Некоторые непертурбативные аспекты теории Янга - Миллса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Козлов Игорь Евгеньевич

НЕКОТОРЫЕ НЕПЕРТУРБАТИВНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ЯНГА-МИЛЛСА

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003449119

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор А А Славнов

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Ведущая организация Объединенный Институт Ядерных Исследований, г Дубна

Защита состоится 23 октября 2008,г в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного Совета Д 501 002 10 при Московском Государственном Университете им M В Ломоносова (119991, г Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд СФА)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ

Автореферат разослан сентября 2008 г

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 501 002 10

доктор физико-математических наук Ю В Грац

В Г Борняков,

кандидат физико-математических наук Д Г Левков

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) занимается описанием сильных взаимодействий Ее модель, основанная на теории Янга-Миллса, хорошо предсказывает экспериментальные данные и является примером внутренне согласованной полевой теории Для описания процессов с участием сильного взаимодействия чаще всего используются пертурбативные методы, такие, как диаграммная техника Их применение базируется на использовании характерного свойства КХД, известного как асимптотическая свобода, и заключающегося в уменьшении значения бегущей константы связи КХД с ростом энергии Однако, в инфракрасном диапазоне энергий возможности пертрубативных методов, основанных на разложение по константе связи, как по малому параметру, сталкиваются с существенными ограничениями, вызванными ростом бегущей константы связи при уменьшении энергии Между тем, такие интересные КХД эффекты, как, например, конфайн-мент, нарушение киральной симметрии, а также свойства КХД вакуума имеют инфракрасную природу, а потому требуют принципиально иных, непертурбативных методов исследования Целью диссертационной работы является изучение различных явлений КХД в инфракрасной области с использованием эффективных моделей, метода вакуумных корреляторов и подходов, основанных на компьютерном моделировании

1.2 Цели и задачи исследования

1 Изучить калибровочно-инвариантные конструкции ежеобразных петель Вильсона В частности, исследовать поведения данных объектов при различных температурах в фазе конфайнмента, деконфайнмента

2 Теоретически исследовать топологические свойства вакуума глюоди-намики в рамках метода вакуумных корреляторов

3 Применить метод вакуумных корреляторов для исследования распределений локальных конденсатов в окрестности удерживающей КХД

4 Описать явления нарушения киральной симметрии и конфайнмента цвета в рамках одной эффективной модели КХД, показав таким образом возможный механизм связи между рассматриваемыми непертур-бативными эффектами

струны

1 3 Научная новизна

1 В результате проведенного аналитического и численного исследования было показано, что нелокальные калибровочно-инвариантные конструкции ежеобразных петель Вильсона действительно являются физически интересными степенями свободы в теории Янга—Миллса и связаны с удержанием цвета Ежеобразные линии должны естественным образом возникать в эффективных моделях, призванных качественно описать свойства конечно-температурной КХД плазмы, и использующих значение линии Полякова как основную переменную

2 При помощи метода вакуумных корреляторов в предположении гауссовой доминантности получены аналитические выражения для величин коррелятора квадрата плотности топологического заряда и топологической восприимчивости Теоретическая оценка величины топологической восприимчивости хорошо согласуется с результатом компьютерного эксперимента

3 Были введены определения "пробников" - величин, измеряющих значение локальных конденсатов вблизи струны, которые позволили исследовать влияние удерживающей струны на распределения величин плотности глюонного конденсата и квадрата плотности топологического заряда Было показано, что обе указанные величины подавляются в непосредственной близости от оси струны, что качественно согласуется с результатами численных экспериментов.

4 Использование идеи выделения эффективных степеней свободы (абе-левых монолей) в рамках эффективной модели дуального сверхпроводника КХД позволило связать явления конфайнмента цвета и нарушения киральной симметрии -

1,4 Положения, выносимые на защиту

1 При помощи компьютерного моделирования показано, что для модели глюодинамики, описываемой в рамках теории Янга-Миллса с калибровочной группой 5(7(2), в фазе деконфайнмента существенно увеличивается плотность термальных ежеобразных линий с центральным зарядом, близким к значению линии Полякова в вакууме

2 Получена теоретическая оценка коррелятора квадрата топологической плотности и величины топологической восприимчивости при помощи метода вакуумных корреляторов

3 Показано, что глюонный конденсат и локальная топологическая восприимчивость подавляются в непосредственной близости от оси хро-моэлектрической струны, которая удерживает (анти)кварки в барио-нах и мезонах

4 В рамках модели дуального сверхпроводника для КХД при нулевой температуре показано, что конденсация монополей, обуславливающая дуальный эффект Мейссиера, необходимый для реализации эффекта удержания цвета, приводит к образованию кваркового конденсата, нарушающего киральную симметрию в пределе безмассовых кварков

1.5 Апробация работы и публикации

По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы в ведущих российских и зарубежных научных журналах, включенных в перечень ВАК

Основные результаты диссертации докладывались на на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий", Москва, 2007

1.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения Список литературы включает в себя 116 наименований Общий объем диссертации составляет 133 страницы В диссертации содержится 14 рисунков

2 Содержание работы

Введение посвящено обоснованию актуальности выбора и описанию предмета исследования диссертационной работы Последующие главы строятся по следующему принципу они начинаются с более подробного обсуждения контекста, в котором возникла идея проведения исследования, далее следует постановка задачи, краткое описание применяемых методов, хода работы, а в заключении приводятся полученные в разделе результаты Вторая глава начинается с обсуждения важной роли, которую играют так называемые "дефекты" при объяснении смены режимов динамики поведения полевых систем В качестве иллюстрации данного утверждения коротко рассматриваются свойства эффективной модели Гинзбурга—Ландау, в которой "дефектами" являются вихри Абрикосова, так как в местах их локализации (в сверхпроводнике второго рода) происходит восстановление состояния вещества из сверхпроводящего в нормальное Модель Гинзбурга-

Ландау интересна также и потому, что на ее основе была предложена эффективная модель дуального сверхпроводника, качественно описывающая поведение кварков в фазе конфайнмента цвета Эта эффективная модель КХД базируется на выделении полевых дефектов (абелевых монополей) для объяснения перехода конфайнмент-деконфайнмент Для полноты изложения также был коротко описан метод абелевых монополей (Ч Hooft[/ Nucí Phys В - 1981 - 190 - с 455,) и было показано, какие свойства являются общими для абелевых монополей и монополей 'т Хофта-Полякова из модели Джорджи-Глешоу Оказалось, что для всех перечисленных выше дефектов характерно особенное "ежеобразное" поведение полей в местах их дислокации, которое обуславливает нетривиальную топологию всех рассматриваемых полевых объектов

Далее приводится краткая справка о теории Янга-Миллса, как общепризнанной модели глюодинамики, вводятся используемые обозначения Обсуждается эквивалентность формализмов полевых переменных Ам и петель Вильсона Wc(xо) Выдвигается предположение о том, что формализм калибровочно-инвариантных петель Вильсона может оказаться более удобным для описания калибровочно-инвариантного эффекта конфайнмента цвета, а потому ставится вопрос о существовании особенностей в петлях Вильсона аналогичных уже известным полевым дефектам Ответом на него служит приведенное далее определение ежеобразной петли Вильсона в случае теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2), для чего в соответствие произвольной петле Вильсона Wc{xо) ставится объект 1с(жо)

Гс(хо) = Г£(го)у = Wc(xo) - ¿Wc(x0), (1)

где сга - матрицы Паули

Петля Вильсона Wc{xо) называется ежеобразной, если

1 Гс(хо) = 0, Wc(xо) = 2 leZ2, где заряд г = ±1, (2)

2 в некоторой окрестности х точки Xq справедливо

Гс(х) = уУ01Ы (х-хау + 0((х-хо)2), где detr^O (3)

Затем приводятся примеры петель Вильсона, удовлетворяющих и не удовлетворяющих условиям определения петля Вильсона с контуром, проходящим через точку локализации монополя Богомольно-го-Прасада-Зоммерфельда, является ежеобразной, а в вакуумной конфигурации ежеобразных петель нет

Заметим, что замена в условиях определения ежеобразной петли Вильсона (2) и (3) Г'с на Ф1 (компоненты триплета хиггсовских полей модели Джорджи-Глешоу) позволяет в точности описать свойства полевой конфигурации вблизи монополя 'т Хофта-Полякова Наряду с этим приводится

ге I Ai(x,xi)dxi | , L = (4)

детальная сравнительная характеристика ежеобразных нетель Вильсона, вихрей Абрикосова и монополей 'т Хофта-Полякова на основе их топологических свойств, свойств цветовых полей дефектов, корреляционных функций, пространственного расположения, а затем констатируется установленное между ними сходство На этой основе выдвигается предположение о возможной важной роли ежеобразных петель Вильсона при рассмотрении фазового перехода в глюодинамике

Дальнейшее рассмотрение ведется в евклидовой метрике для того, чтобы можно было использовать в исследовании возможности компьютерного моделирования на решетке Параметром перехода конфайнмент-деконфайнмент является частный случай петли Вильсона - линия Полякова

(

¿(f) = Рехр

V 0

• в фазе конфайнмента {L) = О,

• в фазе деконфайнмента (L) ф О

Функционал L является основной переменной эффективной теории поля [R D Pisarsh// Phys Rev D - 2000, - 62 - с 111501), позволяющей качественно описать фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент и согласовать следствия данной модели с известным поведением петли (линии) Полякова в случае КХД Так предполагается, что в области низких температур (Т < Тс) имеется глобальная Zi симметрия

L{x)-+zL[x), z = ±le2Z2, (5)

а наиболее вероятное значение L(x) = 0 При повышении температуры выше критической (Т > Тс) вакуум системы расщепляется на два L = ±Lmin, один из которых и будет предпочтен С дальнейшим ростом температуры вакуумное состояние приближается к одному из центральных значений

L± = ±1, (6)

поэтому при повышении температуры следует ожидать увеличения плотности статических ежеобразных линий, характеризуемых центральным зарядом 2, близким к предпочтенному системой одному из двух вакуумных состояний (L) При этом, плотность статических ежеобразных линий с наибольшими значением |(L) — z\, то есть далеких от состояния ставшего вакуумом системы в фазе деконфайнмента (при Т > Тс), должна стать меньше по сравнению с их плотностью в фазе конфайнмента (при Т < Тс) Кроме того, при высокой температуре наиболее вероятно наблюдать именно

статическую ежеобразную линию Действительно, рассмотрение динами ки полевой системы при конечной температуре происходит в евклидовом пространстве-времени, в котором время «компактифицировано в окружность с длинной, равной обратной температуре С увеличением температуры уменьшается длина компактифицированного направления, и бозонные калибровочные поля с ненулевыми матсубаровскими частотами несут все большее действие, а потому подавляются Следовательно, с ростом температуры увеличивается вероятность наблюдения именно статических еже-образных петель Вильсона, соответствующих нулевой матсубаровской частоте, с контурами, направленными-строго вдоль компактифицированного направления времени, то есть линий Полякова

Далее приводится вывод формулы плотности ежеобразных линий Полякова в непрерывном пределе

после чего это определение переносится на язык дискретного решеточного формализма Решеточный вариант плотности (7) может быть выражен в следующей форме

где выделены вклады петель с положительными и отрицательными вкладами в общую плотность

Для численного изучения статических ежеобразных линий была смоделирована БЦ (2) калибровочная теория с стандартным действием Вильсона на асимметричной решетке 1?ак = 203 х 4 с периодическими граничными условиями для полей по всем направлениям Выло использовано 100 независимых конфигураций для каждого значения константы связи из интервала от/3 — 22 до/3 = 25 Калибровочная 311(2) теория для такой решеточной геометрии имеет фазовый переход второго рода при /3 и 2 30 Измеряемое в компьютерном эксперименте значение линии Полякова, проходящей через точку х, обозначается Рх\и) Формула плотности вероятности распределения значений линии Полякова дается формулой

Приведенные на рис 1 данные подтверждают предположения эффективной теории в фазе конфайнмента наблюдается симметрия относительно преобразований Ь —Ь, а в фазе деконфайнмента она нарушается, вакуум расщепляется на два возможных, в один из которых и переходит система (в представленном на рис 1(6) случае вакуум отрицательный,

Р[Ц = р+[Ь] + Р4Ц

(8)

(9)

о

1

08 06 04 02 0

В=2 2

исходные симметризованные

Т<Тс

-0 5

Q

1

08 Об 04 02 0

|}=2 5

исходные -е-

«

« симметризованные -и

Т>Тс

05 1

L

-0 5

05

(а) (6)

Рис 1 Примеры распределений линий Полякова (9) в фазе конфайнмента (а) и деконфайнмента (б) показаны полыми кружочками Закрашенные кружочки соответствуют симметризованным распределениям

то есть наиболее вероятное значение линии Полякова отрицательное) Так как в компьютерном эксперименте используются решетки конечного объема, то система может совершать переходы из отрицательного вакуума в положительный и обратно Поэтому, за счет большого числа таких переходов, распределения (9) станут симметричными относительно замены L<r->—L Симметризованные распределения также представлены на рис 1 На рис 1(6) можно заметить два максимума, они соответствуют значениям L = ±L mm В соответствии с данными, приведенными на рис 2, наблюдается резкое увеличение плотности ежеобразных линий с зарядом z = —1 (p_[L]), соответствующих значению ближайшему к нарушенному вакуумному состоянию Ежеобразные линии со значением центрального заряда равным z — +1 (p+[L)) удалены от значения нарушенного вакуумного состояния, и поэтому подавлены в пределе бесконечно высоких температур Симметризованная плотность (pq\L] = \{p-\L] + />+[£])) также демонстрирует менее выраженный, но все же заметный рост при увеличении температуры и переходе в фазу деконфайнмента В фазе конфайнмента все вышеперечисленные плотности принимают одно и то же значение рсоп{ ~ const и не зависят от температуры (/?) в пределах ошибок Таким образом, термальная плотность ежеобразных петель

6pz(T) = pz(T)-pz(T = 0), z = ±l, (10)

наряду с симметризованной величиной изменения плотности бро, является параметром порядка при конечно температурном фазовом переходе кон-файнмент - деконфайнмент Для сравнения на рис 2 (а) представлено поведение общепризнанного параметра порядка - линии Полякова

0.4

0.3

л

>-1 0.2

0.1

▲ ▲

▲ /

т<тс J т>тс

А

2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5

ß

(а)

0.06

0.04

0.02

* р. V р, - • R) .А..... А...... А А А jé ^.......... •.........."...........

•.......• 1 : т<тс т>тс " W , Y ? V.

2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5

ß

(6)

Рис. 2: Представлены среднее значение линии Полякова (а), плотность р2 статических ежеобразных дефектов, соответствующих положительным и отрицательным центральным зарядам (г = +1 и г = -1), их усредненная величина ро (б) как функции температуры (р).

Третья глава посвящена изучению топологических свойств вакуума глюодинамики, представляющего собой нетривиальную физическую среду в смысле структуры и наблюдаемых свойств. Наиболее известной топологической характеристикой полевой конфигурации является величина топологического заряда Q. Однако, в теории Янга-Миллса среднее значение топологического заряда тривиально, поэтому в качестве основной глобальной топологической характеристики рассматривается величина топологической восприимчивости х- Актуальность исследования топологических свойств КХД вакуума, в частности величины х, Для адронной феноменологии подтверждается исследованиями Э. Виттена (Nucí. Phys. В - 1979. - 156. - с. 269) и Г. Венецйано (Nucí. Phys. В - 1979. - 159. - с. 213). Кроме того, определение точного значения величины топологической восприимчивости х представляет собой предмет интенсивных численных исследований, основанных на моделировании калибровочных теорий на решетке (например, A. Hart and, М. Терег// Phys. Lett. В - 2001. - 523. - с. 280). Величины х и Q связаны следующим образом:

* = Jim Ь

V-*oa V

[(Q-(Q)f)=limJ^ = i(q(0)q(x)) d4x, (11)

где q(x) - объемная плотность топологического заряда,

■ (-aßftv Tr(Fa/3(z)F

pi/ (x)).

q{x)

(12)

32п2'

Исследование проводилось в евклидовом пространстве-времени, что позволило сравнить полученные теоретические расчеты величины х с ее зна_

чениями, вычисленными в ходе последних решеточных симуляций теории "чистого" Янга-Миллсас калибровочной группой Si/(3) (S Durr, Z Fodor, С Hoelbhng and T Kurth// JHEP - 2007 - 0704 - с 055)

Все результаты главы были получены в рамках метода вакуумных корреляторов (например, А Di Giacomo, Н G Bosch, V I Shevchenko and Yu A Simonov// Phys Rept - 2002 - 372 - с 319 ), центральным объектом которого является элемент алгебры su(N)

го) = Ф(зо, x)FMI/(z)$(:r, х0) (13)

В соответствии с формулой (13) величина J-ßl/(x, хо) тождественно равна величине тензора поля ^„(ж), вычисленной в точке х, и соединенной с точкой хо при помощи линии Швингера Линия Швингера определяется при помощи нелокальных величин фазовых факторов Ф(жо) х) и %о) = Ф^{хо,х), представляющих собой фрагменты петли Вильсона,

( 7 \

Ф(х,х0) = Рехр ге / AM(z)tizM (14)

Из произведений Т^х^х^) можно составить различные калибровочно-инвариантные объекты Вакуумные ожидания таких объектов называются корреляторами Простейшим является двухточечный коррелятор

г2 г

Множество корреляторов

содержит всю информацию о динамике полевой системы Важную практическую роль играет подтвержденное косвенным образом предположение гауссовой доминантности утверждающее, что вклады во все физические наблюдаемые, идущие от корреляторов высших порядков п > 2, могут рассматриваться как поправки к лидирующему вкладу от двухточечного коррелятора В соответствии с решеточными вычислениями двухточечный коррелятор может быть представлен в виде

D^aß(Xi,X2,Xo) = D® g{Xi,X2,Xo) = , X0) faß(x2, X0)) (15)

Dpvaß(z) = {SpaSuß - bßß^va'j D(z2}

1

+ 2

0 д

-Q^-{zJvß - Zß5va) - -^■{Zaby.ß - ZßSpa) Dt(z2), (16)

П,(г2) = /1,вХр(-М)+^ехр(-И) , (17)

где корреляционные длины Тд и Л также, как и префакторы А, и Ь,, г = 0,1, могут быть определены исходя из решеточных данных В выражениях (17) слагаемые с множителями £>о и Ь\ обусловлены непертурбативной составляющей, а слагаемые с множителями Ло и А\ - пертурбативной Изучение корреляторов в компьютерных экспериментах с использованием процедуры охлаждения, позволяющей избавиться от ультрафиолетовых расходи-мостей, показало, что с формулами (16), (17) корректнее работать на больших расстояниях (г > 1 5фм), в инфракрасном пределе По этой причине полученная методом вакуумных корреляторов формула

• ([од + ад] + лад)

описывает скорее непертурбативную часть коррелятора квадрата плотности топологического заряда Но, так как топологическая восприимчивость является сугубо непертрубативной величиной, можно рассчитывать на получение корректной оценки ее значения на основе формулы (18) Подставляя (18) в (11) и учитывая только непертурбативную часть корреляторов (17), имеем

Х = Я(0)[1>(0) + А(0)]1? (19)

Для численных расчетов использовались данные из работы Е Мегиола-ро (РЬуБ Ье^. В - 1999 - 451 - с. 414), в которых часть, отвечающая большим расстояниям (г > 1.5 фм), не изменяющаяся при осуществлении процедуры охлаждения, была профитирована только непертурбативными членами (17) То есть константы Ъо и Ь^, отвечающие пертрубативной части коррелятора, были сразу положены равными нулю-

Ьо = 0, Ьг = 0 (20)

Наконец, прямое вычисление восприимчивости (19) при помощи непертурбативной части полевых корреляторов дает следующий результат.

Хлеог = 196(7) МэВ (21)

Примечательно, что полученный в данной главе результат (21) с учетом небольших ошибок, совпадает с численным значением

Хкшсе ~ 193(9) МэВ , (22)

полученным в ходе решеточных симуляций

Четвертая глава посвящена дальнейшему применению метода вакуумных корреляторов для исследования непертурбативных свойств КХД Предметом рассмотрения стало распределение локальных конденсатов в окрестности удерживающей КХД струны Согласно общепринятой гипотезе удержание кварков и антикварков внутри бесцветных адронов происходит из-за образования хромоэлектрической струны КХД. Хромоэлектри-ческие потоки между кварками и антикварками, внешне напоминающие струны, действительно были обнаружены в ходе численных исследований теории Янга-Миллса на решетке (например, G S Bah// Phys Rept -2001 - 343 - с 1) В этих исследованиях было обнаружено, что хромоэлек-трическая струна сжимается в тонкую трубку, причем плотность энергии хромоэлектрического поля на ее оси возрастает по отношению к вакуумному среднему Плотность глюонного действия (или, что то же самое, глю-онного конденсата), напротив, подавляется в непосредственной близости от оси струны В общем случае логично предположить, что присутствие хромоэлектрических струн должно оказывать влияние и на распределение плотности топологического заряда. Результаты численных вычислений, проводившиеся сначала с использованием процедуры охлаждения, а потом и в неохлажденном вакууме показали, что величина топологической восприимчивости на оси струны действительно подавляется Также было обнаружено, что увеличение длины струны приводит к расширению области подавления величины топологической восприимчивости в направлении, ортогональном к оси струны Таким образом, структура струны и, в частности, ее форма (ширина) может быть изучена на основе анализа информации о поведении различных локальных величин вблизи ее оси Роль таких переменных в данной главе играли' величины плотности топологического заряда и глюонного конденсата, для измерения которых в непосредственной близости от струны были введены соответствующие "пробники"

Формирование удерживающей хромоэлектрической струны может быть хорошо описано в рамках метода полевых корреляторов (D S Kuzmenko and Yu. A Svmonav // Phys Lett В - 2000 - 494 - с 81) Для этого вводится калибровочно-инвариантный "пробник"

определяющий в точке х /^-компоненты глюонного потока, наведенного кварком q и антикварком д, перемещающихся вдоль замкнутого контура С, точка хо € С В целях удобства далее рассматривается случай нераспадающегося статичного мезона Т —► оо В гауссовом приближении

fUx) = =

(W(C)>

-1

(23)

Здесь и далее опущены поправки, выходящие за рамки лидирующего порядка На основе аналитической формулы (24), с учетом анзаца (16) и параметризации (17) можно показать, что хромоэлектрический поток между кварками действительно сжимается в трубку (струну) конечной ширины Значение вакуумного ожидания хромоэлектрического поля вне границ статичной струны равно нулю

Обобщая указанный подход, вводится "пробник"

сс(, _ е2АГ (Тг^(х, хо) х0) ]У(С)) У2 {Х) ~ ~2тг* (ТУИ^С)) (25)

плотности глюонного конденсата,

е2

G2(x) = —2F;v{X)F;v(X), (26)

а также "пробник"

VC(„ , ч _ е4 (Тг F^jx, дгр) J>(a;, ха) Faß(y, х0) Faß{y, жр) W{C)) . Х (TrW{C)) [ '

локальной топологической восприимчивости (квадрата плотности топологического заряда (12)),

Хя(х) = q2(x), (28)

в присутствии в вакууме внешнего источника - мезона В (27) применяется стандартное обозначение Taß =

В случае рассмотрения группы SU{2) пробники (25), (27) обладают наглядным физическим смыслом

^^IwicT1 (29)

п (q(x1)q(x2)TrW(C)) Х^Н-щщ--(30)

Проводя вычисления в рамках подхода полевых корреляторов, имеем.

8${х) = £{х) -G2 = , (31)

5Xc(z) s )f{x,x) - x, = -¿(^ + (32)

Выражение (31) ((32)) показывает, что глюонный конденсат (локальная топологическая восприимчивость) имеет большее значение в непосредственной близости от струны по сравнению с вакуумным значением

С2 = { х) ) = (<?(х)д(х))), то есть вдали от струны. Так как указанная разница (31) ((32)) является неположительной б любой точке пространства, то это означает, что струна подавляет значение этой наблюдаемой. Сделанное утверждение наглядно иллюстрирует типичное распределение следующей величины:

= = (33)

Рис. 3: Влияние струны на величину глюонного конденсата (плотности топологического заряда) (33), вычисленное при помощи метода полевых корреляторов. Струна направлена вдоль координатной оси г, а ее центр совпадает с началом координат. Расстояние по продольной г и поперечной р осям отложено в фм. Вертикальная ось соответствует глюонному конденсату (31) в единицах значения вакуумного ожидания Подавление восприимчивости топологического заряда определяется формулой Ях ~ 2 Rg-Расстояние между кварком и антикварком составляет 2фм.

Струна оказывает влияние на поведение флуктуаций топологического заряда (32), по сути, такое же, как и на глюонный конденсат (31), рис. 3. В частности, ширина поперечного сечения струны, вычисленная при помощи рассматриваемых величин, одинакова и равна

Т

^string ~ ~2 ' (34)

Представленное на рис. 3 распределение качественно напоминает результаты, полученные в ходе численных вычислений плотности глюонного конденсата (Л. М. Green, С. Michael and P. S. Spencer// Phys. Rev. D - 1997. - 55. - c. 1216) и топологического заряда (M. N. Chernodub and F. V. Gubarev// Phys. Rev. D - 2007. - 76. - c. 016003) в окрестности струны. Количественное сравнение в данном случае неуместно, так как результаты численных вычислений учитывают поперечные квантовые

флуктуации струны, не принимаемые во внимание в данной главе

Пятая глава начинается с обсуждения указаний на тесную связь нарушения киральной симметрии и конфайнмента цвета Так как описание указанных эффектов из первых принципов теории КХД представляет пока еще не решенную задачу, предлагается, для начала, попытаться объединить упомянутые явления в рамках эффективной модели В качестве подходящей рассматривается модель дуального сверхпроводника, хорошо описывающая конфайнмент кварков Одним из важнейших свойств дуального сверхпроводника является факторизация глюонных степеней свободы на пертурбативные ("фотонные") и непертурбативные ("монопольные"), и доминантность монопольного вклада в различных непертурбативных наблюдаемых и, в частности, в формировании КХД струны Также существуют численные указания на доминантность вклада монополей в киральный конденсат в различных теориях (например, R J Wensley// Nucí Phys Proc Suppl - 1997 - 53 - с 538) Краткое введение заканчивается с анонсирования результата главы в рамках модели дуального сверхпроводника будет показано, что наличие монопольного конденсата, обуславливающего конфайнмент цвета, ведет к образованию кирального конденсата

Построение эффективной теории КХД со сконденсированными абелевы-ми монополями стартует с реальной модели КХД Ключевыми моментами феноменологического обоснования используемой далее инфракрасной модели дуального сверхпроводника для КХД (35) являются применение метода абелевых проекций и подхода, предложенного Званзигером (Phys Rev D - 1971 - 3 - с 880) Использование метода абелевых проекций позволяет выделить в остаточных калибровочных полях, наряду с фотонными, монопольные компоненты, а также помогает объяснить конденсацию последних, гарантировав тем самым невылетание цвета Метод Званзигера позволяет, путем введения дополнительного регулярного дуального калибровочного поля, избавиться от сингулярностей, вызванных присутствием абелевых монолей, что удобно для вычислений

Cdgl = ~[п [д А A)]"[n *(ЭЛ B)]„ + ¿[n (Э Л В)]> *(ЭЛА)]„-

~[п {дЛ А)}2-^[п (ЗлВ)]2 + $(г ß-e{4 H)-m)ip +

з 2

+ £[(гЭм-<?(еа Bß))Xa -А(Ы2-г>2)2], (35)

а=1

где три монопольных поля, Ха с а = 1,2,3, взаимодействуют с двумя дуальными полями, В — посредством длинной производной, в

которой 6*1 = (1,0),€2 = ,бз = - корневые вектора

группы 5(7 (3) Дуальное калибровочное поле В взаимодействует с оставшимся после применения метода абелевых проекций калибровочным полем А = (А^ А^), что описывается посредством обобщенного лагранжиана Зван зигера Поля А взаимодействует с полем фермионов ■ф Физические наблюдаемые (то есть квантовые средние от калибровочно-инвариантных операторов) не зависят от направления произвольного 4-вектора Пр, если заряд монополя подчиняется правилу квантования Дирака,

ед = 2тг (36)

Здесь е,д - электрический и магнитные заряды, А, V параметры модели, также используются следующие обозначения

[а (Ь А с)]" = а^ДЬ^с" — Ъис^), [а *{ЬАс))" = ам^Ьаср, (а Ь) = арЫ1, (о Ь) = агЬг, п2 = ПрПа2 = а'а' Теперь задача главы может быть сформулирована математически строго монопольный конденсат, |(Ха)| = V, приводит к появлению фермионно-го конденсата, (ф ф) Для простоты изложения используется приближение среднего поля, то есть отбрасываются флуктуации 5Ха монопольного поля, Ха — V + $Ха> полагается Ха = V В производящем функционале производится интегрирование сначала по дуальному В, затем по А калибровочному полю для чего предварительно добавляется £-член, фиксирующий ло-ренцеву калибровку После чего обсуждаются симметрийные свойства полученного лагранжиана фермионное поле ф является триплетом по цвету (ф = (ФиФг,Фг))> а лагранжиан симметричен относительно перестановок компонент триплета (ф, ф3) Аналогичной перестановочной симметрией обладает и нарушающий киральную симметрию фермионный конденсат

{№,) = (фф) ^ (37)

Исходя из соображений упрощения формул, далее рассматривается только одна компонента фермионного поля Соответствие между упрощенной однокомпонентной и исходной триплетной моделями достигается переопределением электрического заряда

02

е1-сотр = е2Н2 ^ ~ (38)

Далее е2_сотр обозначается как е2, а подразумевается переопределение (38) Полученное интегрированием калибровочных полей упрощенное одно-компонентное действие в пределе нулевой фермионной массы имеет вид

Б[1ф,-ф] = 1^хс14у^ф(7 д)6{4)(х - у)ф (39)

е2 - -

+^(ФъФ)(х) ВАХ ~ у> 0 (ФъФ)(у)

где

1 Ml v? \ , ,, ,,

л>" - rfi

(n2fc2 - (n k)2)6p, - Ь%п„ (41)

+(n ¡^{n^kv + Пикц) - r^kfj.K

Рассмотрение модели происходит в евклидовом пространстве

Исследование фермионного конденсата в модели (39) удобно проводить при помощи производящего функционального интеграла

_ ¡Уф Уф ехр ф] + / <1'х{г,ф + фу))

рфУфехр{-3[ф,ф}) ' 1 ^

где г) и т? - внешние фермионные поля Фермионный конденсат определяется функциональной производной

«'^■(ивН'ЛС (43)

Для интегрирования по фермионным полям в уравнении (42) используется метод, предложенный К Робертсом и Р Кахиллом (Phys Rev D - 1986 -33 - с 1755), основанный на методе перевала и введении вспомогательных билокальных эрмитовых переменных (Р)

рфУфС(х,у,[р}) ехр{~3[ф,ф]}

ШФШ =-—-т— i ч-L , (44)

рфУф ехр1-3[ф,ф}\

где нелокальное выражение G(x, у, [/?]) соответствует функции Грина

(G-^z.y, т = (7 0)5(4)(* - У) + s(х,у, Щ) (45)

Положение стационарной точки попеременным р дается вариационными уравнениями Эйлера-Лагранжа, которые в импульсном пространстве принимают следующий вид

Решение Е(р, [/?]) уравнения (46) ищем в виде

2(р,[/3]) = гИр)-1](7 р) + гС(р)(у п) + ехр{гЪв)В{р) (47)

Параметризация решения (47) имеет следующий простои смысл первые два члена в правой части соответствуют кирально ненарушенному вакууму, в то время как последний член ассоциирован с нарушением киралыюй симметрии Действительно, как показано ниже, величина действия не зависит от угла 9, и существует нетривиальное решение (47) с В ф 0, причем В не зависит от угла в,

Таким образом, существует бесконечное множество вырожденных конфигураций с одинаковым действием, связанных друг с другом глобальными абелевыми преобразованиями

В В' = ехр(г75(/>)-В (49)

То есть эффективный функционал действия теории инвариантен относительно этих преобразований, в то время как конкретный вид решения таковым не является, что соответствует спонтанному нарушению киральной симметрии

Глава завершается вычислением разницы действий Д5" вакуумных решений с кирально невырожденным (В = 0) и кирально вырожденным (В ф 0) вакуумами Устанавливается, что в лидирующем порядке по М2в = ь*д2

Л5 > 0 (50)

из-за наличия монопольного конденсата уф 0 Следовательно, присутствие монопольного конденсата делает вакуум, вырожденный по кираль-ному углу В, более предпочтительным по сравнению с невырожденным, что означает нарушение киральной инвариантности

Более того, в случае отсутствия монопольного конденсата (у = 0)

А5 = 0, (51)

то есть нарушение киральной симметрии отсутствует, что согласуется с известным результом квантовой электродинамики (КЭД) Заключение, в котором кратко перечисляются наиболее значимые результаты каждой из предшествующих глав, завершает текст диссертации Приложения. В приложения были вынесены наиболее трудоемкие вычисления и громоздкие формулы

3 Основные результаты работы

1 Изучено поведение ежеобразных петель Вильсона Показано, что термальная плотность является параметром порядка фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент

2 В рамках метода вакуумных корреляторов рассмотрены топологические свойства вакуума глюодинамики получены аналитические выражения для таких характеристик, как топологическая восприимчивость и коррелятор квадрата плотности топологического заряда

3 В рамках метода вакуумных корреляторов введены определения величин ("пробников"), измеряющих плотность топологического заряда и глюонного конденсата С их помощью исследованы распределения указанных локальных конденсатов в окрестности удерживающей КХД струны

4 Использование монопольных степеней свободы в рамках модели дуального сверхпроводника позволило одновременно описать явления конфайнмента и нарушения киральной симметрии, что помогло лучше понять взаимосвязь этих непертурбативных эффектов

Список литературы

[1] V A Belavin, М N Chernodub and I Е Kozlov, Hedgehogs m Wilson loops and phase transition in SU(2) Yang-Mills theory // Nucl Phys В - 2006 - 748 - с 524

[2] M N Chernodub and I E Kozlov, Topological susceptibility in Yang-Mills theory in the vacuum correlator method //JETP Lett -2007 -86 -c 1

[3] M N Chernodub and I E Kozlov, Topological density fluctuations and gluon condensate around confining string in Yang-Mills theory // Phys Lett В - 2008 - 661 - с 220

[4] M N Chernodub and I E Kozlov, Chiral symmetry breaking and monopole condensation m QCD //JETP Lett - 2005 - 81 - с 245

Подписано к печати 110909 Тираж 400 Заказ У/5*

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

2 Ежеобразные петли Вильсона и фазовый переход в КХД

2.1 Полевые дефекты

2.1.1 Модель Гинзбурга-Ландау

2.1.2 Модель Джорджи-Глешоу.

2.1.3 Абелевы монополи.

2.2 Петля Вильсона

2.2.1 Модель Янга-Миллса.

2.2.2 Определение и свойства петли Вильсона.

2.3 Ежеобразная петля Вильсона.

2.3.1 Определение ежеобразной петли Вильсона.

2.3.2 Пример ежеобразной петли Вильсона.

2.3.3 Ежеобразная петля Вильсона, как полевой дефект

2.4 Параметры порядка.

2.4.1 Линия Полякова.

2.4.2 Сверхпроводник

2.5 Поведение статичных ежеобразных линий.

2.5.1 Эффективная теория линий Полякова.

2.5.2 Ожидаемое поведение ежеобразных линий Полякова

2.6 Оператор плотности ежеобразных петель Полякова.

2.6.1 Непрерывный предел.

2.6.2 Переход на язык решеточного формализма.

2.7 Вычисления на решетке.

2.7.1 Общие сведения

2.7.2 Поведение статичных линий Вильсона.

2.7.3 Результаты решеточных вычислений.

3.2 Метод вакуумных корреляторов.61

3.2.1 Определение вакуумных корреляторов.61

3.2.2 Обоснование метода вакуумных корреляторов . 62

3.2.3 Стохастический и когерентный вакуум .64

3.2.4 Гауссова доминантность и эффект Казимира.65

3.3 Двухточечный коррелятор .66

3.3.1 Процедура охлаждения.67

3.3.2 Длинные линии Швингера .70

3.3.3 Структура двухточечного коррелятора.72

3.4 Расчет топологической восприимчивости.73

3.4.1 Коррелятор квадрата топологической плотности . 73

3.4.2 Свойства коррелятора квадрата топологической плотности .75

3.4.3 Численная оценка величины топологической восприимчивости .79

3.5 Заключение.80

4 Хромоэлектрические струны и распределение плотности топологического заряда 82

4.1 Введение.82

4.2 Пробники и метод вакуумных корреляторов .83

4.3 Глюонный конденсат в окрестности струны.85

4.3.1 Определение пробника глюонного конденсата.85

4.3.2 Распределение глюонного конденсата в окрестности струны.86

4.4 Плотность топологического заряда в окрестности струны . . 88

4.4.1 Определение пробника плотности топологического заряда .88

4.4.2 Распределение плотности топологического заряда в окрестности струны.89

4.5 Структура струны.90

4.6 Заключение.91

5 Нарушение киральной симметрии и конденсация монополей в КХД 92

5.1 Введение.92

5.2 Модель дуального сверхпроводника для инфракрасной КХД 93

5.2.1 Недиагональные глюоны и взаимодействие монополей 93

5.2.2 Исходные и дуальные калибровочные поля в U(l) случае 96

5.2.3 Модель дуального сверхпроводника для КХД.100

5.3 Фермионный конденсат в дуальном сверхпроводнике . 103

5.3.1 Производящий фермионный функционал.103

5.3.2 Решение методом перевала.106

5.3.3 Действие на решениях уравнений движения .111

5.4 Заключение.112

6 Заключение 114

Список литературы 116

А Уравнения на фермионную собственную энергию Е 126

В Вычисление фермионного действия S[А, В, С] 131

1 Введение

Квантовая хромодинамика (КХД) занимается описанием сильных взаимодействий. Лагранжиан КХД описывает взаимодействие глюонов - неа-белевых калибровочных полей, переносчиков сильного взаимодействия, с кварками. Теоретическая модель не только хорошо предсказывает экспериментальные данные, но и является примером внутренне согласованной полевой теории [1], [2].

Для описания процессов с участием сильного взаимодействия чаще всего используются пертурбативные методы такие, как диаграммная техника. Их применение базируется на использовании характерного свойства КХД, известного как асимптотическая свобода [3], [4], и заключающегося в уменьшении значения бегущей константы связи КХД с ростом энергии. Следует отметить значительные успехи, достигнутые в описании процессов сильно-взаимодействующих систем при высоких энергиях. Однако, в инфракрасном диапазоне энергий возможности пертрубативных методов, основанных на разложение по малой константе связи, как по малому параметру, сталкиваются с существенными ограничениями, вызванными ростом бегущей константы связи при уменьшении энергии.

Например, известно, что природа спектра масс адронов, то есть частиц, составленных из фундаментальных полей КХД, имеет сугубо непертурба-тивный характер. В частности, масса пи-мезона: где С - некоторая -размерная константа, a as - сильная константа связи. Указанная зависимость демонстрирует принципиальную невозможность использования пертурбативных методов для исследования определенных задач, связанных с теорией сильных взаимодействий. По этой причине актуально развитие так называемых непертурбативных методов, позволяющих исследовать характерные для КХД эффекты в инфракрасном диапазоне энергий, чему и посвящена данная работа. В данной работе мы интересовались вопросами, связанными с изучением фазового перехода конфайнмент - деконфайнмент (глава 2), топологических свойств КХД вакуума (гла

1.1) вы 3, 4), эффектов спонтанного нарушение киральной симметрии и кон-файнмента цвета (глава 5). В ходе исследования применялись как уже известные и зарекомендовавшие себя методы описания и исследования непер-турбативных свойств КХД вакуума (главы 3, 4, 5), так и сравнительно новые (глава 2). Актуальность рассмотрения упомянутых эффектов обусловлена их тесной связью с наблюдаемым экспериментально поведением сильновзаимодействующих систем и будет более подробно обсуждаться ниже, в начале каждой главы, а сейчас остановимся на кратком общем описании КХД и некоторых из ее характерных особенностей.

Спектр фундаментальных полей (частиц) КХД следующий:

• 8 глюонов, представляющих собой калибровочное поле теории и лежащих в присоединенном представлении неабелевой калибровочной группы симметрий SU(3),

• 18 кварков (с учетом цветности), представляющих собой поля материи и преобразующихся по фундаментальному представлению калибровочной группы симметрий SU(3).

Неабелевую калибровочную группу SU(3) часто также называют цветной.

Нарушение киральной симметрии и удержание ("конфайнмент") цветных зарядов внутри адронов являются одними из самых интересных эффектов КХД. Аналитические методы не позволяют объяснить эти явления исходя из первых принципов теорци, так как их природа сугубо непертур-бативна.

Конфайнмент цвета проявляется в потенциале взаимодействия между фундаментальными цветными зарядами, кварком и антикварком, в виде слагаемого, линейно растущего с расстоянием R между зарядами,

V = aR + ., (1.2) где коэффициент пропорциональности а, называемый "натяжением КХД струны", является размерной величиной (ее размерность - масса2). Из-за ненулевой физической размерности натяжения струны получить аналитическую формулу для ее вычисления в виде ряда теории возмущений по степеням константы связи невозможно, что подчеркивает непертурбатив-ную природу конфайнмента.

Киральная симметрия в КХД с безмассовыми фермионами ф(х) реализуется как симметрия лагранжиана КХД относительно глобальных £7(1) преобразований, ф(х) —» ехр(ш75)^>(а;). (1.3)

Нарушение киральной симметрии сопряжено с появлением размерной величины кваркового (кирального) конденсата, (ф(х)ф(х)), неинвариантного относительно киральных преобразований. Ненулевая размерность кирального конденсата указывает на непертурбативную природу нарушения киральной симметрии.

Глава 5 посвящена обсуждению возможной связи эффектов конфайн-мента цвета и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Возвращаясь к обсуждению свойств КХД, заметим, что неабелевая калибровочная SU(3) симметрия придает КХД следующую отличительную особенность по сравнению с абелевой £7(1) в случае квантовой электродинамики (КЭД). Зарядом в КХД обладают не только материальные поля кварков, как электрон - позитроны в КЭД, но и калибровочные бозоны -глюоны, что не имеет аналогии в КЭД, так как фотоны не несут электрического заряда. Этот факт имеет следующее следствие. В случае КЭД в качестве асимптотических можно рассматривать калибровочно не инвариантные состояния, обладающие зарядом. То есть, например, можно рассматривать рассеяние электрона на электроне, при этом сечение рассеяния такого процесса будет калибровочно-инвариантным. Инвариантность сечения будет обусловлена сохранением абелевого тока. В случае же КХД, то есть неабелевой калибровочной симметрии, аналогичного закона сохранения нет, и в качестве асимптотических состояний могут выступать только бесцветные состояния. Так как начальным и конечным состоянием в задаче рассеяния в КХД могут быть только адроны, то для изучения взаимодействия кварков необходимо рассматривать столкновение адронов, акцентируя при этом внимание на том, как в этом процессе взаимодействуют между собой кварки, входящие в состав рассеиваемых адронов.

Таким образом, представляется целесообразным разрабатывать методы, работающие в рамках формализма бесцветных объектов. Одним из таких известных примеров является формализм петель Вильсона, используемый в главе 2. В главе 2 мы введем в рассмотрение новые физически интересные объекты - ежеобразные петли Вильсона, и покажем, что они, выступая в качестве эффективных степеней свободы, позволяют более наглядно описать динамику смены фаз конфайнмент - деконфайнмент.

В главах 3, 4 мы воспользуемся методом вакуумных корреляторов, представляющим другой хорошо известный пример формализма оперирующего в терминах бесцветных объектов, для того, чтобы изучить топологические свойства вакуума КХД, получить численную оценку величины топологической восприимчивости (глава 3), определить влияние КХД струны на изменение распределений плотности действия и квадрата плотности топологического заряда (глава 4).

Из соображений удобства в главах 2, 3, 4 мы будем работать с глюоди-намикой при рассмотрении присущих КХД непертурбативных эффектов, обусловленных именно динамикой глюонов. Действительно, известно, что конечнотемпературный фазовый переход конфайнмент - деконфайнмент или, что то же самое, вылетание-невылетание цвета имеет место не только в модели "полной" КХД, но и в глюодинамике. Более того, фазовый пере> ход имеет место и в модели глюодинамики с калибровочной группой SU(2). Хотя, кончено, следует отметить тот факт, что изменение калибровочной группы модели приводит к изменению порядка фазового перехода: в глюодинамике с калибровочной группой SU(3) имеет место фазовый переход первого рода, а с калибровочной группой SU(2) - второго рода. В данной работе мы будем рассматривать модель с калибровочной группой SU(2), предполагая, что суть механизмов, обуславливающих природу непертурбативных эффектов, мало зависит от размерности калибровочной группы.

6 Заключение

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. В рамках модели дуального сверхпроводника для КХД при нулевой температуре показано, что конденсация монополей, обуславливающая дуальный эффект Мейссиера, необходимый для реализации эффекта удержания цвета, приводит к образованию кваркового конденсата, нарушающего киральную симметрию в пределе безмассовых кварков.

2. При помощи компьютерного моделирования показано, что для модели глюодинамики, описываемой в рамках теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU{2), в фазе деконфайнмента существенно увеличивается плотность термальных ежеобразных линий с центральным зарядом, близким к значению линии Полякова в вакууме.

3. Получена теоретическая оценка коррелятора квадрата топологической плотности и величины топологической восприимчивости при помощи метода вакуумных корреляторов.

4. Показано, что глюонный конденсат и локальная топологическая восприимчивость подавляются в непосредственной близости от оси хро-моэлектрической струны, которая удерживает (анти)кварки в барио-нах и мезонах.

Благодарности

Я хотел бы поблагодарить моего научного руководителя Андрея Алексеевича Славнова и Максима Николаевича Чернодуба за сложно переоцени-мую помощь и внимание к моей работе.

Я признателен официальным оппонентам диссертации Виталию Геннадьевичу Борнякову и Дмитрию Геннадиевичу Левкову за критические замечания.

1. А.А. Славное, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., Наука, 1988.

2. Ф. Индурайп, Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов, М., Мир, 1986.

3. D. J. Gross and F. Wilczek, Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories.// Phys. Rev. Lett. 1973. - 30. - c. 1343.

4. H. D. Politzer, Reliable perturbative results for strong interactions.// Phys. Rev. Lett. 1973. - 30. - c. 1346.

5. В. A. Pyбаков, Классические калибровочные поля, М., УРСС, 1999.

6. G. 't Hooft, High energy physics, Bolognia, Editrice Compositori, 1976.

7. S. Mandelstam, Vortices and quark confinement in nonabelian gauge theories.// Phys. Rep. С 1976. - 23. - с. 245.

8. A. M. Polyakov, Quark confinement and topology of gauge groups. // Nucl. Phys. В 1977. - 120. - с. 429.

9. G. H. Derrick, Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles. // J. Math. Phys. 1964. - 5. - c. 1252.

10. Ю. С. Тюпкин, В. А. Фатеев, А. С. Шварц, Топологически нетривиальные частицы в квантовой теории поля. // Письма в ЖЭТФ 1975. - 21. - с. 91.

11. G. 't Hooft, Topology of the gauge condition and new confinement phases in nonabelian gauge theories. // Nucl. Phys. В 1981. - 190. - с. 455.

12. H. Suganuma, S. Sasaki and H. Toki, Color confinement, quark pair creation and dynamical chiral symmetry breaking in the dual Ginzburg-Landau theory. // Nucl. Phys. В 1995. - 435. - с. 207.

13. M. N. Chernodub, A gauge invariant object in nonabelian gauge theory.// Phys. Lett. В 2006. - 634. - с! 255.

14. Е. В. Bogomolny, Stability of Classical Solutions.// Sov. J. Nucl. Phys.- 1976. 24. - c. 449.

15. M. K. Prasad and С. M. Sommerfield, An exact classical solution for the 't Hooft monopole and the Julia-Zee Dyon. // Phys. Rev. Lett. 1975.- 35. c. 760.

16. P. Rossi, Exact results in the theory of nonabelian magnetic monopoles.// Phys. Rept. -1982. 86. - c. 317.

17. M. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Ижевск, Регулярная и Хаотическая Динамика, 2001.

18. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, К теории сверхпроводимости.// ЖЭТФ- 1950. 20. - с. 1064.

19. R. D. Pisarski, Quark-gluon plasma as a condensate of SU(3) Wilson lines.// Phys. Rev. D 2000, - 62. - c. 111501.

20. J. Engels, J. Fingberg and M. Weber, Finite size scaling analysis of SU(2) lattice gauge theory in (3+l)-dimensions.// Nucl. Phys. В 1990. - 332.- с. 737.

21. V. A. Belavin, M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Hedgehogs in Wilson loops and phase transition in SU(2) Yang-Mills theory. // Nucl. Phys. В- 2006. 748. - с. 524.

22. A. D. Kennedy, J. Kuti, S. Meyer and B. J. Pendleton, Where is the continuum in lattice quantum chromodynamics.// Phys. Rev. Lett. 1985.- 54. c. 87.

23. M.A. Shifman , A.I. Vainshtein and V.I. Zakharov, QCD and resonance physics. Sum rules.// Nucl. Phys. В 1979. - 147. - с. 385.

24. E. Witten, Current algebra theorems for the U(l) Goldstone boson.// Nucl. Phys. В 1979. - 156. - с. 269.

25. G. Veneziano, U(l) without instantons.// Nucl. Phys. В 1979. - 159.- с. 213.

26. P. Di Vecchia, К. Fabricius, G. С. Rossi and G. Veneziano, Preliminary evidence for U(l)-a breaking in QCD from lattice calculations.// Nucl. Phys. В 1981,- 192. - с. 392.

27. M. Campostrini, A. Di Giacomo, H. Panagopoulos and E. Vicari, Topological charge, renormalization and cooling on the lattice.// Nucl. Phys. В 1990. - 329. - с. 683.

28. A. Hart and M. Teper, The topological susceptibility and f(pi) from lattice QCD.// Phys. Lett. В 2001. - 523. - с. 280.

29. С. Bernard, Т. DeGrand, A. Hasenfratz, C. Detar, J. О shorn, S. Gottlieb, E. Gregory, D. Toussaint, A. Hart, U. Heller, J. Hetrick and R. Sugar, Topological susceptibility with the improved Asqtad action.// Phys. Rev. D 2003. - 68. - c. 114501.

30. L. Del Debbio, L. Giusti and C. Pica, Topological susceptibility in the SU(3) gauge theory.// Phys. Rev. Lett. 2005. - 94. - c. 032003.

31. F. V. Gubarev and S. M. Morozov, Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding.// Phys. Rev. D 2005. - 72.- c. 076008.

32. S. Durr, Z. Fodor, C. Hoelbling and T. Kurth, Precision study of the SU(3) topological susceptibility in the continuum.// JHEP 2007. - 0704.- c. 055.

33. H. G. Dosch, Gluon condensate and effective linear potential.// Phys. Lett. В 1987. - 190. - с. 177.

34. H. G. Dosch and Yu. A. Simonov, The area law of the Wilson loop and vacuum field correlators.// Phys. Lett. В 1988. - 205. - с. 339.

35. Yu. A. Simonov, Vacuum background fields in QCD as a source of confinement.// Nucl. Phys. В 1988. - 307. - с. 512.

36. A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, Field correlators in QCD: Theory and applications.// Phys. Rept. 2002. - 372.- c. 319.

37. D. S. Kuzmenko, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, Vacuum, confinement and QCD strings in the vacuum correlator method.// Phys. Usp. 2004. - 47. - с. 1.

38. D. S. Kuzmenko, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, The QCD vacuum, confinement and strings in the vacuum correlator method.// hep-ph/0310190.

39. Yu. A. Simonov, The confinement.// Phys. Usp. 1996. - 39. - c. 313.

40. N. G. van Kampen, A cumulant expansion for stochastic linear differential equations.// Physica 1974. - 74. - c. 239.

41. N. G. van Kampen, Stochastic differential equations.// Phys. Rep. С- 1976. 24. - с. 171.

42. M. Campostrini, A. Di Giacomo and G. Mussardo, Correlation length of the vacuum condensate in lattice gauge theories.// Z. Phys. С 1984. - 25.- с. 173.

43. M. Campostrini, A. Di Giacomo and S. Olejnik, On the possibility of detecting gluon condensation from the spectra of heavy quarkonia.// Z. Phys. С 1986. - 31. - с. 577.

44. M. Campostrini, A. Di Giacomo, M. Maggiore, H. Panagopoulos and E. Vicari, Cooling and the string tension in lattice gauge theories.// Phys. Lett. В 1989. - 225. - с. 403.

45. A. Di Giacomo and H. Panagopoulos, Field strength correlations in the QCD vacuum.// Phys. Lett. В 1992. - 285. - с. 133.

46. A. Di Giacomo, Е. Meggiolaro and Н. Panagopoulos, Gauge invariant field correlators in QCD at finite temperature.// Nucl. Phys. В 1997. - 483.- с. 371.

47. G. Bali, N. Brambilla and A. Vairo, A lattice determination of QCD field strength correlators.// Phys. Lett. В 1998. - 421. - с. 265.

48. V Shevchenko and Yu. Simonov, Casimir scaling as a test of QCD vacuum.// Phys. Rev. Lett. 2000. - 85. - c. 1811.

49. G. Bali, Casimir scaling or flux counting?// Nucl. Phys. Proc. Suppl.- 2000. 83. - c. 422.

50. G. Bali, Casimir scaling of SU(3) static potentials.// Phys. Rev. D 2000.- 62. c. 114503.

51. S. Deldar, Static SU(3) potentials for sources in various representations.// Phys. Rev. D 2000. - 62. - c. 034509.

52. S. Deldar, The string tensions of the SU(3) representations.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1999. - 73. - c. 587.

53. L. Del Debbio, H. Panagopoulos, P. Rossi and E. Vicari, К string tensions in SU(N) gauge theories.// Phys. Rev. D 2002. - 65. - c. 021501.

54. L. Del Debbio, H. Panagopoulos, P. Rossi and E. Vicari, Spectrum of confining strings in SU(N) gauge theories.// JHEP 2002. - 0201. - c. 009.

55. B. Lucini and M. Teper, The к = 2 string tension in four dimensional SU(N) gauge theories.// Phys. Lett. В 2001. - 501. - с. 128.

56. В. Lucini and M. Teper, Confining strings in SU(N) gauge theories.// Phys. Rev. D 2001. - 64. - c. 105019.

57. Yu. A. Simonov, Test of the QCD vacuum with the sources in higher representations.// JETP Lett. 2000. - 71. - c. 127.

58. M. D'Elia, A. Di Giacomo and E. Meggiolaro, Field strength correlators in full QCD.// Phys. Lett. В 1997. - 408. - с. 315.

59. Е. М. Ilgenfritz and S. Thurner, Gauge invariant field strength correlators from RG smoothing and color correlations between topological charge clusters.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. - 83. - c. 488.

60. E. M. Ilgenfritz and S. Thurner, Field strength correlators and gluon condensates at finite temperature from renormalization group smoothing.// hep-lat 9905012.

61. M. Teper, Cooling and confinement in lattice gauge theory, Oxford, 1989.

62. A. Di Giacomo and E. Meggiolaro, On the dependence of the gauge invariant field strength correlators in QCD on the shape of the Schwinger string.// Phys. Lett. В 2002. - 537. - с. 173.

63. К. Osterwalder and R. Schrader, Axioms for euclidean green's functions.// Comm. Math. Phys. 1973. - 31. - c. 83.

64. E. Stiler and I. O. Stamatescu, Some remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta-prime mass.// MPI-Pae/PTh 10/87 (препринт) 1987.

65. E. Seiler, Some more remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta-prime mass.// Phys. Lett. В 2002. - 525. - с. 355.

66. E. Meggiolaro, Field strength correlators in QCD: New fits to the lattice data.// Phys. Lett. В 1999. - 451. - с. 414.

67. M. Eidemiiller and M. Jamin, QCD field strength correlator at the next-to-leading order.// Phys. Lett. В 1998. - 416. - с. 415.

68. M. С. Chu, J. M. Grandy, S. Huang and J. W. Negele, Evidence for the role of instantons in hadron structure from lattice QCD.// Phys. Rev. D- 1994. 49. - c. 6039.

69. G. S. Bali, QCD forces and heavy quark bound states.// Phys. Rept.- 2001. 343. - с. 1.

70. G. S. Bali, The mechanism of quark confinement.// hep-ph 9809351.

71. G. S. Bali, C. Schlichter and K. Schilling, Observing long color flux tubes in SU(2) lattice gauge theory.// Phys. Rev. D 1995. - 51. - c. 5165.

72. V.G. Bornyakov, Н. Ichie, Y. Mori, D. Pleiter, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stiiben and T. Suzuki, Baryonic flux in quenched and two-flavor dynamical QCD.// Phys. Rev. D 2004. - 70.- c. 054506.

73. R. W. Haymaker, V Singh, Y. C. Peng and J. Wosiek, Distribution of the color fields around static quarks: Flux tube profiles.// Phys. Rev. D- 1996. 53. - c. 389.

74. Т. T. Takahashi, H. Suganuma, Y. Nemoto and H. Matsufuru, Detailed analysis of the three quark potential in SU(3) lattice QCD.// Phys. Rev. D 2002. - 65. - c. 114509.

75. F. Okiharu and R. M. Woloshyn, A study of colour field distributions in the baryon.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. - 129. - c. 745.

76. A. M. Green, C. Michael and P. S. Spencer, The structure of flux-tubes in SU(2).// Phys. Rev. D 1997. - 55. - c. 1216.

77. A. M. Green, C. Michael and P. S. Spencer, Sum rules and 2-quark flux-tube structure.// hep-lat 9609019.

78. F. Bissey, F-G. Gao, A. Kitson, B.G. Lasscock, D.B. Leinweber,

79. A.I. Signal, A.G. Williams and J.M. Zanotti, Gluon field distribution in baryons.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2005. - 141. - c. 22.

80. F. Bissey, F. G. Gao, A. R. Kitson, A. I. Signal, D. B. Leinweber,

81. B. G. Lasscock and A. G. Williams, Gluon flux-tube distribution and linear confinement in baryons.// hep-lat 0606016.

82. F. Karsch, SU(N) Gauge theory couplings on asymmetric lattices.// Nucl. Phys. В 1982. - 205. - с. 285.

83. С. Michael, Lattice action sum rules.// Nucl. Phys. В 1987. - 280. - с. 13.

84. Я. G. Dosch, О. Nachtmann and М. Rueter, String formation in the model of the stochastic vacuum and consistency with low-energy theorems.// hep-ph 9503386.

85. H. J. Rothe, A novel look at the Michael lattice sum rules.// Phys. Lett. В 1995. - 355. - с. 260.

86. Я. J. Rothe, Lattice energy sum rule and the trace anomaly.// Phys. Lett. В 1995. - 364. - с. 227.

87. M.N. Chernodub, K. Ishiguro, Y. Mori, Y. Nakamura, M.I. Polikarpov, T. Sekido, T. Suzuki and V.I. Zakharov, Vacuum type of SU(2) gluodynamics in maximally Abelian and Landau gauges.// Phys. Rev. D- 2005. 72. - c. 074505.

88. M. Faber, H. Markum, S. Olejnik and W. Sakuler, Topological charges and confinement in lattice QCD.// Phys. Lett. В 1994. - 334. - с. 145.

89. S. Thurner, M. Feurstein, H. Markum and W. Sakuler, Correlations of topological objects and quarks in hadrons.// Phys. Rev. D 1996. - 54.- c. 3457.

90. M. N. Chernodub and F. V. Gubarev, Confining string and its widening in HP(1) embedding approach.// Phys. Rev. D 2007. - 76. - c. 016003.

91. M. Luscher, G. Munster and P. Weisz, How thick are chromoelectric flux tubes.// Nucl. Phys. В 1981. - 180. - с. 1.

92. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological susceptibility in Yang-Mills theory in the vacuum correlator method.// JETP Lett. 2007. - 86.- c. 1.

93. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological density fluctuations and gluon condensate around confining string in Yang-Mills theory.// Phys. Lett. В 2008. - 661. - с. 220.

94. D. S. Kuzmenko and Yu. A. Simonov, Field distributions in heavy mesons and baryons.// Phys. Lett. В 2000. - 494. - с. 81.

95. D. S. Kuzmenko and Yu. A. Simonov, QCD string in mesons and baryons.// Phys. Atom. Nucl. 2001. - 64. - c. 107.

96. T. Suzuki, Monopoles and confinement.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1993.- 30. c. 176.

97. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Confinement, duality and nonperturbative aspects of QCD.// hep-th 9710205.

98. R. W. Haymaker, Confinement 'studies in lattice QCD.// Phys. Rept.- 1999. 315. - c. 153.

99. А. А. Абрикосов, О магнитных свойствах сверхпроводников второго рода.// ЖЭТФ, 1957. - 32. - с. 1442.

100. Т. Suzuki and I. Yotsuyanagi, A possible evidence for Abelian dominance in quark confinement.// Phys. Rev. D 1990. - 42. - c. 4257.

101. H. Shiba and T. Suzuki, Monopoles and string tension in SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1994. - 333. - с. 461.

102. J. D. Stack, S. D. Neiman and R. J. Wensley, String tension from monopoles in SU(2) lattice gauge theory.// Phys. Rev. D 1994. - 50.- c. 3399.

103. H. Shiba and T. Suzuki, Monopole action and condensation in SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1995. - 351. - с. 519.

104. S. Ejiri, S. Kitahara, Y. Matsubara and T. Suzuki, String tension and monopoles in T not = 0 SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1995, - 343.- с. 404.

105. A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz and U. J. Wiese, Monopole condensation and color confinement.// Phys. Lett. В 1987. - 198. - с. 516.

106. A. S. Kronfeld, G. Schierholz and U. J. Wiese, Topology and dynamics of the confinement mechanism.// Nucl.Phys. В 1987. - 293. - с. 461.

107. J. D. Stack and R. Filipczyk, Abelian links, monopoles and glueballs in SU(2) lattice gauge theory.// Nucl. Phys. В 1999. - 546. - с. 333.

108. М. N. Chernodub and F. V. Gubarev, Instantons and monopoles in maximal Abelian projection of SU(2) gluodynamics.// JETP Lett. 1995.- 62. c. 100.

109. S. Thurner, M. C. Feurstein and H. Markum, Instantons and monopoles are locally correlated with the chiral condensate.// Phys. Rev. D 1997.- 56. c. 4039.

110. T. Bielefeld, S. Hands, J. D. Stack and R. J. Wensley, Magnetic monopoles as agents of chiral symmetry breaking in U(l) lattice gauge theory.// Phys. Lett. В 1998. - 416. - с. 150.

111. R. J. Wensley, Monopoles and the chiral phase transition in SU(2) lattice gauge theory.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - 53. - c. 538.

112. S. Sasaki and O. Miyamura, Lattice study of U(l) anomaly: The role of QCD-monopoles.// Phys. Lett. В 1998. - 443. - с. 331.

113. S. Maedan and T. Suzuki, An infrared effective theory of quark confinement based on monopole condensation.// Prog. Theor. Phys.- 1989. 81. - c. 229.

114. D. Zwanziger, Local Lagrangian quantum field theory of electric and magnetic charges.// Phys. Rev. D 1971. - 3. - c. 880.

115. C. D. Roberts and R. T. Cahill, Dynamically selected vacuum field configuration in massless QED.// Phys. Rev. D 1986. - 33. - c. 1755.

116. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Chiral symmetry breaking and monopole condensation in QCD.// JETP Lett. 2005. - 81. - c. 245.

117. А Уравнения на фермионную собственную энергию Е

118. В этом приложении рассмотрено интегрирование по угловой части, dQ,^ пространственной переменной g в уравнениях (5.62) и (5.63). Для удобства интегрирования выберем следующую систему координат:

119. Пц — q = (qQ,qsm9coscp,qsm9smcp,qcos9), р = (р0, 0,0,р). (А.1)

120. В этой системе координат обсуждаемые уравнения примут следующий вид:

121. А(ро ,р) l) (joPo + 7зР) + С(ро,р)-уо =dAq D (р ab A{q°,q) + (К 2)где

122. E(qo,q) = A2{qo,q){qt + q2) + 2A(qo,q)C(qo,q)qQ (А.4)1. C2(g0,g) + £2(g0,g).

123. Г 1 \ / 42, (p + g)2 + (po-go)22pg(p0 go)21 (p - g)2 + (po - go)24pg(po go)3(£ - 1 ){p2 -g2 + pl- qp (a ,,p g)2 + Сpo - g0)2)№ + g)2 + (po - go)2) ^ ' ;

124. Теперь приведем явный вид уравнений на стационарную точку (5.62) и (5.63) для случаев калибровок Фейнмана (£ = 1) и Ландау (£ = 0).

125. Калибровка Фейнмана, £ = 1.

126. Mj + (pQ до)2)2 + Сp2 - g2)21 Ml + (p + q)2 + (po - gp)2q + (p — q)2 + (po — go)

127. C(g0,g)^(- 4pg(p0 ,02 - (p2 - ,2))2p2g 4(p g)2 + (po - go)2)((p + g)2 + (po - go)2) (p + g)2 + (po - go)2 |1. АЛ5)

128. X ^ -12-м+ (р + д)2 + (ро — go)2(-2(МВ + (ро до) ) log Ml + (р - ,)» + (Ро - qo)2 u \21 {p + q)2 + (ро - яо)2л

129. В Вычисление фермионного действия SA, В, С.

130. Рассмотрим выражение для SA, В, С.: S[A,B,C} =

131. Tr Ln(7 • d)A(x у) + exp(fy5 в)В(х -у) Л- i{ 7 • п)С{х - у).+

132. Jd^y{((3s(y} x)ps(x, у) + /Зр(у, я)/^*, у; £)+гОАЛ® у> 0},гдеexp(z7560B = e2D((3s + гЪ(Зр), (В.1)7 -д){А- 5(*>) + г(7 ■ n)C = е2D(3VU . (В.2)

133. Ja х J (27Г)4 \р*+2{р-п)С+С2+В2 у

134. Заметим, что результат совпадает с ответом для квантовой электродинамики, приведенный в 115., при С= О, М% = 0.

135. Зависимость от 9 входит только во вторую часть последнего выражения.00 ( \п

136. Рассмотрим ее более подробно. Воспользуемся Ln(:r) = — Y2 * :1. П=11. СО 71—1- я2)г(7 ' п)С{х2 х3) + ехр(г^5в)В(х2 - ж3).-•' • • 1цп9цЛх2п-1 - х2п)[г[п • п)С{х2п ~ xi) + ехр(гтьв)В(х2гг - a?i)]}.

137. После раскрытия скобок произвольный член суммы:ьа: j diXl. diX2ntii'j^g^ixi x2)i{7 • n)C{x2 - x3) + exp{i^b6)B{x2 - z3).x2n-i x2n)i{l • n)C(x2n - Xi) + ехр(г-уБ6)В(х2п - rci).}

138. Число В в произвольном члене суммы четно, так как след произведения нечетного числа гамма-матриц равно нулю. Заметим также, что, так как 75 антикоммутирует с гамма-матрицами:

139. Ъг9иХхз ~ xj+i) exp(ij50) = exp(-iy5e)yM.gM.(xj xj+1),ixh ~ xh+i)ib • n)C(xjl+l xh+2)\>1ш9щ (Xj2 X32 +1) eXP(^75^) -B{Xj2 +1 - Xh+2). =ехр(-гъО)Ъг,91лн(хк ~ ' n)C(xh+1 xjl+2).hii9iii (xj2

140. Используя удобство вычислений в импульсном пространстве, имеем:

141. Тг Щ6^(х у) + f d4cv(7 • g)(i(j • п)С(ш - у) + В(ш - у)). = = (I f(§?tr ^Si1 - 9оС - (g - 7)70С + ibo9o + (9 ■ 7))В] = = 2(f d4x) f 0 log(l - g)2 + g2C2 + g2B2}.

142. Таким образом мы не только доказали вырожденность SA, В, С. по в, но и получили преобразованное выражение для действия:

143. Sl,B,C\ = jd4xj^{-2\og[(l-^)2 + g2C2 + g2B2.2В2 + 2{п р)С + 2С2 -j