Некоторые модельные задачи механики деформируемого твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛКЦШ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО-КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Миняев Игорь Сергеевич

НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В.Г.Демин кандидат физико-математических наук Ю.Г.Марков

доктор физико-математических наук, профессор Р.Г,.Мухарлямов кандидат физико-математических наук В.В.Сидоренко

Московский авиационный технологический институт им. К.Э.Циолковского

Защита диссертации состоится 4 0-0^. 1992.г. в •

на заседании специализированного Совета Д.053.05.01/№1 по механике при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: П9899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

Автореферат разослан 2.-ОЬ- 1992г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этак ) .

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.01 при МГУ, к.ф.-м.н.

Д.В.Трещев

. ' Я ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. В различных областях науки и техники возникает необходимость рассматривать твердые тела как сплошные среды, обладающие конечной жесткостью. При этом определение деформаций имеет самостоятельное значение. Однако существует широкий крут задач, например, при исследовании динамики движущихся крупногабаритных конструкций или при изучении эволюционных процессов в небесной механике, в которых расчет деформированного состояния носит, как бы, вспомогательный характер при описании влияния конечной еесткос-ти планеты или элементов конструкции на движение всей систеыы как целого. В настоящее время эта область механики интенсдвно развивается, о чем говорит большой объем публикаций на эгу тему. Многие вопросы динамика твердого деформируемого тела исследованы в работах А.И.Л^рье, Д.М.Климова, В.Ф.Нуравяева, В.В.Румянцвва, Ф.ДЛер-ноусько, В.Н.Рубановского, В.Г.Вильке, В.В.Белецкого, В.А.Самсоно-ва, Л.В.Докучаева, Ю.А.Садова, В.В.Сидоренко, А.П.Маркевва и других авторов. Детальное описание движения бесконечномерных механических сйстем как целого приводит к дифференциальным уравнениям, в большинстве случаев не поддающихся аналитическому исследованию, так что возникает необходимость использования ЭШ для получения конечного результата. Наряду с численным решением точных уравнений для понимания общих закономерностей движения сложной механической системы представляот научный и практический интерес решение модельных задач. Это позволяет проводить качественный анализ движения деформируемых систем.

Цель работы состоит в изучении вращательного и поступательно-вращательного движения систем упругое-твердое тело, опродэлодвп стационарных движений и их устойчивости.

Метод исследования. В рассматриваемых задачах оказывается недостаточным классический подход теоретической механики, основанный на модели абсолютно твердого тела. Использование вариационных принципов позволяет распространить формализм лаграняевой и гамиль-тоновой механики на деформируемое твердое тело. Особенностью рассматриваемых задач является наличие в них составляющих движения, имеющих различные характерные времена, а также применимость линейной теории упругости малых деформаций. Метод исследования представляет собой сочетание методов модального анализа и малого параметра.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

- развит метод разделения движений и модального анализа на случай осесимметричного упругого тела, при этом выведены оценки погрешностей поручаемых приближенных уравнений;

- изучена эволюция регулярной прецессии осесимметричного вйзкоупругого "1;ела, подтверждено "правило большой оси"; исследовано его движение относительно центра масс в центральном гравитационном поле сил;

- получены приближенные уравнения, описывающие монотонное замедление быстрого осевого вращения и изменение наклона вектора кинетического момента в сторону плоскости орбиты центра масс; в ■ частном случае, когда упругая часть выполнена в виде длинного тонкого стержня, найдено дополнительное стационарное по углу наклона движение, которое является неустойчивым;

- выведены динамические уравнения, описывающие упругие колебания осесимметричного тела в обобщенных координата;:; в задаче о переориентации упругого спутника дана оценки отклонения его движения от программного (для твердого спутника) ;

- изучена приливная эволюция поступательно-вращательного движения системы деформируемая планета-естествонный спутник в поле

притягивающего центра; показано, что предельным движением спутника является монотонное уменьшение радиуса его орбиты относительно планеты; построен фазовый портрет эволюции вращений и средних движений;

- рассмотрен один из возможных механизмов поворота плоскости орбиты естественного спутника; показано, что при достаточно быстром вращении планеты обратные орбиты переходят в прямые, а наклон прямых орбит монотонно уменьшается до нуля.

Достоверность результатов. Решения задач получены с помощью математически обоснованных методов классической механики в сочетании с методами механики сплошных сред и снабжены необходмыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность основных результатов с работами других авторов. Достоверность результатов основывается также на строгости приводимых оценок погрешностей. Количественные результаты подтверждены численными расчетами.

Практическая пенность. Проведенные исследования могут быть использованы: 1) при анализе движения (управляемого или неуправ- ' ляемого) вокруг центра масс большой упругой конструкции; 2) при создании высокоточных теорий движения планет и их спутников, отвечающих точности современных наблюдений.

Апробация работы. 'Материалы диссертации были доложены на:

- ХУ научных чтениях по космонавтике (Москва,январь 1991г.) ;

- Республиканской конйГюренции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" ( Донецк, сентябрь 1990г.) ;

- семинарах кафедры теоретической механики механико-математического (Факультета МГУ, руководимых проф.В.А.Самсоновым, В.Г. Вильке и просб.В.Г.Деминым (1989, 1990, 1991 гг.) ;

- семинаре кафедры теоретической механики МАИ (1990г.) ;

- семинарез по небесной механике ГАИШ (1989г.) .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [1-7] .

(¡¡уруктута и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, сшска литературы, включающего 69 наименований. Ее общий объем 145 страниц, в том числе 8 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается краткий обзор литературы, относящейся к теме диссертации, обосновывается ее актуальность, излагается краткое содержание работы.

Первая глава содержит необходимый материал, который используется на протяжении всей работы. В ней постулируется справедливость вариационного принципа Гамильтона для рассматриваемых деформируемых твердых тел. Это позволяет описывать двикение таких непрерывных систем в рамках обобщения аналитической классической механики. В сжатой форме даны некоторые сведения о построении функционалов внутренних упругих и диссипативных сил. Вводится модель линейной теории вязкоупругости малых деформаций, применением которой ограничиваются дальнейшие исследования. ( модель Кзльвина-Фойг-та) . Приводится уравнение упругих деформаций, следующее из принципа Гамильтона и. совпадающее с принципом Даламбера-Лагранжа, записанного для соответствующих деформациям виртуальных перемещений . Отмечается, что при исследовании малых линейных колебаний упругих систем применяют метод модального анализа, при котором решение неоднородного уравнения деформаций ищется в виде

я*? <], $(?)

разложения по собственным (главным ) формам ^ свободных упругих колебаний; обобщенные координаты ^ подлекат определению, а векторы считаются известными функциями координат "¡Г

Излагается метод исследования, применяемый в данной работе при решении задач в главах П и 1У. ОН основан на асимптотическом подходе к построению приближенных уравнений, описывающих долгопе-

риодические движения в системах с распределенными параметрами. Движение деформированной системы как целого задается каноническими переменными , » а Уравнения дви-. жения записываются в форме уравнений Рауса:

С v L ^

i ш - Ш +Q. = 0 Uh а 00)

с использованием функционала Рауса

, где

Т . & , U - соответственно функционалы кинетической энергии системы и потенциальной энергии упругих деформаций и массовых сил, в которых оставлены члены не выше квадратичных по •

Наличие диссипативных сил Q ^ приводит к затуханию колебаний' с собственными частотами ^ . При достаточной жесткости тела вводится малый параметр £ =Со/^ , где 0J - характерная частота движения тела как целого, . Обозначим » Т ~ (jc - период и характерное время затухания колебаний

на наинизшей частоте "i г Т ~ СО , ~f - безразмерный коэф-

о J

фициент, характеризующий диссипацию энергии в материале. Предполагается, что удовлетворяются неравенства Т Т{ ^ Т0 . или в безразмерной форме:.

0< £<<эг«1, ¿>0. Сз)

Режим движения, устанавливающийся после затухания собственных колебаний, называется долгопериодическим. Ему соответствует частное решение уравнений для ^ , в котором обобщенные координаты ^ определяются как функции I , f , после чего уравнения для и ^ не зависят о г . Переменные ^ ищутся в виде ряда «о гщ

ъ. = Г £ г СО

К- hiM ? br> л

и тогда упругое смещение будет равно

»пи к

Невозмущенным является движение, при котором £=0 , а возмущающими являются силы внутреннего упругого взаимодействия и трзния. Отбрасыванием в С 2 ) членов порядка 0 С £ ) и выше получаем систему независимых уравнений

^ «V

в которых правая часть не зависит от ^^ » у^ » а сами эти уравнения описывают квазистатические деформации. Решение (4) представляется в виде:

к» Чц

где штрихом обозначено дифференцирование по 'С- . , а функция

^ получена при "26 = 0 : ~ ^ • При определении должно полагать, что переменные I ^ и Ч*удовлетворяют уравнениям невозмущенного движения. В рассматриваемых задачах конструкция функционала I/ такова, что уравнения (1) представши так

где -малый безразмерный параметр, а X " £ X ¡^ > Ч^СУ^} периодические функции аргумента ^ , Со- ^ . При вычисле-•нии ф. , имея в виду ограничиться первым приближением метода ус-реднешя, полагается, что 1^=0, С1) . При этом в ^

отбрасываются члены порядка

^ 1 • Значения обощенных координат в квазистатическом рожимо деформаций будут

\= ОСбУОСеаеУ ОСекг Д (6>

В дальнейшем выражения С6 ) подставляются в у|шшения (5 ) к которым применяется метод усроднония.

Во второй главе решаются задачи о движении вокруг центра масс системы упрутое-твердое тело по инерции- и в центральном гравитационном поле. Проводится обобщение задачи на случай, когда система представляет собой осесимметричное упругое тело ( тело вращения) , имеющее жесткое закрепление с твердым телом. Другая часть границы свободна.. Задача решается при следующих предположениях:

- в недеформированном состоянии вся система динамически симметрична и ось'динамической симметрии совпадает с осью симметрии упругой части;

- упругая часть однородна ( J> = сСНтлЬ) и изотроцна, граничные условия осесимметричны; диссипативные силы описываются моделью Кзльвина-Фойгта;

- центр масс С деформированной системы обращается по эллиптической орбите и его движение не зависит от движения системы относительно центра масс; центр масс принадлежит твердой части;

- характерный размер £ системы намного меньше радиуса R орбиты центра масс;

- характерные времена Т > Т . Т удовлетворяют ( 3 ) .

, О А

В центре масс С нэдеформированной системы вводится система координат С х^х^х^ , жестко, связанная с твердой частью, в которой - главные центральные оси инерции недеформированной системы, с'хг - ось симметрии упругой части SL . Радиус-вектор частицы тела £ (ас,}xlt:rs}относительно точки С будетi *?+йг , Ы-U.- 1Х_С , где ъх и и. - векторы упругого смещения относительно осей С х ■ и С ОС^ ; - радиус-вектор, проведенный из точки С в точку С (то есть смещение центра масс при деформациях ). Вектор К может быть найден в виде

причем предполагается, что собственные «-ормц V' и W, ортонорми-

fcm Rm

рованш. Уравнения упругих колебаний, получаемые из принципа Да-

ламбера-Лагранка, представляются следующим образом:

<со,У >-](. Д )Ах, 'ла/скг, -с^СоЯ .

' fem ' Ьп '

Здесь и далее интегрирование ведется по области JQj . Малый параметр равен 8,-44о)/S> , где V(О") - характерная составляющая угловой акорости ¿0 системы. Уравнение для р^ следует из (7) заменой ^ на V, ; 0 (О - матрица перехода от связанных

femn few

осей к осям Кенига С р,, рг • Движение системы как целого от-

носительно центра масс описывается в переменных Андуайе (1с, Ч*

. В случае'быстрых вращений величина Сл30/^(о)<<1,

где 00 - среднее движение центра масс по орбите. Тогда эволюция о —^

переменных X, и I, происходит в £. раз медленнее, чем эволюция . Поэтому сначала изучается эволюция Х1 ; при этом и 15 считаются постоянными, а невозмущенное движение - регулярная прецессия. Решение уравнений ( 7 определяется согласно вышеизложенному алгоритму. Коэффициенты разложения инерционных и гравитационных сил определяются выражениями

L ,.= {v х. ix, С x-cLx, Св>

• bnl J Rt*ij J bi I '

-r I

где tm' '^kwl ~ проекции векторов V^ и W^ на оси С Х^ф Свойство' осесимметричности упругой части позволязт проинтегрировать (8') по цилиндрической координате f и определить, что

~ ^(tmi,'= ^^ С найти собственные Формы,- на которых

происходит возбуждение колебаний ) .

Далее показывается, что при С?А ( где А и С - эквато-

риальный и осевой моменты инерции недеформированной системы ) регулярная прецессия заканчивается устойчивым стационарным вращением вокруг оси симметрии Схз , а при А >С ~ устойчивым стационарным вращением вокруг вектора момента количеств движения системы относительно центра масс 0- , лежащего в плоскости Сос^эс^.

Получены уравнения, описывающие эволюцию быстрого осевого вращения системы в гравитационном поле. В невозмущенном движении угол £ между б- и нормалью к плоскости орбиты С || и угол не постбянны (происходит нутация и прецессия вектора б ) , причем о ~ чч

-О С ") . При определении деформаций с ошибкой порядка (£ ) принято £г М7,- 0 . Усредненные уравнения движения, полученные с ошибкой порядка 0(366;+ ) , например, в случае С>А имеют вид:

оо о оо ^ ^ г. оО

Ф = (.е) - функции эксцентриситета е орбиты, - ее большая полуось , р= ), -ОЭ, (1-ё") Из (9") следует, что 1,<0 - вращение системы затормаживается. Ирй а<0 ( когда

5Г< 5< ") ¿>0 и угол ^ убывает; при 'X >0 (^/а <• с> < О)

^ п

X < О - угол о возрастает. Вектор С наклоняется к плоскости

орбиты, стремясь занять положение, при котором сг^Ь'-•

гз 3

Характерное врэмя эволюции пропорционально [£ X«.С^] . • • •

В общем случае имеется еще два стационарных по. £ движения Х- + 1 , которые неустойчивы. Однако, если 0 , например,

когда упругая часть выполнена в виде длинного прямолинейного стержня, то Х= 1 становится асимптотически устойчивым и существует еще одно (.неустойчивое') стационарное движение ХМ-х3>хз £ 1 . при котором расположен вблизи оси . В этом случае, если

X <• 1- Х3 то & эволюционирует в сторону плоскости орбиты к значению 5" , если жеХ>4-хз, то в- стремится к положению^.

Товтья глава посвящена развитию динамической модели упругих колебаний. Движение цроисходит под действием момента вращения, приложенного к твердой части. Для получения аналитических выкладок предполагается, что каждому номеру ^ собственных форм соответствует одно значение т . Подстановкой и в принцип Дала-мбера-Лагранка получается бесконечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенных координат ^ и р^ , для записии которой в явном виде вычисляются коэффициенты:

Далее •рассматривается динамика Кк, моделируемого системой уцругое-твврдое тело, на участке разворота при переориентации. Вращение системы вокруг центра масс как целого описывается динамическими уравнениями Эйлера

- компоненты тензора инерции, деформированной системы. Цри осуществлении оптиыального по быстродействию разворота вокруг оси Схг значения проекций внешнего уцравляицего момента на уча-

стке ускорения будут

Предполагается, что малая осциллирупцая добавка в выражении дляМа обусловлена, например, несовершенством работы исполнительных органов. Непосредственной проверкой показывается, что при начальных условиях Ц(0)=^3СО)=С^,((Л=0 0,<существует частное решение О С описывапцее плоские вращения КА. Вводятся безразмерные переменные

, и малый па-

раметр , где - расчетные значения

продолжительности участка ускорения и угловой скорости твердого спутника в момент его окончания. Функции и р» представляются по степеням £ следующим образом:

Ро^Р^"" Ра^Чг*'"' Р^мЛ"

Записывается система уравнений для со^и р^

" К,' а О - а0 р;; ? оС0 > «.-сонь*,

С10)

Частные решения Со Ши системы (10) используются для оп-

¿О ' п

ределения Функций р и Р , соответствующих вынужденным упругим

I 02, ' ь»б

колебаниям. Найденные ро) и рга представляются в уравнение для функции (х>ао , в котором затем для выделения медленно меняющейся составляющей усредняется правая часть по переменной Из полученного уравнения

следует, что отклонение фактической угловой скорости упругого спутника от программной ( усчитанной для твердого спутника ) проис-

ходит в среднем линейно по времени. Скорость нарастания этого от-

г -ъ ь

клонения порядка £ С £/ и за продолжительность участка уско-

*" г\г 2 ~г г\

рения = 'С. это отклонение составит величину ~(Д£ 'С. При

резонансах вида = ^ , , р. - (коэффициенты

а-=с£Нгь"Ь~ О СО являются линейными комбинациями- вычисленных ранее) величина отклонения увеличивается в ае раз ( при малом Э£«1 ^ по сравнению с безрезонансным случаем.

В четвертой главе исследуются приливные явления в небесной ' механике. Рассмотрены две задачи. В первой изучается эволюция поступательно-вращательного движения системы деформируемая планета (с масоой - спутник (материальная точка с массой Ш ) в поле

притягивающего центра. Рассмотрен плоский вариант эллиптической задачи трех тел, при котором ось вращения С^Х^ планеты ортогональна плоскости орбит центров масс планеты Са и спутника С относительно общего центра масс системы С ( большая полуось взаимного движения Д-^ , среднее движение Л» , эксцентриситет ") , и точки С относительно притягивающего центра 0 Сце) . Вводятся следующие малые величины (£,£•_«!, с=0,...,Ъ)

^=^(0/0.(0), еа=£/а4(0),_ £3=-гЦ0)/гц(0),

Вычисляются функционалы потенциальной энергии притяжения планеты и спутника между собой и притягивающим центром. Поступательное движение центров масс описывается в переменных Делоне, а вращение

планеты в канонических переменных Р V - соответственно момент

У '

количеств движения и угол поворота вокруг оси симметрии. Для определенности полагается, что мевду малыми величинами имеют место

а

с<?отношения эквивалентности £0~£, ~ £3 . При вычислении деформаций прецессия перицентров не учитывается. С целью выделения эффектов приливной эволюции уравнения движения усредняются по средним аномалиям орбитального движения точек С^ и С . Для нагляд-

2. 1

ности осуществляется переход к переменным , х^е,, » эс- с .

С ошибкой порядка OCseS't-S^') получено:

V^AWffl^^ • С11)

Л , G - орбитальные моменты точек C¿ относительно точки С и точки С относительно точки 0 ; - гравитационный параметр точки 0 • ; ' , ^ - аналогичны.^

в (9) ; уравнения для Х^ и X опущены.

Из СИ) показывается, что относительное изменение среднего движения П.4= гц/п.А(о)и е4 происходит намного медленнее С в £0 раз), чем изменение У-ЧУ^Чо). В то же время эволюция ri=n./n(о) и е

. J.--! л/

протекает вС£3£4.) раз медленнее, чем эволюция и е^ . Поэтому полагая ГЦ,е,71г,€-<UW>t полупим, что если YCo)> Ч'4 , где

то и V монотонно убывает до-значения (вращение плане-

ты замедляется) ;.. если же , то V возрастает до У*

( вращение планеты убыстряется") . Положив V- показывается, что форма орбиты точек Cj_. вокруг точйи С стремится к круговойСх^сО), :а ее большая полуось убывает 0) . При этом большая полуось орбиты точки С монотонно увеличивается, а ее эксцентриситет возрастает .

Во второй задаче изучается механизм медленного изменнния наклонения l орбитальной плоскости спутника (точки с массой W ) за счет работы внутренних диссипативных сил со стороны деформируемой планеты С массой И) в круговой задаче двух тел. В невозмушеньом движении абсолютно твердая динамически сжатая планеты равномерно вращается вокруг оси симметрии. Плоскость орбиты спутника сов^рша-

ет прецессию и нутацию с угловой скоростью порядка А-(А_С)Д . Среднее движение точки С отличается от П. ( среднее движение для квплеровой орбиты) на величину ~Д . При вычислении деформаций орбита считается кеплеровой с ошибкой порядка

0(£ сЕ £ ) , так как

~ £. << { . Малый- параметр £ введен так ' а н/г -х г

Уравнения движения получены с ошибкой

¿^Л^^й^^н^^)]С12)

Уравнения для ^, А - опущены. Показано, что при стационарном движении' орбита спутника расположена в плоскости экватора планеты, причем угловая скорость вращения планеты равна среднему движению спутника 4*= П. . Такое стационарное движение устойчиво для орбит, радиус которых удовлетворяет условию

и неустойчиво в противном случае. Из (12") следует, что в случае невра-щаицейся планеты ( Р^ - 0") изменение наклона орбитальной плоскости может происходить как к экватору планеты, так и в обратном направлении. В зависимости от соотношений между \> могут существовать * с

и промежуточные стационарные положения орбитальной плоскости. Вращение планеты воздействует на наклонение орбиты и эволюционный процесе приводит к тому, что она совмещается с плоскостью экватора планеты, при этом существуют Только два стационарных по X движения (устойчивое), Xе- 1 (неустойчивое). Исследована эволюция плоских вращений системы планета-спутник в задаче двух тел, построен фазовый портрет на плоскости (.4', ^Л • Показано,

I

что в зависимости от начальных условий изображающая точка либо попадет в область устойчивых стационарных движений Я *

2/3-1/3 Г 2/3 ЗЛ

(С^-Сгуг».)! о, , , е=Р/А=РуСоНЛ(оУ)

либо стационарных движений не существует ( б- < и величина П. монотонно возрастает, радиус орбиты спутника убывает . В качестве примеров рассмотрены системы Плутон-Харон, Марс-Фобос.

Исследована эволюция плоских вращений системы планета-спутник в круговой задаче трех тел. Уравнения движения получаются из С11), если в них положить е, = е = О и тогда все = 1. «В предположении, что П-= , построен фазовый портрет в осях С% И-,, У Показано, что стационарных движений (устойчивых или неустойчивых) не существует, а предельным движением материальной точки (спутника ) является монотонное увеличение ГЪ4 , то есть монотонное уменьшение радиуса его орбиты относительно планеты.

В заключении перечислены основные результаты работы. Основные положения, выносимые на защиту:

- предложено развитие метода модального анализа и малого параметра на случай осесимметричного упругого тела;

- в рамках допущенных предположений исследовано движение относительно центра масс вязкоупругого твердого тела в центральном гравитационном поле сил;

- выведены динамические уравнения, описывающие упругие колебания осесимметричного тела в обобщенных координатах;

- изучену закономерности приливной эволюции в наклонениях и вращениях естественных небесных тел.

Литература

1. Марков Ю.Г., Миняев И.О. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на эллиптической орбите // Космич.исслед., 1990. Т.28. Вып.4. С.483-495.

2. Марков Ю.Г.,Миняев И.О. Сг влиянии внутренних степеней свободы на движение осесимметричного упругого тала вокруг центра масс //' Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1991. С.12-18.

3. Марков Ю.Г., Миняев И.О. К вопросу о механизме, поворачивающем плоскость спутниковой орбиты // Космич.исслед., 1991. Т.29. Вып.2. С.201-211.

4. Марков Ю.Г., Миняев И.О. К динамике космического аппарата с упругими колеблющимися массами // Космич.исслед., 1991. Т.29. Вып.5. С.685-694.

5. Миняев И.О. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на круговой орбите. П. // Космич.исслед., 1990. Т.28. Вып.6. С.943-947.

6. Миняев И.С. О вращении упругого тела в гравитационном поле. Республиканская конференция "Динамика твердого тела и устойчивость движения". Тезисы докладов. Донецк, 1990.

7. Миняев И.О. К вопросу об учете микроускорений для упругого спутника. ХУ научные чтения по космонавтике. Тезисы докладов. Москва, 1991.

Зак 82 Тир 75 экз.