Некоторые конструкции фактор-групп и колец для гиперболических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

л

Iх.

»Л,

Л МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.543

СЕМЕНОВ ВРЙИ СТАНИСЛАВОВИЧ

Некоторые конструкции фактор-групп и колец для гиперболических групп

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю.Ольшанский. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Р.И.Григорчук, кандидат физико-математических наук, доцент А.'Н.Красильников. Ведущая организация - Киевский.университет им. Т.Шевченко.

Защита диссертации состоится "¿К: р&^/С&Лл 1995 г. 'в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-03.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 эта» ).

Автореферат разослан " 1995

г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена изучению двух конструкций, связанных с гиперболическими группами в смысле М.Громова. Класс таких групп достаточно широк: он включает в себя конечные группы, конечно порожденные свободные группы, дискретные кокомпактные группы движений л-мерного пространства Лобачевского, фундаментальные группы компактных римановых многообразий со строго отрицательной секционной кривизной, многие группы с малым сокращением.

Последние годы класс гиперболических групп активно исследуется. В [1] М.Громов предложил несколько схем, позволяющих строить бесконечные периодические фактор группы гиперболических групп, а также бесконечные фактор-группы, все собственные подгруппы которых являются циклическими.

Интерес к вопросу существования таких фактор-групп вызван известными проблемами Бернсайда и Тарского. Общую (неограниченную) проблему Бернсайда можно сформулировать следующим образом: верно ли, что всякая периодическая группа, порожденная конечным множеством элементов, конечна? В 1964 году Е.С.Голоду ([2]) удалось построить примеры бесконечных конечно порожденных р-групп. В дальнейшем ряд других

[1] M.Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory (S.M.Gersten ed.), Springer-Verlag, 1937, pp.75-263. 12) Голод E.C. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах. Изв. АН СССР. Сер.мат. 28 (1964) п.2, с.273-276.

примеров появился в работах С.В.Алешина [31, Р.И.Григорчука [4], В.И.Сущанского [51 и других авторов. В 1968 г. вышла серия фундаментальных работ П.С.Новикова и С.И.Адяна [61, где на основании индуктивного метода классификации периодических слов было получено отрицательное решение проблемы для класса конечно порожденных групп с тождеством х"=1 при любых нечетных показателях п*4381. Проблема Тарского - существуют ли бесконечные группы, все собственные подгруппы которых имеют простой порядок р - была положительно решена А.Ю.Ольшанским [7].

Обе проблемы могут быть сформулированы как проблемы существования соответствующих фактор-труп1- свободных групп. В этом смысле схемы Громова показывают близость гиперболических групп к свободным. Однако эти схемы, с одной стороны, требовали некоторых уточнений и детального завершения ( А.Ю.Ольшанский предложил такие

[3] Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Берясайда о периодических группах. Мат.заметки, 11 (1971) п.З, с.319-328.

[4] Григорчук Р.И. О проблеме Берясайда о периодических группах Функцион. анализ и его прилож. 14 (1981) л.1, с.53-54.

[5] Сущанский В.И. Периодические p-rpj :пы подстановок я неограниченная проблема Бернсайда. ДАН СССР, 247 (1979)" п.З, с.557-560.

[6] Новиков С.П., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. 1,11,III. Изв. АН СССР. Сер.мат. 32 (1968) л.1, с.212-244, п.2, с.521-524, п.З, с.709-731.

171 Ольшанский A.D. Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка. Алгебра и логика, 21 (1982) п.5, с.553-618.

уточнения в [8]), а с другой стороны, что весьма существенно, они не позволяли равномерно ограничить порядки элементов в периодических фактор-группах.

В работе [9] А.Ю.Ольшанский показал, что у любой неэлементарной (т.е. не почти циклической ) гиперболической группы б, почти не имеющей кручения, существует бесконечная фактор-группа, которая имеет достаточно большую нечетную экспоненту п=п(0 . Таким образом, каких-либо принципиальных препятствий к равномерному ограничению порядков элементов в бесконечных периодических фактор-группах гиперболических групп не оказалось. Возник вопрос, а можно ли построить бесконечные фактор-группы нециклической гиперболической группы, все собственные подгруппы которых являются циклическими группами ограниченного периода, т.е. реыить аналог проблемы Тарского для гиперболических групп.

На гиперболические группы переносятся и другие известные проблемы, поставленные для свободных групп. К их числу относится и гипотеза X. Нейман о максимальном ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы.

Гипотеза Х.Нейман первоначально была сформулирована в

[8] A.Yu.Ol'shanskii. On residual'ing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups. Inter.Journal of Algebra and Comput., n.4 ( 1993 ), v.3, 365-409.

[9] Ольшанский А.Ю. Периодические фактор-группы гиперболических групп. Матем.сборник, 182 (1991), п.4, с.543 - 567.

i10} следующим образом: верно ли, что для любых двух нетривиальных конечно порожденых подгрупп И,К свободной группы F выполнено неравенство: rank(He\K)-U(rank(H)-l)(rank(K)-l) (1)

В 1954 году А.Хаусон доказал (till), что при указанных выше предположениях подгруппа НпК конечно порождена ( и привел оценку ее ранга) , а в 1957 году Х.Нейман ([10]) доказала ослабленный вариант неравенства (1) с множителем 2 в правой части.

В последующие годы усилиями Бернса ([12]), ймриха (.[13]), Герстена ([14]) были получены некоторые частичные продвижения в решении' этой проблемы. У.Нейман ([15]) предложил усиленный вариант гипотезы Х.Нейман:

Е КНлШГ1) s г(И)?(Ю (2)

HtKe.H\F/K

где r(L)=mx[rank(L)-l .0}. Г.Тардош [16] доказал неравенство

[10] H.Neumann. On intersections of finitely generated subgroups of free groups. Publ. Math.Debrecen, 4 (1955-1956), pp. 186-189 and Addendum, ibid., 5 (1957-1958), p.128.

[11] A.Howson. On the intersection of finitely generated free groups. J. London Math. Soc., 29 (1954), pp. 428-434.

[12] E.G.Burns . On the intersection of finitely generated subgroups of free group. Math.Z., 119 (1971),pp.121 - 130

[13] W.Imrich. Subgroup theorems and graphs. In Lect. Notes in Math. 622, Springer-Verlag, 1977.

[14] S.M.Gersten. Intersections of finitely generated subgroups of free groups and resolutions of graphs. Invent.Math., .71 (1983), pp.567 - 591.

(2) в том случае, когда В или К имеет ранг 2.

Методы, применявшиеся до сих пор при решении этой проблемы, основаны на комбинаторном анализе графов, которые в некотором смысле несут информацию о подгруппах И и К и их взаимном расположении в свободной группе Г, Однако такой анализ в общем случае достаточно затруднен.

С другой стороны, усиленная гипотеза Х.Нейман имеет обобще ние для почти свободных групп. Оно выглядит вполне естественно, если, рассматривать его в контексте категории бесконечных гиперболических групп и их квазивыпуклых вложений.

Цель работы заключается в изучении алгебраических конструкций фактор-групп и колет' для бесконечных гиперболических групп, исследовании гомологических и теоретико-категорных аспектов этих конструкций.

Методы исследования. В работе используется комбинаторный подход к исследованию градуированных диаграмм, принадлежащий А.Ю.Ольшанскому, общие методы теории групп, теории категорий, теории колец и модулей, элементы гомологической алгебры.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

[15] K.Neumann. On intersections of finitely generated subgroups of free groups.In Lect.Notes in Math., 1456, Springer-Verlag,1990

[16] G.Tardos. On the intersections of subgroups of a free group. Invent.Math., ICS (1992), pp. 29 - 36.

1. Для произвольной нециклической гиперболической группы без кручения в построены ее бесконечные фактор-группы, все собственные подгруппы которых являются циклическими группами порядка, делящего достаточно большое нечетное число п^НСв).

2..Независимо от 18] для произвольной нециклической гиперболической группы без кручения С построены ее бесконечные фактор-группы, все собственные подгруппы которых являются, бесконечными циклическими.

3. Введено понятие допустимого и строго допустимого подконуса как некоторого подмножества в множестве классов сопряженности подгрупп произвольной группы С. Кавдому допустимому подконусу поставлено в соответствие вполне определенное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

4. Доказана строгая допустимость подконусов, состоящих из классов сопряженности бесконечных (соотв. неэлементарных) квазивыпуклых подгрупп произвольной бесконечной (неэлементарной) гиперболической группы.

5. Предложен обобщенный вариант гипотезы Х.Нейман о максимально« ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы для класса неэлементаркых почти свободных групп.

6. Построены два контравариактных • функтора из категорий бесконечных и неэлементарных гиперболических, групп и их квазивыпуклых вложений в категорию коммутативных ассоциативных колец с единицей.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть

использованы в теории групп, теории колец и модулей, геометрии.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, алгебро-геометрическом семинаре по теории групп университета "Париж-Юг"(Франция), семинаре Р.И.Григорчука и В.С.Куликова "Приложения теории групп в геометрии и анализе" в 1992-1993 годах.

Публикации. Полученные результаты опубликованы в двух работах г втора, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. Список литературы насчитывает 27 работ. Объем диссертации - 103 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор результатов по исследуемым вопросам и сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глаза является подготовительной и посвящена доказательству ряда вспомогательных утверждений, необходимых во Еторой и третей главах диссертации.

§1.0 носит обзорный характер. В нем вводятся основные определения. Терминология и обозначения как правило взяты из [1],[9],[17],[ 18].

Общая схема построения бесконечных фактор-групп гиперболических групп со свойствами периодичности и цикличности собственных подгрупп такова. В качестве исходной группы С(0) берется нециклическая гиперболическая группа без кручения, заданная своим

копредставлением С(0)=<л|Яо>, где Яо - „это множество всех (циклически приведенных) определяющих слов группы в(0).

Группа и Я > строится как индуктивный предел групп

«до '

са)=<л\ В1>, где группа 0(1)=<л\ получается из группы

G(i-J^=<^^| Я > добавлением определяющих слов специального вида.

В §1.1 дается определение В-диаграммы и гладкого участка в ней в том случае, когда группа в(О) является гиперболической группой, а также гладкого участка в ней. Такого сорта диаграммы возникают, когда градуированное копредетавлекие удовлетворяет .так называемому условию * (§2.1). В параграфе доказывается ряд технических лемм, позволяющих сделать вывод о существовании в В-диаграмме л с числом участков контура не более 4 клетки, сильно примыкающей к границе диаграммы д (теорема 1.1.). Степень примыкания такой клетки не менее 1-у, где г - малый параметр. Из наличия в диаграмме й г-клетки вытекает, что метка р(эд) содержит подслово, которое в некотором смысле близко к периодическому слову вида А* ( является (л,ш)-степенью в терминологии [9]). В качестве следствия (теорема 1.3) получается также, что сферическая или торическая диаграмма имеет нулевой ранг, т.е это' диаграмма над копредставлением гиперболической группы в(0).

[17] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах . M : Наука, 1989.

[18] E.Ghys, P.de la Harpe (eds). Sur les groupes hyperboliques d'après ilikhael Gromov. Birkhauser, Progress in mathematics ser., vol.83, 1990.

В §1.2 изучены свойства некоторых разновидностей В-диаграмм, обычно возникающих как поддиаграмы примыкания одной клетки к другой в В-диаграммах. В частности показано, что отношение периметра любой Б-диаграмиы л к периметру произвольной ее клетки я ненулевого ранга ограничено снизу 'некоторой положительной константой.

Во второй главе получены основные результаты диссертации о фактор-группах гиперболических групп.

В §2.1 дано определение градуированного копредставления с условием X . Основной результат этого параграфа, доказываемый совместной индукцией по рангу диаграмм и определяющих слов состоит в том, что любая приведе-чая диаграмма ненулевого ранга над градуированным копредставлением с условием X является В-диаграммой (лемма 79).

В §2.2 исследованы свойства индуктивного предела G(m) = <d\R> в случае, когда группа G(0) является нециклической гиперболической группой без кручения, а копредставление G(<*) удовлетворяет условию я. Теорема 2.1 устанавливает бесконечность группы G(В теореме 2.2 доказана периодичность G(*), если множество периодов каждого ранга i>0 выбирается максимальным, и каждый период относится к первому типу, é теореме 2.3 доказана независимость каждого определяющего соотноаения ненулевого ранга системы [r=l, reRj от остальных.

Доказана также цикличность любой конечной или абелевой подгруппы группы (теорема 2.5) и некоторые другие свойства.

Основным результатом второй главы являются

Теорема 2.6. Для произвольной нециклической гиперболической группы без кручения г и любого достаточно большого нечетного числа поъЯо(г) существует бесконечная фактор-группа группы г, все собственные подгруппы которой являются циклическими группами порядка, делящего ло.

Теорема 2.7. V произвольной нециклической гиперболической группы без кручения Г существует бесконечная фактор-группа, все собственные подгруппы которой бесконечные циклические.

Иным способом бесконечные фактор-группы гиперболических групп с бесконечными циклическими собственными подгруппами строятся на основе схемы Громова в [6].

В третьей главе построены два контравариантных функтора из категории 1Ьур бесконечных гиперболических групп и ее полной подкатегории ЫЬур неэлементарных гиперболических групп и их квазивыпуклых вложений в категорию коммутативных ассоциативных колнц с единицей.

В §3.1. изучаются некоторые подмножества множества классов сопряженности подгрупп произвольной группы б.

Обозначим [Н] класс сопряженности в фиксированной группе С некоторой ее подгруппы Я. Назовем конусом сопряженности Сопе(О) группы б множество ( с отмеченной точкой [С] ) классов сопряженности всех ее подгрупп. Конус сопряженности находится во взаимно-однозначном соответствии с классами изоморфизма неприводимых левых б-ыножеств в' категории левых Б-множеств в-БеЬ.

Подмножество АсСопе(0 называется допустимым подконусом, если для него выполнены следующие условия:

Al. ÍGleA;

A2. Если подгруппы Я,К таковы, ЧТО [Hl ,[К]еА, то для любого geG либо [HngKg'l]eA, либо для любой подгруппы LzHngKg'1 [L] не принадлежит А;

АЗ. Если подгруппы Н,К таковы,что [Н],(Kl еА, то множество двойных смежных классов EtK таких, что [HntKt'1]еА конечно или пусто.

Если выполняется еще и условие А4. Пусть JfsffsG и индекс lH:Kl<». Тогда ÍHieA • [KleA, то А называется строго допустимым подконусом.

Примером строго допустимого подконуса является множество Fcona(G) классов сопряженности подгрупп конечного индекса группы G.

Рассмотрим свободный 2-молуль R(A), свободно порождаемый элементами некоторого допустимого подконуса А, и Z-линейное отображение и: R(A)eR(A) —R( А), задаваемое на базисных элементах формулой и([Н1*[К]) - £ [НпЬКЬ'1], где сумма распространяется на все те двойные смежные классы НЬК, для которых [HntKt'1]еА. Отображение и определено корректно, т.е. не зависит от выбора представителей в классах сопряженности подгрупп. Верна следующая

Теорема 3.1. Отображение и задает на R(A) структуру коммутативного ассоциативного кольца с единицей.

Кольцо R(A) может быть отождествлено с фактор-кольцом некоторого подкольца кольца Эйлера-Гротендика K(G) группы G (лемма 85 ).

В §3.2 показано, что нетривиальные примеры групп G, обладающих неск- :ькими строго допустимыми подконусами, могут быть

найдены в классе неэлементарных гиперболических групп.

Пусть в - бесконечная (неэлементарная) гиперболическая группа. Конусом квазивыпуклости (}сопе(С) (соотв. неэлементарной квазивыпуклости Щсопе(в) ) называется множество классов сопряженности бесконечных ( соотв. неэлементарных ) квазивыпуклых подгрупп группы б. Доказывается

Теорема 3.2. Пусть б - бесконечная гиперболическая группа. .Тогда <2сопе(6) является строго допустимым подконусом в Сопе(Б). Если к тому же б неэлементарна, то и К(}сопе(в) строго допустим.

Обозначим кольцо Мдсопе(С)) как 0(0, а В(Щсопе(С)) как

Рассматривая свободную группу / конечного ранга и. функцию г: , задаваемую формулой

г(Е Г п^гапШ^п^СН^.

( где хСЯ.) - это эйлерова характеристика подгруппы Н ), мы моаем переформулировать усиленный вариант гипотезы Х.Нейман (2) следующим образом ( обозначим 11([Н]в[К]) через [Н][К}): для любых Ш,Шсдсопе(Г) г([Н1[К1 )*г([Н1)г({К])

В п.3.2.3 предложен более сильный вариант гипотезы для неэлементарных почти свободных групп С. Последние имеют строго отрицательную зйлерову характеристику, также как и их неэлементарные КЕазивыпуклые подгруппы ( . квазивыпуклость подгруппы в данном случае равносильна ее конечной порожденности). Определим г([Н1) как х(Н)/х(5) и продолжим г по линейности на кольцо

Гипотеза. Для любой неэлементарной почти свободной группы б и для любых [Н1 ,[К]*Щсопе(0 выполнено неравенство:

r(lH}[Kl)*r([Hl)r(lK})

Основным результатом третьей главы является следующая Теорема 3.3. Пусть G - бесконечная ( неэлементарная )

гиперболическая группа. Соответствие G -*- D(G) (G —— DN(G)) продолжается до контравариантного функтора D:Ihyp AbRings (DN.Nhyp-— AbRings), где AbRings - это категория ассоциативных коммутативных колец с единицей.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю А.Ю.Ольшанскому за большое внимание к работе.

ПУбЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Семенов B.C. О некоторых фактор-группах гиперболических групп. Вестн.моек.ун-та, сер. матем, 1993, п.З, с.88 - 90.

[2] Семенов Ю.с. Кольца, ассоциированные с гиперболическими группами. Депонировано в ВИНИТИ от 12.07.94, N.1775-B94, Москва. 1994, 26 с.