Некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах и гладких отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
Шкарин, Станислав Анатольевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1991
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
На правах рукописи
ШКАРИН Станислав Анатольевич
УДК 517.937 + 517.988.34
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
01.01.01 - математический анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук
МОСКВА - 1991
Работа выполнена на кафедре теории функции к функционального анализа механико-математического факультета Московского ; сударственного университета им. М.Б.Ломоносова.
Научный руководитель - доктор физико-математических наук О.Г.Сыоляиов
Официальные оппоненты: доктор физико-математических
кандидат физико-математических наук, доцент С.Г.Лобанов
Ведущая организация - Белорусский государственный Университет.
1Э9^г. в 16 часов 00 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, аудитория 16-24.
С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /14 этаж/.
наук, профессор Е.М.Миллионщиков,
Защита диссертации состоится
Автореферат разослан
Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 доктор физико-математических наук
ТП.Лукашенк
• i
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Диссертация посвящена исследованию линейных обыкновенных -дифференциальных уравнений /ОДУ/ относительно функций вещественного аргумента со значениями в локально выпуклом пространстве /ЛВП/, а также изучению нёкоторых свойств дифференцируемых отображений ЛВП.
Актуальность темы. Хорошо известно, что для дифференциальных уравнений вида
i. (Л) = s и , * U0") (!)
(где С (l£*t, Е), f. 61-+ Е) в случае, когда t -банахово пространство /БП/ ситуация мало отличается от классической. А именно, решение линейного ОДУ задается экспонентой линейного оператора / /, справедлив аналог теоремы Ликара, верны многие другие теоремы существования и единственности / j^j - |V| /. По-видимому, главным отличием от классического случая является то, что теорема Пеано для бесконечномерного БП неверна / /.
I/ Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.
2/ Olech С. On the existence and uniqenesa of solution of en ordinary differential equation in the case of Banach spaces // Bull. Acad. Pol on., Ser. Math., 1960, v. 8, Ji 10, p. 667 -6733/ Szufla S. Some remarks on ordinary differential equations in Banach spaces // Bull. Acad. Polon., Ser. Hath., 1968, v. 16, № Ю, p. 795 - 800.
4/ Годунов A.H. Одна теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // УМН, 1976, т.31, Л 5, стр. 235-236.
5/ Годунов А.Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах // Функ-
В случае же, когда с. локально выпукло возникают совершенно новые эффекты. В частности, в работах , показано, что если £ - ненорми^уемое пространство фреше, то задача Коши для линейного ОДУ (т.е. когда ^ в (_1) не зависит от и зависит от 'х. линейно")- может иметь единственное решение при любом начальном условии (вида ос ("Ь 0) = ^о) . может не иметь ненулевых решений и, наконец, может иметь много решении при некоторых начальных условиях. Это обстоятельство можно проиллюстрировать следующим соображением. Всякое уравнение в частных производных вида
(где и : /£ * М. —* , М - некоторое гладкое многообразие,
- дифференциальный оператор на М) может быть интерпретировано как линейное ОдУ ^ - ^ на подходяще пространстве функций ^или обобщенных функции) на , причем это пространство нельзя выбрать банаховым (если его выбрать банаховым, тс оператор будет определен не всюду) . Поэтому наличие общего
метода решения линейных ОДУ в ЛВП обеспечило бы существование некоторого общего метода решения уравнений в частных производных.
Отметим также, что отсутствие общей теоремы о разрешимости ОДУ в ЛВП тесно связано с несправедливостью для отображений ЛВП теоремы о неявной функции (в стандартной формулировке) .
кциональный анализ и его приложения, 1975, т.9, & I, стр. 59-6С. 6/ Лобанов С.Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ, сер.1, 1980, № 2, стр. 3-7.
7/ Лобанов С.Г. Пример ненормируемого пространства Среше, в котором любой непрерывный линейный оператор имеет экспоненту // УМН, 1979, т. 34, НА, стр. 201-202.
Описанная выше связь с уравнениями в частных производных является одним из обстоятельств, определяющих целесоооразность изучения ОДУ в ЛВП. Исследование таких уравнений представляет и значительный самостоятельный интерес именно в силу принципиального отличия от классического случая как результатов так и методов исследования. Сказанное в последней фразе верно и для других задач бесконечномерного анализа, рассмотренных в диссертации.
Цель работы. Целью работы является исследование линейных ОДУ в ЛВП, изучение соотношений между различными определениями диффе-ренцируемости отображений ЛЕП, а также выяснение возможности перенесения теоремы Ролля на случай бесконечномерного БП.
Методы исследования. Б работе используются методы теории ЛВП и бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научнЪ-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, а также на конференциях молодых ученых МГУ /1986, 1989, 1990/.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, в теории бесконечномерных групп Ли, в квантовой теории поля.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Объем диссертации - 102 страницы. Список литературы содержит 29 наименований.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Результаты статьи I/ из ьтого списка, написанной совместно с В.И. Богачевым, вошедшие в диссертацию, принадлежат автору.
С0ДЕР2АШЕ РАБОТЫ
Введение содержит краткий исторический очерк и формулировки основных результатов диссертации.
В первой главе иссле,дуются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения в ЛВП /все пространства ниже предполагаются вещественными/. Сперва заметим, что первыми математическими раоотани целиком посвященными ОДУ в ЛВП, были, по-видимому, статьи В.М. Миллионщикова и . В дальнейшем, такие уравнения рассма-
тривались, в частности, в [2^] - , - . Перейдем к изложению результатов первой главы*'.
8/ Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений =
= в локально выпуклых пространствах // ДАН СССР, 196С,
т.131, № 3, стр. 510-514.
9/ Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Матем. сб., 1962, т.99, стр. 385-406 10/ Годунов А.Н., Дуркин А.П. О дифференциальных уравнениях в линейных топологических пространствах // Вестник (ЛГУ, сер.1, 1969, № 4, стр. 39-47.
II/ Годунов А.Н. О линейных дифференциальных уравнениях в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ, сер.1, 1974, № 5, стр. 31-39.
12/ Смолянов О.Г. Линейные представления эволюционных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1975, т.221, № 6, стр. 1288-1291. 13/ Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах // Дифф. уравн., 1977, т.13, № 8, стр.* 14021410;' № 9, стр. 1615-1624; № 10, стр. 1796-1803.
Нумерация результатов в автореферате не совпадает с нумерацией результатов в тексте диссертации; некоторые результаты диссертации приводятся в автореферате в ослабленной формулировке ^для того, чтобы подчеркнуть основные идеи) .
Определение I. Промежутком будем называть связное подмножест-) IKi с непустой внутренностью.
Определение 2. ([ю]) Пусть Е - хаусдорфово ЛВП, I -юкежуток, fie. 1 , S '-Iх EL —*■ Е , АС Е . Тогда 'ооражение ОС. • L —El называется решением задачи Коши
i со = К*, xt-ej), хд q) = ос (2)
:ли ТС дифференцируемо в каждой точке, х ( 9) - оС и для :якого -tel выполняется равенство <^£(t) = £ (-L , * (4)) .
Теорема I. Пусть Е. = IQ, ^ , где f\ - произвольное мно-!Ство, С L,(.E.) ('символом jCjCE-) обозначается про-:ранство линейных непрерывных операторов из £ в Е. ) , Г € С (!R_ > 1= ) . Тогда задача Коши i = '~Г'эс + ¡f , С б/?,) = имеет решение на при всех <Л g tl.
Заметим, что в случае бесконечного ^ единственности peinera нет.
Замечание I. Поскольку пространство
Г всех вещественных 'нкций на целочисленной решетке "Z изоморфно , то из
юремы I следует, что уравнение ос. = Ç -эс. -v , где R -1зностный оператор на
р , Î еСС 15
, имеет решение
1 R, при любом начальном условии вида I (.о) - с( . Значе-
ie этого факта вытекает из того, что люоой дифференциальный опе-
iTop можно аппроксимировать разностным.
Теорема 2. Пусть El = П „, , где 1 \ , - про-
fi L JлеА
[вольное семейство ЬП. Тогда следующие утверждения эквивалентны. Для всех
Tcii.CE). ые Е
эада-
i Коли -X = Т-эс + , х. С о) = о( имеет решение на ; Для всех
Т<= LCE),
oL€ t. задача Коши С = , X (о) = о(. имеет решение на ;
Среди ^ конечное число бесконечномерных.
Теорема' 3. Пусть Е - секвенциально полное хаусдорфово
ЛВП, причем для всяких Т" £ t задача
Коши 5с, = Т* , ос Со) = с*. имеет решение на . Torj для любого множества i4 , для всяких S £ £ £ £ х Н задача Коши у = S % . % (°) = J2, имее решение на
я. .
Аналогичный результат имеет место для неоднородных линеКн!
дифференциальных уравнений.
/ г*
Теорема 3 . Пусть с- - секвенциально полное хаусдорфовс ЛВП, причем для всяких I € ( t £ £ С ( , Е.) оС £ Е_ задача Коши = \ тс + ^ , X С сГ) = им( решение на IR. . Тогда для любого множества Я • аля всяких
§ Exfc") , Sel (£* /е п) .
задача Коши = £ t^ + ^ , ^ (о) = JZ имеет решение на ft Заметим, что теоремы 2, 3/являются усилениями теоремы I. I скольку пространство С CIR.) является произведением счетного числа бесконечномерных БП, то теорема 2 дает ответ на вопрос о том, выполняется ли теорема существования решения задачи Коши д. линейного ОДУ в случае, когда £ = и когда Ь. = С С /Л?
Для /i? ответ положительный, для С С/R.) - отрицательный.
Прежде чем сформулировать следующий результат,введем два обозначения.
Символом р* обозначим класс хаусдорфовых ЛВП Е , для торых сууествуют ( /п е л/J С Е , { /о е -Vjc Е ' / пространство линейных непрерывных функционалов на Е. /
{ сп /п е /л/] Со,оо) такие, что I/ -in С) = <Г„itn при всех гп , п 6 /А// ; 2/ / 6с J)/ CrTi <. оо для любого £ .
Символом V обозначим класс хаусдорфовых бочечных
14/ Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные простра) ства. - М.: Мир, 1967.
стр. 9Э) ЛВП Е , длл которых существуют \ П. <\/})СЕ!,
(о,"») . с Е'
«'у^. I »г € лч/ ^ Со, такие, что
I/ - с) при всех гл , € л/ ;
2/ Р с:1 < ^о для любого зс^Е. ;
3/ если £ и I А ^ \ 4 лля любого п. € ¿V , то
ряд Л _ тс сходится в .
Теорема 4. Пусть I—- - 1 Е. , где {_ Р. 1 - некоторое семейство хаусдорфових ЛЕП, причем выполняется хотя бы одно из следующих условии:
I/ среди Е. ^ есть бесконечное число пространств, изоморфных одному и тому же Е С /ь» ; 2/ бесконечное число Ь. ^ принадлежит V
Тогда существует *~Р<& ( ) , << €. такие, что задача Коши эс = / ас , эс СО) = ос не имеет решения ни на одно:/. промежутке, содержащем нуль.
Следующие достаточные условия принадлежности ЛВП классам [и и V делают теорему 4 содержательной.
Предложение I. Если Ь. - хаусдорфово ЛВП, на котором топология Макки ([14^7 стр. 9б) не совпадает со слабой топологией, то Е € /Ь .
Предложение 2. Если
ь
- пространство Фреше, которое бесконечномерно и не изоморфно , ю Е € У .
В диссертации показано, что результат теоремы I не может быть существенно усилен. А именно, построен пример отображения А из
1й х «г ~
б , £ таких, что
I/ А
бесконечно дифференцируемо по фреше; 2/ • <= С ) для всякого ^ <£ //<!. ;
3/ задача Коши (■£) = $^ X (-¿) , Ос (о) - ос не имеет решения ни на одном промежутке, содержащем нуль.
- 7 -
В первой главе диссертации исследуется также вопрос о непрерывной 'зависимости решения линейного ОДУ от начального условия, а также вопрос о связи разрешимости линейных однородного и неоднородного ОДУ.
' Определение 3. ([б]) Пусть Ь - хаусдорфово лВП, 1 -промежуток, í € С (Д * £> Е"), 9 £ 1 . Тогда отображение (-t^x) ^ ^ -х из I * Е. в Е. называется разрешашим семейством /РС/ задачи Коши (г) , если S. является решением задачи (г) для всякого ос с Е. .
Определение 4. Пусть Е - хаусдорфово ЛВП, Т - промежуток, С CL *Е, Е} • Тогда отображение (i, 0, эс из 1¿ * Е- в Е называется обобщенным разрешашим семейством /ОРС/ ОДУ ("i) ' если * является РС задачи (2) для всякого в € 1 .
Введем еще одно обозначение. Если Е - хаусдорфово ЛВП, J -промежуток, то символом ¿C (I, El) обозначим множество всех непрерывных /по совокупности аргументов/ отображений (i, х) а* из Jx Е в Е таких, что ДЛЯ любого í é i .
Теорема 5. Пусть Е - пространство Фреше, I - промежуток, й <£ ¡С (I, Е) , И задача Коши
> -хСФ^«- (з)
имеет решение /быть может, нееданственное/ на 1 для всякого а. <£ El . Тогда существует непрерывное по совокупности аргументов РС задачи (з) .
Замечание 3. В работе показано, что если является
регулярным ( [lí]) индуктивным пределом последовательности пространств Фреше, I - промежуток, 1 , $} £Г) и
- единственное РС задачи (з) , то S> непрерывно по совокупности аргументов. Теорема 5 означает, что если £ - пространство Фреше, то от требования единственности решения в упомянутой тео-
реме из [II] можно отказаться.
Следствие. Пусть Ь- - пространство 4реае, Д с ¿СЕ) и ¡адача Коши ос. = & * , тс (о) = имеет решение /быть может, ¡еединственное/ на Л? для всякого Тогда задача Коши
X = + / , имеет решение на //2 для любых
* € £ , /6 ССЯ,Е).
Замечание 4. Последний результат не может быть обоощемна слу-1ай, когда линейный оператор Л зависит от времени. А именно, в аиссертации приведен пример пространства Фреше Е , ^ € £Г и /4 £ таких, что ОДУ ¿-(-¿)= р не име-
ет решения ни на одном промежутке, содержащем нуль, а задача ('з^) имеет единственное решение на для любого сС £ £ .
Теорема ъ'. Пусть - пространство Фреше, 1 - промежуток, Д ¿£(2 , Е) < & и задача (з) имеет /быть может, не-
единственное/ решение на 1 для всех в £ I , <£ Е , причем выполняется следующее условие:
У/ для любого компакта К *= 2 и для всякой окрестности нуля и С Е существует окрестность нуля V С Е такая, что каковы бы ни были в € К , << €г V найдется решение у задачи (5\) , удовлетворяющее соотношению У^Н) € С/ при всех С К . Тогда существует непрерывное по совокупности аргументов ОРС ОДУ £ т & ос и). При этом задача Коси
X (о) = оС тлеет решение на 1 для любых /£ СС1>Е)> Е .
Замечание 5. а/ Условие У/ в формулировке теоремы б' не только достаточно, но и необходимо для существования непрерывного СРС; О/ Пример из замечания 4 показывает, что условие У/ в формулировке теоремы 5/ нельзя отбросить; в/ В диссертации построен пример, показывающий, что РС существование которого утверждается в теореме 5 не всегда может быть сделано линейным по второму аргументу.
В работе £11] построен пример секвенциально полного хаус-дорфова ЛВП £ и Й € (Е) таких, что единственное РС за' - 9 -
дачи Коши í = й эс , ос Со) = °С непрерывно го каждому аргу менту и разрывно по совокупности аргументов. Непрерывные по сово купности аргументов РС важны для практического применения теории СДУ в ЛВП. Однако, для корректности всех формул, встречающихся н практике достаточно, чтобы РС Оыло секвенциально непрерывно по с вокупности аргументов. Следующий результат показывает, что если вместо непрерывности рассматривать секвенциальную непрерывность, то аналог упомянутого Еыше примера из flíj невозможен.
Предложение 3. Пусть t, - секвенциально полное хаусдорфово ЛВП, X - промежуток, Q € 1 , ft € tf ( I } Е) и задача Коши (з) имеет РС 2 • которое линейно и секвенциально непрерывно по второму аргументу. Тогда 2 секвенциально непрерывно по сово купности аргументов. Кроме того, если й не зависит от ~t , то задача Коши х. = fl эс -f , хСв) = oí имеет решение на 2 для всяких £ € С (I, Е) , é Е
Для полноты картины в работе приведен пример секвенциально полного хаусдорфова ЛВП CZ и таких, что единст-
венное РС задачи Коши эс = й ос , аг Со) = ос разрывно по второму аргументу.
Во второй главе диссертации рассматриваются соотношения ме* ду различными типами дифференцируемости отооражений топологическ векторных пространств /ТВЦ/ и исследуется вопрос о связи непрерывности с дифференцируемостыо.
Напомним > 410 если X .Y - хаусдорфовы ТВП,
и
- открытое подмножество X . то отображение U-^Y называется дифференцируемым в точке по направлению
lv € X . если существует £ V такой, что
f ^ if60 = С:^ Г1
15/ Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространств и его приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1979.
при этом dbh j¡ (ос) называется производной функции £ в точке СС по направлению А. . Отображение £ называется дифференцируемым по Гато в точке ос , если ^^j-Cx) существует для всякого /, С 2С и отображение А- ^ является линейным и не-
прерывным ^оно обозначается ¿'{тс)) . Если ОТ. - семейство ограниченных подмножеств X" .' причем LJ Й = X • Tü f назы-
fleoi
вается дифференцируемым в точке zc по системе множеств (JL , если дифференцируема по Гато в точке х. и выполняется
равномерно по А £ Д для всякого А €01 . Отображение т называется дифференцируемым по Адамару, если £ дифференцируемо по системе секвенциально компактных множеств. Отображение f называется дифференцируемым по Фреше, если £ дифференцируемо по системе всех ограниченных множеств.
Теорема 6. Пусть £ - БП, удовлетворяющее условию Асплунда /т.е. F~/сепараоельно для всякого сепарабельного линейного подпространства Г <Q. Е /, U - открытое подмножество Е- , а í : Lf^r- - такая борелевская функция, что
для всех "X. , к € EL . Тогда f дифференцируема по фреше
в точках плотного в L7 множества.
Эта теорема является усилением теоремы 2.5 из ; теорема
6 доказывается с помощью [isj и теоремы 8, приведенной ниже.
Теорема 7. Пусть t_ - бэровское (XI43 СТР- Hl) тап> U ~ открытое подмножество Е , - метрическое пространство, £ : I/-* 1У1 - борелевская функция, сужение которой на каждую
16/ Preise D. Differentiability of Lipschitz functions on Banach spaces // Jörn. Funct. Anal., 1990, v. 91, № 2, p. 312 - 345.
прямую в Е непрерывно. Тогда множество точек непрерывности массивно в 1_1 /т.е. множество точек разрыва ^ имеет перЕую категорию/.
Заметим, что в качестве следствия из теоремы 7 получается, что оорелевское полиномиальное отображение из бировского ТВП в метризуемое ТВП непрерывно.
Теорема 8. Пусть Е - хаусдорфово ЛВП такое, что Ь. ^ бэ-ровское, Ц" - открытое подмножество Е , метрическое
пространство, £ : /М- борелевская функция, причем
Т.1Г-П ---——г-оо
■¿-ъо
для всех ас ^ , А € Е • Тогда существует непустое открытое подмножество \л/ с. и непрерывная полунорма р на £Е та-к*1е, что Р С'* для любых
Следствие. Пусть £ - БП, - непустое открытое подмножество Е , - нормированное пространство, а £: 1У-*■ -борелевская функция, дифференцируемая в каждой точке по каждому
направлению. Тогда найдется открытый шар В и такой, что I
1 о
липшцеьа.
Теорема 9. Пусть Е - бесконечномерное сепарабельное хаусдорфово ЛВП. Тогда существует функция : ^ , которая всюду дифференцируема но Гато и разрывна в каждой точке.
Теорема 10. Пусть Е - сепарабельное метризуемое ЛВП, -нормированное пространство, 1_1 - непустое открытое подмножество
Е , С/ - Г
- борелевское отображение, дифференцируемое в каждой точке по каждому направлению. Тогда если пространство р 2 бэровское, то дифференцируемо по Адамару в точках массивного в и множества.
Теорема II. Пусть Е , Р~ - нормированные пространства,!^ -непустое открытое подмножество Е , £ ' £-/-»• - отображение, дифференцируемое по Адамару в точках множества й ^ 1-1 второй
категории /т.е. не первой категории/. Тогда найдется такой шар О, С [_/ , что £ липшицево на & и й имеет вторую категорию в каждом непустом открытом подмножестве & . Если же дифференцируемо в точках й и по Фреше, то найдется такое множество М <ь В> Л $ второй категории, что отображение /со
значениями в пространстве непрерывных линейных операторов из Н. в , наделенном операторной нормой/ непрерывно.
Третья глава диссертации, посвящена вопросу о возможности обобщения теоремы Ролля на случай функций, определенных на единичном шаре БП с гладкой нормой.
Определение 5. Пусть - открытое подмножество ЬП Е. . -нормированное пространство, или п. = °<=> . Тогда
(и , 1-") - множество всех отооражении 5 (_Г -»- таких, что I/ <п_ раз дифференцируема по Фреше; 2/ ^ равномерно непрерывна на и для всякого ^ С . где /А^ =
= I о -с < п] пщ п& /л/ , /л/ ъо =
= (д € ( Иногда вместо {Ъ/) будем пи-
сать \д/п (1./) или просто и/^ /если это не вызывает недоразумений/.
Следувдий результат дает ответ на один вопрос С.Б.Стечкина.
Теорема 12. Пусть £ /лУ или п = с» , £ - БП, норма которого принадлежит множеству {хе Е ы< их//<г})т
Тогда существует функция £ € К/п (Е, //£) такая, что I/ ¿С"*) - О при И^сНЫ , ^С*) ~>о при Л ас« </ ; 2/ при //зг//<У.
Существует также функция § 6 С ° С £ , такая, что
I/ ° при 1Ш - { , ->0 при Их/К 4 ;
2/ > I при /1х/1 с ± .
Следствие. Существует СТ^ , //?) такая, что
I/ ограничена по норме для всякого ^ ^ О ;
2/ ^ Сас> - О при Ш-ь. 1 , //Сх) Ф о при пън <1 ;
3/ fcx) > с при /IX/к i .
Существует также ^ € С С "ti, ^ ) такая, что
I/$Сх) =0 при 1(ХН , при //x/i<? / ;
2/ в % '(-х)// Ъ i ■ при /IX// С / .
Замечание 6. Теорема 12 доказывается конструктивно, причем в процессе доказательства строится диффеоморфизм у> класса W из Е на E\{oj такой, что У (ос) = ас при i/xll* 1 /что усиливает результат статьи в частном случае БО с гладкой
нормой/. Отметим также, что -Ç из теоремы 12 ограничена, а ^ неограничена; каждое БП, удовлетворяющее условиям теоремы 12 pet лексивно /случай нерефлексивного ЬП рассматривается ниже/. След; ющее предложение ноказьшает, что теорема 12 не может быть сущес' венно усилена.
Предложение 4. Пусть El - ЬП, Б - замкнутый единичный
в'Е = .s = &\U . -ш
прерывная ограниченная функция такая, что "5 = О и дис
ренцируема по Гато в точках U . Тогда lui q
U 0
Предложение 5. Существует полином четверто{
степени такой, что р С-зс") -=ю при lrx\i»l; р'С^с}^ о щ Uxii < i ; р сж.) ■> о при u-x||d.
Предложение 6. Пусть Е- - нерефлексивное ЬП, норма которо: дифференцируема по фреше на El . Тогда существует
(EL } fêS) такая, что ' ограничена по норме; i С-х") = о при U-ХЧ"» 1 ; -S'c-x:-) -ф. О при \№Н<1 .
Замечание 7. Результаты этой главы на случай ЬП с негладкой нормой не обобщается /приведен соответствующий пример/.
17/ Шавгулидзе Е.Т. Оо одном диффеоморфизме локально выпуклого пространства // УМН, 1979, т.34, JÉ 5, стр. 231-232.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.
' Ьогачев В.И., Шкарин С.А. О дифференцируемых и лишшцевых гображениях банаховых пространств // Матем. заметки, 1988, . 44, Ji 5, стр. 567-582.
I Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных янейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых простран-гвах // Матем. соорник. 1990, т.181, № 9, стр. II83-II95. < Шкарин С.А. Контрпример к "теореме Ролля" в бесконечномерном эпарабельиом гильбертовом пространстве // Экстремальные зада-а, функциональный анализ и их приложения, изд-во М1У, стр. 10336.
Заказ Jt отпечатано в ПОРМ яа/^лхсти в |)?0экзешшфа2
3 печать 24.09.91 Изд.Л 45п Формат 60x84/16 Тираж 100 экз. Уч. изд. л. 0,72 Печ. л. 1,0