Некоторые методы решения смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОБОЗЕВА

Алла Анатольевна

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.07— Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выполнена в Одесском государственном универ ситете.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук, доцент МАСЛОВСКАЯ Лариса Викторовна;

кандидат физико-математических наук, доцент

ФИЛИППОВИЧ Александр Павлович

\

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ДЕМЬЯНОВИЧ Юрий Казимирович; кандидат физико-математических наук, доцент РЕПИН Сергей Игоревич

Ведущая организация —Санкт-Петербургское отделен! Математического института Российской Академии наук.

Защита состоится «. . .».........1992

в ..... час. на заседании специализированного совет Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой ст пени доктора физико-математических наук в Санкт-Пете; бургском университете по адресу: 198904, Санкт-Петербур Старый Петергоф, Библиотечная площадь, 2. Математик механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке име! Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан « . . .» апреля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 063.57.30, доцент

Ю. А. СУШКС

4

едеше.

- : 1 Настоящая работа посвяшода решения систем линейных алгебраических-уравнений, возникающих в смешанных методах коночных элементов в задачах теории пластан н оболочек. - -Решение задач теории пластин а оболочек при помощи метода конечных элементов связано с -трудностями,возникшацями за счот присутствия производных высокого порядка в уравнениях, описшзаюздх. эти задачи.3 сязи с этим для решения ураз-ношй четвертого порядка широкое распространение получили смешанные методы,в хгаторых потглаэтея порядок производных от искомых функций за счет того,что са;.>лгйупкцга и их некоторые производные считается независимыми переменными.Это позволяет использовать простые конечные элементы для аппроксимации неизвестных,так что,хотя в задаче и добавляются поено неизвестные,их общее количество в разрешающей разрояен-ной системе уменыяантся.Системы лилейных алгебраических уравнений в смешанных методах конечных элементов,которые и будут рассматриваться далее,имеют вид А - Ьт 1Г V

4:]-

ь с

w

/1/

где А=/\т?0~ fjvrvJ -матрица, С = с^о-М'М-ттрииа, £>А~ЪТ+00 ,

и w нага будем называть соответственно иомэагами и перемещения!,'ш,отвечая их механическому смыслу; матрица lío но является полоянтольпо определенной.

Широко известны прямые метода,которые используются для решения систем с разрелганни.ш симметричными положительно определенными матрицами [l] .Различные алгоритмы перенумерации неизвестных позволят1 значительно уменьшить,как число арифметических операций,так и объем оперативной памяти ЭВМ при решении таких систем.Существенный моментом здесь является то,что матрица системы полокигелвно определена,следовательно численная устойчивость алгоритма исклвчзния неизвестных гарантируется при любом порядке их нумерации.В слусае же систем с матрицами,не являющимися положительно" определенными, для обеспечения устойчивости необходим выбор главного

элемента.Эго значительно усложняет задачу перенумерации неизвестных с целью пелользовакия разреженности,т.к. приходится идти на некоторый компромисс ыегзду численной устойчивостью и эффективностью алгоритмов,как,напршер,это предлагается в IX] . Однако матрицы.возникайте в Слеиашшх методах конечных элементов,как было недавно показано в[3] ,но своим ' свойствам близки к полоотгельно ■оароделеияим. Они полоазгаель-но полуодределенн, структурно еишэтрнчны. 1лслешшя устойчивость процесса исключают Гаусса обеспечивается при определенных ограничениях на порядок нумерации неизвестных ^ и

.В связи с этим актуальной задачей является анализ уже существующих и разработка кошх учитывающих разреженность алгоритмов в.применении к системам вида /1/.

При решении систем линейных алгебраических уравнений большой размерности в силу ограничат ¿шх ресурсов оперативной памяти часто более, предпочтительны итерационные методы,при. реализации которых нузно лшь хранение ненулевых элементов матрицы спотет.являющейся в методах г.оночшх элементов сильно разреженной.Среди итерационных методов,используемых в методах конечных элементов,наиболее широкое распространение получил метод сопряженных градиентов с предобуславливанием

- 5"! .Поскольку матрица Ко с системе /1/ не является положительно определенной,решение системы методой сопряженных градиентов без соответствующего предобуславливателя невозможно.

Эффективность любого из итерационных методов зависит,в первую очередь,от числа обусловленности матрица цредобуслов-ленной системы.Следовательно,для систем вида /1/ большой интерес представляет выбор эффективного предобуславливателя и анализ практичэской.реализации соответствующих методов.'

Б настоящей работе проводится анялиз некоторых пря!,шх методов решения систем,учитывающих разрешенность матрицы, описывается программная реализация алгоритмов перенумерации неизвестных, профильного .фронтального, профильно-фронтального методов решения системы /1/.

Полученные результаты по использованию метода типа

Холосского позволяет сделать вывод,что рассматриваемые алгоритмы для решения систе»; вида /1/ столь же эффективны, как н соответствующие алгоритмы для решения систем с положительно определенными катрпца:.;и.

3 работе изучаются таюэ некоторые предобуслозленные итерационные ;летоди для решения систем ли:1е.лшх алгебраических уравнений вида /1/ в с;:еаанных методах конечных элементов Гер\;ака-Я'К>ксона и Гер;.шна-1.Мосп. Исследованию этих схем в связи с итераткшшыц ¡¡отодамл решения получаемых систем до сих пор удалялось недостаточно вша-линя, в отлична от скепакноЯ схоыы Съярле-Равьяра.Рассматриваются методы простой итерации и солряю1и-:их градиентов типа Удзави, а гайка адтод сопряяешлн. градиентов,построенный непосредственно для яродсбусловленной системы линейных алгебраических уразпош».й /1/ао аналогии с методом,предложенный в [5] .Лрэдобуславлязателя строятся на основа коночноэлемец?-ного аналога оператора Лапласа.

Исследованные методы реализованы в виде программ на языке 5ортран-?7.Проведен рад вычислительных экспериментов с цельэ анализа рассмотренных методов на практике.

Изучение спектральных свойств предобусловленшх тт-ряц,получаемых в ходе решения рассцатркг-гемой систем /1/, позволяет утворццать.что в случаз выбора лучшего из исследованных предобуславлизателей з методах сопряяэяпых градиентов количество арифметических операций в итерационных и лучшем из рассмотренных пряже методов имеет один и тот хв порядок ,где - параметр сетки,Отличаются лишь значения констант,не зазкеящих от Л .Как показывает вычислительный эксперимент,эти значения наименьшие для метода сопряженных градиентов типа Удзавы с предобуславливателем , если Е. - матрица,отвечающая конечноэлвь;енткому аналогу оператора Лапласа.В этом случае получена теоретическая оценка роста количества итераций в зависимости от шага сетки к. - О [к "'л). Однако, из вкислительного эксперимента следует, что рост числа итераций происходит гораздо медленнее,а для задачи об изгибе пластины практически отсутствует.

Работа состой из введения,четырех глав,закл.очеп;1а и прало-хенж.

3 первой главе сризсдагся постановки реааемкх задач, рассматривается системы линейных алгебраических уравнений, возникающие в скишашшх методах конечных элементов Гер;.:ана-Ддонсона и Гер:йаиа-Ми1юси .

Во втором глава дается обзор лепользуелшх далее результатов относительно прямых й итерационных методов решения систем уравнений.

Третья глава посвящена прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений вида /1/,рассматриваются профильные .фронтальные .профильно-фролталыше алгоритш, приводится описание соответствующих алгоритмов и ирограг^л, результаты вычислительных экспериментов.

В четвертой главе исследуются итерационные методы решения рассматриваемых систем Л'акге здесь проводится сравнение всех изученных в работе алгоритмов на основании вычнелитель-шх эксдериыентов.

В приложениях приводятся тексты подпрограмм на языке <6ортран-77,которые реализуют рассмотренные методы.

2. Лряшэ методы решения систем линейных .алгебраических уравнений,возникающих в смешанных шегодах конечных элементов в задачах теории пластин и оболочек.

Для обеспечения численной устойчивости процесса исключения при решении систем линейных алгебраических уравнений общего вида перестановки строк и столбцов являвтея необходим,что приводит не только к увеличению общего времени решения системы,но и к дополнительному заполнению матрицы. Применение метода Холесского с алгоритмам, учитывающими разреженность,к решению систем ввда /1/,вообще говоря,невозможно. Однако ¡¿атрицы данного класса является структурно сиадметричными,положительно полуопределешшш,близки но своим свойствам к положительно определенным матрицам : собственные значения матриц иаеют положительные вещественные

части;все ведущие шпоры матрицы К,» положительны; К0 единственным образом предстазяыа в виде ^¿„А, ,где И - нижняя треугольная матрица,а 1.1 отличается от ¿-I только зна-хаыи перод элементами,стоящими в позициях (цр , ¿¿л/ ,

гдо порядок матрицы .4 , - порядок матрацы

^ = [ ° 1 > 1 I О

У» • - единичные л/»л/ и матрицы.

Возникает естественное хелание попытаться применить к ним подходы и методы.которые хорош зарекомендовали себя при решении систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами, в частности, использовать для разложения матрицы алгоритм,который явля-"ется аналогом алгоритма Холесского,Вопрос этот не является тривиальным,т.к. не при всякой нулерации неизвестных метод симметричного исключения Гаусса обладает численной устой-чивостыо.Палрдмер.если первыми будут занумерованы перемещения,то вполне возможно,что на первом зе шаге исключения на диагонали будет стоять нуль,потребуются перестановки.

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений вида /I/.

Перенумеруем перемещения произвольным образом.Для этого рационально использовать алгоритмы,позволяющие учесть разреженность магрици,например,Кинга,Катхилла-РАакки или другие.Если при последующей нумерации всех неизвестных перед каадым перемещением вставить все связанные с ним моменты, еще непронумерованные,то матрица системы будет иметь вид

А,, -6ц. А,ь . . . А,,1р.£

Ь1 с^ О с„ . . . О С г,у.

А!, О1 А» -В31 - ■ • -в4,г I /2/

6,м в,т, • • • О Сч,у '

А,!^ От А^ От ...

. ЬГу • • • Ьу

А;( - М;«М; - матрицы, С;< - -матрицы.Очевидно,что

(¿=РкоРт' ,где Р - некоторая матрица перестановок.

Кояяр показать,что процесс исключения в применении к матршз /2/ является числешю устойчивым без какого-либо выбора глазного элемента. Матрица К единственным образом представши в виде ¡¿= ¿¿! .где / - шкияя треугольная катрана, Г ^ Л*г\,.... У«^ «'V

едигшшые матрицы соответствувдих-порядков.Отсюда легко получить форалулн для вычисления элементов :

Зтот алгоритм будем называть обобщенны.; алгоритмом Холесско-ГО, •

Если сравнить иевду собой алгоритм нумерации неизвестных, предлозеннкй выше,с обратный алгоритмом Катхилпа-Макки, используемым для нумерация всех параметров систеш.то можно утверждать,что количества арифметических операций для разложения матрицы а решения систем в тоа и другом случаях имеют один к тот жо порядок обцоо количество неизвест-

шгх/.Профиль матрицы,полученный при предложенной выше нумерации неизвестных,сравнил с профилем,получаемый цосле упорядочения всех переменных при помощи обратного алгоритма Катхилла-Г-акки.

Требования на нумерацию неизвестных для возможности применения обобщенного алгоритма Хсласского к системам,воз-викащш в смешанных методах конечных элементов в задачах теории пластан а оболочек,модно ослабить: вывод для кавдого перемещения всех связанных с ним ыомеэтов вперед не является необходимым.

Цусть при нумераща неизвестных вектор соответствует группе неизвестных иоментов,занумерованных порвьтш, группе неизвестных иершещени!!,занумерованных вслед за моментами аз ,и т.д.Гогда систеш /1/ приобретает ввд: А« -Ь,г Ач -Ь„ ... А.,^,! -й^.у*1 £>,1 С л С4, . . . С,,

, Сц у • • • С>р у. Ж.

"Я

г .4?

/3/

Матрица колет также оканчиваться блочной строкой,соответствующей моментаы,а не перемещениям.

Доказано [ Ь] ,что дрикеяение обобщенного алгоритма Холесского к систекем вида /3/ становится возможный,если столбцы матриц _

линейно независимы.

Задача заключается гпнерь в ти,;,чтобы найти такую нумерация неизвестных,которая бы обеспечивала липейнуз независимость столбцов £ >, ,..., ./услозие А/.

Основная идея при доказательстве утверждений настоящего раздела состоит в следупдеи: хаядый этап алгоритма упорядочения неизвестных выделяет из матрицы системы /3/ подматрицу,которая некоторым образом связывается с краевой задачей на подобласти,икеапой единственное решение.Отсюда будет следовать выполнение условия А для матрица,соответствующей исходной краевой задача.

Допо.'шигэлыгая задача нумерации ио-зпвсгтх заключается э том,чтобы избегать ситуаций,когда незанумерованные моменты тлеются внутри образующихся подобластей,т.к. в этом случае гложет на обеспечиваться единственность решения краевой задачи по подобласти.

Определение. Близкш называется момент,связанный с рассматриваемым перемещением и относящийся к стороне треугольника, содержащей это перекеиэяие.

Теорема,, Пусть начальный узел является моментом и принадлежит границе области,для которой решается задача об изгибе пластины или оболочки. Если алгоритм нумерации неизвестных для каздого порешценик выводит вперед него все его близкие моменты,которые еще не попали в нумерации,причем подобласть на каздом этапе алгоритма нумерации является связной с лилгощевой границей,то для решения ссответствущей системы молег быть применен обобщенный алгоритм Холесского.

Б связи с от;зл для нумерации неизвестных более подробно рассматривается обратный алгоритм Катхялла-лкккк.Оказывается, что лишь небольшие ограничения на формирование исходных данных позволяют использовать этот алгоритм с последующим решением системы обобщенным алгоритмом Холесского,

Изложенные выше идеи реализозапк з виде программы для решения систем, возшкаэдих в смешанных методах Германа-Дтансока и Гсрмана-Пийоси.Решение здесь проводилось профильным методом.

При реализация профильного метода обычно предцолагает-ся.что з оперативной памяти хранится вся оболочка матрицы. Ери решешш больших задач зсзшшаот трудности,связанные с ограниченным объемом оперативной памяти,Фронтальный метод, предложений в [7] и получивяий дальнейиуи разработку в М . [^3;гребуог гораздо меньше оперативной памяти для хранения текущего Фронта матрицы,Это делает фронтальный метод более предпочтительны« для решения больших задач на персональных ЭВ;,1 с ограниченным объемом оперативной памяти и достаточно высокаи быстродействие;.!.

Имеет место слодущая

Теоре;-:а 2. Если на каздом шаге фронтального метода среди всех неизвестных фронта,для которых возмояно исключение, . первыми исютгсеть /пронумеровать/ моменты,а затем переведения, то процесс исключения для решения сисгемн вида /1/ является численно устойчивым.

Б работе рассматриваются некоторые алгоритмы нумерации нанзвестккх с целью сокращения фронта матрицы: два варианта профильно-фронтального упорядочения,предложенного з [9] .обратный алгоритм Катхилла-Какки для нумерации конечных элементов,алгоритм нумерация треугольников по слоям нумерация треугольников»генерируемая нумерацией вершин сетки.

В работе предлагается программа фронтального исключения, приводятся результаты вычислительного эксперимента,даицие возможность сравнить различные алгоритмы нумерации и решения систем.По результатам вычислительного эксперимента выбирается лучший алгоритм нумерации с точки зрения быстроты решения системы- ЙА^-ТЛГ.

3. Итерационные методы.

К ит о рационному рвтаошю систем /1/ существует несколько подходоз.Это,во-первых,шногосеточ!ше методы .Очень тесно связаны с шогосеточными методы декомпозиции области, или разбиения па подструктуры .Сред,и классических

итерационных методов решения систем вида /1/ наиболее иззест-ный метод Удзавц.в котором,по сути дела,система /1/ сводится к системе (1ЬА'|&"Г*-С)«г--^,

При решении систем дянеаннх алгебраических уравнений итерационными методами возникает проблема прадобусдавлива-нля.Если й -некоторая годанная действительная матрица, Р - некоторая действительная яевыроздвшия матрица,то необходимым л достаточным условием сходимости итерационного прошсса У'^-Р'ЧЛ-*' - 4) .построенного для системы = Р~', при гробом начальном приближении,яв-

ляется ,1 1, где (г-Е-Р^Л , собствен-

ные значения 0- .Очевидно,что подбирая соответствующим образом Р .мояпо менять спектральные свойства матрицы (г » тем самим ускоряя яла замедляя сходимость итерационного процесса. Кроме того.одним из основных требований,выдвигаемых к предобуславлнватолга Р является то,чтобы система с матрицей Р решалась достаточно эффективно.

3 работе рассматривается некоторые итерационно методы решения систем вида /1/.Сдан класс алгоритмов основан на методе типа Удзавы с применением простой итерации и метода сопряженных градиентов,где предобуславлиэатоли выбираются по аналог;«: с[4],другой - метод сопряженных градиентов,применяемый непосредственно к продобусловленной системе /1/.

Скорость сходимости итерационного процесса типа Удзавы определяется спектральным числам обусловленности матрицы р-'^ЬА"'Ьт + с).рассмотри» случай,когда ОО/задача Дирихле об изгибе пластины/,а в качестве предобуславливателей используются Р--1 , Р= К. , Р=(?"-,гда I - единичная матрица, К -матрица, являющаяся дискретным аналогом оператора Лапласа с использованием тех ле базисных функций,что и для перемещений у/;, и с теми же граничными условиями, который удовлетворяет

перемещение \л/«_ в смеяаннкх вариационных формулировках. Тогда для смешанных схем Геркака-Дкоксона и Гермака-!Лийоси имеют место следуодне теоре;ш.

Теорема 3. Для любого вектора V/ е К ' существуют такие константы с, , с^,..., сь ,;ю зависящие от ,что

с, (ВА-'ЬЧ/^) £ СдА-Ч*,»*),

сь - (Й^ЬА-'ЕЬ1" *,*/") * С-, й-4 (ч «),

Доказательства этих фактов опирается на свойства билинейных форы о.(м.т'), ^(»и.ц/) ,фигурирующих в смешанных вариационных формулировках,используекнх в сеточных нормах,а такае на некоторых результатах из [4] .

Пусть рассматривается область,составленная из прямоугольных треугольников или прямоугольников,со сторона1.я,параллельными оси,: ко ординат. Пусть такле используется триангуляция области из прямоугольных треугольников.Тогда справедлива

Теорема 4, Для лзобого вектора ые-15?^ существуют такие константы с, ,ш зависящие от Ь. .что с1 б

Заглотим,что хотя при доказательстве аналогичного утверждения в [4] существеннуо роль играет прямоуголвность сетки, • как показывает внчислительшй эксперимент,скорость сходимости не изменится при использовании произвольной триангуляции для произвольной многоугольной области.

Рассмотрим теперь задачу об изгибе пологой оболочки и спектральные свойства матрицы Р=Т ,

Оператор краевой задачи об изгибе пологой оболочки эквивалентен по спектру оператору .Отсюда,а также из теорем для пластик; вытекаег справедливость следуйтей теоремы.

Теорема 5. Для любого вектора «с К1''1 существуют такие константы с,, , .не зависящие от -С ,что е., ¿'Ч«-,«') *((£>£"' Вт+С) ^сД"1^),

а в условиях теоремы 4

Р вида /46/.

Рассмотрим метод сопряженных граниентов,построенный не-посрэдственао для дродобуеловленной системы /1/.Для определенности будок рассматривать задачу Дирихле об изгибе плас-

А &т "Ь о

к> Г0"

ч/

/5/

Р=

'I "и ь1 /е/

0 -Г .

Для /5/ достроим предобуславлйватедь Р в виде Ъ о]

Л IIх - разложение Холесского матрицы £ ,или з /б/./егко показать.что матрица

"-'и о 1

является симметричной и положительно определенной,число обусловленности матрацы К .«шляется величиной порядка 0[1'1), когда Ц.т'Ц,тл 0(к'),ъ случае .Результаты,аналогичные

полученным выше .могу? быть получены и для задач о другими граничными условиям. Однако, каидый вззд граничных условий требует отдельного рассмотрения.

4, Вычислительный эксперимент,

В вычислительном эксперименте проводились расчеты для задач об изгибе пластины и пологой оболочки с условиями шарнирного опиранкя и жесткой заделки.

Для реазяия систем уравнений,получаемых смешанными схемами Герыана-Дтопсона и Германа-Мийоси использовались метод сопряпепннх градиентов и простой итерации типа Удзавы с пред-обуславливателяш I , Е , Й1" .система с матрицей Л на как-дой итерации решалась прямым методом или методам сопряженных градиентов;штод сопряженных градиентов,построенный непосредственно для предобусловлекной системы /1/.В качестве нагрузки использовалась функция 1 .

Наименьшее врэйя решения системы,а также общее время решения задачи достигается при использовании метода сопряжен-

них градиентов типа Удзазы с предобуславллватолеи R1 -КСГУ- К1" .Чккжалъное время является следствие!,; того,что при использовании .МСГУ- количество итераций с уменьшением ^ растет очень медленно и определяется как o[L'vj.Uo на практике число итераций близко к константе,не зависящей отХ. .Но для некоторых задач,например,с концентрированной нагрузкой в центра пластину.каблвдаегся насколько больший рост числа итераций.В случае схеш Гер.\:аиа-Дконсона эе»4-для ¿»{^ и <£=? для £=/(/(£> ,вто вреия.как при ^ Ь для и

для •

3 работе такие приводятся основные требования на оперативную леыять в различных методах.

Из проведенных вычислительных экспериментов следует, что наиболее предпочтительным из рассмотренных алгоритмов для решения систем вида /1/ в смешанных катодах конечных элементов Германа-Джонсона и Германа-!,'дйоси является МСГУ-12<

5. Заключение.

В работе исследованы некоторые прямые и ятередионнне методы реиения систеа линейных алгебраических уравнений вида /1/ и получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый прямой алгоритм решения систем вида /1/,обобщенный алгоритм Холеоского,который является столь же эффективным,как и соответствующий метод для решения систем с положительно определенными ьжицаьш;изучен вопрос о требованиях,накладываемых на нумерацию неизвестных для воз-i'.ozHoro применения обобщенного алгоритма Холесского при решении соответствующих систем.Болев подробно здесь расшотрея обратный алгорятк Кдтхилла-.Чпкки.

2. Проведен анализ нокоторых прямых методов,учитывающих разреженность матрицы, рассмотрены профильны0 «фронтальные,про-филько-фронтальные методы решения систеш /1/я трэбовалия, накладываеше здесь на нумерация неизвестных для обеспечения численной устойчивости процесса исключения.

3.■Исследованы дредобусловленные итерационные методы простой итерации и сопряженных градиентов типа Удзавы.а также предобусяовденный ьйтод сопряженных градиентов.построенный

непосредственно для решения сисгеш /1/. полученной смапгашш-ми методами конечных элементов Германа-Джонсона или Германа-Няйоси.Предобуславливатаяи строились на основе кояечноэле-ментного аналога оператора Лапласа.

4.Все рассмогрбшцо методы реализованы в ввде программ яа языке 5ортран-77.Ировэдон ряд вычислительных экспериментов на основе которых изучены практические возаожности методов.

5.Яря изучении спектральных сеойств лредобусловленных матриц, получаемых в ходе решения рассматриваемой сисчет /1/, установлено,что при выборе лучшего из рассматриваемых прэ-добуславливагелоЯ в методах сопряженных градиентов количество арифметических операций п итерационных и пряшх методах имеет одна и тотяэ порядок L .Как показывает вычислительный эксперимент,наилучшим в этом сынсло язляется iXI7-.В этом случае рост количества итераций происходит со скоростью

Ol*.""1) .

Таким образом,в работе исследованы,математически обоснованы и практически опробованы предложенные прямые и итерационные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений специального вида /1/.Результаты работы отрагеш в [11 - 16].

Литература.

1.Дяордя Л. ,Лю Да:. Численное решение больших разрекенных

систем уравнений.-М.:Мир,1984. 2.55uj| J.S. 2!u a«d «с. Ц. а Jn>n.W iciuvwx joi -icCot'ii^

ui^TOwiticXc - LixXwm aiotti «> iDcMumaitc^

mx, p ЛО-^i.

3.Масловская Л.З. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач.-Х.вычйсл.матеы.и катем.фпз.,1989,Т.29,Я1,с.67-74.

4. jfn.wjui. W. 'Лил. n-umMi/iciun АоWAto dju ¿ysfrv ^¿¿агтои-с-AtCavi Шиихл. -)Г)аМг МИг v. 29-/- 3/0.

5.ü<cUv3ii 0., ¿2. йи tü>ta.ii« «Сое*. joz й nruxed va-uaiit x'CVuaUow dX •jaiivuiXatCoii cf tfu (^¿ut) 4ifiOA>nou.iC pwtitv*.- Ccnvfiu.1 bUttuofo O-fpt. mhc.il. SjOj

P

ß.Масловская Л.В. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского.-К.вычясл.матем.и матем.физ.,1992,т.32.

7.ä«xm в. и. il j-юичлх 4ouitiow_ ьгсjca 4jumx«ä лиaXijvu И-и-иил. 'hOcAitocU ivaj.; шо, г1Л, р. 5-2*2.

8. Ho<xi P.

^.TVuw-t-i. Tribut. Emj. -<0, ISH, p

9. Hcot IH.jAI'ÜVCh t. ¿^mition- vuxnvtcu'i^. a&jcu/öwn

<Ui (x пили«!« ^loiüt tnt-tcu'OL ~ Со>м|г1л<&4Л auct ^witttuua, vbis, v.-kj, лм- v, ¡>. заs-a b°j

10. VVcit ¿f. P.

( iicatioiü й . й tmu - vvvLvwxiVi "fencü-o^ jiouiivt'i-Ä ixductißk aUjOiiillm jox Ja'nv-Ü lLavjmX аиоХ^Зм,— ß^t,^.

11.Кобозева A.A.,Масловская Л.Б. Программная реализация обобщенного алгоритма Холесского для некоторых смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач.-К. вычисл.матем.и матем.^из, ,1990,т.30,¡<-3,с.420-429.

12.Кобозева A.A..Масловская Л.З, Обобщенный алгоритм Холесского в задачах теории пластин л оболочек,-Дел.в УкрПИИШИ 1990, М067-УК90.

13.Кобозева A.A..Филиппович А.Я. Фронтальный и профильный методы реаения систем линейных алгебраических уравнений в смешанных методах конечных элементов.-Деп.в УкрНИШПИ 1930, Х2032-J к90'.

14.Кобозева A.A..Филиппович А.П. О некоторых итерационных методах решения смешанных дискретных аналогов краевых задач теории пластин и оболочек.-Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума "Петол дискретшх особенностей в задачах мата:атмчоской фаз кки",1S91,Сдо сса,ч.1,с.73-74.

15.Кобозева A.A..Филиппович А.П. Некоторые итерационные метода решения снсте:.; линейных алгебраических уравнений, возникавших в смешанных методах коночных элементов в задачах теория пластин и оболочек.Т1асти 1,2,-Деп.вУкрНИШГИ Ш1,Г134а-Ук91 ,К1549-Ук91.

IG.Масловская. Л.Ü. .Кобозева A.A. ,Яйтова II.Я.Эффективные методы решения смешанных дискретных аналогов краевых задач механики твердого депортируемого тела. Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции "Эф-£екптние численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела", 1989,Харьков.