиа Саодш&здровддеосо Сошта а нрк Пермском государственной тегллтческо;.'. ¡гшаорейузте со адресу: 514600, г.Перкь, ГСП - ±о, лол.сол^азылих пр., л&а.

С дкосертацие}; ксдаао езиакоииздя в б*бл20т=;ко университета.

Автореферат разослал &.ё1ъ23 г.

/ченьй секретарь Одзгюадятзкрова! ¿оьи.'а, доктор т^икч^ ск...х паук

•г \

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Технический прогресс в современном машиностроении неразрывно связан с повышением надежности и долговечности машин, снижением материалоемкости, уменьшением вибраций в элементах конструкций. Решение этих проблем зависит, в первую очередь, от оценки прочности и вибронапряженности как всей машины, так и ее узлов. Значительное повышение энергонапряженности конструкций и жесткие ограничения по весу приводят к тому, что ответственные элементы и узлы работают вблизи предела прочности и устойчивости. Получение достоверных полей напряжений, деформаций и динамических характеристик конструкций является одним из основных этапов при проектировании новой техники, опытной доводка образцов и совершенствовании существующих изделий. При этом, важен учет особенностей механического поведения, связанный, в одних случаях, с материалом конструкции, в других определяющим фактором является специфика реальных условий эксплуатации, и т.д. Учет всех перечисленных выше моментов в постановке задачи, с одной стороны, диктуется высокими требованиями к конечным результатам расчета, а с другой стороны, существенно повышает математические трудности и сникает эффективность уже• существующих алгоритмов решения статических и динамических задач. Необходим поиск компромиссных вариантов, удовлетворяющих как реальной "физике" задачи, так и позволяющий получить приемлемые по точности, эффективные схемы численной реализации.

Многообразие конструкторских решений и обилие сфер использования машиностроительных конструкций не позволяют создать универсальных методик расчета на прочность, устойчивость и колебания. Для успешного разрешения этой проблемы требуется предварительное выделение класса конструкций, а в нем отдельных узлов, обладающих некоторыми общими признаками. Это могут быть, геометрия, материал изделия, условия эксплуатации и т.д. В результате такого анализа можно целенаправленно создавать эффективные методы прочностного и динамического анализа, ориентированные на определенный круг конструкций и использующие оригинальные разработки в области механики деформированного твердого тела, математического.моделирования, численных методов.

Существующие проблемы оценки динамики и прочности конст-

рукции в полной мере относятся к проектированию аэрокосмичос-кой техники, авиа- и ракетных двигателе;', механических накопителей энергии, электрических машин большой мощности. Элементы перечисленных конструкций работают лри больших температурных градиентах, высоких скоростях вращения, достигающих десятков ти-сот оборотов в минуту, значительных динамических нагрузках. Актуальность статического и дин. мичэского анализа 31йх объектов определяется спецификой их эксплуатации и повышенным»! требованиями к надежности.

Учитывая важную роль предварительного анализа напряженно- деформированного состояния и определения динамических характеристик ответственных конструкций на этапе их проектирования, сложность реальной геометрии :: специфику эксплуатации изделий, можно считать разработку эффективных методов статического и динамического расчета быстро вращающихся элементов машиностроительных конструкций крупной проблемой, имеющей важное народнохозяйственное значение.

Цель работы состоит в создании эффективного расчетного аппарата, позволяющего решать широкий круг задач статики и динамики быстро вращающихся пространственных элементов машиностроительных конструкции.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- построить математическую модель, позволяющую описать специфику динамического поведения Оыстро вращашихоя пространственных упругих тол;

- разработать эффективны:! алгоритм реализации накласси-ческих спектральных задач для матриц-высокого порядка;

- исследовать качественные и количественные характеристики собственного спектра консервативных и неконсерватквных систем применительно к.выделенному классу элементов конструкций;

- создать алгоритм исследования напряженно-деформированного состояния трехмерных упругих тел.

Научная новизна работы. В рамках постановки неконсервативной задачи теории упругой устойчивости рассмотрена динамика осесимметричных упругих тел. Получены оригинальные результаты по устойчивости вращающихся систем в широком диапазоне изменения параметра угловой скорости.

Получены линеаризованные соотношения, учитывающие начальное напряженное состояние, вызванное центробежными яагрузкаш, температурными градиентами и конструктивными особенностями. Решены коыкрзтнш ээдачд со определению спектра собственных частот

с учетом предварительного напряженного состояния и зависимостью физических свойств материала от температуры. Установлены качественные и количественные отличия спектров по сравнении с классической задачей о свободных колебаниях.

Разработаны алгоритмы решения спектральных задач для симметричных и несимметричных матриц, позволяющие! решать частичную проблему собственных значении и определение спектра собственных частот на заданном интервале. Предложена оригинальная процедура отыскания комплексных собственных значений, использующая базис консервативной задачи и эффективные методы решения проблемы собственных значений- метод парабол и метод обратных итераций.

Для трехмерных задач статики разработана процедура метода геометрического погружения и ее конечно- злеме нтная реализацз На его основе решен ряд практически важных задач по определению напряженно-деформированного состояния элементов авиационных квн гателей. Получены новые эффекты распределения напряжений в ре-альннх конструкциях, позволяющие существенно расширить прздета?-ленке о нагруженяоети элементов.

Получены решения новых задач по исследованию собственно спектра акустических колебаний газа в каналах сложной пространственной геометрии.

Достоверность полученных результатов обеспечена строго* математической постановкой и подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости алгоритмов, сопоставлением с сутцвств/-ЭЩими точными' решениями и результатами других авторов, привлек-(шеи независимых экспериментальных исследование. Физическое соответствие модели исследуется на тестовых задачах.

Практическая ценность работы состоит в предложенных ме-дах расчета и реализованных яа их основа алгоритмах л вычислительных программ, которые используются при прсектгрованжя но»л-" техника на этапа прочностного анализа конструкций и их элементов при статических и динамических воздействиях. Всякое при*,* ^ -ное значение имеет установленные факт наличия зон нвустойчипх -ти в зависимости от параметра угловой скорое* к конструкции^-пой жесткости. Заслуживает внимания эффект реетьяого расярер: яея напряжений при использовании трехмерной постановки задау» упругости. Оригинальными являются результаты по яоеяедовав» 1 отических колебаний "в каналах сложной пространственной твоы$г-рш применительно к твердотошгивнш двигателя*.

Работа проводилась в соответствии с Программой совместных НИР УНЦ АН СССР и Минвуза РСФСР на 1981-1985 г.г. / утверждено Минвузом РСФСР 01.08.81 г. /, планом АН СССР научно-технических работ по " Механике деформируемого твердого тела" на 1986-1990 г.г. / 01.10.2.2, 01.10.2.12; письмо ХНО 24-25-251 / 11.01.20 от 29.09.86 /, по программе " Авиационная технология " совместно с АН СССР и Минвузом РСФСР на 1985-1990 г.г.; по хозяйственным договорам и договорам по содружеству с машиностроительными предприятиями г.Перми ; по госбюджетной тематике. Тема диссертационной работы утверждена Ученым советом Пермского политехнического института 27.02.86 г., протокол № 6.

Разработанные программные комплексы, результаты расчетов конкретных конструкций переданы на ряд предприятий и использованы в проектно-конструкторской практике. Экономический эффект составил

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Е,1У,У,У1, 111, УШ, И Всесоюзных зимних школах по механике силосных сред / г.Пермь, 1379,1981,1983,1985,1987,1989,1991/; на ХХ1И,ХХ1У, ХХУ.ХХУ1 научно-технических конференциях Пермского политехнического института / 1983-1986/; УП Всесоюзной конференции по прочности и пластичности /Горький, 1978/; УШ Всесоюзной конференции по прочности и пластичности /Пермь, 1983/; П Всесоюзной конференции "Надежность и долговечность машин и приборов" /Куйбышев, 1984/; 1 Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела /Москва, 1984/; П Всесоюзном симпозиуме -"Устойчивость в механике деформируемого твердого тела" /Калинин, 1986/; на семинаре ЦИАМА по руководством профессора И.А.Биргера /Москва, 1986/; Всесоюзной ш-:ояе-самина-ре "Математическое моделирование в науке и технике" /Пермь, 1986/; Всесоюзной.конференции "Математическое кодэлироьакио тех-яалогических процессов обработки металлов" /Пермь, 1987/; Уральской научно-технической конференции "Геометрическое моделнрова,-вие и начертательная геометрия" /Пермь, 1987/ ХХП и ХШ Совзаом научном совещении по проблемам прочности двигателей /Москва, 1988, 1990/; Ш Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости /Сыктывкар, 1989/; семинаре кафедры упругости МГУ для слушателей Факультета повшения квалификации под руководством чл.-корр. АН СССР А.А.Юшшйна /Москва, 1989/; Всероссийски научно-технической конференции "Математическое моделирование тех-

налогических процессов обработки металлов давлением" /Пермь, 1990/; семинаре кафедры упругости Пермского государственного университета под рук. доктора техн.наук, дроф. Н.Ф.Лебедева /1990,1991/; семинаре кафедры теоретической механики Пермского политехнического института под рук. доктора техн.наук, проф. Ю.Й.'Няткна /1991/; Всесоюзной конференции "Яни советской науки. Секция механики деформируемого твердого тела" /Тула, 1990 /; Си бирехей школе по современным проблема!.! механики дефЬрмируеьгаго твердого тела /Якутск, 1990/; 1 Всесоюзной шкоде-конфэренции "Математическое моделирование в машиностроении" /Куйбышев, 1990. "зудукародче:.! симпозиуме "Моделирование крупномаентабннх структур в механике сплошных сред" /Москва, 1990/; научном семинаре кафедры динамики и прочности машин Пермского государственного технического университета под рук. чл.корр. ТАН РФ, доктора тех. наук, профессора Г .Л. Колмогорова /1992/; научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН под рук. доктора техн.наук, профессора В.Е.Матвеенко /1992/; научном семинара кафедры математического моделирования Пермского государственного .технического университета под рук. доктора физико-математ.наук, проф. П.В.Трусова.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 34 научных работы. Основные результаты и защищаемые положения отражена в 25 работах прзтеденюа в автореферате.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из'введешь сести глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий ' объем работы стр., в том числе ¿¿¿Л. стр. текста, 5стр. рисунков, /(/ стр. таблиц. Список используемой литературы содержит 243 наименований.

С0ДЕРНА1ШЕ РАБОТЫ

Во введения дано обоснование актуальности теми диссертации, содэржится общая характеристика работы и аннотация глав.

В первой глава дается общая постановка задач статики и Д1 аамикп пространственных вращаетросся элементов шдщяосуронтельных гсокструкций. Определяются конкретные объекты иссладованЕЯ среди многообразия конструкторских решений и их реализации на практике Объединение з одной работе вопросов динамики и статики опрадданс тем, что в практике прочностной оценка конструкции эти проблемы неразрывны. С другой стороны, соврекошгш тасленннз методы ана-аиза, основЕваясь нагвариационных постановках задач, погволлят йо единой схеко падать алгебраический аналог исходной задачи.

В разделе динамики а статики приводятся анализ состоянш вопроса и выделяются проблемы, требующие исследования. Б рамках этих задач в обзоре приводятся литературные источники содержащие: в динамике - 1) постановки и реализацию задач о свободных колебаниях о учетом предварительного напряженного состояния, за дач устойчивости для неконсерванивных систем и вынужденных уста -новившихся колебаний, 2) методы решения спектральных задач для симметричных и несимметричных матриц, 3) экспериментальные кос л дования устойчивости вращающихся тел; в статике - 1) методы решения пространственных задач с оценкой их эффективности, 2) экс перимзнтальннв данные о распределении напряжений в сложных црос ■граиственных элементах машиностроительных конструкций.

В первом разделе главы рассмотрена постановка задачи о д нашчесхоы поведении трехмерных, вращающихся упругих тел. Враще ние происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокру оси, совпадавдэй с осью симметрии тела. Основополагающие соотнс

В.В.Болотинш. Учитываются относительные, кориолисовы и центростремительные ускорения, связанные с упругими деформациями тела влияние стационарных внутренних усилий, вызванных действием цен тробежных сил, температурных градиентов, технологическими особенностями. Подлежат определении динамические характеристики си тайн, собственные значения и собственные формы движения, возникающие около стационарного положения, в случае свободных колеба кий,и динамическая реакция системы на внешнее гармоническое воз буэдение в виде амшштудо-частотных характеристик при вынугщен-н2х колебаниях. Другими словами, необходимо определить фуннцкэ-нальнув зависимость возмущений от времени и от частоты внешнего возмущения.

Математическая постановка задачи вхлззчает в себя уравнена

шания и описание динамического поведения подобных систем дано

(1)

»

граничные условия в перемещениях и напряжениях

нелинейные соотношения тензора Коши-Грина

¿ = VII-^иГ] (з)

и физические уравнения связи между энергетическим тензором напряжений и тензором Коши-Грина в форме

№

(4)

где тензор напряжений С "чюрготичоскни тонзор напряжений Q связаны уравнением

■<5 = иг.

(5)

&

а Л— - радиус-вектор точки в деформированном объеме, определенный как

£ - и + .

Се;

У В том случае, если известные функции времени ^ , , ¿(5* в соотношениях (1) и (2) тождественно равны нулю, имеем задачу о свободном движении около стационарного положения, иначе, рассматривается вынужденный режим движения. При исследовании последнего необходимо учесть диссипацию энергии в системе, возможные варианты и подходы к этой проблеме будут оговариваться в соответствующих главах.

Уравнения (1) - (б) , определяющие задачу динамики, являются нелинейными и позволяют учесть начальное напряженное состояние конструкции. —*

Искомый вектор перемещений Ь! может быть представлен в

виде

где и°- вектор^перемещений, определяющий начальное напряженное состояние, у^/ - возмущение вектора перемещений относительно стационарного состояния. Будем считать, что для определения

вектора ¿/"существует достаточное количество прикладных алгоритмов и при решении конкретных задач на них будут сделаны ссылки. Тогда искомой величиной остается вектор возмущений ]%/ .

Во многих случаях, особенно при решении прикладных задач, устойчивость можно исследовать по уравнениям первого приближения, а влияние начального напряженного состояния на динамические характеристики системы установить из решения линеаризованных уравнений движения, этот момент использован в работу при получении линейных соотношений дая определения вектора [¡¿У . Учитывал сказанное, воспользуемся понятиями "устойчивость" или "неустойчивость" в рамках теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В этом случае для вектора можно записать

Се)

где уЭ - комплексное собственное значение, имеющее смысл собственной частоты колебаний или параметра устойчивости, а Ц -является собственной формой колебаний или формой потери устойчивости. В случае вынужденных колебаний в решении (8) р - совпадает с частотой внешнего возмущения, а и - представляет форму установившихся колебаний системы. Для упрощения можно в (8) использовать гармонические функции времени.

Во втором разделе приведена постановка задачи статики для пространственных упругих тел. Система уравнений в перемещениях имеет вид

- /и Ои/-

Соотношения (э) получены с использованием линейных физических соотношений Сю) и соотношений Коши (_11)

<5"» ДЙЕ +2/ч1 , (10)

4 = ;£|>ШТ+ уы]. (и)

В третьем разделе, на основании литературного обзора, проведен анализ возможных вариантов численного исследования динамических и статических задач для пространственных конструкций. Существует достаточное .количество исследований по решению спектральных задач для консервативных систем. Можно отметит*, работы В.И.Мяченкова, В.ПЛ.'.атвеенко, в которых приводятся подробные обзоры. Наиболее эффективными являются процедуры методов обратных итераций и парабол. В нашем случае, при рассмотрении неконсервативных систем, обычные методы расчета собственных частот и форм колебаний не могут быть использованы. Требуется предусмотреть возможные изменения известных подходов и алгоритмов, успешно зарекомендовавшее себя при решении консервативных задач, и дополнить их рядом новых элементов. Таким образом, алгоритм должен быть пригоден для следующей алгебраической задачи

(М+ р[сЬра[м]){5}«0, (12)

матрицы - положительно определенные, симметричные,

[С] - несимметричная матрица.

При решении задач о вынужденных колебаниях диссипация энергии в системе учитывается .введением внутреннего трения с помощью соотношения линейной наследственной вязкоупругости. Основные положения и математические постановки задач по этогу вопросу можно найти в фундаментальных трудах А.А.Ильюшина, Б.Е.Победри, М.А.Ксятунова. В случае установившихся колебаний периодическое решение для таких систем построено И.Е.Трояновским. 3 работах В.П.Майбородн, В.П.?.!атвеекко решены динамические задачи для конкретных конструкций. Согласно указанного подхода решение исходной задачи представляется в виде

где ^ (х.) — собственные формы колебаний соответствующей упругой задачи,- - частное решение, учитывающее неоднородность кинематических и силовыг граничных условий, (-¿) - искомые функции времени. Физические константы в соотношениях (4) или (10,) заменяются линейными интегральными операторами. Использование

решения в виде (13) приводит к системе иятегродиффервнциальных уравнений относительно ^¿("fj .

Рассматриваемые в работе конструкции имеют сложную пространственную геометрию, поэтому и в задачах статики, и в задача динамики возникает общая проблема сведения исходной задачи к ее алгебраическому анапо^у. Кроме того, в задачах динамики процеду ра решения алгебраической системы лежит в основе итерационных методов, последнее означает, что вопрос о построении эффективно го численного метода решения краевой задачи пространственной те рии упругости является одним из ключевых. Метод конечных элемзн тов, по-видимому, наиболее употребителен е современной расчетно практике. С его помощью решено огромное количество задач, созда ны библиотеки универсального программного обеспечения. Отметим работы А.С.Кравчука, В.И.Мяченкова, И.Ф.Образцова, В.П.Матвеенк Однако, эффективность его существенно снижается с быстро увеличивающейся длиной и шириной ленты матриц жесткости и масс при и следовании существенно сложных пространственных конструкций. А в задачах динамики этот момент проявляется наиболее очевидно. П этому вьйор был остановлен на оригинальном методе решения трехмерных задач теории.упругости предложенным И.Н.Шардаковым и теоретически обоснованным им совместно с И.Е.Трояновским. Метод п лучил название - метод геометрического погружения. В сочетанки методом конечных элементов он полностью отвечает требования!-: по тавленных задач. В заключении даются выводы но глава в которых, кроме основных задач статики и динамики, определяется необходимость в разработке и создании вычислительных алгоритмов и программ для решения спектральных задач и совершенствование известных алгоритмов для трехмерных задач упругости.

Вторая глава посвящена разработке, адаптации и тестироьа нию численных методов исследования, которые затем используются работе при решении конкретных задач. В первом разделе приводято. вариационные постановки задач динамики и статики быстро вращающихся пространственных элементов машиностроительных конструкцией В разделе 2.2 приведены основные положения нового метода решения пространственных задач теории упругости, предложенного И.Ы. Шардаковкм и ненашедшего пока широкого освещения в научной литературе. В третьем разделе получены соотношения конечно-элементной реализации метода геометрического погружения для пространственных задач в цилиндрической системе координат. Метод позеоля-

от записать вариационное уравнение задачи в эквивалентной форм

^ ^ Ям

у

где обозначения пределов интегрирования соответствуют введению в рассмотрение новой области более простой геометрии

В нашем случае это тело вращения, занимающее объем , •

бйъем ра&чъного тела, - дополнение исходной области до кан> нической. Компоненты вектора объемных сил задается на ре-

ельнсй .сбластп, - компоненты вектора повархнсстйых сил. В гэяне вариационного уравнения (14) удобно искать методом итераций

X, * - 9 И * ■ '

+М^У + 5 к«; и^во.

V Аг

На яадцой итерашш требуется найти решение уравнения в области V® , что значительно проще, чем в исходной задаче для области V . В работах И.Н.Шардакова и И.Е.Трояновского доказана сходимость итерационной процедуры независимо от степени о-, лзчия ¡7" от р^ .В настоящей работе изложен алгоритм числе лей реализации итерационной процедуры (15,) . Рассматриваемые к< струяцан позволяют использовать в качестве канонической сбласт1 тзла-цпаценЕя, что в свою очередь допускает использование для решения подуаналитического метода конечных элементов. Разлояею з рзд по окружной координате приводит к следующему алгебраичес-ксм7 аналогу варивдшиого уравнения (15) , содержащему // независимых по девой части систем линейных алгебраических уравне-нгЧ /У

В^ЦгП* Ш-«Я

= с?

относительно узловые значений коэффициентов ряда. При этом неос зециыо учесть, что при решенш задач динамика Ееконсэрвативнш

систем и задач статики ш тол, содаданудаос поворотной и винтовой поворотной симметрией, пчобхопгмо ::сяользовагь разложение искомого взктора б виде

где U - симметричны;; нектор перемещений, a U - антисимметричный относительно радиуса tp - О . ?.1етод геометрического погружения позволяет работать с компонентами вектора (¥1) зависящими только от двух координат t и ¿

5 четвертом разделе разрабатываются методы решения спектральных задач для симметричных положительно определенных матриц. Проблема хорогто освещена в литературе и основное вшхмакиз уделено надежности и гйфективности предлагаемых процедур. Б качестве основных методов взбр&ны метод обратных итераций и метод парабол. Для первого сформулированы и доказаны условия сходимости при отксканЕЯ прости и кратных собственных значений.

Предложению попзссд к решению залечи приводит е случае нахождения однократного низкого собственного значения и соответствующего ему собственного вектора к решении следующей линейной системы

(N-wKM){*h-["H«L, Сю)

с нормировкой Еектора ^ОС^на каждой итерации; ^S - сдвиг.

Наиболее тонким моментом в организации вычислений является стратегия выбора'сдвига, поскольку неудачный ее вариант кокет привести к пропуску собственного значения, а выбор схеш oes сдвига дает слишком медленную сходность. В работе предложен следующий вариант: на первом этапе сдеиг равен либо нулю, если вычисляется низшее собственное значение, лиоо предыдущему собст-венков значению до-тех пор, пока не выполнится неравенство

/ о . Mli^Ms f1o\

<Ь где Р ~ ^ ■ s ■ (19)

S - наперед заданная величина равная с ' Fi Rj'

После вшояаеная неравенства (_1Э) отношение Редея используется

з качества порешнн.'-.ч- сдвига г-ч псол-одук^дх итерациях, причем сходимость прсшссс. п?с>" с ••.«;оются кубической. ИсчерпыБЭ-•ито !1г>о;'эдлтцл .-'!(.'■"'.•■'.' :" : УГ'Л^ЗЩ'-И текущего вектора

к У-9 найдонки/. «^ое-.'нтяш секторам {М^ . С помощью различных кужаетоз Екч.:с.ггния сдвига организованы прссядурк методе обрат-гых итераций для решения частотной пройл<?\т ообстг-еяш г. зпаченкй на сг,данном интервале. Дня аежгюнпт о#окти»ностя раз-пеботанккх алгоритмов используется ускорение схачгеюсти, р<?али-зациопнад формула утотллн:'я ¡клголигенил ;д.:еот гмл

("Я,, : " Х,.;) '

где использов-ша симво ■ &<ц>; ,:;>гг> ггротот-телг.ч

лекторов а* • - Л.Г, '.Гу •

Ллт-орктг,' . ' ". ¡г'.С'Ч- : ■ ■• ; ^г: шс'-.-у с "е;-::о-лсл:.^ '. - ..-. . л/. ; -'ьютелл. ¿¿м адг .-

рч-1 ;..а . гребется ¿л 1" ■ ■>. , лсст;лочлу у-^хь

келлкь 09 :л:2Ч<лл.': л.,',/ г /:кл", и л-лелл-: ллл

'.ллл лх ,

В лятсл , л.:абптг. . , - -• г , ,'с.-

для :л . . ; ::-'С1пл гл . л ■ :-

лыэ :л>: лзлпя :: - ллх. . ■ лллл (1.2; Ау^с'.лг^ : ; т• г ^д;л,л л -о& иДмешгиЛ лг с/рн ло;.!лл(лл:л^ ; V -л~лт.л. •:.

ши; с поотодаазл ели,л, . , лак'лллкл ■•■сто:: 1 . >;. V' ;: ¡я о;л лнзапдя вьжгаделпй ,л1л;л_1 Л1тна г.-" ллл.; . ■:л; ш; ■ с ус. л-шел: ортогокалйяоо?;- ллл !;л/;гллдл л.л ,лл ■• г* с.-.,г ---рнч!::1 ч матрица:/; ■■.

15 конце глл:;; лдэлглл: >лл.. :л со . ■ . з:л!сл:: лет-.л ¡лл: -'.гор>гтмо_ д-^тллл'.

Т> твотьаГ ¡».ссгч-.г:. -ик свобод'"'.? кол; осос;«" >':-

Р1ПИЮС тэл с учетов п д л р.-!:1: г - -лтолмгя.

ноарязошннкэ яа,мгл;; 'Т'хлучг-ш ;тз гтг-'г!г,'::а нозмо...'.-::.х

пэромеианнй

• + % Л - /./ • = Л

?|фажек:'я •'ля к^гуял:-".^ рр.бо? определяется соотлоаенкягет

+ 10))]^йо!1Г (22)

и предполагают использование уравнений (^3) и 4 ) . Двд искового вектора , после линеаризации (_21) можно записать

4/(1, г, # -Ь) = О/(г, у) . (23)

На этапе численной реализация вариационное уравнение (21) заменялось конечно-элементным аналогом. Проблема собственных: значений решалась методом обратных итераций о переменный сдвигом и ускорением сходимости. Предполагалось, что напряженнее соо?олн::о конструкции мокет быть вызвано температурными градиентам, центробежными нагрузками, технологическими и конструкторскими ранениями, а такие учитывалось изменение физико-механических свойств материала от температуры. Па рисунке 1 представленн распределения температуря но радиусу исследуемого диска для нескольких м-риантов. Максимальный перепад температур в приведенных расчетах составляет 400вС,- На рисунках 2 и 3 дастся изменение первой собственной частоты колебаний неравномерно нагретого врадетц-гоа.ч диска для различньк гармоник в разложении по угловой координате при вариантах П и 1 температурного режима соответственно. Сравнение производится с собственной частотой колебаний диска при естественном ненапряженном состоянии. Подобные графики в работе построены при учете всех перечисленных выше факторов, дойстэуэ-щих как раздельно, так к в различных сочетании:. Конечные результаты, удобные для использования в конструкторской практике, приведены в таблицах 1 и 2, для соответствующих температурных мов. Результаты расчетов показывают, что учет предварительного напряженного состояния вносит существенные количественные изменения даш низших частот по всем гармоникам. Суммарное действие факторов, обуславливающих напряженное соотоянпз ,моа.ат изменить частоту конструкции в два и белее раз. Особенно ваяно учесть влияние неравномерного температурного поля, способного привести к эффекту потери устойчивости.

Выводы по главе содержат обобщения исследований и практические рекомендации по сценке влияния начального напряженного состояния на дшагшеиио характеристики машиностроительных КОНСЗУ-

РУВДИЙ.

В четвертой главе рассматриваются вопросы динамики неко сервативных систем. Первый раздел иосвяцеи исследованию свобод ных колебаний. Вариационная постановка задачи имеет вид

+ 0Г4 + + и>р. + = " 0 (24)

где кроме выражений (22) присутствует слагаемое обусловленное силами Кориолкса и в случао силового внешнего возбуждения при зшуздэнном режиме виртуальная работа р • Наличке в уравнении (24) слагаемого

¡¿j>C3xU)-Su<Jv; (25)

приводит к необходимости рассмотрения задачи устойчивости. Еол. ограничиться уравнениями первого прЕйлнкзкия, то искомый некто \у/ можно записать в вэде (8) , а конечно-элементный аналог ¿адачн (24) был уже записан в вида (12 ) . При численной реализ; щш использовалась объединенная процедура комплексных методов odpaiiiax нгврацай и парабол. Такая схема реализаций оказалась кадоа5фэк«еивной ;гз-за большой размерности матриц уравнения (12_ для устранения этого недостатка предложен метод разложе-¿ю собственным формам соответствующей коясервзтЕБИой задачи. Последняя, будучи деЗствктельноЗ, существенно npo^j исможи сной. Газлодбние включает линейные комбинации конечного числа шр&ас (¡обогнанных форм колебаний соответствующей упругой задачи без учета вращения

/П

I

[S] --¿L, i<{2h . 'coud-, fee)

- собственные формы колебаний. При учетэ (2S)система (12) преобразуется таг.:

([<']+р[с] + рСп'Щ-о. (р)

Матрицы в (27) имеют размер 2чх2м , их элементы определяются соотношениями

шиш ииитпишшшнлш _ _ _ м i

Ц-Ш-MW;, м'ч* WTCHliiij ,

Примеры расчета представлены на рисунках 4-14 и выполнены для упругих осесимметричных тел в виде диска, рис.4-10, без учета предварительного напряженного состояния, или тел враяекял, рис. 14, при различных граничных условиях, вариант А, вариант 3. На рис. 4-5, 11-13 показано изменение комплексных собственных значений в зависимости от параметра угловой скорости. Сплошная линия соответствует Xт Срк) ■ пунктирная (р^). Ьтеянгз дополнительных сил инерции,- вызванных вращением, по разногу оказывается на изменении собственных значений как в количественно." отношении, так и качественно. Обратимся к рис. 11, те собственные значения, которым соответствуют изгионне формы колебаний, с увеличением угловой скорости могут убывать, оставаясь чисто мнимыми, до тех пор, пока хотя бк одно из них но обратится з нуль. При дальнейшем увеличении СО величина р£ , например, становится действительной и положительной, причем изменение тогзас соб ствешкх значений происходит довольно медленно. Для. собственных форм, имеющих в случае консервативной задачи все три компоненты, закон изменения более сланный. Ка рис. 11 показана шестая частота спектра. С-ростом СО наблюдается эффект раздЕоеьпя частота, пра э*-ом одна из них возрастает другая убывает. Изменяясь колк-чвс тиенно они остаются чисто юмш. Начиная с некоторого значения параметра СО они сближаются, образуя пару комтиеусш-т со'> ственных значений с положительной действительной чйот:г, Сг.тгп:-нальнкм результатом является установление зон в

завпсклости от величины угловой скорости и соотв.-тглячгсг» пов неустойчивости,'статическое , -2к

динамической (рк) > О , 1т (рк)=£ О • 2як«ше менеяия жесткости конструкции за счет вращения на характерны? собственные значения системы приведено на рис. 11—13, Отгечэт, что предварительное надрякенное состояние не изменяет т:ач«сгвон-ной картины а лишь сдвигает зоны неустойчивости ъ ото;о:.у Соль-пих ели кэнывас значений угловой скорости. Веч результаты, за исключением рис. 4, приведены для первой гармоник:: £ разлокендн по угловой координате. На рис. 4 выделен спектр для кулевой гармоники.

Во второй части главк рассматриваются установившиеся ы» нуждениыв колебания систем с учетом вращения. Дкс^пасал энос-гии в материала конструкции учитывается через соотношения линейной наследственной вязкоупругосгн. Для построения рздынля применяется разложение ао собственным форма.',: колебаний упругой задачи. На ркс. 6-10 приведены качзственныз амядитудо-частотные

характеристики системы для различных значении параметра угловой скорости СО , - частота внешнего кинематического возбуждения. На рис. 6-, 7 угловая скорость С)-О и первый рисунок соответствует отсутствию диссипации в материале, второй построен для малой вязкости. 2 первом случае резонансные режимы совпадают с частотами колебаний консервативной системы, во втором наблюдается смещение резонансов за счет вязкости. Диаграммы на рис. 8-10 построены для' системы, вращающейся с угловыми скоростям:: си= 6ЛЯ, 3 с~> = 12.83 с-* , и>= *33 6"сГ^ соответственно. Для первого значения угловой скорости, рис. 8, все собственные значения спектра мнимые, для второго - имеется одно комплексное собственное значение р3 , для третьего - четыре комплексных собственных значения рз ( и р^е • Динамическая реакция системы на внешнее возбуждение в последних диух случаях существенно отличается от классической для консервативной задачи.

В заключении обобщаются результаты по исследованию дина-¡/¿пеского поведения- Ерацающихся конструкций при внешнем гармони. веском Еозбудденки и свободном режиме.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния пространственных упругих конструкций нагруженных центробежным^ сглами. Особенность рассяатквае-мых тел заключается в яоворптяоЯ иякличоско'< симметрии. Типичным объектом является диск авлашюнного двигателя с расположенной на внешнем ободо лопатками. 3 6сль::гннстез случаев плоскость лопатки развернута под угле;,: к ободу, рис. 18, а сами диски выполняются несимметричными, рис. 15, для лучшей компоновки и для использования восстанавливающего эффекта центробежных сил и уменьшения напряжений изгиба. Из вышесказанного следует, что задача является существенно сложной трехмерной. Для решения, используется метод геометрического погружения в конечно-элементной ре-алнзацяи. Разработанный во второй"главе алгоритм применяется для решения ряда тестовых задач, позволяющих установить требуемую степень дискретизации, влияние несимметрия конструкций на конечные численные результаты. Такое предварительное исследование позволило выработать ряд требований к численной процедуре и ко-нэчно-элементней сетке. Затем проведены расчеты большого количества реальных элементов машиностроительных конструкций для установления действительного поля напряжений и деформаций при кагруяении центробежными силами.

В качестве примера на рис. 15-18 приведены расчеты на-пряленно-деформированного состояния авиационного диска XI ступени 40-01-1035 двигателя Д-30 под действием центробежных сил. Характеристики материала: Е = 2Х1011 Па, \) = 0,3, плотность материала диска (J>i = 7800 кг/м^, плотность материала лопаток= 8040 кг/мЗ, число лопаток М = 87, частота вращения диска CJ = 1080 При разложении компонент вектора перемещений в ряд по окружной координате использовалось 8 членов. Итерационный процесс в методе геометрического погружения сходился за 5 итераций. Время счета на ЭВМ ЕС-1060 составило 18 минут. Расчетные напряжения сравнивались с результатами тензсметрпроваяия диска на установке УИР-1 при испытании одиночного вращающегося диска. За исключением датчиков расположенных в месте перехода ступицы в полотно диска, расхождение результатов не превышало 6%. На рис. 15 и 16 приведены данные для радиальных я окружных напряжений, сплосная линия - расчет методом геометрического погружения, пунктирная линия соединяет экспериментальные точки. Места установки датчиков отмечены на схеме. На рис, 17 изолинии радиальных ь окружных напряжений в полотне диска. Напряженно-деформированное состояние дополняется картиной распределения интенсивности напряжений и общей деформацией сечения диска. На ряс. 18 приведено распределение радиальных напряжений в ободе диета, для различных сечении плоскостью у? - CO-isi . Кз графиков видно, что в ободе возя1асает несимметричное напряженное состояние.

В шестой главе диссертации разработанный численный аппарат применяется для решения задачи о собственных акустических колебаниях столба газа в каналах сложной пространственной геометрии рис. 20, 22. Вариационная постановка краевой задачи имеет вид

Jyf.^fdir- D^Sp^dV^O, (29j

V V

гдеX~ приведенная собственная частота, ijr - собст-

венная форма для потенциала скорости. Процедура метода геометрического погружения в сочетании с методом обратных итераций позволяют рассмотреть эти задачи для сложных областей. Тестирование пакета проводилось для области представленной на рис. 19." Затем были рассмотрены задачи для каналов рис. 20 и 22. Для пояснения представленных на рис. 21 и 23 собственных форм налом-

ним, что для тел обладающих циклической симметрией собствшшыо спектры объединены в группы. Например, для канала рис. 20 таких групп три и на рис. 21 приведены собственные формы для основной группы, связанной о числом симметрии - 4. На пис. 22 первая схема канала имеет четыре группы собственных частот, а вторая - два Б качестве иллюстрации ла рис. 23 изображены пятьпервьк форм из первой группы собственного спектра для второй схемы канала.

Применение разработанного алгоритма к проблемам выходящим за рамки механики деформируемого твердого тела показало его универсальность и эффективность при исследования широкого спектра динамических задач в рааяичных разделах механики сплошных сре.

В заключении кратко сформулированы подученные в работе результаты.

В приложениях вннесекы вспомогательные материалы по модел. ним задачам, вариантным исследованиям и акты о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТЛЩ1Й

1. Дана общая постановка динамической задачи для быстро вращающихся трехмерных упруг;« и вязкоупругих тел с учетом предварительного напряженного состояния и неконсервативности систе-иы вызванной вращением.

2. Предложен и обоснован подход к рев'лнизо задачи динамической устойчивости для пространственных упругих элемонтоз маки-ностроительных конструкций на основе линеаризованных уравнений двпкения. Оценка устойчивости проводится на основании теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

3. Разработали и реализованы алгоритмы решения спектральных задач длл «Елатрячнкх и яеск/кэтрдаянх иатрян большой размерности, основанные на процедурах метода обратных итераций и четода парабол. Прздлочюшшй подход позволяет элективно решать проблему комплексных собственных значений и Факторов.

4. Разработан комплекс численных-методов решения задач статики и динамики трехмерных упругих тел с использованием метода конечных элементов для осесиммзтричных конструкций и метода геометрического погружения в случае трехмерных задач. При исследовании динамики указанная последовательность методов применяется Зля численной реализация метода обратных итераций.

5. Получены оригинальные решения задач устойчивости для вращавдихся пространственных элементов машиностроительных конст-

рукций. Рассмотрены режимы свободных и вынужденных установившихся колебаний.

6. Решено большое количество новых задач о напряженно-деформированном состоянии трехмерных упругих элементов машиностроительных конструкций, существенно уточняющих распределение деформаций и напряжении в реальных объектах при их эксплуатации.

7. Получены оригинальные результаты по определению собственного спектра частот при колебаниях газа в каналах сложной пространственной геометрии.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Колтунов М.'А., Трояновский И.К., Стопаненкова Л.П., Шевелев H.A. Об одном методе решения интегральных уравнений применительно к задачам прочности и устойчивости вязкоупругих конструкций // Механика полимеров. - 1978. - ¡е 3. - С. 474-480.

2. Шевелев H.A., Трояновский К.Е. Устойчивость толстых упругих и вязкоупругих плит с учетом конечных деформаций // Тезисы УП Всесоюзной конференции по прочности и пластичности. -Горький, 1978. - С. 18G.

3. Шевелев H.A., Трояновский И.Е., Колтунов М.А. Устойчи-воств гибких пологих оболочек // Краевые задачи теории упругости /I вязкоупругости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980. - С. 38-42.

4. Колтунов М.А., Трояновский U.E., Шевелев H.A. Устой-швость толстых упругих пластин с учетом больших деформаций // Механика эластомеров. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1978. -Г.2. - С. 52-55. '

5. Трояновский И.Е., Шевелев H.A. Применение методов не-шнейного программирования к исследованию собственных значений юсамосопряженных краевых задач механики // Прикладные вопросы деформируемых тел. - Томск: Томский гос. ун-т, 1980. - С. 119-121.

6. Шарддков И.11., Шевелев H.A., Машкин А.Н. Влияние сил Сориолиса на пространственные формы и частоты колебаний осесим-«етричных тел // Тезисы УШ Всесоюзной конференции по прочности и шастичности. - Пермь: АН СССР, 1983. - С. 195.

7. Шевелев H.A. Динамическое поведение осесимметричных •ел с учетом вращения и диссипации // 1 Всесоюзный симпозиум по атематическим методам механики деформируемого твердого тела, 'езисы докладов. - М.: АН СССР, 1984. - С.34.

8. Шардаков И-.Н., Шевелев H.A., Машкин А.Н. Алгебраическая проблема собственных значений для осесимметричных тел с учетом вращения // Деформирование и разрушение. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С.91-93.

9. Шевелев H.A., Шардаков И.Н., Машкин А.Н. Динамическое поведение осесимметричных тел с учетом вращения и диссипации // Тезисы докладов П Всесоюзной конференции "Надежность и долговечность машия и приборов". - Куйбышев, 1984. - С. 235.

10. Шардаков И.h., Шевелев H.A., Машкин А.Н. Динамическая устойчивость трехмерных тел с учетом вращения и диссипации // Тезисы докладов П Всесоюзного симпозиума "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела". - Калинин, 1986. - С. 206-207.

11. Шевелев H.A., Машкин А.Н. Динамическая устойчивость элементов машиностроительных конструкций с учетом вращения // Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике". Тезисы докл.. - Пермь, 1986. - С. 297.

12. Шевелев H.A., Ныхтин Ю.А. Вопросы колебаний и устойчивости осесимметричных элементов авиационных двигателей с учетом вращения и диссипации // Тезисы всесоюзной конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов". - Пермь, 1987. - С. 31.

13. Шардаков И.Н., Шевелев H.A. Особенности динамического, поведения осесимметричных тел с учетом вращения // Материалы II Всесоюзного симпозиума "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела". - Калинин: Калининский гос. ун-т, 1987. - С. 100 - 106.

14. Домбровский И.В., Машкин А.Н., Шардаков И.Н., Шевелев H.A. Свободные колебания вращающихся дисков с учетом предварительного напряженного состояния я сил Кориолиса // ХХП Всесоюзное совещание по проблемам прочности двигателей. Тезисы докл.. -М.: АН СССР, 1988. --С. 86.

15. Домбровский И.В., Шеволев H.A. Исследование свободных колебаний осесимметричных тел с учетом-предварительного напряженного состояния // Ш Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости. Тезисы докладов. - Сыктывкар,' 1989. - С. 60-61.

16. Шардаков H.H., Шевелев H.A. Динамическое поведение осесимметричных тел с учетом вращения // Модели деформирования и разрушения композиционных материалов. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 77-81.

17. Домбровский И.В., Машкин А.Н., Шардаков И.Н., Шевелев

H.A.

Статическое и динамическое исследование элементов авиадвигателей с учетом сложной пространственной геометрии и неконсервативности системы // ХХШ Всесоюзное совещание по проблемам прочности двига телей. Тезисы докл.. - М.: АН СССР, 1990. - С. 43.

18. Трояновский И.Е., Шевелев Н.А. Устойчивость вращающихся упругих и вязкоупругих систем с нерегулируемым числом оборотов // Всероссийская научно-техническая конференция "Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением". Тезисы докладов. - Пермь, 1990. - С. 49.

19. Шевелев Н.А. Вопросы исследования статического и динамического поведения трехмерных элементов машиностроительных конструкций -выполненных из упругих и вязкоупругих материалов // Тезисы докладов Сибирской сколи по современный проблемам механики деформируемого твердого тела. - Якутск, 1990. - С.178.

20. Шевелев Н.А. Математическое моделирование динамики и устойчивости трехмерных элементов авиадвигателей с учетом вращения и диссипации // Математическое моделирование в машиностроении: Тезисы докл. 1 Всесоюзной школы-конференции, секция 2 "Аэрогидромеханика". - Куйбышев, 1990. - С.35.

21. Shardafcov I.N., Shevelev N. A. Acoustic oscillations of gas in three-demensional domains with complex geometrical configuration // Int. Symp. "Generation of large-scale structure in cotinuous media" June 11-20, 1930, Perm-Moscow. Abstructs. Moscow, 1990. p. 217-818.

22. Шевелев Н.А. Статические проблемы и вопросы динамической устойчивости неконсервативных систем с регулируемым числом оборотов // IX Зимняя школа по механике сплошных сред: Тезисы докл.. - Пермь, УНЦ АН СССР, 1991. - С. 182.

23. Трояновский Й.И., Шардаков И.Н., Шевелев Н.А. Проблема собственных значений и форм вращающихся деформируемых конструкций // Прикладная математика и механика. - 1S91. - Т.55, вып. 5. - С. 857-864.

24. Шевелев Н.А., Машкин А.Н. Вопросы численной реализации в динамике осесимметричных дисков // Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. - Пермь, 1989. - С.56-62.

25. Домбровский И.В., Шардаков И.Н., Шевелев Н.А. Исследование свободных колебаний осесимметричных тел с учетом предварительного напряженного состояния // Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. - Пермь, 1989. - С. 62-66.

Рис. 2

Т«4ящ» г

N 0 1 г

Тем ne PA fr "«Pf*»!«; ИАЛ*чи»дния -гот. ♦ ггя

Изменение UCAWA« МП»». Е т. . -М7. - -«г.

Изменение -S*. - ♦ А 7.

CWMMAl*HOe воздействие -37 7. - m * 12 7.

Рис. 3

- 2t') -