Некоторые свойства рядов Дирихле и систем экспонент с комплексными показателями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г Б ОД

? СЕН Ш!:

ДРОГОБЩЬКШ ДЕРЖАВШИ 1ЩЦАГОГ1ЧНШ 1НСТИТУТ IM. I.Я.ФРАНКА

На правах рукопису

ШАПОВМОВСЬКШ ОЛЕКСАНДР ВОЛОДИМИРОВИЧ

ДЕЯК1 ВЛАСТИВОСТ1 РЯД1В Д1Р1ХЛЕ I СИСТЕМ ЕКСПОНЕНТ S КОЫПЛЕКСШШ ПОКАЗНШШМ >

(01.01.01 - матвматичний анал1з)

Автореферат дисертацИ на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-матвматичних наук

ДРОГОБИЧ - 1994

Дисертац1ею е рукопис.

Роботу виконано на кафедр1 математичного анал1зу Дрогобицького державного пвдагог1чного 1нституту 1м. I.Я.Франка.

Науковий кер1вншс: кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Виннщысий Б.В.

0фЩ1йн1 опоненти: доктор ф1зико-математичних наук, Козицький Ю.В. * . кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Скаск1в О.Б.

Пров1дна орган1зац1я: 1нститут прикладиих проблем механ1ки

1 математики АН УкраХни 1м. Я.С.П1дстригача, м.Льв!в.

I

Захист в1дбудеться " ^Г " -¿е/Шс^+л 1994 р. о год. на зас1данн1 спец1ал1зовано! вчено! рада Д.04.04.01. при Льв1в-ському держун1верситет1 за адресою: 290000, м.Льв1в, вул. Ун1вер-ситетська, 1.

3 дасертац1ею- мокна ознайомитись в б1бл1отец1 Льв1вського держун1верситету за адресою м.Льв1в, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат роз!слано " " 1994 р.

Вчений секретар

• О

спец1ал1зовано2 вчено! рада Микитюк Я.В.

ЗАГАЛША ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть тами. Роль систем експонент {ехр(ЯпЕ)} ^

1 ряд!в Д1р1ХЛ9

00

Р(а)= ^ (^ехрСХ^) , (1)

п=1

в р1зних розд1лах математики та II застосуваннях добре в1дома. 1х властивост1 залехать в1д властивостей посл1довност! (Хп) 1 досл1-джешяо цих залежностей присвячен1 0агаточислввн1 досл1дження, серед яких в1дзначимо монограф!г В.Бернштейна, Л.Шварца, Н.Лев1нсона, 0.Леонтьева, М.Шеремети. В цих досл1даеннях ч1льне м1сде пос1дае питания про поводхення ряд1в Д1р1хле на д1йсн1й ос1, яке мае сво1м джерелом класичну теорему А.В1мана 1 результата Д.Пол1а, пов'язан1 з лакунарними ствпеневими рядами. Ще Л.Шварц1 показав, що ямцо

<ю 1

0<А.пТ+», - <®, (2)

то з<31жний в с ряд (1) мохе бути обмехеним на ,д1йсн1й ос1 т1льки у випадку Р^о. його ж результат показують також, що якщо виконуеться (2),

П22, (3)

1 7- неспадна додатна на (-оо;+«>) функц!я, то 1з оц1нки |Р(х)|^7(х), зйхп, випливае, що

1 Schwartz Ь. Etude des sommes d'exponèntieïles reeles.-Paris,1943.

Я11,(1)<7((1+о(1))х), х-*», (4)

де Шр(х)=^^|(1пе1р(хХ11) |. Б.Винншц>кий та В.Сорок1вський зауважили,

п=1

що 1з останнього результату випливае, що яюцо виконуються умови (2) 1 (3), то для 8<31жного в с ряду (1) знайдегься така посл1довн1сгь (хк), 0<хкТ+«>, на як1й

|Р(хк)|=ГОр((1+о(1))хк), к-+оо.

Таким чином, ц1 результата Л.Шварца дають можлив1сть, зокрема, на

т

деяк1й посл1довност1 (хк), 0<хк1+®, отримати оцЛнку знизу модуля суми ряду (1) через суму модул1в його член1в. 1з результаПв А.Мак1нтайра1, М.Шеремета2 випливае, що умову (2) 1стотно покращити не можна. П1зн1ше, в роботах 1.Кюна, Д.Гаера, М.евграфова, О.Леонтьева, М.Шеремета, Б.Винницького 1 В.Сорок1вського, О.Скаск1ва, Л.Гольд берга 1 Й.Островського, Г.Гаш1мова, А.Гайсина та 1ших, при додатко-вих обмекеннях на члени ряду (1), були одержан1 аналоги результатов Л.Шварца у випадку, коли умова (2) не виконуеться.' М.евграфов та 1.Чег1с застосували деяк1 з цих результат^ до доведения теорем единост! для гармон1йних функций. В результат1 лроведених досл1джень в1дзначене вице питання досить добре вивчене для ряд1в Д1р1хле з д1йсними показниками. В той же час для ряд!в Д1р1хле з комплексними показниками в цьому напрям! в т1льки окрем1 результата 0.Леонтьева, М.евграфова, Б.Винницького, В.Сорок1вського та 1шшх.

Роботи Л.Шварца, С.Мандельбройта, П.Мальявена, О.Леонтьева,

Macintyre A.J.// Ргос. london Math. Soc.-1952.-3,М2.-Р.286-296. Шеремета М.Н.// Изв. вузов, М-ка.-1987.-Ш.-С.64-72.

Дж.Андерсона та К.Б1нморе виявили зв'язок розглядувано! вще проблеми з питаниям про повноту систем экспонент з вагою. Найб1лып тонк1 результати про повноту систем експонент з вагою одержан! В.Фуксом, П.Мальявеном, Р.Зал1ком, А.Седлецьким. Разом з цим знайти критер1й повноти цих систем не вдаеться.

Мета роботи. 1. Досл!дати поводаення на д1йсн1й oci (точн!ше на додатньому д!йсному промен!) ряд!в Д1р1хлв з комплексными показниками (Х-п). як! лежать в кут1 Cz:|arg z|^a0<ic/2>, 1, зокрема, вияснити, при яких умовах 1з обмеженост1 суми зб1жного в с ряду (1), випливае, що F(z)sO; 1 при яки умовах 1з оц!нки |F(x)|£7(x), 22х0, випливае (4) (нав!ть у вшхадку, коли аналог умови (2) не виконуеться).

2. Встановити нов! умови повноти системи

{ exp(-r(t)+Un)} (5)

в простор! I2 (-<»;+<»).

Наукова новизна ! теоретична ц!нн!сть. Дисертац!я мае теоретичний характер. В робот! одержан! наступи! результати:

а) Знайден! умови, при яких 1з обмеженост! на д1йсн!й ос! р1вном!рно ! абсолютно зб1жного на кожному компакт! з с ряду Д!р1хле з комплексними показниками випливае, що його сума тотожньо р!вна нулю. Приведен! теореми узагальнюють в!дпов!дн! результати Л.Шварца, М.евграфова, В.Сорок!вського, М.Шеремета.

б) Вказан1 умови, при яких 1з оц!нки на д1йсн!й ос! модуля суми р!вном1рно 1 абсолютно зб!жного на кожному компакт1 з с ряду Д!р1хле з комплексними показниками випливае аналог!чна оц1нка для 5Jlj,(x). Основн1 результати в цьому налрям1 е новими ! для ряд!в Д1р!хле з д!йсними показниками. Зокрема, для таких ряд!в одержано оц!нки зростання модул!в 1х сум на променях arg z=<p, |ф| <тс/2, чим узагаль-

<

нено деяк1 результата 0.Леонтьева та А.Гольдберга 1 й.Островського.

в) Знайден1 нов! умови повноти системи (5), внасл1док чого узагальнено в1дпов1дн1 результата В.Фукса, П.Мальявена, А.Седлець-кого.

Методика досл!джень. При доведенн1 приведение в робот1 резуль-тат1в використовуються метода теорИ функцИ, а таков деяк1 прийоми ! роб1т В.Фукса, П.Мальявена, О.Леонтьева, А.Седлзцького, А.Гольдберг! 1 Й.Островського, М.Шеремета, Б.Винницького, В.Сорок1вського.

Ащюбац1я роботи. Про результата дисертац1йно1 робота допов1-далось на Льв1вському м!жвуз1вському сем1нвр1 з теорИ аналХтични; функц1й (кер1вник проф. А..А.Гольдберг), на м1жнародн1й математичн1: конференцИ, присвячен1й 100-р1ччю О.Банаха (Льв1в, 1992 р.), н Всеукра!нськ1й науков1й конференц11 "Нов1 п1дходи до розв'язанн даф9ренц1альних р1внянь" (Дрогобич, 1994 р.).

Публ1кацП. 0сновн1 результата дисертацН опубл1кован! в роботах [1-6]. В статтях [1,2], опубл!кованих в сп1вавторств1 з Б.Винницьким вс1 результата належать обом авторам в однаков1й м1р1.

Структура й обсяг дисертац!?. Дисертац1йна робота складаеться 1з вступу, 11 параграф1в, як1 об'еднан1 в три глави 1 списку л1тера-тури з 76 найменувань. Загальний оОсяг робота - 121 стор1нка друкованого тексту.

МОТ РОБОТИ

У вступ1 подано короткий 1сторичний огляд теми робота, загальна И характеристика та вшелад основних результат1в.

Нехай - посл1довн1сть р1зних комплексних чисел, така 1

Не А. >0 1 Л. ->» при п-+®. Нехай, дал1, Е(А)- клас ц!лих функц

зображуваних абсолютно 1 р!вном1рно зб!кними на кожному компакт1 з с рядами Д1р1хле виду (1),

EReV г—. Rex

|2 Vi

В глав! I одержано теореми единост1 для ряд1в Д1р1хла з комплексними показниками. Теорема 1.1. Якщо

Re\n ä а > 0, п=1,2,3,.... (б)

^ ReA.

> —К < 4« , (7)

fei 1\7

то 1з умов: a) FeE(X) i б) F(x)=0(1) при x^R випливае, що P(z)sO. Теорема 1.1 q узагальненням теореми Л.Шварца.

Приклад cos z = 2 ? e~iz+0-e^Z+0-e 3 +... показуе, що в

теорем1 1.1 умову (б) не можна зам1нити умовою ReAn>0. Разом з цим, ми не знавмо, чи мохна в ц1Я теорэм1 умову (б) зам!нити умовою ReAn>0.

В той' же час справедлива

Теорема 1.2. Якщо Не\п>0, виконуеться (7) 1

о> 1

-? < (8)

то 1з умов а) 1 б) випливае, що Р(а)нО.

Умова (7) е досить точною, на що вказуе Теорема 1.4. Якщо

|arg Хп\<а0<%/г, п=1,2..........(9)

1^1-1^11 " 11 > П=2,3,..., (10)

а (7) не виконуеться, то 1снув не р1вна тотожньо нулю функц1я ГеЕ(^), яка е обмеженою на д1йсн1й ос1.

Таким чином, якщо виконуються умови (9) 1 (10), то умова (7) в нео0х1даою 1 достатньою, щоб 1з умов а) 1 б) випливало, що T(z)=0. Протв, якщо на функц!ю Ир(х) накласти певн1 обмаження, то умову (7) можна послабити.

Теорема 1.11. Нехай у - додатна неспадна опукла на (-«>;+ю) функц!я, причому х=о(7(х)) при х-н», а посл1довн1сть (А-п) задовольняе умови (9) 1 (10). Тод1 для того, щоб 1з умов а), б) 1 Жр(х)=0(1)-ехр(т(х)), х«®, випливало, що Е(г)=0, необх1дао I достатньо, щоб

Пт |2-3(х)- -V" Г—»

де 7<(x)=sup|xt-7(t)j.

teu*-

А Не К

Зауважимо, що умова (11) означав, що ряд ) -Э

може

розб1гатись, але не духе швидко. Теорема 1.11 в один 1з основних результат1в глави I. Бона одержуеться на ochobI 61льш загальних теорем .1.6, 1.10 та леми 1.10, як! показують, що в теоремах 1.4 1 1.11 умову (10) мокна зам1нити бХлып загальними умовами

11я <-н>, Ilm —In —г-!-=б<®, (12)

п-« |А.П| п-оо |L (Яп)|

«■»■ДИЦ8).

Поводжвння ряд1в на променях вивчали 0.Леонтьев та А.Гольдберг i И.Островський. О.Лаонтьевим1 доведена (у випадку <р=0, 1<q<2, ця теорема була також доведена В.Сорок1вським2)

Теорема А. Нехай L визначена р!вн1стю (13), 1пЯп=0 1 виконуються умови

п — 1 1 — 1л 5Мг) • um ___ =о, lim —rr— in —I-=0, lira--£— <ш.

I1-® П-оа дч iх* (Лп)| г-»+» г^

Тод1 для будь-якого ср. | <р | <тс/2, виконуеться р1вн1сть

— ln|F(rei(P)| ■ — In ВЦ,(г) lim ---- созрф lim--1— .

л

А.Гольдбергом 1 й.Островським3 доведена

Теорема В. Нехай ImXn=0, Ь визначена р1вн1стю (13) 1 при

ае

деяких р, р 1 зе>1, 1<р^р< ■ j ■, виконуеться

— In Ж»(г) — In И« (г) — и

Ilm--£— <<о, lim -£— о, lim <®,

!-»+«> гр г->+«> г^ п-ко

— 11

11л in —.- <®, M1?(r)=max{|P(z) |: |z|=rJ.

А* |Ъ (Xn)| p

Тод1 для будь-якого <p, |cp|<ic/2, виконуеться

— ln|F(rel<P)|

Ilm -й-=a-cos^p , a>0.

IW® гг

1 Леонтьев А.Ф.// Мат. сб.-1985.-126(168),JS2.-С.147-171.

2 Сорокивский В.М.// Изв. вузов, М-ка.-1985.-Я6.-С.40-45.

3 Гольдберг A.A., Островский И.В.// Алгебра и анализ.-1990.-2,*3.

-С.144-170.

■ ч

Як в1дзначено в J (дав. с.11) .теореми А 1 В е незалекними.

3 теореми 2.2 ми одержувмо настуше твердження, з якого при

p(t)sp>i випливае як теорема А так 1 теорема В.

' Теорема 2.3. Яйцо Л.п>0 i виконуються умови (14) i (15), то для

будь-якого уточненого порядку р(г), Ilm р(г)=р, 0<р<+» 1 для

Г*+<о

будь-якого ф, |ф|<1с/2, мае м1сце р1вн1сть

— InlFire1^)! „ — In ВЦ,(г) Llin -ШГ~ = cos ^ 11ш —ÖTгГ '

В теоремах 2.6 i 2.7 ми показуемо, що умови (14) 1 (15) е досить точними. В1дзначимо також, що якщо виконуеться перша 1з умов (14), то функц1я L, визначена р1вн1стю (13), 6 м!н1мального типу при уточненому порядку q(r) 1 кр1м нул!в hn мае ще й 1нш! нул1. Можна переконатись, що в теоремах 2.1-2.3 п1д L можна розум1ти дов!льну

ц1лу функц1ю м1н1мального типу при уточненому порядку q(r), яка мае

t

npocri нул1 в точках А.п.

Настуше твердження стосуеться випадку q=1.

Теорема 2.10. Нехай L(z)=|

п='

(1-(и/Лп> ), виконуеться (9),

1 1

lim-:— In —р-- О,

|Xnlln|Xn| |L (Лп)|

_ -г- 1пШЫх)

lim -т^-г = 0, Ilm-—< со.

Тод1, якщо |P(x)|£7(x), xix0, то Bt]p(x)S7((1+o(1 ))x), z>+«.

Ми показуемо в теорем1 2.9, що умову lim -r9-r = 0 в останн1й

п-ю 'V

теорем! можна зам!нити наступили

i показуемо, що перша з них в досить точною. Теорема 2.10 також в новою 1 у випадку 1пЯп=0, хоч в цьому випадку в близьк1 результата О.Леонтьева, М.Шеремета, В.Сорок1вського, Б.Винницького'та 1нших.

В глав! III, яка складаеться з 5 параграф1в, обговорювться

р 1 ^ питания про повноту системи (5) в простор! Ь (-»;+<»). В.Фукс дов1в,

що якщо 0<цп?+«, при п£2, то для того щоб система

. 00

кп.

була повною в 12[0;+со), неоОх1дно 1 достатньо, щоб

" ехр(2ц(г))

dr

= оо, ц(г)= ^ 1/Цд .

г2

П.Мальявен2, фактично, дов1в, що якщо (М-п)~ посл!довн!сть яка

?

задовольняе умови 0<цп1-но i p.n-p.n_1>h>0 при пг2, а ф(г)- додатна зростаюча на [0;-юо) функц!я така, що <р(ех) опукла на (-<о;+оо) i

ф(г)

11л

г-»+а> iii г

то, для того щоб система

-<P(t) Ur

je t n[ (16)

<• J n=1

1 Puchs W.H.J.// Proc. Cambridge Phill.Soc.-1946.-18,JG2.-P.91-105.

2 Malllavin P.// Acta Math. -1955. - 93, ЖЗ-4. - P.179-255.

була повною в простор! 12[0;+»), необх!дно 1 достатньо, щоб для вс1х

аеж виконувалось

г

j <р(ехр(2ц(г)-а)) =+«.

00

С1Г

Зауважимо, що повнота системи (16) в простор1 Ь2[0;+®) екв1валентна повнот1 системи (5) в простор1 Ь2(—оо;-к»), де 7(г)=ф(е'к), а

г ^пГ г

^=^+1/2. Зокрема, повнота системи |е t в простор1 ]/[0;+со)

ёкв1валентна повнот1 в Ь2(-»;+«>) системи

ехрС-е11 + ^п^ 1" (17)

В §3.2 узагальнено результата В.Фукса 1 П.Мальявена на випадок, коли (\п)-комплексн! числа.

' г*

Теорема 3.1. Нехай йеЛп>0. Тод! система (1Т) повна в Ъ^(-оо;-но),

якщо

Ишв вф >1/2

1 не е повною, якщо

£¡¿4*1 <1/2-

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови (9) 1 (10). Тод1 для того ;истема (1 достатньо, щоб

щоб система (17) була повною в простор! Ь2(-«>;+а>), необх!дно 1

°° ехр(2Б(1;))

(11 = 00.

I

г2

Теорема 3.2. Нехай 7-додатна неспадна опукла на (-<»;+ю) функц1я, причому 1;=о(7(1;)) при а посл1довн1сть (Хп) задовольняе

умови (9) 1 (10). Тод1 для того щоб система (5) була повною в простор1 Ь2(-®;+оо), необх!дно 1 достатньо, щоб при будь-якому Ык

г 7(2Б(1;)-Ь) --- си=+<».

\ Т^2

У випадку 1пЛп=0 теорема 3.2 р1вносильна теорем1 П.Мальявена, а теорема 3.3 - теорем1 В.Фукса. Теорема 3.1 з, напевно, новою 1 у випадку 1шХп=0. В1дзначимо, що при доведены!, теорем 3.2 1 3.3 використовуються деяк1 результата 1з роб1т П.Мальявена 1 В.Фукса, а при доведенн! теореми 3.1 одна модаф1кац1я узагальнено! фзрмули Карлемана, яка була отримана В.Говоровим. Також важливу роль в1д1граоть одержан! в §3.1 оц!нки для добутку

А 1 -z/V

H(z)= -2 exp(zA„+z/X).

I и?./т n n

l+z/Г 11=1 n

В роботах Р.3ал1ка, Б.Факсена, А.Седлецького вивчалась система

|exp[-a|t|p-itX.n]j (18)

Найб1льш тонкий результат одержав А.Седлецький1. В1н, зокрема, дов1в наступне твердаення

Теорема С. Нехай а>0, р>1, 1/p+1/q=1, (Яп) - посл1довн1сть р1зних додатн1х чисел. Тод1, якщо

. (pa)1_q r тс *

lim > —- [sin- J ,

n-oe п icq 2q J

1 Седлецкий A.M.// Мат. сб.-1984.-123,XI.-С.92-107.

то система (18) повна в Ь2(-<» ;+«>). Якщо 1снуе

. (ра)1"* , it -ч

lim п/Л.4 < - [sin-I ,

n-oo n icq 1 2q J

то Ьистема (18) не e повною в L2(-co;+a>).

В §§3.4-3.5 ми узагальнюемо дей результат А.Седлецького, розглядаючи систему

со

(19)

де a>0, p(t)-уточнений порядок, llmp(t)=p>1, 1/p+1/q=1, a q(t)

t-»+<o

визначаемо так само, як 1 перед формулюванням теореми 2.1. Основним результатом §3.4 1 §3.5 е наступна теорема. Теорема 3.4. Нехай а>0, р>1, 1 /р+1 /q=1, (А,п) - посл1довн1ст] р1зних додатн!х чисел. Тод1, якщо

n (pa)1"4 , 1С «

lim » v > - sin- ,

• jJ^V icq L 2q i

то система (19) повна в L2(-«°;+<o). Якщо 1снуе

n (pa)1-q , ic ч '

lim i <- sin- ,

n-® .icq L 2q J

то система (19) не в повною в L2(-®;+<d) .

Наше доведения теореми 3.4 под1бне до доведения А.Седлецького. Проте, в1дзначимо, що ми не змогли скористатись, як 1 А.Седлецький, результатами К.Бабенка, а такой деякими теоремами вдиност1, оск1льки вони встановлен! для p(t)=p.

OchobhI результата дисертацИ опубл1ковано в наступних роботах:

1. Винницкий Б.В., Шаповаловский A.B. О полноте систем экспонент с весом// Укр. мат. журн. - 1989. - 41, *12, С.1695-1700.

2. Винницкий Б.В., Шаповаловский A.B. О поведении на действительной оси целых функций, представленных рядами Дирихле с комплексными показателями// Укр. мат.. хурн. - 1990. - 42, W7. - С-.882-888.

3. Шаповаловский A.B. О поведении на лучах рядов Дирихле медленного роста// Укр. мат. журн. - 1991. - 43, №12, С.1603-1613.

4. Шаповаловский A.B. О росте функций заданных рядами Дирихле. - Дрогобыч, 1991. - 30 с. - Деп. в УкрНИМНТИ, #1305-Ук91.

5. Шаповаловский A.B. О полноте систем экспонент с весом в L2(-«;+«)// Тези М1жнародно1 математично! конференцИ присвячено! Í00-р1ччю народаення С.Банаха. - Льв1в, 1992. - С.69-70.

6. Шаповаловський О.В. Про повед1нку модуля суми ряду Д1р1хле на д1йсн1й ocl// Тези Всеукра1нсько1 науково! конференцИ "Нов1 п1дходи до розв'язання диференц1альних р1внянь". - Дрогобич, 1994. -С. 185.