Некоторые случаи решения задачи Маркушевича в замкнутой форме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАТРУШЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАРКУШЕВИЧА В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ

01.01.01 - вещественный, комплексный п функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ЯНВ 2С12

ООоии/о-*-

Екатеринбург - 2012

005007844

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и динамических систем Южно-Уральского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Адуков Виктор Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сильвестров Василий Васильевич;

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович.

Ведущая организация: Смоленский государственный университет.

Защита состоится 1 марта 2012 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСГ1-384, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослал "_"_2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.02

доктор фпз.-мат. наук

НЛО. Антонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций ___

o(t)v+(t)+щф+м=+d(t)t-(t)+m- (i)

Трехэлементная задача

ф+(1) = 0(i)V-(i) + Ь(*ЙЩ + /М (2)

была поставлена в 1946 году А.И. Маркушевичем Наиболее сильные результаты впервые были папучены Л.Г. Михайловым. В своей работе Л.Г. Михайлов при исследовании задачи (2) в классе кусочно-аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда |o(i)| > |6(i)|, гиперболичности - |a(i)| < |b(i)| и параболичности - |o(i)| = |b(i)|. В последнем случае задача (2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л.Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (2), определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б.В. Боярского, Ф.Д. Берковича, И.Х. Сабитова. Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной, занимались Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский, A.M. Николайчук. В этих работах краевая задача (2) рассматривалась в классе кусочно аналитических функций, когда контур L представляет собою окружность. Методом симметрии, краевая задача (2) сводилась к краевой задаче Римана для вектор-функции, и было показано, что случай эллиптичности |a(t)| > |b(t)| является случаем устойчивости решения задачи (2), разрешимость определяется величиной индекса a(t) 2.

Поэтому в эллиптическом случае возникает задача о приближенных методах решения задачи. Эта проблема была решена И.Т. Хабибуллиным и А.Г. Шагаловым. В их работах рассматривалась краевая задача Римана для вектор-функции с матрицей г(А) такой, что Rer(A) > 0. Очевидно, что матричный коэффициент A(t) краевой задачи Римана для вектор-функции в случае эллиптичности удовлетворяет данному условию. По степени конструктивности подход И.Т. Хабибуллина сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь.

В гиперболическом случае было лишь установлено, что число решений однородной задачи (2) и число условий разрешимости конечно. Относительно краевой задачи (1) было найдено условие нетеровости этой задачи. Получено число решений и число условий разрешимости как в устойчивом случае, так и в вырожденных случаях.

В работах Л.И. Чибриковой 3 и Л.Г. Салехова 4 получено решение задачи (2) в замкнутой форме при условии, что a(t),b(i) являются краевыми значениями некоторых аналитических в области D+ функций, где контур L представляет собою алгебраическую кривую.

1Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций А.И. Маркушевич // Уч.зап. МГУ. - ЩВ. - Т.1,вып. 100. - C.20-SO.

2Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом /Г. С. Литвинчук. - U.: Наука, 1977. - Ц8 с.

3Чибрикова Л.И. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения / Салехов, Л.И. Чибрикова J ¡Изв. вузов. Математика. ~ 1968. - N 9. - С.94-105.

4Л.Г. Салехов Л.Г. К решению одаой задачи линейного сопряжения методом симметрии /Л.Г. Салехов // Теор. функц. комплю перем. и краевые задачи. - Чебоксары. - 1974- - Вып. 2. - С. 126-130.

Задача Маркушевича (2) сводилась к эквивалентной задаче Римана для нескольких неизвестных функций на некоторой замкнутой римановой поверхности. Это достигалось путем дополнения искомых функций или векторов до кусочно аналитических по принципу симметрии. Здесь также уместно упомянуть работу K.M. Расулова, в которой краевая задача Маркушевича (2) сводится к равносильному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Число решений и условий разрешимости задачи (2) полностью определяется из теории разрешимости интегрального уравнения Фредгольма. В случае, когда a{t),b(t) рациональные функции, уравнение Фредгольма, а следовательно, и задача Маркушевича (2) допускает решение в замкнутой форме.

На гиперэллиптических римановых поверхностях задача Маркушевича, как трехэлементная, так и четырехэлементная, в случае кусочно-постоянных коэффициентов, рассматривалась Э.И. Зверовичем и его учениками. С использованием принципа симметрии относительно контура задача Маркушевича (1) сводилась к задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности рода h. Решение задачи Маркушевича (1) было получено в замкнутой форме при допущении, что проблема обращения Якоби решена.

Решение в замкнутой форме задачи Маркушевича (2) в классе двоякопериодических функций в случае кусочно-постоянных коэффициентов было получено Ю.В.Обносовым.

Полной теории разрешимости задачи (2) в настоящее время нет. Число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости явно найдены только, когда |a(i)| > |6(i)| (эллиптический случай) или |a(i)| = |b(i)| (параболический случай). То же самое можно сказать и о четырехэлементной задаче Маркушевича.

Впервые случаи явного решения задачи Маркушевича,, отличные от эллиптического или параболического, были рассмотрены в работе автора [5]. Этот подход оказался плодотворным и при решении данной задачи в классе автоморфных функций [6, 7, 8]. Отметим, что задача Маркушевича, вообще говоря, является неустойчивой при малом возмущении ее параметров 5. Поэтому актуальна проблема отыскания новых случаев явного решения задачи Маркушевича.

Целью данной работы является отыскание частных случаев задачи Маркушевича, когда она может быть решена в замкнутой форме, явно, либо точно, в классах аналитических или автоморфных функций. Здесь под явным решением мы понимаем решение, которое использует только формулу Ф.Д. Гахова для канонической функции скалярной однородной задачи Римана и исследование средствами линейной алгебры конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в явном виде (в квадратурах). Число систем должно быть определено заранее. Если число этих систем находится в процессе вычислений, то мы будем считать, что получено эффективное решение.

Если имеется явное или эффективное решение задачи Маркушевича, то это еще не гарантирует, что на основе такого решения можно будет создать алгоритм приближенного решения. Далее мы увидим, что в нашем случае неустойчивость задачи Маркушевича обусловлена, в основном, неустойчивостью процедуры нахождения ранга матрицы. Если алгоритм явного или эффективного решения использует только вычисления б точной арифметике (например, вычисления в гауссовом поле Q(i)), то мы будем говорить о точном решети. Его можно реализовать в системах компьютерной математики таких, как Maple. Поскольку получение алгоритма точного решения имеет особую значимость ввиду неустойчивости задачи, то при получении явного решения мы отдаем предпочтение методам, допускающим

6Литвинчук Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций /Г. С. Литвин-чук //ДАН СССР. - 1967. - Т. 174, N6,- C.1S68-1270.

точные вычисления.

Для достижения поставленной цели используются два различных подхода: сведение задачи Маркушевича к матричной задаче Римана или к скалярной задаче Гильберта. При этом выделяются те случаи, когда вышеупомянутые задачи решаются в замкнутой форме.

Методы исследования В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория автоморфных и алгебраических функций, теория сингулярных интегральных уравнений, а также, существенным образом, теория скалярных и матричных краевых задач Римана, как в классе аналитических, так и в классе автоморфных функций.

Научная новизна. В диссертации найдены новые случаи явного рещения трехэлементной и четырехэлементной задач Маркушевича (1) в явном виде в классах кусочно аналитических функций при достаточно слабых ограничениях па коэффициенты задач. Для этих случаев впервые разработаны методы явного решения задач, исследованы условия разрешимости, найдено общее решение. Впервые найден случай явного решения трехэлементной задачи Маркушевича в классе автоморфных функций, как в случае конечных групп дробно-линйных преобразований, так и в случае фуксовых групп второго рода. Для этого случая получены условия разрешимости и общее решение. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Получены решение задачи Маркушевича (2) в замкнутой форме, а также полная картина разрешимости в случае, когда контур L есть единичная окружность |i| = 1, при следующих ограничениях на коэффициенты задачи:

а) a{t) ф 0, t € L,

б) коэффициент b(t) есть граничное значение функции, мероморфной в круге £>+, где коэффициенты a(t),b(t) и свободный член /(t) - гельдеровские функции.

2. Получена полная картина разрешимости, и решение четырехэлементной задачи Маркушевича (1) записано в замкнутой форме при следующих ограничениях:

а) <5(i) = a(i)c(i) - b(t)d{t) ф 0, t 6 L,

б) ¡a(t)l ф ^

. t(a(t)d(t) - c(t)b(t))

с) p(t) = — . . —. ' ' —1 мероморформно продолжима в D+, где коэффициенты |a(ij| — |o(t)|

a(t),b(t),c.(t),d(t) и свободный член /(t) - гельдеровские функции.

3. Получены решение задачи Маркушевича: = a(<)^_(t) + b(t)ip+(t) + f(t), - в заг

мкнутой форме, а также полная картина разрешимости, как в классе аналитических, так и в классе функций, автоморфных, относительно фуксовых групп второгого рода, при следующих ограничениях на коэффициенты:

а) a(t) ф 0, t € L,

б) функция bi(t) + 1 является краевым значением аналитической, автоморфной и отличной от нуля всюду в области £)_ функции, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок,

с) 6i(i)+l Ф 0, t е L, где коэффициенты a(t), b(t) и свободный член /(t) - гельдеровские функции, функция ¡>i(t) явно выражается через коэффициент b(t).

Теоретическая ценность результатов. Полученные результаты могут быть использованы при исследованиях краевых задач теории аналитических функций в Белорусском, Казанском, Смоленском и других государственных университетах.

Практическая ценность результатов. Предложенные в работе методы и полученные результаты могут быть использованы при решении тех прикладных задач, которые используют краевую задачу Маркушевича, а именно: задач расчета электрических полей, в теории гетерогенных сред, в теории фильтрации, в теории оболочек и задач других разделов механики и физики.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по краевым задачам Одесского государственного университета под руководством профессора Г.С. Литвинчука, Белорусского государственного университета под руководством член-корреспондента БАН Ф.Д. Гахова и Казанского государственного университета под руководством профессора Л.И. Чибриковой, на семинаре отдела теории приближения функции ИММ УрО РАН под руководством член-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессора И.Т. Хабибуллина , на 11-й международной научной конференциии «Системы компьютерной математики и их приложения.» ( Смоленск, 2010г.), и на ежегодных научно-практических конференциях «Математика. Физика. Химия.» (Южноуральский государственный университет, Челябинск, 2009-2010г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 65 наименований, а также приложения, в котором приведены числовые примеры. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Общий объем работы составляет 138 страниц.

Публикации. По теме диссертации были опубликованы научные работы [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Из них 4 работы выполнены совместно с научным руководителем. Работы [1, 2, 3, 4] опубликованы в научных журналах из Перечня ВАК.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместной статье [1] использован пакет программ для решения задачи факторизации матриц-функций, созданный профессором В.М. Адуковым. Разработка алгоритма решения задачи Маркушевича и его программная реализация принадлежит A.A. Патрушеву. В статье [3] В.М. Адукову принадлежит общая постановка задачи, а A.A. Патрушеву - все полученные результаты.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы и кратко изложено содержание работы.

Первая глава «Задача Маркушевича для единичного круга» состоит из четырех разделов. В ней рассматривается классическая трехэлементная задача Маркушевича на единичной окружности L : {|г| = 1}:

^+{t) = a{t)^{t) + b{t)JJt) + î{t), (3)

где o(i), b(t), f(t) принадлежат классу H(L) гельдеровских функций, причем a(t) ф 0 всюду на L. Ткк как o(i) = a+^faZ1^), х = Indba(i), то краевое условие (3) записывается в виде

V>+(i) - t*4>-{t) + &i(i)Mi) + /i(i). (4)

Здесь <p±{t) = ^(tjo^i), 6i(i) = 6(i)a_(i)a+'(i), fx(t) = /(¿ja+'ft). В первом разделе задача (4), методом доопределения по симметрии <p'(z) — z'1^^'1), сводится к эквивалентной матричной задаче Римана

*+(*) = G(t)*-(t) + F(t) (5)

в классе симметричных относительно контура L функций. Найдена размерность пространства всех симметричных решений однородной матричной задачи Римана в терминах частных индексов G(t) и порождающая это пространство система функций.

Второй раздел главы 1 посвящен явному решению задачи факторизации G(t) при дополнительном ограничении на коэффициент 6(i): b(t) есть граничное значение функции, мероморфной в круге D+. Получен следующий результат:

Теорема 1.1. Пусть г = rankTV, Ri(t), - существенные многочлены последовательности q2jv-i, ■ • •, си, а /¿1 = г, да = 2N — г - ее индексы. Тогда левая факторизация Винера - Хопфа G(t) = G+(t)d(t)G-{t) строится по формулам:

т _ №) ~ UiW/MO + tq{t)bi(t)a+(t) tg{t)h(t)\ /Я, e(i)e+(i)-t.i(0 q(t) )\0i

Ri{t) -Ri{t)

d(0=(iX+0W_r tJL), (6)

G.

I/«i(i) t-"R*(t)\[ t'Nq(t) _ 0 \

Л1 ~ CO W(0 t-^Mt)) \t-Nq(t)aa_(t) - tNq-Ht)p+(t) tNq->(t)J '

Также построено явное решение задачи (5), найдены ее частные индексы и построена ее каноническая матрица X(z) . Для построения X(z) потребовались следующие данные:

сумма главных частей рядов Лорана явно построенной мероморфной функции 261(2);

решения ui(z), 111(2) и v2(г) уравнений Везу; рациональные функции а+(г), a-(z),

определяемые явно; коэффициенты ац,. ■., Q2N-1 разложения а_(г) в окрестности бесконечности; ранг г теплицевой матрицы TV, составленной из коэффициентов ai,...,a2jv-i> многочлены Ri{z), /^2(2), /3f(z), 02 {z) из определения 2 существенных многочленов; Сто := /3i"(0)i?2(0) — /3j(0)Hi(0) ^ О, N - число нулей многочлена q(z). Они определяются явным образом методами линейной алгебры. Если многочлены p(z) и q(z) имеют коэффициенты из поля Q(i), то вышеперечисленные данные могут быть найдены точно средствами компьютерной математики с использованием только рациональной арифметики. В этом случае мы можем говорить о точном построении факторизации G(t).

В третьем и четвертом разделах главы 1 получено явное решение однородной и неоднородной задач Маркушевича. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.2. Пусть к = India(i). Если х < г — N, то однородная задача Маркушевича допускает в классе исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций только нулевое решение.

Если г — N < к < N — г, то размерность над К пространства решений однородной задачи Маркушевича равна к + N — т. Любое решение ip(z) этой задачи имеет вид

Ф) = QiHxn(z) + г<Э;(г)хя(г), (?)

где Qi(z) - произвольный многочлен с комплексными коэффициентами степени не выше х + N — г — 1, a xn(z)< Xn(z) ~ элементы канонической матрицы X(z).

При х> N — г пространство решений однородной задачи Маркушевича имеет размерность 2х и любое решение может быть представлено в виде

¥>(*) = <3i(2)xn(2) + Qi{z)xu{z) + zQIWx'niz) + zQ'2{z)x^{z). (8)

Здесь Qi(z), Qiiz) - произвольные многочлены с комплексными коэффициентами степени не выше х + N — г — 1, х — N + г — 1, соответственно.

Для решения неоднородной задачи Маркушевича явным образом построены функции и с их помощью определены кусочно аналитические функции у = 1,2. Теорема 1.3. Неоднородная задача Маркушевича умеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда н = 0, г = N. Это решение находится по формуле

М*) = ^ЫгАМ +Ыг)П2(г) + гх^Мед + (9)

Задача имеет не более одного решения только при х < г — N. При к < 0 решение существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие 2\х\ условий разрешимости:

«'"'¡^(«ДО = О, 7 = 1,2.....\i(+N-r\, (10)

L

J-1,

= 0, з = 1,2,..., |х - N + г|.

Единственное решение в данном случае строится по формуле (9).

Задача разрешима при любой правой части только при х > N — г. Общее решение в этом случае имеет вид

Ф) = <Ро(г) + <?1(г)хп(г) + <?2(г)Ыг) + гфСОХиОО + ^'2(г)Х'22(г),

где <Ро(г) определяется формулой (9), а Я\(г), <Эг(2) - произвольные многочлены с комплексными коэффициентами степени не выше х+ N — г — 1, я — N + г — 1, соответственно. Наконец, при г — N < х <N — г формула

Ф) = <Ро(г) + ЯЛг)хп(г) + г01(г)хя(г),

где (¡1(2) - произвольный многочлен с комплексными коэффициентами степени не выше г—1, дает общее решение задачи Маркушевича при выполнении следующих |>c—N+r\ условий разрешимости:

V~lUi(t)dt = 0, j = 1,2,..., I* - N + г|.

Во второй главе рассматривается четырехэлементная задача Маркушевича

o(t)rMt)+м= c(t)v-(t)+d(t)Mt)+до, t e l, (и)

где o(t), b(t), c(t), d(t), f(t) 6 H{L), ¿(t) = â(t)c(t) - b(t)cffi ф 0.

Глава состоит из пяти разделов. В первом разделе главы дается постановка четырех-элементной задачи Маркушевича. Как и в случае трехэлементной задачи (3), задача (11) сводится к матричной задаче Римана (5), решение которой ищется в классе симметричных относительно единичной окружности L функций. Раздел 2.2 посвящен построению явной факторизации матрицы G*(t) = 5{t)G(t). Если коэффициенты задачи удовлетворяют условиям: |о(«)| ф |6(i)l на контуре L, функция /?(i) = ~ ^^^ мероформно продол-жима в область и+, - то верна следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть г = rankïjv, Ri(t), Ri(t) - существенные многочлены последовательности —..., — ai, a fii — г, ¡12 — 2N — г - ее индексы. Тогда левая факторизация Винера - Хопфа G'(t) = G*+(t)di(t)G'_(t) строится по формулам

яЫ' 1()~1 о

Здесь - краевые значения функций, записанных в явном виде, аналитических, соответственно, в областях В±; с1е! 61(4) ^ 0 всюду в области £>_иЬ, det С+(4) Ф 0 в области

£>+и£.

Теми же методами, что и в главе 1, в третьем и четвертом разделах второй главы получены явные решения однородной и неоднородной задач Маркушевича. А именно, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2. Пусть х = (аЩсЦ) - |а(()| ф |Ь(4)|, функция

2л*

мероформно продолжима в

Если х > N — г, то общее решение однородной четырехэлементной задачи (1) определяется формулами

ФЛ*) = ^(хп(г)С«-г+лт-1(г) +xi2(z)Qx+r-N-l{z)+

+4Х21(*))'{Ях-т+х-1{2)У + (г))*),

(г))')-

Это решение можно представить в виде линейной комбинации 2х линейно независимых над К решений.

Если г — N < х < N — г, то общее решение запишется в виде

ФЛ*) = ^(хиФЯн-г+х-Лг) + г(х21(*))*(|Э«-г+*-1(2)Г),

то есть мы имеем в этом случае N — г + х линейно независимых над К решений. В случае х <г — N однородная задача (1) нетривиальных решений не имеет. Здесь - произвольный многочлен с комплексными коэффициентами степени

не выше N — г + х — 1, Ху(2), г,3 = 1,2, — элементы канонической матрицы х(г), Теорема 2.3. Неоднородная задача Маркушевича имеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда х = 0, г = N. Это решение находится по формуле

Фо(*) = ¿[Хи№(*) + Х12(г)П2(г) + 2x^(2)^(2) + 2x^(2)^(2)]. (12)

Задача имеет не более одного решения только при х < г — N. При х < 0 решение существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие 2\х\ условий разрешимости:

У^-^(ОЛ = 0, ]=1,2,...,\х + Ы-1

J t}~lU2{t)dt = 0, j = 1,2,..., Ix.- N + r\.

Единственное решение в данном случае строится по формуле (12).

Задача разрешила при любой правой части только при х > N — г. Общее решение в этом случае имеет вид

ф{г) = M*) + XllWQx-r+H-liz) + Xn(z)Qx+r-N-i(.z) +

+zX2iW(<2w-h-*-i(z))* + zxh(z)(Qr+*-N-i(z))'. Наконец, если г — N < х < N — г, то формула

ф(х) = ф„(г) + Xu{z)Qn-t+x-\{z) + +zX2i(z)(QN~r+x~i(z))*

определяет общее решение задачи Маркушевича при выполнении следующих \х — N + г| условий разрешимости:

J f'-1U2(t)dt = 0, j = l,2,...,\x-N + r\.

Гельдеровские функции Wj(t), а также кусочно аналитические функции j — 1,2,

определены явным образом.

В разделе 2.5 при некоторых условиях было получено точное решение как трехэлементной, так и четырехэлементной задачи Маркушевича, которое было реализовано в виде процедуры ExactMarkushevich4 в пакете Maple.

Третья глава посвящена решению трехэлементной задачи Маркушевича

ф+(1) = o(t)V-(i) + + fit), t 6 L (13)

в классе автоморфных функций.

Здесь o(i), b{t), /(t) принадлежат классу H(L) гельдеровских функций, контур L -произвольная окружность.

Использовался подход, отличный от изложенного в главах 1 - 2. Он заключается в сведении задачи Маркушевича к вырожденному сингулярному интегральному уравнению относительно Re ф+ (t) с последующим решением скалярной задачи Гильберта.

В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего сведения из теории групп дробно линейных преобразований и теории автоморфных и алгебраических функций.

В разделе 3.2 дается постановка задачи Маркушевича в классе функций, автоморфных относительно фуксовых групп второго рода. В начале предлагаемый подход отрабатывается на решении задачи (13) в классе кусочно аналитических функций.

В разделах 3.3, 3.4 задача решена при следующих ограничениях, наложенных на коэффициенты: a{t) ф 0, i>i(t) +1 Ф 0 на единичной окружности L, где функция bi(t) =

аналитически продолжима в область D_. Здесь a(i) = a+(i)ixa_1(t), х = IndLa(t). С учетом этих ограничений граничное условие (13) однородной задачи записывается в виде:

(h{t) + 1)<М0 = + 2b1(t)Re<f,+(t), (14)

где ф±(Ь) = Здесь мы предполагаем пока функцию Re0+(i) известной. Тогда краевую

задачу (14) можно рассматривать как неоднородную задачу Римана. При сравнении </>+(i),

с одной стороны, как краевое значение решения краевой задачи Римана (14), а с другой, как краевое значение решения задачи Шварца для круга, мы приходим к вырожденному сингулярному уравнению

11е<Ме) ^ 1 [ &еф+{т)

L

6^4)+ 1 7гг У (6г(г) + 1)(т - <)

относительно неизвестной функции Здесь х0 = * ~ = + 1),

01(1) + 1

Рх0 — 1(2) - произвольный многочлен степени не выше х0 — 1. Решение вышеуказанного

сингулярного интегрального уравнения имеет вид: = + р^ _ _ где

Н™ 1 2

Щ^) - произвольная функция, аналитическая в В- и исчезающая на бесконечности. Эта функция определяется как решение задачи Гильберта

ие нм*)+1к«] = 51«« [(61(0р*0 -1(0)]-

Тогда

(bi(i) + l)r

Re «МО = Ш-L[d + P*a - 1W] - <КГ(0 + QXl - Ii*) + QXl _ jit)].

Здесь

1 fc(T)(T + Z) L

c(t) = Im[(bi(f) + l)(d + РЯо _ i(i))], QHl _ i(z) - многочлен формальной степени к-i — 1. В итоге были получены следующие результаты:

Теорема 3.1 Пусть коэфффициенты однородной задачи Маркушевича a(t), b(t) € H(L), a(t) ф 0, х = Indio(i) и функция bi(t) + 1 является краевым значением на контуре L функции, аналитической в области D_ и отличной от нуля всюду в за исключением

бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок Х\, ко = х — Х\.

Тогда однородная задача в классе кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности,

1) при Xi > 0, х0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой -?-las J ~zdT + - lWJ 'Z€D~'

L

, . . _ , . . 1 f 1п[т-ха(т)]Л-

гое a±(z) = expU^lz), B(z) = — / -; это решение линейно зависит от

2жг J г — z

L

= 2х произвольных вещественных произвольных постоянных (функция д(т) определяется явно);

2) при х\ > 0, хо < 0 имеет общее решение, определяемое формулой (15)( РХо _ j(z) з s 0); это решение содержит 2х1 — ri произвольных вещественных постоянных, п -ранг матрицы коэффициентов однородной системы, выписанной явно (если г\ = 2xi, то задача имеет только тривиальное решение);

3) при Х\ <0, х0 > 0, имеет общее решение, определяемое формулой (15) (Я^ _ ^(г) = э 0), которое содержит 2я0 — т произвольных вещественных постоянных, г - ранг матрицы коэффициентов однородной системы выписанной явно (если г = 2щ, то задача имеет только тривиальное решение);

4) при XI <0, Хо < 0, если функция 61 (¿) + 1 удовлетворяет условиям, выписанна-ми явно, имеет одномерное пространство решений, определяемое формулой (15), где РХа _ 1 (г) = О, <2Х1 _ ^ (г) = 0; в противном случае имеет только тривиальное решение.

Теорема 3.2. Пусть коэфффщиенты неоднородной задачи Маркушевича а(4), Ь(1) и функция /(<) принадлежат Н{Ь), а{Ь) t £ Ь, а также функция Ь+ 1 является краевым значением на контуре Ь функции, аналитической в области £?_ и отличной от нуля всюду в £)_ и Ь, за исключением, быть может, Бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок. Тогда неоднородная задача в классе кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности:

1) при Х\ > 0, Хо > 0 имеет общее решение, определяемое формулой

это решение линейно зависит от 2х произвольных вещественных произвольных постоянных ( функции 6(2), д(т) определяются явно);

2) при XI >0, хо < 0, если выполняются — хо — комплексных условий, выписанных явно (г\ - ранг матрицы коэффициентов системы, имеет общее решение, определяемое формулой (16) (Р^0 — 1(-г) = ОЛ это решение содержит 1х\ — 2г\ произвольных вещественных постоянных (если = х\, решение будет единственным);

3) при х\ <0, хо > О, если выполняются —х\ +1 — г комплексных условий, выписанных явно (г - ранг матрицы коэффициентов системы, имеет общее решение, определяемое формулой (16) _ э 0); это решение линейно зависит от 2х0 — 2г произвольных вещественных постоянных (при г = хо решение будет единственным);

4) при XI < 0, х0 < 0 имеет единственное решение, определяемое формулой (16)

(Ящ — 1(2) = О, РХо _ ^(г) з 0), тогда и только тогда, когда выполняются —х\+ +1 — хо комплексных условий разрешимости, выписанных явно.

В разделах 3.5 и 3.6. трехэлементная задача Маркушевича, разработанным выше методом, решается в классе функций, автоморфиых относительно фуксовых групп второго рода Краевое условие (13) задается на контуре Ьо — Ь, П До, - множество дуг главной окружности Ь : \г — го| = Гц, получаемой из Ь удалением всех предельных точек группы. До - фундаментальная область, Я± — Но П - соответственно, внутренность и внешность

главной окружности Ь. Здесь используется автоморфный и квазиавтоморфный аналоги ядра

ф{г) = -

(16)

£

Коши, построенные В.В.Сильвестровым6 для групп дробно линейных преобразований, которые являются, по терминологии В.В. Голубева 7, группой первого класса. К ним относятся, в частности, фуксовы группы второго рода, а также некоторые группы Шоттки. Как известно, функция, отличная от постоянной, автоморфная относительно конечнопорожденной группы дробно линейных преобразований, имеет не менее р +1 полюсов в фундаментальной области. Здесь р - род фундаментальной области. В связи с этим, в отличие от рассмотренной выше задачи Маркушевича в классе кусочно аналитических функций, возникают дополнительные условия разрешимости. Заметим здесь также, что при решении задачи факторизации коэффициента a(t) пришлось воспользоваться квазиавтоморфным аналогом ядра Коши, что привело к необходимости решения проблемы обращения Якоби. То есть функция

a(i) была представлена в виде: a(t) = Здесь каноноическая функция x(z) автоморфна

Х-\Ч

относительно группы дробно-линейных преобразований Г, имеет в точках 9\,..., вт 6 образующих решение проблемы обращения Якоби, нули кратности Ai,..., Am, соответственно, а в точке в0 е имеет порядок х — р, где Ai + А2 -I-----\-\т = р. С учетом этих отличий

были получены следующие результаты:

Теорема 3.3. Пусть р - род фунламенталъной области До, D_ - внешность главной окружности. Если коэффициенты a(t),b(t) € H(Lo) однородной задачи Маркушевича такие, что a(t) ф 0, 1 + ¡>i(i) ф 0, t Е La; функция bi(t) + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в D-, и отличной от нуля в этой области, за исключением бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтных ей. Здесь a(t) = h(t) = = IndiJ^i) + 1], х = IndMo(i). Тогда

X-(t) X+vtJ

однородная задача в классе функций, автоморфных относительно группы Г

1) при х > р, х\ > 0 имеет решение, определяемое формулой

( Х+(г)[Р(*) + Цг)], ешг€Х)+, V(Z}-\ Х-(2)(Ьх(«) + 1)[^(«) + Ф(г)], если z z ^

( функции Ф(г), F(z), x(z) определяются явно); это решение содержит 2x + 2xi~2r произвольных вещественны,х постоянных (г - ранг матрицы объединенной однородной системы линейных уравнений, выписанной над полем С явно); при г = х + Х\ рассматриваемая задача не имеет решений, отличных от тривиального;

2) при к < р, х\ > 0 имеет решение, определяемое формулой (17), которое содержит 2р + 2ху — 2г\ произвольных вещественных постоянных (г\ - ранг матрицы объединенной однородной системы линейных уравнений, выписанной над полем С явно ); при гх = р + хх не умеет решений, отличных от тривиального;

S) при х > р, х\ < 0 имеет решение, определяемое формулой (17), которое содержит 2х — 2xi ~ 2г2 произвольных вещественных постоянных (гг - ранг матрицы объединенной однородной системы линейных уравнений, выписанной над полем С явно ); при r2 = х — х1 не имеет решений, отличных от тривиального;

вСильвестров В.В. К вопросу об эффективности решения краевой задачи Римана для автоморфных функций /В.В. Сильвестров, Л.И. Чибртова //Пав. вузов. Математика. - 1978. - N12. - С. 117-121.

7Голубев В.В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции .¡В.В. Голубев. - М. : Физ-матгия, 1961. - 458 с.

4) при х < р, их < О имеет решение, определяемое формулой (17), которое содержит 2р — 2x1 — 2г3 произвольных вещественных постоянных (гз - ранг матрицы объединенной однородной системы линейных уравнений, выписанной над полем С явно ); при г3 = р — щ не имеет решений, отличных от тривиального.

Теорема 3.4. Пусть коэффициенты а(Ь),Ь(Ь) 6 Н(Ьо) неоднородной задачи Маркушевича такие, что а{Ь) ф 0, 1 + 61^) ф О, Ь 6 Ь0 , функция Ь1(4) + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в области D_) и отличной от нуля в этой области, за исключением бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтых ей , функция /(4) € Н(Ьо).

Тогда неоднородная задача в классе функций, автоморфных относительно группы Г

1) при х > р, щ > О, если выполняются 2р + — г комплексных условий, выписанных явно , имеет решение, определяемое формулой

/ Х+(*) №) + «(*)] > если г 6 £>+, ~ \ Х-(*)(Ыг) + 1) [Н*) + $(*)] > если г е £>_ (18)

(функции Ф(г), х(г) определены явно); это решение содержит 2х + 2x1 — 2г

произвольных вещественных постоянных, где г - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений над полем С; при г = х + Х\ имеет единственное решение;

2) при х < р, н\ > О, если выполняются Зр + х\ — х — п комплексных условий , выписанных явно , имеет решение, определяемое формулой (18), которое содержит 2р + 2x1 — 2г1 произвольных вещественных постоянных (т\ - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений над полем С); при гу—р + ху имеет единственное решение;

3) при х > р, XI < О, если выполняются 2р—х1+Х—Г2 комплексных условий, выписанных явно , имеет решение, определяемое формулой (18), которое содержит 2х—2x1 ~2г2 произвольных вещественных постоянных (г2 - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений над полем С); при т2 = X — Х\ имеет единственное решение;

4) при х < р, XI < 0, если выполняются Зр — XI — х + 1 — гз комплексных условий, выписанных явно, имеет решение, определяемое формулой (18), которое содержит 2р — 2x1 ~ 2гз произвольных вещественных постоянных (гз - ранг матрицы коэффициентов объединенной однородной системы линейных уравнений над полем С); при г3 = р — х1 имеет единственное решение.

Здесь уместно упомянуть, что говорить о явном решении задачи Маркушевича, мы можем лишь в случае конечных групп дробно-линейных преобразований, или в случае, когда проблема обращения Якоби решена в явном виде. Иначе, имеет смысл говорить лишь об эффективном решении задачи Маркушевича в классе автоморфных функций.

В приложении методы решения задачи Маркушевича, как трехэлементной, так и че-тырехэлементной, продемонстрированы на конкретных числовых примерах.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.М. Адукову, за постановку задачи и внимание, оказанное в ходе выполнения данной работы.

/

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Патрушев A.A. Алгоритм точного решения четырехлементной задачи линейного сопряжения с рациональными коэффициентами и его программная реализация /A.A. Патрушев, В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Матем. моделирование а программирование. - 2010. Вып.6. - С.4-12.

2. Патрушев A.A. Четырехлементная задача Маркушевича на единичной окружности /A.A. Патрушев // Изв. Смоленского гос. ун-та. - 2010. - N 4. - С.82-97.

3. Патрушев A.A. О точном и явном решении трехэлементной задачи Маркушевича /A.A. Патрушев, В.М. Адуков //' Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2011,-- Т.Н. Вып. 2. - С.4-12

4. Патрушев A.A. Задача Маркушевича в классе автоморфных функциий в случае произвольной окружности /A.A. Патрушев /7 Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, Физика. Химия. - 2011. Вып.10. - N 4. - С.29-37.

Другие научные публикации:

5. Патрушев A.A. К задаче Маркушевича для односвязной области /A.A. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. - Изд-во Казанского ун-та. - 1980. - С. 110-123.

6. Патрушев A.A. Задаче Маркушевича для одной бесконечносвязной области в классе автоморфных функций /A.A. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. - Изд-во Казанского ун-та. - 1981. - С.132-145.

7. Патрушев A.A. Краевая задача Маркушевича для периодических функций /A.A. Патрушев // Исследования по краевым задачам и их приложениям. - Изд-во Чувашского ун-та. - 1987. - С.77-7Э.

8. Патрушев A.A. Краевая задача Маркушевича в классе автоморфных функций относительно циклической группы элдиптического типа /A.A. Патрушев // Краевые задачи и их приложения. - Изд-во Чувашского ун-та. - 1989. - С.76-79.

9. Патрушев A.A. Об одном случае явного решения задачи Маркушевича /A.A. Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: - Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С.167-168.

10. Патрушев A.A. Решение четырехлемелтной задачи Маркушевича с использованием пакета Maple /A.A. Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: - Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С.231-233.

Патрушев Алексей Алексеевич

НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАРКУШЕВИЧА В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ

01.01.01 - вещественный, комплексный д функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл.цеч.л. 1,00. Уч.-изд.л. 1,52. Тираж 100 экз. Заказ 308/328.

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ. 454080. г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

Введение

1 Задача Маркушевича для единичной окружности

1.1 Сведение задачи Маркушевича к матричной краевой задаче Ри-мана.

1.2 Явное построение факторизации

1.3 Решение однородной задачи Маркушевича.

1.4 Решение неоднородной задачи Маркушевича.

2 Четырехэлементная задача Маркушевича для единичной окружности

2.1 Постановка задачи.

2.2 Факторизация матрицы С*{1).

2.3 Однородная задача Маркушевича.

2.4 Неоднородная задача Маркушевича.

2.5 Алгоритм точного решения четырехэлементной задачи Маркушевича с рациональными коэффициентами и его програмная реализация.

3 Задача Маркушевича в классе автоморфных функций

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Постановка задачи Маркушевича в классе автоморфных функций

3.3 Однородная задача Маркушевича в классе кусочно аналитических функций.

3.4 Неоднородная задача в классе кусочно аналитических функций

3.5 Однородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций

3.6 Неоднородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций

Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций а(1)ф+{1) + = + <1{г)фЩ + /(¿). (0.0.1)

Трехэлементная задача

Ф+(г) = + ь(г)фЦ$ + /(*), (0.0.2) была поставлена в 1946 году А.И. Маркушевичем [20]. Как к трехэлементной, так и четырехэлементной задаче Маркушевича. приводятся многие прикладные задачи: задача расчета электрических полей [10], [28], теории гетерогенных сред [29], [52], теории фильтрации [27], теории оболочек [7] и задачи других разделов механики и физики. Наиболее сильные результаты впервые были получены Л.Г. Михайловым. В своей работе [23] Л.Г. Михайлов при исследовании задачи (0.0.2) в классе кусочно аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда |а(£)| > |&(£)|, гиперболичности |а(£)| < |&(£)|, и параболичности |а(£)| = |&(£)|. В последнем случае задача (0.0.2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л.Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (0.0.2). определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б.В. Боярского [5], Ф.Д. Берко-вича [4], И.Х. Сабитова [34, 35].

Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной занимались Г.С. Литвинчук [18], [19, гл 5], И.М. Сгштковский [42, 43], A.M. Николайчук [25, 26]. В этих работах краевая задача (0.0.2) рассматривалась в классе кусочно аналитических функций, когда контур L представляет собою окружность. Методом симметрии, краевая задача (0.0.2) сводилась к краевой задаче Римана для вектор-функции с матричным коэффициентом и было показано, что случай эллиптичности |а(£)| > |&(£)| является случаем устойчивости решения задачи (0.0.2), разрешимость определяется величиной индекса а(£).

Поэтому в эллиптическом случае возникает задача о приближенных методах решения задачи. Эта проблема была решена И.Т. Хабибуллиным и А.Г. Шагаловым [45, 46]. В этих работах рассматривалась краевая задача Римана для вектор-функции с матрицей г (А) такой, что Иег(А) > 0. Очевидно, что А{€) в случае эллиптичности удовлетворяет данному условию. Их подход основан на методе продолжения по дискретному параметру, разработанный И.Т. Хабибуллиным [47]. По степени конструктивности подход И.Т. Хабибуллина сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь. Дальнейшее развитие его метода дано в работе [51].

В гиперболическом случае было лишь установлено, что число решений однородной задачи (0.0.2) и число условий разрешимости конечно. Относительно краевой задачи (0.0.1) было показано, что выполнение неравенства обеспечивает нетеровость краевой задачи (0.0.1). Получено число решений и число условий разрешимости как в устойчивом случае

S(t) = a(t)c(t) - b(t)d(t) ф 0 н*)мад|)(1Ф)мад|)>о, так и в вырожденных случаях: c(t)I = |d(i)| > о, |a(f)| - \b(t)\ ф 0, — {arg/3(t)}L > -|х 1 a(f)| = |b(f)|>0, |c(i)|-|d(i)|^0, ¿{axg/?(t)}L<M; a(t)\ = |6(i)| > 0, \c{t)\ = \d(t)\ > 0, ¿{argß(t)}L < 1 где ß(t) = t[a(t)d(t) - b(t)c(t)], я=— {arg6{t)}L.

В работах JI.И. Чибриковой и Л.Г. Салехова [37. 38], [36] получено решение трехэлементной задачи Маркушевича ф+it) = a(t)rf>-(t) + b{t)il>+(t) + /(t),

0.0.3) в замкнутой форме, при условии, что a(t),b(t) являются краевыми значениями некоторых аналитических, за исключением конечного числа полюсов, в области D+ функций, где контур L представлял собою алгебраическую кривую. Задача Маркушевича (0.0.3) сводилась к эквивалентной задаче Римана для нескольких неизвестных функций на некоторой замкнутой римановой поверхности. Это достигалось путем дополнения искомых функций или векторов до кусочно аналитических по принципу симметрии.

В работах K.M. Расулова [32, 33] краевая задача Маркушевича (0.0.2) сводится к равносильному интегральному уравнению Фредгольма второго рода JK(t,T)ijz(r)dT = Q(t) + x(i)Px-iM, t e l, (0.0.4) L где

K(t,r)

X-W

2тгг b(r) b(t)

Lx+(r) X+(t) т - t f(r)dr т'(а)У т-t т-t X+(t) b(t) *+(*) i ' а

2а{€) 2т У Х+(т)(т-£)' ь

И число решений и условий разрешимости задачи (0.0.2) полностью определяется из теории разрешимости интегрального уравнения Фредгольма

Re

I [.Q(t) + X(i)Px-iW] *;(*)<** J =0, j = где Фх,.,^ - полная система линейно-независимых решений союзного уравнения

В случае, когда а(£),6(£) - рациональные функции, ядро т) вырожденно, и уравнение Фредгольма (0.0.4). а следовательно, и задача Маркушевича (0.0.2) допускает решение в замкнутой форме.

В.В. Митюшевым [21. 22] были предприняты попытки решить задачу (0.0.2) в случае многосвязной круговой области. Метод решения заключался в сведении задачи (0.0.2) к функциональному уравнению вида

Ф(г) = С1(г)Ф(з1г) + G2(z)<5>{s2z) + • • • + Gp(z)<S>(spz) + g(z), И < гь (0.0.5) где функции (^(г), ^(г),., Ср(г), д(г) - мероморфные в круге \г\ < г\. О < вк < 1, к = 1 ,.,£>. Решение получено в виде рядов при некоторых ограничениях, наложенных на коэффициенты а(£), &(£). а также при условии аналитичности коэффициентов уравнения (0.0.5) в нуле.

В работах Т.Н. Жоровиной [15, 16| данная задача рассматривалась на симметричной римановой поверхности, где а(£),&(£) и /(¿) постоянные, а контур Ь - линия симметрии или часть линии симметрии. Получены некоторые результаты о числе решений и условиях разрешимости задачи (0.0.2). В случае, когда риманова поверхность представляет собою тор, решение получено в замкнутой форме.

Задача Маркушевича в классе двоякопериодических функций в случае кусочно постоянных коэффициентов была рассмотрена Ю.В.Обносовым [30],

Э.И. Зверович, Е.В. Давьялова [14, 13] рассмотрели четырехэлементную задачу Маркушевича (0.0.1) на прямой Imz = 0 при следующих ограничениях, наложенных на коэффициенты: a) |а(ж)| = |6(ж)|, |с(х)| = \d(x)|, если х G Lx = (гьт2) U • • • Ufah, +оо) b) Ь{х) = d(x) = 0, если х G L2 = (-оо, п) (Jfa, r3) IJ . U(r2/i-b r2h). L

31].

Здесь коэффициенты предполагаются Я-непрерывными на М\ {гх,., Г2н+\}, где точки —со < г\ < . < Г2н+\ = +оо лежат на вещественной оси и выбраны произвольно. Используя принцип симметрии относительно контура ¿1, задача Маркушевича (0.0.1) приводится к задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности рода ¡г, задаваемой уравнением

2Л+1 Д 0 - гк). к=1

Решение задачи Маркушевича (0.0.1) представлено в замкнутой форме, при допущении, что проблема обращения Якоби решена.

Полной теории разрешимости задачи (0.0.2) в настоящее время нет. Число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости явно найдены только, когда |а(£)| > \Ь(Ь) | (эллиптический случай) или |а(£)| = \Ь(Ь)\ (параболический случай) [19].

Картина разрешимости в общем случае изучена в работе И.Х. Сабитова [34, 35]. Эта статья породила целое направление исследования задачи Маркушевича, основанное на приближении коэффициентов рациональными, или более общо, мероморфными функциями. Однако, при нахождении характеристик I и р в ней используется трудно вычисляемое число п. Поэтому вопрос о явном или эффективном решении задачи Маркушевича в общем случае остается открытым.

Впервые случаи явного решения задачи Маркушевича, отличные от эллиптического или параболического, были обнаружены в работе [56]. Этот подход оказался плодотворным и при решении данной задачи в классе авто-морфных функций [57, 58, 59]. Отметим, что задача Маркушевича, вообще говоря, является неустойчивой при малом возмущении ее параметров [19]. Поэтому проблема приближенного решения этой задачи вообще не разработана.

Целью данной работы является отыскание частных случаев задачи Маркушевича, когда она может быть решена в замкнутой форме, явно, либо точно, в классах аналитических или автоморфных функций. Здесь под явным решением мы понимаем решение, которое использует только формулу Ф.Д. Гахова для канонической функции скалярной однородной задачи Римана и исследование средствами линейной алгебры конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в явном виде (в квадратурах). Число систем должно быть определено заранее. Если число этих систем находится в процессе вычислений, то мы будем считать, что получено эффективное решение.

Если имеется явное или эффективное решение задачи Маркушевича, то это еще не гарантирует, что на основе такого решения можно будет создать алгоритм приближенного решения. Далее мы увидем, что в нашем случае неустойчивость задачи Маркушевича обусловлена в основном неустойчивостью процедуры нахождения ранга матрицы. Если алгоритм явного или эффективного решения использует только вычисления в точной арифметике (например, вычисления в гауссовом поле Q(a)), то мы будем говорить о точном решении. Его можно реализовать в системах компьютерной математики таких как Maple. Поскольку получение алгоритма точного решения имеет особую значимость ввиду неустойчивости задачи, то при получении явного решения мы отдаем предпочтение методам, допускающим точные вычисления.

Для достижения поставленной цели используются два различных подхода: сведение задачи Маркушевича к матричной задаче Римана или к скалярной задаче Гильберта. При этом выделяются те случаи, когда вышеупомянутые задачи решаются в замкнутой форме.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, в котором приведены числовые примеры.

Заключение

В диссертации разработаны методы нахождения явного решения трехэлементной и четырехэлементной задач Маркушевича на окружности в классах кусочно аналитических функций. Они основаны либо на сведении к матричной задаче Римана, либо на сведении к задаче Гильберта. Получены следующие основные результаты:

1) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при достаточно слабых ограничениях на коэффициенты: 6(0 мероморфно продолжима в

2) Построено решение в явной форме четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при двух ограничениях на коэффициенты: |а(01 Ф |6(01>

- сШЬП)) мероформно продолжима в и+.

3) Разработан алгоритм точного решения четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича с рациональными коэффициентами. Алгоритм реализован в виде процедуры Ехас1МагкизЬеу1сЬ4.

4) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича в классе автоморфных относительно фуксовой группы второго рода функций при двух ограничениях на коэффициенты: 1 + 6х(0 Ф 0, ^ £ Ьо , функция 6х(0 + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в области и отличной от нуля в этой области, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтых ей. Функция 61 (0 явно выражается через коэффициент 6(0 задачи Маркушевича. - НО!2-КО

1. Аду ков. В.М. Факторизация Винера Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. Вып 1.- С. 54-74.

2. Адуков. В.М. О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера Хопфа для мероморфных матриц-функций /В.М. Адуков // Вестник ЮУрГУ, серия Математика, физика, химия. - 2008. - N 7(107), Вып. 10. - С. 3-12.

3. Адуков, В.М. Факторизация Винера Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Матем. сборник. - 2009. - Т.200, N 8.- С. 3-24.

4. Беркович, Ф.Д. ОБ одной бескончной системе линейных алгебраических уравнений с комплексно-сопряженными неизвестными / Ф.Д. Беркович // Из.вузов. Математика. 1966. - N 3. - С. 4-14.

5. Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский //Сообщ.АН Груз.ССР. 1960. - Т.25, N 4.- 0. 338-390.

6. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Ве-куа. М.: Наука, 1970. - 380 с.

7. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Физматгиз, 1959. - 560 с.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М. : Физматгиз, 1963. - 640 с.

9. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши / Ф.Д. Гахов. // Дифференциальные уравнения. 1966. - Т.2, N 2.- 0. 533-544.

10. Городжа, Л.В. О применении обобщенной краевой задачи Римана к расчету электрических полей / Л.В. Городжа, Ю.Г.Емец, Н.И. Жукова, Э.И. Зверович // ДАН БССР, Минск. 1979. - Т.23, N2,-0. 118-120.

11. Голубев, В.В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции./ В.В. Голубев. М. : Физматгиз, 1961. - 458 с.

12. Гурвиц, А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. М. : Наука, 1968. - 648 с.

13. Давьялова, Е.В. Задача Маркушевича, содеожащая конечное число точек разрыва / Е.В. Давьялова //Системы компьютерной математики и их приложения:материалы международной конференции. Смоленск.гос.пед.ун-т. Смоленск. - 2010. Вып.11. - С. 205-208.

14. Давьялова, Е.В. Замкнутое решение частного случая четырехэлемент-ной задачи Маркушевича / Е.В. Давьялова , Э.И. Зверович //ДНАН Беларуси, Минск. 2007. - Т.51, N2,-0. 5-9.

15. Жоровина, Т.Н. Трехэлементная краевая задача Римана с постоянными коэффициентами на торе / Т.Н. Жоровина // Ред.ж. "Известия вузов. Математика". Казань. 1984. - С. 10 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 14декабря 1984г., N 899-84 ДЕП) (РЖ Мат, 1984, 7Б111ДЕП).

16. Жоровина, Т.Н. Краевая задача Маркушевича на симметричной рима-новой поверхности / Т.Н. Жоровина //Ред.ж. "Известия АН БССР. Сер. физ.-матем.наук", Минск. 1985. - С. 19 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 18 марта 1985г., N 1938-85 ДЕП).

17. Зверович, Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельде-ровских классах на римановых поверхностях / Э.И. Зверович // Успехи мат. наук. 1971. - Т.26, вып 1(157). - С. 113-179.

18. Литвинчук, Г.С.Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г.С. Литвинчук //ДАН СССР. 1967. - Т. 174, N 6. -С. 1268-1270.

19. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М.: Наука, 1977. - 448 с.

20. Маркушевич, А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций А.И. Маркушевич // Уч.зап. МГУ. 1946. - Т.1, вып.100. - С. 20-30.

21. Митюшев, В.В. О решении краевой задачи Маркушевича для круговых областей / В.В. Митюшев //Ред.ж. "Известия АН БССР. Сер. физ.-матем.наук", Минск. 1984. - С. 37 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 19 июня 1984г.,N 4073-84 ДЕП)(РЖ Мат, 1983, 10Б150ДЕП).

22. Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов //Тр.АН Таджик.ССР,Душанбе. 1963. - Т.1.

23. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

24. Николайчук, A.M. Об устойчивости краевой задачи Маркушевича /A.M. Николайчук //У.М.Ж. 1974. - Т.26, N 4. - С. 558-559.

25. Николайчук, A.M. О краевой задаче Римана с эрмитовой матрицей / A.M. Николайчук, И.М. Спитковский //ДАН СССР. 1975. - Т.221, N 6. - С. 1280-1283.

26. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. М. : ГИТТЛ, 1952. - 548 с.

27. Обносов, Ю.В. Электрические силы на поверхности раздела диэлектрических сред при наличии цилиндрического кругового включения / Ю.В. Обносов, Ю.В. Емец Ю.П. Онофрийчук // Журнал прикл.мех. и техн.физики. 1993. - Т.34, N 4. - С. 14-24.

28. Обносов, Ю.В. Точно разрешимая задача о взаимном влиянии включений в теории гетерогенных сред / Ю.В. Обносов, Ю.П. Емец Ю.П. // Журнал прикл.мех. и техн.физики. 1990. - Т.ЗО, N 1. - С. 21-29.

29. Обносов, Ю.В. Об одной задаче Маркушевича для двоякопериодических систем прямоугольных контуров /Ю.В. Обносов // Доклады ин-та мат. им. И.Н. Векуа. "Тбилиси". 1990. - Т.ЗО, N 5. - С. 149-152.

30. Обносов, Ю.В. Решение одной задачим Маркушевича в классе двояко-периодических функций с ортогональными периодами / Ю.В. Обносов //ДАН СССР. 1991. - Т.319, N 5. - С. 1125-1127.

31. Расулов, K.M. О решении обобщенной граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения:материалы международной конференции. Смоленск.гос.пед.ун-т. Смоленск. - 2002 - С. 137-142.

32. Сабитов, И.Х. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / И.Х. Сабитов // Матем. сборник. 1964. - Т.64, N 2.- 0. 262-274.

33. Сабитов, И.Х. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности / И.Х. Сабитов // Сибирский матем.ж. 1964. - Т.5, N 1. -С. 124-129.

34. Салехов, Л.Г. К решению одной задачи линейного сопряжения методом симметрии / Л.Г. Салехов // Теор. функц. комплю перем. и краевые задачи. Чебоксары. - 1974. - Вып. 2. - С. 126-130.

35. Салехов, Л.Г. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров / Л.Г. Салехов, Л.И. Чибрикова // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1968. - С. 224-249.

36. Салехов, Л.Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения / Салехов, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1968. - N 9. - С. 94-105.

37. Сильвестров, В.В. Краевая задача Гильберта для одной бесконечной области в классе автоморфных функций / В.В. Сильвестров // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1980. - С. 180-194.

38. Сильвестров, В.В. К вопросу об эффективности решения краевой задачи Римана для автоморфных функций / В.В. Сильвестров, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1978. - N 12. - С. 117-121.

39. Сильвестров, В.В. О вычислении рода и точках Вейершрасса фундаментального многоугольника функциональной группы / В.В. Сильвестров, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1979. - N 12. - С. 51-56.

40. Спитковский, И.М. К теории обобщенной краевой задачи Римана в классах Ьр / И.М. Спитковский // УМЖ. 1979. - Т.31, N 1.- 0. 63-73.

41. Спитковский, И.М. О блочных операторах и связанных с ними вопросах теории факторизации матричных функций /И.М. Спитковский // ДАН СССР. 1980. - Т.254, N 4.- 0. 816-620.

42. Форд, Р. Автоморфные функции / Р. Форд. М. - JL: ОНТИ, 1936. -340 с.

43. Хабибуллин, И.Т. Дискретная система Захарова-Шабата и интегрируемые уравнения /И.Т. Хабибуллин // Записки научных семинаров ЛОМИ. Дифф. геом.группы Ли и мех. 7 1985. - Т.146. - С. 137-145.

44. Хабибуллин, И.Т. Численное решение задачи аналитического сопряжения Римана /И.Т. Хабибуллин. А.Г. Шагалов //Ж. вычисл. мат. и мат.физ. 1989. - Т.29, N 3. - С. 382-391.

45. Хабибуллин, И.Т. О задаче линейного сопряжения на единичной окружности /И.Т. Хабибуллин // Мат. заметки. 1987. - Т.41, N 3 - С. 342-347.

46. Чеботарев, Н.Г. Теория алгебраических функций / Н.Г.Чеботарев. М.- Л.:Гостехиздат, 1948. 340 с.

47. Чибрикова, Л.И. Краевая задача Римана лля автоморфных функций в случае группы с двумя инвариантами / Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1961. - N 6. - С. 121-131.

48. Чибрикова, Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - 301 с.

49. Adukov V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function /V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory. 1995. -Vol. 21. - N 1. - P. 1-11.

50. Mityushttv V. V. Conductivity of a sierpinski carpet /V. V. Mityushttv, P.M. Adler // Труды Института математики HAH Беларуси. 2001. - T.9, N2.- С. 7-15.

51. Silvestrov V.V. Factorization on a Riemann surface in scattering theory / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2002. - 55(4). - P. 607-654.

52. Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. l:Method of the Riemann-Hilbert problem on Riemann surface / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2004. - 57(2). - P. 245-265.

53. Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. 2:Scattering from a right-angled conductive wedge for E-polarization / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2004. - 57(2). - P. 267-313.

54. Патрушев, А.А. К задаче Маркушевича для односвязной области /А.А. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1980. - С. 110-123.

55. Патрушев. А.А. Задаче Маркушевича для одной бесконечносвязной области в классе автоморфных функций /А.А. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1981. - С. 132-145.

56. Патрушев, А.А. Краевая задача Маркушевича для периодических функций /А.А.Патрушев // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Изд-во Чувашского ун-та. - 1987. - С. 77-79.

57. Патрушев, А.А. Краевая задача Маркушевича в классе автоморфных функций относительно циклической группы элдиптического типа /А.А.Патрушев // Краевые задачи и их приложения. Изд-во Чувашского ун-та. - 1989. - С. 76-79.

58. Патрушев, А.А. Об одном случае явного решения задачи Маркушевича /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С. 167-168.

59. Патрушев, А.А. Решение четырехлементной задачи Маркушевича с использованием пакета Maple /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С. 231-233.

60. Патрушев, A.A. Четырехлементная задача Маркушевича на единичной окружности /А.А.Патрушев // Изв. Смоленского гос. ун-та. 2010. - N 4. - С. 82-97.

61. Патрушев, A.A. О точном и явном решении трехэлементной задачи Маркушевича /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2011.- Т.Н. Вып. 2. - С. 9-20.

62. Патрушев, A.A. Задача Маркушевича в классе автоморфных функциий в случае произвольной окружности /А.А.Патрушев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика. Физика. Химия. 2011. Вып. 10. - N 4. - С. 29-37.