Некоторые методы и результаты исследования граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Бурский, Владимир Петрович АВТОР
доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Донецк МЕСТО ЗАЩИТЫ
1996 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Некоторые методы и результаты исследования граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных»
 
Автореферат диссертации на тему "Некоторые методы и результаты исследования граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных"

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕ23Й НАУК УКРАЕНЫ институт прикладной математики и механики

На правах рукописи

ВЗГРСКйЙ Владгкзр Петрович

соторье методы и результаты иссаедованш граничных задач для дифференциальных уравюш в частных производных

01.01.02. - ДЕффэренцдадьше уравнвшя.

АВТОРЕФЕРАТ дассертацдн на соискание ученой степени доктора фйзнко-матвкатзчвскшс наук

Донецк - 1993

=г сз

ШЗ I_

С5_

со

сг>

СП

ас ил

ио

ДЕссертацая является рукопгсьа.

Работа вшюлзенз в отдала шлеезёного анализа Ияститут-а прикладной штэкатшш и гаганшш НацЕональшй ¿кадэыш Наук Украина.

- доктор фззЕко-гатецэгочоскпх наук, прафэссор Ройтбзрг Я.А.

- доктор фзгшго-катокзгаческЕх наук, профессор Шхайшц В.А.

- доктор фззвко-уатешттаэскиЕ наук, профессор Шалвгов B.D.

- Московский государственной укЕЕврсстэт ш. Ц.В.Лотвосова

Занщта дессартахри состоится " 20' 199 б года

в '/-> часов на заседании сшщааянзнрованЕого Совета Д.Об.01.01 nps Институте прикладной математшш и кзханвки НАН ¥кравны да ад-рэсу: 340114, Дояэщс, ул. Р.ЛшксвагЗург, 74.

С дассертацЕвй шзно ознакоши>ся в библиотеке Института.

Автореферат разослан " " 199 г.

ошютти:

Вэдгеая органЕзацня

Учений секретарь

стцаажзврованного Совета А.И.

0би1ая характеристика работы

Аихуалъиссяъ геш. Граничило задачи в теорпи дкффзрзнци-апьнш уравнений в частных производных завЕ».:авт особое место и в пврзуэ очередь из-за ш. прикладного значения. Теория грашчншс задач, как часть теория дкф|эр9нцпальшк уравнений, собственно дагэ как опрэдэляящая часть, традиционно развивалась в направлениях пало связавши ьзэзду собой сообразно -шиш днй&эрэнцзальшх уравеэппа, для которих стэнелксь граничные задачи. Понятие типа, зфоргдшнееся к тридцатым годам нашего столетия для уравнений и зистем в работах й.Г.Петровского,сильно продвинуло теории граничив задач,объединив разрозненные, но близкие по характеру результаты в три сетстоятельшх направления, соответственно типу: ШЕШгтчвскоцу, параболическое, гшюрболЕчвскогду. Соответственно ящу уравнения ставятся и гранвчнкв задачи» поскольку,как оказа-гось, граншшш задачи коррзктго поставленные дня едкого типа ТравнзЕий, некорректно поставлены для другого. Теория грашкшж •адэч, коррэктшя шутрп типа, обширна я досточно известна,теория раяпчких задач для бестшпых уравззннй п еэтшечжж задач для энного пша уравяешй, которая в основном шевщзвэ данная работа, ;элаэт только перша шага, ко ейзя, как прашло, сколько-нибудь вткпх орзвнтиров. В 8ТОЙ области ЕсслэдовангЛ, БОСХОДЩОХ к .Дщязру, (см.обзор п результата в книге Б.И.Птазшнка) сястека-кчэска изучались грашчвнэ задача для урзЕИВНЕЭ с дастоянийш ааф^шрзктая в щь^аугальзе областях .параллзхэпштэдэ, цилпщ», да Езпрш'оуголыса областей вопроса в^шствзнноста рзшвня за-вча Дзрлхяэ для волнового уравнения в плоской области. Гнется зкгз ряд отдмьнпх результатов по разрэЕЕГостн, трпвпаяьЕой раз-зишхян, коррэктнсстп грашнЕнх задач, в основном задачи Дврпх-

т. Еолыиоэ число работ, начиная с работ Н.И.ВЕШка и Л.Хвр,зн-дара» посвящено освгцслонш понятен граничной задачи ж пзучвшш свойств граншннх задач с точка зрэшя функционального вяашза. В этом подходе однородная граншЕзя задача прошляется в заданш области определения расширения оператора дЕзйэрзшщального уравнения. Если расширэшэ разрвщшэ, то соотватствущая граничная задача корректно поставлена, см.напршаэр,книга ¿.А.Двзшз„ Ю.Ы.Бе-рэзанского, В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука. Главные проблеш в втоС области Есслэдовашй, иногда назшает! обазэй таоркэй граничных задач, состоят в указании классов операторов, йяя которых существует корректно поставленная граничная задача,н в описании шоаос-тез корректно шсташюшгх граничных задач для классов операторов и конкретно заданных дйфэрэнцкалышх операторов, а такса в описании свойств классов корректно поставленных граничных задач.Фун-дакэнтальвш здесь является представление о граничшх свойствах решений дифференциальных уравнений,на которых основывается само понятие граничной задачи. Теория гр8нетшх свойств решений даЗфв-нциалыш: уравнений,берущая свсэ начало с классического представ-еня граничного значения непрерывной фушщш как ограничения ее на подмногэстао областн ее определения, развивашаяся вначале как теория грашчншЕ значений аналитических функций, после работ С.Л.Соболева превратилась в новоэ нацравлэнЕЗ псследовашй в тео-рш функций, в теории де^фэренцнальвах уравнена! и грзнЕЧШх задач для ник, без которш: совреггзншй анялнз нзвозмогно сейчас представить. Таким образом, теорая краевых задач для дв^ференца-альшх уравнений и теория грашчшг значений решений является актуальна.;!! .

Цель роЗосл. Изучение граничных задач душ дЕффзрещаалшк

уравнений и систем в частных производных общего вида и связанных с ниш граничных свойств решений.

UeziDdu исследования.. Основным методом изучения граничных задач в настоящей работе и в теоретическом и вычислительном плане является анализ формул! Грина.Краткое описание использув!,ах методов

см.еш29.

Tscpszuciscacp. и ттрсиятявсаоя цф*чоспъ исследования и szo научная новизна. Предлагается и аппробируется несколько подходов к изучении граничных задач для общих уравнений, основанных на формуле Грина. Для к8здой функции из области определения иаксвкаль-ного оператора доказывается существование в распределениях следовых вырагенаЭ,называешь автором ассощсровашш^з слвдатлз, проводится изучение их свойств, что позволяет, в частности, получить необходимое и достаточное условие связи ассоциированных следов решния однородного уравнения, изучается пространства таких следов и связанных с ниш операторов, что позволяет исследовать один класс общих граничных задач, а таксе пространства, связанные с дифференциальной операцией. Условия связи ассоциированных следов решения изучаются для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в общей области на плоскости, откуда следует, в частности, что задачи Дирихле и Неймана обладают одинаковыми свойствами , и что позволяет такге исследовать первую, вторуа и третью граничные задачи в круге. Изучается типичность свойства единственности решения граничных задач, а такгэ единственность решения задачи Дарихле для ультрагппэрболнческого уравнения в шаре. Все перечисленные результаты является новыми.

Апробация рабсаы.Результаты исследований докладывались на III Международном Конгрессе по прикладной и индустриальной математике

1С1АН-95 (Гамбурр19Э5) ,на Меаднародаой конференций по теорэткчес-ш вопросам математического моделирования (Бврлш,1Э90),на 1-й Иэцдународаой ковфэревцш памяти акад.Кравчука, на сэш рвщгблн-каяскнх конференциях по дпфферешдаалънш уравнениям, нэлшвйноьзу анализу и математической физике, на Воронежской школэ ш функцео-надьнощ анализу(1936),на сошнарах профессоров: В.С.ВдадеаЕрова;

A.В.ВЕцадза; В. А.Ильина;П.£3.Лаврентьева и Ю.Е.Анаконова;И.В.Скрад-ннка;О.М.Бер9занского и М.Л.Горбачука;и.Л.Горбачука;А.А.Д8зша и

B.Н.Масл8НЕЕЕКОБо2;А.А.Дэзша;В.П.Шха1лова;А..К.Грр5на; в.П.Иахай-лова и А.К. Гунщна; В.Я. Скоробогатько н Б. И. Пташнка; В. И. Бурзвкова.

Пуам]шщии.1к> текэ дассэртацш опубликовано 35 научных работ. Из нех 19 работ в научных журналах, 1 прэпрант, 4 дапошфованше рукописи, 1 1 тззисов дршшдов.

Объел и сщруищ/ра диссертцт. Дшзертащш состоит из введения, пяти глав и списка датированной литература, которой включает 162 названая .ОСЬэы работа - 283 машнопшю страница.

основное содержание работы применяемые ¿¿¡юди. осеовшш кэтодон Езучент граничных задач в настоящей работе и в теоретическом л енчеслнт8льно8.з плана явля-втся анализ фордудз Грина,расслатрЕваешй в разных формах и полу-чаашй юсколькЕгш сшсобаш. ШдщЦйкаЦЕЭй формула Грана, вероятно, шгно счктвть, папршэр, сдадущсй штод.

I Пусть йск" - ограниченная область с гладкое гранщей <30, а ь = £ эдп® - ДЕТфорэнцдаяьная опзрацзл с пост-ойнешее коыивкс-

нмш ковффЕЦЕэетама, горощдащая одаратор Ь: 1Г(0) -» Ь2(П) в со -болзвскЕХ пространствах. Пусть и е ¡"(О) - рэшевкэ уравпэшя

Ьи = О (1)

©укащя и газет слэдн

и1ш = %\sq -Ъ.....!еа = <2>

гда v- внешняя Еор?.!зль к грзнвцэ, (фо , ... ,'р^) « Н<т> (Ш)=

то—1/2 1/2

= Н (¿Ü) х ... s Н (60). Стагсггся вопрос: Как связаны кэдду собой следи ф?

Пусть 4$нкция u ® Hm (О) - решение задачи (1 ),(2), u в ff"(n) - p9e9h29 задачи (1),(2), v G H™(Rn) - лйбоэ продолпзвпэ фужцш и(х), н пусть 6<х) - характэрЕстзчэская фувкцня кеоээствэ О: 6(х) = i, isQ, в(х) =0, х f Q. Прт®нш оператор Ь к произш -дзшш 67. Пользуясь правилом Лейбница, голучш

m-i

L(6V) = вЬУ + I Ь,(бш)у. (3)

k = o V

где СQQ- шра, сосредоточенная на <20, т.е. v ф « c°°(s?n), <бб£2.Ф>=

= / ф ds, a bk - лшвСшго даф1йрэкцнзлыша Бироглтшп по касатоль-SQ

вш.1 напрашюншш % от следов ф с коэф&ЩЕОнташ, шроздэнпшя! на-правлншщш косзнусага корлалп. Закэтш, что = - б^, в^ = о. Член 9L7 pfiEBH нулю, а К ОСТ8Е26!,?уСЯ рЗЕЭНСГВУ (3) ЩХГЗНШ Гф9 -образованно Сурье. Получка

/ч m_í

Kt) 07(5) = 1 í Llfc)u (-ív(3),e)v""5>cl3, (4)

k=o ва

л

гдэ 1- сЕгшл одоратора L, Оч - прзоСразовакпв Фурьэ функции Bv, фушщян L(k> и.как п ^.-лпнвйнкэ дсффэрэнцкакьЕыэ внрагэнзя го касательвин направлениям порядка т-К-1 от следов с Еврвьзиннгщ коаффщЕантаиа. Обозначил правуи часть в (4) чэрзз -Подчеркнем, что функции G^CS) зависит только от следов ф решения и и еэ зашсст от повздопггя и з О. По теорзмэ Падл - Взнера - Шварца фушщая Вч н G^ - целке функция определенного роста на бвсковэч -носет. Обозначил через 2 кольцо цзлк функцкз на с первого порядка и конечного типа. Равенство (4) означает, что

Сф 6 (I) в Ъ (5)

/\

Сф / I в <в7 I V е r(Rn)}, (6)

где (1) - главиШ цц-зал, порожденный элвьзетш I. Исеео показать, что условия (б), (6) является и достаточней. *Ео есть, да каждого набора слэдов ф с н<т> (Ш), удовлетворш^эго условиям (5),(6), существует единственное рэшзпЕэ u « f (D) задачи (1),(2). Доказательство проводится обратнтщ рассуздэшашн.

йpedAosewis I. Для однозначной разрешимости задачи (1),(2) нэобгодЕГ'о и достаточно выполнение условий (5),(6).

Сразу заьштш, что, если символ I разлоагз в проЕЗБадэнш различны непрзводаагх полиномов, то условие (5) шено записать в эквивалентном вцдв

Сф(и = О, V I е А, (7)

где А. - алгебраическое многообразно нулей сшлюяа I. Условно (6) ваглядат чфудно проверяешь, но аш доказать,что дая некотори операторов и областей оно (ло&эт быть сведано к условна (5) только некоторым говшэнеом гладкости следов ф Сем. §2.4;§3.2).

2. Покажем, что получается для оператора второго порядка

д2 е2 е1

Ъ = а — + Ъ- + с — , a,b,c es с. (8)

¿ter дх. бх <9х~ 1 12 2

В ИЕОСКОЙ Области.ЗДЭСЬ функция вф =J t(-í)(S,£)P(t) + С(t)3•

р efl

.е"1<х*^й.гх,гдз t esQ-коорданата, P(t) = -¿(х(а))фо(i),

С(ч) =1(1(1))ф1(г) + + I 1^Ф0, 1 (i) = + bx1s5 + cx^,

k-кргоизна. В этом случае условие (7) kosho записать в такой

8квивалентшэ& фор:,*.э:

V Q е сш, V £ б л,

/ [(х,е)0'((2,£)) P(t) + Q((x,U) C(t)]«H = 0, (9)

дК

где с [s] - кольцо полиномов одной переданной. Условна (7) в фор-га (9) позволяет записать связь кэзду функциями <ра в тергшнах коБф^зцЕвнтов разложения в ряд Фурье функций Р и С, если область - единичный круг.которне mozeo использовать для изучения задачи Дярзхлв (гл.2; гл.З,§3.1,§3.2,§3.6).

Этот кетод дэжкости преобразования Фурье правой часта уравнения Ьи=Г во всем пространстве на семшл оператора с гостоянныш гсогфрщЕзнта'з есеользозэлся н раньше для уравнения, а в щж?зкэ-нш! к граничннм задачам предложен Я.А.Ройтбергом н шзавнспгло п одновременно автором.

То so условие (9) tsosHo сразу получить из формулы Грнна

J [ Lu v-u L+7l dx= J [ P(n) Ц + C(t) ? ] dxx, (10)

Q CQ

если шыюшггь v= Q((x,£)). q e c[s], çea, Точно такгэ условие (7),как выяснилось, гагзга получеть из общей формула Гргшэ тапа форгзулз (10), если полгзгть v=e"l<x'^>,Ç«A, a u «lier L.

3. Прягю из формула (10) такое удобнее получать условие связи

следов фушащн ез ядра Ьег Ь, запнсанкоэ в вшхэ щюблегла гоглэптов vnso, J [ + (-1)1"1 I u^ ] (x,aj )Ndtx=0, efi *

где у^-кокоркаль, aj ,3=1,2 -направлящие вектора бихарактеристик, A=3tn <p0=detga*a*8, <р0-(ко:!шюксня3) угол гдщду а'п а2. Ксслэдуя последнее условие , KQ2E0 сопоставить свойства граничных задач г'зцду собой и,в часшостЕ.для случая круга выяснеть значение тша уравнения, который, как оказалось, на свойства граничных задач особого влияния но оказывает (гл.З, §3.3, §3.4).

В общетеоретическом! плата формула Грина такгэ оказалась полезной. С ее помощью мозко изучать граничив своЗства решений, получать какие-то характеристики пространства Коал, области определения максимального и шншального операторов, ш ядер

(гл.1). Осеоеннм в важх построениях является понятие ассоциированного следа (в предыдущем пункте - функций Р и С). Показам, как определяется ассощшрованшэ следа.

4-, Пусть *(х,Б) = £ ад Б® - лзнэёяйя ДЕфХэрэвддальнак опе-!а'ш ¡а!

рация с гладкими кошлекснозначшш коаффнцнееташ, В® = (-О •

• д'^/дх^ дхпп, О - ограниченная область с односторонней

гладкой границей ш. Пусть 1 « Ь2(0). РаескотрЕм уравнении

Ьи = Г, (11)

где Ь-максжмальшгй оператор,пороздэшыЁ операцкей Ь(х,Б) в Ь2(0).

Призеры показывают, что в общем случае обычные следа у решений ез Ьг(П) не сущэствуит в распределениях дате для простэйшх уравнений .Так, ЕапрЕ,;эр, для уравнения Ьи = З2и / <3x^=0 в вдешч-

-5/8

ном круге К решение и(х)=(1-х^) принадлепя? Ь2(К), но <и!ж, 1>ек = оа в том сглгслэ, что 11н | и(х) йзх = еа, так что след

г ~*i - О ,

ulgpr не является распределенном. Могно показать, однако, что у кацдого решения и s Ьг (К) такого уравнения существует след произведения Ь(0>и := -U(X)Z(X)!3K « Ьа(<Ж), ГДЗ I (X) = Х^ - СШШЗЛ оператора.Точно так se го для всех рзпюшй существует слэд u^i^g, но для кащдого решения и « Ъг(К) существует слэд Ь(1>и =

-а/2

-2(x)u^,(z) + + 1/2 « н (6К), где t - угловая

координата.

Подобные рассуццзЕШ esoshd провести е в общем случае. 0ш осшвшзахн-ся на схэдущеи утвэраденщ.

£вллп. Дня ашбай пары фуикцнЕ Я1фюВ"(к") шзет шсто слэдущая формула Грана:

№.<p]ï = <L(6qïï) - efl ш,ф> = I в* <р>ш = (12)

к

: = <jeâQ °

где 6д - Х8рактвристзчэская функция области О, д^ ф = ф 4 , Ь =

V

р

р.® я р.»

= 2 \ ду - ошратор степени р, - некоторой линейный ^фэ-

а = 0

ренщшльный ошратор по касательным направлении« а с гладапгш ко-аффкцшнта'ш степени р-з. Откэтю, что,если Ь+-ф0ржзльЕ0 сопряжений оператор, то [я,у] = / (сг-Ь+ф - ф -1я)с1х. Закатал , что в

а

ч ч

зллиптлчэскоп случае распределения 1 =(-1) ^(ц-б^дЬц в з>* (60),

ч

де2стзущно по фор;дулэ <1 , о> = <(л,3 ф>~о,принято накипать для

4 0?п V

д=0 прости.!, а для q = 1 - двойным слоем на с шютностыз ц. Соотвэтствррй потенциал получится сверткой Г *С с фундаментальным рвШЭЕЕЭМ О.

Пусть «7 : П™'4"1-'2(дП) Г(®"), а = 0,1.....га-1, - непро-

р I р

ргвныО оператор продолжения со свойством д = 6Ч'Ф> Р =

= 0,1 ,...,¡8-1. Подставил в (12) шесто ф функцию <1тчФ,а вкзсто

последователькость е нт(о?п), сходящуюся к решению и уравнэ -

ния (11) в сшкмю нора графика \Щ + |Ья| . Левая часть

ь2(П) ъ2(0)

равенства (12) будет стреються к вирапэнзш

X ( и - ,1т лшеЗноиу а непрерывному по ф «

О

еН" 4 (<?Д). Полученный ¡^шащонал обозначш Распределение Ь и назовем р-н сладом решения и на дй, ассоця-Ерованмл с операторов Ь, ш просто р-гл Ь-следом функций и на 60, а распределение Ь^г ез (12) - Ь-грзпячшгл распределением.

Итак, ш шщш, что Ь-слел* функции из области определения 0(Ь) кшссемэльеого оператора существуют и Ь(р>и е [н™"ч-1^2(б0)], р = 0,1,...,ш-1, веля ¡Г (О) ш2оте0 й(Ь). Глзкшш свойство;.? Ь-слэ-дов является то, что она все равны нуля тогда и только тогда,когда они явлются Ь-слэдаш функщш из области определения ейнк-кальшго оператора, что шдео из фор.зулн (12) ,рзспщрзнЕ03 па об-

ласти определения максимального Ь+ и минимального Ьо операторов. Это позволяет сузить их на пространство Кош , тем самым расши-риряя область определения явно заданного оператора Zqq, и характеризовать пространства, связанные с оператором L. А отмеченное влоЕзкш ассоциированных следов в пространстю распределений Н'"т> («3)= позволяет подучить

общий вид одного класса хорошо поставленных граничных задач. Кроме того в терминах ассоциированных следов получается условие связи обычных следов функций из ядра (§1.3):

Предлохекие 2. Для того чтобы набор uo, ut.....um t из пространства L-слэдов A(L) был набором L- следов решения и,\-необхо-двш и достаточно, чтобы для каздой последовательности vk еЕГ(кп), сходящейся в норме IvI + |L+v| к некоторому решению уравнения L+v = 0, было выполнено условие

т- 1

"И I Vao = {13)

к -ЮО

q = 0

Отмеченные вше'условия (7) и (9) являются формой условия (13). Другим применением L-следов являются формулы представления решения через аналоги классических потенциалов и теорема о среднем (§1.4).

Из формулы Грина следует также следувдий метод изучения граничных задач, который будем называть двойственностью уравнение-

-область (гл.4).

5. Рассмотрим в пространстве L2(Q) граничную задачу

Lu = I <з L (Q) В О,

. (14)

Ь u = 0, р = 0, 1,..., к $ ш-1. <р> 'да

Пусть L- оператор с постоянными коэффициентами, а область Q

полуалгебраична, т.е. з р <= Rtx], n ={х в RniP(x) > о, vp! t OJ,

'да

ограничена н с гладкой границей. Подставляя в (12) вместо ф функ-

- m-k-i

цйз (Р(х)) а б*.!эсто м - рэпенЕз задачи (14), получим

после преобразования ©урье уравнение

IPH^jf^IKEWC)] = Р. (15)

где V = 6Qu « Zjj = {вди Iи в L3(Q)}, Р= (Pix))""'1"1 (Sgl); GqU^qI-

продол^эння функцнй uní нулем. Справедливо

Прздлогекив 3. Каадому регзвКЕВ u в Ь2(Й) задачи (14) отвечает

эд2нств9ев09 V е УраЕЯеНИЯ (15) И наоборот.

Закатал, что, если область Q Еннриа, в предашэнш 3 гохзю

А

Zq загзнать на Zc = tul u е з' (к") п Ь2(к")}. Закати! такзэ, что, еслж в уравнении (3) учесть грашпнш условия (14),ушоэш> полу-ч0еео8 равенство на (P(s))m"k-1 п пршжзть преобразование Фурье, то получил то гз равенство (15) с нулевой правой частьэ.

Пусть в условиях п. 4 оператор l - второго порядка с проста-гш характеристика?,а. Рассттрш одюродзуэ задачу Дщрзхлв, поил -кая под условней uí^q - 0 условие (v(x))u I^q = О,

L(D,)U =0. U!ptx>=0= 0. (16)

Тогда урасэзЕиэ (15) запшется в виде P(-D^)íl(C)v(UJ = 0. Если обозначЕТь í7=iy, то получил задачу

P(-De)í7 = О, Т711(£>.0 = 0 (17)

в квкоторогз пространстве целзх функций. Уравнение пэрезло в об -ласть,область - в урзвневсз .Продшсэштз 3 утеерздазт,в частности, что существование нетрштпьшж решений задач (16) н (17) в ссотЕзтствукцях пространствах взапггно обусловлено сдаствованкэм изотртпгаа ®гщу пространстваш рвЕзнна. Зтот кзтод позволил изучить эденствзнность решения ультрагннврболячоского ураВЕЭЕНЯ в шаре (§ 4.6), откуда следует одно приложение в интегральной ге-оглтраи на сфере, позволящее посмотреть на используешь условна с точка зрения преобразования Радона (5 5.4).

Двойственность уравненЕэ-область, да-кщжвд, является изобретением автора, хотя обычный в физике способ построения рошний однородного уравнения, нацршгзр, уравнения Клейна-Гордона, через ш,тульское представление напскшнает обратную процедуру.

Если ев для изучения задачи (16) использовать условие (13), в котором стоит ' ^ ,С®Л+, V «Кег Ь+, то из существования

нетривиального решения задачи Дирихле (16) в пространстве \ (П) получив сгеэствоваше нетривиальной функции а е Н"1хг(50), такой

X а(х)е *<Ьс = О, Ч^ , (18)

то есть неплотность функций шда на ео. Здесь плот-

ность экспонент на <>0 гарантирует, такш обрезом,

е действенность решения задачи Дирихле. Вачпсления & З.б.напржар, мошо рассматривать с этой точка зрения. Условие (18) шэдо понимать такгз, как условие исчезновения правой части уравнения (3), в которой уез учтены граничные условия, условие ортогональности правой часта ядру сопргшэншго оператора.

Содвреанив биссершцш.

Пусть О - ограниченная область с грашцзй 60, являщвёся гладкш одностороннем (п-1)- мэршы поданогообразвэм в к",

£ = 2 Ва(х)1р, гР- = (-1д)1а1/дт±п... <3хп", а с г",|а! = 2 с^

1а1ев к

- дифференциальная операция с комплексными коаффзЦЕЭнтаьа! из

пространства С03 (С), я* = ^ ^ ). ^^а ~ формально сопря-

генная ды$фврзнцдальная опэрацая, Ьо и 1£-К5Вшальннэ, а Ь н Ь -шксшальшэ оператора эти операций в Ь2(0), 0(Ьо),0(1>) и С(ь£), 0(Ь+)- ш. области определения, оператор Ь с областью определения 0(Ъ), являщэйся эы:жашэк пространства С00(О) в норгэ графика Ои[!ь- Рассштрш.! слэдущеэ условия:

оператор L0:D(L0)—»L2(Q) п:зет эзпрернввий лзелй обратный; (1.1) оператор L* :D(b*)—»La (Q) Е?:эет ввпрэрнвннЁ левый обратный; (1.2) L = (3£)*; (1.3) ъ*= (bj*. (1.4)

Пространство Кош С(Ь) опрэделш как фактор D(L)/D(Lo). .ísbséhos однородно! граничной задачей называется задача нахождения рЭЕЭНИЯ U СООТЕОШвВНЙ

Isa = 1, ru е В, (1.5)

где Г; D(L) - C(L) - отсбрагенЕз факторкзацпн, В - линейное гшо-

гообразнэ з С(Ъ). Граничное условие Г11 s В иороадает подпространство D(La) = Г'1 (В) в пространстве D(L) п оператор La, являещнйся сужением оператора L на пространство D(Lg) н расшрензэм оператора Ь0. Граничная задача называется корректно поставленной, а оператор Ья разрокглш расширением оператора Lo, если оператор La: D(La) —-.b2(Q) икзет нэпрзрнвшй двусторонний обратный. Заметим, что условия (1.1),(1.2) эквивалентны существования корректной граничной задачи для оператора Ь .Рассмотри.! тагсгэ условия:

оператор L : í»(L) -- Lz(Q) ссрьектнЕвн; (1.6)

ошратор Ьо нормально разреппгд в L2(Q). (1.8)

Уг-берэСешэ 1.5. Дпагрггаа (1.10),построенная при условиях (1.6),(1.8) ксг^мутативна, ее строки п столбцу точна.

ОжетЕУд скнсл диаграмм (1.10),которий состоит в разлосэшш ггзксимадьного опэратора L в пряиуи су?гду внутренней Ь0 и гранич-

ной Ьс составлянзщх частей.

Q00

i i :

4. ч * L *

Пег Ь D(L ) Im Ъ — 0

, О t о' , о

ii I i ¡i

! ker i О ! Im

i i t * L *

Ker L —D(L) -► \ (O) — 0 (1.10)

ir ¡r

I О I I Im

+ i + L *

*C(IcerL) C(L) ker L*

1 i i

0 0 0

0

o

o

В § 1.1 даэтся Бвэдашхз в црэдат и доказываются основные известные факты теории. Схекэ Еазюгэння опирается на кощута-тавдув диаграмм (1.10),ез которой сладуга? результаты Взжка по прэдсгавлэшш области ощюдзлоешя шкстаалшэго опэратора, го условиям существования разрешимого расширения, а такш го описании шоаэства всех разреши* расширений; результаты Херыандера по представлению пространства Кош и ошсашш многества всех корректных граничных задач. Вклвчено тэкеэ описание известных классов операторов,для которых существует корректные граничные задачи.

В § 1.2. изучаются граничные свойства решений. На основа соображений, изложенных в четвертом разделе п.0.2 вводятся ассоциированные следа и нх пространства. Доказывается

ЯкЗэрхдение 2.5. 1).Пространство Ь-следов А(Ь) в случае обцрй области состоит ез функционалов Ь^и « О' (Ь+), вирр Ьд^и <= за,

Ь,пи! е Н"т(кп),занулящпхся на Й(Ь+),ГДЗ и е #(Ь).СООТВвТ-ои 'ЕГ(кп)

ствне и -► Ь^и, —» О* (Ь ) непрерывно,кег 1,^=0(1^).

Это соответствие порождает биективный оператор £ :С(Ь) —► С'(Ь+)

+

с плотнш множеством значений А(Ь) с С' (Ь ). юивет кэсто разлош-нне в прямую сумму Ь^ц = Ь^и + з1лд Хдди.

2) Если область катает гладкую границу, то элемент Ь^и как функ-ЦЕонал над й(Ь ) гфвдставляэтся в вцде %пи=%пи,' = / Ь^и

с раснрэдэяэяшша Ь^и « [£/}(Ь+)]'с{Нт'4(О)]*, зирр Ь^и с га, определенные равэнстваш ~

< ь|аи, 7>д = 11ш < ь^и, v >а , н ™'ч<0)»т ^й ] (ь+),

) -»оо

нэзашсящшЕ от выбора у. и непрерывно затсязцши от и « И(Ь).

3) Распределение Ь^и как функционал над Нт'4 (П) и как

функцЕонал над Н™(0) представляется в вда <]Л0 и| , у>=< Ь >,п с распределением

Ь(т_ Н (Ш), котороэ мааио продолгеть до рас-

га

прэдолвшш Ь|т_ в ск'(Ь) , ив этом смаслэ пространство А(Ь) в&яадаваэтся в произведение Н<-га> (^0):= Н""*1"'2 (Ш) .*

тп- 1

* Н~1Х2 (Ш). Раалопзнгю Ьлпи| = У ЬЪ-л! единственно.

са '£"(0) ч^о ш 'ВГСО) В § 1.3 изучается свойства ассощарованши следов, в частности, получено условие связи (13) п.0.2 (см.вкзю). Кро?,!е того, из свойств оператора е^* опрэдэляштго ассоишвованнне слзлч. слздувт следущде утврщэтя:

УпВергЗэниз 3.4.При выполнении условий (1.1),(1.3) оператор ~с :С(Ь) — С'(Ь+) -сшрьектнвен,еслн оператор £ формально самосопряжен.

Пусть у нас шлется две дифференциальные операцшн £ и л порядка еэ больше т,поропдащиз кяншальшв операторы Ьо и Г10 в области О. Будем говорить,что оператор я сильнее оператора -я в области А к писать х >- л,если 0(Ьо) £ £(По).

?г£ерввеюге 3.6. Для сравнения £ >- -л необходимо,чтобы

«'Н'"' («О) ^'Н (50)

Утвергдение 3.7. Для того,чтобы бнлн ешюлнэен условяя

(1.1),(1.2) необходшо, чтобы подпространства кег^^] <га> ^ 'Н т>(еО)

и К=7(кег Н™(й)) балл Он прямшз сдагаекзгкн в пространства и чтобы подпространства кег-Л-И п К+=

, ад,н,т>(«0)

=7(&ег Ь л Н"(0)) были бы пря?жш слагаешш в пространстве

В § 1.4 обсугдается связь условия (1.1),(1.2) с Фунда.тан-талънэш решеншзш, получаются формулы представления решения через его Ь-следн и теорема о средам.

В § 1.5 расшатрававгся гладкодарадденше грашчнне задачи, в частности доказано сладрвдее

Укбергаешэ 5.15. Пусть вшюлшш условия (1.1),(1.2),(1.3),

Нноазство а а и (у(х))= 2 а-Лх^о}

а а (5.1)

характеристически точек на ш:ээт нулевую кэру

к пусть Р -подпространство со свойствам (5.6), К=гкегЬ'! ,

!в"Ча)

Н<п>> (вП)= К « Р.Н'""1 (вП)= К © Р (загшканиэ в пространстве Н<-т>(аа)). Тогда граничная задача (1.5),где В= Р(зг?.шканпе в пространстве С(Ь)) корректна п шеэт бить задана уравнвшем

в<Ао>и + вА„и(+-+ - 0 <5-13*

с нзпрэрщшзгп огоратораш Вч: ВТ1X2-4 (аП) —.н'""" (зо), прзчеи

т< -т>

Вч= , где 7В=Ч|0 Вчрч:Н " (гй) —А(кегЬ) -непрерывный проектор, ¿ч:н~1/'г~ч(«га)сн<"т> (ей) -каноническое влоеэнвз, а

рч: Н<-т> («?□) -► П"1/2-4 (<гП) -каноническая проэквдя.

Условзжд (1.1-1.3),как отачается в п.1.1.5, удовлэтворяэт любой оператор с постоянмлз коаффшщэвтеш и Ш5оИ оператор вещественного главного тепа вгда (1.15).

В § 1.6 приведены прииэра, среда которых привар корректной граничной задачи для болеового уравнения в круто, рассматривается такш связь с ошсанивм Вганка корректных граничных задач для шшаггаческого уравнения.

Результаты 1 глаш опубликованы в работах [10],[111,115],[13].

В главе 2 рассматривается гиперболическое уравнение в круге с оператором (8),где а.Ъ.сея? и Ьг-4ас>0.Характеризуется пространства, связанные с такой операцией, узучаотся гранжчше свойства

функций из ядра. Основные результата содержат формулировки теорем 4.1,4.2.

Обозначении ,где в е я' (еО) шеео придать шмл, есж продол-

ептъ распределение у на некоторую охфестность О => ео и воспользоваться определением Ш;усшского-Хпрати-Огаш произведения обоб-

щенкшс функций.Под следами функцш u е на(К) в главе 2 понимается

<v Л»

пара (ф, %),нз которых первая есть след функции и на ЗК,а вторая »

-след Uy на <3R, а под следом функции и поншается lia и б^ в

г i - О г

' 2 ~ -

топологии з> (о? ). образ распределения ф при нзожрфизпе J предложения 1.7, т.е. граничное значение функции и будем обозначать ф. Точно так se пусть х = Для краткости формулировок будем называть функция ф и % такте следами соответствущшс функций и и u,'. не£8 используется обозначение: Н*""0(Ж)=п ВТ'1 (<ЗК).

v 1>о

Тесрэш 4.1.Пусть u s ff"(R), ш > 0 -рзшешв уравнения Lu=0 с гиперболическим оператором (8).Тогда

1) Существует след 1ф функцш lu на SK, пршадхе^ащй пространству H™(SK), если и - целое, и пространству Н""0(бК).если m е r.

2) Если т> ^ , то существует след ф е Ь1(а,К)пЯ~1ха (зК).

3) Если ш 2 . •«> Ф е (SK).

4) Если га> ¡jj , то существует след 1% функции на ЗК,пра-

надагащий пространству Н~2 (SS).

5) Если т»1, то 1% е н^'СбК) при ш « 2, IX = н™"1"0^) при

El е R.

6) Пусть функция и получена из функции и продолзенгом нулем за границу 6К. Тогда на ¡к2 при m> ^

-Lu = + 1% + Ц ф^ + (-Х+а+с)ф, (4.1)

где I = 1(х) - сезол оператора Ь: 1(х) = аз^ +• Ъх^ + сх£.

7) Фушщдп ф и % при ш> g связана соотнстзшягя!

П в A, JE(-¿)(х,Шф - dx+lX+ 2 l'vflW**'1' а\ = <4-2>

бгс

где А={£ в к2jZ(£)=0>, йхя - обычная rapa на 6К, х=(соз t;sln t), а шггеграш от членов с % п ф^ следует поникать как действие рас-прэдэлвша на <5К на свои сотиозяталя.

Теореш 4.2. Пусть для m > | п.звтся две функцва ф ®

e Hm(3K) и % е ВГ^аК), связанные соотношешшш (4.2). Тогда существует единственное решение u е Н"-8""' (К) уравнения (0.1),граничное значение которого на <Ж существует к равно ф,а производная по норшлз на 6К существует и равна Решение и пэпрзривно по норг'э пространства ЕГ"б(К) зависит от функций ф е Н'"(Ш) и % с «ffn"1(SK), связанных соотношнняш (4.2). Здесь e(m)=0, если сын,

н е(т)=+0, если пмк,б>0.Результаты 2 главы опублЕкована в работах 153,[б],[18].

В главе 3 проводится изучение первой, второй е третьей граничных задач для разных типов уравнений, позволявдне сделать их сравнительный анализ. В § 3.1 на основании теорем 4.1,4.2 гл.2 в круге к проводится изучение задачи Дирахлэ для гиперболического уравнения с постоянным коэффициента™

Lu = au" + Ш" ,+ cu", =0, (1.1)

я. i х л г г

XX XX XX

UÍ = ф (1.2)

ida

в собалвЕскои пространстве Н™(К),ш > (<ЗК).

Пусть \ъ\ - корни урзЕненкя i(1 Д) =0. Углом наклона бихарактеристики, отвечайте! корню назовем любое решение ф4 уравнения tg ф1=-Х1. Аналогично определяем угол фг чорэз корень К2 и УГОЛ <Р0 = - <Ра.

Теореш 1.3. Пра задача (1.1-2) шаэт не более одного рзизнзя в ЛЕбом пространства В*"(К), ш > 3/2, тогда и только тогда, когда число <?0/% иррационально. Пра шполеэнш условмя

m

<ро/1Е е © в каздм такой пространства Н (К) однородная задача

(1.1-2) Еъ:эет бесконечное число ленэйш шзешсеыж рэшэннй.

Теореш 1.8. Пусть число р =фоЛх таково, что для некоторого

к > 2 выполнено неравенство

э С4 > 0, v p/q е <d, lp - p/qt > Ciq~!c. (1.10)

и пусть ф а Н*"°(5К),и » к + 3/2. Тогда решение задача (1.1-2) существует, единственно, принадлежи пространству ЕГ"к<'1 (5К) и непрерывно зависит от ф в Нт+°(5К).

Теорет 1.9. Для почти всех углов сро для каждой функции

ф е нэ+е(5К) существует и притом единственное решение иеИ2 (К) задачи (1.1-2).

В § 3.2 изучается вещественные эллиптические системы 2x2 второго порядка, которые могно записать в виде одного уравнения (1.1) с комплексными коэффициента?,и. Рассмотрен случай простых (комплексных) характеристик, имеющих угол наклона. Это соответствует тому, что корни Л.2 характеристического уравнения различны и не равны ±£. Сопоставление результатов предыдущего и настоящего параграфа дает основание полагать, что эллиптическая систем с вещественным углом мезду бихарактеристиками порождающего ее одного эллиптического уравнения по отношении к задаче Дирихле в круге имеет все свойства гиперболического уравнения, за исключением разве что несколько увеличенной гладкости решения. При этом уравнения с невещественным углом имеют привычные свойства эллиптической граничной задачи, даже если уравнение не правильно эллиптично. Доказаны теореш, аналогичные вшюизлоЕенным теоремам 1.3,1.8,1,9 уже для эллиптического уравнения.

В § 3.3 подучено другое условие связи следов решения задачи Коши (условие из раздела 3 п.0.2 введения), имеющее вид некоторой проблемы моментов, свойства которой, как выясняется, и определяют свойства граничных задач. Изложение ведется для случая эллиптического уравнения, однако ни в получении условий, та которых возникает проблема моментов, ни при ее исследовании эллиптичность исходного уравнения нв используется.

I

Пусть Q - ограниченная область в к2 с гладкой границей <ЗП. Следствие 3.4.Для кшдого решения u е Hm(fl),rn £ 2 уравнения (1.1) с постоянными коаффэцЕзнтаки выполняется равенство Чуковского

X £ ds - 0, (3.13)

да

где ае= l(v)x-tI(v)lV2k -производная по конормалн, к-кривизна. Рассштрнм следуадую проблему шгантов:

o(s)(s(s)-aj)(ls = n¿, J = 1,2. (3.14)

ш .

Обозначил чэрзз подпространство в е е, состоящее

из функций а(з) таких, что для Bees N « г+

J a(x)(x>aj)Nds = 0,3 = 1.2. (3.15)

6q

Будем говорить, что вектора а*с?с2 ж а2ес2 шзвт tf-H1- свойство

на da, k £ I, если для каадой функция a s Н^бЛ) существуй? вщк-1 2

вонннэ Функции cf « Ult с? « üt такие,что a ^-Kf+conat.

Задача Н* - É состоит в нахоздэнш условий на вектора а1 и

а2, необходимых и достаточных для Н - ЕГ- свойства на кривой Ш.

Теорэха 3.5. Пусть m » р > 2.Слэдайре три утворгдэншз равносильны:

1. Векторы а1,а2 имэвт н*""9'2 - - свойство на дй.

2. Задача Дирихле ui = ф е ЕГ"1'2 (6Q) для уравнения (1.1)

\дП

р

шэет единственное решение u«H (SQ).

3. Задача Неймана u.'. i = зг е Н (<90) со свойством (3.13)

i

*iaa

имеет единственное с точностью до аддитивной постоянной решение и е НР(Ш).

Аналогичная связь кэзду атага задачаш в вопросе о единственности устанавливается теоремой 3.6.

~ „ i t Теореш 3.7. Вектора а и а шзюг Н - й - свойство на

окружности для любого I, если число фо = агс1^ / Ь2 - 4гс / (а+с)

удовлетворяет неравенству (1.10).

ЗакетЕМ, что пра невещественном ф0 шлется нк - Н* -свойство,

означающее разлогзниэ Нк(<Ж) = Е^ ® в пря?дуэ сукму.

Теореш 3.8. Однородная проблема тмэнтов (3.15) на сЖ игзет

счетное число линейно независимых нетривиальных решений в каздом

пространстве Нк(<ЗК), к е к, тогда и только тогда, когда число фо

вещественно а тс-рацюнально, для любого другого ф0 нетривиальных

решений нот в каядо?.! пространстве Нк (<5К), к е к.

Теореш З.Э. Для лвбого д > 2 множество фо е к, для которых

не вшюлняется неравенство (3.21), шеет лебегову керу нуль, т.е.

1+1+е I

почта все вэцастввннне фо вши? Н - Н -свойство с любым е>0.

Изучая однородную проблему ко?.сэнтов (3.15) на <ЗК, получим

следащув сводку результатов по краевым задачам в круге К для

эллиптического уравнения (1.1).

Рассмотрзм краевув задачу

В4и^ (з) + В^з) = аг(з) Г'^вК) (3.22)

с гфоизвольешлз кокплэксешяэ постоянеш.я В4, В2, не раВЕгйа! нули одновременно.

Теорет 3.70.. Пусть ш » р > 2. Тогда справедливы следущде утвврздэншк

1. Задача (1.1),(3.22) для эллиптического уравнения в круге с условней (3.13) имеет единственное реаензв и е нр(К)/{сопз1;}, где р=ш,есла ф0 невздастеэнно; и р = т-д, если иррациональное

удовлетворяет неравенству (1.10).

2. Однородная задача (1.1), (3.22) er.se*? счетное чесло лвезёео везашсхззх реквнЕЗ в каддом пространстве НР(К), если число фо/а рацшвальЕо.

3. Почте для каждого <р <= к, для каздого р > 2, для каждой х е н (<ЗК), V е> 0 сдаствует единственное езшстоянеоэ решила и е нр(К) задачи (1.1), (3.22).

Рассгготрэна такпэ третья краевая задача. В § 3.4 рассмотрена проблема шкэнтов (3.15) дня общего урав-Еэншз (1.1), ез которой следуют свойства граншшшс задач для разных типов уравнений, которое сравнивается шзду собой.

Теорема 4.9 . Пусть т ? р ^ к > т4, где щ, п еще q берутся ез теорега 4.7. Пусть ншется три набора предложений: I Вектори а1, а2 обладай? Н""э/2 - Нр_эу2 свойством на Ш. 2тк Задача Дирихле = ф е («30) для уравнення (4.1)

шгэет единственное рэшенле и « ^(О).

Зтк Задача Не£г,гана ц^ ^ = ф е Н™"3^2 (Ш) для уравнення (4.1) со свойством (4.6) ег.;э8т единственное с точностью до аднтшной постоянной решение и е Нк (£2).

Утверздается, что тогда I »2 ; 1 =»3 ; 2 .=> 1 .; 3 .=» 1 .; 2 =>3 ;3 =»2

Здесь число q отрайает влшшкз типа уравнения. В эллиптическое случае т1=2, q = О, в гиперболическом и смешанном случаях ш4= = 3, q = 1 + е(ш).

В § 3.5 рассмотрена задача Дирихле (1.1),(1.2), ф=0 с квадратннш п*п шшлексныш матричшш коэффициентами а,Ъ,с удовлетворягараги условия:.!:

прэдпологается, что квадраткчшй пучок Ь(1 Д) = а + ЬА. + с А,2 регулярен, т.е. а(1Д) $ 0 , корни К2, ... , Х2п уравнення о(1Д) = О разлЕчнн, ез 2п собственных векторов найдутся п собственных векторов е1 ,еа,... ,е" пучка 1.(1 Д), удовлетворят^ равенству Ь(1 Д)е3 = 0, различных и линзЕно нвзавпсигллх,ядро оператора Ь(1 Д.) одномерно для всех 3, все корни V / ± I.

Обозначил через <р. торги уравнения tg ф. = -К..

Получено условие на коэффициенты а,Ь,с, необходимое и достаточное для существования нетривиального рэшеная задачи (1.1), (1.2), ф=0 в пространстве вектор-функций rf(Q). Это условие его-ет вид: vesîn, АтаИО, где Ат-определитель явно построенной матрица.

Большой набор систем с нарушенной едгнствзнностьв задачи Дирихле даэт следушээ утверзотэнка.

Теорэлп 5.3. Пусть среда углов фк, к=1,2,...,2п найдутся п+1 углов <р., напрсгзр, <pt, ф2,..., фт1 таксе, что все разности ф.-ф^а значит и все разности ф.-ф., i,j = 1,2,..., п+1) вещественен и % - рациональна. Тогда задача (1.1 ),(1.2),ф=0 is.se? счетный набор нетривиальных Еэкторно-полнномиальЕщ: рзшенпй.

В частности, это так для системы с рес

= О,

(5.3)

= О,

частный вид которой при ц = -/1Г, р=-2 составляв? известные примера Бицадае. Результаты 3 глава опубликованы в работах [31,141, £81,[121,t14],Î171.

В главе 4 изучается вопросы единственности решения граничных задач, основанные на двойственности уравнение-область. При изучении неклассических граничных задач часто возникает ситуация, когда условия нетривиальной разрешимости однородных граничных задач завЕскваатея в виде счетного числа условий на коэффициента уравнения или на область. Встает вопрос, насколько типична эта ситуация ? В главе 4 дается частичный ответ на этот вопрос.

т»

Пусть Я <= к - ограниченная полуалгебраическая область,заданная неравенством Q = (i е r"ip(i) > 0} с вещественным полиномом

д*у а2у + И - д*чг

дх2 сгз? ôx Зх„

1 2 s. г

.. а2? а a*w

- р - + dJ.idxx <

Р, не Бнровдшцикся на границе еа: |?р| * 0 на ей,откуда следует, что ва - гладкая поверхность в Расскэтрш граничную задачу

ь(бх)и = о в о, и |ба = = <1-1>

где Ь - поляноы с ко?шлвксниш коаф^щеэнташ от производят: Вх=-1л7, и(х) е с, V = -^Р/!V?!- вектор внешей нормали к 60. Обо-значш через т к 10 соответственно старший е младшй порядка оператора Ь, р ш ро - старин® и шедший порядки полинома Р, р ^ 2, 7=дп. Будем здесь для простоты рассматривать классические решения задачи (1.1), т.е. ие Сш(0).

Теорелп. 1.1. 1) Если 2 $ р < 10/7, то задача (1.1) обязательно икзет полшошзльное реионсэ. I I

2) Еслн < р ^ е&эется не более чем счетное число ал-

гебраических условий на козффещшнтн полшошв ЬеР, н8вшюлн9-неэ которых влечет только тривиальную разреш&ость задачи (1.1) в

пространстве Сш(0).

Пункт 2) в частности означает,что лебегова (.ара в пространстве

коэффициентов пар полинотв (Ь,Р) заданных степеней множества тех

пар, для которых задача (1.1) имеет нэтривнальное решение,равна . пула.

Теорвш 1.3. Задача Дарахле для ультрагпперболичоского урав-

шшя

и , +... +и. . - а* (и. 4 . +... + и ) = О, и| =0.

11 к к «+-1 Ы г» п ' I по

хх хх хх хх I ш

в шаре О ={х! х*-1 < 0 >, 0 < К < п, шзет нетривиальное решение

в пространства С2(О) для тех и только дня тех а е с, для которых

найдется номэр И «= N такой, что

а2-1

аг+1

г а2~1 ■»

1) при п=2, к=1 иы[ -¡— ] = О,

2) пра п=3, к=1 Р

I У^И >

3) при п=3, К=2

4) при Г&4-

(ар)

где иц,Рц,?м -соответственно полинош ЧебЕшзвз 2-го рода, Леззандра, Якоби. При выполнении условия существует полшяшальное решение негодной задачи. Как следует из теории ортогональных полиномов, гггхсгзство тех а, которое удовлэтворяэт лгбому из этих условий, есть счетное вевду плотное шозество на вещественной оси. Результата 4 главы опубликована в работах [7],С9],И0],[1б].

В пятой главе содержатся дополнительные результаты, связанные методам! или содержанием с материалом прэдздущзх глав. На призере уравнения Лапласа в круге рассмотрена эквиеариантные граничные задачи, получены утверждения о спектре соответствующего оператора. Указано пространство разрешимости уравнения Мазохаты с правой частью Грушана на торэ, доказывается аналогичное утверждение для более общих уравнений с условием типа элжптнчностн. Изучена гшюзллшгтичность оператора с постоянншш 1созф1шщенташ и однородЕшл секеолом на двумерном торэ. Изучается одна задача интегральной геогатрии на сфере. Результаты 5 главы опубликованы в работах т,[21,19],1111.

Основные положения, бынесенныэ ш вещищ.

1). Определение ассоциированных следов фушщдй из области определения манегтльного оператора и изучение их свойств, что позволяет,в частности, подучить необходимое и достаточное условие связи ассоциировавши следов решения однородного уравнения.

2). Построение и изучение пространств ассоцснровгнких следов и связавши с нвия операторов, что позволяет исследовать один класс общих граничных задач, а такав пространства, связанные с дгф!©-

ренциальной операцией.

3). Исследование условия связи ассоциированных следов решения однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, записанного в виде одной проблемы момвнтов, что позволяет,в частности, подучить связь ьшжду свойствами задач Дирихле и Неймана в общей области.

4). Исследование проблема моментов в круге, что позволяет,в частности, сделать вывод о том,что тип дифференциального уравнения с двумя переменными незначительно влияет на свойства граничных задач,которые определяются свойствами упомянутой проблемы моментов.

5). Исследование вопросов единственности решения граничных задач типа Дирихле для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полуалгебраических областях с помощью двойственности уравнение - область, изучение типичности единственности решения граничных задач, изучение единственности решения задачи Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре.

Основные положения диссертщии опубликована в работах:

1. Бурский В.П. О гипозляиптичности однородного диффере-ренциального оператора с постоянными коэффициентами в пространстве периодических функций на плоскости. Сб."Граничные задачи для дифференциальных уравнений",Наукова думка,Киев, 1980.С.39-41.

2. Бурский В.П. О разрешимости уравнения Гарабедяна-Груши-на. Сб."Граничные задачи для дифференциальных уравнений",Наукова думка,Киев,1980.С.35-39.

3. Бурский В.П.Замечания о ядре дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в области//Мат. физика и нелинейн. механика, 1384, вып. 2 (36), с. 43-45.

4. Бурский В.П. О некоторых краевых задачах для уравнений

третьего н четвертого порядков с постояееыш козффздеенташ в круге//Сб."Матем.фззкка и нелинейная I "зхакшсз". 1985. )"4. С. 76-81.

5. Бурский В.П. Гармонический анализ в краевых задачах для уравнений в частных производных с постоянными козффацшнташ //

докл. АН УССР.Сер.А.- 1986.- В12.- С.7-10.

6. Бурский В.П.Краеше задачи для гиперболического уравнения второго порядка в круге // Изв. вузов. Математика.- 1987.-№. - С.22-29.

7. Бурскпа В.П. Единственность решения задачи Дирихле в шаре для волнового уравнения // Ди|фэрешшальныз уравнения.-1588. -24, Я 6.-С. 1038-1039.

8. Бурский В.П. Некоторые краеше задачи для систем дифференциальных уравнений первого порядка с однородны?,! сжзюлом в круге // Сб."Матем.фззшса и нелинейная кэханвка". 1988. №.

С.32-35.

9. БурскЕй В.П. Замечания о задаче Днрахлэ для ультраги-перболнческого уравнения в шаре и интегральной геометрия на сфере //Успехи глатематжческнх наук. 1958. Т.43. £5. С.181-182.

10. Бурский В.П. Гранзчшэ свойства Ь2-рэаенпа лшэАных дк|фзрещщальш1х уравнений и двойственность уравнение-область //

ДОКЛ.АН СССР. 1989. Т.309. £5. 0.1036-1039.

11. Бурский В.П. 00 одной ко55дутатшной днагра1.~1Э,следах рзаеннй и спектре оператора граничной задачи для уравнения Лапласа в круге// Сб."Нелинейные граничные задачи",.02(1990).

-с.13-19.

12. Вурскза В.П. О наруканна единственности решения задачи Дирихле для эллиптических систем в круге // Иатегл.заглэтки. 1990.

Т.48, ЯЗ. С.32-36.

13. Бурский В.П. Об одной коммутативной днаграшэ, связанной с двМеренцаальнш оператором в области// Укр.матем. журнал. -1991,т.43,» 12,С.1703-1709.

14. БурсккЁ В.П. 0 решениях задачи Дирихле для эллиптически! систем в круге // Укр. мат. журн.-19Э2.- 44,$ 10. - С.1307-1313.

15. Бурский В.П. О расширениях дафферешщального оператора

в области// Сб. Нелинейные граничные задачи,£5(1993),с.18-25.

16. Бурский В.П. 0 единственности решения некоторых граничных

задач для да|)ферэнциальных уравнений в области с алгебраической границей// Укр. мат. журнал.-1993.- 45,й 7. - С.898-906.

17. Бурский В.П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с коглплексшаш ко8йациенташ и одной проблеме моментов// Укр.ьгатем.журнал.-1993.-т.45,й 11 .-С.1476-1483.

18. Бурский В.П.Теореш о следах решения уравнения колебания струны в круге. - Киев, 1985.- 35 с.-(Ерепршт/АН УССР. Ин-т

математики; 85.23).

/

Бурский В.11. Некоторые метода и результаты исследования граничных задач для дифференциальных уравнений в честных производных.

Диссертация на соискание ученой степени доктора фязшсо-мате-матическнх наук по специальности 01.01.02- дифференциальные уравнения, Институт прикладной математики и мзхшики НАН Украины, Донецк, 199S, рукопись.

Предлагается и аппробируется несколько подходов к изучению граничных задач для общих уравнений, основавши на форзуле Грина. Изучаются граннчнце свойства Ь2 -решений обгщхг уравнений, что позволяет исследовать один класс общих гранячных задач,а такзз пространства, связанные с дифференциальной операцией. Условия связи следов решения изучаются дая уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в плоской области,исследуются граничные задачи в круге.Изучается типичность свойства единственности решения граничных задач. Результата опубликованы в 18 научных работах.

Bursliii V.P. A methods and results of Investigation of boundary value problems for partial differential equations.

Thesis for Doctor degree In Physics and Mathematics. Speciality 01.01.02- differential equations.Institute of Applied liatheaiatics and Mechanics of Nat.Ac.Scl.of Ukraine.Donetsk. 1996.Manuscript.

Several approaches to study of boundary value problems for general equations, which are based on the Greens'formle, are offered and applyed.The boundary properties of b2-solutions of such equations are studied. This makes possible the study a class of general boundary value problems snd the spaces, which are connected whith differetlal operation. The conditions of the connection of traces of the solution are investigated for equation of second order whith constant coeffitlons in the plane domain.The boundary value problems are studed in the disk.The typicalness of the property of uniqueness of the solution of boundary value problems is investigated.The results are contained in 18 published papers.

Клшов1 слова: ДЕфзр8Нц1альЕЕй оператор, поширзння оператора, гранична задача, гранкчн! властпвост1 розв'язку, задача Дирихле, некоректяа задача, тшюв1сть властивост! еданост!.

*

Подшсано к печати 23.10.96г.Формат 84x60/16. ОбЪем 2.0 п.л. Заказ £ 187. Тира» 100 экз. Напечатано в типографии ПО "Чайка".