Некоторые применения нелинейного анализа к дифференциальным уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ б 0 им. М.в. ЛОМОНОСОВА

„ ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

о мдг

На правах рукописи

СОЛТАКОВ КАМАЛ ЯАСИР ОГЛЫ

уда 517.9

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

01.01.02 - диф$еренцйалыше уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени доктора фиэико-матемакгчееких наук

МОСКВА-1993

Работа выполнена в Институте Математики и Механики АН Азербайджан«

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ДЕЭ5Н А.А.

доктор физико-математических наук, профессор ШЙШМАРЕВ И,А,

доктор физико-математических наук, профессор ЯКОВЛЕВ Г.Н.

Ведущая организация - Университет "Дружбы народов" им. П.

Д 053.05.37 по математики при МГУ по адресу: 119899, Москва ГСП. Ленинские горн, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд■, 685

С диссертацией моашо .ознакомиться в библиотеке факультета ВШ.Ш

Автореферат разослан " " 1993 г.

Лумумбы.

Защита диссертации состоится

в / О ~~ часов на заседании специализированного совета

Ученый секретарь специализированного совета профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Целью диссертационной работы являются:

\в/ обобщение теореда Кош о среднем значении, а также теорем Брауэра и Шаудера, для исследования нелинейных задач с разрывными и многозначными отображениями, действующими в банаховых и более обкщх топологических пространствах; изучение нелинейных краевых задач с применением этих общих результатов;

б/ исследование непрерывных отображений, действующих в банаховы? пространствах, описание образа некоторых множеств из области определения при таких отображениях, нахождение общих условий для открытости и сюрьективности этих отображений и изучение новых ж известных нелинейных краевых задач в более общих условиях с применением полученных общих результатов;

в/ обобщение метода компактности для исследования уравнений с нелинейной главной частью, порождающих отображения, областями определения которых являются подмножества линейных пространств с некоторой полуметрикой, и краевых задач с неявными вырождениями;

г/ изучение класса подуметрических пространств, которые могут быть областями определения нелинейных отображений- и таких функциональных пространств, каздое из которых является областью определения некоторого нелинейного дифференциального оператора;

д/ исследование уравнений типа уравнения теории движения жидкости в пористой среде, разрешимости вполне нелинейных уравнений произвольного порядка и некоторых нелинейных некоэрцитивных задач.

Актуальность теш диссертации. Нелинейный анализ - одна из самых бурно развиваю-адхся областей математики. Это связано с тем, что многие реальные процессы описываются нелинейными задачами.

Нелинейный анализ включает в себя, в частности, такие вопросы,

как разрешимость нелинейных задач / нелинейных уравнений и включений/, открытость отображения, замкнутость графика отображений, замкнутость отображения, поведение решения нелинейной задачи и др.

К настоящему времени разработано достаточно много методов исследования нелинейных задач, причем поскольку исследования реальных процессов приводят к изучений некоторых нелинейных задач, специалисты во многих областях разработали методы исследования нелинейных задач /см., например, £[ - 3] и литературу в них/. Те, что в нелинейном анализе разработано так много методов исследования, внутренне связано с особенностью нелинейного отображения. Следовательно, появление каждого метода обусловлено некоторого рода классом отображений, т.е. обслуживает нелинейные задачи /отображений/, имеющие какую-то общую характеристику.

Таким образом, если разработан .некий метод исследовании нелинейных задач, то он позволяет изучать новые нелинейные задачи, а иногда рассматривать и известные задачи в новом ракурсе. В настоящей работе разработан новый метод, а также обобщен известный метод исследования нелинейных задач.

В разные годы разработали методы изучения вопроса разрешимости нелинейных задач и применили к конкретным задачам Пуанкаре, Банах, Шаудер, Лэре и Шаудер, Мозер, Бернштейн и многие другие, а в последнее время, в основном развивая предыдущие методы, Вишк, Лионе, Браудер, Красносельский, Похожаев, кубинский, Рабинович, Брезис и др.. Ладыженской, Уральцезой, Солоншковым, Кружковым, Скрыпником, Крыловым, Новиковым, Яненко, Самарским и др. разработаны или развиты известные метода непосредственно для нелинейных краевых задач /см. [4 - 9] и литературу в них/.

Общие метода нелинейного анализа и соответствующие результаты о

разрешимости для нелинейных краевых задач как правило основаны на следующих условиях: I/ гладкость отображения, т.е. как минимум, существование производной в каком- то смысле; 2/ усиленная непрерыв' -. кость в каком-то смысле - в этих случаях отображение или задачу можно исследовать локально; 3/ отображение определено во всем линейном пространстве и непрерывно /слабо непрерывно/.

Но эти результаты неприменимы для изучения многих реальных задач /например, задачи нелинейной механики, оптимального управления, математической экономки и др./, если эти задачи порождают разрывное отображение; отображение, областью определения которого является некоторое подмножество линейного пространства; отображение, которое не обладает достаточной гладкость«) и др.. Такие задачи возникают в теории течений Прандтля-Мизеса, нелинейной фильтрации, течений жидкости в пористой орэде, в теории плазмы я других задачах.

Заметил,что исследование вопроса открытости, замкнутости, объективности и т.д. непрерывных отображений является классическим и этим вопросом занимались Дцамар, Данфорд, Грейво, Мозер, Браудер, Похожаев и др. /[х, 3, 6, д}/.

Таким образом, изучение вшесказанных вопросов в более общей постановке является одной из актуальных проблем современного нелинейного анализа и теории нелинейных уравнений. Кроме того, актуальным является также вопрос о том, как и в каких пространствах следует изучать нелинейные краевые задачи, особенно когда главная часть в этих задачах является нелинейной.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

I. Разработан геометрический подход для исследования нелинейных задач с отображениями, которые могут быть разрывными, а также много-

значными, получены новые результаты о разрешимости нелинейных задач, о неподвижной точке и др. с помощью геометрического подхода.

2. Найдены условия, при которых можно описать образ некоторых множеств из области определения непрерывного отображения в банаховых пространствах.

3. Найдены достаточные условия для открытости и зажнутости образа непрерывного отображения, действующего в банаховых пространствах.

4. Изучены новые и некоторые известные нелинейные задачи при юлее общих условиях, а также в более общих условиях исследованы юзмущенные нелинейные задачи,

5. Обобщен известный метод компактности с целью исследования равнении с нелинейной главной частью, когда задачи поровдают отображения, областями определения которых являются подмножества линей-ых пространств с некоторой полуметрикой и когда уравнение имеет еявное вырождение.

6. Изучен класс полуметрических пространств, которые могут быть бластяш определения нелинейных отображений, непосредственно свя-акных с нелинейнныш краевыми задачами, с неявным выровдением. До-азаны теорема вложения, компактности вложения и др. доя таких прос-эанств / /^-пространств/.

7. Изучены уравнения типа уравнения теории движения жидкости в >ристой среде, вполне нелинейные уравнения произвольного порядка с >отаточко произвольной нелинейностью, некоторые некоэрцитивные диф-гренциальные уравнения.

Методы исследования. В первой части работы разработанные подходы [я исследования нелинейных краевых задач, базируются на методах ал-¡браической топологии, функционального анализа, выпуклого анализа геометрии банаховых пространств.

Во второй "частя: работы использованы разные варианты метода Гал-еркина, метод эллиптической регуляризации, метода теории функций и функционального анализа, функциональные метода для получения априорных оценок.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Общие результаты могут быть использованы при изучении нелинейных задач в общей постановке и нелинейных краевых задач, а также других вопросов нелинейного анализа. Все полученные в работе результаты могут быть использованы в теории нелинейных дифференциальных уравнений, в задачах оптимального управления, в математической экономике, при изучении многозначных отображений и включений, в нелинейной механике, в гидродинамике и др. областях математики, физики и т.д..

Апробация диссертации и публикации,. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям и по теории функций и функциональной^ анализу Математического института им. В.А.Стеклова, механико-математического факультета и ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, Московского энергетического института, С.-Петербургского отд.института математики им. В.А.Стеклова, Института прикладной математики и механики АН Украины, Института математики и механики АН Азербайджана-. ,А1У им.М.Э.Расулзаде, Московского физико-технической» института, 7Щ им. П.Лумумбы.

По теме диссертации сделаны доклада на конференциях по дифференциальным уравнениям /г.Донецк, 1987, 1989, 1991 гг, Русе-Болгария, 1989 г..Новосибирск, 1982г./,по топологии /Баку, 1987г./, по функциональному анализу /Маратеа-Италия, 1991 г.,Баку, 1991, 1992 гг, Теб-риз-Иран, 1992 г., Трабзон-Турция, 1993 г./.

Основные результаты отражены в 15 работах автора.

Объем, и структура работы.Диссертация состоит из введении с кратким обзором и двух частей, имеющих пять глав, изложена на 256 стра-

- в -

нигде »р">ц»го1тисиого чриста. Стсок гчткоуе»ой литештурв н"-л"1"?ет Т22 иптг.^паплн1'".

СО,ДЕР.'*йНЯЕ РАБОТЫ

Рл вррденг*тч н кги ртр;-,,; п^норе дяс'ся ч1У)1*кт оодег/^.ште рч.^отн и гг-р.чткчр обяол работ по результатом, имеющим отношение к рассматриваете» п гт^еепФ-т'ии ог№ет<еттсгется ^во.то иолтоечннх « дир.пе~ ртяпми т^.зуль^ач'ов среди ,чруги* тэезультато? по этой тематике.

Рябо^ посещен» исследованию г«зрея»»?'ОС,!>1» нв^^чейных ря».?« л об-

'!РЙ ГЮСФРКО^КО И НР-"ИНеЙННУ "ГЯЙВЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИМ '-Г (Тупт'.ЧО-

ПЧР Я" П<\<СОД»>Яг.

Дог>я0Я ТГЛС7Ъ П9С1)У"!(?"Ч ТОПОТОГИЧЗСКО^ ГОД^ОДУ !Т31'ТТ'?НИЯ ме.пинвй-К«ТГ р П'ТОТОГ"^ чу»1г ц *> тг-яСТПОЙ ГГ01п'&Н0'НУВХ 11 1^00Ф01[Ф ИЗ Д}^

глав.

Г ТО В?, О1 "й'тгПИ""ОСКО"',)г 1ю,гпг'">,,'','> РДО "сс.'то.'п'лтся

?£>гпх)Г> л ТО"1', »ту "\грппчт1ТхГ ЯГ,17ЯЧН1-ТЙ п.ттеМЙЧТ у ЮТ лг^СТ^Н^Т-

которое отобпачен'-'в "*"У» со'учг-датсг' я об-

г\яе ^(б) но'' -всрл » X и "У

"ОТТ-Г*" '"плплоГ.'-П'^гмтр пп"ОФП^НСТВ''3.. ЭТОТ ПОД'/О!' СОСТОИМ н том кто опорной рпплор м^птгдует^'1 на оснопо геок-е'НМУчской структуры обпя-V »дал-геотпп (г и*» оирняетет».«' птг>(!ря*ен!'я м распо-

ЧО'^ЙНЧЯ О*!)*»:*} /(Ю -».пя^шрз X ОТК^ЛИТ^'Г'-ЧЛ СЯКОГО

ТЧОГ./ЯН'11?! / г» Н6К')?0'О%: С'«пС\т,в/. З^ОЙ <»п>г)»1г,»утхЛ сн ,ГЯ~

ЛФГ.ГТ пмгРП'тооТК С00'1"Г!Н,ПСТВ1"/'!"'Т,Т0 "НО'-'ИСТ'ЧЛ . 'Ь'ОЧПО ПОЭТОМУ ГУТОТ !ЮП-

тп наоь'пас^ся гооунтри^рскич.

В ¡?то<* пларв обоб"|рн»т Фоор^мя Кош о огедч^м !зна«ении ве,п.ествен-<о>" н^прешпно!/ Рунэт'ш, тсоро.ма Бтруэря о неподвижной топке и дпу-•«й» тч»яу.пьтяты, в кякш-то сытсло св.«т?аннтю с ука^ают-тми. Следует

■WWOTb, '-'ТО PC'",!™' 170'' обо^^ниви РОНЯГ/ЯПТСУ ТО, НФО Э1'И лоя^л^та-

7Н применимы tvik^r к ралрьгвннм v адногозла"ным отображениям.

В § Т первой г.тявр рассматривается конечномерной ciyuaf*. Пусть Jjf* {П> 1) -П -"ерчое nPw-?!rnoBo прострацс'во, ¥ - нрк^тош^ ото^т'-е* иио, пвйстпут^'со я Ц ,i?(0>=/?- атягнутоЯ "'«peneuvpow в нуле и

рол'лус;' Г>0 , Sr(0) - otf-'p'i, танипя Onnowiof» т>е-

зу.тьтат ртпгп пяпягглЛ') р "»оттюм с^учое мг>»-ет быть ^оп'»улитюяан

н рледу-чч^« чичо

Тепремя I. Пусть fl^OJc^'+Ä и пь'полия'тср условия:/о

в"гундое яамчпгутое /открнгос/ м"о-"естео;/Ь/ на SrCO) '-шеет место

"P.TVIRRFCTRO <f(*),X> ^ О .Тогда 0efCö(0» (т.е.Зх€Ж0),

'S >о

Как видно, от отображения я никакой гладкости не требуется. В этом онколе теорема Т обобщает вариант теоремы Ерауэра о неподвижной тотгке, наяшзречый такуе леммой "об остром угле", а в частности, теотэену К^гои о срсднем пналенш непрерывного отображения

Ifo «reopew I непосредственно вытекает утверждение, обобща^щче теорему Крауора в вше ска .чанном смысле, А чмвнгю, имеет место Следствии I. Пусть отображение

такое, что

^f(Br(0j),r< пто^рамташе такое, что ij на ßr(Ö)

упоячйтрорппт yr\no>w'A /я/ woTjeMw I. Tont»a ото<упя-.-ение f- обтачает непоггшг-дой точкой в "¡аре ВГФ) .т.е. (О), Х0€ /лепи f -одтппнчччон, то 3*0<S BrCO), î(&,)-*<> /•

СЛв^стпио I пототл^ает, что для того, чтоб" отобгад-'в"*« об'гадя1го

ЧППГ) .TTST^vruoft ТО"КОЙ,VCTOHHC О ГЧЯЛКОСТИ ПО СуДРОТПГ.'ННО. 1{плмр ТОГО,

ло"ь теоремы Брнуэрл о непо.мви^ной то»wo и ее вят)да«та я ч«ли-HRj*HOM «НЯДИЗВ, ЧРТЗУДНО ЧИДв'Г*, я роль Результатов, nonvaPHIVC TS псовом парзгтофо, в то;.' тюле « приведет г ус результата.

- то -

Б 2 v T-i ррву.пьг^т", полу^еннчс в ?> Т,о^об"»енн на беснтютю-мернчй г.иут'яй, топче?-' в Ç 2 mccfcprrwi" обгоне .итейоде imocvw.яства, f в ^ Я - тотько Лниаховк пространства.

Пусть X ' У - поктор.(?-те топологически« простекстча /БТП/.Мно-'Кчгтво <=Х бу^ем №">•'? ;в;>.ть ¿;опус№т№, ооли оучдоФнует связное зя.чкнут'ое погпоп'а'^пе токес.тчо 0о с: % гакор, что О GîntOb v à00 S G- t РЛР G0 - грачштя /?< uncviiocru, GsG^AG- =г.д&0/.

Приводе»> О'уда т^яуяьтот, УО'С^ЗРНН^Й Б параграфе 2.

2. Пусть f :0СТ) S X Y -«екотопоо отображение, На некотором (тро-унстае (?£i?xf)£x р^лолня-^тпп- условия : /я / ^ф) - выпуклом 3'-"'iKFjrT0G /открытое/ мнозестно d Y ; /6/ с^екгрвуйт отобра-■А-енме g:£)(g)s;X"*"Y* такое, "то g<.G) -урпуслчи^г множество

чп сопт)я-;оннг>г'о пространства Y*k Т ,ипмчсм для чекоюгюро поумцп-кее-твя G, £ G имеет ыс^го раноно тво/с/на множестве

имеет место неравенство О /ялось -двой-

ственная форяа для ндрн CY, Y*) /.Тог^а Ое ^(О),

Эт.? теоре"? является обобщением тоопеш I на бесконоччомерний егучай. Лтвсь т;окчзятг?-1 т^л^с анэ«ччореми 'prrr "руиюс о'.'"ряс

от

1 . Теорема 2 чок« я шпет, "то « отчииив"*"1^»/^' "об пстттом

угле", ее обобщение. то точенное м^всъ, wh« гтгу.тмот-'К'рь w тголинс?ч«м no/i.?u'iM тгогюе.рг-усгвенно, не пйт)р-;о'Т(т на koh'wpvwihw* поm¡гуугччуи^.т-К'Н|- о^".но "ппользуото." укряянтая «с-^а /с ., wc,i,|V,.m'-it>.£2,7,П^/.

¡¡я чч^о^м" 2) 'гоtttt.'i тптг-'Q ^ T'FiF '.¡я "'ftorm'i'- t, по.*г"чв*ч,с<» pei-wit'it

п и>-чп>пц{щгЫг •POI'K<>., Ч'еопсш'!!"1' "«тн-Тихог и .

Стаур.ФПИ'о <?. Пусть ото^ря.г*отггр Якоторое яа^тгу-

ГОР ркпуклоо ИГ'О'-О.СТ^О 6г ""Т л С^бст. ^ОГ "Я, «ЗГ.ЛИ ОЧ'обта-

^ : G уч.ов.^ст^ороет G условие» тсо^т 2t

- TT -

то отобпадение f о^ладэот н^погшгчяой топко» в мио-гестве О .

D л ? получены результат такого »е типа кяк ™ * 2 для р»<*лекси

н>~: банаховых: простшнотч, ппиием поскольку громятсия этих" простоя

"стк ю^таточио полно изу-пеня, у «у» "ось "г-скоть^о с^'об,,,ить wonm

т-е-зутчтятоп 2 п этом с7"тт'-,п. по""vw^i" '^чт'""0 j^m'^ruip rie^^'.tbt

тн, «оптул^п чпг">т>чо ,п*пг'р"ле»!ке, о^^ня^шве геочетпию

черачонотля лл^ двойственной г^опмы.

Лемма Т. Тусть , У - vwun® хяуялор&от векторные

ФОП^ЯОГ'-ГС'^ятгиР тгоострянствя ЛТВП/, У S.X - ООПрФ"еНЧОЙ ппоотпянств

f У , ° -нптсотппое отобпя••»■енме. Птсть на гпячиие

i-

d6js»Z)C^)1'RiiOTopoii погданжей окрестности чуля^/доялетворяет неравенству Тогда о^ра? -всякого множества <r s ЖЯ), с одержшгего порождает аффинное пространством* крайней »'ере, веэтду плотное в пространстве У

Ят«е™м, что в бесконечномерном с пуча а док»яано, что если услов! . /а/ яамонить заслоняем: - выпуклое множество с непустой внутр-

енность^.-то утверждения остаэтс« в силе, если соотгетс'^ущие нерг

вснства-строгие, как п лсмъ;е Т. Ктюме того, в I и 2 приведены

" условий

прчмерн, покядаяа'опис су'ествешюсть^окапаиньк здось результатов.

В § 4 рассмотрены применения результатов параграфов 1-3 v ке^ян-с»<*н"м ураяпоч^ян и вктчениям и получены результат^, о^обт^пщш-з и.? яеетнь'б репутьтатн о ра?сечииости. Докаяагдг яд(эпг, ТЯк^е некоторые нопт-'е ряяультятм. А 4 5 потупеик теопемн раяреппмости "^f задаи с нечетными отображениями, также обоб'па™те иавееттте та не я pe^v-льтят В 5 6 доказаны ое зульта.тн, покззива">"^те при какич условиях образ допустимого многэства. ичи некоторого ыно-естча «тдяется внпуклнм множеством, удовлетвярягоп'им условиям одной из основных теорем этой главм. Ччмотии, что ^оли X. - рефлексивное банахопо пространство, я

- т2 -

>тобрэ1в-еняе ^ : X"*" X* являете,с ра»ггальио непрернвкнм потент^иать-

1чм онератаоом с. в^тнят потеь^длалет,', то ¡»«лчнут^х оипук«м)с

•но^сств, оггое ".слепнях по соответсгву»»«ему- «Ь,нк!'лонп,,у, я»т{,,е,рс.п "»м-

Гнут-Чй ^щукпнм :-.<НО"<ПСТВОЫ в X*" .

В С 7 "полтонн гтетинейнч« задачи, в основном кпаевие, о пдаменени-

¡м обитое -неяуяьтатор ятоР г"'авы, прииеы рассмотрена «имсие г»«"»япи, к

•птопьп! ".•»веотнне ието'тн по рагяичнпи пшшшлм не птдамеирм".

Втопчл глзви пепво>/ части посвящена чууиеншо нег!инейитч нс'прермв-

гнх отображений, в основном действующих в банаховых пространствах,и

гв,гяетс.я чекотор™ развитием результатов летжой г^ав1-1 на с "уоай неп-

;ог)ывч"х) » г'якоь'-то сымсе, отображений.

Изучение иепшгошны»- ото^'рачрн&я в приведенном во яторой главе

которыми

нпшвлеиик хфотиктоввно сообра^сш5пли7^опоово-''уалзсь перва® глава.

CpoM.fi того, следует п- •■етить, "то и^утенне геочетш»йокой

«бпяяа чри отображений, не обгада^-рг никако» г та.нкоеть?), сопряжено

? бо.ты'чдат трудностями.

В пвттчок п^пагоп?« второй рттан« исс.'гсдгуг^0"' отибся^ент^я, че#птв'<г-

тч^р т! тэоо.пту»чствах, основной р^ут'-тат параграфа, « чаот-

о'птопе *Д|>»но о^отл'А'.чип^вэть и еле ^/г^зем ри«о.

3. Лупт* X - пв#",с*'г,и>*гюе ^"науово птс-ррнстч'у, а отоб-да-гение Х-^Х*" на -пикнуть/ "«аре 3 т-тпоя^тт-

:<•• с.псд,т!пяч ус^опи«:/^/ ¡Р - м^ппонуин'^ "п>п>'»г>я"--еипо и О;

'Ь/ ^гпор.тву-т (^гттт^пй уо"04"°»' /

•ри УХ , ))^^С0г11э.кие.т'то ддр т^ого хёД(0) очраве/угавн неране-

ГСФПР Й^Д^ОМД <**),*> *<М*ИХ)11*||Х, 1)(го)>50>0.

Тог."» Н3г(0)) со^оптот по.^-тнгучротт'.о, плотное л ыно'теотв^

сМ** |Х*ех*: <** л> « <К*)> х>, у*€ Э^СО)}.

- "П

Ос">ля тт г<у «е в^тет'гст, что сечи .^ополяитояьно оО'яя" ^Cfl^CO))-.v>>№jiy«r, то©Я£*с f(Br(0))t Кгокв того, нп ятой тсореми тп.гге'Р'яо'Р следствие, «еcJio.nwrov'pyPOM ww обобг'я^ш.ее ^оптум«- ^ял^еш о не-рогрижной то^ке и доугио речультчтч.

Б § 2 ».чухаются я более обпсм сдос-те непреп>"чк*' oT&fawn?, которые »<ovHO считать HCKOTopi-зд вог»<уч;ением "хорошего" отображения. Ре.-^льтатн чтого пораррзАэ лтчт попио^ность исследолять отображения из поотятотино общего класса. Поскольку нлккое непрерывное в каком-то смысте отображение, пейству«1>ее в бянахояом простпанствн, мочгет бить -чппрокпимиповяноглалкшли отобра-енлош. Приведем один результат Теорема 4. Пусть отображение f .JDCf) предетавимо на ша-

ре ß(ß)dX U30(f)p шчс; /Сх)з^Сх)+£ (#) где такие, "то на 'чаре

BrtO) выполняется условия'JiffjzC- непрерывное открытое отображение, fji0) = 0 X ~ рефлексивное банахово пространство с сепараб-е^ьет сопря^енншг; /II/ fj - по.лунепрерывное сютяу отображение, об-

Р«я каждой т0"ки Х€В «плюется л^пуклим ламтоут"м mho-

's

жестком и для -т^бого X € Вг (О) иыегат место неравенства

< т, х> *> > Р(В* !„)»*&х, WO * s0>о

jlfoOl^^jaflMI*), const,

где б такие же как в теореме 3, f(ß) Э О ;/И1/ чадый элем-( <, Х0& intВг СО) и>'&"#ет окрестностью rlL(Si0), ¿>60>Отатсою, "то

гг-гя л1 бтгх: j^aiyEД. (О) икеет место неравенство

> £ il£Oi)~ -const

Тогда образ f(Br (О)) является телом в X*"« причем содержит следующее выпуклое ЭДО)]. А § 3 празнедае отображений используется несколько по-другому.

Полученные здесь результата позволяют показать, что при соответству югцих условиях чсследуеыоя отображение ^вл^етс^ локально пткрытш. Полутени так^е более об'чие результаты.

В § 4 прилонснкезм о<1"'Их педучъгатов этой т^явп исс-лод^ртс*» таз ли urrwe ¡-»>ч'лнейкнс "ргщние яадаии, и том т1иопе известгггс я»»т>т;и т> боле о^л'дх условиях. В «четности, изучена о.леду^ля лапача, Ц ограниченной области достаточно гладкой ^р-члиге-й /я'тесь и чс;/ч"у в дальней'Иом/ рассматриваете«-' зе »аед

где Шро€Wj/CQ),р>] - Предельный показатель Соболева

Показано, что эта задача разрешима в Wg (£20 для лпбого Л 00 ил

некоторого всюду плотного подмножества пространства W^Cíí) ,если h<(h*Y2 'гдс ^ ^^.(af^llwll^Vtíé^^poT'c того, найде ны условия, при которых эта задача однозначно разрешима bW^CQ)

для любого AcjosW^CQ).

Рлесь изучены также другие задачи, например, доказана разрешимость задачи для коинфицированной Ладыженской системы Навье-Стокса з более обших условиях.

Вторая часть посвящена некоторое обобщению известного нетоца ко и'Пактности о современному примоненю:. методов монотонности к

обобщенной koí¡па^тнисти при изувеккк нелинейны^ граетмгг затаи.'

Кэк уже было отмечено вше, область определения нелинейного оператора, вообгге говори, не является линейным пространством. Это • пс гсазтждат шогие задачи из теотач че«ичейни* гяит"гальнш£/рэаде-ни», а "ч*кже a-i пдчи,'шчс"г'0щие рея ."«ил прогессм (£2,4,6, Ю}) • йавеотпне розулътяг" о n? зветимостч че линейных ура^ноп"^ с отоб-

Г?*к,ни«гми| не '1;у"1г!""|,и"'.'1 р ка^пм-то с,;|-'с.пгоои^вг!!!«:т, г1рл "полигаку?, ттто о б ля о тшопг.^ т е ления •^•«у ято^пя"»»!^ '•тлля">тсы чот.'отяп1"? линей'"-' ппл^грпон^фпя, Поч'рлщт ТПНКЙ чяцестнте яеяу'ьтэ.'т^! неинриуянимь' V "ряя 5»вЧ!*ЯМ я |->ТпбП'-1"лЯчТ''г'Л."'4, тяс?К ОПШ^вЛвКИЯ КОТОШК СОВНОД? ЧТСЧЯКЯТО ПО^ГЯ^СПОМ .ПЧНрйгЮГО ПГ/ОСТГ»ЧСТВЯ И ЯВЛЯЮТСЯ парун'-чгмиъсчт

чпостпячетном. йквнчо эти со^^яя'дан!'я гриве >ти к и^ученч^ "ряотооого ГТ:')ппос?рянода, "стату-"? »чда» о" °п

гю.пП'^чКЯ '"»линеен'«™: ОТО^ТЯ^РЧЯЙ. ЭТОМ" ГГОСВЯШвНЛ ПЯркад глав? ВТОП пй ррбоТ!1.

В § Т пфой пянн изупаетс0 один класс множеств, названных' ядесь КН -птюстраяствами,и яго по"ктасс - п:М-пролтрянства.Эти просто?нет т я общем виде оправляется следугщия образем: пустьX и У - ЛЯП,

я - некоторое отобрагение, В - банахово проспи н-

ство, ,прч^ем Л П.Л'СЦ?) , тогда КН -гтроеттчетво япое.д

еляетс" вчгяи-ением

в которое внря *енте (Х) определяет Н -норму, если

« ¿Р о

с 1Ю"я";ь,'о кого7")оЗ определяете*' гто.ггуметрш^з в О^л? ♦

В § 2 до7'? '!ачн теоремн вю^ени0 и компактности влодянир олного КН -простоянотва ™ "ругое или в линейное пространство, слабая компактность по тмно^ествз КН -пространств'? и лругне ево*с.твя . !\ п § Я те кого типа стюРст^я «рк".?анч "Д" КН -пространств че*тооког?на«ч,-т*' АункдчР М^У-Св^ьД"*^} слодут^его "«да.

где - некоторое яе"тественные "исла, а -не

которое банахово пространство и .

3"есь полуиенн "остаточное условия, прч которых слеуупцеа в,точечке компактно: Щ^^Ы) и другип результаты.

В § 4 иссте/'увтся функционал ьтекн- и Л«-пространсп'вч. Пространстве, ияу"енч"е я этом парэгра*е, явлчэтоя о^ластяии опреуетения не-линейн1:^ "прштопов. г.оро'пенн'-'х неланейнчки краев'-чди задачами.

ПРИМ^р,

"В"ие^с^ /Ш -проста» ¡;ствок,О >0

Хроме того, ячеоь поуууенн рсу ,гътатн, спяааннге с • теоремами что-~ения для пространств Соболева к цп. результаты.

В § 5 исследованы неноторнс ььгсрполяцч04.шо свойства ЛОТ-пространств. В частности, получен следующий результат.

Теорема 5. ?Дно:кестзо пн -пространств, опрепеленное в виде

}§>99>0>$ГР*9А } 1ЮР0 "'?№Т по вло-ени'о.

^ У ( 1 Р+2

Более того, эта чгезта и шкала банахова пространств(£2):

2 | | ^ А '

Р* ^™окор#ны, Т.е. 3 : .

Втора.«г глава второй части посещена исстеуовашго непин«йнму урэч-

нений " ЛВП и 'ханатов^х пространствах. В § Т показана разрешимость

г\:>;нагч> финн*".*опального уравнении в лостагоичо об">ей постановке, к

которому мо»но привести всс уравнения, рассмотренное в 2 и Я.

В § 2 .«окяяат' теоремы разрешимости ул? нелинейных >т>авнечий с

опоху.т^^кч, действ^'^дак в ЛВП. Пг"«ве?,ем оуну вд теорем, «о*язан№1>

в ятон лапагр^^е, причем в «астнои случае.

Тропою 5. Пусть У - ЛВП с сопрг«еннми У1*", -ДЧ-проот-

ранство слабо полное и "рефлексивное", У - слабо

если * с

"0«пактн"й оператор, т.еГ^чослечовАтельность - слабо

- т? -

4 'тз i^i ivonw втирать полпосле.ловательность так?.™,

"то ~*-f(pti) плабо в У^/я^/ао^^ некоторое еепашбельчое

ИБП, Z : X Y*- пинетшй непрерывный оператор, пшием ffer/S3

••> чя пространстве X выполняется неравенство обобщенно? коэр"и?ит»н-00 Т м

t«^"' f при

гг'е [•] -/?-ногмя. и . ^огла .".ля любого убУ уловпотворяще-

го нетушенствт / / \

\>рачиение — у ' разрешимо в Sg& / -сопр^иянный к опера то]

Для локачятельатва испо.льлгетсл мето" Головкина. В s 3 "оказана разрешимость г>а"ачи Коли пдр операторно-^игМЧзреп-циаэтъных урлннени":, ког^а оператор удовлетворяет условием, аналогичном ггпелцду^вму случаи. Для показате тьства теоремн разрешимости указанной ва«аии испо ».чуете обоб»;ен""й .\-,етол компактности, и:»упеннщ{1 п параграфе,г ггожег гением метода эллиптической регушри-

г-кгции. Следует ^ч.^тпть, ито ¿пхтнетя, изучен"*'?! я я,иссле-

дован« %члже в нврсЛ'лсксивммк б»наков«х ттострзнстврх' /[10, Ii}'

3 М лсслелуется тч^^тю^имостъ ¿»равнений с ппетатотами чм«я сум-ми поев 'w>rroTon«oro и са^о коьтктного опоратопоя. Эта гдот 'П поста тисня бо "ее у^рят-^ »ет тому " R настоя-'нй ляботе0 "ос-

1'атотггго постановка кттсня. Д1»* "o«,<» ■'ьствя --«»лоти гфг,1-

юпотьоуетс.ч метлу, котоочй состоит из о^новпекенпого ттимеетения •етолов обобщенно?? »оь'пчктности и монотонности. В эт"ч napapp^fro m-:о-отре"а тах"-е чо^т»» JCrvuv лл" опопятопно- ^я^^'оеч'уг'л^ного vd»j»-юЧИо- п 'мтеоаторами, у.г.ов^етвор'^ими к«"1вскаяанкнм условиям

Яослс"Ня..л г.т»вя рто1';ой тетя пос:вс-'''.'риа нолиие^ч'лс краев-

задач. Разрешимость приведенных г^есь ч^^ач доказываете- с применением об.дпх результатов, гдска°аннчх в этой гтдети работн. Заметим, что к загачаы отой главы другие и:згестнне штодн не применима.

В ? I исследован» paatnwe уравнения. Б первом пункте таесматри-ваетел обыкновенное "кЛ*ере?щиа'.'ьное ^тивнетме в нсят>н«и я:гоо*"те>п*еь.: а во втором пункте ч^у'еда napa*owpCKHP задачи с неявчз'м ""ро-те-mm в опно«епном по пространственно* переменной rvnmoe. Б пункте Я исследован^ разрешимость нелинейной параболической яя«ячи о двойным неявнчм »ниочдешем. В плотности, рассмотрена калача для уравнения

гле Т>0, й = D^á/Эх.

В § 2 ияученн задачи такого re типа, как в первом revnarpaíe, только в много неоном с: туча е, т.е. задачи этого параграфа является- обобщением зада" первого патагтайэ.

В § 3 исследуются яадзчи с неявннм вырождением, поротдаищие оговб-ражения. удовлетворяющие условиям параграфа 4 предылучей главн. другими словами, в эллиптическом случае иороядаэт операторн, которые явлчлтея суммами всевдомонотокннх и слабо компактных операторов. Заметим, "то задачи первого параграфа порогт^и только спабо компактные опепаторьт.

В порвттх двух пунктах § 3 изучены эклиптические за"аии, » в третьим пункте изучена оя "иптико-чарабо "¡ячеек« я яр дачл с "двойной" нели-"ейносты". Надо отметить, что изученные здесь уравнения встречается в теории движения падкости в пористой среде и в других областях. В частности, изучена здесь следующая залача:

«W

где ^гО, 90>-7, Ü^Ó.^O -некоторые постоянные, (p(Xyt. Т>0.

В § 4 "зуиенк неко-фт'.итивные попу-пине^нве уравнения. Здесь иссле^ "ован »опрос об однозначной тза^реишости па"аиц тл^ о тих уравнений. Например, рассмотрена ->адаиа

"Ак (Qyi4 хеЯ,

д.тта KOTOnofJ ттокляяня п тгясФНОСТИ еле дуччв ч

Таопема 7. Пус^ь собственнее ^.икнии оператора порожп^т базяо., ортонор?/ировяннр# в (£2!)и rj>?cfi> сяи jaiontrnorenH

по воараетани'т собственных лксеч, , Ет~ поппространство^Сй).

порожденное над ооботвеннчыи «Занятиями бея первого /7?-1 - числа /т.е. о codimü^m-1 Í, я Z^J - о о поденное к Е^ по "пространство

1/ 1 4

-t Ví i4?

Тогда для любого

эта аацача имеет едииств-

""" w¿ v " ^ i i

енное удовлетворяющее погазенству ,s(í-£)A2

Wg ^ 7

а >есъ£о>0 - некоторое «исю, 0<£,<1 .

В § а чссле^оваии впопне не"л?не^чнс ^тлвнени^ второго и ансолого

поря^са р ал:глпгг!л.гескгял и пар&ботипеском спл/аях в пре"1Ю"0"гснии,

«то <*ункци« F(x,U,..., Dmil) зописит от прои^подно« высокого поп-

ддка т> вцдс »¡счоророго •чг^^гчп'хыюро т'рг-'еггия, которое поро~дя-

RT 'тшейчнР кооодитипний оператоо и-? -£/>($5) . В «аот-

иости,F теет на". F(X,U,Dli,&ll) . Чапрчмер, ^ггесь дст-мм.^ падре-

mwíooTb о"норопной япдаии ?япт"с »»« "тавиешя яи^а JL . - -

Н'О __i

\-с у"= /»П, tí? О, &> О - 1-рткоторме ^лола.^С,/?«/^

Заметим, что задачи, изученные в §§ 3 и 5, исследованы также и в случае, когда они имеют нестепенную нелинейность, т.е. в случаях, соответствущих пространствам Орлича-Соболева /см. [10,Ii]и литер./.

Цитированная лятеразура

1.Ниренберг Л.,Лекции по нелинейному функциональному анализу, М.,Мир , 1977.

2.Лионе I.-JL. .Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М., Мир , 1972.

3.Миранда К..Уравнения в частных производных эллиптического тиш М., ш. , 1957.

4.Ладыженская O.A. .Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М., Наука , 1970.

Б.Гильбарг Д.,Трудингер Н..Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.,Наука, 1989. б.Обан Ж.-П. .Экланд И.,Прикладной нелинейный анализ,М. ,Мир, 1988

7.Дубинский Ю.А.,Нелинейные параболические уравнения высокого порядка,в кн.Итоги науки и техн.,Соврем.пробл.матем.,37,1990.

8.Скрышшк И.В..Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка,в кн.Итоги науки и-, техн. .Соврем.пробл.матем.. 37,1990,3-89 Э.Похожаев С.П.,О нелинейных операторах, имеющих слабо замкнуту область значений,и квазиланей.эллипг.уравя.,Матем.сб.78,2,1969.

Ю.Солтанов К.Н. .Существование и несуществование глобального рещ ния некоторых элтттико-параболичесних уравнений, Дифферен.урав 29, 4, 1993, 646-661.

П.Солтанов К.Н..Теоремы вложения для нелинейных пространств и разрешимость некоторых нелинейных некоэрцитивных уравнений, Дел в ВИНИТИ, 16.09.91, * 3697т B9I, М.,1991, 71 стр.

Список статей, опубликованных по теме диссертации: 1.0 разрешимости некоторых нелинейных параболических задач в пространствах Срлича -Соболева,-в кн."Дифф.уравн.с частн.произв."-1980,5? 2.0 разрешимости: некоторых нелян.парабол.задал- Дифф.уравн. ,I6,5,f 3.0 разрешим.некоторых парабол, задач с нелинейностями растущими 6i грее степенной.- Матем.заметикн, 32, 6, 1982, с. 909-923.

4.06 одной нелин.задаче парабол.типа.-Докл.АН Азерб.,39,1,1983,II-5.0 разрешимости нелиней.уравн.и некоторые теоремы вложения.-Изв./ \жрб.,4, 5, 1983, с. 36-41.

6.Некоторыэ теоремы вложения и изс примен.к нелкнейн.уравн.-Ди§ф-У£ Ю, 12, 1984, с. 2I8I-2I84.

7.К теории нормальной разреш.нелин.уравн.-Докл.АН СССР,278,1,1984. 8.06 одном классе простр.и нелихейн.уравн.-сб.научн.тр.ИМ 60АН ССС

Коррект.краев.задачи для неклассич.уравн.матем.-физикя"-1984,с.I39-I 9.0 разрешим.некоторых- нелянейн, аволодион. задач. -Изв. АН Азерб .6,4,

985, с. 18-22.

10.0 нелинейных отобр.и разреш.нелинейн.уравн.-Докл. АН СССР,289,6,

986, с. I318-1323.

II.О связности множес.и образа мнок.при не непрернвн.отобр.О нелине! гобр.-Гр.Межд.Топол.Конф.-Баку-87, 1989, с. 166-173. 12.0 нелинейн.уравн.с непрер.отобр.и разреш.нелиней.дафф.уравн.-Тез. ткл.1У-мезкд.конф.по диф|.уравн.и прллож.-Русе,Болгария-89,1989,с.271, 13.0 яелиней.уравн.с непрер.отобр.- Нелинейн.гранича.задачи-АН Укра* шв, 2, 1990, с. 104-109.

14.Теоремы вложения для нелиНейн.простр.и разреш.некотор.нелинейн. îkoэрд.уравн.-Дап.в ВИНИТИ-16.09.'91,Ж3697-В91,М., 1991, 71 стр.

15.Разрешлюлйнейн.уравн.с оператор.вида суммы псевдомон. и слабо кс [актн.операторов- Докл.АН России, 324, 5, 1992, с. 944-948.