Неклассические двучленные спектральные асимптотики для самосопряженных эллиптических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САТАРОВ Ц)ИЙ Генрихович

НЙШСШЧКСКИЕ ДВУЧЛЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ЛЛЯ ШЮСОПРЯЖШШ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

диссертации на соиокчнии ученой степани доктора (¡т.ишку-матекатачогжих наук

/

Л

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА .ЯШИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ " /у

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА (у//'

(Ленинградское отделение)

На правах рукописи УДК 517.9

№\Л(Ь<х}иА л/ 1 ь ?6

от 2ш т

Ленинград

19 «9 (О

У

Работа выполнена в. лаборатории математической физики Ленинградского отделения ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Официальные оппонента: академик АН,СССР В.А.Марченко

доктор (¡"изико-мат ома ти чоских наук А.Б.Венков

доктор физико-математических наук, профессор В.Я.Иврий

Ведущая организация: Институт проблем механики АН СССР

Защита состоится 1990 г. в часов

на заседании специализированного совета Д002.33.04 при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АЛ СССР (Ленинград, наб.р.Фонганки, ц.27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОШ.

Автореферат разослан 1990 г.

Ученый секретарь специализиоованного /у

совета, профессор ^ . А .П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В. диссертации исследуется асимптотика по спектральному параметру функции распределения собственных значений и опектраль-: ной функции эллиптического самосопряженного оператора Д на гладком компактном многообразии М ,«Цт.М- % . ЕслиМ - многообразие без края, то А - классический псевдодифференциальный оператор положительного порядка (ПДО) или система ПДО; если граница Эп $ , то А - дифференциальный оператор (ДО) или система ДО о гладкими коэффициентами о какими-нибудь регулярно эллиптическими самосопряженными краевыми условиями;

От-<£ А - 2. пг > 0 . Оператор А рассматривается в пространстве ( И ) полуплотноотей на М ; это пространство определено инвариантно, что позволяет говорить о самосопряжен-, ности, не вводя на М дополнительной структуры. Можно било бы зафиксировать на М гладкую положительную плотность и рассматривать оператор в пространстве функций; такой подход приводит к тем же результатам.

В работе предполагается, что оператор А полуограничен снизу. Его спектр соотоит из изолированных собственных значений ... , огущащихся к . Далее- - чио-ло собственных значений \ , меньших Л*™" ("функция распределения собственных значений"), е А") - ядро Шварца опектрального проектора Пд ( А ) оператора А , отвечающего интервалу (-0-3, Л2"") ("спектральная функция"). Еоли А -скалярный оператор, Ч^ (з:) _ 0ГО собственные функции (точнее, полуплотности), отвечающие собственным числам А: , го

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Исследование асимптотики функции распределения собственных значений являетоя одной аз центральных задач спектральной теории дифференциальных операторов; первые точные результата по этой теме были получены еще Г.Вейлем в 1911 г. В 1935 г. Т.Каряеман для ДО второго по-

рядка и в 1953 г. Л.Гординг для ДО выоокого порядка доказали формулу N М ~ СвЯ"- , Я + ~ , где с0= S АаАг,

е »

А = А С^,?) - главный символ оператора А • Л.Хорман-дер в 60-х годах (для оператора на многообразии без края) и Р.Сили, В.Я.Иврий и Д.Г.Васильов в 1970-80 г.г. (для оператора на многообразии о краем) нашли точную по порядку оценку остатка в этой формуле: A'ftV ООЛ"1) , * — 00 . Аналогичный результат бил получен для скалярного ПДО на многообразии боз края, а также для систем ДО и ПДО; в последнем случае 4% - £ 1ъА («,? •, О d х <1 ^ , где rvA (х, 5 ? * ) -функция распределения собственных значений матрици А

В работах Т.Карломана (1935 г.) и Л.Гординга (1953 г.) исследовалась и асимптотика спектральной функции. Позднее (в 1950-60 г.г.) Б.М.Левитан и Л.Хермандор уточнили их результаты, доказав для скалярного ДО или ПДО асимптотические формулы

е(х ОРТ1),*/ ЭМ^ОО- У

Эти формулы равномерны по ж и ^ на компактных отрого внутренних подмножествах И и Мх Н .(В.М.Пабич и Б.М.Левитан в 1976 г. и В.Я.Иврий в 1984 г. получили для спектральной функции асимптотические формулы, равномерные вплоть до границы.)

Приведетшо выше одночленные асикптотиче ские формулы но требуют никаких дополнительных ограничений на опоратор А . Однако, эти формулы на позволяют судить о том, насколько равномерно распределен спектр оператора на вещественной оси. Они верны, например, и для оператора Лапласа на торе, собственные значения которого распределены относительно равномерно, и дум оператора Лапласа на сфере, спектр которого состоит из редких собственных значешш высокой кратности (порядка

0(VW) ). В связи с этим естественно возникает вопрос о втором члене спектральной'асимптотики. Для оператора Лапласа в области гипотеза о существовании второго члена

асимптотики Мы вида С. Л (где Ct = corts! ) выока-зывалаоь еще Г.Вейлем. С другой стороны, хорошо извеотно.что для некоторых операторов (например, для оператора Лапласа на сфере) двучленная асимптотическая формула со вторил членом вида Cj Л"'*1 заведомо неверна. Обычно это связано о том, что в спектре оператора А имеютоя клаотеры - отягивао-

щиося при % -* + 00 группы собственных значений аномально высокой оуммарной кратности.

Как выяснилось в последние годы, существование второго члена асимптотики /Vдля скалярного оператора А зависит от свойств гамильтоновых (на многообразии с краем - биллиардных) траекторий, порожденных гамильтонианом(A0)1/íl"Y£,f). Если мера множества точек М , чорез которые про-

ходят периодические траектории, равна нули, то

AVl-Co^cX"1 + 0 (л*-1), а-»*00, (I)..

для оператора на многообразии без края (Дж.Дейстермаат и В. Гийемин, 1975 г.) для ДО второго порядка на многообразии о краем (В.Я.Иврий, 1980 г.) и, при некотором дополнительном ограничении, для ДО высокого порядка на многообразии.о краем (Д.Г.Ваоильев, 1983 г.). Аналогичные результаты установлены и для оистем ДО и ПДО при условии постоянства кратности собственных значений главного символа А . Во всех этих задачах, за исключением оистем ПДО на многообразии без края, получены простые формула для вычисления коэффициента Cj (для систем 1ЦЮ такая формула выводитоя в диссертации). В частности, для ДО и систем ДО на многообразии боз края С, = 0 ; для оператора Лапласа на многообразии о краем с,= (2 зг") 1~п *

íAv-i ио £ 3 М при краевом условии Дирихле (-) или Неймана (+), где CO^.j - объем едшшчного шара в (R, ; для скалярного гию на многообразии без края

{A4l}

где Хи. & А - субглавный символ оператора А .

Случай, когда мера множества "периодических"точек из Т* И отлична от нуля, изучен значительно менее полно; ранее подробно исследовались лишь некоторые специальные задачи, в которых имоет кластерную асимптотику. В диссертации выводятся двучленные асимптотические формулы для А'/л), которые верны без условия малости множества периодических траекторий. В известном омысле эти результаты завершают исследования двучленной асимптотики N) для скалярного ИДО и ДО второго порядка.

Еще меньше было известно об асимптотике спектральной функции оператора на компактном многообразии; более точные (чем с О ) формулы были получены.лишь для некоторых опе-

раторов в (Я (В.С.Буслаев, 1971 г., Г.С.Попов и М.А.Шубин, 1983 г., Б.Р.Вайнберг, 1983 г.). В диссертации, как и для • А/('л4) , ддя спектральной функции доказываются асимптотические формулы с остатком оСА*"-1').

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - найти аоимптотику функции распределения соб-"сгвенних значений без условия малости множества перио-

дических биллиардных (гамильтоновых) траекторий и асимптотику спектральной функции е (ос, ^ Л ) с точностью до о (ап" 1).

МЕТОЛУ ИССЛЕДОВАНИЯ. Используется введенный Б.М.Левитаном метод волнового уравнения и теория интегральных операторов Фурье.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты.

I) Ддя функции распределения.собственных значений скалярного ПДО на многообразии без края и ДО второго порядка на многообразии с краем без дополнительных предположений о биллиардных (гамильтоновых) траекториях доказана двучленная асимптотическая формула с остатком о 1) . Эта формула представляет собой двустороннее неравенство, содержащее положительный _ параметр, который может быть сделан сколь угодно малым. С ее помощью описаны все возможные варианты поведения М(Я) при д —* со . '

2) При некоторых дополнительных ограничениях аналогичное неравенство доказано для ДО высокого порядка на многообразии с краем и для систем ДО и ПДО.

3) Для скалярного ПДО на многообразии без края,; для ДО второго порядка и для некоторых ДО высокого порядка на многообразии с краем найдена асимптотика спектральной функции о точностью до о (Л*"1 ) . Показано, что в "неоообых" точках многообразия И для & (х.х-, х} верна двучленная асимптотическая формула оо вторым членом вида , и

е (x,ij о(Лп'' ) при .В "особых" ("фокуоных")

точках при некоторых дополнительных ограничениях для е (х ? х; Л) получена двусторонняя оценка того же вида, что и для /*/(*) , для е (x.i^A) ^ - выделен первый член

асимптотики (порядка ). На многообразии без края

двусторонняя оценка для в (лс^зс-А) доказана бэз дополнительных предположений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦШНОСТЬ. Результаты- работы могут бить использованы для решения прямых и обратных задач спектральной теории дифференциальных операторов.

АПРОБАЦИЯ РАШШ. Результаты работы докладывались на международных конференциях по математической физике (Хольцхау, ГДР, IS88 г.; Варна, НРБ, 1989 г.), на XI и Х1У Всесоюзных школах по теории операторов (Миасс, 1986 г.; Новгород, 1989г.), на Воронежской зимней математической школе (1988 г.), на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества (Москва, 1985 г.), на научных семинарах в Ленинградском отделении Математического института АН СССР, Московском государственном университете, Легошградс-ком государственном университете, Харьковском государственном университете, Институте проблем механики АН СССР, в Институте математики и в Институте ядерных исследований Болгарской Академии наук, в университетах г.Лунда и г.Линчегшига (Швеция).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ i-ioj .

СТРУКТУРА РАБОТУ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы и кратко излагается содержание диссертации. Здесь же вводятся основные обозначения.

Первая глава посвящена изложению результатов .диссертации.

В § I дается определение гамильтоновнх биллиардов и обсуждается их "физический смысл". Пусть h^Lx,?)*... < к ? (я, 5 ) - гладкие при 1Ф о положительно однородные отепени I по переменной J функции на кокасательном расслоении Т* М ("гамильтонианы">, ki(x,Т) > О при . Обозначим чорез Т? , j - й,,.. t % порожденные ими гамильтонош потоки. Пусть дМ * Д . Выберем в окрестности.границы dN координаты» ( хх„), х'- ( xt ,.-х„.х) так, что Xi > о в И n о>М , Xj- о на 2М , ос' - координаты на с> М . Предположим, что траектория потока в момент времени t= to* 0 попадает на границу в точку (z',0, j'l„)} Sto /ij (а-; о, l',In) < 0 и ПРИ некотором : * г

l«j Г=

to tx\o, j',j n) >0 • Тогда траектории по-

тока f!- , выпущенная из точки ('х \ о, 77п ) в момент времени t0\ называется отраженной. Условия sLyn t0 hj <0 и Sign t„ I-! ■ > о означают, что приходящая и отраженная траектории трансверсальны к границе; такое отражение называют трансверсалыгш. Каждой приходящей к границе траектории отвечает, вообще говоря, несколько отраженных, т.е. траектории могут разветвлятьоя ка границе. В диссертации при дМ

pi рассматриваются лишь гамильтонианы Ь- , для которых существует натуральное число m такое, что каждой приходящей траектории отвечает не более •гш отраженных.

Биллиардной, траекторией называется совокупность траекторий потоков f J , полученных друг из друга последовательными трансвороальными отражениям. Биллиардная траектория парамет-

ризуется временем^ ; будем обозначать траекторию о началом в точко (чл>Т*М через (^(^г),!*^, 1)) . При этом, рассматривая конечнозвенные траектории, будем подразумевать, что хг и * гладко зависят от при

ЗсУ- ЗМ • Отметим, что из-за ветвления на граница множество траекторий, выходящий из фиксированной точки • в общем случае несчетно.

Чаотными случаями гамильтонова биллиард: являются гамиль-тонов поток на многообразии без края и геодезический биллиард на римановш многообразии о краем (в обоих случаях Ъ = 1 ; во втором случае 1ц =£2 ^ 1 ^ » ГД0

[^'(ас)} - метрический тензор).

Биллиардная траектория О^^Д* (4'>у1) ) назывяатоя тупиковой, если за конечное время она бесконечное чиоло раз отражается от границы, и абоолютно Т -периодической, если (в какой-нибудь локальной системе координат) функция

Г+ |тт(5л)-г I1

переменных (у , имеет нуль бесконечного порядка в точке ($>'Ъ)-(Ч''Ъ) ' "азовем точку тупиковой (абссшзтно периодической), если из нее выходит хотя бы одна тупиковая (абсолютно Т -периодичеокая с Т=£0 ) биллиардная траектория^ обозначим через П множество абсолютно периодичоокнх точек.

Пуоть г= 1 . Говорят, что гамильтонов биллиард, порой.ен-1шй гшлильтонианом к (= Ь^) , удовлетворяет условию простого отражения, если любой трановероальнай приходящей к границе траектории отвечает не более одной трановерсально отраженной. Если выполнено условие простого отражения, то мера множества тупиковых точек в Т* И равна нулю, и на множестве полной меры в т*м определен биллпардный поток Ф . Условие простого отражения выполнено, например, для гооцозичео-кого биллиарда.

Гамильтоновы биллиарда возникают при исследовании особен-

ноогей ядра Шварца оператора е яр (- II /л где А - сис-

тема ДО (на многообразии без края - ПДО); роль играют (5 т)"'-не степени собственных значений главного символа (■х/1) .В физически осмысленных ситуациях ядро Шварца оператора еоср (-¿t А*/2>п)- это фундаментальное решение нестационарной задачи, описывающей какой-нибудь волновой процесс, и тогда се* - это траектории, по которым (в первом приближении) распространяются волны. При отражении от границы полна модог расщепляться; при этом расщепляется и переносимая но ней энергия. В первом приближении распределение энергии по отраженным траекториям описывается "матрицей рассеяния" -унитарной матрицей, которая переводит вектор, составленный из Амплитуд приходящих к границе волн, в вектор, составленный из амплитуд отраженных волн (точное определение матрицы рассеяния приведено, например, в [77; ранее в связи со спектральными асимптотиками ата матрица рассматривалась в работах Д.Г. Васильева). Когда А - скалярный ДО и выполнено условие простого отражено, "матрица рассеяния" - это просто комплексное число вида а)б Ц?1 ; в этом случае при отражении

происходит одвиг фазы на величину ио . Из оптики известно, что для оператора Лапласа ио - ']Т при краевом условии Дирихле, и и)-о при уоловии Неймана.

В § 2 формулируются следующие результаты об асимптотике

Пусть вначале А - скалярный ПДО на многообразии без края или скалярный ДО на многообразии с кроем такой, что га-ишьтонов биллиард, пороаденный гамильтонианом К - (А°)4/2т удовлетворяет условию простого отражений. Для (4,4) е П" обозначим через Т„ (4,4) минимальный положительный период траектории ( хгСу,у), , через - замкнутую траекторию Схг(у1>р/ , * 71 (у,^) . Пусть Л. г - ивдекс Маслова траектории *)с(у,>2) -; в оптике ^ с интерпретируется как одвиг фазы, 'вызванный прохождением траектории Г через каустики. Положим •

ГМ

эту величину естественно называть сдвигом фазы на траектории Р , порожденным субглавным символом. Наконец, (для многообразия с краем) обозначим через с)г (^,<1) суммарный сдвиг фазы на траектории Г , вызванный ее отражениями от границы.

Пусть + + -полный

сдвиг фазы на траектории (если Зп = р5 , то

q=C|c + t)s ). Положим П^=> П^П ,

t

где [ • - вычет по модули Z1C (т.е.

ке 2 (в диссертации доказывается,что

множество П0, и функции Т0 , , заданные на П*- . , изиеримы). функция Q. непрерывна олева и ограничена. Если Te(Vll)-T-C0Rrt для почти всех , то онаZ%T -

-периодична, и ее интеграл по периоду равен нулю,

ТЕОРЖА I. Пусть А - скалярный ПДО на многообразии без края или А - окалярньгй ДО на многообразии о краем, для которого выполнено условие простого отражения. Тогда дум любого £ > о при Л -* -»-

СХ+ С,*

^ УГМ £ (2)

s с0 + М*1-"1 + dfA+eK*1 W^"1),

где Cj - та же константа, что и в (I); 0(Л*"1) в (2) зависит, вообще говоря, от £ .

Оценка (2) а точности означает, что графики функций (Л^V) )1/п" и (сХ+ С1А"-ч.+ а(МЯ'1",)'/'1 сходятся при Л + 00 . .

В силу теоремы I характер аоимптотики определяется

фуш<цией а ('Х4). Если, например, 0. ("Х") равномерно непрерывна на , то из (2) ввиду произвольности £ вытекает

+0 +о (л*"1). (3)

В частности, когда 0 = 0 , верна обычная войлевская формула (I). Это заведомо так, когда мера множества П равна нулю, однако, обратное утверждение уже неверно (см. ниже). Если функция 0, (л) имеет разрывы в точках + оо „

|а(>. + 0)-й(^,-О)|>ае>0 , то вокруг точекобразуются кластеры: оущеотвует положительная последовательность с —о такая, что

Пусть теперь А - система ДО на многообразии о краем или система ПДО на многообразии без края. Предположим, что ообст-. вцашо значения СЬ^сс,^) главного символа А(эсД) имеют постоянную кратность при у о . Рассмотрим гамильтонов биллиард (на многообразии без края - набор гамильтоиовых потоков), порожденный гамильтонианами = . Пусть Лг - множество точек из Т* Г^ , через которые проходе абсолютно Т -периодические биллиардные (гамильтоновы) траектории. Введем

УСЛОВИЕ I. Существует счетное не имеющее точек сгущения

на конечном раоотоянии множество периодов Ц1 такое, что мера

множества и П-, равна нулю. Т 4 Т т

В диссертации доказана

ТЕОРЗЛА 2. Пусть выполнено условие I и (для многообразия с краем) мера множества тупиковых точек в Т*М равна ну-

лю. Тогда существует ограниченная непрерывная слева фикция (2 (л) такая, что для любого £ >0 выполнено (2). 4унвд« 01 (Л) вычисляется по главному и оубглавному символу оператора А и по главным символам дифференциальных операторов, входящих в краевые условия. Она обладает следующими свойствами: I) для всех А>0 существуют пределы 0,(Л + о) и (1(а* <0-G.fr-о")0 ; 2) если (в част-

ности, если Т достаточно мало), то

о

3) если

• для некоторого I > 0 , то функция 0, ХхТ ^периодична и ее интеграл по периоду равен нулю.

В диссертации приведен алгоритм вычисления функции Щ*) Оно сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль периодических биллиардных траекторий. В точках отражения траекторий от границы для этих дифференциальных уравнений возникают граничные "условия перехода", которые определяются матрицей рассеяния. .

Теорема 2 остается в силе и для операторов А , действун»-щих в пространствах сечений эрмитовых векторных расолоений над многообразием М .

В § 3 формулируются результаты об асимптотике спектральной функции. Предполагается, что А - либо скалярный ПДО на многообразии без края, либо окалярный ДО на многообразии с краем с условием отражения; во втором случав асимптотика исследуется лишь в строго внутренних точках. Вмеото е (Ц у; л) рассматривается более общий объект - функция (точнее, полуплотность)

(М & = х («Л)/^. е Н ,

где X и ^ - ГЩО порад.а ¿Д, > 1- (V , действующие в пространстве полуплотноотей на И (когда 3 И т4 0 , очитает-ся, что полные оимволы и £ обращаются в нуль в окреотнооти граншда). Эта функция представляет собой ядро Шварца оператора хПдГл)^ .

Точка « е П называется регулярной, есл1. для почти воех ^^ТуМ траектории (^(^Ч), ^ (4,4)) определены для всех "Ье и (на многообразии о краем) трансверсаль-ны к границе. На многообразии без края все точки регулярны; на многообразии о краем это, вообще говоря, не так. Обозначим 'через 5? ^,0с множество направлений ^ е = 1 \ » для которых траектория эе.*(у(»2 ) через какое-то время уф 0 попадает в точку ос . Точка ^ называется фокусной, еоли мера множества в М отлична от нуля;

точки а и 1} называются взаимно фокусными, еоли отлична от нуля мера множества ^ ,х (в этом случае но равна нулю и мера множества )•

ТЕОРЕМА 3. Пусть К - строго внутренний компакт в М , но содержащий нерегулярных и фокусных точек. Тогда равномерно 110 ЖбК

- " ОО

, .. „ п.-*«.-! л 1 \

где

]ЬС и Бч&р _ главные и субглавные оимволы опе-

раторов ¿Сир

ТЕОРЯЛА 4. Пусть Ко - строго внутренний не пересекающийся с диагональю компакт в М*М такой, что для всех (се, К0 выполняются следующие три уоловия: I) точки х и регулярш; 2) точки х и не являются в заюлю фокусными; 3) хотя бы одна из точек X и не является фокусной. Тогда равномерно по К„

'^'(МЛ-0^")-

ТЕОРЕМА 5. Пусть ос Ф 3 М - фиксированная регулярная точка. Тогда существует ограниченная непрерывная слева функция 'О • зависящая только от А^и.^ А,

} р и главных символов ДО, входящих в краевые условия, такая, что при любом £ ? О выполняется оценка (2) о

вмеото /'М^Л^АО. ' ,г

ТЕОРЕМА 6. Пусть хф ЗМ, Ж - фиксированные регулярные точки, ^ , и хотя бы одна из этих точек не является фокусной. Тогда существует равномерно непрерывная на ^ функция , зависящая только от А'эибА,

, $ и главных символов ДО, входящих в краевые условия, такая, что

В дисоортации приводится алгоритм вычисления функций О-х ь(X U Л) и Ûx р (X'j Я) . Они определяются функция-ии "

X* (г >«{iti•• ¿(w ) - *, 11 > о} э ■

Тд. ($)=Т х ) и некоторыми частично изометрическими оператора^ V*- /ч U* = • Отметим, что в нефокусных регулярных точках асимптотика ех ^ о точностью до ) зависит лшь от локальных характеристик оператора А (в частности, но зависит от краевых условий), тогда как в фокусных точках ста асимптотика определяется и некоторыми глобальными объектами (и может зависеть от краевых уоловий). .,

Так же, как и для N, когда Функция L^fc; X4) равномерно непрерывна на Я t , из двусторонней оценки для

eJ-,f> » ^ '> ^ ) вытекает "квазивойлевская" формула вида (3). Аналогично вводится й понятие кластерной асимптотики.

В § 4 приводятся примеры и формулируются слодотв1ш из результатов §§ 2,3. Упомянем вкратцо о некоторых из та.

1) Коли в условиях теоремы I (например, когца А - ДО второго порядка) в спектре оператора А имеются лакуны -уходящая на + 00 последовательность интервалов фиксированной длины, не содержащих собственных значений, то П*- |А°

с точностью до множеотва нуловой моры.

2) Если в условиях теореш I в спектре опора то pu А ' имеются клаоторы (существуют последовательности уил

и 5К -» О , для которых выполнено (4)), то мери мжокоства П" отлична от нуля; mes П* ъ ( &r)"~Jn~' г

3) Пусть M - трехмерная сфера 53 , Л - оператор Лапласа на S3 . Существует самосопряженный ДО первого порядка

^ такой, что дуй оператора А - - л <- верка всйлодская формула (I) (хотя в этом случае все траектории ( х*,периодичны) .

4) Для (Энгармонического оператора /I на полусфере

с краевыми условиями Дирихле верна квазивейлевокал форчула (3) о равномерно непрер1шюй функцией О. (л).

5) Функция распределения собственных значений системы плоской теории упругости на полусфере -S* о краевыми условиями Дирихле имоог кластеру» асимптотику.

G) Функция е (-х / .г ; л) для оператора Лапласа в двумерном эллипсе с краевим условием Дирихле пли Неймана имеет вейловскую асимптотику вида (5) (о Сл (ос) - о ) во всех внутрешшх точках х за исключением фокусов. Если эллипс не является кругом, то в фокусах для верна квази-

войлсвская формула вида (3) о равномерно непрерывной (по Л ) функцией Q(x;*) ; в центре круга имеет

кластерную асимптотику.

В § 5 приводится план доказательства ооновшх результатов диссертации. Метод волнового уравнения основан на изучении особешюотсй ядер Шварца ии (г,У ; t) операторов

expí-Uñ"*") jp* (где ¿I и / - ПДО на М ) и оледа 6Г (t)- Тг боср (-¿ t AI,ím) . Зная эти оообеннооти, можно найти

асимптотику сверток

для всех С -функций (> таких, что с

СГ(й')

. Асимптотика -V('a) и Cjj ¿x/j • л) восстанавливается после этого с помощью следуидей тауберовой теоремы. ^

ТЕОРША. Пусть j> - неотрицательная четная С -функция, у>(Т)>0 при IT/tí, fcC^ífi?1); <?s(T) = í € ( 0 i . Пусть if}) - неубывасцая функция не болео чем степенного pocia такая, что <=■ const

+■ l) , tf > О • Тогда для всех £ е (О, i]

(?* Г)(*-£) - С(?(£*еУ'1мг+1) * Е(я)<

6 ($* В) (а + О ■ + С

где конотанта С не зависит от £ и (Г .

В главе П строится представление обобщенной функции U.j р (ПРИ некоторых ограничениях на U к ß ) в

виде суммы лагранжевых распределений и выводятся уравнения для главных символов этих распределений. Новыми здесь являются уравнения для главных оимволов в случае, когда А - сио-тома ДО или ПДО.

В главе Ш исследуютоя особенности этих лагранжевых рао-пределений (как обобщенных функций переменной t ) и их следов. Затем с помощью тауберовой теоремы доказываются основные результаты диосертации. Отметим, что "вейлевские" коэффициенты в (I), (5) определяются особенностями обобщенных функций (> и U j р (х, у; •) в точке t = о , а функция Ü возникает иэ-за ненулевых особенностей. Особенности при £ 'О изучались в работах Л.Хермандера, В.Я.Иврия и др.; полученные в диосертации формулы дая ненулевых особенностей ранее не были известны. В конце главы приводятся доказательства результатов § 4.

Публикации по томе диосертации

1. Сафаров Ю.Г. Асимптотика спектра поевдодифференцнального оператора с периодическими бихарактеристиками // Зап. научн.оемин.ЛОМИ. - I986.-T.I52.-C.94-I04.

2. Сафаров Ю.Г. Дифференциальные операторы с нестандартным вторым членом асимптотики дискретного опектра // XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. 4.1.- Челябинск,1986.-С.Ш.

3. safarov Yu.G. On the second terra of the spectral asynpto-tics of the transmission problem // Acta Appl.Math.-1987.-V.1Ü.-P.101-130.

4. Сатаров Ю.Г. Асимптотика спектра краевой задачи о периодическими биллиардными траекториями // Функц. анализ и его прил.- 1987.-Т.21, вып.4.-С.90-92.

5. Сафаров Ю.Г. О средних Рисса функции распределения собственных значений эллиптического оператора // Зап.научн.се-мин.ЛСЯЛИ,-1987,-Т. 163.-С. 143-145.

6. Гуреев Т.Е., Сафаров Ю.Г. Точная асимптотика спектра оператора Лапласа на многообразии о периодическими геодезическими // Труды ГЛИАН СССР.-I988.-T. 179.-С.36-53.

7. Сафаров Ю.Г. Точная асимптотика спектра краевой задачи и периодические биллиарды // Изв. АН СССР. Серия матем.-1988. -Т.52, Л 6.-C.I230-I25I.

8. Сафаров Ю.Г. Асимптотика спектральной функции полозотельно-го эллиптического оператора без уоловия неловушечнооти // Функц.анализ и его пркл.-1988.-Т.22, вип.3.-с.53-65.

9. Васильев Д.Г., Сафаров Ю.Г. Ветвящиеся гамильтоновы биллиарды // Докл. АН CCCP.-I988.-T.30I, № 2.-С.271-275.

10. Safarov Yu.G. Non-classical two-term spectral asymptotics // Symp. "Part.Diff.Equ." Holzhau, 1988. Teubner Texte zur Math.-1989.-V.112.-P.250-258.

РТП ЛИШ>,зак.й86,тирЛ00;уч.-изд.л.1; I8/IX-I989r. ,M-4050I

Бесплатно