Некоторые обратные задачи динамической дифракции рентгеновских лучей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Р Г 5 О Д На правах рукописи

УДК 548.732

2 2 АПР 1996

ДАРБИНЯН Симон Петросович

НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Специальность 01.04.07 - Физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Институте кристаллографии РАН

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор

Ф.Н.Чухопский М.В.Ковальчук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук

В.А.Бушуев В .Е. Дмитриенко

Ведущая организация: Московский институт стали и сплавов

Защита диссертации состоится " 15 " мая 1996г. в 10 час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д 002.58.01 при Институте кристаллографии РАН по адресу: 117333, Москва, Ленинский проспект, 59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кристаллографии РАН.

Автореферат разослан " " апреля 1996г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук В.М.Каневский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Наибольший научный и практический интерес для полупроводниковой технологии и микроэлектроники представляет восстановление структурных характеристик рассеивателей (кристаллов) по данным регистрируемого излучения, т.е. решение обратных задач: дифракции - области, имеющей сложный математический аппарат, но тем не менее образовавшейся в физической оптике вне сферы математического искусства.

Дифракционные методы исследования, основанные на когерентном взаимодействии коротковолнового излучения (длина волны' X меньше или порядка с веществом, являются основным источником информации, которая легат в основе современных представлений о структуре и динамике кристаллов. В структурной диагностике успешно используются высокочувствительные неразруша-вдие дифракционные методы, изучающие особенности распределения интенсивности рассеянного рентгеновского излучения в пространстве обратной решетки.

К настоящему времени реитгенодифрзкционные методы далеко не исчерпали своих возможностей, активно ведутся поиски новых экспериментальных реализаций, данные которых содержат информацию о структурных характеристиках кристалла. В полупроводниковой технологии и микроэлектронике интенсивно применяются почти совершенные кристаллы, для которых характерный размер в области когерентного рассеяния больше длины экстинкции (первичный пучок испытывает сильное возмущение), и становятся существенными многократное рассеяние и интерференционное взаимодействие волн, приводящих к появлению эффектов динамического рассеяния. В связи с этим возникает необходимость адекватных теоретических исследований наиболее характерных обратных задач динамической дифракции рентгеновских лучей.

Цель работы

1) развитие метода матрицы плотности (МП) в статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей;

2) построение динамической теории обратной задачи дифракционного рассеяния рентгеновских лучей (ДРРЛ) в нарушенном

приповерхностном слое;

3) решение обратной задачи определения локального изгиба анизотропных кристаллических пластин по данным рентгенодифрак-ционного метода наклона;

4) вычисление параметров дефектной структуры монокристаллических пластин и оценка погрешности метода в точности их определения.

Научная новизна

Впервые развит формализм квантовой матрицы плотности (МП) в статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей, учитывающий как взаимное влияние когерентного и некогерентного рассеяния, так и многократность некогерентного рассеяния.

Выведены уравнения для матричных элементов когерентной части МП с учетом некогерентного рассеяния и система интегро-дафференциальвых уравнений для матричных элементов некогерентной части МП в двухволновом приближении динамической теории дифракции.

Получены уравнения для амплитудного коэффициента отражения (МО), учитывающие динамические поправки. Решена прямая задача дифракции с помощью рекуррентных соотношений. Проведен учет влияния динамических эффектов на МО в случае кристаллической структуры, состоящей из полубесконечной идеальной подложки и нарушенного слоя, толщина которого больше или порядка длины экстинкцш.

Предложен алгоритм для решения обратной задачи динамической дифракции восстановления комплексной отражательной способности (КОС) кристалла по угловой зависимости МО. Проведен учет влияния динамических аффектов на профиль КОС.

Решена с учетом анизотропии обратная задача определения локального изгиба кристаллических пластин по данным рентгено-дафракционного метода наклона.

Определены значения моментов сил и радиусов изгиба в изотропном приближении теории упругости и с учетом анизотропии. Показано существенное влияние анизотропии на параметры упруго-напряженного состояния монокристаллических пластин.

Проведены оценки погрешности метода наклона в точности

определения параметров, характеризующих дефектную структуру кристаллов кремния с хаотически распределенными микродефектами (размерами 10 т ЮОнм), с использованием измерений интегрального коэффициента лауэвского отражения. (ИКЛО) й.^(а) как функции угла наклона а плоскости дифракционного рассеяния.

Практическая ценность

Разработанные в работе методы и предложенные алгоритмы могут Сыть использованы для диагностики монокристаллов с нарушенным приповерхностным слоем, для определения локальной карты напряжений анизотропных кристаллических пластин и для изучения дефектной структуры кристаллов со статистическими неоднород-ностями.

Теоретический анализ данных рентгенодифракционного метода наклона позволяет создать новые метода (контроля) структурной диагностики полупроводниковых кристаллов, чувствительные к малым ( ™ 10~°) искажениям решетки.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на II совещаний по Всесоюзной межвузовской комплексной программе "Рентген" (Черновцы, 1987), I конференции "Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах с динамическими и статическими искажениями" (Мегри, 1988), III совещании по Всесоюзной межвузовской программе "Рентген" (Черновцы, 1989), II конференции "Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах с динамическими и статическими искажениями" (Кацивели, 1990), III Европейском совещаний по высокоразрешавдей рентгеновской дифракции и топографии (Палермо, Италия, 1996), научных семинарах Института кристаллографии РАН.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в публикациях [1-14].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения содержит 150 страниц машинописного текста, включая 24 рисунка, 9 таблиц и список литературы из 109 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность выбранной теш диссертации, сформулированы цель и задачи работы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Определены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена развитию формализма квантовой МП

в статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей, учитывающего многократный характер некогерентного (диффузного) рассеяния.

В задачах многократного рассеяния удобно использовать метод квантовой МП, впервые предложенный Мигдалом для быстрой заряженной частицы в случае аморфных веществ. Диагональные элементы МП определяют распределение вероятности координат системы. Зная МП, можно вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Следовательно, с помощью МП можно определить также и вероятность различных значений физических величин системы.

В качестве основных принимались уравнения Максвелла для рентгеновского электромагнитного излучения. Рассматривается случай о - поляризации. Оси Х,Г направлены вдоль облучаемой поверхности, а ось 2 - перпендикулярно к поверхности в глубь кристалла. Предпологается, что в продольном направлении (т.е. вдоль плоскости ху) кристалл в среднем однороден. Перейдя к смешанному координатно-шпульсному представлению и совершив преобразование Фурье по продольной координате вектора волнового поля Е(г), выведено уравнение для МП рентгеновского кванта

д к^ - ае

р(к,,к' 2) + 1 —-— р(к,,к',г) = 1-г х

Г Д , # . . .

где р(к1,к]_,г) = Е(кА,а) Е*(к]_,2), (2)

зе = ы/с, к - волновой вектор рентгеновского падающего излучения. Взаимодействие кристалла с рентгеновским излучением описывается поляризуемостью

При достаточно большом числе дефектов в исследуемом объеме необходимо сократить число параметров, перейдя от точного задания дефектной структуры к ее статистическому описанию. Общий принцип такого перехода заключается в выделении в поляризуемости кристалла усредненной части, ответственной за когерентное рассеяние, и флуктуационнсй части, приводящей к пространственно некогерентной диффузной части рассеяния. В основе такого разделения лежит некоторая процедура усреднения по статистическому ансамблю всевозможных конфигураций дефектов в пределах некоторого объема V, при этом предполагается, что в силу хаотического распределения дефектов координаты отдельных дефектов не играют роли, а ваша их концентрация и степень коррелированности создаваемых ими смещений. Тогда

Вычислены среднее значение поляризуемости <%(<!)> и корреляторы .типа

Корреляции второго порядка некоторых физических величин можно разделить на две части. Первая часть является результатом усреднения по статистическому ансамблю дефектов, а вторая результатом корреляции между ниш. Применяя это правило к МП, можно еэ разделить на две части

В случае прозрачного кристалла в двухволновом приближении динамической теории дифракции для матричных элементов МП получена система четырех дифференциальных уравнений. Для диагональных элементов МП, соответствующих интеясивностям проходящей и отраженной волн, получается

%(ч> = <x(q)>v + ôx(q)-

(4)

<p(ki(k!_,z)> = pc(krk]_,s) +

(5)

где pc(kj_,k^,2) - когерентная часть МП, a p^ik^.k^z)- некоге-реятная.

дъ Рда(2)

-2|ХЬ12А2| сов о

г-

ш Ри(г) = 2|^!2А2| со8

- ^г^Ла

(Е-Т)

-

(2-Т)

(б)

[родСО-р^ (г)]йг,

где А =

Роо(а)= {''СИ'Ц)].«2)» Ри (2)=р(к1и,км,й),

Предполагается, что вектор кд удовлетворяет условию Брэгга для вектора обратной решетки 1а

^ + Ь.

= 1*о1

Решеше (6) с начальным условием (Р00(0) можно найти преобразованием Лапласа

Р00(Й)

Рц (а)

У2

1+-У2 1

соб2 [АI Хь! ^ +у2 '

СО

1, р11(0>= 0)

(8)

1+У2

й1л£

Нь

/1+У2 а],

(9)

где

- есть относительное отклонение от

точного брэгговского условия (у = 0).

Выражения (8) и (9) совпадают с обычными формулами динамической теории дифракции в случав Лауэ для бесконечного прозрачного кристалла. Когерентное дифракционное рассеяние елоховской рентгеновской волны (БРВ) приводит к изменению ее волнового вектора на дискретную величину - один из векторов обратной решетки. При определенной ориентации начального волнового вектора Срэгговское рассеяние БРВ в идеальной решетке может быть описано деухволновым приближением, в котором интенсивности двух волн (8) и (9) периодически колеблются при сохранении суммарной вероятности (маятниковое решение).

Рассматривается также случай идеального поглощающего кристалла. Найдено решение в симметричном случае дифракции, когда параметр у - 0.

Обсуждается взаимное влияние когерентного и некогерентного рассеяния. Рассеяние на флуктуационной части поляризуемости кристалла приводит к потере когерентности волновых полей рассеянных БРВ с падающей волной и выхода рентгеновского кванта из когерентеного канала рассеяния. Получена система дифференциальных уравнений для матричных элементов когерентной части МП с учетом некогерентного рассеяния. Видно, что диффузное рассеяние на неоднородностях кристалла приводит к появлению в уравнении для когерентной части МП мнимых добавок к Фурье-компонентам усредненной части поляризуемости кристалла.

Из аналитического решения в двухволновом приближении системы уравнений для матричных элементов когерентной части МП, полученного преобразованием Лапласа следует, что интенсивность дифрагированных волн в когерентном канале содержит слабо затухающую компоненту, что представляет собой явление аномального прохождения одной, из двух возникающих при дифракции БРВ.

В общем случае выведено уравнение для неког&рентной части МП р^к^.к^г). В двухволновом приближении динамической теории дифракции получена система интегро-дифференциальных уравнений для матричных элементов некогерентной части МП, которые выражаются через матричные элементы когерентной части МП.

Дифракция диффузно рассеянных БРВ на флуктуационной части поляризуемости с учетом эф!>екта многократности приводит к образованию широкого диффузного фона, а на усредненной части поляризуемости - к его перераспределению. При этом отяосителтное влияние некогерентного рассеяния накапливается с глубиной и, в принципе, может превысить когерентное рассеяние на больших глубинах.

Предложенный подход МП можно использовать для расчета кривых дифракционного отражения от кристаллов со статистически распределенными микродефектами, что позволит восстановить параметры, характеризующие дефектную структуру кристалла.

Вторая глава посвящена построению динамической теории обратной задачи ДРРЛ в нарушенном приповерхностном слое.

Рассматривается кристаллическая структура, состоящая из полубесконечной идеальной подложки и нарушенного слоя толщиной Т. Уравнение Топена для АКО описывающее процесс дина-

мического рассеяния, с соответствующим граничным условием

имеет вид

dR(q,z) -

i-:- = (q-<i)R(q,z) + o(z) l+B^Cq.z) , R1 = Rp (10)

úz J |z=T 1

где q=q'+i^0, q'- нормированное отклонение от условия Брэгга для подложки, ц0 - нормальный коэффициент поглощения, о(а) -отношение структурного фактора в слое на глубине а под поверхностью к структурному фактору подложки, а = (hu(z))', где h -вектор дифракции, и(г) вектор смещения отражающих плоскостей. Коэффициент отражения Rj на глубине Т равен коэффициенту отражения от подложки, и вычисляется по динамической теории дифракции для полубесконечнего идеального кристалла.

Наряду с (10) вводится в рассмотрение уравнение Топена для нарушенного слоя без подложки:

dr(q,s) г р

i-= (q-a)r(q,s) + a(s) 1+3r(q,2) , г| =0 (11)

áz L J

При малой толщине слоя Г модуль амплитуда r(q,z) при любых q и a(q) не мошт превысить величины: аТ, что позволяет построение приближенных решений (11) методом итераций по величине r^(q,s).

Амплитуда R(q,3) представляется в виде

R(q,s) = r(q,B) + iyp(q,z), p(q,T)=1, (12)

Для p(q,z) получается следующее уравнение

Нарушенный слой разбивается на М подслои толщиной А, каждый из которых состоит из N элементарных слоев, при этом А = КЗ « Лдкс, где б - толщина элементарного слоя (см. рис.2), И = 2м, М = 1, 2, 3 ...

В дискретном представлении получены выражения для г(ч,й) и ¡3^,2) на границах подслоев. Использование (12) приводит к следующим рекуррентным соотношениям

(13)

й^ЛМ-пл) = г£,^,(М-1)А) + --- (14)

1 - Й^.МЛ)!-^ (д,МД)

где А(МД) = е}ф{1*[(дА)+Ш(МА)-1т((М+1 )А)3>, а г+^,з) и коэффициенты отражения о одной и о обратной стороны подслоя, соответственно.

Соотношения (14) позволяют связать отсчеты Н(арО) на амплитудной кривой отражения с отсчетами ^ комплексной отражательной. способности по толщине структуры. При этом угловой диапазон qmsx расчетной КДО определяется толщиной элементарного слоя б : дтах = 2^/5. Поскольку каждый отсчет содержит два параметра - модуль и фазу, а число отсчетов равно ЫМ, для полного описания кривой отражения необходимо иметь не менее 2Ш отсчетов по д. Время вычисления может быть значительно сокращено за счет использования быстрого преобразования Фурье (БПФ). Каждое применение БПФ дает N одновременно эквидистантных отсчетов по ч с шагом 21С/Ш. Для получения необходимых 2Ш отсчетов можно либо применять БПФ 2КМ раз, какдай раз сдвигая сетку отсчетов q на величину 2х/НШб, либо на каждом подслое дополнять N отсчетов Р^ с- помощью (2М-1нулевых значений. ' Оба метода требуют примерно одинаковых временных затрат. Рекуррентные соотноиения (14) применяются затем независимо для каждого отсчета по ц.

Рассмотрение полученных результатов расчета показывает, что эффективно решается прямая задача ДРРЯ в динамическом случае. Сравнение результатов вычисления АКО на поверхности нарушенного слоя Н(ч,0) приведены на рис. 1 в борцовском приближении .(а, в) и с учетом динамических поправок (б, г).

Обратная задача ДРРЯ формируется следующим образом. По данным АКО от кристалла с нарушенным слоем с толщиной Т требуется восстановить профиль КОС ?(з) нарушенного слоя (в КОС содержится информация о модуле и фазе амплитуды рассеяния и можно прямо получить профиль изменения структуры нарушенного слоя).

Для вычисления АКО используются следующие рекуррентные соотношения, которые получаются с помощью обращения формул прямой задачи ДРРЛ

йф.ГС-ПЛ) - (Я, (М-1 )А) (15)

Н(Ч,МА) = -г-?-

гм_1(я,МД) СН(я, (М-1 )А) - 4_1(д,(М-1)Л)3+А((М-1)А)

где А(МА) = ехрС1*С (^Д )+Ьи(МД )-1ги( (М+1)Д> 3 3 -

Вычисление КОС по угловой зависимости АКО производится с помощью обратного БПФ по следующим рекуррентным соотношениям

1=к

= Е »

К 1=0 х

2Ш-1

ГЛ((М-1)Н+Юа) = - ±ЕЧН(Чр(М-1)Ш) 1 2Ш 1=0 (16)

Необходимо отметить, что АКО рассматриваемые

как функции в комплексной плоскости д, аналитичны в верхней полуплоскости, поэтому соответствующие им фурье-трансформанты отличны от нуля лишь в области 2 > . Можно показать, что яри делении ) на это свойство сохра-

няется, поэтому фурье-преоОразование второго слагаемого в (12) отлично от нуля цри з > , в то время как фурье-преобразование от г-^ (<}»%) дает нам профиль НОС в диапазоне г^ < а < . Отсюда следует важное утверждение, что фурье-трансформанты АКО в борновском и динамическом случае совпадают в достаточно близком к поверхности слое.

Таким образом, приходим к следующему алгоритму решения обратной задачи ДРРЛ определения КОС по угловой зависимости АКО, а именно:

1) кристаллическая структура разбивается на подслои, толщины которых А « Аэкс (см. рис. 2),

2) вычисляется фурье-преоОразование заданного АКО на поверхности структуры И^.О), и тем самим определяется фрагмент профиля КОС в первом подслое,

3) по распределению КОС а(г)ехрЕ-1ф(2)3, где <р(и) = ЬЩг), в первом подслое вычисляются амплитуды Гд(я,0), Гд(д,А) в борновском приближении, а затем по формуле (14) АКО Н(д,А), т. е. коэффициент отражения, соответствующий структуре с "удаленным" первым подслоем,

4) далее процесс повторяется начиная с п.2, до "удаления" всех подслоев нарушенного слоя. Рассчитанные таким образом в

отдельных подслоях фрагменты КОС "сшиваются" и дают полный профиль КОС по толщине нарушенного кристалла.

В качестве примера применения данного алгоритма рассматривается случай профиля КОС типа "ступеньки", соответствующего структуре, состоящей из подложки и- приповерхностного кристаллического слоя с измененным параметром решетки, толщина которого Т = 1.6Лдкс. Был проведен расчет прямой задачи динамического ДРРЛ, и рассчитана угловая зависимость АКО на поверхности кристалла после чего в соответствии с описанным выше алгоритмом производилось восстановление профиля КОС, который затем сравнивался с исходным заданным профилем, а также с профилем КОС, восстановленном в борновском приближении (рис. 3). Видно, что решение обратной задачи ДРРЛ с учетом динамических эффектов дает лучшее приближение к неистинному решению, чем борновскае приближение.

В третьей главе решена обратная задача определения локального изгиба анизотропных кристаллических пластин по данным рентгенодифракшонного метода наклона.

Изменение эффективной толщины в методе наклона достигается поворотом кристалла вокруг вектора дифракции Ь на угол наклона а ■ в отличие от других методик измерения зависимости интеграального коэффициента лауэвекого отражения (ИКЛО) от толщины кристалла й^СТ). При этом исследуется отражение от одной области кристалла, размеры которой задаются диаметрам падающего пучка, но положение плоскости рассеяния в кристалле изменяется, и в динамические уравнения теории, описывающие распространение БРВ в кристалле, входят параметры, которые являются функциями угла наклона а.

Рассматривается общий случай упругой деформации выделенного в кристаллической пластине элементарного объема размерами ахЬхТ (Т-толщина пластины) (рис. 4). При этом возможно существование трех изгибающих М1,М2»% и ,Ч)ех скручивающих ЕрН^.Нд силовых моментов, распределенных по краям вырезанного объема. Используются граничные условия на поверхности г = +Т/2, так как внешние усилия могут быть приложены только к плоскостям х=+а/2, у=1Ь/2, т.е. имеют нулевые проекции на ось а. Кроме того, если считать, что исследуемая пластина однородна по всему объему и имеет размеры много больше ее толщины, то

изгиб вокруг оси z не может иметь какого-либо существенного значения. Поэтому влиянием момента М3 можно пренебречь. Для напряжений получаются следующие выражения

°z = = 0

12SL 12Мр 12Н

С учетом анизотропии упругих постоянных компоненты вектора упругих смещений u(x,y,z) определяются как

"х = \ Ki[ai5z2 + а1бУ3 + Uy = 1 4{zuz2 + 2а12у2 + ai6xz)

Г Kjfa^s2 - а^х2 - а^у2 - а1бху) , i = 1,2,6

(18)

I

где, коэффициенты Е1 равны К1 = 6Щ/Т3, К2 = 6М2/Т3, Кб = 6Н/Т3, а^ - компоненты тензора модулей упругости в используемой системе координат. Компоненты тензора а^ связаны с соответствующими значениями а^ в кристаллографической системе координат соотношением

где {ч^Фу»'^)]- ~ матрица перехода от системы координат, в

которой заданы значения компонент тензора модулей упругости относительно главных осей кристалла к кристаллографическим осям исследуемой пластины кварца. Значения компонент матрицы перехода при фу = 90° и фа = 51,8° приведены в таблице 1.

Переход к системе координат дает возможность полу-

чить для градиента деформации В(а) формулу в общем случае упругой деформации элемента объема анизотропной кристаллической пластины, где В(а) параметрически зависит от трех коэффициентов Кр задающих упругонапряженное состояние рассматриваемого элемента кристалла. Для нахождения К^ (таблицы 2 и 3) используется зависимость В^а^) (где к - номер измерения), получен-

ную из с-опоставлэния значений экспериментально измеряемого ЙКЛО ^ д^) и теоретически рассчитанного ШЛО Т(В, ак) при каждом фиксированном угле наклона а^.

Полученные формулы позволяют предложить методику решения обратной задачи дифракции в упругодеформированных анизотропных кристаллах по схеме: ИКЛО й^а) - градиент деформации В(а) -квадратичное поле упругих смещений ц(х,у,г) .

На рис. 5 приведены результаты экспериментально измеренных ИКЛО Н^(сх) от кристаллических пластин кварца толщиной 1111 0.5'мкм и диаметром б мм. Ориентация поверхности -(1Т01)', а ориентация отражающей плоскости - (Т101). Измерения Н^(а) проводились в двух точках: в центре пластины и в точке, лежащей ближе к краю пластины.

В таблице 4 приведены значения моментов Щ , М2 и Н (отнесенные к единице длины), полученные с учетом анизотропии.

Восстановленное по данным метода наклона поле упругих смещений в исследуемой области кристаллической пластины вычисляется подстановкой значений и Н в выражение (18). Как следует из таблицы I, в общем случае упругая деформация пластины не может быть представлена только одним значением кривизны. Изгиб пластины может приобрести, довольно сложную форму и ее кривизна зависит от выбранного направления измерения: седлообразную форму - в случае разных знаков радиусов гх и Гу, или пропеллерообрэзную форму - в случае значительной величины крутящего момента Н. В нашем эксперименте значение Н « М1, Ж^, а кривизна пластины вдоль осей хну различна и дается выражениями

1/гх= а^/ау2 , 1/гу= Э^/Эх2. (20)

Из формул (18) и (20) видно, что величина и знак радиусов изгиба пластины явно зависят от значений упругих постоянных. Сравнивая таблицу 4 с таблицей 5 (где приводятся результаты расчетов в изотропном приближении) можно заметить существенное влияние анизотропии на параметры упругонапряженного состояния кристалла, которые меняют не только свой порядок величин, но и знак. Отличия в значениях силовых моментов для двух исследуемых пластин, по-видимому, объясняются различиями в технологии нанесения металлических контактов на поверхности кристаллов

кварца.

Четвертая глава посвящена вычислению параметров, характеризующих несовершенство структуры кристаллов кремния, с использованием, измерений метода наклона. Проведены оценки погрешности метода, рассмотрены вопросы о влиянии различных инструментальных факторов, об оптимальном выборе экспериментальных условий и предельных возокностях определения параметров дефектной структуры из измерений зависимости ИКЛО й^а) (в симметричном случае Лауэ).

Для расчетов используются формулы статистической динамической теории Като. В кристаллах с микродефектами имеем

т « Л, (1-Е8)<(1, (2.1 >

где длина экстинкции А = Л-Т'МХ^ ^Т = Е3- статический

фактор Дебая-Валлера, т - длина корреляции.

ИКЛО для симметричного случая Лауэ записывается в виде суммы когерентной Н^ и некогерентной ^ составляющих (Н^ -+ ), которые имеют разные толщинные зависимости. Конкретный вид функций и ^ = - = %зеса, т0 -толщина кристалла) задается' двумя параметрами: Е и т, характеризующими влияние несовершенства кристалла на ДРРЛ. Факт различных толщинных зависимостей составляющих ИКЛО используется для определения их значений. Достаточно большое количество осщшмций на кривой Н^Ш наблюдаются, когда 1; » 1, ял «1 (эе = Хщ/Хьр). (1-Ед)г21/Л « 1.

Для анализа экспериментальных зависимостей в й^) удобно ввести функцию контраста СШ (отношение удвоенной амплитуда осциллирующей составляющей к К^Ш - усредненной по осцил-ляциям)

2Е

С(1;) = —- я—р я р к— (22)

№Е[Е(1+эг1г) + (1-Е )/2Е + О-Е^Ктгсу/Ш^]

где Е = Е^Ед (Е^ - тепловой фактор Дебая-Валлера).

Длина экстинкции Л определяет период осщшшций толщиной зависимости Н^Ш. Поэтому соответствущая обработка осциллирующей составляющей экспериментальной зависимости позволяет найти значение Л. Наличие малых структурных неод-нородностей в кристалле приводит к увеличению значения Л по сравнению о совершенным кристаллом Л = Л0/Е8. Тогда, если воз-

можно определегате Л с относительной погрешностью 8Л/Л < (1-Ев), можно утверждать, что метод достаточно чувствителен к исследуемым искажениям и статический фактор Е8 отличается от 1.

Другой параметр теории - длина корреляции % оказывает влияние на общий вид зависимости й^Ш, что'ниболее явно проявляется в уменьшении контраста осцилляций. Для идеального кристалла

2Е+

С т =---(23)

ш ГШЕ^-неМ^) + (1-Е^ }/2Е^

Если в экспериментальной зависимости Н^С!:) контраст осцилляций 0(1:) о учетом влияющих на него экспериментальных факторов отличается от идеального О^^), то значение % определяется как

А Е

(1-Е2)щг£

2Е Г 1 11 1_Ез [-15 - -щА - Т1Г

т 1- ° и1<1-

(24)

Процедура определения статического фактора Е сводится к выделению из измеренной зависимости ИКЛО й^(зеса) гармонической составляющей и вычислению ее периода. Точность определения зависит -от выбора положения точек на кривой (в экстремумах осцилляций она минимальна, а в нудях - максимальна).

На рис. 6 представлена зависимость контраста С(а) для кристалла Б! (КЭФ) и для сравнения зависимость контраста идеального кристалла С1(1(а), рассчитанная по формуле (23). Уменьшение контраста для кристалла КЭФ связано в основном с наличием в кристалле микродефектов.

В таблице б приведены значения структурных параметров кристаллов 31, определенные методом наклона, и оценки погрешности метода в точности их определения, показывающие чувствительность метода к малым структурным искажениям кристаллической решетки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Развит метод матрицы плотности в статистической дина-

мической теории дифракции рентгеновских лучей, учитывающий как взаимное влияние когерентного и некогерентного рассеяния,

так и многократность некогерентного рассеяния.

2. Получены уравнения для матричных элементов когерентной части МП в случае прозрачного и поглощающего кристалла, система дифференциальных уравнений для матричных элементов когерентной части МП с учетом некогерентного рассеяния и система интегро-дифференциальных уравнений для матричных элементов нэ-когерентной части Ш. Проведено теоретическое исследование волновых полей в двухволновом приближении динамичской теории дифракции.

3. Выведены уравнения для амплитудного коэффициента отражения (АКО), учитывающие динамические поправки. Решена прямая задача дифракции с помощью рекуррентных соотношений. Проведен учет влияния динамических эффектов на МО.

4. Предложен алгоритм решения обратной задачи ДРРЛ определения комплексной отражательной способности (КОС) кристалла по угловой зависимости АКО. В качестве примера применения данного алгоритма проведено восстановление профиля КОС типа "ступеньки", соответствующего структуре, состоящей из идеальной подложки и приповерхностного кристалличесокго слоя с измененным параметром решетнк5 толщина которого Т > Аэкс- Показано, что решение обратной задачи ДРРЛ с учетом динамических эффектов, дает лучшее приближение к истинному решению, чем борнов-ское приближение.

5. Показана возможность решения обратной задачи определе-деления локального изгиба анизотропных кристаллических пластин по данным рентгенодафракционного метода наклона.

6. Определены значения моментов сил и радиусов изгиба в изотропном приближении теорш упругости и с учетом анизотропии. Показано существенное влияние анизотропии на параметры упругонапряженного состояния кристалла, которые меняют не только свой порядок величины, но и знак.

7. Проведено вычисление параметров, характеризующих несовершенство структуры исследуемых кристаллов кремния, с использованием измерений интегрального коэффициента лауэвского отражения (ЙКЛО) Иь(а) как функции угла наклона а плоскости дифракционного рассеяния. Получены оценки погрешности метода наклона в точности определения длины экстинкции, статического фактора Дебая-Валлера и длины корреляции.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дарбинян С.П. Формализм квантовой матрицы плотности в статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей. // Препринт ШАН СССР, N 2, Москва-1988, 32 с.

2. Дарбинян С.П., Чуховский Ф.Н., Воронков С.Н. Рентгенодиф-ракционное исследование внутренних напряжений в кристаллах кварца методом наклона. // ФТТ, 1991, т.33, N 6, с. 1740 -1748.'

3. Darbinyan S.P., ChuMiovskii F.N., Voronkov S.N. Identifications of local deformations in anisotropic crystals according to X-ray diffraction inclination method. // Phys. Stat. Sol. (a), 1991, 7. 125, N 2, p. 441 - 449.

4. Дарбинян С.П., Бетрашень П.В., Чуховский Ф.Н. О возможности решения обратной задачи дифракционного рассеяния с учетом динамических эффектов. // Письма в ЖЭТФ, 1991, т. 55, вып. II, с. 618-620.

5. Дарбинян С.П., Петрашень П.В., Чуховский Ф.Н. Решение обратной задачи рентгеновской дифракции в слоистых структурах в динамическом случае. // Кристаллография, 1992, т.37, N 4, с.854-862.

6. VoronKov S.N., Chukhovskii F.H., Lomovtsev P.?., Darbinyan S.P. X~ray diffraction investigation Si crystals with randomly distributed mlcrodefects by the inclination method. // Phys. Stat. Sol.(a), 1992, v.134, H 2, p.301-316.

7. Дарбинян С.П., Вартаньянц И.А., Чуховский Ф.Н. Метод матрицы плотности в статистической динамической теории дифракции рентгеновских лучей. // Межвуз. сб. науч. трудов, 1987, Т. 8-9, С. 64-70.

8. Darbinyan S.P. Possibility of solving the inverse problem of X-ray diffraction in layered strucures in the dynamic case. 3rd European Symposium on X-Ray Topography and High Resolution Diffraction. Coll. abst., 1996, Palermo, Italy.

9. Дарбинян С.П., Чуховский Ф.Н. Теория многократного некогерентного рассеяния рентгеновских лучей на структурных не-однородностях кристалла в условиях динамической дифракции. Тезисы второго совещания по ВМКП "Рентген". Черновцы-1987,

. с. IO-II.

10. Дарбинян С.П. Многократное диффузное рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах со статистическими неоднородност-ями. - Тезисы конференции "ДРРЛ в кристаллах с динамическими и статическими искажениями". Мегри-1988, с. 73.

11. Дарбинян С.П. Анализ распределений когерентных и некогерентных интенсивностей в случае Лауэ-дифракции. - Тезисы конференции "ДРРЛ в кристаллах с динамическими и статическими искажениями". Мегри-1988, с. 7?.

12. Дарбинян С.П., Виноградов A.A., Чуковский Ф.Н., Воронков С.Н. Решение обратной задачи определения локального изгиба анизотропных кристаллических пластин по данным рентгено-дифракционного метода наклона. - Тезисы третьего совещания по ВМКП "Рентген". Черновцы - 1989, с. 115.

13. Воронков С.Н., Чуковский Ф.Н., Дарбинян С.П., Виноградов A.A. Исследование структурного совершенства кристаллов кремния, выращенных методами Чохральского и зонной плавки, рентгенодифракционным методом наклона. - Тезисы третьего совещания по ВМКП "Рентген". Чврноввцы - 1989, с. 139.

14. Дарбинян С.П., Чуховский Ф.Н., Воронков С.Н. Определение деформаций и напряжений в анизотропных кристаллах рентгенодифракционным методом наклона. - Тезисы докладов второй конференции по ДРРЛ в кристаллах с динамическими и- статическими искажениями. Кацивели-1990, с.89.

Р„Л Ако'тт»ПГГ™«^«^'^'б>;

40 «»

1 6Л (а, о>; Т=0.8ЛЭКС (в, г),

5 э1шк от нарушенного слоя.

па I

- модуль,

фаза.

^т----------------"=

— _____________;■: Щл)

■ <р(п)

ае>) г

•ч(^лл)

'У//////////////////////////////, «г

Ряс. 2. Модель кристаллической структуры.

Рис. 3. Профиль КОС кристалла с рушенным слоем

гп = (Т/128К где я=0. 1. 2, ..., 128. 1 — дельный профиль КОС, 2 — расчетный г фнль КОС — боряозское приближение, расчетный профиль КОС — аивампчес случай.

Рис. 4.

'дела, иллюстрирующая кристаллографическую ориентацию и изгиб пластины кварца.

, 0.20

Рис. 6. Зависимость функции контраста от угла наклона С(а) дм кристалла Б! (КЭФ); отражение (440).

1 - экспериментальная зависимость СеХр(а),

2 - функция Су}(а) дая идеального кристалла.

Рис. 5. Зависимости ИКЛО от угла наклона 1 — экспериментальная зависимость Да, 3 {»), г — И для идеального кристалла Я*. ц (а), 3 — (усре)

вал по периоду осцилляций. а — область в центре плас (точка 1), б — область на краю пзаставв (точка

Таблица 1. Символы матрицы перехода щ к «роряулам преобразования коэффициентов ау

1 2 3 4 5 6

1 0 0.382 1.579 0.486 0 0

2 1 0 0 0 0 0

3 0 0.618 0.382 0.486 0 0

4 0 0 0 0 -0.618 -0.786

5 0 0.972 0.972 1 0 0

6 0 0 0 0 -0.786 -0.618

Таблица 2. Значения коэффициентов К;, определяемые методом наклона для кристаллов кварца

. № крис- № исследуемой Коэффициент К, 108 Н/м3

талла области К1 К2 К<;

1 1 -1.40 ± 0.02 -0.77 ± 0.07 0

2 -0.37 ± 0.007 1.39 + 0.02 0.29 ± 0.003

2 1 -1.07 ± 0.006 0.56 ± 0.016 0.29 ± 0.002

2 -0.78 ± 0.004 0.87 ± 0.01 0.25 ± 0.001

Таблица 3. Значения коэффициентов К;, определяемые методом наклона для кристаллов кварца (изотропное приближение)

№ крис- № исследуемой Коэффициент К, 10» н/м3

талла области К2 Кб

1 1 -0.03 ± 0.014 -0.73 ± 0.007 -0.11 + 0.005

■ 2 -0.38 ± 0.004 -0.35 ± 0.003 0.02 ± 0.002

2 1 -0.27 ± 0.004 -0.65 ± 0.002 0.01 ± 0.001

2 -0.32 ± 0.002 -0.54 ± 0.001 -0.02 ± 0.001

Таблица 4- Значения моментов сил и радиусов изгиба, определяемые методом наклона для кристаллов кварца

№ кристалла № исследуемой области Моменты сил, 10"5 Н Радиусы изгиба, м

М[ М2 Н Гх ГУ

1 1 2 -3.180 ± 0.049 -0.832 ± 0.016 -1.771 ±0.16 3.164 ± 0.045 0 0.661 ± 0.006 433 ± 18 -307 ± 3 112 ± I 570 ±8

2 1 2 -2.428 ± 0.014 -1.792 ± 0.009 1.280 ± 0.037 -¡.983 +0.024 0.650 ± 0.005 0.573 ± 0.003 -1005 ± 22 -534 ± 4 157 ± 1 221 ± 1'

Таблица 5- Значения моментов сил и радиусов изгиба, определяемые методом наклона для кристаллов кварца (изотропное приближение)

Ма крис- № исследуемой Моменты сил, 10-5 н Радиусы изгиба, м

талла области М1 М2 Н ГУ

1 -0.055 ± 0,032 -1.660 ± 0.016 -0,245 ±0.011 575 ±3 -8544 ± 127

2 -0.871 ± 0.009 -0.795 ± 0.006 0.034 ± 0.003 1342 ± 6 1200 ± 7

1 -0.606 ± 0.008 -1.480 ± 0.005 0.025 ± 0.003 667 ± 1 2076 ± 20

2 -0,726 ± 0.005 -1.220 ± 0.003 -0.038 ± 0.002 827 ± 1 1573 ± 7

Таблица б. Значения экстинкционной длины Л, статического фактора Дзбая-Валлера Е., корреляционной длины т, концентрации С и среднего размера дефектов Я, определяемые методом наклона дая кристаллов кремния

Образец отражение А + 5Л, мкм £5 ± 5Ез т + 5т, нм С, см"3 К, нм

31, бестигельная плавка (220) (440) 36.48 ± 0.06 53.75 ± 0.08 1 1 - - -

Б!, КЭФ (220) (440) 36.72 ±0.13 54.21 ±0.12 0.9913 + 0,0035 0.9413 ±0.0040 35 + 15 35 ±8 10« 10" 15 15

по Чохраль-скому (220) 37.09 + 0.29 0.9814 + 0.0078 10 + 4 ЮМ 4