Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем

Сташ, Айдамир Хазретович

Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Сташ, Айдамир Хазретович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

СТАШ Айдамир Хазретович

21 и0Я 2013

005539259

Москва - 2013

005539259

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сергеев Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Фурсов Андрей Серафимович профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова

кандидат физико-математических наук, доцент Дементьев Юрий Игоревич заведующий кафедрой высшей математики МГТУ Гражданской авиации

Ведущая организация: Институт математики HAH Беларуси

Защита диссертации состоится 13 декабря 2013 г. в 16 ч 40 мин на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета нмени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 12 ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование линейных нестационарных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые выдвигают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения асимптотических и колебательных свойств решений систем.

Представленная работа является исследованием в области качественной теории линейных дифференциальных уравнений и систем, важнейшими направлениями которой являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград, Б.Ф. Былов, В.М. Миллионщиков, H.A. Изобов, М.И. Рахим-бердиев, И.Н. Сергеев, Е.К. Макаров, Е.А. Барабанов, A.C. Фурсов, А.Н. Ветохин, В.В. Быков, Ю.И. Дементьев и другие. Исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах1'2 и монографиях3'4.

Однако для полного описания реальных природных процессов важна информация не только о росте исследуемых функций, но и об их колебательных свойствах. В теории колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А.

'ИгюГюи H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги пауки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71-14G.

2Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям /,' Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034-2055.

'Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

4Изобов H.A. Введение в тсчршо покалатс-мей Ляпунова. Ми.: ВГУ, 2006.

Кондратьева, И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия, А.Н. Левина, H.A. Изобова, Дж.Д. Мирзова, И.В. Асташову и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре5 и монографии6). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения или системы хотя бы одного колеблющегося решения, а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение именно коэффициентных признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В последнее время интерес к таким свойствам решений линейных нестационарных систем, как ограниченность, устойчивость, колеблемость и т. п., возрос в связи с изучением автоколебаний и хаотических режимов, возникающих в различных электронных и лазерных устройствах. В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. И.Н. Сергеевым были введены характеристики колеблемости решений линейных однородных дифференциальных уравнений, которые явились весьма эффективным средством для изучения колебательных свойств. Так, в докладе7 он впервые ввел понятие характеристической частоты и(у) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений уравнений на полупрямой.

Следует отметить, что спектры (множества значений на всех ненулевых решениях) различных показателей n-мерных линейных систем устроены по-разному: спектр показателей Ляпунова состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности), тогда как спектр показателей Перрона, вообще говоря, не является конечным и, более того, может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

г'Ловил А.Ю. Неосцилляция решений уравнения г'"' + + ••• + Pn(t)x = 0 // Успехи

матем. наук. 1969. 24. №2. С. 43-96.

0Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.П. Астаттюпд н др.; под ред. И.Т). Астаиювой — М.: ЮНИТИ ДАНА, 2012.

'Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1Я76.

одну и ту же частоту8, тем не менее существуют автономное линейное однородное уравнение четвертого порядка и периодическое линейное уравнение третьего порядка с континуальными спектрами характерис-

Q 1П

тичес.ких частот • .

Таким образом, даже для автономного линейного уравнения спектр характеристических частот не совпадает с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена. С ним совпадает, вообще говоря, лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот этого уравнения8.

В работах11,12 •13 были введены различные модификации характеристических частот, но уже для вектор-функций х, в частности, так называемые полные сг(х) и векторные ((х) частоты. Подсчет последних происходит путем усреднения числа нулей проекции функции х на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота сг(я), а если после — то векторная частота . Некоторые свойства этих частот описаны в работах14,15,10,17,18.

Оказалось17, что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колебле-

8Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2000. Вып. 25. С. 249-294.

9Горицкий А.Ю. Характеристические частоты линейных комбинаций синусов // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №6. С. 860.

'"Смолспцсв M.B. Существование периодического лииейпого дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1571-1572.

"'Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнении // Дифференц. уравнения. 2008. 44. № 11. С. 1577.

12Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы //' Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 908.

13Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаеыоети решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 6. С. 902.

иСергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждасыостм решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1667-1668.

15Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 00G 907.

1сСергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21-26.

1'Сергеев H.H. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия матем. 2012. 76. №1. С. 149-172.

15Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. С. Iii) -138.

мости принимают также лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения у лннейного уравнения n-го порядка определяются как величины а(х) и £(х) соответственно, где х = (г/, У,..., г/"-1')).

Спектры полных и векторных частот автономных систем, а также уравнений второго порядка были полностью исследованы:

• спектр полной частоты любой автономной системы конечен и совпадает с множеством модулей мнимых частей собственных значений задающего ее оператора14;

• полная и векторная частоты любого решения любой автономной системы совпадают1!);

• для любого (не обязательно автономного) линейного уравнения второго порядка спектры полной и векторной частот состоят из одного и того же числа, равного характеристической частоте какого-либо его решения16.

Таким образом, оставался открытым вопрос об описании возможных спектров полных и векторных частот линейных неавтономных дифференциальных систем, а также уравнений более чем второго порядка. Особенно важно было узнать, во-первых, всегда ли эти спектры конечны и, во-вторых, обладают ли свойствами спектров уравнений второго порядка (т.е. состоят ли из одного элемента):

• спектры полных и векторных частот уравнений третьего порядка;

• спектры полных и векторных частот двумерных систем.

Любое из крайних (т. е. наименьшее и наибольшее) значений спектра какой-либо частоты n-мерной однородной дифференциальной системы можно рассматривать как функционал, определенный на линейном топологическом пространстве n-мерных систем с равномерной на IR+ топологией. При п = 2 сужения этих функционалов на топологическое подпространство уравнений второго порядка (к которым сводятся двумерные системы с помощью канонической замены) непрерывны16 и, будучи остаточными20, инвариантны относительно бесконечно малых (т. е. исчезающих на бесконечности) возмущений.

'"Бурлаков Д.С., Цой С.П. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной

системы //Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1662-1663.

'"Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1083. Вып. !). С. 111-3 06.

В связи с этим возник вопрос: распространяются ли указанные свойства крайних частот с пространства линейных уравнений второго порядка, на пространство всех линейных двумерных дифференциальных систем?

Наконец, в докладах21'22 были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения или системы, на котором заданная частота принимает то или иное значение.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование спектров полных и векторных частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка и линейных однородных дифференциальных двумерных систем, а также непрерывность крайних частот на множестве линейных однородных двумерных дифференциальных систем, наделенном равномерной топологией.

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений и теории колебаний.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие основные результаты:

• доказано существования линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка и линейной однородной двумерной дифференциальной системы с непрерывными ограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот которых содержат счетные множества метрически и топологически существенных значений;

• доказано существование линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с непрерывными неограниченными коэффициентами, спектры характеристической частоты нулей, полной частоты и векторной частоты которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой;

21 Соргс(!п И.Н. Метрически типичные и сущестпсппые значения показателей лшюШтых систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1661-1602.

"Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем /'/ Дпффорепц. уравнения. 2012. 48. №11. С. "1507 1508.

• доказано существование линейной однородной двумерной дифференциальной системы с периодическими коэффициентами, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же набор, состоящий из любого конечного наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений;

• доказано существование точки в пространстве линейных двумерных дифференциальных систем (наделенном равномерной топологией), в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

1) семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под рук. проф. И.В. Асташовой, проф. A.B. Боровских, проф. Н.Х. Розова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2011-2013);

2) семинар «Динамические системы и оптимальное управление» кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета под рук. проф. М.М. Шумафова (неоднократно: 2011).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1) Вторая Международная конференция «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (г. Терскол, 2012);

2) Девятая Международная научная конференция молодых ученых «Наука. Образование. Молодежь» (г. Майкоп, 2012).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 6 статей • в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 98 страниц. Библиография включает 90 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение

В кратком введении описывается история вопроса и постановка задачи. Формулируются основные результаты диссертации и указывается их место в теории показателей Ляпунова, теории колеблемости и в современной теории характеристик колеблемости решений линейных однородных дифференциальных уравнений и систем.

В разделе 1.1 вводятся понятия (верхней и нижней) частоты нулей, нолной и векторной частот.

Для заданного п Є N обозначим через Мп множество линейных однородных дифференциальных систем

каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией А : R+ —► End R".

Обозначим через Vn, Тп подмножества множества М.п, состоящие из периодических и треугольных систем соответственно. Множество всех ненулевых решений х : R+ —► R" системы А £ Мп обозначим через

Определение I11 •12. Для каждой системы А є Мп, произвольного решения х Є «?«(>!), вектора т Є К" и момента і > 0 обозначим через у{х, т, і) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения (х(т),т) на промежутке г Є (0,і], а верхней (нижней) полной и векторной частотами решения х назовем величйны

Глава 1

х = A(t)x, х є R'\ t є R+ = [0, oo),

(A).

В случае совпадения верхней полной (векторной) частоты решения х с нижней будем называть ее точной и обозначать просто а(х) (соответственно С(х)).

Фиксировав в М" базис, естественным образом выделим в множестве Мп подмножество £п систем, задаваемых матрицами вида

/О 1 ... О \

'о' 'о' ::: 'г

\ —an(t) —an-i(t) ... -ai(t) J

и отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям п-го порядка

yW + ai(i)y(n-1) + • ■ • + an-i{t)y + an{t)y = 0, t є R+,

каждое из которых, задаваясь своей ограниченной непрерывной вектор-функцией

а = (ßi,... ,ап): М+ -> ЕГ,

преобразуется в систему А стандартным переходом23 от скалярной переменной у к векторной

х = фпу = {у,у,...,у("-1))

и отождествляется с этой системой.

Множество всех ненулевых решений у: R+ —> R уравнения а Є £п обозначим через 5»(а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II7,24. Для каждого уравнения а Є £п. произвольного решения у Є St{a) и момента t > 0 обозначим через v{y,t) число нулей функции у на промежутке (0;i], а верхней и нижней частотами нулей решения у назовем величйны

Ну) = Em 71/(2/, i) ' и й(у) = lim 71/(¡/,i),

t t_00 t

причем в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

"Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 24Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414 442.

Величины £>(у), й(у) неотрицательны, конечны8 и удовлетворяют неравенствам

Ну) > У е 5*(а)-

В разделе 1.2 вводятся понятия спектра частоты данной системы, метрической и топологической типичности значения частоты, метрической и топологической существенности значения частоты. Доказываются некоторые утверждения о возможных мощностях множеств типичных и существенных значений спектра.

С каждой из частот х, описанных в определениях I и II, и с каждой системой А £ М.п (а в случае х = и, й только с системой А £ £п) можно связать функционал

хА\ (Л)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ III. Спектром частоты >са системы А € Мп назовем область ее значений, а значение частоты я, принадлежащее спектру системы А, назовем:

а) метрически существенным21, если оно принимается на решениях х £ <5*(А), множество наборов х(0) € М" начальных значений которых содержит множество положительной меры в К";

б) топологически существенным22, если оно принимается на решениях х е 5*(А), множество наборов а;(0) € Жп начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством [/ С 1", служит дополнением в и к множеству первой категории Бэра.

Глава 2

В разделе 2.1 строится уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат конечные наборы, состоящие из сколь угодно большого наперед заданного числа. Причем все значения из этих наборов являются точными, а все решения построенного уравнения — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самого уравнения.

теорема i. Для любого N £ n найдется уравнение а € £3 с периодическими коэффициентами, имеющее набор решений у1: ■.., уы с точными частотами, удовлетворяющими условиям

ЧУ») = СЫ ^ г = 1.2,..., ЛГ,

а{Уг) + °{У]), НУг) Ф НУз), * Ф 3В разделе 2.2 происходит фактическое построение неавтономного уравнения третьего порядка со счетными спектрами частот.

ТЕОРЕМА II. Существует, уравнение a G £3, имеющее последовательность решений У\,У2, ••• с точными частотами, удовлетворяющими условиям

o(Vi) = С(Уг) = = 2"', г е N,

причем все эти значения частот являются существенными (и метрически, и топологически).

В разделе 2.3 строится семейство уравнений третьего порядка с непрерывными неограниченными коэффициентами.

Через £п обозначим множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с непрерывными (не обязательно ограниченными) на К+ коэффициентами. Для каждого решения у е <S»(a) любого уравнения а е £п характеристики колеблемости (полная частота, векторная частота и характеристическая частота нулей) определяются так же, как и в определениях I и II.

Для произвольных чисел е > 0 и lj > 1, связанных соотношением

w</r="?

рассмотрим тройку функций

zi(t) = et2(cosí + е), z2{t) = е*2 cosüjt, za(t) = é* sinut, t € R+.

По этой системе функций восстановим уравнение а £ £3, для которого они служат решениями.

Для любого значения ip S К из множества решений построенного уравнения можно выделить однопараметрическое семейство функций вида

fA{t) = (1 - A)ei2(cost + e) - Aet2 cos{p + tüt), (1) .

В данном разделе доказывается, что если и! — иррациональное число, то частоты решений (1) уравнения а заполняют весь отрезок [1,ш].

Теорема III. Существует уравнение а е £3, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат один и тот же отрезок числовой оси.

В отличие от теорем I и II, теорему III принципиально невозможно усилить так, чтобы каждое из указанных в ней значений частот было метрически или топологически существенным.

Глава 3

В разделе 3.1 строится периодическая двумерная система, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же конечный набор, состоящий из сколь угодно большого наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений. Причем все эти значения из этого набора являются точными, а все решения построенной системы периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самой системы.

теорема IV. Для любого N £ N существует система А £ V2, имеющая N решений ..., хм £ с точными частотами,

удовлетворяющими условиям

о-(^) = С(^) = г = 1,..., ТУ,

причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными {и метрически, и топологически).

В разделе 3.2 доказывается существование двумерной системы с одним и тем же счетным множеством значений полных и векторных частот ненулевых решений. Все предъявляемые значения частот и в этом случае являются точными и существенными.

Теорема V. Существует система А б Л42, имеющая последовательность решений XI,...£ 5» (А) с точными частотами, удовлетворяющими условиям

а(х{) = С(ссг) = 1 - 2-\ г е N.

причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными (и метрически, и топологически).

Глава 4

В разделе 4.1 изучены полностью спектры полных и векторных частот линейных треугольных дифференциальных систем.

теорема VI. Для любого решения х £ 5« (Л) любой системы А бТ" имеет место следующая цепочка равенств

С(х) = а(х) = 0.

В разделе 4.2 даны определения крайних частот линейных дифференциальных систем и инвариантного функционала относительно бесконечно малых возмущений.

По каждой из величин я = образуем крайние частоты

системы А е М.п, а именно, младшую и старшую частоты

Ях{А) = inf я(х), — sup я(х).

xeS,(A) xeS.(A)

В дальнейшем все крайние частоты будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Л4п с естественными для функций линейными операциями и равномерной на К+ топологией, задаваемой нормой

\\А\\ = sup \A(t)\.

t£ Е+

Определение IV20. Для системы А е Мп обозначим через В(А) множество систем В 6 Л4п, удовлетворяющих условию

lim l-B(í) — A(t) \ = О,

í—юо

при котором возмущение В — А назовем бесконечно малым. Скажем, что функционал, определенный на Л4П, инвариантен в точке A G М.п относительно бесконечно малых возмущений, если его сужение на. множество В(А) есть константа.

В данном разделе приведен пример точки на множестве двумерных систем в которой ни одна из крайних частот не является непрерывной.

Теорема VII. В пространстве Л42 существует точка, в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Автор глубоко признателен научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Игорю Николаевичу Сергееву за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах из перечня ВАК

1. Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1665.

2. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 908.

3. Сташ А.Х. Спектры полных н векторных частот двумерных линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2013. 49. №6. С. 807-808.

4. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка// Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-23.

5. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот// Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17.

6. Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот решений двумерных линейных дифференциальных систем// Дифференц. уравнения. 2013. 49. №11. С. 1497-1498.

Статьи в других научных журналах и тезисы докладов в материалах научных конференций

7. Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейных уравнений третьего порядка// Материалы IX Международной научной конференции молодых ученых «Наука. Образование. Молодежь», 9-10 февраля 2012 г. - Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. Т. I. С. 324-328.

8. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных систем/ Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых ученых, Терскол, 28 ноября - 1 декабря 2012 г. — Нальчик: ООО «Редакция журнала «Эльбрус», 2012. С. 211-212.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж [ВО экз. Заказ №Д

I т

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сташ, Айдамир Хазретович, Москва

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

04201364942

СТАШ Айдамир Хазретович

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор СЕРГЕЕВ Игорь Николаевич

Москва - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Основные понятия и факты 16

1.1 Определение характеристик колеблемости..............16

1.2 Спектры частот уравнений и систем....................19

2 Спектры линейных уравнений третьего порядка 26

2.1 Периодическое уравнение с конечным спектром ... 26

2.2 Уравнение со счетным спектром........................32

2.3 Неограниченное уравнение с континуальным спектром 52

3 Спектры линейных двумерных систем 61

3.1 Периодическая система с конечным спектром..........61

3.2 Система со счетным спектром ..........................70

4 Общие свойства частот линейных систем 81

4.1 Спектры треугольных систем............................81

4.2 Разрывность крайних частот............................83

Список литературы 90

Введение

С теорией устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [15, 16], Б.Ф. Былов [10, 11], В.М. Миллионщиков [41, 42, 43], H.A. Изобов [23, 24, 26], М.И. Рахимбердиев [46, 47], И.Н. Сергеев [48, 49], Е.К. Макаров [39, 40], Е.А. Барабанов [5, 6], A.C. Фурсов [86, 87], А.Н. Ветохин [13, 14], В.В. Быков [8, 9], Ю.И. Дементьев [19, 20] и другие. Здесь указаны лишь по 2-3 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [25, 29] и монографиях [12, 30].

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [34, 35], И.Т. Кигурадзе [31, 32, 33], Т.А. Чантурия [89, 90], А.Н. Левина [38], H.A. Изобова [27, 28], Дж.Д. Мирзова [44, 45], И.В. Асташову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [37] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения или системы хотя бы одного колеблющегося решения, а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение коэффициентных признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В последнее время интерес к таким свойствам решений линейных нестационарных систем, как ограниченность, устойчивость, колеблемость и т.п., возрос в связи с задачами изучения автоколебаний и хаотических режимов, возникающих в различных электронных и лазерных устройствах. В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. И.Н. Сергеевым были введены характеристики колеблемости решений линейных однордных дифференциальных уравнений, которые явились весьма эффективным средством для изучения колебательных свойств. Так, в докладе [50] он впервые ввел понятие характеристической частоты v(y) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений уравнений на полупрямой.

Следует отметить, что спектры (множества значений на всех ненулевых решениях) различных показателей п-мерных линейных систем устроены по-разному: спектр показателей Ляпунова состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [12, глава I, §2]), тогда как спектр показателей Перрона, вообще говоря, не является конечным и, более того [5], может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то их спектры устроены также сложнее, чем спектры показателей Ляпунова. И хотя все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют одну и ту же частоту [53], тем не менее существуют автономное линейное однородное уравнение четвертого порядка и периодическое линейное уравнение третьего порядка с континуальными спектрами характеристических частот [17, 76].

Таким образом, даже для автономного линейного уравнения спектр характеристических частот не совпадает, вообще говоря, с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена. С ним совпадает лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот этого уравнения [53].

В работах [63-72] вводились и изучались различные модификации характеристических частот, но уже для вектор-функций х, в частности, так называемые полные о{х) и векторные ((х) частоты. Подсчет последних происходит путем усреднения числа нулей проекции функции х на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота сг(х), а если после — то векторная частота С(х)-

Оказалось [71], что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колеблемости принимают также лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения у линейного уравнения п-го

порядка определяются как величины о{х) и соответственно, где х = {у,у,...,у(п~1))).

• спектр полной частоты любой автономной системы конечен и совпадает с множеством модулей мнимых частей собственных значений задающего ее оператора [64];

• полная и векторная частоты любого решения любой автономной системы совпадают [7];

• спектры полных и векторных частот уравнений третьего порядка;

• спектры полных и векторных частот двумерных систем.

Любое из крайних (т.е. наименьшее и наибольшее) значений спектра какой-либо частоты п-мерной однородной дифференциальной системы можно рассматривать как функционал, определенный на линейном топологическом пространстве п-мерных систем с равномерной на топологией. При п — 2 сужения этих функционалов на топологическое подпространство уравнений второго порядка (к которым сводятся двумерные системы с помощью канонической замены) непрерывны [68] и, будучи остаточными [48], инвариантны относительно бесконечно малых (т. е. исчезающих на бесконечности) возмущений.

В связи с этим возник вопрос: распространяются ли указанные свойства крайних частот с пространства линейных уравнений второго порядка на пространство всех линейных двумерных дифференциальных систем?

Наконец, в докладах [69, 70] были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения или системы, на котором частоты принимают те или иные значения.

Основные результаты диссертации

касаются спектров частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка, линейных однородных двумерных дифференциальных систем, а также разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных систем, наделенном равномерной (на полуоси) нормой.

В первой главе диссертационной работы даются необходимые понятия, сопровождаемые описанием их общих свойств, и доказываются вспомогательные утверждения, которые используются при доказательстве основных результатов.

Вторая глава посвящена доказательству существования уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат конечные наборы, состоящие из сколь угодно большого наперед заданного числа. Причем все значения из этих наборов являются точными, а все решения построенного уравнения — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самого уравнения.

Кроме того, построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными ограниченными коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат одно то же счетное множество метрически и топологически существенных значений, причем все эти значения являются точными.

Далее, в ней также приводится линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В третьей главе диссертационной работы доказано существование периодической двумерной системы, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же конечный набор, состоящий из сколь угодно большого наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений. Причем все значения из этого набора являются точными, а все решения построенной системы — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самой системы.

Кроме того, доказано существование двумерной системы с одним и тем же счетным множеством значений полных и векторных частот ненулевых решений. Все предъявляемые значения частот и в этом случае являются точными, а также метрически и топологически существенными.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению спектров треугольных систем и разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных систем.

А именно, доказано, что спектры полных и векторных частот линейных треугольных систем состоят из только одного нулевого значения, а на множестве двумерных систем приведен пример точки, в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Таким образом, в диссертации получен частичный ответ на вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, линейных двумерных систем и линейных треугольных систем произвольной размерности. Кроме того, установлена разрывность крайних частот на множестве линейных двумерных систем (не имеющая места на подмножестве систем, отвечающих линейным уравнениям второго порядка).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ее автора [77-84].

Формулировки основных результатов

Для заданного п € N обозначим через Л4п множество линейных однородных дифференциальных сист,ем

х = A(t)x, х в Rn, t в Ш+ = [0, оо),

каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией А : R+ —EndR71.

Обозначим через Vй подмножество множества Л4п, состоящее из периодических систем. Множество всех ненулевых решений х : R+ —» Rn системы А 6 Л4п обозначим через S*(A).

Определение I [62, 63]. Для каждой системы А е Мп, произвольного решения х g вектора т € R™ и момента t > о

обозначим через и(х, m, t) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения (х(т),т) на промежутке г € (0, t], а верхней (нижней) полной и векторной частотами решения х назовем величйны

7Г , ч / „ , . . „ 7Г

а(х) = inf lim — vix, т, t) [ äix) = inf lim —vix.m.t)

v ' meR" t-»CO t \ t^a t

7Г , ч It/ \ . „ 7Г

С(ж) = lim inf —vix.m.t) Cix) = lim inf —vix.m.t) Sv > i-oomeR" t K ' V i^meR" t V '

В случае совпадения верхней полной (векторной) частоты решения х с нижней будем называть ее точной и обозначать просто сг(х) (соответственно

В множестве Л4п естественным образом выделим подмножество Вп систем, имеющих матрицы вида

/О 1 ... О \

л®=\ о 'о' ::: г

\-an(t) —an-i{t) ... -ai{t) )

и отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям п-го порядка

У(п) + ai(*)2/(n-1) + ... + an-i(t)y + an(t)y = О, t 6 R+,

каждое из которых задается своей ограниченной непрерывной вектор-функцией

а = (ai,..., ап): R+ —> R",

преобразуется в систему А стандартным переходом [85] от скалярной переменной у к векторной

х = фпу = (у,г/,...,у{п-1))

и отождествляется с этой системой.

Множество всех ненулевых решений у: R+ —» R уравнения а 6 £п обозначим через ¿>*(а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II [53, 73]. Для каждого уравнения а € произвольного решения у € S*(a) и момента t > 0 обозначим через v(y,t) число нулей функции у на промежутке (0;i], а верхней и нижней частотами нулей решения у назовем величйны

_ 7Г 7г

НУ) = Jim т НУ, t) и НУ) = Дш - НУ,

причем в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

Через £п обозначим множество линейных однородных дифференциальных уравнеииий п-го порядка с непрерывными (не обязательно ограниченными) на R+ коэффициентами. Для каждого решения у G (а) любого уравнения а 6 £п харектеристики колеблемости (полная частота, векторная частота и характеристическая частота нулей) определяются так же как и в определениях I и II.

С каждой из частот х, описанных в определениях I и II, и с каждой системой А € A472 (а в случае н = Р, v только с системой А € £п) можно связать функционал

<S*(yl) ->R+.

Определение III. Спектром частоты ха системы А е М.п назовем область ее значений, а значение частоты х, принадлежащее спектру системы Л, назовем:

а) метрически существенным [69], если оно принимается на решениях х Е множество наборов ж(0) G Rn начальных

значений которых содержит множество положительной меры в Rn;

б) топологически существенным [70], если оно принимается на решениях х £ <S*(А), множество наборов ж(0) е Кп начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством U С Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.

ТЕОРЕМА I (теорема 2 в главе 2). Существует уравнение а Е имеющее последовательность решений yi,y2,■■■ с

точными частотами, удовлетворяющими условиям

= СЫ = Hvi) = 2Л % € N,

причем все эт,и значения част,от являются существенными (и метрически, и топологически).

ТЕОРЕМА II (теорема 3 в главе 2). Существует уравнение а £ £3, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат, один и тот, же отрезок числовой оси.

ТЕОРЕМА III (теорема 4 в главе 3). Для любого N 6 N существует система А € V2, имеющая такие N решений Х\,... ,xn € с точными частотами, удовлетворяющими

условиям

a(xi) = C(xi) = jj, г = 1,..., iV,

причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными (и мет,рически, и топологически).

ТЕОРЕМА IV (теорема 5 в главе 3). Существует система А € A42, имеющая такую последовательность решений х\, Х2, ■ ■ ■ Е ¿>*(Л) с точными частотами, удовлетворяющими условиям

a{Xi) = C(xi) = 1 - 2~\ г € N, причем все эти значения полных и векторных част,от являются существенными (и метрически, и топологически).

По каждой из величин х = <т, ¿г, £ образуем крайние частоты системы А € Л4п, а именно, младшую и старшую частоты

я\(А) = inf ?с{х), Xn(Ä) = sup >с{х). xeS,{A) xeS*(A)

В дальнейшем все крайние частоты будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Л4п с

естественными для функций �