Некоторые точные решения стационарных уравнений Эйнштейна тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Статические решения вакуумных уравнений Эйнштейна

1.1 Основные уравнения.

1.2 Метод разделения переменных.

1.3 Метод сингулярных источников

1.4 Метод Вейлена.

1.5 Керзоноподобные решения

1.6 Суперпозиция евклидонных решений

1.7 Мультипольные моменты Героча - Хансена и решение Эреца -Розена.

2 Стационарные решения вакуумных уравнений Эйнштейна

2.1 Основные уравнения.

2.2 Класс решений Льюиса.

2.3 Класс решений Папапетру.

2.4 Класс Томиматсу-Сато.

2.5 Случаи разделения переменных для уравнения Эрнста

3 Об одном стационарном обобщении метрики Керра

3.1 Метод нелинейной суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна.

Точным решениям в любой нелинейной теории принадлежит особое место. Трудно переоценить их роль в раскрытии физического содержания эйнштейновской общей теории относительности (ОТО), совершившей, по всеобщему признанию, переворот в представлениях на пространство и время. Точные решения ОТО прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя, а иногда и открывая, как это имело место, например, в случае физики черных дыр [1-4], целые направления их развития.

Ввиду сложности уравнений ОТО, представляющих собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Большой интерес при этом представляет случай аксиальной симметрии, где в последние два десятилетия был достигнут заметный прогресс благодаря развитию различных методов генерирования новых решений из уже известных. В настоящей диссертации рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системам, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Минковского неискривленного пространства - времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна, и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение для большого круга астрофизических задач.

Вскоре после выхода в свет работы Эйнштейна [5], в которой уравнения общей теории относительности получили окончательную формулировку, Шварцшильд [6] нашел точное сферически - симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле невращающейся звезды или сколлапсированного объекта. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгоффа [7], она является единственным статическим сферически - симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлем [8], никакое другое статистическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.

Заметное влияние на дальнейшее исследования в области точных решений оказала работа Вейля [9], в которой были получены два класса аксиально - симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических решений уравнений Эйнштейна и класс статистических решений уравнений Эйнштейна - Максвелла (класс электровакуума Вейла). Среди вакуумного класса Вейла можно отметить метрику Шази - Керзона [12,13], структура сингулярностей которой отлична от сингулярностей метрик Шварцшильда.

В работах Льюиса [14] и Ван Стокума [15] были даны первые примеры стационарных вакуумных полей, которые, правда, не являются асимптотически плоскими. Несмотря на этот недостаток данных решений, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных полей был получен Папапетру [16] благодаря записи метрического аксиально - симметричного интервала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ньюмена - Унти - Тамбурино (НУТ) [17], которая, не обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения Шварцшильда. Среди работ, посвященных полям деформированных источников, следует отметить статью Эреца и Розена [20]. Этими авторами была предложена метрика, описывающая внешнее гравитационное поле статической массы, обладающей произвольным квадрупольным моментом. Этому же вопросу посвящены работы [21 - 25], в которых предложены новые методы построения гравитационных мультиполей, позволяющие в ряде случаев получать более простые выражения для метрических функций. Работа [20] примечательна еще и тем, что в ней впервые были использованы координаты вытянутого эллипсоида вращения, которые впоследствии стали широко применяться для нахождения новых точных решений.

Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиально симметричного изолированного источника, было найдено в 1963 году Керром [26] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик, однако лишь спустя четыре года после работы Бойера и Линдквиста [27] стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптотически плоское стационарное аксиально - симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий. Временной интервал в сорок семь лет, разделяющий решения Шварцшильда и Керра, наглядно свидетельствует о трудности нахождения точных решений.

Из обобщений метрики Керра можно отметить решение Демьянского и Ньюмена [28], описывающее суперпозицию метрик Керра и НУТ.

Новый подход к отысканию новых точных аксиально - симметричных решений был предложен Эрнстом [31, 32]. В случае стационарных вакуумных полей задача интегрирования уравнений Эйнштейна была им сведена к решению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка для одной комплексной функции. Благодаря исключительно симметричному виду уравнения Эрнста [31], Томимацу и Сато сумели построить серию новых решений [33, 34], зависящую от целочисленного параметра, которые могут описывать внешние гравитационные поля стационарно вращающихся деформированных источников. В статическом случае эти решения переходят в решение Зипоя [35] с соответствующими параметрами дисторсии.

Класс Томимацу-Сато привлек большое внимание исследователей. В одних работах [36 - 38] для решений этого класса были получены новые точные соотношения и выяснены некоторые вопросы физической интерпретации. В других же [39 - 41] были сделаны попытки расширения этого класса, в частности, на случай непрерывно изменяющегося параметра дисторсии, а также указаны похожие классы решений. Ямазаки [43] сумел построить рекуррентные формулы нахождения метрических функций в случае произвольного целочисленного 6.

Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрий уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [44], Освача [45] и Харрисона [46], а вклад в дальнейшее развитие внесли несколько исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.

Теоретико - групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [47, 48] и Киннерсли [49], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [50 - 52]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований Хоенсела - Киннерсли - Ксантополуса (ХКК) [53], с помощью которых был построен ряд асимптотически плоских стационарных метрик [54 - 60].

Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [61, 62] данным методом было найдено хорошо известное теперь N-солитонное решение, подробный анализ которого приведен в [63]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [64]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [66 - 69].

Третий подход использует для генерирования новых точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных аксиально - симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоном [70] и Нойгебауэром [71]. Преобразования Бэклунда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [72-74], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [75]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера - Нойгенбауэра [76], описывающее нелинейную суперпозицию двух керровских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [77], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением. Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов к генерированию точных решений была установлена Косгровом [82].

Метод вариации постоянных, предложенный в работе [83], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [84 - 106].

Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено в работах Героча [107] и Хансена [108]. Хоенсела [109] сумел найти рекурентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мультипольных моментов произвольной стационарной вакуумной аксиально - симметричной деформированной массы.

В настоящее время поиск решений с произвольной мультипольной структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально - симметричного решения уравнений Эйнштейна предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [114, 115]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрик Керра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Киннерсли [116], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль.

Целью данной диссертации является разработка математических методов и приемов, позволяющих находить новые аксиально - симметричные решения статических и стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе изложены уравнения статического вакуумного гравитационного поля и предпринята попытка систематизировать известные частные решения статических аксиально - симметричных вакуумных уравнений Эйнштейна, а также получено новое обобщенное решение Керзона. Схема изложения материала основана на рассмотрении различных методов решения уравнений гравистатики Эйнштейна. Во второй главе изложены уравнения стационарного вакуумного гравитационного поля и приводятся различные классы решений этих уравнений в случае аксиальной симметрии. В третьей главе рассматривается метод нелинейной суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна, и приводится приложение этого метода; в качестве внешнего стационарного поля было рассмотрено обобщенное решение Шази - Керзона, в результате чего получено новое решение.

Методы получения точных решений, разработанные в настоящей диссертации, могут быть использованы в дальнейшем для получения новых точных решений статических и стационарных уравнений Эйнштейна. Найденные точные решения, возможно, представят интерес для ряда астрофизических и астрономических приложений, где требуется знание внешних гравитационных полей различных источников.

12

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского Университета дружбы народов, на 16-й международной конференции общей теории относительности и гравитации (Дурбан, 15 - 21 июля 2001) [158], на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизики стран Азиатско - Тихоокеанского региона (Москва, 1-7 октября 2001) [146], на 38-й научной конференции факультета физико -математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (14 - 17 мая 2002) [159].

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. Из уравнений Вейля для вакуумного аксиально - симметричного гравитационного поля получены различными методами все известные в настоящее время решения. Рассмотрено новое возможное обобщение решения Керзона, содержащее два произвольных параметра.

2. С помощью метода разделения переменных в гармоническом уравнении Вейля получено новое статическое аксиально - симметричное решение, содержащее два параметра - массу т и £0, характерезующее отклонение полученного решения от сферически - симметричного решения Шварцшилъда.

3. Методом нелинейной суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна получено новое точное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Керра с обобщенным решением Шази - Керзона.

1. Новиков И.Д., Фролов В.П. - Физика Черных Дыр // М.: Наука, 1986, С.326.

2. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Релятивистская Астрофизика // М.: Наука, 1967, С.656.

3. Чандрасекар С. Математическая Теория Черных Дыр (в двух частях) // М.: Мир,1986.

4. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные Решения Уравнений Эйнштейна // М.: Энергоиздат, 1982, С.416.

5. Einstein А. Die Feldgleichungen der Gravitation // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1915, 48, P.844-847.,

6. Schwarzchild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes Nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1916, 7, P.189.

7. Birkhoff G.D. Relativity and Modern Physics // Harvard Univ. Press, Cambridge, 1923, P.255.

8. Israel W. Event Horizons in Static Vacuum Space-Times // Phys. Rev., 1967, 164, P. 1776-1779.

9. Weyl H. Zur Gravitationstheorie // Annal. Physik, 1917,54, P.117-145.

10. Башков В.И. Классы Точных Решений Уравнений Эйнштейна // Итоги науки и техники. Серия алгебра, топология, геометрия. 1976, 14, С.281-327.

11. Ehlers J. and Kundt W. In: Witten, L. Gravitation: an introduction to current research // (Wiley, New York, London), 1962.

12. Chazy J. Sur Ie Champ de Gravitation de Deux Masses Fixes dans la Theorie de la Relativite // Bull. Soc. Math. France, 1924, 52, P. 17-38.

13. Curzon H.E.J. Cylindrical Solutions of Einstein's Gravitational Equations // Proc. Math. Soc. London, 1924, 23, P.477-480.

14. Lewis T. Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields // Proc. Roy. Soc. London, 1932, A136, P.176-192.

15. Van Stockum W.J. The Gravitational Field of a Distribution of Particles Rotating about an Axis of Symmetry // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1937, A57, P.135-154.

16. Papapetrou A. Eine Rotationssymmetrische Losung in der Allye'meinen Relativitatstheorie // Annal. Physik, 1953, 12, P.309-315.

17. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-Space Generalization of the Schwarzchild Metric // J. Math. Phys., 1963, 4, P.915-923.

18. Reina C. and Treves A. Axisymmetric Gravitational Fields // Gen.Rel. Grav., 7, 1976, P.817-837.

19. Kramer D., Stephani H., Herlt E. and M. MacCallum Exact Solutions of Einstein's Fild Equations // (Cambridge University Press. London),1980.

20. Erez G., Rosen N. The Gravitational Field of a Particle Possessing a Multiple Moment // Bull. Res. Counc. Israel, 1959, 8, P.47-50.

21. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On the Gravitational Field of a Mass Possessing a Multipole Moment // Gen. Relat. Grav., 1985,17, P.1025-1027.

22. Quevedo H. On the Exterior Gravitational Field of a Mass with a Multipole Moment // Gen. Relat. Grav., 1987, 19, No. 10, P.1013-1023.

23. Quevedo H. General Static Axisyrnmetric Solution of Einstein's Vacuum Field Equations in Prolate Spheroidal Coordinates // Phys. Rev., 1989, D39, No.10, P.2904-2911.

24. Manko V.S. On a General Static Axisyrnmetric Solution of the Einstein Vacuum Equations // Gen. Relat. Grav., 1989, 21, No.ll, P.1193-1195.

25. Manko V.S., Khakimov Sh. A. General Static Axisyrnmetric Solution of the Vacuum Einstein Equations Possessing a Regular Event Horizon // Phys. Lett., 1990, A149, No.7-8, P.351-353.

26. Kerr R.P. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics // Phys. Rev. Lett., 1963,11, No.5, P.237-238.

27. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric // J. Math. Phys., 1967, 8, No.2, P.265-281.

28. Demianski M., Newman E.T. A Combined Kerr-NUT Solution of the Einstein Field Equations // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astron. Phys., 1966, 14, No.10, P.653-657.

29. Newman E.T., Gouch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a Rotating Charged Mass // J. Math. Phys., 1965, 6, No.6, P.918-919.

30. Bergmann P.G. Introduction to the Theory of Relativity // (Prenticee-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.), 1942.

31. Ernst F.J. New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem // Phys. Rev., 1968, 167, No.5, P.1175-1178.

32. Ernst F.J. New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem. II. // Phys. Rev., 1968, 168, No.5, P.1415-1417.

33. Tomimatsu A., Sato H. New Exact Solution for the Gravitational Field of a Spinning Mass // Phys. Rev. Lett., 1972, 29, No. 19, P.1344-1345.

34. Tomimatsu A., Sato H. New Series of Exact Solutions for Gravitational Fields of Spinning Masses // Progr. Theor. Phys., 1973, 50, No.l, P.95-110.

35. Zipoy D.M. Topology of Some Spheroidal Metrics //J. Math. Phys., 1966, 7, P.1137-1143.

36. Tanab Y.A. Comment on Physical Interpretation of the Tomimatsu-Sato Metrics // Progr. Theor. Phys., 1974, 52, No.2, P.727-728.

37. Economu J.E., Ernst F.J. Weyl Conform Tensor of 6 = 2 Tomimatsu-Sato Spinning Mass Gravitational Field //J. Math. Phys., 1976,17, No.l, P.52-53.

38. Yamazaki M. On the Kerr-Tomimatsu-Sato Family of Spinning Mass //J. Math. Phys., 1977, 18, No.12, P.2502-2508.

39. Kinnersley W., Kelley E.F. Limits of the Tomimatsu-Sato Gravitational Fields // J. Math. Phys., 1974, 15, No.12, P.2121-2126.

40. Cosgrove C.M. New Family of Exact Stationary Axisymmetric Gravitational Fields Generalizing Tomimatsu-Sato Solutions //J. Phys. A: Math. Gen., 1977, 10, No.9, P.1481-1524.

41. Yamazaki M. On the Kerr-Tomimatsu-Sato Family of Solutions with Non-integral Distortion Parameter //J. Math. Phys., 1978,19, No.9, P.1847-1849.

42. Hoffmann B. In: Proceedings of the Royaumont Conference, Centre National de la Recherche Scientifique, // (Paris) 1962.

43. Yamazaki M. On the Charged Kerr-Tomimatsu-Sato Family of Solutions // J. Math. Phys., 1978, 19, No.6, P.1376-1378.

44. Ehlers J. Exterior Solutions of Einstein's Gravitational Field Equations Admitting a Two-Dimensional Abelian Group of Isometric Correspondences // Colloq. Theorie Relativ. Bruxelles, 1959, P.49-57.

45. Ozvach J. New Homogeneous Solutions of Einstein's Field Equations with Incoherent Matter // Abhandl. Math. Natur. CI. Acad. Wiss. Ind. Liter., 1965, 1, P.l-31.

46. Harrison B.K. New Solutions of the Einstein-Maxwell Equations from Old //J. Math. Phys., 1968, 9, No.ll, P.1744-1752.

47. Geroch R.J. A Method for Generating Solutions of Einstein's Equations // J. Math.Phys., 1971, 12, No.6, P.918-924.

48. Geroch R.J. A Method for Generating Solutions of Einstein's Equations. П. // J. Math. Phys., 1972, 13, No.3, P.394-404.

49. Kinnersley W. Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell Equations. I. // J. Math. Phys., 1977, 18, No.8, P.1529-1537.

50. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell Equations. П. // J. Math. Phys., 1977, 18, No.8, P. 1538-1542.

51. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell Equations. III. // J. Math. Phys., 1978, 19, No.9, P. 1926-1931.

52. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell Equations. IV. // J. Math. Phys., 1978, 19, No.10, P.2037-2042.

53. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of Asymptotically Flat, Stationary Space-Times with any Number of Parameters // Phys. Rev. Lett., 1979, 42, No.8, P.481-482.

54. Hoenselaers C. On a New Solution of Einstein's Equations // J. Math. Phys., 1980, 21, No.8, P.2241-2245.

55. Hoenselaers C. A Static solution of the Einstein-Maxwell Equations // Progr. Theor. Phys., 1982, 67, No.2, P.697-698.

56. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary System of Two Masses Kept Apart by Their Gravitational Spin-Spin Interaction // Phys. Rev. Lett., 1982, 48, No.12, P.778-780.

57. Hoenselaers С., Dietz W. The Rank N HKX Transformations: New Sta-tionaryb Axisymmetric Gravitational Fields // Gen. Relat. Grav., 1984,16, No.l, P.71-78.

58. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior Gravitational Field of a Rotating Deformed Mass // Phys. Lett., 1985, A109, P. 13-18.

59. Quevedo H., Mashhoon B. Generalization of Kerr Spacetime // Phys. Rev., 1991, D43, No.12, P.3902-3906.

60. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior Gravitational Field of a Charged Rotating Mass with Arbitrary Quadrupole Moment // Phys. Lett., 1990, A148, No.3-4, P.149-153.

61. Белинский В.А., Захаров B.E. Интегрирование Уравнений Эйнштейна Методом Обратной Задачи Рассеяния и Вычисление Точных Солитонных Решений // ЖЭТФ, 1978, 78, С.1953-1971.

62. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные Гравитационные Солитоны с Аксиальной Симметрией // ЖЭТФ, 1979, 77, С.3-19.

63. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические Гравитационные Солитоны // ЖЭТФ, 1980, 78, С.1297-1313.

64. Алексеев Г.А. О Солитонных Решениях Уравнений Эйнштейна в Вакууме // ДАН СССР, 1981, 256, No.4, С.827-830.

65. Misner C.W., Thorne K.S. and Wheeler J.A. Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973.

66. Gleiser R.J. On the Physical Interpretation of Some Simple Soliton Solutions of Einstein's Equations // Gen. Relat. Grav., 1984, 16, No.11, P.1077-1094.

67. Tomimatsu A. Distorted Rotating Black Holes // Phys. Lett., 1984, A103, No.8, P.374-376.

68. Ibanez J., Verdaguer E. Multisoliton Solutions to Einstein's Equations // Phys. Rev., 1985, D31, No.2, P.251-257.

69. Belinsky V. Gravitational Breather and Topological Properties of Gravi-solitons // Phys. Rev., 1991, D44, No.10, P.3109-3115.

70. Harrison B.K. Backlund Transformation for the Ernst Equation of General Relativity // Phys. Rev. Lett., 1978, 41, P. 1197-1200.

71. Neugebauer G. Backlund Transformations of Axially Symmetric Stationary Gravitational Fields // J. Phys. A: Math. Gen., 1979,12, No.4, P.L67-L70.

72. Neugebauer G. A General Integral of the Axially Symmetric Stationary Einstein Equations // J. Phys. A: Math. Gen., 1980,13, P.L19-L21.

73. Neugebauer G. Relativistic Gravitational Fields of Rotating Bodies // Phys. Lett., 1981, A86, No.2, P.91-93.

74. Kramer D., Neugebauer G. Backlund Transformations in General Relativity // Lect. Notes Phys., 1984, 205, P. 1-25.

75. Neugebauer G. Recursive Calculation of Axially Symmetric Stationary Einstein Fields // J. Phys. A: Math. Gen., 1980, 13, P.1737-1740.

76. Kramer D., Neugebauer G. The Superposition of Two Kerr Solutions // Phys. Lett., 1980, A75, No.4, P.259-261.

77. Yamazaki M. Stationary Line of N Kerr Masses Kept Apart by Spin-Spin Interaction // Phys. Rev. Lett., 1983, 50, No.14, P.1027-1030.

78. Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of black holes // Oxford, Clarendon Press., 1983.

79. Гуцунаев Ц.И., Черняев B.A. Вакуумные Статические Гравитационные Поля с Аксиальной Симметрией // Изв. Вузов СССР. Физика, 1983, 26, С.120-122.

80. Waylen Р.С. The General Axialy Symmetric Static Solution of Einstein's Vacuum Equations // Proc. Roy.Soc.London 1982, A382, P.467-470.

81. Singe J.L. Relativity: The General Theory // North-Holland Amsterdam, 1960.

82. Cosgrove C.M. Relationships between the Group-Theoretic and Soliton-Theoretic Techniques for Generating Stationary Axisymmetric Gravitational Solutions // J. Math. Phys., 1980, 21, P.2417-2447.

83. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Абрамян C.M. Проблемы Статистической Физики и Теории Поля // М.: РУДН, 1987, С.129-134.

84. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New Static Solutions of the Einstein-Maxwell Equations // Phys. Lett., 1988, A132, No.2-3, P.85-87.

85. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a Family of Solutions of the Einstein-Maxwell Equations // Gen. Relat. Grav., 1988, 20, No.4, P.327-335.

86. Castejon-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On a Asymmetric Solution of the Vacuum Einstein Equations for a Stationary Rotating Mass // Class. Quant. Grav., 1989, 6, No.ll, P.L211-L215.

87. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a Stationary Generalization of the Schwarzchild Solution // Class. Quant. Grav., 1989,6, No.8, P.137-139.

88. Tauber G.E. The gravitational field of electric and magnetic dipoles // Canad. J. Phys., 1957, 35, P.477-480.

89. Das K.S. New set of asymptotically flat static and stationary solutions // Phys. Rev., 1983, D27, P.322-327.

90. Darmois G. Memorial des Sciences Mathematiques // (Gauthier-Villars, Paris), Fasc. 25, 1927.

91. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Гравитационный Коллапс Несимметричных и Вращающихся Масс // ЖЕТФ, 1965, 49, С.170-181.

92. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr Metric with the Generalized Erez-Rosen Solution // Phys. Rev., 1990, D41, No.6, P.2018-2020.

93. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. On a Stationary Rotating Mass with an Arbitrary Multipole Structure // Class. Quant. Grav., 1990, 7, No.5, P.779-785.

94. Гуцунаев Ц. И., Манько B.C. Об одном Точном Решении Уравнений

95. Электростатики в ОТО // В сб.: Статистическая Физика и Теория Поля, М.: РУДН, 1990, С.28-31.

96. Manko V.S. New Exact Solution for the Exterior Gravitational Field of a Spinning Mass // Phys. Rev. Lett., 1990, 21, No.ll, P.1193-1195.

97. Manko V.S. New Axially Symmetric Solutions of the Einstein-Maxwell Equations // Gen. Relat. Grav., 1990, 22, No.7, P.799-809.

98. Манько B.C., Хакимов Ш. Новое Точное Решение Уравнений Эйнштейна для Гравитационного Поля Стационарной Осесимметричной Массы // Письма в ЖЭТФ, 1990, 51, No. 10, С.493-495.

99. Chamorro A., Manko V.S., Denisova Т.Е. New Exact Solution for the Exterior Gravitational Field of a Charged Spinning Mass // Phys. Rev., 1991, D44, No.10, P.3147-3151.

100. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об Одном Обобщении Решения Керра - Нъюмена, Известия ВУЗов // Сер. Физика, 1991, 34, No.ll, Р.119-120.

101. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное Электровакуумное Обобщение Решения Шварцшилъда, Отличное от Метрики Керра - Нъюмена // Письма в ЖЭТФ, 1991, 53, No.l, С.54-56.

102. Гуцунаев Ц.И., Бейсекеев С.В. Об Одном Классе Решений Вакуумных Стационарных Уравнений Эйнштейна // Письма в ЖЭТФ, 1991, 54, No.ll, Р.597-599.

103. Гуцунаев Ц.П., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное Решение Уравнений Эйнштейна - Максвелла для Поля Массивного Магнитного Диполя // Известия ВУЗов, Сер. Физика, 1991,1, С.120.

104. Manko V.S., Khakimov Sh.A. On the Gravitational Field of an Arbitrary Axisymmetric Mass Possessing a Magnetic Dipole Moment // Phys. Lett., 1991, A154, No.3-4, P.96-98.

105. Denisova Т.Е., Manko V.S. Exact Solution of the Einstein-Maxwell Equations Referring to a Charged Spinning Mass // Class. Quant. Grav., 1992, 9, No.6, P.57- 60.

106. Chamorro A., Manko V.S., Suinago J. New Exact Solution of the Einstein Equations for a Spinning Mass // Nuovo Cimento, 1993,108, No.6, P.717-719.

107. Manko V.S. New Generalization of the Kerr Metric Referrifig to a Magnetized Spinning Mass // Class. Quant. Grav., 1993, 10, No.12, P.L239-L242.

108. Geroch R. Multipole Moments. II. Curved Space //J. Math. Phys., 1970, 11, No.8, P.2580-2588.

109. Hansen R.O. Multipole Moments of Stationary Space-Times //J. Math. Phys., 1974, 15, No.l, P.46-52.

110. Hoenselaers C. On Multipole Moments in General Relativity // In: Proceedings of the 14th Yamada Conference on Gravitational Collapse and Relativity (ed. by Sato H. and Nakamura Т.), World Scientific, 1986, P.176-184.

111. Thorne K.S. Relativistic Stars, Black Holes and Gravitational Waves //1.: Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi"(eds. by Sachs B.K.), Academic Press, 1971, P.237-283.

112. Beig R., Simon W. On the multipole expansion for stationary space-times // Proc. Roy. Soc. London, 1981, A376, P.333-341.

113. Beig R., Simon W. The Multipole Structure of Stationary Space-Times // J. Math. Phys., 1983, 24, No.5, P.1163-1171.

114. Gursel M. Gen. Relat. Grav., 1983, 12, P.1003.

115. Ehlers J. In: Grundlagenprobleme der Modernen Physik (eds. by Nitsch J., Piarr J. and Stachov E.-W.) // Bl-Verlag, Mannheim, 1981, P.65-84.

116. Kramer D., Neugebauer G. Eine Exakte Stationare Losung der Einstein-Maxwell-Gleichungen // Annal. Physik, 1969,24, P.59-61.

117. Kinnersley W. Recent Progress in Exact Solutions // In: General Relativity and Gravitation (Proceedings of GR7, Tel-Aviv, 1974), Wiley, New York, London, 1975, P. 109-135.

118. Gutsunaev Ts.I., Hassan N.Sh. Stationary Solutions of the Vacuum Einstein Equations // Gravitation and Cosmology, 2003, Vol. 9, No.l (33), P.l-13

119. Kerr R. P. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics // Phys. Rev. Lett., 11(5), 1963, P.237-238.

120. Ernst F. J. A new family of solutions of the Einstein field equations //J. Math. Phys., 1977, 18(2), P.233-234.

121. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Об одном методе решениястатических аксиально - симметричных уравнений Эйнштейна - Максвелла // Изв Вузов СССР, Физика, 1985, 4, Р.116-118.

122. Ehlers J. Konstructionen und Charakterisierung der Einsteinschen Grav-itationsfeldgleichungen // (Dissertation, Hamburg), 1957.

123. Cosgrove С. M. A new formulation of the field equations for the stationary axisyrnmetric vacuum gravitational field. I. General theory // J. Phys. A: Math. Gen, 1978, All, P.2389-2404.

124. Cosgrove С. M. A new formulation of the field equations for the stationary axisyrnmetric vacuum gravitational field. II. Separable solutions // J. Phys. A: Math. Gen., 1978, All, P.2405-2430.

125. Kramer D., Stephani H., Mac Callum M. A. H. and Her It E. Exact solutions of Einstein's Field Equations // (Cambridge Univercity Press, Cambridge), 1980.

126. Kellner A. 1-dimensionale Gravitationsfelder // (Dissertation, Gottingen), 1975.

127. Hoffman R. B. Stationary Axially Symmetric Generalizations of the Weyl Solutions in General Relativity // Phys. Rev., 1969, 182, P. 1361-1368.

128. Newman E.T., Tamburino L. and Unti T. W. J. Empty space generalisation of the Schwarzchild metric // J. Math. Phys., 1963, 4, P.915-917.

129. Misner C. W. In: Lectures in Applied Mathematics // (Ed. by J. Ehlers, AMS, Providence, Rhode Island), 1967.

130. Bonnor W. В. A new interpretation of the NUT metric in general relativity // Proc. Camb. Phil. Soc., 1969, 66, P.145-151.

131. Sackfield A. Physical interpretation of NUT metric // Proc. Camb. Phil. Soc., 1971, 70, P.89-94.

132. Ibanez J. and Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations // Phys. Rev., 1985, D31(2), P.251-257.

133. Das К. C. Odd-soliton solutions of the Einstein equations in a vacuum // Phys. Rev., 1985, D31(4), P.927-928.

134. Hawking S. W., Ellis G. F. R The Large Scale Structure of Spacetimes // (Cambridge University Press, Cambridge), 1973.

135. Stewart J. M., Walker M. Black Holes: the outside story. Springer Tracts in Modern Physics // Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973, 69.

136. Chandrasekhar S. The Kerr metric and stationary axisymmetric gravitational fields // Proc. Roy. Soc. London, 1978,A358, P.405-420.

137. Herlt E. Static and stationary axially symmetric gravitational fields of bounded sourses. I. Solutions obtainable from the Van Stockum metric // Gen. Relat. Grav., 1978, 9(8), P.711-719.

138. Herlt E. Static and stationary axially symmetric gravitational fields of bounded sourses. II. Solutions obtainable from the Weyl's metric //Gen. Relat. Grav., 1979, 11(5), P.337-342.

139. Dale P. Axisymmetric gravitation fields: a nonlinear differential equation that admits a series of exact eigenfunction solutions // Proc. Roy. Soc. London, 1978, A362, P.463-468.

140. Hoenselaers C., Ernst F. J. Remarks of the Tomimatsu-Sato metrics //J. Math. Phys., 1983, 24(7), P.1817-1820.

141. Gautreau R., Anderson J.L. Directional Singularities in Weyl Gravitational Fields // Phys. Lett., 1967, 25A, P.291-292 .

142. Szekeres P., Morgan F.H. Extensions of the Curzoii metric // Commun. Math. Phys., 1976, 32, P.313-318.

143. Voorhers В. H. Static Axially Symmetric Gravitational Fields // Phys. Rev., 1970, D2, P. 1982, P.2119-2122.

144. Szekeres P. Multipole Particles in Equilibrium in General Relativity // Phys. Rev., 1968, 176, P.1446-1450.

145. Chaudhuri S. and Banerji S. Axially Symmetric Solutions Generated by the Complexification Technique // Gen. Rel. Grav. 1984, 16, P.375-379.

146. Алексеев Г.A. О Солитонных Решениях Уравнений Эйнштейна в Вакууме // ДАН СССР, 1981, 256, No.4, С.827-830.

147. Gutsunaev Ts.I., Hassan N.Sh. A new Generalization of the Curzon Solution //В сб: Тезисы докладов V-ой Международной конференции по Гравитации и Астрофизики стран Азиаско - Тихоокеанского региона, Москва - РУДН - 2001, С. 21-22.

148. Misra R.M. Axially Symmetric Fields in General Relativity // Phys. Rev., 1970, D2, P.410-412.

149. Teixeira A.F. Axially Symmetric Static Vacuum Fields // Progr. Theor. Phys. 1978, 60, P.163-166.

150. Israel W. and Khan K.A. // Nuovo Cimento, 1964, 33, P.331-337.

151. Hori S. Generalization of Tomimatsu - Sato solutions // Prog. Theor. Phys. , 1996, 95(6), P. 1097-1120.

152. Hoffman R. B. Stationary "Noncanonical" Solutions of Einstein Vacuum Field Equations // J. Math. Phys. 1972, 10(5), P.953-956.

153. Цейтлин М.Г. Решения Двухмерных Уравнений Эйнштейна, Параметризованными Произвольными функциями генерирования - 0(2, 1) а-Моделью // Теор. Мат. Физ., 1985, 64(1), Р.51-60.

154. Islam J. N. A Class of Approximate Exterior Rotating Solutions of Einstein's Equations // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, 79, P.161-166 .

155. Islam J. N. On the Existence of a General Rotating Solution of Einstein's Equations // Gen. Relat. Grav., 1976, 7(10), P.809-815.

156. Levy H. Classification of Stationary Axisymmetric Gravitational Fields // Nuovo Cim., 1968, 56B, P.253-263.

157. Marek J. J. J. Some Solutions of Einetein's Equations in General Relativity // Proc. Camb. Phil. Soc., 1968, 64, P.167-170.

158. Gutsunaev Ts.I., Hassan N.Sh., Elsgolts S.L. Static Solutions of the Vacuum Einstein Equations // Gravitation and Cosmology, 2002, Vol. 8, No.4 (32), P.249-260

159. Gutsunaev Ts.I., Hassan N.Sh. and Pervushin S. Generalization of the Curzon Metric //Abstracts of Plenary Lectures and Contributed Talks. 16 th International Conference on GRG, Durban - 2001, P.36-37.

160. Hassan N.Sh. Generalization of the Chazy - Curzon Solution //В сб: Тезисы докладов 38-ой научной конференции факультета физико -математических и естественных наук, Москва - РУДН - 2002, С.16.