О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка

Смоленцев, Михаил Викторович

О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Смоленцев, Михаил Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка»

Автореферат диссертации на тему "О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

СМОЛЕНЦЕВ Михаил Викторович

О СПЕКТРАХ ЧАСТОТ НУЛЕЙ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

005059053

16 НАЙ 2013

Москва - 2013

005059053

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сергеев Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шамолин Максим Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Дементьев Юрий Игоревич

Ведущая организация: Институт математики НАН Беларуси

Защита диссертации состоится 24 мая 2013 г. в 16 ч 40 мин на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 апреля 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений.

Важнейшими направлениями качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изо-бова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений или систем.

В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград, Б.Ф. Былов, В.М. Миллионщиков, H.A. Изобов, М.И. Рахим-бердиев, И.Н. Сергеев, Е.К. Макаров, Е.А. Барабанов, А.Н. Ветохин, В.В. Быков и другие. Исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах1'2 и монографиях3,4.

^ Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71-146.

Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С 20342055.

3Былов В.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мк.: БГУ, 2006.

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева, И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия, А.Н. Левина. H.A. Изобова, И.В. Асташову и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре5 и монографии6). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено прежде всего на получение коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В 2004 г. И.Н. Сергеев в докладе7 впервые ввел понятие характеристической частоты и(у) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. В дальнейших его работах изучались свойства введенных частот и их различные модификации.

Частоту решения можно интерпретировать как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины it.

Оказалось, что на решениях линейных однородных уравнений с ограни-

ченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения и позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции

y(t) — sinwi

ее частоту v(y) = lj (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения,

5Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения -----t-p„(i)i = О

// Успехи матем. наук. 1969. 24. №2. С. 43-96.

6Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И:В. Асташовой — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

7Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

ставя в соответствие вектор-функции х с нормой

|я(£)| = ехрЛ£

ее показатель х(х) = А).

Следует отметить, что спектр (множество различных значений на всех ненулевых решениях) показателей Ляпунова п-мерной линейной системы состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности). В то же время, спектр показателей Перрона такой системы, вообще говоря, не является конечным и, более того, может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то в работе8 доказано, что:

• все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют одну и ту же частоту;

• для любого N > 0 существует уравнение четвертого порядка, даже с постоянными коэффициентами, у которого общее число частот различных ненулевых решений превосходит N (впоследствии этот результат был значительно усилен АЛО. Горицким9, предъявившим линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами, спектр частот которого представляет собой целый отрезок числовой прямой).

Отсюда следует, что не существует числовой функции от п, ограничивающей сверху количество различных частот решений уравнения п-го порядка.

Далее, для систем с постоянными или периодическими коэффициентами (и вообще, для правильных систем) спектры показателей Ляпунова и Перрона одинаковы: они в автономном случае совпадают с множеством

"Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

Горнцкий А.Ю. Характеристические частоты линейных комбинации синусов // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №6. С. 860.

действительных частей собственных значений ее матрицы, а в периодическом случае естественным образом выражаются через множество мультипликаторов системы.

В работе8 доказано, что спектр характеристических частот линейного автономного уравнения га-го порядка тесно связан с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена:

• при любом натуральном п этот спектр заведомо включает в себя множество указанных модулей;

• при п = 1,2 этот спектр состоит из одного числа и совпадает с множеством указанных модулей (нетрудно видеть, что подобное совпадение происходит и при п = 3, правда, только для спектров частот корней и знаков10);

• при п ^ 4 с множеством указанных модулей совпадает, вообще говоря, лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот автономного уравнения п-го порядка.

Таким образом, оставался открытым вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка (и, в частности, уравнений с периодическими коэффициентами), занимающих промежуточное положение между уравнениями второго и четвертого порядков. Важно было узнать, обладают ли спектры этих уравнений свойствами спектров уравнений второго порядка или больше напоминают спектры уравнений четвертого порядка.

Наконец, в докладах11,12 были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение качественного вопроса о том, достаточно ли

10Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.

11 Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1661-1662.

12Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1567-1568.

мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения, на котором частота принимает то или иное значение.

Цель работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию спектров частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с целью, именно по отношении к ним, ответить на вопрос, явно поставленный в докладе7: каким может быть множество частот решений линейного однородного уравнения?

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений и теории колебаний, а также эргодической теории в применении к иррациональной обмотке тора.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

• доказано существование неавтономного линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка, спектр частот которого содержит счетное множество метрически и топологически существенных значений;

• доказано существование линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектр частот которого содержит любое наперед заданное конечное число метрически и топологически существенных значений;

• доказано существование линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектр частот которого содержит континуум (целый отрезок) значений.

Теоретическая й практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут 6i.iT!» использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации па следующих научных семинарах:

1) семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под рук. проф. И.В. Асташовой, проф. A.B. Боровских, проф. Н.Х. Розова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2011-2013);

2) семинар "Актуальные проблемы математики и механики" механико-математического факультета МГУ под рук. проф. Д-В. Георгиевского. проф. М.В. Шамолина (2012);

3) семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" кафедры высшей математики МЭСИ под рук. проф. И.В. Асташовой, проф. В.А. Никшпкина, проф. A.B. Филиновского (2012).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1) Вторая Международная конференция "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (г. Терскол, 2012):

2) конференция "Современные методы теории функций и смежные вопросы" (г. Воронеж, 2013);

3) Четвертая Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" (г. Москва, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 71 страницу. Библиография включает 76 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение

В кратком введении описывается история вопроса и постановка задачи. Формулируются основные результаты диссертации и указывается их место в современной теории показателей Ляпунова, теории колеблемости и теории характеристических частот дифференциальных уравнений.

Глава 1

В разделе 1.1 вводятся понятия верхних и нижних частот нулей, знаков и корней.

Рассмотрим множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка

.!/<"> +а1(1)у^~1} + .... + ап-1фу + апфу = 0, геК+=[0;оо), (1)

с ограниченными непрерывными коэффициентами, образующими строки

а = (а\,.... ап): К+ ->■ Мп,

каждую из которых будем отождествлять с соответствующим уравнением. Обозначим описанное множество уравнений через 6п.

Линейное пространство всех решений у: —> К уравнения а € £п обозначим через 5(а), а подмножество всех его ненулевых решений — через ¿>*(а), кроме того, обозначим

5* = У £»(а).

ае£™

Определение I8'10. Для каждого уравнения а б £п, произвольного решения у € (а) и момента £ > 0 будем понимать под выражением и{уЛ), полагая в нем либо и = и0, либо и = , либо V = и+, либо и = и* соответственно:

• либо число ¿) нулем функции у на промежутке (0;£];

• либо число £) точек смены знака функции у на промежутке (0; ¿] (мы говорим, что в точке г > 0 функция у меняет знак, если в достаточно малой окрестности этой точки слепа от нее функция принимает значения одного знака, а справа — другого);

• либо суммарное число 1>+(уЛ) корней функции у на промежутке (0; £] с учетом их кратности: здесь каждый корень функции у считается столько раз, сколько в нем обнуляется подряд идущих ее производных, начиная с нулевой производной (т. е. с самой функции) и кончая производной не более чем (гс - 2)-го порядка.

Заметим, что если у — ненулевое решение линейного однородного уравнения п-го порядка, то оно ни на каком промежутке не может иметь ни бесконечно много нулей, поэтому величины и(у, ¿) принимают только конечные значения.

Определение II8'10. Верхней и нижней частотами 7щлей, знаков или корней решения у е будем называть величины

г>(у) = .Пт \и(у, тг£) и й{у).= Ига -¡/(у, тт£)

при

V = и0, и~, и+

соответственно, а в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

В соответствии с определением II, каждое решение у е Я* (а) каждого уравнения а € £(Е+) получает в итоге по шесть разновидностей частот

Ну) = (2)

Все они неотрицательны, конечны8 и удовлетворяют неравенствам

»~{у) < 1/0(у) < "+(у), Ну) > Ну)> У € «5».

В разделе 1.2 вводятся понятия спектра частоты данного уравнения, метрической и топологической типичности значения частоты, метрической и топологической существенности значения частоты. Доказываются некоторые утверждения о возможных мощностях множеств типичных и существенных значений спектра.

С каждой из частот (2) можно связать функционал

или его сужение

: Я (а) — К+

на множество ненулевых решений какого-либо уравнения а Е £п.

Определение III. Спектром частоты и (3) уравнения а е £п назовем область значений ее сужения иа, т.е. множество всех частот и{у) его различных ненулевых решений у Е (а). Значение частоты, принадлежащее спектру уравнения а Е £п, назовем:

а) метрически типичным, если оно принимается на решениях у Е <?*(а), множество наборов

3/(0),..., ег1 (4)

начальных значений имеет полную меру в К";

б) метрически существенным11, если оно принимается на решениях у Е ¿>* (а), множество наборов (4) начальных значений которых содержит множество положительной меры в Кп;

б) топологически типичным, если оно принимается на решениях у е «5*(а), множество наборов (4) начальных значений которых служит дополнением к множеству первой категории Бэра, или содержит ааоду плотное множество типа (т. е. представимое в виде счетного пересечения открытых и всюду плотных множеств);

б) топологически существенным1"2, если оно принимается на решениях у Е множество наборов (4) начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством [/ С 1п, служит дополнением в 17 к множеству первой категории Бэра.

В разделе 1.3 строится семейство уравнений специального вида, носящее вспомогательный характер и используемое затем в разделе 1.4. Доказываются утверждения, позволяющие упростить подсчет характеристических частот.

В разделе 1.4 происходит фактическое построение неавтономного уравнения третьего порядка со счетным существенным спектром характеристических частот.

теорема i. Существует уравнение а Е £я, спектры частот нулей, знаков и корней которого содерлсат, одно то о/се счетное множество

существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

Глава 2

В разделе 2.1 строится семейство периодических уравнений вида (1) (множество таких уравнений обозначено через Рп), которое используется при доказательстве результатов раздела 2.2. Вводятся два типа специальных периодических разбиений числовой полупрямой: одно из них названо в работе идеальным, а другое — реальным.

В разделе 2.2 доказывается существование периодического уравнения третьего порядка, спектр характеристических частот которого содержит сколь угодно большое наперед заданное число существенных значений.

Теорема И. Для любого числа Я 6 N существует уравнение а все решения которого — периодические с общим периодом, сов-

падающим с периодом коэффициентов уравнения, а спектры частот нулей, знаков и корней содержат одно то же множество, состоящее из N существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

Глава 3

В разделе 3.1 строится семейство решений периодического уравнения третьего порядка специального вида.

Для произвольных чисел £ > О и ш > 1, связанных соотношением

. 1

и <

1 -

рассмотрим тройку функций

Zi(t) = cost + £, z2(t) = coswi, ~з(£) = sin Ult, t 6 K+.

По этой системе функций восстановим линейное однородное уравнение третьего порядка, для которого они служат решениями. Полученное в итоге уравнение

{UJ2 - l)siiU 2 ш2{ш2 - l)sin£

У + ^ + cos W - 1):у +Ш У + ^ + cos *(а>» - 1)V = (5)

является уравнением третьего порядка с непрерывными 2тг-периодичес-кими коэффициентами, а его общее решение задается формулой

у — Сг{со5Ь + е) + С2 в'тшЬ + С3 соsшt, Сь С2, С3 6 К.

Для любого значения |/)£1в этом множеств решений можно выделить однопараметрическое семейство функций вида

/д(£) = (1 - А)(созЬ + е) - Асоз((р + 0 < Л < 1. (6)

В разделе 3.2 доказывается, что если ш — иррациональное число, то характеристические частоты решений (С) уравнения (5) заполняют весь отрезок

Теорема III. Существует уравнение а£Р3, все решения которого — квазипериодические функции, а спектры частот нулей, знаков и корней содержат один и тот же отрезок значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

В отличие от теорем I и II, теорему III принципиально невозможно усилить так, чтобы каждое из указанных в ней значений частот было метрически или топологически существенным.

Автор глубоко признателен научному руководителю профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах из перечня ВАК

1. Смоленцев М.В. О спектре частот линейного уравнения // Дифферент уравнения. 2011. 47. №11. С. 1659.

2. Смоленцев М.В. О спектрах частот периодического и непериодического линейного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 909.

3. Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1571-1572.

Статьи в других научных журналах и тезисы докладов в материалах научных конференций

4. Смоленцев М.В. О спектре частот линейного дифференциального уравнения третьего порядка / Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых ученых, Тер-скол, 28 ноября - 1 декабря 2012 г. - Нальчик: ООО «Редакция журнала «Эльбрус», 2012. С. 208-209.

5. Смоленцев М.В. Спектры частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Современные методы теории функций и смежные вопросы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 28 января - 2 февраля 2013 г. - Издательско-поли-графический центр ВГУ, 2013. С. 217-218.

6. Смоленцев М.В. Спектры частот периодических и непериодических линейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Тезисы докладов 4-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, 25-29 марта 2013 г. — М.: РУДН, 2013. С. 243-244.

7. Смоленцев М.В. О спектре частот периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка / Сборник трудов Международной миниконференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения» (16 июня 2012 г.) — М.: Изд-во МЭСИ, 2013. С. 58-74.

Подписано в печать 22.04.2013 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1308 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Смоленцев, Михаил Викторович, Москва

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

СМОЛЕНЦЕВ Михаил Викторович

О СПЕКТРАХ ЧАСТОТ НУЛЕЙ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

На правах рукописи

04201356390

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор СЕРГЕЕВ Игорь Николаевич

Москва - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Счетный спектр линейного неавтономного уравнения третьего порядка 13

1.1 Понятие частоты..................... 13

1.2 Спектр частоты уравнения............... 15

1.3 Семейство уравнений .................. 18

1.4 Утверждения о счетном спектре............ 26

2 Конечный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка 35

2.1 Семейство периодических уравнений.......... 35

2.2 Утверждения о конечном спектре ........... 44

3 Континуальный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка 51

3.1 Специальное семейство функций............ 51

3.2 Утверждения о континуальном спектре........ 54

Список литературы 64

Введение

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений. Важнейшими направлениями качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллион-щикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений или систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [14, 15], Б.Ф. Былов [9, 10], В.М. Миллионщиков [38, 39, 40], H.A. Изобов [20, 21, 23], М.И. Рахимбердиев [41, 42], И.Н. Сергеев [43, 44], Е.К. Макаров [36, 37], Е.А. Барабанов [5, 6], А.Н. Ве-тохин [12, 13], В.В. Быков [7, 8] и другие. Здесь указаны лишь по 23 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [22, 26] и монографиях [И, 27].

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались

усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [31, 32], И.Т. Кигурадзе [28, 29, 30], Т.А. Чантурия [75, 76], А.Н. Левина [35], H.A. Изобова [24, 25], И.В. Аста-шову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [34] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение прежде всего коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В 2004 г. И.Н. Сергеев в докладе [45] впервые ввел понятие характеристической частоты v(у) скалярной функции ?/, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и. позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. В дальнейших его работах [46-53] и [55-65] изучались свойства введенных частот и их различные модификации.

Частоту решения можно интерпретировать, как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины 7г. Оказалось, что на решениях линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения [48] и позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции

y(t) = Sin (jút

ее частоту v(y) = и (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции х с нормой

|я(£)| = exp A¿

ее показатель х(х) —

Следует отметить, что спектр (множество различных значений на всех ненулевых решениях) показателей Ляпунова n-мерной линейной системы состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [11,

глава I, §2]). В то же время, спектр показателей Перрона такой системы, вообще говоря, не является конечным и, более того [5], может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то в работе [48] доказано, что:

• все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют одну и ту же частоту;

• для любого N > О существует уравнение четвертого порядка, даже с постоянными коэффициентами, у которого общее число частот различных ненулевых решений превосходит N (впоследствии этот результат был значительно усилен А.Ю. Горицким [16], предъявившим линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами, спектр частот которого представляет собой целый отрезок числовой прямой).

Далее, для систем с постоянными или периодическими коэффициентами (и вообще, для правильных систем [11, глава VII, §22]) спектры показателей Ляпунова и Перрона одинаковы: они в автономном случае совпадают с множеством действительных частей собственных значений ее матрицы, а в периодическом случае естественным образом выражаются через множество мультипликаторов системы [18, глава III, §3, 15].

В работе [48] доказано, что спектр характеристических частот линейного автономного уравнения п-го порядка тесно связан с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена:

• при любом натуральном п этот спектр заведомо включает в себя множество указанных модулей;

Наконец, в докладах [61, 62] были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение качественного вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения, на котором частота принимает то или иное значение.

Основные результаты диссертации

касаются спектров частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка и посвящены попыткам, именно по отношению к ним, ответить на вопрос, явно поставленный в докладе [45]: каким может быть множество частот решений линейного однородного уравнения?

Первая глава работы посвящена доказательству существования неавтономного уравнения третьего порядка со счетным существенным спектром характеристических частот.

Именно, в ней построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат одно то же счетное множество метрически и топологически существенных значений, причем все эти значения являются точными.

Построение этого уравнения использует результаты работ [48, 54] и происходит поэтапно, вдоль бесконечной серии расширяющихся

промежутков числовой полуоси, на каждом из которых обеспечивается, с одной стороны, сохранение всех частот, построенных на предыдущих этапах, а с другой стороны, пополнение их множества новыми значениями.

Основным результатом второй главы диссертационной работы является доказательство существования периодического уравнения третьего порядка, спектр характеристических частот которого содержит сколь угодно большое наперед заданное число существенных значений.

В этой главе фактически построено такое семейство линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с периодическими коэффициентами, что в нем для любого N £ N можно выбрать уравнение, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат одно то же множество, содержащее не менее N метрически и топологически существенных значений. Более того, все эти N значений спектра являются точными, а все решения всех уравнений семейства — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самих уравнений.

Трудность построения такого семейства заключалась в необходимости управления фундаментальной системой решений уравнения непосредственно с помощью методов, использованных в работе [48], без теоремы 3 из работы [54].

Основу третьей главы диссертации составляет пример периодического уравнения третьего порядка с континуальным спектром характеристических частот.

Более точно, построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат один и тот же отрезок значений. При этом все указанные значения являются точными частотами некоторых решений, а все решения уравнения — квазипериодическими функциями.

При доказательстве факта заполнения частотами целого отрезка в работе использовалась эргодическая теорема применительно к иррациональной обмотке двумерного тора, а также заимствованы идеи из работы [17], в которой исследованы характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний.

Таким образом, в диссертации получен следующий ответ на вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка: свойства спектров уравнений третьего порядка, в том числе и уравнений с периодическими коэффициентами, более близки к свойствам спектров уравнений четвертого, чем второго порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ее автора [67-73].

Автор глубоко признателен профессору И. Н. Сергееву за научное руководство, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Формулировки основных результатов

Рассмотрим множество £п линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка

уМ + а^у^ + ... + ап-Му + ап{{)у = 0, [0; оо),

с ограниченными непрерывными коэффициентами, образующими строки

а = (аь...,ап): Е+ Еп,

каждую из которых будем отождествлять с соответствующим уравнением. Множество всех ненулевых решений у: —> К уравнения а £ £п обозначим через «5*(а).

Определение I [48, 64]. Для каждого уравнения а е Еп, произвольного решения у € <5* (а) и момента £ > 0 будем понимать под выражением и(у, £), полагая в нем либо V = и0, либо и = либо V = соответственно:

• либо число нулей функции у на промежутке (();£];

• либо число точек смены знака функции у на промежутке (0; £] (мы говорим, что в точке т > 0 функция у меняет знак, если в достаточно малой окрестности этой точки слева от нее функция принимает значения одного знака, а справа — другого);

• либо суммарное число и+(у, £) корней функции у на промежутке (0;£] с учетом их кратности: здесь каждый корень функции у

считается столько раз, сколько в нем обнуляется подряд идущих ее производных, начиная с нулевой производной (т.е. с самой функции) и кончая производной не более чем (га — 2)-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II [48, 64]. Верхней и нижней частотами нулей, знаков или корней решения у Е с>*(а) будем называть величины

и (у) = lim -v(y, 7rt) и í>(y) = lim -u(y, irt)

i->oo t t—too t

при v = v0,v~,i>+ соответственно, а в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

С каждой из частот, описанных в определении II, и с каждым уравнением а Е £п можно связать функционал

иа: S*(a) -4 Е+,

определенный на множестве <5* (а) ненулевых решений этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ III. Спектром частоты иа уравнения а Е £п назовем область ее значений. Значение частоты ра, принадлежащее спектру уравнения a Е £п, назовем:

а) метрически существенным [61], если оно принимается на решениях у Е <5*(а), множество наборов

( У( 0) >1

у(0)

^ У{п~1\0) )

оп

начальных значении которых содержит множество положительной меры в

б) топологически существенным [62], если оно принимается на решениях у Е (а), множество наборов начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством 17 С I", служит дополнением в и к множеству первой категории Бэра [33].

ТЕОРЕМА I (следствие 2 в главе 1). Существует уравнение а Е £3, спектры частот нулей, знаков и корней которого содер-

жат одно то же счетное множество существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

ТЕОРЕМА II (следствие 4 в главе 2). Для любого числа N Е N существует уравнение а € "Р3, все решения которого — периодические с общим периодом, совпадающим с периодом коэффициентов уравнения, а спектры частот нулей, знаков и корней содержат одно то же множество, состоящее из N существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

теорема III (следствие 6 в главе 3). Существует уравнение а Е Тъ, спектры частот нулей, знаков и корней которого содержат один и тот же отрезок значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

В отличие от теорем I и II, теорему III принципиально невозможно усилить так, чтобы каждое из указанных в ней значений частот было существенным метрически или топологически, что и обосновывает

Лемма (леммы 1 и 2 в главе 1). Спектр любой частоты va любого уравнения а € £п содержит не более чем счетное множество метрически существенных значений и не более чем счетное множество топологически существенных значений.

Используемые обозначения

В главах диссертации принята двойная нумерация формул, сквозная нумерация лемм и сквозная нумерация теорем и их следствий.

Приведем список наиболее часто используемых в работе обозначений:

• N, Z, Q, Ж, С — множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно;

• = [0; оо) — временная полуось;

• Т2 ее Ж2/(2ttZ)2 - двумерный тор;

• £п — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными непрерывными на Е+ коэффициентами;

• Vй — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с периодическими непрерывными на М+ коэффициентами;

• а = (а1,...,ап): Е+ —> Еп — набор коэффициентов линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка, отождествляемый с самим уравнением;

• |с| = тах{|с1|,..., \сп\} — норма вектора с = (сх,..., сп) Е Еп;

• М = [1; 1 + £о] — множество значений параметров //,//' специального семейства уравнений;

• ¿>(а) — линейное пространство всех решений у: Е+ —» К уравнения а е 5";

• (а) — множество всех ненулевых решений у: Е+ —> Е уравнения а Е £п;

• ¿>* = (а) ~~ множество всевозможных ненулевых решений

ае£п

у: Е+ —> Е различных уравнений абР;

ы °) =

( у(о) >\ №

6 1П - набор начальных значений ре-

V 2/(п_1)(0) )

шения у Е <5(а) какого-либо уравнения а Е £п\

• u°(y,t) — число нулей функции у на промежутке (0;t];

• v~(y,t) — число точек смены знака функции у на промежутке (0;¿];

• v+(y,t) — суммарное число корней функции у на промежутке (0; t] с учетом их кратности;

• v = v0,v~,i>+ — общее обозначение для частоты v в одном из перечисленных смыслов;

• v: S* R+ — частота, как функционал на множестве решений всех уравнений из Еп\

• va: ¿>* (а) —> R+ — частота, как функционал на множестве ненулевых решений какого-либо уравнения абГ;

• i/(y, К) = v(y, t, s) = v(y, t) — */(?/, s) — число нулей, смен знака или корней (в зависимости от смысла буквы v) функции у на промежутке К = (s, t\;

• 0(у) = lim 7rt) — верхняя частота нулей, знаков или кор-

i—»00 t

ней (в зависимост�