Некоторые спектральные свойства матричнозначной модели Фридрихса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

йи -2 а г

МИНИСТЕРСШ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.В.Й.ЛЕНИНА

"На правах рукописи АБДУЛЛАЕВ 1аникул Ибрагимович

НШТОРЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА. ИАТРИЧН03НАЧН0Й МОДЕЛИ «РИДРШСА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиаико-ыатематяческих наук ^

Ташкент - 1992

Диссертация выполнена на кафедре функционального анализа Самаркандского государственного университета имени А.Навои.

Научный руководитель: / кандидат физико-математических наук, доцент С.'Н.ЛАКАЕВ

Официальные оппоненты: .

1. Доктор физико-математических наук, профессор К.Байматов

2. Кандидат физико-математических наук, доцент А.Хаитов

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации.

Защита диссертации состоится

в__- часов на -заседанш! специализированного совета

К 067.02ЛО в Ташкентском государственном уриверсаатете имени В.И.Ленина по адресу: 700095, Ташкент.- 95. Вузгородок, ТашГУ, математический факультет. А-205.

(^диссертацией можно ознакомиться в научной библиохеке Ташкентского государственного университета им,В.И. Ленина.

Автореферат разослан 1993 г.

. Ученый секретарь специа- . . ' .. • дизироввнаого совета ■.•■

кандидат физ.-мат.иаук, ' Ж'^*'-'''•"• ' ' •

доцент ■ ';'.:•" А.К.ЬАРИСОВ

... .. ... / _ ■•■'.■ \ . . .. .■

' • ; ОЩАЯ UFAKTEPllC.mA РАБОТЫ

. » А' к т у. а л ь н о с т ь т е м ы. В последнее время воз-ряд''эо'прЬсов статистической'физики fl], [2] , гидромеханики Í3J ' « теории твердого тола [а] , которые приводят к изучению спектра i резонансов некоторого специального класса ¿амосаЬфиешшх операторов, 'которым в'этой работе дано название - ма^ричнозначной; модели ^ридрихса. В качестве основных примеров/таких операторов моиб Указать оператор Шредингера в KBaHtoBútt механике, оператор энергии . одномагнонной . спин-поЛяронвой система ^4] в теории твердого тела, а также двух. частичный, кластерный оператор [5] в статистической физике. • ; Ц ó Л ь р в.б о т ы; . Изучить спектр и резонавсы матрич-аоаначнсй модблй-Фридрихса, в.частности, некоторых операторов, Возникавдих ; .8 аадгОДХ" t'eopsa твердого тела ; и статистической

(Jязйки.V--.■ ' ' ч : Г;'•,''.". '' .\ .. '• . ,

;Н.а у ч а а я н а в и a н а. В'работе изучена структура собствешшханачений и резонансов; иатричнозначйой. модели 4радрих<!а .при малых, возмущениях диагонального, оператора. . • ;Исследовай сйектр матричаозначнйй^ модам Фрядрихса, в -• ^ácTBOcrtv довазана конечнййй собственных значений лехащнх йве в¿прерывного спéit^pa. ¡Покааано существование резовдвсов ; káTpB^bsua^BftS модеди/Фридрихса. ,/

• ;: : Доказана. сущестйоЬаяив связанных состояний М резоненсов ' гамадьтонкайа. «аом&гаааво! сшй-поляронной системы и иссде-дадана'аайн^ос^ значений: и резонансов от пол. adro'\ j^Miifflyju.cay • :

. DdKAaaira суцвсиованиб резсввнсов двухчастичного кластерного onej^iwpa. . : ' ■ : / . "■■■/■'"'гЦ 'ё t еды • * о б ¿вдов й в н а, В явном виде поот-

• роена реЭсЦьвента м^рачаозваЧвой .модели фрйдфшхса'о помощь»

, лете{«шнанм Фр^<аьма ' некоторого вспомогательногв интеграль-;. вого. оператора последовательно Изучены аналитические свой- > -отра store-,)Цв*вр1Шнват84 _ \ ■" . '

т в о Р в ? и ч ё с к в я , и., п р а к ? и ч е е к а я ц е н н о с т ь. :Результаты диссертации могут, найти применение .в спектральной теории дифференциальных уравнений, статистической физик?, квантовой механике', в теории твердого тела и гидродинамике.

А п роб а ц.я я р а б о т ы. Результаты диссертации докладывалась и обсуждались: на Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и ма~ , тематической физике'' ..(Ташкент, 1988), на конференция молодых? • ученых "Современные аспекты математических я физических.вау^ (Самарканд, 1988 ), на семинаре "Математические проблемы ст( тистической физики" на механико-математическом факультете ! ИГУ (Москва»1Э89), на совыестаоы семинаре кафедры математи» Ческой физики и функционального анализа ТашГУ (Ташкент,1991.

; С тру к'т у р а .и о б ь е м. д и с с е р т а ц и 1 Работа состоит из введения и двух глав, которые делятся на параграфы ('§§. 1-4 в главе I, §5 5-6 в главе 2). Нумораади формул, теорем и.т.д. состоит вз Двух цифр, разделенной точкой (из номера параграфа я номеров формулы, теоремы и Т.Д. .. в данном параграфе). Обьем диссертация 85 # страниц машинописного текста, в списке литературы 45 наименований,

Ц у б .л и к а ц я к. Основноё содержание диссертация оЯубликрвано : в'.четырех статьях, список которых приводится в конце реферата.

. , 'ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ''V, '

' Рассмотрим самосопряженный оператор Н = Н(К) . .»'. Действующи* в ^гЕльбертовом пространстве ¡_х / г"; <£*'), по . .формуле'';-- :•. /

;;'.-/■.' ■ • г ■ . .' ■;•.; • • • •'•,;•.

здесь 7"" - > -мерный тор; ФЫ - V -мерной . комплексное евклидово пространство; ¿г (КЧМГ

лексное гильбертово пространство квадратично суммируемых по норме функций на Т* со значениями в Ф^Ц(х) и

ЬС(Х, у)- К(ц, х.) . - симметричные матрицы в (Л* для любых х, у ё Ту . Предпблоаим, что Ы/х) диагональная, матрица и матричные элементы ; (х) ± и^ (х) а

К^ (х> у), - N являются вещественяв-

ввачными голоморфными функциями.соответственно на Т* ■ • т*К Т* • Оператор (I) назовем ыатрйчнозиачной моделью Фридрихса.

Заметим, что частным случаем этой задачи является задача исследования спектра и резонанса саыосьпряяеяцога опера-

тара Н'~ н\к) » действующего.в гильбертовом пространстве ¿ц {а, 8) по формуле ' .

■.''•...... . ' ' ' "

(Н и/х)&*)+ ] УН> (2)

: ■ :' и ; V: ' ■ "

ВпервЫе операюр вида (2), точнее оператор

.. (3)

был рассмотрев Фридрихе ом (си. ¿б} ) р качествеврвстсй модели теорвя возмущений непрерывного спектра. Предполагая, '

чти ядро у) непрерывная фуйкцая своих переменных,

ГДйывпгрлоцая условию Гвдьдвра, а такжй. услйыю :

к(-1,у)- к(1,у)= к(хп)-

а^яцфкхр доказал, ч« при всех достаточно малых значениях А £ # С ® - ввцеотвенвая ось) операторы И'х и ^о

- 6 - у. .'./у'.-' .-'У/.

унитарно эквивалентны, т.е. оператор Н"А имеет простой' лебеговский спектр, заполняющий: отрезок ¿"-1,1] . .

.В 1948 г/в 17]"Фрадшихс_ .ар^овЦ'-^еду^цам' обраасш

обобщить свою модель: .вотпервнх, раседатриват^,вместо отрезка

[-1, 1] произвольный, конечный ют бесконечный интервал Е на вещественной оси, во-вторых, рассматривать ,$увкт-ции $ со значениями в некотором гильбертовом. пространетт ве 2г?. . Дцро К(х, у) . ' ври каких у ' в этом • случае является ограниченным ввератором в ■ У"?^ ■ Л Накладывая на ядро в случае\ бесконечного ' Е- дополнительное требование > убывание на. бесконечности', Фридрихе ,,.' • перенес сформулированный.,выше.результат На.этот боле© общий случай. у- • •';,..'•. . ,/:■ у '.V

Непосредственное развитие работа Фридрихса. получила в трудах ОД.Ладыженской, Л.Д.фаддеева [8] и Л.Д.фадоеева [9]. Авторы показали, что в' модели фршфихса можно снять ограничения малости возмущешм;.если предполо*ить, что . ядро К/х,у) '

вполне непрерывный оператор.'ВУ и !фо^е того, удовлетворяет условию гельдеровооти с показателем ¿Л/ ? £ • . В этом случае при любом .УД С . оператор Н"^.' /имеет •

абсолютно непрерывный, спектр, : .заполняющий- весь интервал £ ; еще, быть может,;.конечное число -дискретных собственных значений конечной кратности. Однако, приыеньших условияхглад-кости может появиться сингулярный непрерывный.

спектр и бесконечное число ., собственных значений^даеющих • . , . точки накопления;.. В работе Б.С.Пввдов^'и СЗ.Петраса [ю] . V построены примеры таких операторов с ^одномерным" .возмуще--.

вием гапкК = 1 ;У. .Более точное уловив; о.кояечностр :

сингулярного спектра.оператора".' Идано в работе Ш] ..

Подробному изучению собственных значений, резонансов ■я их связь дм'одномерной обобщенной модели Фридрихса посвящена работа [12] , Здесь приведен метод изучения спектральных свойств операторов вида (I).

В нашей работе, применен метод детерминанта Фред-гольма. предложенный в работе.[12] , и получены аналогичные к [5] [9] ^ [10] и [12] результаты относительно более общего оператора вида (I).

Перейдем, теперь к подробному изложение результатов диссертации.

" Пусть - множество симметричных матриц - К(у,х) , матричные элементы К^ , у), 1 - Ч -которых являются вещественно-голоморфными на Т*х Т" Очевидно, что - является вещественным банаховым про-

странством относительно нормы

И К И - шоу так /а^Гх,^)).

: 7 >

I '

В первой главе диссертации изучаются спектральные свойства Ш1Трдчноэначноа модели Фридрихса, т.е. опер^ора

Н1К). . определенного по формуле (I) .

Легко доказать (см. [13] ), что (Т(Ц(о)) = (£О{П(Н(0))~

~ [ щ, МЛ, гдо Ш; - т 'ш и-{~X), /и,- = тах^/х).

Воспользовавшись теоремой В.ейля о существенном спектре можно показать, как это сделано в работе [13] , что непрерывный

спектр оператора Н(К) йв зависит от ядра К €

п совпадает со спектром (Г(Н(О)) оператора Н(О) .

' ¿й каадой точки* а £ [Ш. \ м. ] с (Гип , (Н) обоэ-

начим через II. (С1) ее полный прообраз при отображении . Напомним, что число а 6 М- ] '■ называется критическим значением функции . Ы- , если существует точка Ц~'(а у для которой

I С X) с Ъ х у '

При этом точка /х° £ Т* называется критической точкой, функции 11; . Число а 6 [ Л?;, Му ] называется невы-

ровденным критическим значением функции Н^ , если гессиан:

¿Се( и'-»г (X) .функции. ■ Ы- отличен от нуля в ее.

критических точках; Х£ ¿¿.у, ('¿О . Известно(см..[14] .), , что число критических, значений фуцкция (¿У-, . конечно.

О п р ё д е л е н и е. Точку С1ё. Сип{(И)'. . , .'назовем

особой точкой непрерывного .спектра оператора И. ... «ели'дай . ; некоторого { А*}*■' ■ она является критическим. зиа-: .

чением функции 1С/;:.. В. противном случае точка Называется' ; ■ регулярной.'.';; Л; •.'•-: ■" ^ ; '•

Из определения.еяедует, что во всех регулярна .точках--' .

Л 6 (НУ \' градава®' 'Фунщии ^ от-

личен от нуля для любой тачки /<?,• '/а). •..' и: V . • л .

■. Из вещественной годоморфности .матричнозначных фудкций.';:: '' и у), следует,; что дла любого V-,

<С\ СГ (Ц) * ^ = 1 -.комплексная плоскость)- •

оператор (Н(к)~ И (О)) К2(Н Со)) , где ПО})-

резольвента оператора Н{0) » является ядерным.

Обозначим через Д (£) = Д к) детерминант Фред-

гольма оператора Jf (И (К. У- Н (<?)) £ ¿(НСо)) . где

I - единичный оператор в 2((В^) . Функция Л {2) регулярна в области (£ \ (Н) . Ее назовем

детерминантом Фредгольма оператора Н

В § I построена резольвента оператора {-{(К) в явном виде, в частности, доказана- следующая

Т е о р е м а . I. Число, 2 е Си) яв-

ляется собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда &(!£)= О . При этом,1 если '¿0 нуль порядка П.. функции ¿У/2-) , то "В0 является собст-. венным значением оператора , Н ■ кратности, Я .

В- § 2 изучается аналитическое продолжение эталонных интегралов, возникающих в дальнейшем.

.. В § 3 . изучается возможность аналитического продолжения детерминанта Фредаольма через непрерывный спектр оператора'

Н . ; ' '•■ ';.•'■•;•;

Пусть (Л1)< а < • • • < а - особые точки непрерывно'.'" • •' ' V, ; )

го спектра оператора Н \ { (Н)) - комплекс-

ная <£-окрестность множества {(И) ;

-"выколотую"

1крестность множества (Н) ; Д (■£) аналити-

Юсков продолжение функция по любой кривой, лежащей

в области VI((Г^Ш)) . Функцию . опреде-

лим как элемент многозначной функции. ; . являющей-

ся непосредственным •аналитическим продолжением элемента

{ Ш) ¡С? } ( А (г) |С - сужение функции Д(В) в область б ■), через кривую пересекающую интервал (ап>аи+,) , в некоторую область (? лежащей в (С± , где ( <Ц_ ) - . верхняя (нижняя) полуплоскость. Для любого а 6 <ГеегЦ (Н) обозначим через аналитическую функцию, получав-,

мую продолжением элемента { д (2)\ С- | по воемлфНт-

вым лежащим в некоторой, выколотой окрестности; точки гИ. ~ . Теорема I подсказывает следующее естественное определение • резонанса. #

. Определе ни е. Нули функции А Ст£) , не совпадали е с нулями исходной функции А(&) » нааовеы резонан-сама оператора Н . При этом резонансы, являющиеся такие :

нулями функции А Д~ЛШУ ) назовен верхними; .

(нижними) резснанса&и. Резовапсы, являшдаеся ;нуляш функции

( ¿Гп(а) ) назовем верхшш( нижними) фязичес-

ише резонансами. ." '.'..'.- • . ■•*;'■; •'.■•;•;■•у V

В § 4 доказаны основные теорема первой гла1|ы,"'®,в. еле-" ; дующйе теоремы,.. . .. ■';■•-'.

Те о ре 1Г а 2. Пуоть Дня любого .. ¿¿{т^..:^}:"'

все критические значения функции . являются .неныроаден- .

'ними, " • л . ' ■-.:,'; .' 'Г1--1'''•".•••■■■"■■'

а) Тогда , для Лвбогс К € оператор Н1К)■ имеет. лишь, конечное числа собственных значений и каадое сойстаенное . .

одчеввеимеет.'явявчнув-^ратное». ■ %

б) Пусть У^ З , Твгда существует <Г> 0 такое,что при всех:,:ЙК1£*, ; .спектр оператора Н«) совпадает со спектром <Т(НШ)} ' оцератйра Н(О) > Хорошо известно, что собственные значения оператора '

- П -

Н(Ю" лежащие вне его непрерывного спектра, устойчива относительно малых возмущений. В следующей теореме показано, что собственные: значения оператора. И (К}:', лежащие на его непрерывном спектре",' т.е. собственные резонансы оператора И/к1) , при достаточно малых возмущениях превращаются в физические резонансы. • .' .

Те арена 3. Пусть регулярная точка Л €б~сот (Н) является собственным значенная оператора Н(К0) . Тогда существуют £> о , <г>0 такие, что при всех к ¿ж, оператор N (К) имеет физические резонансы лежащие в £ - окрестности \^Са)= {В£<С: /2-а1<£} точки 2 = <г>

. Следующая теорша говорит о'возможности появления конечного или бесконечного числа собственных значений.оператора Ц(К) з завпсгаоста-от ядра. Кб ЗС .

Т о о р е ц.а 4 а) Пусть для некоторого /е {^2,..,,

: и/(х)ёС= COr.it, ' ■' ' Тогда существует ядро Кй 7С

такое, что оператор -Н('К) ляеот бесконечное число различных • собственных значений 4.,, Я „,'..,, отрадящихся к числу

" С '•.-'Если внутренняя точка непрерывного спектра, то оператор бесконечное чйсдо.собственных значений лсаа-

на непрерывном' спектре.. \ .'.':■..'; ' ■"; | V ; Дб) Пуоть для некоторого /ё{1,2,..,,- .Матричный , адеавя»-." 'Щ(Х> .';.' ' ♦ натурального./,

V Ц й ¿V ,существует Яйро . \ гакое, что оператор о

*~ддром Кп(Х,у) является одпомерныы а оператор имеет

' ровйо' П,•■'•'.' различиях собственных значений лежащих йа. непрерывен спектре.'\ /..'.'-'У.-'.,-.'■' ; '. ' Как оледстйае теореЫ .3 я 4 получаем следующую теореау». ; к вор ¿ ад а 5. Пусть для некоторого ¿/V У-щупиЛ Той»'дай любого

\ rie1N сущеотйует. ядро кп I таков, что оператор Н(кп) . кнее* 'не менее; П . физпчеокия: резонаноов, лежащих в некото- • ' рой окрестности. нёпрерывного спектра оператора Н(Кп). •

Пря достаточно малых НкИ справедлива следующая теорема • расположении физических резонансов оператора Н(к) , • Т в о р а м-а'' 6. Для любого достаточно'малого ¿><9 существует ¿Г> О такое , что при всех К € • , ./{/¿¿Г фяаические рввонансы оператора' Н(К) , лежащие в комплексно» ".<£ - окрестности У&(СГеоп^(Н))- непрерывного спектра оператора И(К) .лежат также В , £ - окрестностях особых точек Непрерывного спектра оператора Н(К). '<..'.

В главе 2 результаты а методы главы I, применяются к некоторым задачам теории твердого Тела и статистической физики. В § 5 рассматржвается: гамжльтошзан одноыагнанной спин-

поляронной системы на.' У - мерной решеткой'

В рамках проблемы нескольких тел на решетке реаено (см.

[б] ^[15] }большое число двухчастичных.задач о связанных состояниях -д/щ.'систем квазичастиц, число которых сохраняется. О^ако на решетке возникают и в определенноы сшсле балее интересные задачи, возшкаюаше втеорив твердого тела, р которых число часпщ не сохраняется. Простейщая-такая задача движение Электрона ороводи^остя в неметаллическом-¿срроиагнитыоы .' кристалле пря учбтб'' 5Ч с^ ■ ойиёвдого взаимодействия рас- ■ шотрена в ^4] в трехнернш/с^яйе.: Вней к-учен энергетиче-. скжХ спектр сястемыпря различных значёнаях параметров задачи, в случае,- когда у - обменный янТеград А принимает ; ■

(пгряцатвдьновзяаченя«, я доказано,, чтопри некоторых знача- , &яях полного юцзянмпульса Л сяМемы (а частности, при / Д = 0 ) существу©* единственное связанное одночастячное состояме "«шяв^г.'лярон*?. ч' • / • . :

• Представляет болевой интербс . исследование спин-аолярон-ного связанного состоайяЯ пря произвольных размерностях.а.так-же сшн-пймрошша резонанс ¿. ¿вазйотацяойараое состояние. ' Изучение гамяль^няана (даома^оавоА спя^о^рАавой^ система сводатся (см. [4] в.ясследованяю собственных значений я резонансов ; семейстЬа' самосошрвжвн^; операторрв .

ИМ) . Т* '» Двйстйупих в гмьбвртоаом npociфaaйтв.в

€Ф ¿д /гу) : . ПО формуле \

.¿ее,

Здесь £ ,

£л(я)= Ь£(Н)гЪ£(1) % '

¿3, 7>О - вещественные параметра задачи. Обозначим:

= tnoiêsqy, мль пах£л($).

Основным результат)™ § 5 является следующая теорема.

Т е о рем а 7. а) Пусть V-1f2 . '., Тогда для любых .

f.'è-PV9 одоратор Н(А) имеет единственное невы--

зденное собственное значение1 £л лежащее.левее /Г2Л при <0, правее Мд : при

у б); Пусть ; V. Тогда' буществзт^ и S'y О такие,

I прй. любом ^ Л},. \оператор Н(Х). имеет .единственное

«рожденное -собственное значение и при

нственннй .резонанс;' При S ■. этог.резонйнс является аческнм. - •.. ••'. '.. • ' ' ' •' . ■ ••"•■'•

.; в> . " .Тагда для лжх5фс j Èr оп&-

Я> 'J-H.ÎXÏ • .-•'ffl'eei -.opHCtseBadl: фиаичесйй. реэойаво 55 и он :. jèjsiBHo; зависит от параметров задачи' A, • -

?>. Пусть - и для некоторого А г Ê- ту} . в£{л0) €

(М*,, Тогда существуют; -окрестность. Ug{Xt\

И . я. ¿¡>0 такие,, что при всех

. В 86 1ЗДЧ««. Капыав сшштралша сваИст»

(А

а»а ¿У*; = «>л,.<*> \ Р ">* п;рк Л

- ■ "V" - <

С Гх ц)+й* $><(*>

* вд ^ 'У ■ •

Предполагается, что ' > V : V • „ _

: с ,, и-В) вещвственно-анадмМчвскив функции по совокуа-

, : ^ и еТ* . ££ * • в дяй лвбог нося пвремещшх Я » х • 3 Г ' ' V®

, функция удо^воряет условии ..

г - У^Л ^^

;в,рв-а е. : пусть К-1 . точки ^ т, ^г^за точк. (т^ тх.) ** ^

ЯМштся только дао точки X,. .Щ «Vя*

■ ".'^'Г <? ' такие* чиг ири ВО« "■

; Тогда существует/,* 0

(0, fio) И . Л € Л.+ 5) оператор jtA

nieei единственный резонанс 2/А, /Ь) i лежащий в V^fß) .

.-•'-.В заключение- автор. Ьрййосит глубокую благодарность свое-у 'научному руководите») доцеигу С.Н.Лакаеву Эа постояйяое шшаннё к рабом.:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

. М й н л о-с P.A., С и в а Й Я.Г. Исследование спектров стохастических ö'nepaiopoB, возникающих. в решетчатых моделях газа.//.ЙЮ.1970, 1.2. * 2. С.230-243.-..Л а к а е в С.Н.; М и в д о с -P.A. О связанных состояниях кластерного оператора.// ТЙФ.1979. Т.39. С.82-92. Л а в р о п т ь о в U.A., Ш а.-б- в % Б.В. Проблемы гидродинамики и'цх.ыатематйческао цодвАи: Ы.:.Наука. 1977. • й з'ю.м о в. Ю.А.( М в д в в Д-е.в И.В.Магнитнкй полярон в ферромагнитном кристалле. 1Й^:19?0.Внп.. 2(8). С.553-560. М а м а т- o.fi: Й.м.,м и..н л о с Р.Д. Связанные состояния двухчастичного.кластерного оператора.// ТИФ.1989. T.79.J4 2. С.ХёЗ-179:. '':

JP r; i e-d г i c/h а К.О. Uber die.SpectraI?erlegting- oines Integrelpperitore.J&th. Дпп.(1933'); 115- 249-272. F Tie d г i с h s. K.Ö. On the pertorbatlmi of contiH0U8 epeetra. Coram, iure.. Appl'. 'jSath:; (1948). 1, 361-406«. . Л. в. Д .Ы -Д e hVk'b й.;;р.А.„ ф а д д e e в' Л.Д. К теории возмущений непрерывного спектра.// Дом.АН: CCCP.I962. . T.I45. й 2. С.301-304.- '••'.!

S a д д е в в. О ыойелвг.Фрлдрихса в теория возмущений непрерывного спектра.'. ; В кн.: Труда матем. ян-та АН.СССР. Г.73. U. : Наука.'1964.: C.292-3I3. ,

1-а'В.Д о В Б.С.. П е трас С.В. О сингулярном спектре ;

äpin при.i-ISlTO. .-Tvi.'Ввп;2",'.С.54-61.> - v' Га Ö о к.'о • C.S.; Я к о в л.в в -С.Й; Об условиях конечно-сти.сингулярвйго спектра в содосопраяенной модалд Фридрих-са. .Функп. анал.. а йг.о прил. 1990. Т.24'. С'.88~89.л •/.'

Щ. I а к a • в C.H. Некоторые овектралыше своЯотва обобщенной падал ^шдрвхса. Труда оакявара вм; М.Г.ПатрвшлагоЛЭаб. ; Вит.II. С.210-238.

13. I | к » « Т 8.1» DiBcrat« арде$гиа. of operator rmlued triadricbe aodala. Совпав tationea Mathaaatleae Univar» altatia Carolina«. (1986). 341-357.

14. A p i t i ь,д B.li., В a p Чек к « A.H., Г у oai в-, 3 ада С.м4особеанаотяд1йвренцируешх отображена*.

' И.; Hayja. 1984. . :'.

15. Ы а весов B.C. О связанных состоявяях трансфер- . : матред Медиа Изанга.//. ТИФ. 1984; Т.58» ! 2. .'.;

; РАБОТЫ .АВТОРА

1. А б д у л лаев 1.И., Л а в а в в С.Н. О с&вэаавшс ' соотоявВях травофер-матрвци Цодадя йавнга. Таз.дом»

у Всесоюэи. (июлымолаДщучВных. Таакент. 1988.

2. А б д у л д авв Х.И. О собственны* ввачеввях семейства операторов фрадряхса. Твз.до**. науча. *oajep. мола-дах я. (^аарканд:. 1988.

3. Абд.у д д• в 1.8;" Свяаамш* состава я резоваясу У оператора ввергав одаомагве&аов сввв-лпляровао! сясге-

; №. Я». 1991. Т.96. * 3. A42D-424. .. '4Ц Ь й u X 1 ш * * ¿V»: V » * • # V-'B.I. Ob ihe .epaotral У Propertied of «be l^trii-Value<f Trladrloba Modal. lAiiujcaa £n aoviat HBthamtiee. Heaypetiolea Ha«d.ltcmiana ipaotattB ax* SoatUtjUae. Witer« Male* *.А» (199*). 5.: .