Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ЯССЕР ЭЛЬСАИД ХУССЕЙН ЮССЕФ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПРОЕКЦИОННОГО ТИПА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА СЛАБО СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.07 — Вычислительная математика

Автореферат П М> Ш5

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

005567615

Москва — 2015

005567615

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» на кафедре Математического моделирования.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Амосов Андрей Авенирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Нечепуренко Юрий Михайлович, Ведущий научный сотрудник ФАНО России, ФГБУН ИВМ (РАН).

доктор физико-математических наук, профессор Потапов Михаил Михайлович, профессор кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики ФГБОУ ВПО МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО

Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Защита состоится 10 июня 2015 г. в 1630 часов на заседании диссертационного совета ДМ212.157.17 при ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ», где состоится защита по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 13, корп. М, аду. М-508.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ» и на сайте (http://ntb.mpei.ru/).

Автореферат разослан «-12_» апреля 2015 года.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с подписями, заверенными печатью учреждения, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый Совет ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ».

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ212.157.17

к.ф.-м. наук. А. (Ifiy^ Перескоков A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Хорошо известно, что интегральные уравнения возникают при математическом описании разнообразных механических, физических и других процессов. Теория интегральных уравнений активно развивалась с конца XIX столетия, причем одновременно с развитием теории развивались и соответствующие численные методы. Полученные здесь результаты широко отражены в многочисленных монографиях.

Одним из основных подходов к численному решению операторных уравнений (в том числе - и линейных и нелинейных интегральных уравнений) во второй половине 20 века стали проекционные методы, которые подверглись интенсивному изучению. Наибольшее развитие к настоящему времени получили численные методы решения интегральных уравнений с "хорошими" ядрами и правыми частями. Для таких уравнений построены разнообразные методы высокого порядка точности.

Слабо сингулярные интегральные уравнения находят важные применения при описании разнообразных явлений науки и техники. Построение и исследование эффективных приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений является важной и актуальной областью вычислительной математики. Несмотря на значительное продвижение в этой области, методы приближенного решения слабо сингулярных интегральных уравнений с негладкими ядрами и правыми частями исследованы еще явно недостаточно. Построению и исследованию свойств проекционных методов решения этого класса уравнений, в который входит широко используемое в астрофизике интегральное уравнение переноса излучения, и посвящена диссертационная рабта.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение новых проекционных методов решения класса слабо сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, включающего в себя интегральное уравнение переноса излучения, исследование свойств этих методов и разработка алгоритмов их численной реализации.

Ставятся следующие задачи.

1. Построение модификаций проекционных методов Галеркина, итерированного метода Галеркина, метода Канторовича и итерированного метода Канторовича, предназначенных для решения слабо сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода и использующих пространство кусочно линейных функций в качестве аппроксимирующего пространства.

2. Вывод оценок погрешностей этих методов для уравнений с сингулярными негладкими ядрами и правыми частями уравнения,

принадлежащими пространствам £„(./), С(.7) или

3. Разработка эффективных алгоритмов численной реализации рассматриваемых проекционных методов.

4. Проведение серии вычислительных экспериментов для оценки качества предложенных проекционных методов и алгоритмов их реализации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложены модификации методов проекционного типа численного решения слабо сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, использующих пространство кусочно линейных функций в качестве аппроксимирующего пространства.

2. Выведены оценки погрешности предложенных методов в нормах пространств Ь,(,/) и С^) для интегральных уравнений с сингулярными негладкими ядрами и правыми частями / из пространств £р(<7), С(3) и Большая часть оценок отражает свойство суперсходимости проекционных методов.

3. Предложены эффективные методы численной реализации рассматриваемых проекционных методов, в основе которых лежит специальное разокаймление матрицы и использование циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов (СРСС). Доказан результат о кластеризации собственных значений предобусловленной матрицы, который дает теоретическую основу понимания сверхлинейной скорости сходимости метода СРСС.

4. Проведены вычислительные эксперименты, показывающие значительно более быструю сходимость метода СРСС по сравнению с методом сопряженных градиентов. Кроме того, проведены вычислительные эксперименты по применению изучаемых проекционных методов для решения интегрального уравнения переноса излучения, которые демонстрируют особенности поведения погрешностей методов для различных типов данных.

Научная новизна, полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Существенно (по сравнению с предшествующими работами) снижены требования на свойства ядра интегрального уравнения.

2. Получены новые оценки погрешностей четырех вариантов рассматриваемых проекционных методов - метода Галеркина, итерированного метода Галеркина, метода Канторовича и итерированного метода Канторовича в случае, когда в роли аппроксимирующего пространства выступает пространство кусочно линейных функций, а сетка - произвольная неравномерная. Большая часть выведенных оценок выражает свойство суперсходимости рассматриваемых методов.

3. Предложены новые методы численной реализации рассматриваемых проекционных методов.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработаны новые проекционные методы приближенного решения класса слабо сингулярных интегральных уравнений, включающего широко используемое в астрофизике интегральное уравнение переноса излучения.

2. Выведены оценки погрешности построенных методов при минимальных предположениях о свойствах ядра и правых частей уравнений. Большая часть полученных оценок выражает свойства суперсходимости рассматриваемых методов.

3. Построены эффективные и достаточно простые алгоритмы численной реализации предложенных проекционных методов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих международных научных конференциях и научных семинарах:

XXII Международная научно-техническая конференция "Информационные средства и технологии"(Москва, "НИУ "МЭИ", 2014 г.);

XX Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва, "НИУ "МЭИ", 2014 г.);

XXI Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва, "НИУ "МЭИ", 2015 г.);

научно- исследовательский семинар МЭИ по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию под руководством проф.Дубинского Ю.А. и проф. Амосова A.A. (2014 г. и 2015 г.).

Личный вклад.

Теоретические результаты, представленные в работах [1], [2], получены совместно с A.A. Амосовым.

Реализация описанных в работах [1], [2] алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов были выполнены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах [1] - [5], из них 2 - в журналах, входящим в перечень ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 112 страниц текста с 10 рисунками и 9 таблицами. Список литературы содержит 90 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, дается обзор научной литературы но изучаемой проблеме, формулируется цель и ставятся задачи работы, формулируются научная новизна и теоретическая и практическая значимость работы.

В данной диссертационной работе рассматриваются методы проекционного типа численного решения слабо сингулярного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

Ф) = ^о ?£(|т - т'Ыт') dr' + /(г), г 6 J = (0, т,). о

Предполагается, что ядро £ является положительной убывающей функцией, заданной на R+ = (0,+оо), причем £(0+) = +оо (поэтому уравнение сингулярно) и £ е Lr(R+) для всех г 6 [1, +оо) (это предположение означает слабую сингулярность); кроме того, ||£||£,(ц+) < 1/2. Параметр Wo € (0,1) фиксирован. Правая часть уравнения не обязана быть гладкой. Предполагается, что / £ LP(J), 1 < р < оо либо / 6 С(1) либо / £ 1 < р < оо.

Важным примером рассматриваемого класса уравнений является широко используемое в астрофизике интегральное уравнение переноса излучения

Ф) = V ? Bid г - т'Ыт1) dr' + /(т), те J

* О

с ядром 6 = ifSi, где Ех (г) = / - интегро-экспоненциальная

А о

функция порядка 1.

Введем интегральный оператор

Лу>(т) = / £{\т - T'\)<p{T')dT' о

и перепишем рассматриваемое уравнение в виде

ip = го0Л<р + /. (1)

В работе рассматриваются методы проекционного типа, предназначенные для численного решения уравнения (1) и использующие в качестве аппроксимирующего пространства пространство кусочно линейных функций.

Первый из методов - метод галеркинского типа (мы называем его методом Галеркина)

<ph = woPhK<ph + Vhf, (2)

В нем Т>н - линейный оператор, действующий из пространства В (где В = £,(7), 1 < д < оо или В — С(У)) в пространство кусочно линейных функций и имеющий норму, равную единице. В качестве оператора Тн используются усредняющий оператор <г\ оператор ортогонального проектирования 9Н и оператор кусочно линейного интерполирования Отметим, что использование оператора Vк = 1]х приводит к классическому методу коллокации.

Второй из методов - итерированный метод Галеркина (метод Слоана)

= Я70 V + /, (3)

где <рл - приближение, найденное методом Галеркина. Итерированные методы Галеркина были предложены Слоаном в середине 70-х годов прошлого века [Г] - [4*]. Оказалось, что они обладают свойством суперсходимости, то есть сходимости с повышенным по сравнению с классическим методом Галеркина порядком .

Третий метод - это метод Канторовича. Он базируется на следующей простой регуляризации, предложенной Канторовичем [5*]. Пусты/з - решение уравнения (1). Заметим, что у — А<р является решением уравнения

у = Лу + Л/. (4)

отличающегося от -исходного уравнения только тем, что его правая часть / заменена на Л/. Найдем приближенное решение ук уравнения (4) методом Галеркина, а затем вычислим приближение ¡рн к решению по формуле

= ун + 1. (5)

Четвертый метод - это итерированный метод Канторовича, в котором приближенное решение задается формулой

^ = ук + /, (6)

где ук - решение уравнения (4), найденное итерированным методом Галеркина.

В [6*] дан подробный анализ погрешностей проекционных методов решения уравнения (1) в случае, когда в качестве оператора "Рн используется оператор 7т'1 проектирования на пространство кусочно постоянных функций. Отметим, что в [6*] оценки погрешности выведены при следующих дополнительных предположениях о свойствах ядра £:

£ е +оо) для всех <5 > 0 и всех г € [1, оо), £>£■(7-) = о(г"1£(г)) при т -» 0+.

(7)

(8)

В данной диссертации мы отказываемся от этих предположений, заменяя их существенно менее ограничительным предположением

б

¡£г(т)йт~5£г(5) при для всех г > 1. (9)

о

Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 дается информация о важном частном случае рассматриваемого класса интегральных уравнений - интегральном уравнении переноса излучения. В разделе 1.2 приводится нужная для дальнейшего информация о свойствах интегрального уравнения и его решений. В разделе 1.3 приводится структура четырех рассматриваемых проекционных методов - метода Галеркина (2), итерированного метода Галеркина (3), метода Канторовича (5) и итерированного метода Канторовича (6).

Для погрешностей рассматриваемых методов используются следующие обозначения:

£h = Vh-<p, £h = <ph-<p, eh = (ph-ip, £Ь = $Н-<р.

Здесь ip - решение задачи (1), a tph, Tph, !ph, sh - приближенные решения, найденные методами (2), (3), (5) и (6) соответственно.

Следующая лемма содержит вспомогательный результат об оценках погрешности рассматриваемых методов, на котором базируется проводимый в главе 2 их подробный анализ.

Лемма 1.3.1. Пусть / 6 В. Тогда

|И|в<7О||(/-:Рл)И|в> \\£h\\B<li\\A(I-VhMB.

Пусть Af G В. Тогда

It ^Ив < -rilKJ- — II <Ts||A(/-7>fc)A^||B.

к

Здесь и ниже -ук = ^—5—> к = 0,1,2.

1 — tX70

В разделе 1.4 напоминаются проекционные методы основанные на использовании оператора тгн проектирования на пространство кусочно постоянных функций, подробный анализ оценок погрешностей которых был ранее дан в работе [6*]. Выведенные в этом разделе свойства операторов I - 7гл, (I — 7гл)Л, Л(/ - 7гл), А(1 — 7гл)Л используются далее в разделе 2.6. Полученные здесь результаты указывают на то, что оценки погрешностей из [б*] могут быть получены при замене предположений (7), (8) предположением (9).

В главе 2 изучаются свойства четырех проекционных методов решения интегрального уравнения с использованием пространства кусочно линейных функций Sh(J), отвечающего произвольной неравномерной сетке Jh с узлами О = го < т\ < ■ • • < тп = т*. Дополним сетку узлами т_i — tq и rn+i = rn. Положим hi = п - n-i для 0 < г < п +1, fti+1/2 = (hi+1 + /ц)/2 для 0 < i < п и hmax — max /lj.

l<i<n

В качестве оператора Vh используются усредняющий оператор crh, оператор ортогонального проектирования к'1 и оператор кусочно линейного интерполирования £н.

Оператор ан : LP(J) -> Sh(J), где 1 < р < оо, определяется формулой

(*V)(r) = те 7,

г. i=0

где ahf(Ti) = Л^/2 / /(r)e-l(r)dr, е-1 - стандартные кусочно-линейные базисные функции - "шапочки".

Оператор 7гЛ ставит в соответствие функции / 6 LP(J), 1 < р < оо

п ^ _

ее проекцию (9hf)(т) = тгЛ/Ые^(г) на пространство S''(J), которая

j=0

определяется как решение системы уравнений

рР/.Фыл = (/,<#)№, 0 < г < п.

При р = 2 оператор тгн является оператором ортогонального проектирования.

Оператор ih : C(J) S(J) ставит в соответствие функции / 6 C(J) кусочно линейную функцию, совпадающую с / в узлах сетки Jh.

В разделе 2.1 изучаются свойства операторов I — crh, (I - <тЛ)Л, Л(/ - ан), Л(/ — <тл)Л. В разделе 2.2 изучаются свойства операторов 7 — 7ГЛ, (7 — 7г'1)Л, Л(/ — 7ГЛ), Л(/ — 7Г?')Л. В разделе 2.3 изучаются свойства операторов I — £!г, (.I-£h)A,

Раздел 2.4 посвящен выводу оценок погрешностей методов с Vh — <?h. Теорема 2.4.1. 1. Пусть / б LP(J), 1 < р < оо. Тогда

II £h\\Lp(J) 0 при Лшк-^О. 2. Пусть / € LP(J), 1 < р < q < оо, 1/s = 1 - 1/р + l/q > 0. Тогда

II £h\\L,{j) < 24/s-3/97i|^IUp(7)^i(/w/2)(l + о(1)) при hmax О, II < Я'^ЫМь^А^}w/2)(l + о(1)) при Лшах О,

II < 25/(2s'Mi72||v||ip(7)/b1ax«f(W/2)(l + о(1)) при /w 0.

Здесь и ниже Мя - г^'Ц^Ц^^ч.).

Теорема 2.4.2. 1. Пусть / 6 W}{J), 1 < q < оо. Тогда

\\ehhn{j)<2l^o\\D>phl{j)hUL

1|5лИс(7) ^ ЬгНЫы^М^т^ + о(1)) при /w О,

q{J) ^maxj

||e*||c(3) < VtMiWDAipW^h^. 2. Пусть / 6 1 < p < оо, p < q < oo, 1/s = 1 - 1/p + l/q. Тогда

ll^llcp) ^ Z-nMADvWwh

max-

В разделе 2.5 выводятся оценки погрешностей методов с Vh — тгк (классического метода Галеркина и его модификаций). Теорема 2.5.1. 1. Пусть / € LP(J), 1<р<2. Тогда

II^IIW) < 23-1/p7i|lvlUPW^~1/pi(W2)(l + o(l)) при А™ О, И^НъУ) < 29/2-1/p72|^IUp(j)^1/p£2(W2)(1+о(1)) при /^ах 0. 2. Пусть / е L2(J). Тогда ||e''IUs(/)0 при hmax-¥0,

max

S(h

max /2)(1+о(1)) при hmax-> О, II^IIWJ) < 27/27i||¥'IU2(j)/imax5(W2)(l+o(l)) при 0,

И^'Над < 24 72||y||i3(J)^^2(W2)(l+o(l)) при /w^O.

Теорема 2.5.2. Пусть / € 1 < p < 2. Тогда

l|e"|U2W <-n21+1/P[jjDv,||£j>(J)^ri/p£(Amioc/2)(1+o(1)) при /^->0,

II ^lUat/) < 23/272|pA^||MJ)ft;U£(/w/2)(l + o(l)) при hmex 0.

В разделе 2.6 выводятся оценки погрешностей методов с Vh = lh (метода коллокации и его модификаций).

Теорема 2.6.1. 1. Пусть / € LP(J), 1 < р < оо. Тогда

W^WcQ) < 21/p4i\\v\\LAj)hl^pS(hmj2)(l + o(l)) при /w О, W^WcQ) < 21/p,72|^||WCJc/pi(W2)(l+o(l)) при /w 0.

2. Пусть / 6 C(J). Тогда

1И1с(7)-Ю. I|£h||c(7) 0 при

II е^Нсст) < 271||у|||сС7)ЛП11Х£(Лтв/2)(1 + о(1)) при /w -4 О, II 6*11(70) < 272||v||C(7)'lmaxi(/lmM/2)(l + о(1)) ПРИ hmax -» О.

Теорема 2.6.2. 1. Пусть / 6 W^J). Тогда

max max /2) (1 + о(1)) при hmex О, ||£Л|1с(7) < 'П||^1и1(^)Лшв£(Л»и/2)(1+о(1)) при h^ О, ll^llo*(7) <472[||-D^|U1(j) + ||^||c(7)]^axlf2(/imax/2)(l+o(l)) при /w О, ||£"|Ic(7)<472[I|^|Ui(j) + |^||c(j)]^2(W2)(1 + o(1)) при hmsx 0. 2. Пусть / G W^J), 1 < р < оо. Тогда

1|ёЛ|1с(7) < *-w'YiMr,\\D<p\\Lr{j)hBm.

Установлены также оценки производных погрешностей метода коллокации и его модификаций.

Теорема 2.6.3. 1. Пусть / е W}(J), l<q<oo. Тогда

11«ЛеЛ1|£,(7)<С,||^Л¥>||адЛав£(Аяв/2)(1 + о(1)) при hmsx О,

И^Над ^СвРЛ1РНь,У)Лт«х^(Ап^/2)(1 + 0(1)) При Лтах->0,

где ci = 72(71 + 2) и с, = 72 при 1 < q < 00.

2. Пусть / 6 W${J), 1 < р < q < оо, l/s = 1 - l/p + 1/q. Тогда

l|ihehl|L,w<<Vli||r>Hkw^5(/»miHt/2)(l + 0(l)) при /imax->0,

hmsx О,

где Ср,? = 71(71 + 2) при р= q = 1 и Срд — 7i21|/3 при остальных значениях р и q.

В главе 3 рассматриваются методы численной реализации предложенных проекционных методов применительно к решению интегрального уравнения переноса излучения на сетке с постоянным шагом h = т,/п. Акцент делается на реализации метода Галеркина, так как наличия алгоритма его реализации достаточно для реализации остальных методов. Разделы 3.1 - 3.3 носят вспомогательный характер. В разделе 3.1 содержится краткая информация о теплицевых и циркулянтных матрицах. В разделе 3.2 дается описание

циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов (СРСО) и напоминаются некоторые его свойства.

В разделе 3.3 дается краткое изложение алгоритма реализации метода Галеркина с оператором Vй = кк проектирования на пространство кусочно постоянных функций, предложенного ранее в [7*] и основанного на использовании метода СРСО.

В разделе 3.4 описывается алгоритм численной реализации классического метода Галеркина с оператором V'1 = тс'1 проектирования на пространство кусочно линейных функций. Система уравнений метода Галеркина в матричной форме записи имеет вид

Тп-цх = го0Лп+1х + Ь. Здесь х = (х0,х1,...,хп)т, где х{ = ¡рк(п), а Тп+Ь Лд+1 -симметричные квадратные матрицы порядка п + 1, причем матрица Тп+1 -трехдиагональная. Перепишем систему в виде

Ап+1х = Ь, (Ю)

Где ~ / ио V7

Ап+1 - Тп+1 - гооАп+х = I V Ап_1

\Уп+1

Здесь у= ... ,уп-\)т, ту = (и„_1(... ,у2, у{)т ,

Матрица Ап+1 симметрична, положительно определена и такова, что получающаяся после ее разокаймления (удаления первой и последней строк а также первого и последнего столбцов) матрица Ап_! является симметричной, положительно определенной и теплицевой.

Для решения системы (10) предлагается использовать сведение задачи к системе уравнений с теплицевой матрицей А„_х с дальнейшим использованием метода СРСО.

Выделим в векторе неизвестных х подвектор х = {х\,хг,. ■. ,хп-\)т и перепишем систему (10) в следующем виде

иоХо+УГ-х + г>п:г„ = Ьо, (11)

:Г0у + А„_!Х + ХпТ№ = Ь, (12)

ьпхо + w:г • х + у0хп = Ьп. (13)

Из (12) следует, что

х = Ап-1Ь - ^ - (14)

Подставляя это выражение в (11), (13), приходим к следующей системе относительно и хп:

(«о ~ утА^у) х0 + ут-х+{уп- хп = Ъ0- утА~11 Ь, (15)

(и„ - х0 + • х + (^о - \утА~;!.1\у) хп = Ьп- wгA^1b. (16)

Поскольку векторы и совпадают с точностью до инверсного

расположения элементов, достаточно найти лишь один из них.

Таким образом, вычисление решения системы (10) состоит из следующих этапов.

1. Вычисление А^Ь и А^у.

2. Решение системы (15), (16) относительно х0 и хп.

3. Вычисление х по формуле (14).

Ясно, что основные вычислительные затраты производятся на этапе 1 и связаны с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений с теплицевой матрицей А„_1. Для решения этих систем предлагается использовать метод СРСв с циркулянтным предобусловливателем Т. Чена. Следует обратить внимание на то, что каждая итерация требует лишь 0(nlog2 n) арифметических операций.

В разделе 3.4.3 доказан результат о кластеризации вблизи единицы собственных значений предобусловленной матрицы Ап_1, который дает теоретическое обоснование свойства сверхлинейной сходимости метода СРСС.

- М2

Теорема 3.4.1. Справедлива оценка ДГЕ(АП_1) < —--——.

£2(1-1!7О)2

Здесь Ыс{Ап) - число собственных значений матрицы А„, лежащих вне

1 1 / оо н

интервала (1 - е, 1,+ е), а Мн = —= + -р 2 / ЕЦф <И + к / ЕЦг) И

Зл/2 уЗ\ о о

В разделе 3.5 описывается, как этот же подход можно использовать для реализации метода Галеркина с использованием оператора Vй = <тк. Получающаяся здесь система отличается от системы (10) только тем, что в ней Ап+1 = 1„+1 — го0Лп+1, где 1п+1 - единичная матрица.

В разделе 3.6 показывается, как проблема численной реализации метода коллокации (метода Галеркина с использованием оператора £к) сводится к применению построенного в [7*] варианта метода СРСС. Система уравнений метода коллокации преобразуется к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений уА(0) и <рн{т,) и вектора значений разностных производных 6к(рн = (5'1<р^2, <5лу>з/2> • ■ • > йК{Рп-11г)Т-Разокаймление системы приводит к системе уравнений относительно вектора Ьк(рк в точности с той же матрицей А„, которая возникает при использовании метода Галеркина с оператором 7ГЛ и для которой уже построен метод СРСС.

В главе 4 приведены результаты численных экспериментов с описанными в главах 2 и 3 методами, примененными к решению четырех модельных задач для уравнения переноса излучения. В разделе 4.1 описываются используемые тестовые задачи.

Задача I. В первой задаче /(г) = 1 — -ш0, что отвечает наличию

Рис. 1: Графики решений задачи I Рис. 2: Графики решений задачи II

Рис. 3: Графики решений задачи III Рис. 4: Графики решений задачи IV

тождественно равного единице объемного источника излучения.

Задача II. Во второй задаче /(т) = vj0e~T^, где 0 < ц < 1, что отвечает наличию внешнего излучения с единичной интенсивностью, падающего на левую границу атмосферы под углом, косинус которого равен р.

Задача III. В третьей задаче /(т) = Е\{т) имеет сингулярность в точке т = 0.

Задача IV. В четвертой задаче правая часть разрывна: /(г) = 1 при 0 < г < 1 и }(т) = 0 при т > 1.

На рисунке 1 представлены графики решения задачи I для т, = 1000 при

= 0.99, 0.9999, 0.999999. На рисунке 2 даны графики решения задачи II для т, = 10, Сто = 0.9999 для нескольких значений косинуса угла падения внешнего излучения. На рисунке 3 даны графики решения задачи III для т, = 1000 при zu0 = 0.99, 0.9999, 0.999999. На рисунке 4 даны графики решения задачи IV для т, = 100 при ет0 = 0.99, 0.9999, 0.999999.

В разделе 4.2 приводятся результаты численных экспериментов применения метода CPCG для реализации метода Галеркина. Приводятся таблицы, которые демонстрируют явное преимущество метода CPCG по сравнению с методом сопряженных градиентов по числу необходимых для достижения требуемой точности числа итераций. Три из этих таблиц приведены ниже.

Во всех расчетах начальное приближение = 0. При заданной

1|г(Ч||

точности е итерации прекращались после выполнения условия ' < е.

||г<°)||

Для сравнения приведены результаты решения тех же задач методом сопряженных градиентов (СО). Преимущество метода СРСС очевидно во всех случаях.

Ж п«= 256 п - 2048 n = 4096.

.Задачи I CG/CPCG Задача П CG/CPCC , Задача'! СС/СРСС ЗадачаП CG/CPCG Задача I CG/CPCG Задач» 11 CG/CPCG

■ 10-г 7/4 13/5 8/4 12/5 8/4 12/5 t

10 3 8/1 ¡13/6 9/4 14/6 J В/4 14/6

ЮГ« 10/5 15/7 1 10/5......... 15/7 J 10/5 15/7

' Ю"6 14/6 J 8/8 14/6 19/8 14/6 19/8.

Ю-8 17/7 '22/9 17/7 22/10 18// 22/10

Ю-10 20/7 25/10 21/8 26/11 21/8 26/11

Таблица 1: Оптическая глубина г, = 10, альбедо шо = 0.999999

£ п = 256 п = 2048 n = 4096

Зад»ча1 CG/CPCG Задача Ц CG/CPCG Задач»! CG/CPCG ЗадачаП CG/CPCG ;3адача£! 1 CG/CPCG Задача II CG/CPCG

Ю-2 ' 33/6 ; " 60/7 45/7- •79/8 46/7 82/8

10 1 35// • Ь4/Э 47/8 85/10 49/8 88/10*

ю~* 36/8 66/10 49/8: 89/11 51/8 92/12

10"6- 39/9 70/11 | 53/11 94/11 55/11 98/15

Ю-8 42/12 73/11 I 57/13 99/11 59/13 102/16

Ю-1? 44/13 76/11 61/14 103/11 63/14; 107/18

Таблица 2: Оптическая глубина т, = 100, альбедо = 0.999999

Е' Л— 256 ft = 2048 П = 4096

Задача 1 сс/срсе Задача П CG/CPCG Задача X CG/CPCG. -Задача Q CG/CPCG. Задача I CG/CPCG Задача II CG /CPCG

105/9 ' 29/5 284/14 79/6 .334/15. 93/9

ЮГ1 106/10 135/10 288/15 528/21 339/16 623/22

10 • 108/12 207/10 291/16 ■565/23; 343/1/ 665/25

10^ U0/14\ 211/10 297/13 574/24 350/20 6/6/29

10-« 113/15 215/10 301/21 581/24 .356/22... 685/32

10-Ю 114/16 218/10 306/22 587/24 361/23 692/35

Таблица 3: Оптическая глубина т, = 1000, альбедо Ото = 0.999999

В разделе 4.3 приводятся результаты экспериментов по решению тестовых задач с применением рассматриваемых в диссертации проекционных методов а также методов, использующих оператор 7гЛ.

В представленных ниже результатах т, = 10, wo = 0.99; сетка равномерная с умеренно малым шагом h = 10/256 ~ 0.04.

На рисунках 5-10 представлены графики невязок методов с Vh = тгЛ, Vh = nh, Vh = <rh и Vh = th.

Для задач I и II на рис. 5 и рис. 6 представлены результаты, полученные методом Галеркина и итерированным методом Галеркина. Поскольку правые части здесь гладкие, применение регулязации по Канторовичу не дает какого-либо выигрыша. Как и следовало ожидать, наименее точными оказываются методы с Vh — 7гл. Методы с Vh = сгл дают несколько меньшую и более гладкую невязку. Значительно более точными оказываются методы c"Ph = тгн nVh = ih.

Для задачи III с сингулярной правой частью (см. рис. 7) методы Галеркина с Vh = 7ГЛ, Vh = 7ГЛ и Vh = ah дают примерно одинаковые по точности результаты. Использование итерированных методов значительно повышает точность. Методы с Vh — th (метод коллокации и итерированный метод коллокации) к решению задачи III неприменимы, так как /(0) = £а(0) = оо.

На рисунке 8 для задачи III представлены графики невязок, соответствующие методу Канторовича и итерированному методу Канторовича. Видно, что использование регуляризации Канторовича существенно повышает точность рассматриваемых методов. Наиболее точным оказывается итерированный метод Канторовича с Vh = lh.

На рисунках 9 и 10 для задачи IV с разрывной правой частью / представлены графики невязок всех методов. Как и следовало ожидать, существенный выигрыш дает использование регуляризации Канторовича.

Проведенные эксперименты показывают, что для задач с гладкими правыми частями наиболее эффективен итерированный метод Галеркина с Vh = 7гл и Vh = ¿h, а для задач с особенностями в правых частях - итерированный метод Канторовича с Vh = nh и Vh = lh. Во всех экспериментах методы с использованием в качестве оператора Vh операторов ah, nh и £h оказываются более точными, чем методы с использованием оператора Vh = nh.

¿jllpiiww»-* Е

_ ч' ___________ м Ü ц » ¿1 м J ■

1 1

f «

Рис. 5: Графики невязок для Задачи I Рис. 6: Графики невязок для Задачи II

jh :u

Рис. 7: Графики невязок для Задачи III. Метод Галеркина и итерированный метод Галеркина

Рис. 8: Графики невязок для Задачи III. Метод Канторовича и итерированный метод Канторовича

»МямГисропос*'

Рис. 9: Графики невязок для Задачи IV. Рис. 10: Графики невязок для Задачи IV. Метод Галеркина и итерированный метод Метод Канторовича и итерированный метод Галеркина Канторовича

В заключении приведены основные результаты работы, в которой рассматриваются методы проекционного типа численного решения слабо сингулярного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Важным примером рассматриваемого класса уравнений является широко используемое в астрофизике интегральное уравнение переноса излучения.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложены модификации методов проекционного типа численного решения слабо сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, использующих пространство кусочно линейных функций в качестве аппроксимирующего пространства.

2. Выведены оценки погрешности предложенных методов в нормах пространств 1/9(>7) и С^) для интегральных уравнений с сингулярными негладкими ядрами и правыми частями / из пространств С(У) и Большая часть оценок отражает свойство суперсходимости проекционных методов.

3. Предложены эффективные методы численной реализации рассматриваемых проекционных методов, в основе которых лежит специальное разокаймление матрицы и использование циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов (СРСС). Доказан результат о кластеризации собственных значений предобусловленной матрицы, который дает теоретическую основу понимания сверхлинейной

скорости сходимости метода СРСв.

4. Проведены вычислительные эксперименты, показывающие значительно более быструю сходимость метода СРСО по сравнению с методом сопряженных градиентов. Кроме того, проведены вычислительные эксперименты по применению изучаемых проекционных методов для решения интегрального уравнения переноса излучения, которые демонстрируют особенности поведения погрешностей методов для различных типов данных.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Андрею Авенировичу Амосову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Амосов А. А., Юссеф Я. Э. Численная реализация метода Галеркина с кусочно-линейными базисными функциями, используемого для решения интегрального уравнения переноса излучения // Вестник МЭИ. 2013. №6. С. 110 - 124.

2 Амосов А. А., Юссеф Я. Э. О некоторых методах проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений // Вестник МЭИ. 2015. №1. С. 121 - 134.

Публикации в других изданиях

3. Юссеф Я.Э. Применение циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов для численной реализации метода Галеркина решения интегрального уравнения переноса излучения // Тезисы докладов двадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика". 2014. Издательский дом МЭИ. Т. 2. С.20.

4. Юссеф Я.Э. Об одном проекционном методе решения интегрального уравнения переноса излучения и его численной реализации // Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". 2014. М.: Изд-во МЭИ. Т.З. С. 188-195.

5. Юссеф Я.Э. Методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений // Тезисы докладов двадцать первой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика". 2015. Издательский дом МЭИ. Т. 2. С. 16.

Цитированная литература

[Г] Sloan I.H., Burn B.J., Datiner N. A new approach to the numerical solution of integral equations // J. Сотр. Phys. 1975. V. 18, pp. 92-105.

[2*] Sloan I.H. Error Analysis for a Class of Degenerate-Kernal Methods // Numer. Math. 1976, V. 25, pp. 231-238.

[3*] Sloan I.H. Improvement by iteration for compact operator equations // Mathematics of Computation, 1976, Vol. 30, pp. 758-764.

[4*] Sloan I.H. Iterated Galerkin Method for Eigenvalue Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1976. Vol. 13, pp. 753-764.

[5*] Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, Вып. 6 (28), С. 89-185.

[6*] Amosov A., Ahues М., Largillier A. Supercovergence of some projection approximations for weakly singular integral equations using general grids // Siam Journal on Numerical Analysis, 2009, Vol. 47, Issue 1, pp. 646-674.

[7*] Амосов A.A., Дмитриев В.В. Применение циркулянтно предобусловленного метода сопряженных градиентов для' численного решения интегрального уравнения переноса излучения //. Вестник МЭИ. 2005. №6. С. 5 - 24.

Подписано в печать 3 0, ОЬ №$Ь зак> Тир. 4-0 п.л. f Полиграфический центр МЭИ '

Красноказарменная ул., д. 13